Tài liệu Về nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi bốn phần tử

.. TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHAMLIEN PHONXAYYAVONG VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG SINH BỞI BỐN PHẦN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHAMLIEN PHONXAYYAVONG VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG SINH BỞI BỐN PHẦN TỬ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN ĐỖ MINH CHÂU THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với các luận văn trước đây. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn là các nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 18 tháng 9 năm 2020 Người viết luận văn Khamlien PHONXAYYAVONG Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học TS. Trần Đỗ Minh Châu i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành trong khóa 26 đào tạo thạc sỹ của trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Đỗ Minh Châu, giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian và công sức để chỉ bảo hướng dẫn tôi từ những điều nhỏ nhặt nhất tới những vấn đề khó khăn Cô vẫn luôn kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tôi để hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân và gia đình đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình. Thái nguyên, ngày 18 tháng 9 năm 2020 Người viết Luận văn Khamlien PHONXAYYAVONG ii Mục lục 1 Một số khái niệm về nửa nhóm số 1 1.1 Nửa nhóm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Tập Apery và chiều nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Số Frobenius và số giả Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng và hầu đối xứng . . . . . . . . . . . 10 2 Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi bốn phần tử 19 2.1 Biểu diễn của phần tử f + nk với f ∈ P F (H) . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Cấu trúc của ma trận RF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Trường hợp nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi 4 phần tử . . . . . . . . 36 2.4 Kiểu của nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi 4 phần tử . . . . . . . . . . 41 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 iii MỞ ĐẦU Một nửa nhóm số H là một vị nhóm con của N với phép toán cộng sao cho phần bù của H trong N là hữu hạn. Cho H là nửa nhóm số có hệ sinh tối tiểu là {n1 , . . . , ne } và K[H] = K[tn1 , . . . , tne ] là vành nửa nhóm số tương ứng với H, trong đó t là biến, K S là một trường. Ta có thể viết K[H] dưới dạng thương K[H] = của vành đa thức IH S = K[x1 , . . . , xe ] trên iđêan IH với IH là hạt nhân của K-đại số đồng cấu từ S vào K[H], xác định bởi xi 7→ tni . Iđêan IH là iđêan sinh bởi các nhị thức và được gọi là iđêan định nghĩa của K[H]. Trong các nửa nhóm số, lớp nửa nhóm số hầu đối xứng có nhiều tính chất rất thú vị. Chúng là một mở rộng tự nhiên của lớp nửa nhóm số đối xứng và hoàn toàn phân biệt với lớp nửa nhóm số đối xứng (theo Nari [8]). Chú ý rằng, năm 1970, Kunz [6] đã chứng minh rằng H là đối xứng nếu và chỉ nếu K[H] là vành Gorenstein. Sau đó, Barucci và Fröberg [1] đã giới thiệu khái niệm vành hầu Gorenstein (là một mở rộng của vành Gorenstein) và khi áp dụng vào vành nửa nhóm số đã dẫn đến khái niệm nửa nhóm số hầu đối xứng. Lý thuyết về vành hầu Gorenstein tiếp tục được nghiên cứu sâu bởi S. Goto, Takahashi và Taniguchi [2] và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Mục đích của luận văn là tìm hiểu về nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi 4 phần tử. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày chi tiết một số kết quả trong bài báo: J. Herzog, K. Watanabe (2019), Almost symmetric numerical semigroups, Semigroup Forum 98, 589–630. Nội dung của luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản về nửa nhóm số bao gồm khái niệm nửa nhóm số, tập Apery, chiều nhúng, số Frobenius, số giả Frobenius, các nửa nhóm số đối 1 xứng, số giả đối xứng, hầu đối xứng. Chương 2 là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kết quả về nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi 4 phần tử. Cho H = hn1 , n2 , n3 , n4 i là nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi 4 phần tử. Kí hiệu P F (H) là tập các số giả Frobenius của H. Tiết 2.1 tìm hiểu về biểu diễn của các phần tử f + nk , với f ∈ P F (H). (Bổ đề 2.1.8, Bổ đề 2.1.10) Nội dung của tiết này là một chuẩn bị quan trọng cho các tiết sau. Tiết 2.2 trình bày cấu trúc của ma trận RF (f ), với f ∈ P F (H). (Hệ quả 2.2.10, Mệnh đề 2.2.13, Mệnh đề 2.2.15). Tiết 2.3 trình bày cấu trúc của ma trận RF (F (H)/2) khi H là nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi 4 phần tử. Chú ý rằng mỗi nửa nhóm số giả đối xứng đều là hầu đối xứng (Định lí 2.3.3, Định lí 2.3.4). Tiết 2.4 trình bày lại chứng chi tiết kết quả: kiểu của nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi 4 phần tử không vượt quá 3. 2 Chương 1 Một số khái niệm về nửa nhóm số Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho việc theo dõi chương sau như khái niệm của nửa nhóm số, tập Apery, chiều nhúng, số Frobenius, số giả Frobenius, nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng và hầu đối xứng. 1.1 Nửa nhóm số Mỗi nửa nhóm số đều là một vị nhóm. Vì thế để nghiên cứu các nửa nhóm số trước hết ta nhắc lại các khái niệm và tính chất cơ bản của vị nhóm. Định nghĩa 1.1.1. Một nửa nhóm là một cặp (H, +) với H là một tập hợp và + là một phép toán hai ngôi trên H thỏa mãn tính chất kết hợp. Từ đây trở đi, mỗi nửa nhóm H được nhắc đến đều có tính chất giao hoán, nghĩa là a + b = b + a với mọi a, b ∈ H. Để cho tiện ta viết H thay cho (H, +). Định nghĩa 1.1.2. Một nửa nhóm con T của nửa nhóm H là một tập con của H, đóng kín với phép toán hai ngôi trên H. Rõ ràng, giao của các nửa nhóm con của nửa nhóm H là một nửa nhóm con của H. Vì thế khi cho A là một tập con của H, nửa nhóm con nhỏ nhất của H chứa A là giao của tất cả các nửa nhóm con của H chứa A, kí hiệu là hAi , và được gọi là nửa nhóm con sinh bởi A. Ta dễ dàng kiểm tra được  hAi = λ1 a1 + . . . + λn an | n, λ1 , . . . , λn ∈ N \ {0} và a1 , . . . , an ∈ A , trong đó N là tập các số nguyên không âm. Ta nói rằng H sinh bởi A ⊆ H nếu H = hAi . Trong trường hợp này A là hệ sinh của H. Nếu A có hữu hạn phần tử thì ta nói H là hữu hạn sinh. 1 Định nghĩa 1.1.3. Một nửa nhóm M được gọi là vị nhóm nếu nó có phần tử đơn vị, nghĩa là tồn tại một phần tử trong M, được kí hiệu là 0, sao cho 0 + a = a + 0 = a, với mọi a ∈ M. Một tập con N của M được gọi là một vị nhóm con của M nếu nó là nửa nhóm con của M và 0 ∈ N. Từ đây suy ra {0} là một vị nhóm con của M và được gọi là vị nhóm con tầm thường của M. Hoàn toàn giống như nửa nhóm, giao của tất cả các vị nhóm con của một vị nhóm cũng là vị nhóm con của vị nhóm đó. Nếu M là một vị nhóm và A là tập con của M thì vị nhóm con nhỏ nhất của M chứa A là tập  hAi = λ1 a1 + . . . + λn an | n, λ1 , . . . , λn ∈ N và a1 , . . . , an ∈ A , và được gọi là vị nhóm con của M sinh bởi A. Cũng giống như phần nửa nhóm, tập A là hệ sinh của M nếu hAi = M, và ta cũng nói M được sinh bởi A. Vì thế, một vị nhóm M là hữu hạn sinh nếu M có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử. Chú ý rằng, h∅i = {0} = h0i . Dễ dàng kiểm tra được tập số tự nhiên N cùng với phép toán cộng là một vị nhóm. Tiết này dành để nghiên cứu các vị nhóm con của N. Ta sẽ chứng minh được rằng các vị nhóm con của N có thể phân lớp sai khác một đẳng cấu bởi những vị nhóm con có phần bù hữu hạn trong N. Định nghĩa 1.1.4. Một vị nhóm con của N có phần bù trong N hữu hạn được gọi là một nửa nhóm số. Nhận xét 1.1.5. Từ Định nghĩa 1.1.4, ta thấy một tập con H ⊂ N là nửa nhóm số nếu và chỉ nếu H thỏa mãn các điều kiện sau: (1) 0 ∈ H; (2) a + b ∈ H với mọi a, b ∈ H; (3) ] N \ H < ∞. Với mỗi tập con khác rỗng A của N, vị nhóm con hAi của N sinh bởi A là một nửa nhóm số khi và chỉ khi ước chung lớn nhất của các phần tử của A là một. Bổ đề 1.1.6. Cho A là tập con khác rỗng của N . Khi đó hAi là nửa nhóm số khi và chỉ khi gcd(A) = 1. 2 Chứng minh. Giả sử hAi là nửa nhóm số và d = gcd(A). Rõ ràng, nếu h thuộc hAi thì d | h. Vì hAi là nửa nhóm số nên N \ hAi là hữu hạn. Suy ra N \ hAi có phần tử lớn nhất là x. Vì thế x + 1 và x + 2 đều thuộc hAi . Suy ra d | x + 1, d | x + 2. Do đó, d = 1. Để chứng minh chiều ngược lại, ta chỉ cần chứng minh N \ hAi là tập hữu hạn. Vì gcd(A) = 1 nên tồn tại các số nguyên z1 , . . . , zn và a1 , . . . , an sao cho z1 a1 + z2 a2 + . . . + zn an = 1. Bằng cách đánh số lại và chuyển các số hạng chứa zi âm sang vế phải, ta tìm được các i1 , . . . , ik , j1 , . . . , jl trong tập {1, . . . , n} sao cho zi1 ai1 + . . . + zik aik = 1 − zj1 ai1 − . . . − zjl ajl . Đặt h = −zj1 ai1 − . . . − zjl ajl . Khi đó h ∈ hAi và h + 1 ∈ hAi. Ta chứng minh nếu n ≥ (h − 1)h + (h − 1), thì n ∈ hAi. Thật vậy, chia n cho h ta tìm được các số nguyên q và r sao cho n = qh + r với 0 ≤ r ≤ h − 1. Vì n = qh + r ≥ (h − 1)h + (h − 1) nên q ≥ h − 1 ≥ r. Do đó n = (rh + r) + (q − r)h = r(h + 1) + (q − r)h ∈ hAi. Vậy tập N \ hAi là hữu hạn và do đó hAi là nửa nhóm số. Mệnh đề 1.1.7. Cho M là vị nhóm con không tầm thường của N. Khi đó M đẳng cấu với một nửa nhóm số nào đó. m m | m ∈ M }i. Suy ra gcd{ | m ∈ M } = 1. d d m Vì thế, H là nửa nhóm số theo Bổ đề 1.1.6. Xét ánh xạ f : M → H cho bởi f (m) = . d Rõ ràng f là một đẳng cấu vị nhóm. Chứng minh. Đặt d = gcd(M ) và H = h{ Giả sử A và B là các tập con của tập các số nguyên Z. Kí hiệu A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}. Với H là nửa nhóm số, ta viết H ∗ = H \ {0}. Khi đó H ∗ + H ∗ chính là tập các phần tử của H viết được dưới dạng tổng hai phần tử khác 0 trong H. Với kí hiệu này, ta có Bổ đề sau. Bổ đề 1.1.8. Cho H là một vị nhóm con của N. Khi đó H ∗ \ H ∗ + H ∗ là một hệ sinh của H. Hơn nữa, mỗi hệ sinh của H đều chứa H ∗ \ H ∗ + H ∗ . 3 Chứng minh. Giả sử h ∈ H ∗ . Nếu h ∈ / H ∗ \ H ∗ + H ∗ thì tồn tại x, y ∈ H ∗ sao cho h = x + y. Lặp lại qúa trình này với x và y. Nếu x hoặc y ∈ H ∗ + H ∗ thì x hoặc y viết được thành tổng của hai phần tử trong H ∗ . Tiếp tục quá trình này sau hữu hạn bước (do x, y < h) ta tìm được h1 , . . . , hn ∈ H ∗ \ H ∗ + H ∗ sao cho h = h1 + · · · + hn . Điều này chứng tỏ H ∗ \ H ∗ + H ∗ là một hệ sinh của H. Giả sử A là một hệ sinh bất kỳ của H và x ∈ H ∗ \ H ∗ + H ∗ . Vì x 6= 0 nên tồn tại n ∈ N \ {0} và λ1 , . . . , λn ∈ N; a1 , . . . , an không đồng thời bằng 0 thuộc A sao cho x = λ1 a1 + · · · + λn an . Do x ∈ / H ∗ + H ∗ nên tồn tại duy nhất i ∈ {1, . . . , n} sao cho λi = 1; x = ai và λj aj = 0 với mọi j 6= i. Vì thế x ∈ A. Tính chất trên nhìn chung cũng đúng với mọi vị nhóm con H của Nr , trong đó r là số nguyên dương tùy ý. Ý tưởng vẫn là nếu h = x + y với x, y 6= 0 thì x là số nguyên dương thực sự nhỏ hơn h theo quan hệ thứ tự thông thường vẫn định nghĩa trên tập Nr . Và chỉ có hữu hạn phần tử x ∈ Nr có tính chất x ≤ h. Tuy nhiên, tập H ∗ \ H ∗ + H ∗ không nhất thiết hữu hạn. 1.2 Tập Apery và chiều nhúng Tập Apery là một khái niệm có vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm số. Định nghĩa 1.2.1. Cho tập H là một nửa nhóm số và n là phần tử khác 0 của H. Tập Apery của n trong H là tập hợp Ap(n, H) = {h ∈ H | h − n ∈ / H}. Bổ đề sau giúp ta xác định được tập Apery của một nửa nhóm số. Bổ đề 1.2.2. Cho H là một nửa nhóm số và n là phần tử khác 0 của H. Khi đó Ap(n, H) = {0 = w(0), w(1), . . . , w(n − 1)}, trong đó w(i) là phần tử nhỏ nhất của H đồng dư với i theo môđun n, với mỗi i ∈ {0, . . . , n − 1}. Chứng minh. Vì H là nửa nhóm số nên tồn tại c ∈ N sao cho x ∈ H với mọi x ≥ c. Cho i ∈ {0, . . . , n − 1}. Khi đó, cn + i ∈ H và cn + i ≡ i (mod n). Do đó, tồn tại w(i) là phần tử nhỏ nhất của H để w(i) ≡ i (mod n). Khi đó w(i) − n < w(i) nên w(i) − n ∈ / H. Suy ra w(i) ∈ Ap(n, H) với mọi i ∈ {0, . . . , n − 1}. 4 Ngược lại, giả sử h ∈ Ap(n, H). Suy ra h − n ∈ / H. Giả sử rằng h ≡ i (mod n), với i ∈ {0, . . . , n − 1}. Khi đó h ≡ w(i) (mod n). Nếu h > w(i) thì h − w(i) = kn, với k > 0. Vì thế h − n = w(i) + (k − 1)n ∈ H do k − 1 ≥ 0. Điều này mâu thuẫn. Vậy h = w(i) theo cách chọn w(i). Do đó Ap(n, H) = {0 = w(0), w(1), . . . , w(n − 1)}. Ví dụ 1.2.3. Giả sử H là một nửa nhóm số sinh bởi {5, 7, 9}. Khi đó H = {0, 5, 7, 9, 12, 14, →}. Do đó Ap(5, H) = {0, 7, 9, 16, 18}. Chú ý rằng từ Bổ đề trên ta suy ra được số phần tử của tập Ap(n, H) là n. Hơn nữa, ta còn có kết quả sau. Bổ đề 1.2.4. Giả sử H là một nửa nhóm số và n ∈ H \ {0}. Khi đó với mọi h ∈ H, tồn tại duy nhất (k, w) ∈ N × Ap(n, H) sao cho h = kn + w. Chứng minh. Với mỗi h ∈ H, tồn tại i ∈ {0, . . . , n − 1} để h ≡ i(mod n). Suy ra h ≡ w(i)(mod n) và h ≥ w(i). Vì thế h = kn + w(i). Hiển nhiên, (k, w(i)) là duy nhất. Sau đây ta sẽ sử dụng khái niệm tập Apery để chứng minh mỗi nửa nhóm số có duy nhất một hệ sinh tối tiểu. Chú ý rằng, một hệ sinh của nửa nhóm số H được gọi là hệ sinh tối tiểu nếu không có tập con thực sự nào của hệ sinh này sinh ra H. Định lý 1.2.5. Mỗi nửa nhóm số đều có duy nhất một hệ sinh tối tiểu. Hơn nữa, hệ sinh này là hữu hạn. Chứng minh. Giả sử H là một nửa nhóm số. Theo Bổ đề 1.1.8 ta có H ∗ \(H ∗ +H ∗ ) là một hệ sinh và hệ sinh này nằm trong mọi hệ sinh khác của H. Vì thế, H có duy nhất hệ sinh tối tiểu là H ∗ \(H ∗ +H ∗ ). Mặt khác, cho n ∈ H ∗ . Theo Bổ đề 1.2.4, với mỗi h ∈ H, tồn tại duy nhất (k, w) ∈ N ×Ap(n, H) sao cho h = kn+w. Suy ra h ∈ h{n} ∪ Ap(n, H)i . Vì thế H ⊆ hAp(n, H) ∪ {n}i . Hiển nhiên hAp(n, H) ∪ {n}i ⊆ H. Vậy H = hAp(n, H) ∪ {n}i . Suy ra {n} ∪ Ap(n, H) cũng là một hệ sinh của H và do đó nó cũng chứa H ∗ \ (H ∗ + H ∗ ). Do |Ap(n, H)| = n < ∞ nên {n}∪Ap(n, H) hữu hạn. Vậy H ∗ \(H ∗ +H ∗ ) là hữu hạn. 5 Định nghĩa 1.2.6. Giả sử H là nửa nhóm số và {n1 < n2 < · · · < np } là hệ sinh tối tiểu của H. Do tính duy nhất của hệ sinh tối tiểu nên số n1 xác định duy nhất và được gọi là bội của H, kí hiệu là m(H). Lực lượng p của hệ sinh tối tiểu trên được gọi là chiều nhúng của H và được kí hiệu là e(H). Mệnh đề 1.2.7. Giả sử H là một nửa nhóm số. Khi đó (1) m(H) = min(H \ {0}). (2) e(H) ≤ m(H). Chứng minh. Rõ ràng bội của H là số nguyên dương nhỏ nhất trong H. Theo chứng minh của Định lý 1.2.5, {m(H)} ∪ Ap(m(H), H) \ {0} là một hệ sinh của H với lực lượng là m(H). Hệ sinh này luôn chứa hệ sinh tối tiểu duy nhất {n1 < n2 < · · · < np } của H nên p = e(H) ≤ m(H). Ví dụ 1.2.8. (1) e(H) = 1 nếu và chỉ nếu H = N. Thật vây, nếu H = N thì m(H) = min(H \ {0}) = 1. Vì 0 < e(H) ≤ m(H) = 1 nên e(H) = 1. Ngược lại, nếu e(H) = 1 thì {n1 } là hệ sinh tối tiểu của H. Giả sử n1 > 1. Khi đó ] N \ H = ] {n ∈ N | n không chia hết cho n1 } = ∞, mâu thuẫn. Vậy n1 = 1 và do đó H = N. (2) Nếu m là một số nguyên dương thì rõ ràng H = {0, m, →} là một nửa nhóm số có bội là m. Vì H ∗ \ H ∗ + H ∗ là hệ sinh tối tiểu của H nên dễ dàng kiểm tra rằng hệ sinh tối tiểu của H là {m, m + 1, . . . , 2m − 1}. Do đó, e(H) = m = m(H). 1.3 Số Frobenius và số giả Frobenius Cho A là một tập các số nguyên dương có ước chung lớn nhất là 1. Bài toán tìm công thức tính số nguyên dương lớn nhất không biểu diễn được qua các phần tử của A với hệ số nguyên không âm được đặt ra bởi Frobenius trong một bài giảng của ông. Ông cũng đã đặt ra bài toán đếm các số nguyên dương không có biểu diễn như vậy. Những kí hiệu ở mục trước cho thấy bài toán thứ nhất thực chất chính là tìm công thức tính số nguyên dương lớn nhất không thuộc nửa nhóm số H thông qua các phần tử của hệ sinh tối tiểu của H. Số nguyên dương này được gọi là số Frobenius của H, và trong nhiều tình huống còn được thay bằng số conductor của H-là số lớn nhất có tính chất x + n ∈ H với 6 mọi n ∈ H. Số Frobenius của H được kí hiệu là F (H) và conductor được định nghĩa là F (H) − 1, kí hiệu là c(H). Đối với bài toán thứ hai, tập các phần tử của G(H) = N \ H được gọi là khoảng trống của H. Lực lượng của G(H) kí hiệu là g(H), gọi là bậc kì dị của H. Ví dụ 1.3.1. Giả sử H = h5, 7, 9i . Khi đó H = {0, 5, 7, 9, 10, 12, 14, →} và F (H) = 13, c(H) = 12, G(H) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13} và g(H) = 8. Mệnh đề 1.3.2. (xem[11]). Giả sử H là một nửa nhóm số và n là một phần tử khác không của H. Khi đó (1) F (H) = (max Ap(n, H)) − n; (2) g(H) = 1 P n−1 ( w∈Ap(H,n) w) − . n 2 Chứng minh. (1) Theo định nghĩa tập Apery, ta có (max Ap(n, H)) − n ∈ / H. Giả sử x là số nguyên dương sao cho x > (max Ap(n, H)) − n. Suy ra x + n > (max Ap(n, H)). Giả sử w ∈ Ap(n, H) sao cho w và x + n đồng dư với nhau theo môđun n. Khi đó w < x + n. Do đó tồn tại số nguyên dương k sao cho x + n = w + kn. Suy ra x = w + (k − 1)n là phần tử thuộc H. Vì thế (max Ap(n, H)) − n là số nguyên dương lớn nhất không thuộc H. Do đó F (H) = (max Ap(n, H)) − n. (2) Với mỗi w ∈ Ap(n, H), nếu w đồng dư i theo môđun n và i ∈ {0, . . . , n − 1}, thì tồn tại các số nguyên khác không ki sao cho w = ki n + i. Sử dụng kí hiệu trong Bổ đề 1.2.2, ta có Ap(n, H) = {0, w(1) = k1 n + 1, . . . , w(n − 1) = kn−1 n + n − 1}. Chú ý rằng một số nguyên x đồng dư với w(i) theo môđun n là phần tử thuộc H khi và chỉ khi w(i) ≤ x. Giả sử u ∈ G(H). Khi đó tồn tại i để u ≡ i(mod n), suy ra u = li n + i với 0 ≤ li < ki . Vì thế trong G(H) có tất cả ki số không thuộc H. Vậy g(H) = k1 + · · · + kn−1 1 n−1 ((k1 n + 1) + · · · + (kn−1 n + n − 1)) − n 2 X 1 n−1 = w− . n 2 = w∈Ap(n,H) 7 Bổ đề 1.3.3. Giả sử H là một nửa nhóm số. Khi đó g(H) ≥ F (H) + 1 . 2 Chứng minh. Xét tập {0, 1, 2, . . . , F (H)} và cho m ∈ {0, 1, 2, . . . , F (H)}. Ta xét cặp (m, F (H) − m). Nếu m ∈ H thì rõ ràng F (H) − m ∈ / H. Nếu F (H) − m ∈ H tương tự F (H) + 1 . thì ta cũng có m ∈ / H. Vậy g(H) ≥ 2 Định nghĩa 1.3.4. Giả sử H là một nửa nhóm số. Ta nói x là số giả Frobenius nếu x ∈ / H và x + h ∈ H với mọi h ∈ H \ {0}. Ta kí hiệu P F (H) là tập hợp các số giả Frobenius của H và P F 0 (H) = P F (H) \ {F (H)}. Lực lượng của tập P F (H) được gọi là kiểu của H, kí hiệu là t(H). Từ định nghĩa trên ta thấy rằng F (H) ∈ P F (H) và thực chất F (H) là phần tử lớn nhất của tập này. Thật vậy, giả sử ngược lại F (H) ∈ / P F (H) thì tồn tại h ∈ H \ {0} sao cho F (H) + h ∈ / H. Chú ý rằng F (H) + h > F (H). Vì thế điều này mâu thuẫn với F (H) = max N \ H. Do đó F (H) ∈ P F (H). Từ định nghĩa của số giả Frobenius ta có ngay bổ đề sau. Bổ đề 1.3.5. Giả sử H là một nửa nhóm số sinh bởi {n1 , . . . , np } và x ∈ Z. Khi đó x là số giả Frobenius nếu và chỉ nếu x ∈ / H và x + ni ∈ H, với i ∈ {1, . . . , p}. Ví dụ 1.3.6. (i) H = h5, 6, 7, 8, 9i . Khi đó P F (H) = {1, 2, 3, 4}. (ii) Một cách tổng quát, cho H = hm, m + 1, . . . , m + (m − 1)i . Khi đó ta có P F (H) = {1, . . . , m − 1}. Trên tập số nguyên Z ta định nghĩa quan hệ : a ≤H b nếu b − a ∈ H. Vì H là một nửa nhóm số nên ta dễ dàng kiểm tra được quan hệ này là quan hệ thứ tự tức là thỏa mãn các tính chất (phản xạ, phản xứng, bắc cầu). Từ định nghĩa số giả Frobenius ta thấy mỗi số giả Frobenius đều là các phần tử lớn nhất của Z \ H theo quan hệ ≤H (Z là tập số nguyên). Ký hiệu Max≤H (Z \ H) là tập tất cả các phần tử lớn nhất của Z \ H. Khi đó, ta có Mệnh đề sau. Mệnh đề 1.3.7. Giả sử H là một nửa nhóm số. Khi đó (1) P F (H) = Max≤H (Z \ H), (2) x ∈ Z \ H nếu và chỉ nếu f − x ∈ H với một số f ∈ P F (H). 8 Chứng minh. (1). Giả sử với mọi x ∈ P F (H) và x ∈ / H, x + H ∗ ⊆ H. Giả sử y ∈ Z \ H và x ≤H y. Nếu x 6= y thì y − x = h ∈ H. Do đó y = x + h ∈ x + H ∗ ⊆ H. Điều này mâu thuẫn với x là các phần tử lớn nhất của Z \ H theo quan hệ ≤H . Vì thế x = y. Suy ra x ∈ Max≤H (Z \ H). Vậy P F (H) ⊆ Max≤H (Z \ H) Ngược lại, giả sử với mọi x ∈ Max≤H (Z \ H). Nếu x + h ∈ / H với một số h ∈ H ∗ thì x ≤H x + h. Điều này mâu thuẫn x ∈ Max≤H (Z \ H). Suy ra x + h ∈ H với một số h ∈ H ∗ . Vì thế theo định nghĩa của số giả Frobenius ta có x ∈ P F (H). Do đó Max≤H (Z \ H) ⊆ P F (H). Vậy P F (H) = Max≤H (Z \ H). (2). Nếu x ∈ Z \ H và n ∈ H \ {0} thì tồn tại w ∈ Ap(n, H) và k ∈ N \ {0} sao cho x = w − kn. Giả sử w(i) ∈ Max≤H Ap(n, H) với i ∈ {0, . . . , n − 1}. Suy ra w(i) − w ∈ H. Theo Mệnh đề 1.3.8, suy ra f = w(i) − n. Do đó f − x = w(i) − n − w + kn = (w(i) − w) + (k − 1)n ∈ H. Ngược lại, từ f − x ∈ H và f ∈ / H. Suy ra x ∈ / H. Kết quả này cho ta một mối liên hệ đối ngẫu giữa các phần tử sinh tối tiểu và các số giả Frobenius của một nửa nhóm số, vì Min ≤H (H \ {0}) chính là hệ sinh tối tiểu của H. Mệnh đề 1.3.8. Giả sử H là một nửa nhóm số và n là một phần tử khác không của H. Khi đó P F (H) = {w − n | w ∈ Max ≤H Ap(n, H)}. Chứng minh. Giả sử với mọi x ∈ P F (H). Do đó x ∈ / H và x + n ∈ H, hoặc x + n ∈ Ap(n, H). Giả sử w ∈ Ap(n, H) sao cho x + n ≤H w. Suy ra w − (x + n) = w − n − x ∈ H. Nếu w − n − x > 0 thì x + (w − n − x) ∈ H. Như vậy w − n ∈ H mâu thuẫn với w ∈ Ap(n, H). Vì thế w − n − x = 0 hay x = w − n. Do đó x ∈ {w − n | w ∈ Max ≤H Ap(n, H)}. Vậy P F (H) ⊆ {w − n | w ∈ Max ≤H Ap(n, H)}. Với mọi w ∈ Max ≤H Ap(n, H). Suy ra w − n ∈ / H. Ta chứng minh w − n + h ∈ H với một số phần tử khác không h của H. Nếu w − n + h ∈ / H do đó w + h ∈ Ap(n, H), mâu thuẫn với tính chất lớn nhất của w. Vì thế w − n ∈ P F (H). Vậy P F (H) = {w − n | w ∈ Max ≤H Ap(n, H)}. 9 Ví dụ 1.3.9. Giả sử H = h5, 7, 9i . Khi đó Max ≤H Ap(5, H) = {16, 18}. Vì vậy P F (H) = {11, 13}. 1.4 Nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng và hầu đối xứng Định nghĩa 1.4.1. Một nửa nhóm số được gọi là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó không thể viết được thành giao của hai nửa nhóm số thực sự chứa nó. Ta sẽ chỉ ra rằng mỗi nửa nhóm số bất khả quy là nửa nhóm số lớn nhất trong tập hợp tất cả các nửa nhóm số có số Frobenius là một số cố định cho trước. Trước hết ta chứng minh rằng khi bổ sung số Frobenius vào một nửa nhóm số, kết quả thu được vẫn là một nửa nhóm số. Bổ đề 1.4.2. Giả sử H là một nửa nhóm số khác N. Khi đó H ∪ {F (H)} cũng là một nửa nhóm số. Chứng minh. Vì N \ H hữu hạn nên phần bù của H ∪ {F (H)} trong N là hữu hạn. Giả sử a, b ∈ H ∪ {F (H)}. Nếu một trong hai số a, b là F (H) thì a + b ≥ F (H) và do đó a + b ∈ H ⊆ H ∪ {F (H)}. Nếu cả a, b ∈ H thì a + b ∈ H ⊆ H ∪ {F (H)}. Hiển nhiên 0 ∈ H ∪ {F (H)}. Vậy H ∪ {F (H)} là một nửa nhóm số. Định lý 1.4.3. (xem[10]). Giả sử H là một nửa nhóm số. Khi đó các điều kiện sau là tương đương. (1) H là bất khả quy. (2) H là lớn nhất trong tập tất cả các nửa nhóm số có số Frobenius là F (H). (3) H là lớn nhất trong tất cả các nửa nhóm số không chứa F (H). Chứng minh. (1) ⇒ (2). Giả sử T là một nửa nhóm số sao cho H ⊆ T và F (T ) = F (H). Do F (H) ∈ / T nên H = H ∩ T = (H ∪ {F (H)}) ∩ T. Theo Bổ đề 1.4.2 ta có H ∪ {F (H)} là nửa nhóm số. Vì thế, từ tính chất bất khả quy của H suy ra H = T. (2) ⇒ (3). Giả sử T là một nửa nhóm số thỏa mãn H ⊆ T và F (H) ∈ / T. Với mỗi i ≥ 1, ta có F (H) + i ∈ H. Suy ra F (H) + i ∈ T với mọi i. Do đó T = T ∪ {F (H) + 1, F (H) + 2, →}. 10 Vì thế F (H) là số lớn nhất không thuộc T , nghĩa là T cũng có số Frobenius là F (H). Do giả thiết (2) nên H = T. (3) ⇒ (1). Giả sử H1 và H2 là hai nửa nhóm số thực sự chứa H. Suy ra F (H) ∈ H1 và F (H) ∈ H2 . Do đó F (H) ∈ H1 ∩ H2 . Mà F (H) ∈ / H. Vì thế H 6= H1 ∩ H2 . Vậy H là bất khả quy. Định nghĩa 1.4.4. Một nửa nhóm số H được gọi là đối xứng nếu nó là bất khả quy và có số Frobenius F (H) là lẻ. Ta nói H là giả đối xứng nếu H là bất khả quy và có số Frobenius F (H) là chẵn. Mệnh đề tiếp theo cho ta các đặc trưng của nửa nhóm số đối xứng. Mệnh đề 1.4.5. Giả sử H là một nửa nhóm số. (1) H là đối xứng nếu và chỉ nếu số Frobenius F (H) là lẻ và x ∈ Z \ H kéo theo F (H) − x ∈ H. (2) H là giả đối xứng nếu và chỉ nếu số Frobenius F (H) là chẵn và x ∈ Z \ H kéo theo F (H) − x ∈ H hoặc x = F (H)/2. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh phát biểu đầu tiên, phát biểu hai ta chứng minh tương tự. Giả sử tồn tại x ∈ Z \ H sao cho F (H) − x ∈ / H. Vì F (H) lẻ nên hiển nhiên x 6= F (H)/2. Khi đó tồn tại số lớn nhất h thỏa mãn h = max{x ∈ Z \ H | F (H) − x ∈ / H và x 6= F (H)/2}. Theo Bổ đề 1.4.2, H ∪ {h} là nửa nhóm số cũng có số Frobenius là F (H). Điều này mâu thuẫn với tính chất bất khả quy của H được phát biểu trong Định lý 1.4.3(2). Vì thế F (H) − x ∈ H. Để chứng minh chiều ngược lại ta chỉ chứng minh H là bất khả quy có nghĩa là chứng minh H lớn nhất trong tập tất cả các nửa nhóm số không chứa số Frobenius F (H). Thật vậy, giả sử T là nửa nhóm số thỏa mãn H ⊂ T. Lấy x ∈ T \ H ⊂ Z \ H. Khi đó theo giả thiết ta có F (H) − x ∈ H và do đó F (H) − x ∈ T. Vậy F (H) = x + (F (H) − x) ∈ T. Hệ quả của Mệnh đề 1.4.5 là đưa ra một đặc trưng khác cho nửa nhóm đối xứng. Cụ thể như sau. 11 Hệ quả 1.4.6. Cho H là nửa nhóm số. (1) H là đối xứng nếu và chỉ nếu g(H) = F (H) + 1 . 2 (2) H là giả đối xứng nếu và chỉ nếu g(H) = F (H) + 2 . 2 Chứng minh. (1) Với mỗi x ∈ G(H), ta có x ≤ F (H). Do H là nửa nhóm số đối xứng nên F (H) − x ∈ H với mọi x ∈ G(H). Vì thế xác định tương ứng ϕ : G(H) −→ {0, 1, . . . , F (H)} \ G(H) x 7−→ F (H) − x Dễ thấy ϕ là ánh xạ và đơn ánh. Lấy x ∈ {0, 1, . . . , F (H)} \ G(H). Suy ra F (H) − x ∈ G(H). Thật vậy, Giả sử F (H) − x ∈ H. Khi đó F (H) − x + x ∈ H. Điều này mâu thuẫn với F (H) là số Frobenius của H. Vì thế F (H) − x ∈ G(H) và do đó x = F (H) − (F (H) − x) = ϕ(F (H) − x). Suy ra ϕ là toàn ánh và do đó ϕ là song ánh. Do G(H) và {0, 1, . . . , F (H)} \ G(H) đều có hữu hạn phần tử nên hai tập G(H) và {0, 1, . . . , F (H)} \ G(H) có số phần tử bằng nhau. Vì G(H) ⊆ {0, 1, . . . , F (H)} nên số phần tử của G(H) là g(H) = F (H) + 1 . 2 (2) Giả sử x ∈ G(H). Suy ra x ∈ / H. Vì H là giả đối xứng nên theo Mệnh đề 1.4.5 ta có F (H) − x ∈ H hoặc F (H) − x = F (H)/2. Vì thế xác định tương ứng ψ : G(H) → {{0, 1, . . . , F (H)} \ G(H)} ∪ F (H)/2 x 7→ F (H) − x Lập luận tương tự trong chứng minh ý (1), ta có ϕ là song ánh. Do G(H) và {{0, 1, . . . , F (H)} \ G(H)} ∪ F (H)/2 đều có hữu hạn phần tử nên hai tập G(H) và {{0, 1, . . . , F (H)} \ G(H)} ∪ F (H)/2 có số phần tử bằng nhau. Vì G(H) ⊆ {0, 1, . . . , F (H)} ∪ F (H)/2 nên số phần tử của G(H) là g(H) = F (H) + 2 . 2 12 Mệnh đề 1.4.7. Giả sử H là một nửa nhóm số và n là số nguyên dương của H. Cho Ap(n, H) = {a0 < a1 < · · · < an−1 } là tập Apery của n trong H. Khi đó H là đối xứng nếu và chỉ nếu ai + an−1−i = an−1 với mọi i ∈ {0, . . . , n − 1}. Chứng minh. Giả sử H là đối xứng. Theo Mệnh đề 1.3.2, ta biết rằng F (H) = an−1 − n. Vì ai − n ∈ / H và H là đối xứng nên ta có F (H) − (ai − n) = an−1 − ai ∈ H. Do an−1 = (an−1 − ai ) + ai ∈ H nên ta có an−1 − ai ∈ Ap(n, H) theo Bổ đề 2.1.1. Suy ra tồn tại j ∈ {0, . . . , n − 1} sao cho ai + aj ∈ Ap(n, H) và an−1 = ai + aj . Do đó i + j ≡ n − 1 (mod n). Mặt khác, chú ý rằng a0 < a1 < · · · < an−1 . Suy ra i + j = n − 1, do đó j = n − 1 − i. Vì thế ai + an−1−i = an−1 với mọi i ∈ {0, . . . , n − 1}. Từ Ap(n, H) = {a0 < a1 < · · · < an−1 } ta có {an−1 } = Max≤H Ap(n, H). Theo Mệnh đề 1.3.7 và Mệnh đề 1.3.8, ta có P F (H) = {F (H)} = Max≤H (Z \ H). Do đó nếu x ∈ Z \H thì F (H)−x ∈ H. Ngoài ra, nếu F (H)/2 là một số nguyên thì F (H)/2 ∈ Z \H. Suy ra F (H) − F (H)/2 = F (H)/2 ∈ H mâu thuẫn với F (H) là số Frobenius của H. Do đó F (H) là số nguyên lẻ. Theo Mệnh đề 1.4.5 ta có H là đối xứng. Từ mệnh đề trên (và chứng minh của nó) ta dễ dàng thấy được các nửa nhóm số đối xứng đều là các nửa nhóm số có kiểu bằng một. Hệ quả 1.4.8. Giả sử H là nột nửa nhóm số. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương. (1) H là đối xứng. (2) P F (H) = {F (H)}. (3) t(H) = 1. Chứng minh. Từ chứng minh của Mệnh đề 1.4.7. Suy ra (1) tương đương với (2). (2) ⇒ (3). Do P F (H) = {F (H)} nên t(H) = 1. (3) ⇒ (2). Do t(H) = 1 và F (H) ∈ P F (H) nên P F (H) = {F (H)}. Từ Mệnh đề 1.3.8, Hệ quả 1.4.8, ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.4.9. Giả sử H là một nửa nhóm số và n là phần tử khác không của H. Khi đó H là đối xứng nếu và chỉ nếu Max≤H Ap(n, H) = {F (H) + n}. 13