Tài liệu Về phương trình diophantine dạng ax2 bx2 c

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- LƢƠNG THỊ MAI ANH VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG Ax2 - By2 = C Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) PGS.TS. Nông Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu 2 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Về phương trình Diophantine bậc 2 dạng Ax2 − By 2 = C 12 2.1 Phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = N . . . . . . . . . . 12 2.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By 2 = C . . . . . . 16 2.3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 2 Mở đầu Số học là một bộ môn toán học có đối tượng nghiên cứu là các số nguyên. Không có gì đơn giản và quen thuộc hơn đối với chúng ta là các số nguyên. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học và công nghệ, đặc biệt là công nghệ số hóa, đã đòi hỏi con người không ngừng nghiên cứu và khám phá các quy luật, các thuật giải cho các bài toán liên quan tới số nguyên. Bao hàm trong mảng số học, là giải phương trình nghiệm nguyên hay còn gọi là phương trình Diophantine. Lớp phương trình này còn tồn tại nhiều bài toán, giả thuyết chưa có câu trả lời. Nó luôn là vấn đề thu hút được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và tìm hiểu. Chính việc đi tìm lời giải cho các bài toán hay chứng minh các giả thuyết về phương trình Diophantine đã làm nảy sinh các lý thuyết, phương pháp khác của Toán học. Lớp bài toán liên quan tới phương trình Diophantine không có quy tắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản. Đó cũng là nguyên nhân để lớp phương trình này thu hút sự khám phá nghiên cứu của các nhà Toán học. Trong hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Quốc tế,... các bài toán liên quan đến phương trình Diophantine thường xuyên được sử dụng để đánh giá học sinh. Do đó, dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nông Quốc Chinh, tôi đã chọn hướng đề tài luận văn của mình liên quan tới lớp phương trình Diopantine này. Cụ thể là nghiên cứu về tính chất nghiệm và mối liên hệ của phương trình Diophantine dạng Ax2 −By 2 = C với biểu diễn liên phân số liên tục. 3 Luận văn với tên đề tài "Về phương trình Diophantine dạng Ax2 −By 2 = C", với mục đích là trình bày kết quả nghiên cứu của Mollin (2002) [8] được công bố trên tạp chí Acta Math. Univ. Comenianae năm 2002. Nội dung luận văn gồm 2 chương. Chương 1 tập trung trình bày một số kiến thức về liên phân số, sẽ được dùng để nghiên cứu các kết quả trong chương sau. Nội dung chương 2 gồm ba phần, cụ thể nghiên cứu về phương trình Diophantine dạng x2 − Dy 2 = N và dạng Ax2 − By 2 = C và phần cuối là một số ví dụ minh họa. Để hoàn thành được luận văn, lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tỉ mỉ và tận tình của PGS.TS. Nông Quốc Chinh. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và khoa Toán – Tin. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Toàn Thắng, Tiên Lãng, Hải Phòng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học. Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, ngày 22 tháng 4 năm 2018 Học viên Lương Thị Mai Anh 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi tập trung trình bày về liên phân số và một số kết quả của nó để áp dụng cho việc nghiên cứu về phương trình Diophantine bậc hai, sẽ trình bày trong chương 2. 1.1 Liên phân số hữu hạn Định nghĩa 1.1.1. Liên phân số hữu hạn hay phân số liên tục là một biểu thức có dạng 1 a0 + 1 a1 + a2 + · · · + 1 an−1 + 1 an trong đó a0 , a1 , . . . , an là các số thực a1 , . . . , an 6= 0. Một liên phân số như vậy được ký hiệu là [a0 ; a1 , . . . , an ]. Từ định nghĩa dễ thấy [a0 ; a1 , . . . , ak+1 ] = a0 + 1 . [a1 ; a2 , . . . , ak+1 ] 5 Nếu a0 ∈ Z và a1 , . . . , an là các số nguyên dương thì ta nói [a0 ; a1 , . . . an ] là một liên phân số hữu hạn có độ dài n. Rõ ràng một liên phân số hữu hạn là một số hữu tỷ. Ngược lại ta có: Định lý 1.1.2. Mỗi số hữu tỷ đều có thể biểu diễn dưới dạng một liên phân số hữu hạn. Chứng minh. Giả sử x = a b trong đó a, b ∈ Z và b > 0. Đặt r0 = a, r1 = b. Thuật chia Euclide cho ta r0 = r1 q1 + r2 , 0 < r2 < r1 , r1 = r2 q2 + r3 , 0 < r3 < r2 , ... rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , 0 < rn < rn−1 , rn−1 = rn qn . Từ đó dễ thấy a = [q1 ; q2 , . . . , qn ]. b Ta có điều phải chứng minh. Cho liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , . . . , an ]. Với mỗi k ≤ n liên phân số Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] gọi là giản phân thứ k của [a0 ; a1 , . . . , an ]. Công thức tính các giản phân được cho bởi định lý sau. Định lý 1.1.3. Cho liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 , . . . , an ]. Giả sử hai dãy số nguyên dương p0 , p1 , . . . , pn và q0 , q1 , . . . , qn được xác định truy hồi như sau p0 = a0 , q0 = 1, p1 = a0 a1 + 1 q 1 = a1 , ... pk = ak pk−1 + pk−2 , qk = ak qk−1 + qk−2 . 6 Khi đó giản phân thứ k là Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] được cho bởi pk . qk Ck = Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Với k = 0 ta có C0 = [a0 ] = p0 /q0 . Với k = 1 ta có C1 = [a0 ; a1 ] = a0 + a0 a1 + 1 1 = = p1 /q1 . a1 a1 Giả sử định lý đúng cho mọi 0 ≤ k < n. Khi đó với 2 ≤ k < n, pk ak pk−1 + pk−2 = . qk ak qk−1 + qk−2 Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ] = Vậy " Ck+1 = [a0 ; a1 , . . . , ak , ak+1 ] = a0 ; a1 , . . . , ak − 1, ak + = (ak + (ak + 1 ak+1 )pk−1 1 ak+1 )qk−1 1 # ak+1 + pk−2 + qk−2 ak+1 (ak pk−1 + pk−2 ) + pk−1 ak+1 (ak qk−1 + qk−2 ) + qk−1 ak+1 pk + pk−1 pk+1 = = . ak+1 qk + qk−1 qk+1 = Định lý được chứng minh. Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được đẳng thức quan trọng sau giữa các (pk ) và (qk ). Định lý 1.1.4. pk qk−1 − pk−1 qk = (−1)k−1 . Hệ quả 1.1.5. (pk , qk ) = 1. Tiếp theo, ta sẽ mô tả các quan hệ của giản phân. 7 Định lý 1.1.6. Giả sử (Ck ) là dãy giản phân của liên phân số hữu hạn [a0 ; a1 . . . , an ]. Ta có Ck − Ck−1 Ck − Ck−2 (−1)k−1 = , qk qk−1 ak (−1)k = , qk qk−2 1 ≤ k ≤ n, 2 ≤ k ≤ n. Chứng minh. Với đẳng thức thứ nhất ta có Ck − Ck−1 (−1)k−1 pk qk−1 − pk−1 qk = . = qk qk−1 qk qk−1 Với đẳng thức thứ hai ta có Ck − Ck−2 = pk qk−2 − pk−2 qk . qk qk−2 Thay pk = ak pk−1 + pk−2 , qk = ak qk−1 + qk−2 vào tử số và áp dụng đẳng thức thứ nhất ta thu được điều phải chứng minh. Từ định lý trên ta thu được kết quả quan trọng sau. Định lý 1.1.7. Ta có C1 > C3 > C5 > . . . , C0 < C2 < C4 > . . . Hơn nữa mỗi giản phân lẻ C2j−1 đều lớn hơn mỗi giản phân chẵn C2i . Chứng minh. Từ định lý trên ta thấy nếu k lẻ thì Ck < Ck−2 và nếu k chẵn thì Ck > Ck−2 . Cũng theo định lý trên, ta có C2m − C2m−1 (−1)2m−1 = <0 q2m q2m−1 Vậy C2j−1 > C2j−1+2i > C2j+2i > C2i . suy ra C2m < C2m−1 . 8 1.2 Liên phân số vô hạn Như kết quả mục trên, ta biết rằng mỗi số hữu tỷ sẽ được biểu diễn một cách duy nhất bằng một liên phân số hữu hạn. Chuyển sang tình huống các số vô tỷ, ta sẽ thấy, mỗi số vô tỷ sẽ được biểu thị duy nhất dưới dạng một liên phân số vô hạn. Định lý 1.2.1. Cho a0 , a1 , a2 . . . là dãy vô hạn các số nguyên sao cho ai > 0 với i ≥ 1. Đặt Ck = [a0 ; a1 , . . . , ak ]. Khi đó tồn tại giới hạn lim Ck = α. k→∞ Ta gọi α là giá trị của liên phân số vô hạn [a0 ; a1 , a2 . . .] và viết α = [a0 ; a1 , a2 , . . .]. Chứng minh. Theo Định lý 1.1.7 ta có C1 > C3 > C5 > . . . > C2n−1 > C2n+1 > . . . C0 < C2 < C4 < . . . < C2n−2 < C2n < . . . Hơn nữa dãy (C2k+1 ) là dãy giản và bị chặn dưới bởi C0 còn dãy (C2k ) tăng và bị chặn trên bởi C1 . Vậy tồn tại lim C2k+1 = α1 k→∞ và lim C2k = α2 . k→∞ Ta cần chứng minh α1 = α2 . Thật vậy theo Định lý trên ta có C2k+1 − C2k = 1 q2k+1 q2k . Bằng quy nạp, ta có qk ≥ k. Do đó lim (C2k+1 − C2k ) = 0. k→∞ Vậy α1 = α2 . Định lý được chứng minh. 9 Định lý 1.2.2. α = [a0 ; a1 , a2 , . . .] là một số vô tỷ. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trái lại α = a/b ∈ Q. Theo Định lý 1.1.7 ta có C2n < α < C2n+1 . Vậy 0 < α − C2n < C2n+1 − C2n = 1 q2n+1 q2n . Điều này tương đương với p2n 1 < q2n q2n+1 q2n 1 ⇔ 0 < αq2n − p2n < q2n+1 1 ⇔ 0 < αq2n − bp2n < q2n+1 1 ⇔ 1 < αq2n − bp2n < . q2n+1 0<α− Cho k → ∞ ta có điều mâu thuẫn. Như vậy phép chứng minh được kết thúc. Định lý 1.2.3. Mỗi số vô tỷ đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một liên phân số vô hạn. 1.3 Liên phân số vô hạn tuần hoàn Ta gọi liên phân số vô hạn [a0 ; a1 , a2 , . . .] là tuần hoàn nếu dãy (an ) là tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó, nghĩa là tồn tại số nguyên dương m và k với mọi n > m ta có an = an+k . Số nguyên dương k được gọi là chu kỳ. Trong trường hợp đó ta viết [a0 ; a1 , a2 , . . . , am−1 , am , am+1 , . . . , am+k−1 ]. Bài toán đặt ra là đặc trưng tất cả các số vô tỷ có biểu diễn liên phân số vô hạn tuần hoàn. Ta có khái niệm sau: 10 Định nghĩa 1.3.1. Số vô tỷ α gọi là số vô tỷ bậc hai nếu nó là nghiệm của một tam thức bậc hai với hệ số nguyên, tức là aα2 + bα + c = 0, với a, b, c ∈ Z, Ví dụ 1.3.2. Số vô tỉ α = 2 + √ 3 là số vô tỷ bậc hai, vì nó là nghiệm của x2 − 4x + 1 = 0 Bổ đề 1.3.3. Số thực α là số vô tỷ bậc hai khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên a, b, c với b > 0, c 6= 0 và b không chính phương sao cho √ a+ b α= . c Bổ đề 1.3.4. Nếu α là số vô tỷ bậc hai thì rα + s với r, s, t, u là các số nguyên tα + u là số vô tỷ bậc hai hoặc là số hữu tỷ. Định nghĩa 1.3.5. Giả sử √ a+ b α= . c là số vô tỷ bậc hai, khi đó liên hợp của nó được ký hiệu là α0 xác định như sau √ b a − α0 = . c Từ định nghĩa về số vô tỷ bậc hai, ta có các tính chất sau: Bổ đề 1.3.6. 1. Nếu số vô tỷ bậc hai α là nghiệm của phương trình Ax2 + Bx + C = 0 thì liên hợp của nó cũng là nghiệm của phương trình đó. 2. Giả sử α1 , α2 là các số vô tỷ bậc hai thì (α1 ± α2 )0 = α10 ± α20 ; (α1 α2 )0 = α10 α20 và (α1 /α2 )0 = α10 /α20 . Kết quả sau được Lagrange tìm ra 11 Định lý 1.3.7. Số vô tỉ α có biểu diễn liên phân số tuần hoàn khi và chỉ khi nó là số vô tỷ bậc hai. Bổ đề 1.3.8. 1. Giả sử α là số vô tỉ bậc hai. Khi đó nó có thể viết dưới dạng √ P+ D , α= Q trong đó P, Q và D là các số nguyên, Q 6= 0, D > 0 không chính phương và Q | D − P 2 . 2. Giả sử α là số vô tỉ bậc hai, biểu diễn dạng √ P0 + D α= , Q0 trong đó P0 , Q0 và D là các số nguyên, Q0 6= 0, D > 0 không chính phương và Q0 | D − P02 . Dãy số (αk ) xác định như sau √ Pk + D D − Pk2 αk = , ak = [αk ], Pk+1 = ak Qk − Pk và Qk+1 = . Qk Qk Khi đó α = [a0 ; a1 , a2 , . . .]. Ví dụ 1.3.9. Tìm x, biết rằng x = [3; 1, 2]. Lời giải: Ta có x = [3; y] với y = [1, 2]. Ta có y = [1; 2, y] do đó √ √ 1+ 3 4+ 2 1 y =1+ −→ y = suy ra x = . 2 + y1 2 2 Ví dụ 1.3.10. √ √ √ √ √ √ 23 = [4; 1, 3, 1, 8] 29 = [5; 2, 1, 1, 2, 10] 31 = [5; 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10] 46 = [6; 1, 2, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 1, 2, 1, 12] 76 = [8; 1, 2, 1, 1, 5, 4, 5, 1, 1, 2, 1, 16] 97 = [9; 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 18] 12 Chương 2 Về phương trình Diophantine bậc 2 dạng Ax2 − By 2 = C 2.1 Phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = N Mục này sẽ tập trung thảo luận ứng dụng của liên phân số trong các phương trình Pell. Nhắc lại, ta gọi phương trình Pell là các phương trình có dạng x2 − Dy 2 = ±1. √ Định lý 2.1.1. Giả sử chu kỳ của biểu diễn liên phân số của D là r. √ Gọi pk /qk là giản phân thứ k của D. Nếu r chẵn thì x = ptr−1 , y = qtr−1 với t = 1, 2 . . . là nghiệm của phương trình Pell x2 − Dy 2 = 1. Nếu r lẻ thì x = p2tr−1 , y = q2tr−1 , với t = 1, 2, . . . là nghiệm của phương trình Pell x2 − Dy 2 = 1. Chứng minh. Vì √ D = 0+ √ D/1 nên Q0 = 1, suy ra Qkr = Q0 = 1 với mọi k. Theo Bổ đề 1.3.8 ta có 2 p2kr−1 − Dqkr−1 = (−1)kr−2 Qkr = (−1)kr . 13 2 Như vậy nếu n chẵn thì p2kr−1 − Dqkr−1 = 1 với mọi k ∈ N, nếu r lẻ thì 2 p22tr−1 − Dq2tr−1 = 1. Bổ đề 2.1.2. Ta có Qi 6= 1 với mọi i = 1, 2 . . . và Qk = 1 khi và chỉ khi k chia hết cho r. Bổ đề 2.1.3. Cho α là một số vô tỷ và r/s là số hữu tỷ tối giản với r > 0 và r 1 −  < 2 . s 2s Khi đó r/s phải là một giản phân của α.    α   Bổ đề 2.1.4. Giả sử x, y là các số nguyên dương sao cho x2 − Dy 2 = n √ √ và |n| < D. Khi đó x/y là một giản phân của D. √ √ Chứng minh. Xét trường hợp n > 0. Ta có (x + y D)(x − y D) = n suy √ √ ra x > y D. Vậy 0 < xy − D. Ta có √ √ x √ x2 − Dy 2 x− D n D 1 √ < √ < √ = 2. − D= = y y 2y y(x + y D y(2y D 2y 2 D √ Theo Bổ đề 2.1.3 thì x/y là một giản phân của D. Giả sử n < 0. Khi đó y 2 − (1/D)x2 = −n/D. √ Ta có −n/D > 0, −|n|/D < 1/ D. Vậy theo bước trước y/x là một √ giản phân của 1/ D. Nhưng khi đó x/y = 1/(y/x) là một giản phân của √ √ 1/(1/( D) = D. Định lý được chứng minh. Định lý 2.1.5. Cho phương trình Pell x2 − Dy 2 = 1. Gọi r là chu kỳ của biểu diễn liên phân số của √ D. 14 Nếu r chẵn thì tất cả các nghiệm của phương trình Pell là x = pkr−1 , y = qkr−1 . Nếu r lẻ thì tất cả các nghiệm của phương trình Pell là x = p2tr−1 , y = q2tr−1 với t ∈ N∗ . Chứng minh. Giả sử (x, y) là nghiệm của phương trình Pell. Theo Bổ đề 2.1.4, tồn tại i để x = pi , y = qi . Từ đó p2i − Dqi2 = 1. Từ Bổ đề 1.3.8 rút ra (−1)i−1 Qi+1 = 1. Suy ra Qi+1 = ±1. Vì qk+1 6= −1 nên Qi+1 = 1 và i lẻ. Theo Bổ đề 2.1.2 ta rút ra tồn tại ki + 1 = kr, kéo theo i = kr − 1 và kr chẵn. Thành thử nếu r lẻ thì k chẵn, k = 2t. Ví dụ 2.1.6. Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình x2 − 13y 2 = 1. Ta √ có 13 = [3; 1, 1, 1, 1, 6] = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, . . .] Chu kỳ n = 5 là số lẻ. Vậy ta tính giải phân C9 = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1] 1 =3+ 1 1+ 1 1 + ... + 1+ = 1 1 649 180 Vậy nghiệm nhỏ nhất là (649, 180). Trở lại phương trình x2 − 61y 2 = 1. Ta có √ 76 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14] 15 Chu kỳ n = 11 là số lẻ. Ta tính giản phân C21 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1] 1 =7+ 1 1+ 1 4+ 1 3 + ... + 1 4+ 1 1766319049 = 226153980 Vậy nghiệm nhỏ nhất là (1766319049, 226153980) Xét phương trình x2 − Dy 2 = −1 (2.1) Ta có kết quả sau Định lý 2.1.7. Phương trình x2 − Dy 2 = −1 có nghiệm khi và chỉ khi chu √ kỳ r của biểu diễn liên phân số của D là số lẻ. Trong trường hợp ấy các nghiệm của nó là x = p(2tr−r−1) , y = q(2tr−r−1) với t = 1, 2, . . .. Chứng minh. Từ Bổ đề 1.3.8 dễ thấy nếu chu kỳ r của biểu diễn liên phân √ số của D là số lẻ thì x = p(2tr−r−1) , y = q(2tr−r−1) với t = 1, 2, . . . là nghiệm. Giả sử (x, y) là nghiệm của phương trình (2.1). Theo Bổ đề 2.1.4 tồn tại i để x = pi , y = qi . Từ đó p2i − Dqi2 = −1. Từ Bổ đề 1.3.8 ta rút ra (−1)i−1 Qi+1 = −1, suy ra Qi+1 = ±1. Vì Qi+1 6= −1 nên Qi+1 = 1 và i chẵn. Theo Bổ đề 1.3.8 tồn tại k ∈ N sao cho i + 1 = kr, suy ra i = kr − 1 và kr lẻ. Thành thử nếu r chẵn thì kr luôn chẵn do đó phương trình vô nghiêm. Trong trường hợp r lẻ lý luận tương tự như trong trường hợp phương trình Pell x2 − Dy 2 = 1 tất cả các nghiệm phải có dạng x = pkr−1 , y = qkr−1 trong đó kr lẻ tức là khi k lẻ hay x = p(2tr−r−1) , y = q(2tr−r−1) với t = 1, 2, . . .. 16 Định lý 2.1.8. Giả sử a, b là các số nguyên dương thỏa mãn gcd(a, b) = 1 và a là số không chính phương và xét c là số nguyên khác không. Đặt D = ab , N = ac. Khi đó (u, v) là nghiệm của phương trình x2 − Dy 2 = N khi và chỉ khi (u/a, v) là nghiệm của phương trình ax2 − by 2 = c. Chứng minh. Cho (x, y) là nghiệm của phương trình ax2 − by 2 = c. Nhân cả hai vế của phương trình này với a ta được (ax)2 − aby 2 = ac, suy ra (ax, y) là nghiệm của phương trình dạng x2 − Dy 2 = N với N = ac. Ngược lại, nếu (u, v) là nghiệm của phương trình dạng x2 − Dy 2 = N thì từ u2 − abv 2 = ac suy ra a | u2 vì a không phải số chính phương nên a | u. Vì vậy u = a1 a và (a1 a)2 − abv 2 = ac hay a21 a − bv 2 = c, tức là (u/a, v là nghiệm của phương trình ax2 − by 2 = c 2.2 Phương trình Diophantine dạng Ax2 − By 2 = C Ta sẽ nghiên cứu nghiệm của phương trình Diophantine bậc 2 tổng quát, dạng Ax2 − By 2 = C, với A, B ∈ N, C ∈ Z. (2.2) và A, B không đồng thời là số chính phương. Với x, y ∈ Z là nghiệm của phương trình (2.2), gọi là nghiệm dương nếu x, y ∈ N, cặp x và y được gọi là nghiệm nguyên thủy nếu nó là nghiệm dương và gcd(x, y) = 1. √ √ √ √ Dễ thấy rằng, với hai nghiệm dương x A + y B và u A + v B của phương trình (2.2), thì khẳng định sau là tương đương: 1. x < u 2. y < v √ √ √ √ 3. x A + y B < u A + v B 17 Do đó, trong số các nghiệm nguyên thủy của phương trình (2.2), tồn tại một nghiệm để x có giá trị bé nhất, một nghiệm để y có giá trị bé nhất. Nghiệm như vậy gọi là nghiệm cơ bản. Giả sử √ √ α=x A+y B là một nghiệm dương của phương trình (2.2), ta kí hiệu N (α) = Ax2 − By 2 , N (α) gọi là chuẩn của α. Ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa các nghiệm cơ bản với biểu diễn liên phân số liên tục đơn. Như đã trình bày ở Chương 1, ta đã biết 1 số vô tỉ bậc hai là số có dạng (P + √ D)/Q trong đó P, Q, D ∈ Z với D > 1 không là số chính phương, P 2 ≡ D( mod Q), và Q 6= 0. Ta đặt P0 = P, Q0 = Q, và đệ quy cho j > 0, √ Pj + D qj = b c Qj (2.3) Pj+1 = qj Qj − Pj , (2.4) 2 Qj+1 = (D − Pj+1 )/Qj . (2.5) và Vì vậy, ta có biểu diễn của liên phân số liên tục đơn: √ √ P0 + D P+ D = = hq0 ; q1 , . . . , qj , . . .i α= Q Q0 trong đó j > 0. Để nghiên cứu mối liên hệ với liên phân số liên tục, trước tiên là chú ý rằng mọi số thực có biểu diễn liên phân số liên tục tuần hoàn khi và chỉ khi nó là số vô tỉ bậc hai (xem [18], Định lý 5.1.3, tr. 240). Ngoài 18 ra, số vô tỉ bậc hai có thể biểu diễn thành liên phân số liên tục vô hạn tuần hoàn, ta ký hiệu α = hq0 ; q1 , . . . , ql−1 i nghĩa là qn = qn+l với mọil n > 0, trong đó l = l(α) là độ dài của biểu diễn liên phân số liên tục đơn. Ta đã biết rằng số vô tỉ bậc hai α có biểu diễn thành liên phân số tuần hoàn thuần túy khi và chỉ khi α > 1 và −1 < α0 < 0. Mọi số vô tỉ bậc hai thỏa mãn hai điều kiện trên được gọi là thu gọn (xem [18], Định lý 5.3.2, tr. 241). Nếu α là số vô tỉ bậc hai rút gọn, thì với mọi j > 0, ta có √ √ √ 0 < Qj < 2 D, 0 < Pj < D và qj 6 b Dc. (2.6) Giả sử D0 > 1 là số nguyên không chính phương và đặt:     2, nếu D0 ≡ 1 (mod 4)   1, nếu D0 6≡ 1 (mod 4) σ0 =  Kí hiệu ω0 = (σ0 − 1 + √ D)/σ0 , và ∆0 = (ω0 − ω00 )2 = 4D0 /σ 2 , trong đó ω00 là liên hợp của ω0 , tức là ω00 = (σ0 − 1 − √ D)/σ0 Giá trị ∆0 được gọi là biệt thức cơ bản phù hợp với căn của D0 , và ω0 được gọi là giá trị cơ bản phù hợp với ∆0 . Đặt ∆ = f∆2 ∆0 với mỗi f∆ ∈ N. Nếu ta kí hiệu g = gcd(f∆ , σ0 ), σ = σ0 /g, D = (f∆ /g)2 D0 , và ∆ = 4D/σ 2 thì ∆ được gọi là biệt thức phù hợp với căn của D. Hơn nữa, giả sử ω∆ = (σ − 1 + √ D)/σ