Tài liệu Về phương pháp lồi lôgarit và một vài ứng dụng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM LỆ QUYÊN VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Bùi Việt Hƣơng THÁI NGUYÊN - 2019 Möc löc Mð ¦u 1 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 3 1.1. Tªp lçi. H m lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. H m lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Mët sè ki¸n thùc cì sð v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng . . . . . . . . . 8 1.2.1. Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. M°t °c tr÷ng. B i to¡n Cauchy vîi dú ki»n cho tr¶n m°t °c tr÷ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Sü phö thuëc li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Ph÷ìng ph¡p lçi lægarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 MËT V€I ÙNG DÖNG CÕA PH×ÌNG PHP LÇI LÆGARIT 2.1. Ùng döng trong b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. ¡nh gi¡ ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ùng döng trong b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . . . 2.2.1. Ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. ¡nh gi¡ ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T i li»u tham kh£o 20 20 20 24 28 28 29 40 MÐ †U B i to¡n °t khæng ch¿nh xu§t hi»n trong nhi·u l¾nh vüc ùng döng. B i to¡n n y câ li¶n quan ¸n àa vªt lþ, vªt lþ plasma, c¡c b i to¡n v· l¾nh vüc i»n sinh håc... Trong mët b i b¡o nêi ti¸ng cõa Hadamard, b i to¡n n y l¦n ¦u ti¶n ÷ñc giîi thi»u nh÷ l  mët v½ dö kinh iºn v· b i to¡n °t khæng ch¿nh. °c iºm nêi bªt cõa b i to¡n n y l  mët thay êi nhä trong dú ki»n công câ thº d¨n ¸n mët sai l»ch lîn v· nghi»m cõa b i to¡n. Hadamard cho r¬ng c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh khæng câ þ ngh¾a vªt l½. Ch½nh v¼ vªy, vi»c nghi¶n cùu c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh º t¼m ra c¡c ¡nh gi¡ ên ành v  c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa l  mët vi»c quan trång. Ph÷ìng ph¡p lçi lægarit l  mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p dòng º ên ành hâa c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. Ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc nghi¶n cùu bði Pucci (1955), John (1955, 1960), Lavrentiev (1956) and Payne (1960), inh Nho H o v  Nguy¹n V«n ùc (2009, 2010, 2011). ¥y l  k¾ thuªt ¡nh gi¡ düa tr¶n c¡c b§t ¯ng thùc bªc hai v· ¤o h m º ÷a ra giîi h¤n tr¶n v  giîi h¤n d÷îi cho mët h m lçi lægarit, ¥y l  mët h m cõa nghi»m. C¡c ¡nh gi¡ â ÷ñc dòng º thi¸t lªp t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n v  ta câ thº chùng minh ÷ñc sü phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m v o dú ki»n ¢ cho theo mët ngh¾a n o â. Luªn v«n tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p lçi lægarit v  mët sè ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p º ên ành hâa b i to¡n °t khæng ch¿nh trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. Cö thº, luªn v«n gçm hai ch÷ìng: Ch÷ìng 1, t¡c gi£ tr¼nh b y v· h m lçi, mët v i ki¸n thùc cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v  ph÷ìng ph¡p lçi lægarit; Ch÷ìng 2, t¡c gi£ tr¼nh b y hai b i to¡n minh håa cho ph÷ìng 1 ph¡p n y, â l  b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian v  b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace. ¥y l  c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh v  t¡c gi£ ¢ sû döng ph÷ìng ph¡p lçi lægarit º ÷a ra ¡nh gi¡ ên ành cho nghi»m cõa c¡c b i to¡n n y vîi i·u ki»n ÷ñc bê sung. Ph¦n cuèi Ch÷ìng 2, t¡c gi£ câ tr¼nh b y th¶m mët b i to¡n câ thº xem nh÷ mð rëng cõa b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr¼nh Laplace. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Bòi Vi»t H÷ìng. Cæ ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿ b£o em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu. Em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi Cæ. Em công xin b y tä láng bi¸t ìn tr¥n th nh tîi Th¦y Cæ gi¡o khoa To¡n Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v  t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi trong qu¡ tr¼nh em håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i tr÷íng. Em xin tr¥n th nh c£m ìn TS. Mai Vi¸t Thuªn v  TS. Tr÷ìng Minh Tuy¶n ¢ d nh sü quan t¥m v  câ nhúng líi ëng vi¶n kàp thíi º em cè g­ng ho n th nh luªn v«n n y. Cuèi còng em xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± v  chçng em ¢ luæn ð b¶n ëng vi¶n, t¤o i·u ki»n cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n. 2 Ch÷ìng 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 1.1. Tªp lçi. H m lçi Möc n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, ành ngh¾a v  k¸t qu£ c¦n thi¸t li¶n quan ¸n h m lçi v  tªp lçi. Nëi dung cõa möc ÷ñc tham kh£o tø [2]. 1.1.1. Tªp lçi ành ngh¾a 1.1 Cho hai iºm a, b ∈ Rn. i) ÷íng th¯ng i qua hai iºm a v  b l  tªp hñp câ d¤ng {x ∈ Rn |x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R}. ii) o¤n th¯ng i qua hai iºm a v  b l  tªp hñp câ d¤ng {x ∈ Rn |x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]}. ành ngh¾a 1.2 Tªp C ⊂ Rn ÷ñc gåi l  tªp lçi n¸u C chùa måi o¤n th¯ng nèi hai iºm b§t ký cõa nâ, tùc l  ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], ta câ λx + (1 − λ)y ∈ C. ành ngh¾a 1.3 i) Ta nâi x l  tê hñp lçi cõa c¡c iºm (vectì) x1, x2, · · · , xk n¸u x= k X λj x vîi λj > 0, ∀j = 1, 2, · · · , k v  j j=1 k X j=1 3 λj = 1. ii) Ta nâi x l  tê hñp affine cõa c¡c iºm (vectì) x1 , x2 , · · · , xk n¸u x= k X λj x vîi j j=1 k X λj = 1. j=1 M»nh · 1.1 Tªp hñp C l  lçi khi v  ch¿ khi nâ chùa måi tê hñp lçi cõa c¡c iºm cõa nâ, tùc l  vîi måi k ∈ N, vîi måi λ1 , λ2 , · · · , λk > 0 sao cho k P λj = 1 j=1 v  vîi måi x1 , x2 , · · · , xk ∈ C ta câ k X λj xj ∈ C. j=1 ành ngh¾a 1.4 Mët tªp C ÷ñc gåi l  nân n¸u vîi måi λ > 0, vîi måi x ∈ C ta câ λx ∈ C . i) Mët nân ÷ñc gåi l  nân lçi n¸u nâ l  tªp lçi. ii) Mët nân lçi ÷ñc gåi l  nân nhån n¸u nâ khæng chùa ÷íng th¯ng, khi â ta nâi 0 l  ¿nh cõa nân. N¸u nân n y l  mët tªp lçi a di»n th¼ ta nâi nâ l  nân lçi a di»n. ành ngh¾a 1.5 Cho C ⊂ Rn l  mët tªp lçi v  x ∈ C . i) Tªp NC (x) = {w : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}, ÷ñc gåi l  nân ph¡p tuy¸n (ngo i) cõa C t¤i x. ii) Tªp −NC (x) = {w : hw, y − xi ≥ 0, ∀y ∈ C}, ÷ñc gåi l  nân ph¡p tuy¸n (trong) cõa C t¤i x. ành lþ 1.1 (ành lþ x§p x¿ tuy¸n t½nh tªp lçi) Måi tªp lçi, âng, kh¡c réng v  khæng tròng vîi to n bë khæng gian ·u l  giao cõa t§t c£ c¡c nûa khæng gian tüa cõa nâ. 4 ành ngh¾a 1.6 Cho hai tªp C v  D kh¡c réng, ta nâi si¶u ph¯ng aT x = α t¡ch C v  D n¸u aT x ≤ α ≤ aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D. Ta nâi si¶u ph¯ng aT x = α t¡ch ch°t C v  D n¸u aT x < α < aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D. Ta nâi si¶u ph¯ng aT x = α t¡ch m¤nh C v  D n¸u sup aT x < α < inf aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D. x∈C y∈D ành lþ 1.2 (ành lþ t¡ch 1) Cho C v  D l  hai tªp lçi, kh¡c réng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅. Khi â câ mët si¶u ph¯ng t¡ch C v  D. ành lþ 1.3 (ành lþ t¡ch 2) Cho C v  D l  hai tªp lçi, âng, kh¡c réng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅. Gi£ sû ½t nh§t mët trong hai tªp l  tªp compact. Khi â, hai tªp n y câ thº t¡ch m¤nh ÷ñc bði mët si¶u ph¯ng. 1.1.2. H m lçi Cho C ⊂ Rn l  tªp lçi v  f : C → R. Ta k½ hi»u domf = {x ∈ C : f (x) < +∞}, epif = {(x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α}. ành ngh¾a 1.7 Tªp domf ÷ñc gåi l  mi·n húu hi»u cõa f . Tªp epif ÷ñc gåi l  tr¶n ç thà cõa f . B¬ng c¡ch °t f (x) = +∞ n¸u x ∈ / C , ta câ thº coi f x¡c ành tr¶n to n khæng gian. Khi â, ta câ domf = {x ∈ Rn : f (x) ≤ +∞}, epif = {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α}. 5 ành ngh¾a 1.8 Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ l  tªp lçi v  f : C → [−∞, +∞]. Ta nâi f l  h m lçi tr¶n C n¸u epif l  tªp lçi trong Rn+1 . ành ngh¾a tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi: ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta câ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). Nhªn x²t 1.1 V· m°t h¼nh håc, ÷íng cong biºu di¹n mët h m lçi ph£i thäa m¢n hai t½nh ch§t sau i) khæng n¬m tr¶n o¤n th¯ng nèi b§t ký hai iºm n o thuëc ÷íng cong. ii) khæng n¬m d÷îi ti¸p tuy¸n t¤i b§t ký iºm n o thuëc ÷íng cong. V· m°t gi£i t½ch, nhªn x²t tr¶n câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng b§t ¯ng thùc sau f (a) + f 0 (a)(x − a) ≤ f (x) ≤ f (a) + f (b) − f (a) (x − a). b−a (1.1) ành ngh¾a 1.9 Cho C ⊂ Rn, C 6= ∅ l  tªp lçi. i) H m f : Rn → [−∞, +∞] ÷ñc gåi l  lçi ch°t tr¶n C n¸u f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1). ii) H m f : Rn → [−∞, +∞] ÷ñc gåi l  lçi m¤nh tr¶n C vîi h» sè η > 0 n¸u vîi måi x, y ∈ C, vîi måi λ ∈ (0, 1) 1 f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2 . 2 6 iii) H m f : Rn → [−∞, +∞] ÷ñc gåi l  h m lãm tr¶n C n¸u −f l  h m lçi tr¶n C . M»nh · 1.2 Mët h m f : C → R l  h m lçi tr¶n C khi v  ch¿ khi vîi måi x, y ∈ C , vîi måi α, β thäa m¢n f (x) < α, f (y) < β , vîi måi sè λ ∈ [0, 1] ta câ f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα + (1 − λ)β. V½ dö 1.1 Mët sè v½ dö v· h m lçi i) Chu©n Euclide ||x|| l  mët h m lçi tr¶n Rn , trong â x ∈ Rn . ii) Cho C ⊂ Rn l  tªp lçi kh¡c réng, h m ch¿ cõa C , ÷ñc ành ngh¾a   0 n¸u x ∈ C δC (x) :=  +∞ n¸u x ∈ /C l  mët h m lçi. iii) Cho C ⊂ Rn l  tªp lçi kh¡c réng, h m tüa cõa C , ÷ñc ành ngh¾a SC (x) := suphy, xi y∈C l  mët h m lçi. iv) Cho C ⊂ Rn l  tªp lçi kh¡c réng, h m kho£ng c¡ch ¸n tªp C , ÷ñc ành ngh¾a dC (x) := min kx − yk y∈C l  mët h m lçi. ành ngh¾a 1.10 H m f ÷ñc gåi l  h m ch½nh th÷íng n¸u domf 6= ∅ v  f (x) > −∞ vîi måi x. ành ngh¾a 1.11 H m f ÷ñc gåi l  h m âng n¸u epif l  tªp âng trong khæng gian Rn+1 . 7 Nhªn x²t 1.2 N¸u f l  mët h m lçi th¼ dom f l  tªp lçi. ành ngh¾a 1.12 H m f ÷ñc gåi l  thu¦n nh§t d÷ìng (bªc 1) tr¶n Rn n¸u f (λx) = λf (x), ∀x ∈ Rn , ∀λ > 0. M»nh · 1.3 Cho f l  h m thu¦n nh§t d÷ìng tr¶n Rn . Khi â f l  h m lçi khi v  ch¿ khi f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Rn . M»nh · 1.4 N¸u f1, f2 l  c¡c h m lçi, ch½nh th÷íng th¼ f1 + f2 công l  h m lçi. H» qu£ 1.3.1 (Têng qu¡t) N¸u f1, f2, · · · , fm l  c¡c h m lçi, ch½nh th÷íng v  λ1 , λ2 , · · · , λm l  c¡c sè d÷ìng th¼ h m λ1 f1 + λ2 f2 + · · · + λm fm l  h m lçi. 1.2. Mët sè ki¸n thùc cì sð v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng Trong möc n y, chóng tæi · cªp ¸n mët v i v§n · cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. C¡c ki¸n thùc n y ÷ñc tham kh£o tø [1]. Mët ph÷ìng tr¼nh li¶n h» giúa ©n h m u(x1 , x2 , . . . , xn ), c¡c bi¸n ëc lªp x1 , x2 , . . . , xn v  c¡c ¤o h m ri¶ng cõa nâ ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng. Nâ câ d¤ng   ∂u ∂u ∂ku ,..., , . . . , k1 , . . . = 0, F x1 , x2 , . . . , xn , u, ∂x1 ∂xn ∂x1 ...∂xknn trong â F l  mët h m n o â cõa c¡c èi sè cõa nâ; k = (k1 , k2 , . . . , kn ) l  mët bë gçm c¡c sè nguy¶n khæng ¥m, thäa m¢n |k| = k1 + k2 + . . . + kn v  ÷ñc gåi l  mët a ch¿ sè. C§p cao nh§t cõa ¤o h m ri¶ng cõa h m u câ m°t trong ph÷ìng tr¼nh ÷ñc gåi l  c§p cõa ph÷ìng tr¼nh. Ch¯ng h¤n ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai cõa 8 h m hai bi¸n câ d¤ng ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u  F x, y, , , 2 , , = 0. ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y 2  Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ÷ñc gåi l  tuy¸n t½nh n¸u nh÷ nâ tuy¸n t½nh èi vîi ©n h m v  t§t c£ c¡c ¤o h m ri¶ng cõa nâ. Ch¯ng h¤n ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai câ d¤ng ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + c(x, y) 2 + d(x, y) + e(x, y) + f (x, y)u a(x, y) 2 + b(x, y) ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y = g(x, y). Trong nëi dung cõa luªn v«n, ta ch¿ x²t c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai. V  º ìn gi£n, ta vi¸t ux , uy , uxx , uxy , uyy thay cho c¡c kþ hi»u ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u , , , , . ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 Nh÷ ta ¢ bi¸t, hai b i to¡n quan trång trong ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l  i) B i to¡n gi¡ trà ban ¦u (I.V.P) ii) B i to¡n gi¡ trà bi¶n (B.V.P) B i to¡n gi¡ trà ban ¦u th÷íng ÷ñc gåi l  b i to¡n Cauchy. Vîi b i to¡n gi¡ trà bi¶n: n¸u i·u ki»n bi¶n câ d¤ng B(u) = u tr¶n ∂Ω th¼ b i to¡n ÷ñc gåi l  b i to¡n bi¶n Dirichlet; n¸u i·u ki»n bi¶n câ d¤ng B(u) = ∇u · n vîi n l  v²c tì ph¡p tuy¸n ìn và ngo i tr¶n ∂Ω th¼ b i to¡n ÷ñc gåi l  b i to¡n bi¶n Neumann; n¸u i·u ki»n câ d¤ng B(u) = λu + µ∇ · n vîi λ, µ l  c¡c h¬ng sè th¼ b i to¡n ÷ñc gåi l  b i to¡n bi¶n Robin hay b i to¡n bi¶n hén hñp. 1.2.1. Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai X²t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai n X aij (x1 , x2 , . . . , xn )uxi xj + F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = 0, i,j=1 9 (1.2) trong â aij = aij v  l  c¡c h m cõa bi¸n x1 , x2 , . . . , xn . Gi£ sû x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . X²t ma trªn A(x) = kaij (x)k. Ta câ thº coi A(x) l  mët ma trªn èi xùng. Ta cè ành iºm x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n ) n o â. Khi â, A(x) l  mët ma trªn h¬ng A(x0 ). Ph÷ìng tr¼nh det (A(x0 ) − λE) = 0, (1.3) trong â E l  ma trªn ìn và, λ l  mët sè thüc, ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa (1.2) t¤i iºm x0 . V  ta câ ành ngh¾a sau ành ngh¾a 1.13 i) Ph÷ìng tr¼nh (1.2) ÷ñc gåi l  thuëc lo¤i eliptic t¤i iºm x0 n¸u t¤i iºm â ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (1.3) câ n nghi»m kh¡c 0 v  còng mët d§u. (Trong tr÷íng hñp n y, d¤ng to n ph÷ìng t÷ìng ùng vîi nâ n X aij (x0 )ti tj i,j=1 l  mët d¤ng x¡c ành d÷ìng ho°c x¡c ành ¥m.) ii) Ph÷ìng tr¼nh (1.2) ÷ñc gåi l  thuëc lo¤i hypecbolic t¤i iºm x0 n¸u t¤i iºm â ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (1.3) câ n nghi»m kh¡c 0 v  thäa m¢n câ (n − 1) nghi»m còng d§u, mët nghi»m cán l¤i kh¡c d§u. iii) Ph÷ìng tr¼nh (1.2) ÷ñc gåi l  thuëc lo¤i parabolic t¤i iºm x0 n¸u t¤i iºm â ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng (1.3) câ n nghi»m, trong â câ mët nghi»m b¬ng 0 v  (n − 1) nghi»m cán l¤i kh¡c 0 v  còng d§u. N¸u nh÷ t¤i måi iºm trong mi·n Ω ⊂ Rn , ph÷ìng tr¼nh (1.2) thuëc còng mët lo¤i th¼ ta nâi r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1.2) thuëc lo¤i â trong Ω. Khi n = 2, ta x²t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai sau a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0. 10 (1.4) Trong tr÷íng hñp n y, ma trªn A câ d¤ng   a(x, y) b(x, y) . A(x, y) =  b(x, y) c(x, y) X²t iºm (x0 , y0 ) ∈ R2 cè ành, ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng câ d¤ng det (A − λE) = (a − λ)(c − λ) − b2 = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0. Do â, ph÷ìng tr¼nh (1.4) t¤i iºm (x0 , y0 ) ÷ñc gåi l  i) thuëc lo¤i elliptic n¸u t¤i iºm â b2 − ac < 0, ii) thuëc lo¤i hypecbolic n¸u t¤i iºm â b2 − ac > 0, iii) thuëc lo¤i parabolic n¸u t¤i iºm â b2 − ac = 0. Chó þ r¬ng, b¬ng ph²p êi bi¸n ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) ta câ thº ÷a ph÷ìng tr¼nh thuëc tøng lo¤i v· c¡c ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng °c bi»t n o â m  ta gåi l  c¡c d¤ng ch½nh t­c. 1.2.2. M°t °c tr÷ng. B i to¡n Cauchy vîi dú ki»n cho tr¶n m°t °c tr÷ng X²t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai n X aij (x)uxi xj + F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = 0. (1.5) i,j=1 T÷ìng ùng vîi nâ ta thi¸t lªp ph÷ìng tr¼nh n X aij (x)ωxi ωxj = 0. i,j=1 11 (1.6) Ph÷ìng tr¼nh (1.6) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh c¡c m°t °c tr÷ng (hay ph÷ìng tr¼nh c¡c ÷íng °c tr÷ng khi n = 2). M°t S ÷ñc gåi l  m°t °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) n¸u ph÷ìng tr¼nh cõa nâ câ thº vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng ω(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, (1.7) trong â h m ω(x1 , x2 , . . . , xn ) tr¶n m°t S thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.6) v  Pn 2 i=1 ωxi 6= 0. Khi â, ta câ t½nh ch§t sau ành lþ 1.4 C¡c m°t °c tr÷ng b§t bi¸n qua c¡c ph²p êi bi¸n sè. º t¼m hiºu v· b i to¡n Cauchy vîi dú ki»n cho tr¶n m°t °c tr÷ng, ta x²t S l  mët m°t trìn trong khæng gian Rn . T¤i méi iºm x ∈ S , x²t mët h÷îng λ n o §y, khæng ti¸p xóc vîi m°t S . B i to¡n Cauchy cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) l  b i to¡n sau: Trong l¥n cªn m°t S , t¼m mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) thäa m¢n c¡c i·u ki»n  uS = ϕ(x)  ∂u  = ψ(x), ∂λ  (1.8) (1.9) S trong â ϕ(x), ψ(x) l  c¡c h m cho tr÷îc tr¶n m°t S thäa m¢n gi£ thi¸t: ϕ(x) l  mët h m kh£ vi li¶n töc, ψ(x) l  mët h m li¶n töc tr¶n S . C¡c h m ϕ(x), ψ(x) ÷ñc gåi l  c¡c dú ki»n Cauchy, m°t S gåi l  m°t mang dú ki»n Cauchy hay gåi t­t l  m°t Cauchy. Ta câ thº chùng minh c¡c t½nh ch§t sau (xem [1]) 1. Bi¸t c¡c dú ki»n Cauchy, câ thº t¼m t§t c£ c¡c ¤o h m ri¶ng c§p mët cõa nghi»m ð tr¶n m°t Cauchy. 2. Tr¶n m°t °c tr÷ng, c¡c dú ki»n Cauchy phö thuëc l¨n nhau, tùc l  èi vîi b i to¡n Cauchy cho tr¶n m°t °c tr÷ng, c¡c dú ki»n Cauchy khæng thº cho mët c¡ch tòy þ. 12 3. M°t °c tr÷ng l  m°t "truy·n c¡c gi¡n o¤n" cõa c¡c ¤o h m c§p cao cõa nghi»m. 1.2.3. Sü phö thuëc li¶n töc Tr¶n thüc t¸, khi ta i gi£i c¡c b i to¡n vªt lþ th÷íng d¨n ¸n sai sè. C¡c sai sè ph¡t sinh tø vi»c o ¤c c¡c dú ki»n cho tr÷îc nh÷ i·u ki»n ban ¦u, i·u ki»n bi¶n, lüc t¡c ëng, mi·n vªt lþ,... ho°c câ thº l  sai sè trong qu¡ tr¼nh t½nh to¡n. C¥u häi ÷ñc °t ra l  c¡c sai sè n y câ £nh h÷ðng nh÷ th¸ n o ¸n nghi»m cõa b i to¡n. ¥y l  sü quan t¥m v· sü phö thuëc li¶n töc hay têng qu¡t hìn l  sü ên ành cõa nghi»m. Vîi c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh, chóng ta th÷íng quan t¥m ¸n sü phö thuëc li¶n töc theo ngh¾a Hölder v o c¡c dú ki»n. Kh¡i ni»m n y ÷ñc ÷a ra bði John v o n«m 1960. X²t b i to¡n câ tªp nghi»m l  U , tªp c¡c dú ki»n l  F v  A l  ¡nh x¤ tø F v o U . Gi£ sû, c¡c nghi»m cõa b i to¡n ÷ñc x¡c ành tr¶n tªp con R ⊂ U v  c¡c dú ki»n x¡c ành tr¶n tªp G ⊂ F thäa m¢n G, R l  c¡c khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n vîi k · kG , k · kR l  c¡c chu©n t÷ìng ùng trong khæng gian G v  R. Vîi méi tªp con S cõa R vîi chu©n k · kS , n¸u u1 , u2 ∈ U v  f1 , f2 ∈ F thäa m¢n u1 = Af1 v  u2 = Af2 , ta nâi ¡nh x¤ A l  li¶n töc Hölder t¤i f1 n¸u v  ch¿ n¸u sup ku1 − u2 kS < M εα , u2 ∈S n¸u kf1 − f2 kG < ε, trong â M, α l  c¡c h¬ng sè d÷ìng phö thuëc v o U v  S . Vîi c¡c b i to¡n vªt lþ, chóng ta °t  R = {u(t) ∈ U t ∈ [0, T )}, vîi [0, T ) ch¿ kho£ng thíi gian,  S = {u(t) ∈ U  t ∈ [0, T1 )}, T1 ≤ T v   G = {f ∈ F  ∃u ∈ U thäa m¢n u(0) = f }. 13 Nghi»m u1 (·, t) ÷ñc gåi l  ên ành Hölder trong kho£ng t ∈ [0, T ) n¸u v  ch¿ n¸u vîi ε > 0 cho tr÷îc, vîi måi u(·, 0) ∈ F thäa m¢n ku1 (·, 0) − u2 (·, 0)k0 < ε th¼ sup ku1 (·, t) − u2 (·, t)kt < Cεα , 0≤t≤T1 0 vîi måi x ∈ [x1 , x2 ] v  thäa m¢n (1.10) f (x) = ln F (x) l  h m lçi. 00 V¼ f (x) l  h m lçi n¶n ta câ f (x) ≥ 0, vîi måi x ∈ [x1 , x2 ]. Do â, ta câ d2 [ln F (x)] dx2 ≥ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ]. M  ta l¤i câ 00 F (x)F (x) − [F 0 (x)[2 d2 [ln F (x)] dx2 = F 2 (x) 14 ≥ 0. Suy ra 00 F (x)F (x) − [F 0 (x)]2 ≥ 0, ∀x ∈ [x1 , x2 ]. (1.11) M°t kh¡c, v¼ f (x) = ln F (x) l  h m lçi n¶n theo b§t ¯ng thùc (1.1) ta câ 0 ln F (x) ≥ ln F (x1 ) + [ln F (x)] (x1 )(x − x1 ) F 0 (x1 ) = ln F (x1 ) + (x − x1 ) F (x1 )   F 0 (x )  1 = ln F (x1 ) · exp (x − x1 ) . F (x1 ) Hay ta câ F (x) ≥ F (x1 ) · exp  F 0 (x ) 1 F (x1 )  (x − x1 ) , ∀x ∈ [x1 , x2 ]. (1.12) V  ta công câ ln F (x) ≤ ln F (x1 ) + 1 = x2 − x1 ln F (x2 ) − ln F (x1 ) (x − x1 ) x2 − x2 [ln F (x1 )(x2 − x1 ) + ln F (x2 )(x − x1 ) − ln F (x1 )(x − x1 )] 1 [(x2 − x) ln F (x1 ) + (x − x1 ) ln F (x2 )] x2 − x1 h x−x1 i x2 −x x2 −x1 x2 −x1 . = ln F (x1 ) · F (x2 ) = Do â x2 −x x−x1 F (x) ≤ F (x1 ) x2 −x1 · F (x2 ) x2 −x1 , ∀x ∈ [x1 , x2 ]. (1.13) Tø (1.12) v  (1.13), vîi måi x ∈ [x1 , x2 ] ta ÷ñc   F 0 (x ) x2 −x x−x1 1 (x − x1 ) ≤ F (x) ≤ F (x1 ) x2 −x1 · F (x2 ) x2 −x1 . F (x1 ). exp F (x1 ) (1.14) Cæng thùc (1.14) cho ta giîi h¤n tr¶n v  giîi h¤n d÷îi cõa mët h m lçi lægarit. ¥y l  cæng thùc quan trång ÷ñc sû döng r§t nhi·u trong c¡c ¡nh gi¡ ð Ch÷ìng 2. 15 Trong ph¦n ti¸p theo, chóng tæi tr¼nh b y mët mð rëng cõa b§t ¯ng thùc (1.11). Gi£ sû h m F (x) > 0 vîi måi x ∈ [x1 , x2 ] v  thäa m¢n b§t ¯ng thùc 00 F (x)F (x) − [F 0 (x)]2 ≥ −a1 F (x)F 0 (x) − a2 F 2 (x) (1.15) vîi a1 , a2 l  c¡c h¬ng sè. Khi â, vîi måi x ∈ [x1 , x2 ] ta câ 00 F (x)F (x) − [F 0 (x)]2 + a1 F (x) · F 0 (x) + a2 F 2 (x) F 2 (x) ≥ 0. Hay 00 F (x)F (x) − [F 0 (x)]2 F 0 (x) + a1 F 2 (x) F (x) + a2 ≥ 0. Suy ra 00 [ln F (x)] + a1 [ln F (x)]0 + a2 ≥ 0. (1.16) Gi£ sû a1 6= 0, ta °t σ = e−a1 x , ∀x ∈ [x1 , x2 ]. X²t h m a2  2 ln F (σ)σ −a2 /a1 = ln F (σ) − 2 ln σ. a1 Ta câ 2 d ln F (σ)σ −a2 /a1
dσ 0 = ln F (σ) ·   − 1 a1 σ − a2 a21 σ . Suy ra  2 d2 F (σ)σ −a2 /a1 dσ 2  00 = ln F (σ) · = 1 h a21 σ 2 1 a2  0 1 + ln F (σ) · + a21 σ 2 a1 σ 2 a21 σ 2 ln F (σ)
00
0 i + a1 ln F (σ) + a2 . Theo b§t ¯ng thùc (1.16) ta câ  00  0 ln F (σ) + a1 ln F (σ) + a2 ≥ 0, 16 ∀σ ∈ [σ1 , σ2 ], trong â, σ1 = e−a1 x1 , σ2 = e−a1 x2 . Do â, ta nhªn ÷ñc h
i −a2 /a21 2 d ln F (σ) · σ ≥ 0, ∀σ ∈ [σ1 , σ2 ]. dσ 2 (1.17) Theo ¡nh gi¡ tr¶n cõa b§t ¯ng thùc (1.14) ta câ F (σ)σ −a2 /a21 h ≤ F (σ1 )σ1 −σ i σσ2−σ 2 1 · h −a /a2 F (σ2 )σ2 2 1 1 i σσ−σ −σ 2 1 . Ta °t δ := e−a1 x2 − e−a1 x σ2 − σ = σ2 − σ1 e−a1 x2 − e−a1 x1 . Khi â, ta ÷ñc σ − σ1 σ2 − σ1 e−a1 x − e−a1 x1 = e−a1 x2 − e−a1 x1 = 1 − δ. Do â, ta câ iδ h h i1−δ 2 −a /a2 F (σ)σ −a2 /a1 ≤ F (σ1 )σ1 · F (σ2 )σ2 2 1 . V¼ σ = e−a1 x n¶n ta câ F (e −a1 x a2 x/a1 )e h ≤ F (e −a1 x1 )e a2 x1 /a1 iδ h i1−δ −a1 x2 a2 x2 /a1 · F (e )e . Suy ra F (x)e a2 x/a1 h ≤ F (x1 )e a2 x1 /a1 iδ h i1−δ a2 x2 /a1 · F (x2 )e . Vªy, ta thu ÷ñc −a2 x/a1 F (x) ≤ e h · F (x1 )e a2 x1 /a1 i1−δ iδ h a2 x2 /a1 · F (x2 )e , ∀x ∈ [x1 , x2 ]. (1.18) M°t kh¡c, theo ¡nh gi¡ d÷îi cõa b§t ¯ng thùc (1.14), ta câ  h i0   −a2 /a21   F (σ)σ (σ1 ) −a2 /a21 −a2 /a21 (σ − σ1 ) . F (σ)σ ≥ F (σ1 )σ1 · exp 2     F (σ1 )σ1−a2 /a1 17