Tài liệu Về phân tích đa thức hai biến thành nhân tử

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN ĐỨC HẢI VỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC HAI BIẾN THÀNH NHÂN TỬ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Ngô Thị Ngoan THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sơ đồ Newton và đa diện Newton . . . . . . . . . . . . 3 3 5 2 Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức 2.1 Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Đa giác không phân tích nguyên được và tính bất khả quy tuyệt đối của đa thức hai biến . . . . . . . . . . . . 12 12 3 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử 3.1 Sự phân tích đa thức hai biến thành nhân tử . . . . . . 3.2 Một số ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 20 29 Tài liệu tham khảo 37 16 ii Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Thị Ngoan. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K11B; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu và Phát triển giáo dục Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11B đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019 Tác giả Nguyễn Đức Hải 1 Mở đầu Các bài toán về đa thức bất khả quy và bài toán phân tích một đa thức thành các nhân tử đã được đưa vào giảng dạy ngay trong chương trình toán phổ thông. Việc phân tích đa thức thành nhân tử cho phép học sinh chuyển việc giải một phương trình đại số về giải các phương trình có bậc thấp hơn. Các tiêu chuẩn để xét tính bất khả quy của đa thức cũng luôn được sự quan tâm rất lớn của các nhà toán học từ rất lâu. Chúng ta biết tiêu chuẩn Eisenstein là một tiêu chuẩn khá hữu hiệu để kiểm tra một đa thức đã cho là bất khả quy. Nhắc lại rằng, cho R là một vành nhân tử hóa và f = f0 + f1 X + . . . + fn X n ∈ R[X] là đa thức có các hệ tử f0 , f1 , . . . , fn nguyên tố cùng nhau. Nếu tồn tại một phần tử nguyên tố p ∈ R sao cho trừ hạng tử cao nhất fn các hạng tử còn lại của f đều chia hết cho p và f0 không chia hết cho p2 , thế thì f bất khả quy trong R[X]. Tiêu chuẩn này cho ta một điều kiện đơn giản để kiểm tra một đa thức bất khả quy. Những năm qua, nhiều nhà toán học đã không ngừng mở rộng, tổng quát hóa tiêu chuẩn này. Đặc biệt là việc sử dụng các yếu tố hình học thông qua Sơ đồ Newton và Đa giác Newton để đưa ra những tiêu chuẩn rất hiệu quả cho việc kiểm tra tính bất khả quy của đa thức. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ bắt đầu bằng việc giới thiệu phương pháp sử dụng sơ đồ Newton của đa thức. Nó cho ta khẳng định tính bất khả quy của một lớp khá rộng các đa thức dựa vào đặc điểm của sơ đồ Newton của chúng thể hiện bởi tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas và ta sẽ thấy tiêu chuẩn Eisenstein quen thuộc là một trường hợp đặc biệt. Sau đó, bằng phương pháp sử dụng đa giác Newton, chúng tôi trình bày hai 2 nội dung: (1) Xét tính bất khả quy của đa thức hai biến qua đa giác Newton. (2) Xét sự phân tích đa thức hai biến với hệ số nguyên thành nhân tử. Chúng ta sẽ thu được các kết quả rất thú vị về tính bất khả quy của đa thức hai biến thông qua đặc điểm không phân tích nguyên được của đa giác Newton của nó. Thông qua việc nhận diện các đoạn thẳng không phân tích nguyên được, tam giác không phân tích nguyên được sẽ cho ta một số lớp đa thức hai biến bất khả quy trên một trường tùy ý. Cũng sử dụng công cụ đa giác Newton của đa thức, ta thu được thông tin chính xác về sự phân tích đa thức hai biến hệ số nguyên thành nhân tử. Đó là, đa thức f (x, y) ∈ Z[x, y] có nhân tử đa thức không tầm thường khi và chỉ khi dàn các nút của đa giác Newton của f có thể được phủ bởi một siêu phủ phù hợp. Từ cách chọn siêu phủ của đa giác Newton, sẽ cho ta sự phân tích đa thức thành nhân tử. Nội dung luận văn chia làm 3 chương. Chương 1 ngoài một số kiến thức chuẩn bị về đa thức, đa thức bất khả quy, chương này còn trình bày các khái niệm sơ đồ Newton của đa thức; một số khái niệm và tính chất về tập lồi trong Rn ; về đa diện nguyên, đa diện nguyên không phân tích nguyên được và nhận diện một số đa diện nguyên trong R2 (gọi là đa giác) không phân tích nguyên được. Nội dung chính của luận văn nằm trong Chương 2 và Chương 3. Chương 2 tập trung trình bày một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức dựa vào sơ đồ Newton và đa giác Newton của đa thức. Chương 3 trình bày điều kiện cần và đủ để một đa thức hai biến với hệ số nguyên có nhân tử đa thức nguyên không tầm thường cùng với một số ví dụ áp dụng. 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về đa thức, sơ đồ Newton của đa thức, đa diện Newton, đa giác Newton của đa thức. Tài liệu tham khảo chính của chương là [1], [2], [3], [5] và [6]. 1.1 Đa thức bất khả quy Định nghĩa 1.1.1. Cho V là một vành giao hoán có đơn vị. Một đa thức một biến với hệ số trên V có thể được viết dưới dạng f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , trong đó a0 , . . . , an ∈ V và x là một ký hiệu gọi là biến (hay biến không xác định). Ta cũng viết đa thức này ∞ P P dưới dạng f (x) = ai xi hoặc f (x) = ai xi , trong đó ai = 0 với mọi i=0 P P i > n. Hai đa thức ai xi và bi xi là bằng nhau nếu ai = bi với mọi i. Ký hiệu V [x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên V . Cho f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ∈ V [x]. Ta gọi a0 là hệ số tự do của f (x). Nếu an 6= 0 thì n được gọi là bậc của f (x) và được ký hiệu là degf (x). Trong trường hợp này, an được gọi là hệ số cao nhất của f (x). Nếu an = 1 thì f (x) được gọi là đa thức dạng chuẩn. Nếu f (x) = a ∈ V thì f (x) được gọi là đa thức hằng. Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính. P P i Định nghĩa 1.1.2. Với hai đa thức f (x) = ai xi và g(x) = bi x trong V [x], định nghĩa f (x) + g(x) = X (ai + bi )xi . 4 f (x)g(x) = X k k c x , trong đó ck = X ai bj với mọi k. Khi đó V [x] là vành giao hoán với phép cộng và nhân đa thức. Vành V [x] được gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong V . Phần tử không của vành đa thức là đa thức 0, phần tử đơn vị là đa thức 1. Mỗi bộ n số nguyên không âm i = (i1 , . . . , in ) ∈ Nn0 cho ta một đơn thức xi11 . . . xinn của n biến x1 , . . . , xn với bậc i1 + . . . + in . Chúng ta thường viết đơn thức này dưới dạng xi . Với j = (j1 , . . . , jn ) ∈ Nn0 , hai đơn thức xi và xj là bằng nhau nếu i = j, tức là ik = jk với mọi k . Một từ là một biểu thức có dạng axi với a ∈ V (được gọi là hệ số của từ) và xi là một đơn thức được gọi là đơn thức của từ. Hai từ được gọi là đồng dạng nếu hai đơn thức của chúng bằng nhau. Hai từ được gọi là bằng nhau nếu chúng đồng dạng và có cùng hệ số. Một đa thức là một tổng của hữu hạn từ. Định nghĩa 1.1.3. Ký hiệu V [x1 , . . . , xn ] là tập hợp các đa thức n biến x1 , . . . , x2 với hệ số trong V . Với i, j ∈ Nn0 , trong đó i = (i1 , . . . , in ) và j = (j1 , . . . , jn ), ta định nghĩa i + j = (i1 + j1 , . . . , in + jn ). Khi đó V [x1 , . . . , xn ] là một vành với phép cộng X X X (ai + bi ) xi bi xi = ai xi + i∈Nn 0 i∈Nn 0 i∈Nn 0 và phép nhân X ai x i i∈Nn 0 với mọi đa thức X bi xi = i∈Nn 0 P ai xi , i∈Nn 0 X k∈Nn 0 P ck xk , ck = X ai b j i+j=k bi xi ∈ V [x1 , . . . , xn ]. Vành V [x1 , . . . , xn ] i∈Nn 0 được gọi là vành đa thức n biến x1 , . . . , xn với hệ số trong V . Định nghĩa 1.1.4. Đa thức khác không, không khả nghịch thuộc V [x1 , . . . , xn ] được gọi là đa thức bất khả quy nếu nó không có ước thực sự trong vành V [x1 , . . . , xn ], tức là nếu g là ước của f thì g khả nghịch hoặc f cũng là ước của g . Chú ý rằng đa thức f (x) với hệ số trên một trường F là bất khả quy 5 nếu và chỉ nếu degf (x) > 0 và f (x) không phân tích được thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn. Định nghĩa 1.1.5. Một đa thức trên trường F được gọi là bất khả quy tuyệt đối trên F nếu nó bất khả quy trên mọi mở rộng đại số của F . 1.2 Sơ đồ Newton và đa diện Newton Cho R là một vành nhân tử hóa và f = f0 + f1 X + . . . + fn X n ∈ R[X] với f0 fn 6= 0. Cho p ∈ R là một phần tử nguyên tố cho trước, ta biểu diễn mỗi hệ số khác 0 của f dưới dạng fi = ai pαi trong đó ai là phần tử của R không chia hết cho p. Với mỗi hạng tử khác không của f , ta lấy một điểm tương ứng trong mặt phẳng với tọa độ (i, αi ). Tập các điểm này sẽ cho ta một sơ đồ Newton của f ứng với phần tử nguyên tố p. Hình 1.1 Đặt P0 = (0, α0 ) và P1 = (i1 , αi1 ) trong đó i1 là số nguyên lớn nhất sao cho không có điểm (i, αi ) nào nằm phía dưới đường thẳng P0 P1 . Sau đó, lấy P2 = (i2 , αi2 ) trong đó i2 là số nguyên lớn nhất sao cho không có điểm (i, αi ) nào nằm phía dưới đường thẳng P1 P2 . Cứ tiếp tục như vậy, đoạn thẳng cuối ta nhận được có dạng Pr−1 Pr trong đó Pr = (n, αn ). Nếu một số đoạn của đường gấp khúc P0 P1 . . . Pr đi qua những điểm có 6 tọa độ nguyên, thì ta thêm vào tất cả các điểm có tọa độ nguyên đó và được đường gấp khúc mới Q0 Q1 . . . Qr+s trong đó Q0 = P0 , Qr+s = Pr . Định nghĩa 1.2.1. Đường gấp khúc Q0 Q1 . . . Qr+s được xây dựng như trên được gọi là Sơ đồ Newton của f ứng với phần tử nguyên tố p. Các đoạn Pl Pl+1 và Qi Qi+1 tương ứng được gọi là các cạnh và các đoạn của −−−−→ sơ đồ và các vectơ Qi Qi+1 sẽ được gọi là vectơ đoạn của sơ đồ Newton. Trước khi trình bày về khái niệm đa diện Newton của đa thức ta sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất về tập lồi và đa diện lồi. Ta xét Rn là không gian vectơ thực, là không gian affine thực, hoặc là không gian Eulid với tích vô hướng hx, yi = ξ1 η1 + . . . + ξn ηn với x = (ξ1 , . . . , ξn ) , y = (η1 , . . . , ηn ) , và khoảng cách giữa hai điểm x và y được xác định bởi kx − yk2 = hx − y, x − yi. Định nghĩa 1.2.2. Một tập C ⊆ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C, x 6= y ta có đoạn thẳng [x, y] := {λx + (1 − λ)y | 0 ≤ λ ≤ 1} chứa trong C . Ta nói x là một tổ hợp lồi của x1 , . . . , xr ∈ Rn nếu tồn tại λ1 , . . . , λr ∈ R sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn (1) x = λ1 x1 + . . . + λr xr , (2) λ1 + . . . + λr = 1, (3) λ1 ≥ 0, . . . , λr ≥ 0. Chú ý rằng, nếu bỏ điều kiện (3) ta gọi x là một tổ hợp affine của x1 , . . . , xr , khi đó x, x1 , . . . , xr được gọi là phụ thuộc affine. Nếu x, x1 , . . . , xr không phụ thuộc affine ta nói chúng độc lập affine. Định nghĩa 1.2.3. Tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của một tập S ⊆ Rn được gọi là bao lồi của S , ký hiệu conv(S). ( t ) t X X conv(S) = λi xi | xi ∈ S, λi ≥ 0; λi = 1 . i=1 i=1 7 Khi S = {x1 , . . . , xk } là một tập hữu hạn, ta gọi conv(S) là một đa diện và cũng sử dụng ký hiệu conv(x1 , . . . , xk ). Một điểm x của đa diện được gọi là đỉnh nếu nó không thuộc bất kỳ một đoạn tạo bởi hai điểm phân biệt nào khác x của đa diện. Ta có một đa diện luôn là bao lồi của các đỉnh của nó và ngược lại mỗi đỉnh của bao lồi conv(x1 , . . . , xk ) đều là một trong số x1 , . . . , xk . Chú ý 1.2.4. Với tập lồi C trong Rn , ta gọi số chiều của bao affine aff(C) là số chiều của C và ký hiệu dimC . Rõ ràng nếu {x1 , . . . , xr } độc lập affine thì dim(conv(x1 , . . . , xr )) = r − 1. Cho C là một tập lồi trong Rn và a0 ∈ C . Một siêu phẳng H = {x ∈ Rn | α · x − β = 0} , α ∈ Rn , β ∈ R đi qua a0 , được gọi là một siêu phẳng tựa của C tại a0 nếu với mọi α ∈ C ta đều có α · a − β ≤ 0. Khi đó ta còn nói một cách ngắn gọn H là siêu phẳng tựa của C . Cho P là một đa diện trong Rn , một mặt của P được định nghĩa là giao của P với một siêu phẳng tựa của P . Một đỉnh của P là một mặt có chiều 0, mặt có chiều 1 là một đoạn thẳng mà ta gọi là cạnh của P . Định nghĩa 1.2.5. Cho A và B là hai tập con của Rn , tập hợp A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} được gọi là tổng Minkowski của A và B . Ta thấy rằng tổng Minkowski của hai tập lồi cũng là một tập lồi. Ta có bổ đề sau đây. Bổ đề 1.2.6. Giả sử A = conv(a1 , . . . , an ), B = conv(b1 , . . . , bm ), khi đó ta có A + B = conv ({ai + bj | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}) . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh bao hàm “ ⊆ ”. Lấy phần tử v = n m P P v1 +v2 ∈ A+B , khi đó v1 = λi ai , v2 = µj bj , λi , µj ≥ 0 với mọi i, j i=1 j=1 8 và n P λi = m P µj = 1. Sắp xếp lại tập điểm {λ1 , λ2 + λ1 , . . . , λn + . . . + λ1 } j=1 i=1 ∪ {µ1 , µ2 + µ1 , . . . , µm + . . . + µ1 } theo thứ tự tăng dần ta được {γ1 , γ1 + γ2 , . . . , γ1 + . . . + γt } , trong đó 0 ≤ γk ≤ 1 và t P γk = 1. k=1 Với mỗi 1 ≤ k ≤ t, ta xác định 1 ≤ k1 ≤ n và 1 ≤ k2 ≤ m thỏa mãn λk1 −1 + . . . + λ1 ≤ γk−1 + . . . + γ1 ≤ γk + γk−1 + . . . + γ1 ≤ λk1 + λk1 −1 + . . . + λ1 , βk2 −1 + . . . + β1 ≤ γk−1 + . . . + γ1 ≤ γk + γk−1 + . . . + γ1 ≤ βk2 + βk2 −1 + . . . + β1 . Khi đó ta có t X v= γk (ak1 + bk2 ) ∈ conv ({ai + bj | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}) . k=1 Bổ đề trên cho ta kết luận mỗi đỉnh của đa diện A + B đều là tổng của các đỉnh của A và của B . Một điểm tùy ý thuộc Rn được gọi là điểm nguyên nếu mọi tọa độ của nó đều là số nguyên. Một đa diện trong Rn được gọi là đa diện nguyên nếu mọi đỉnh của nó đều là các điểm nguyên. Định nghĩa 1.2.7. Ta nói rằng đa diện nguyên C có thể phân tích nguyên được nếu tồn tại đa diện nguyên A và B đều chứa ít nhất hai điểm sao cho C = A + B . Khi đó A và B được gọi là các đa diện thành phần của C . Ngược lại, C được gọi là không phân tích nguyên được hay ngắn gọn là không phân tích được. Mỗi đoạn thẳng conv(v1 , v2 ) ký hiệu đơn giản là v1 v2 . Với mỗi điểm nguyên (hoặc vectơ với tọa độ nguyên) v = (a1 , ..., an ), ta ký hiệu UCLN(v) = UCLN(a1 , ..., an ) là ước chung lớn nhất của a1 , ..., an . Tương tự ta ký hiệu UCLN(v1 , ..., vk ) = UCLN(UCLN(v1 ), ..., UCLN(vk )) 9 là ước chung lớn nhất của tất cả các tọa độ của các điểm nguyên (hoặc các vectơ với tọa độ nguyên) v1 , v2 , ..., vk . Ta cũng nhận xét thêm rằng với hai điểm nguyên v1 , v2 ta luôn có UCLN (v1 , v2 ) = UCLN (v1 , v2 − tv1 ) , với mọi t ∈ Z. Mệnh đề sau cho ta đếm được số điểm nguyên trên một đoạn thẳng trong Rn . Mệnh đề 1.2.8. Cho v0 , v1 là hai điểm nguyên phân biệt trong Rn . Khi đó số các điểm nguyên trên đoạn thẳng v0 v1 kể cả v0 và v1 đúng bằng UCLN(v0 − v1 ) + 1. Ngoài ra, nếu v2 ∈ v0 v1 là một điểm nguyên thì |v2 − v0 | UCL N (v2 − v0 ) = , |v1 − v0 | UCL N (v1 − v0 ) trong đó |v| ký hiệu cho chuẩn Euclid của vectơ v trong Rn . Chứng minh. Trừ v0 và v1 ra, còn lại tất cả các điểm của đoạn v0 v1 đều có dạng v = v0 + t (v1 − v0 ) , 0 < t < 1. Vì v0 là điểm nguyên, nên v là điểm nguyên nếu và chỉ nếu t(v1 − v0 ) là nguyên. Nhưng tất cả các tọa độ của v1 − v0 đều nguyên vì vậy t phải là số hữu tỷ. Đặt t= i với 0 < i < k và UCLN(i, k) = 1. k Ta nhận thấy t(v1 −v0 ) là nguyên nếu và chỉ nếu k là ước của UCLN(v1 − v0 ). Vì vậy nếu v là một điểm nguyên khác v0 và v1 thì t là và chỉ là các số i t = ,0 < i < d d trong đó d = UCLN (v1 − v0 ) ≥ 1. Rõ ràng số các lựa chọn của i là d−1. Vậy tổng số các điểm nguyên v của đoạn v0 v1 là (d − 1) + 2 = d + 1. i Ta giả sử v2 = v0 + (v1 − v0 ) là một điểm nguyên bất kì trên v0 v1 d   v1 − v0 v1 − v0 với 0 ≤ i ≤ d. Khi đó là nguyên và UCLN = 1, nên d d 10  v1 − v0 UCLN (v2 − v0 ) = UCLN i = i. d Đồng thời      v1 − v0   v1 − v0   , |v1 − v0 | = d   |v2 − v0 | = i   d . d   Từ các đẳng thức trên ta có |v2 − v0 | i UCLN (v2 − v0 ) = = . |v1 − v0 | d UCLN (v1 − v0 ) Ta giới thiệu kết quả sau của S. Gao [3]. Kết quả này sẽ cho phép ta nhận biết một số đa diện nguyên không phân tích được. Định lý 1.2.9 ([3], Định lý 4.2). Cho Q là một đa diện nguyên trong Rn chứa trong siêu phẳng H và v ∈ Rn là một điểm nguyên nằm ngoài H . Giả sử v1 , v2 , . . . , vk là tất cả các đỉnh của Q. Khi đó đa diện conv(v, Q) là không phân tích được nếu và chỉ nếu UCLN (v − v1 , v − v2 , . . . , v − vk ) = 1. Ví dụ 1.2.10. Đa thức f = x3 + y 5 + 2z 3 + xyz + 4 có đa diện Newton Pf = conv((3, 0, 0), (0, 5, 0), (0, 0, 3), (1, 1, 1), (0, 0, 0)) là một tứ diện biểu diễn như Hình 1.2. Hình 1.2 11 Cuối cùng ta trình bày khái niệm đa diện Newton của một đa thức n biến trên một trường. Định nghĩa 1.2.11. Cho F là một trường và X f= fi1 i2 ...in X1i1 X2i2 . . . Xnin ∈ F [X1 , X2 , . . . , Xn ] là một đa thức n biến trên trường F . Ta xét mỗi vectơ lũy thừa (i1 , i2 , . . . , in ) của f như một điểm trong Rn . Đa diện Newton của f , ký hiệu là Pf , là bao lồi trong Rn của tất cả các điểm (i1 , i2 , . . . , in ) mà fi1 i2 ...in 6= 0. Khi f là đa thức hai biến thì Pf nằm trong R2 thì ta gọi Pf là đa giác Newton. 12 Chương 2 Một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức Chương 2 trình bày về một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức, từ đó có thể xét tính bất khả quy của đa thức hai biến dựa vào sơ đồ Newton và đa giác Newton của đa thức. Tài liệu tham khảo chính của chương là [2], [3] và [5]. 2.1 Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas Định lý 2.1.1 (Dumas). Cho R là vành nhân tử hóa và f = gh trong đó f, g, h ∈ R[x]. Khi đó hệ các vectơ đoạn của sơ đồ Newton của f là hợp của hệ vectơ đoạn của các sơ đồ Newton của g và h (sơ đồ Newton của f, g, h ứng với cùng một số nguyên tố p). Chứng minh. Đặt f (x) = n X αi i ai p x , g(x) = i=0 m X βj j bj p x , j=0 h(x) = n−m X ck pγk xk , k=0 trong đó ai , bj , ck không chia hết cho p. Ta lấy một cạnh của sơ đồ Newton của f (Chú ý rằng cạnh Pl Pl+1 có thể gồm vài đoạn của sơ đồ Newton). Giả sử Pl có tọa độ (i− , αi− ) và Pl+1 có tọa độ (i+ , αi+ ). Khi đó độ dốc của đoạn thẳng Pl Pl+1 là M= αi+ − αi− . i+ − i− 13 Đặt αi+ − αi− = At và i+ − i− = It, trong đó t > 0 là ước chung lớn A trong đó (A, I) = 1. nhất của αi+ − αi− và i+ − i− . Khi đó M = I Cạnh Pl Pl+1 của sơ đồ Newton thuộc đường thẳng Iα − Ai = F, trong đó F = Iαi+ − Ai+ = Iαi− − Ai− . Theo giả thiết, tất cả các điểm (i, αi ), i = 0, 1, ..., n đều thuộc hoặc nằm phía trên đường thẳng này, tức là Iαi − Ai ≥ F, trong đó bất đẳng thức chặt với mọi i < i− và i > i+. Số Iαi − Ai được gọi là trọng của đơn thức apα xi trong đó (a, p) = 1. Các số i− và i+ là xác định duy nhất vì ứng với chúng là số mũ nhỏ nhất và lớn nhất của x trong các đơn thức của f mà có trọng nhỏ nhất. Với đa thức g , xét: G = min {Iβj − Aj}, j=0,...,m và xác định j− và j+ là các chỉ số nhỏ nhất và lớn nhất sao cho G = Iβj− − Aj− = Iβj+ − Aj+ . Tương tự, với đa thức h, xét H= min {Iγk − Ak}, k=0,...,n−m xác định k− và k+ là các chỉ số nhỏ nhất và lớn nhất sao cho H = Iγk− − Ak− = Iγk+ − Ak+ . Rõ ràng aj− +k− pαj− +k− xj− +k− = X bj pβj xj

ck pγk xk . (2.1) j+k=j− +k− Trọng của tích hai hạng tử bằng tổng của các trọng của mỗi hạng tử, do đó trọng của hạng tử trong tổng (2.1) có j = j− và k = k− trùng với G + H . Trọng của tất cả các hạng tử khác thực sự lớn hơn G + H (bởi vì các hạng tử khác đều có các chỉ số j < j− hoặc k < k− , chẳng 14 hạn, nếu j < j− thì trọng của bj pβj xj thực sự lớn hơn G còn trọng của ck pγk xk lại không bé hơn H ).

Trọng của bj pβj xj ck pγk xk với j +k = hằng số là tăng theo βj +γk tăng vì I > 0. Trong trường hợp đang xét là j + k = j− + k− và do đó tổng βj + γk là cực tiểu tại j = j− và k = k− . Do đó từ (2.1) ta suy ra trọng của aj− +k− pαj− +k− xj− +k− là


I βj− + γk− − A (j− + k− ) = Iβj− − Aj− + Iγk− − Ak− = G + H Rõ ràng, theo cách chọn j− và k− và do f = gh nên ta có với mỗi i < j− + k− , trọng của ai pαi xi là thực sự lớn hơn G + H , trong khi i ≥ j− + k− trọng của ai pαi xi không nhỏ hơn G + H . Do đó G + H = F và j− + k− = i− . Hoàn toàn tương tự ta chứng minh j+ + k+ = i+ . Vì vậy i+ − i− = (j+ − j− ) + (k+ − k− ). (2.2) Đặc biệt một trong các số j+ − j− và k+ − k− là khác không. Nếu cả j+ − j− và k+ − k− đều khác 0, thì đoạn có điểm cuối là (j− , βj− ) và (j+ , βj+ ) là một cạnh của sơ đồ Newton của g và đoạn có các điểm cuối là (k− , γk− ) và (k+ , γk+ ) là một cạnh của sơ đồ Newton A vì của h. Độ dốc của cả hai đoạn đều là M = I βj+ − βj− A γk − γk− = = + . j+ − j− I k+ − k− Quan hệ (2.2) chỉ ra tổng độ dài của các cạnh với độ dốc M của sơ đồ Newton của g và h trùng với độ dài của cạnh có độ dốc M của sơ đồ Newton của f . Nếu một trong các số j+ − j− và k+ − k− bằng 0, thì sơ đồ Newton của g hoặc h có một cạnh với độ dốc M và độ dài của nó bằng với độ dài của một cạnh của sơ đồ Newton của f và sơ đồ Newton của đa thức còn lại sẽ không có cạnh nào có độ dốc M . Vì vậy, các vectơ cạnh của sơ đồ Newton của f với độ dốc M bằng tổng của các vectơ cạnh của sơ đồ Newton của g và h có cùng độ dốc M . Quan hệ (2.2) cũng chỉ ra rằng nếu có một cạnh trong sơ đồ Newton 15 của g và h có độ dốc M thì sơ đồ Newton của f cũng phải có một cạnh có độ dốc M . Từ đó ta có hệ vectơ đoạn của f là hợp của hệ vectơ đoạn của g và h. Từ định lý trên ta có một số tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức. Định lý 2.1.2 (Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas). Cho R là một vành nhân tử hóa và f = f0 + f1 X + · · · + fn X n ∈ R[X], f0 fn 6= 0. Giả sử f là đa thức nguyên thủy, nghĩa là f0 , f1 , . . . , fn không có ước chung không khả nghịch trong R. Nếu đa giác Newton của f đối với phần tử nguyên tố p ∈ R chỉ là một đoạn thẳng từ (0, m) đến (n, 0) với UCLN(m, n) = 1, thì f là bất khả quy trong R[X]. Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.8, số các điểm nguyên trên đoạn conv((0, m), (n, 0)) bằng UCLN(m, n) + 1 = 2. Vậy sơ đồ Newton của f đối với p chỉ gồm đúng một đoạn. Vậy áp dụng Định lý 2.1.1 ta có f là đa thức bất khả quy. Ví dụ 2.1.3 (Tiêu chuẩn Eisenstein). Cho f = a0 + a1 x + . . . + an xn là đa thức nguyên bản trên một vành nhân tử hóa R. Giả sử tồn tại một phân tử nguyên tố p ∈ R thỏa mãn: (1) an không chia hết cho p, (2) các hệ số a0 , . . . , an−1 chia hết cho p, (3) a0 không chia hết cho p2 . Khi đó f là bất khả quy trên R. Sơ đồ Newton của f gồm đúng một đoạn thẳng từ (0, 1) đến (n, 0). Trong đoạn thẳng này không có điểm nguyên nào khác hai đầu mút. Vậy áp dụng Định lý 2.1.1 ta suy ra f bất khả quy. Cho R = F [Y ] là vành đa thức trên trường F . Khi đó Y là phần tử nguyên tố của R và tiêu chuẩn Eisentein-Dumas có thể áp dụng trong vành R[X] = F [X, Y ]. Ta có hệ quả sau. Hệ quả 2.1.4 (Tiêu chuẩn Eisenstein-Dumas (trường hợp đặc biệt)). Cho F là một trường và f = f0 (y) + f1 (y)x + · · · + fn (y)xn ∈ F [x, y]. 16 Giả sử f0 (y) 6= 0 và fn (y) là hằng số khác không của F . Nếu đa giác Newton của f đối với phần tử nguyên tố Y chỉ là một đoạn thẳng từ (0, m) đến (n, 0) và UCLN(m, n) = 1, thì f là bất khả quy trên F . Ví dụ 2.1.5. Đa thức f = y 3 + 3y 4 x2 + 2y 3 x4 + x5 bất khả quy trên Q vì đa giác Newton của f đối với y là đoạn thẳng nối (0, 3) với (5, 0) như Hình 2.1 và UCLN(3, 5) = 1. Hình 2.1 2.2 Đa giác không phân tích nguyên được và tính bất khả quy tuyệt đối của đa thức hai biến Mệnh đề 2.2.1. Cho F là một trường. Giả sử f (x, y), g(x, y), h(x, y) ∈ F [x, y] với f 6= 0 và f = gh. Khi đó Pf = Pg + Ph . Chứng minh. Ta biết rằng tổng Minkowski của hai đa giác cũng là một đa giác và mỗi đỉnh của đa giác đều là tổng của các đỉnh của đa giác thành phần. Đặt (α, β) ∈ Pf là một đỉnh tùy ý của đa giác Newton của đa thức f (x, y). Tức là đa thức f chứa đơn thức xα y β với hệ số khác không. Ta có f (x, y) = g(x, y)h(x, y) suy ra g(x, y) và h(x, y) chứa các đơn thức xγ y δ và xα−γ y β−δ tương ứng, cả hai đều có hệ số khác không. Các đơn thức này tương ứng với các điểm (γ, δ) ∈ Pg và (α − γ, β − δ) ∈ Ph . Do đó (γ, δ) + (α − γ, β − δ) ∈ Pg + Ph tức là 17 (α + β) ∈ Pg + Ph , như vậy Pf ⊆ Pg + Ph . Ta còn phải chứng minh Pg + Ph ⊆ Pf . Do đa giác Newton là bao lồi các đỉnh của nó, nên ta sẽ chỉ ra rằng bất kỳ đỉnh nào của đa giác Pg + Ph đều nằm trong đa giác Pf . Giả sử v là một đỉnh của Pg + Ph . Vì v ∈ Pg + Ph nên tồn tại các điểm vg ∈ Pg và vh ∈ Ph sao cho v = vg + vh . Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của vg và vh là duy nhất. Giả sử ngược lại, nếu có v = vg + vh = vg0 + vh0 , vg , vg0 ∈ Pg , vh , vh0 ∈ Ph , với vg 6= vg0 và vh 6= vh0 . Đặt v = (x, y), vg = (a, b) và vg0 = (c, d). Khi đó vh = (x − a, y − b) và vh0 = (x − c, y − d). Ta xét điểm vg + vh0 , ta có vg + vh0 ∈ Pg + Ph và vg +vh0 = (a, b)+(x−c, y−d) = (x+a−c, y+b−d) = (x+(a−c), y+(b−d)). Tương tự điểm vg0 + vh ∈ Pg + Ph và vg0 +vh = (c, d)+(x−a, y−b) = (x−a+c, y−b+d) = (x−(a−c), y−(b−d)). Khi đó trung điểm của đoạn thẳng có các đầu mút là vg + vh0 và vg0 + vh là  x + (a − c) + x − (a − c) y + (b − d) + y − (b − d) , 2 2  = (x, y). Nói cách khác trung điểm của đoạn thẳng có nối vg + vh0 và vg0 + vh là điểm v = (x, y). Do đoạn thẳng trên nằm trong Pg + Ph suy ra v không là đỉnh. Vô lý. Do đó, đối với mỗi đỉnh v tùy ý của đa giác Newton Pg + Ph tồn tại duy nhất vg ∈ Pg và vh ∈ Ph sao cho v = vg + vh . Vì v là một đỉnh của Pg + Ph nên ta có vg và vh là đỉnh của Pg và Ph tương ứng. Vì sự tồn tại của vg và vh là duy nhất, nên tồn tại duy nhất một hạng tử của của g(x, y) và một hạng tử của h(x, y) để v là một vectơ lũy thừa trong g(x, y)h(x, y). Do đó v ∈ Pf . Ta đã chỉ ra rằng tất cả các đỉnh của đa giác Pg + Ph nằm trong Pf . Từ đó ta có Pg + P h ⊆ Pf . Nhắc lại rằng, một đa thức trên trường F được gọi là bất khả quy tuyệt đối trên F nếu nó bất khả quy trên mọi mở rộng đại số của F .