Tài liệu Về một vài bất đẳng thức mới kiểu simpson đối với hàm lồi tổng quát

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ TIẾN QUYNH VỀ MỘT VÀI BẤT ĐẲNG THỨC MỚI KIỂU SIMPSON ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ TIẾN QUYNH VỀ MỘT VÀI BẤT ĐẲNG THỨC MỚI KIỂU SIMPSON ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nông Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2021 1 Mục lục Danh sách kí hiệu viết tắt 2 Mở đầu 3 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Hàm lồi và một kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bất đẳng thức Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Bất đẳng thức kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát 14 2.1 Hàm lồi tổng quát và một số kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Một số bất đẳng thức trên tập phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Một số áp dụng của bất đẳng thức Jensen tổng quát . . . . . . . . . . 24 2.4 Bất đẳng thức kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát . . . . . . . . . 27 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 35 2 Danh sách kí hiệu viết tắt N Tập hợp các số tự nhiên R Tâp hợp các số thực N∗ Tập hợp các số tự nhiên bỏ đi phần tử 0 Zα Tập các số nguyên kiểu α được xác định bởi {0α , ±1α , ±2α , . . . , ±nα , . . .} Qα Jα Rα Tập hợp các số hữu tỉ kiểu α được xác định bởi    α p α : p, q ∈ Z, q 6= 0 m = q Tập hợp các số vô tỉ kiểu α được xác định bởi    α p α : p, q ∈ Z, q 6= 0 m 6= q Tập hợp các số thực kiểu α được xác định bởi Rα = Qα ∪ Jα Pn i=1 f (xi ) f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) 3 Mở đầu Chuyên đề bất đẳng thức là một chuyên đề rộng trong toán học, có rất nhiều bài toán hay và thú vị, có ý nghĩa quan trọng trong Toán học ứng dụng. Ngày nay việc tìm lời giải gần đúng của các bài toán trong các lĩnh vực, đặc biệt kinh tế, địa chất, khí tượng,... trở thành phổ biến nhờ có sự hỗ trợ mạnh mẽ của máy tính. Việc giải các bài toán đó đòi hỏi ta ước lượng đánh giá để thu được lời giải gần đúng cần thiết. Trong trường phổ thông các bài toán bất đẳng thức (hay bài toán so sánh) luôn được khai thác để đưa vào rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh. Đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi các cấp thì chủ đề bất đẳng thức thường được khai thác để đánh giá tư duy của học sinh. Bất đẳng thức Simpson là bất đẳng thức đánh giá sai số cho ước lượng của trung bình tích phân 1 b−a Z b f (x)dx, a đây là bất đẳng thức có ý nghĩa. Kết quả này đã được mở rộng cho nhiều lớp hàm xác định trên [a, b] ⊂ R. Hiện nay, bất đẳng thức này không những được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, không chỉ trên tập các số thực mà còn được mở rộng nghiên cứu trên tâp phân thứ (fractal sets). Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nông Quốc Chinh, tôi lựa chọn đề tài “Về một vài bất đẳng thức mới kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát”. Nội dung của luận văn được viết trong hai chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Nội dung chương này trình bày về hàm lồi, một số tính chất và bất đẳng thức liên quan tới hàm lồi, các kết quả này sẽ được phát biểu và chứng minh đối với hàm lồi suy rộng được trình bày trong chương sau. Trong mục 1.2 của chương này, chúng tôi trình bày về bất đẳng thức Simpson. Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [1]-[4]. Chương 2. Bất đẳng thức kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát. 4 Nội dung của chương này là trình bày về hàm lồi tổng quát xác định trên tập phân thứ. Đưa ra một số bất đẳng thức kiểu Jensen, Hermite - Hadamad đối với hàm lồi tổng quát. Bất đẳng thức Hölder trên tập phân thứ. Phần cuối chương trình bày về một đẳng thức mới kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát. Kết quả này được nhóm tác giả M. Z. Sarıkaya, H. Budak, and S. Erden đưa ra năm 2019 khi nghiên cứu một số kết quả trên tập phân thứ. Nội dung chương này được tham khảo từ các tài liệu [5] và [6]. Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS. TS. Nông Quốc Chinh. Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của em đối với những điều thầy đã dành cho em. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô Khoa Toán – Tin, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học Toán K12 (2018 - 2020), Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình em tham gia học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THCS Tân Dân, Khoái Châu, Hưng Yên đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp, những người đã động viên, hỗ trợ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Thái Nguyên, ngày 18 tháng 01 năm 20201 Tác giả Lê Tiến Quynh 5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này sẽ trình bày về hàm lồi, một số tính chất và bất đẳng thức liên quan tới hàm lồi, các kết quả này sẽ được phát biểu và chứng minh đối với hàm lồi suy rộng được trình bày trong chương sau. Trong mục 1.2 của chương này, chúng tôi trình bày về bất đẳng thức Simpson. 1.1 Hàm lồi và một kết quả liên quan Cho hai điểm a, b ∈ R, tập tất các các điểm x = (1 − t)a + tb với 0 6 t 6 1 được gọi là đoạn thẳng (đóng) giữa a và b và ký hiệu bằng [a, b]. Tập I ⊂ R được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đường thẳng nối hai điểm của nó; nói cách khác, nếu (1 − t)a + tb ∈ I miễn là a, b ∈ I, 0 6 t 6 1. Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f : I → [−∞, +∞] trên tập lồi I ⊂ R. Hàm f được gọi là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ I và t ∈ [0, 1] ta có f (tx1 + (1 − t)x2 ) 6 tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) nếu vế phải xác định. Hàm f được gọi là lõm trên I nếu −f là hàm lồi. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử f : I → [−∞, +∞] là hàm lồi. Khi đó, với bất kỳ tập hữu hạn x1 , . . . , xk ∈ I và bất kỳ các số không âm t1 , . . . , tk thỏa mãn t1 + t2 + · · · + tk = 1, ta có k k X X f( ti xi ) 6 ti f (xi ). i=1 i=1 6 Mệnh đề 1.1.3. Hàm f : R → R là hàm lồi nếu và chỉ nếu thỏa mãn   f (x) + f (y) x+y 6 f 2 2 (1.1) với mọi x, y ∈ R. (xem hình vẽ dưới đây). Hàm lồi lần đầu tiên được giới thiệu bởi J.L.W.V.Jensen năm 1905, mặc dù hàm số thỏa mãn điều kiện (1.1) đã được nghiên cứu bởi Hadamard (1893) và Holder (1889). Ví dụ dưới đây sẽ chỉ ra một số hàm lồi cơ bản Ví dụ 1.1.4. Các hàm số xác được dưới đây là hàm số lồi. (a) f (x) = ax + b trên R với mọi a, b ∈ R (b) f (x) = x2 trên R (c) f (x) = eαx trên R với mọi α > 1 hoặc α 6 0 (d) f (x) = |x| trên R (e) f (x) = x log x trên R+   (f) f (x) = tan x trên 0, π2 Khẳng định. Tổng hữu hạn các hàm lồi là một hàm lồi. Tuy nhiên, tích các hàm lồi chưa chắc lồi. Chẳng hạn như các hàm f (x) = x2 và g(x) = ex 7 là hàm lồi trên R nhưng tích của chúng h(x) = x2 ex không phải là hàm lồi trên R. Mệnh đề 1.1.5. Giả sử f có đạo hàm trên I. Khi đó f là hàm lồi trên I khi và chỉ khi f 0 là hàm tăng trên I (Tức là nếu f có đạo hàm cấp 2 thì f 00 > 0 trên I). Hệ quả 1.1.6. Cho f : [a, b] ⊆ R → R là một hàm lồi trên đoạn [a, b]. Giả sử xi ∈ [a, b], n P pi > 0, i ∈ {1, 2, . . . , n} và Pn := pi > 0. Khi ấy i=1 f n 1 X p i xi Pn i=1 ! 6 n 1 X pi f (xi ). Pn i=1 (1.2) Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Với n = 2, ta phải chứng minh   p1 f (x1 ) + p2 f (x2 ) p 1 x1 + p 2 x2 , 6 f p1 + p2 p1 + p2 (1.3) trong đó x1 , x2 ∈ I, p1 , p2 > 0 với p1 + p2 > 0. Bây giờ, ta chú ý rằng (1.3) chính là được rút ra từ định nghĩa của hàm lồi với p1 t= , x = x1 và y = x2 . Vậy (1.3) được chứng minh. p1 + p2 Giả sử rằng (1.2) đúng với n, ta chứng minh nó đúng với n + 1, tức là ta muốn chứng minh f 1 Pn+1 n+1 X i=1 ! p i xi 6 1 n+1 X Pn+1 i=1 pi f (xi ) (1.4) với xi ∈ I, pi > 0 (i = 1, . . . , n + 1) với Pn+1 > 0. Nếu p1 = · · · = pn = 0, thì hiển nhiên (1.4) đúng. Giả sử rằng Pn > 0, khi đó f 1 n+1 X Pn+1 i=1 do f là hàm lồi với t = ! p i xi ! n 1 X pn+1 Pn =f · pi x i + xn+1 Pn+1 Pn i=1 Pn+1 ! n Pn 1 X pn+1 6 f p i xi + f (xn+1 ) Pn+1 Pn i=1 Pn+1 Pn 1 Pn ,x = pi xi và y = xn+1 . Pn+1 Pn i=1 Sử dụng giả thiết quy nạp, ta được ! n n Pn 1 X pn+1 Pn 1 X p i xi + pi f (xi ) f f (xn+1 ) 6 Pn+1 Pn i=1 Pn+1 Pn+1 Pn i=1 (1.5) 8 pn+1 f (xn+1 ) Pn+1 n+1 X 1 + pi f (xi ). + = Pn+1 (1.6) i=1 Từ (1.5) và (1.6) suy ra (1.5). Kết quả tiếp theo là Bất đẳng thức Hermite–Hadamard chỉ ra cận trên và cận dưới của trung bình tích phân. Kết quả này sẽ được trình bày ở chương sau đối với lớp hàm lồi suy rộng trên tập phân thứ. Mệnh đề 1.1.7 (Bất đẳng thức Hermite–Hadamard). Giả sử f là hàm lồi trên [a, b]. Khi đó, nếu f khả tích trên [a, b] thì ta có 1 a+b )6 f( 2 b−a Z b f (x)dx 6 a f (a) + f (b) . 2 (1.7) Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức Hölder quen thuộc trong lớp các bất đẳng thức sơ cấp. Kết quả này cũng được trình bày ở chương sau đối với các bộ số xác định trong tập phân thứ. Định lý 1.1.8 (Bất đẳng thức Hölder). Cho hai bộ số a1 , a2 , . . . , an và b1 , b2 , . . . , bn là hai bộ n số thực dương và p > 1, thỏa mãn q −1 + p−1 = 1. Khi đó ta có bất đẳng thức sau n X n X ai b i 6 i=1 ! p1 n X api i=1 ! 1q bqi . (1.8) i=1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi api = kbqi với mọi i ∈ {1, 2, , . . . , n}. Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức Hölder ở dạng giải tích, chúng tôi chỉ trình bày kết quả mà không chứng minh. Định lý 1.1.9 (Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích). Giả sử p, q > 1 thỏa mãn 1 1 + = 1, f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a, b], khi đó p q Z b Z |f (x)g(x)| dx 6 a  p1 Z b p |f (x)| dx a b  1q |g(x)| dx . q (1.9) a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho A |f (x)|p = B |g(x)|q , ∀x ∈ [a, b]. 9 1.2 Bất đẳng thức Simpson Định nghĩa 1.2.1. (a) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là liên tục tuyệt đối trên [a, b] nếu với mọi ε > 0 tồn tại số dương δ thỏa mãn n X |f (xi ) − f (yi )| < ε, i=1 với mọi họ hữu hạn các khoảng rời nhau {[xi , yi ] : i = 1, 2, . . . , n} của [a, b] với n X |xi − yi | < δ. i=1 (b) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là L-Lipschitz trên [a, b] nếu tồn tại L > 1 thỏa mãn |f (x) − f (y)| 6 L|x − y| với mọi x, y ∈ [a, b]. (c) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là có biến phân bị chặn trên [a, b] khi và chỉ khi tồn tại hằng số M > 0 thỏa mãn n X |f (xi ) − f (xi−1 )| 6 M, i=1 với mọi phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của [a, b]. Trong giải tích, một bất đẳng thức rất nổi tiếng và được sử dụng nhiều trong tính toán đó là bất đẳng thức Simpson, nó được phát biểu như sau. Định lý 1.2.2 (Bất đẳng thức Simpson). Giả sử f : [a, b] → R là hàm khả vi liên tục có đạo hàm tới cấp 4 trong khoảng (a, b) và có đạo hàm cấp 4 bị chặn trên khoảng (a, b), nghĩa là,   kf (4) k∞ := sup f (4) (x) < ∞. x∈(a,b) Khi đó ta có bất đẳng thức Z b      f (a) + f (b) a + b b − a  6 1 f (4) (b − a)5 ,  + 2f f (x)dx −  2880  ∞ 3 2 2 a (1.10) Xét In : a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b là một phân hoạch của khoảng [a; b] và f được xác định như trên, từ đó ta có công thức Simpson cầu cổ điển: Z b f (x)dx = AS (f, In ) + RS (f, In ) a (1.11) 10 với AS (f, In ) là quy tắc Simpson n−1 n−1 1X 2X AS (f, In ) =: [f (xi ) + f (xi+1 )] hi + f 6 i=0 3 i=0  xi + xi+1 2  hi (1.12) và phần dư RS (f, In ) sẽ thỏa mãn ước lượng n−1 X 1 (4) |RS (f, In )| 6 f h5i ∞ 2880 i=0 (1.13) với hi := xi+1 − xi với i = 0, . . . , n − 1. Khi ta phân hoạch đều khoảng [a, b] xác định như sau: b−a · i, i = 0, . . . , n; n In : xi := a + (1.14) thì ta có công thức b Z f (x)dx = AS,n (f ) + RS,n (f ) (1.15) a với   # n−1   b−aX b−a b−a AS,n (f ) : = f a+ ·i +f a+ · (i + 1) 6n i=0 n n  n−1  2(b − a) X b − a 2i + 1 · + f a+ , 3n n 2 i=0 (1.16) và phần dư thỏa mãn bất đẳng thức |RS,n (f )| 6 (b − a)5 (4) 1 · kf k∞ . 2880 n4 (1.17) Các kết quả nghiên cứu về bất đẳng thức tích phân đã được tổng hợp trong cuốn sách “Inequalities for Functions and Their Integrals and Derivatives” của D.S. Mitrinovir xuất bản năm 1994 (xem tài liệu [4]). Mục đích của luận văn này là trình bày các kết quả về bất đẳng thức Simpson với phần dư được biểu diễn qua các biểu thức đạo hàm cấp nhỏ hơn 4. Ta đã biết rắng nếu một hàm số hoặc không có đạo hàm tới cấp 4 hoặc đạo hàm cấp 4 không bị chặn trên khoảng (a, b) thì ta không dùng được công thức xấp xỉ Simpson, một công thức thường được vận dụng nhất trong tính toán thực hành. Định lý 1.2.3. Giả sử f : [a, b] → R là hàm số khả vi, có đạo hàm liên tục trên khoảng (a; b) và thỏa mãn 0 Z kf k1 := b |f 0 (x)| dx < ∞. a Khi đó ta có bất đẳng thức Z b      1 0 b − a f (a) + f (b) a + b  6 kf k (b − a)2 .  f (x)dx − · + 2f 1  3  3 2 2 a (1.18) 11 Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức Simpson đối với ánh xạ Lipschitz.). Giả sử f : [a, b] → R là hàm L-Lipschitzian trên khoảng [a, b]. Khi đó ta có bất đẳng thức sau Z b     b − a f (a) + f (b) a + b  5  f (x)dx − · + 2f 6 L(b − a)2 .   3 2 2 36 a (1.19) Chứng minh. Sử dụng quy tắc tính tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes ta có: Z a b    Z b b − a f (a) + f (b) a+b s(x)df (x) = · + 2f − f (x)dx 3 2 2 a (1.20) với   a+b
5a + b   x − 6 , x ∈ a, 2 s(x) :=   x − a + 5b , x ∈ a+b , b 2 6 Tiếp theo, ta xét phân hoạch của [a, b] với các điểm chia ∆n : (n) (n) (n) a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn(n) = b thỏa mãn ν(∆n ) → 0 khi n → ∞ trong đó ν (∆n ) := và (n) ξi max i∈{0,...,n−1}  (n) (n) xi+1 − xi  i h (n) (n) ∈ xi , xi+1 . Nếu p : [a, b] → R là hàm khả tích Riemann trên khoảng [a, b] và v : [a, b] → R là ánh xạ L-Lipschitz trên khoảng [a, b], khi đó ta có  Z b   n−1  i h    X     (n) (n) (n)  p(x)dv(x) =  lim p ξi v xi+1 − v xi    ν(∆n )→0 a i=0     (n)   n−1       v xi+1 − v x(n) X  i  (n)  (n) (n)   6 lim p ξi  xi+1 − xi   (n) (n) ν(∆n )→0 xi+1 − xi   i=0 n−1      X  (n)  (n) (n) 6 L lim p ξi  xi+1 − xi ν(∆n )→0 Z i=0 b |p(x)|dx. =L (1.21) a Áp dụng bất đẳng thức (2.59) cho hàm p(x) = s(x) và v(x) = f (x) ta có được bất đẳng thức Z b  Z b     s(x)df (x) 6 L |s(x)|dx.  a a (1.22) 12 Ta lại có Z a b a+b 2    Z b    5a + b  a + 5b    |s(x)|dx = x − 6  dx + a+b x − 6  dx a 2   Z 5a+b  Z a+b  6 2 5a + b 5a + b = − x dx + x− dx 5a+b 6 6 a 6   Z b  Z a+5b  6 a + 5b a + 5b − x dx + dx + x− a+5b a+b 6 6 2 2 5 = (b − a)2 . 36 Z Áp dụng bất đẳng thức (2.60) và đẳng thức (2.57) suy ra (2.53). Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức Simpson với các số hạng p-chuẩn Định lý 1.2.5. Giả sử f : [a, b] → R là hàm số liên tục tuyệt đối trên [a, b] có f 0 ∈ Lp [a, b]. Khi đó, ta có bất đẳng thức     Z b b − a f (a) + f (b) a+b   f (x)dx − · + 2f   3 2 2 a  1 1 1 2q+1 + 1 q 6 (b − a)1+ q kf 0 kp , 6 3(q + 1) trong đó (1.23) 1 1 + = 1, p > 1. p q Chứng minh. Áp dụng công thức tính tích phân từng phần, ta có    Z b Z b b − a f (a) + f (b) a+b 0 s(x)f (x)dx = f (x)dx · + 2f − 3 2 2 a a (1.24) trong đó    5a + b a + b    x − 6 , x ∈ a, 2 s(x) :=    a + 5b a+b   ,x ∈ ,b x − 6 2 Thật vậy, Z b Z 0 s(x)f (x)dx = a a+b 2 .   Z b  5a + b a + 5b 0 x− f (x)dx + x− f 0 (x)dx a+b 6 6 a 2   a+b  b   2 5a + b a + 5b = x− f (x) + x− f (x) 6 6 a+b a 2 Z b − f (x)dx a    Z b b − a f (a) + f (b) a+b = · + 2f − f (x)dx, 3 2 2 a  13 hay có đẳng thức (1.24). Áp dụng bất đẳng thức Hölder ta có được  Z b Z b  1q   0 q  s(x)f (x)dx ≤ |s(x)| dx kf 0 kp .  a (1.25) a Ta lại có Z a b a+b 2  q q Z b    5a + b  a + 5b    |s(x)| dx = x − 6  dx + a+b x − 6  dx a 2 q q Z a+b  Z 5a+b  6 2 5a + b 5a + b − x dx + dx x− = 5a+b 6 6 a 2 q q Z a+5b  Z b  6 a + 5b a + 5b + − x dx + dx x− a+5b a+b 6 6 2 6   q+1  5a+b q+1  a+b  6 2 5a + b 5a + b 1    = − −x + x−     5a+b q+1 6 6 a 6  q+1  a+5b   q+1 b 6 a + 5b a + 5b    −x − + x−    a+b  a+5b 6 6 2 6 " q+1  q+1 a + b 5a + b 1 5a + b + = −a − q+1 6 2 6  q+1  q+1 # a + 5b a + b a + 5b + − + b− 6 2 6 Z q = (2q+1 + 1) (b − a)q+1 . 3(q + 1)6q Áp dụng bất đẳng thức (1.25) và đẳng thức (1.24) ta thu được bất đẳng thức (1.23) 14 Chương 2 Bất đẳng thức kiểu Simpson đối với hàm lồi tổng quát Nội dung của chương này là trình bày về một đẳng thức mới kiểu Sompson đối với hàm lồi tổng quát. Kết quả này được nhóm tác giả M. Z. Sarıkaya, H. Budak, and S. Erden đưa ra năm 2019 khi nghiên cứu một số kết quả trên tập phân thứ. Trước tiên, chúng tôi trình bày về lớp hàm lồi tổng quát và một số kết quả liên quan. 2.1 Hàm lồi tổng quát và một số kết quả liên quan Mục đích cả mục này là trình bày về hàm lồi tổng quát xác định trên tập phân thứ Rα với 0 < α 6 1 và trình bày các tính chất cơ bản của hàm lồi tổng quát và trình bày các bất đẳng thức Jensen, Hermite - Hadamard đối với hàm lồi tổng quát. Nội dung của mục này được tham khảo từ bài báo [5] xuất bản năm 2014. Cho α là một số thực thỏa mãn 0 < α 6 1, ta sẽ xác định các tập kiểu α như sau: Zα : là tập các số nguyên kiểu α được xác định như tập hợp {0α , ±1α , ±2α , . . . , ±nα , . . .}; Qα : là tập hợp các số vô tỉ kiểu α được xác định như tập hợp    α p α m = : p, q ∈ Z, q 6= 0 ; q Jα : là tập hợp các số vô tỉ kiểu α được xác định như tập hợp   α  p α m 6= : p, q ∈ Z, q 6= 0 ; q 15 Rα : là tập hợp các số thực kiểu α được xác định bởi Rα = Qα ∪ Jα . Với các ký hiệu và quy ước như trên, ta sẽ định nghĩa về các phép toán hai ngôi: phép toán cộng + và nhân · (đối với phép toán nhân ta thường lược bỏ ·) trên tập phân thứ địa phương Rα như sau. Với aα , bα ∈ Rα thì aα + bα := (a + b)α và (aα · bα ) = aα bα := (ab)α . (2.1) Khi đó ta có ˆ (Rα , +) là nhóm giao hoán: Với aα , bα , cα ∈ Rα thỏa mãn (A1) aα + bα ∈ Rα ; (A2) aα + bα = bα + aα ; (A3) aα + (bα + cα ) = (aα + bα ) + cα ; (A4) 0α là phần tử đơn vị của nhóm (Rα , +), tức là, với bất kỳ aα ∈ Rα , aα + 0α = 0α + aα = aα ; (A5) Với mỗi aα ∈ Rα , (−a)α là phần tử đối của aα đối với (Rα , +), tức là aα + (−a)α = (a + (−a))α = 0α . ˆ (Rα \ {0α }, ·) là nhóm giao hoán: Với aα , bα , cα ∈ Rα thỏa mãn (M1) aα bα ∈ Rα ; (M2) aα bα = bα aα ; (M3) aα (bα cα ) = (aα bα ) cα ; (M4) 1α là phần tử đơn vị của nhóm (Rα , ·), tức là, với bất kỳ aα ∈ Rα , aα 1α = 1α aα = aα ; (M5) Với mỗi aα ∈ Rα \ {0α }, (1/a)α là phần tử nghịch đảo của aα đối với (Rα \ {0α }, ·), tức là aα (1/a)α = (a(1/a))α = 1α . ˆ Luật phân phối: aα (bα + cα ) = aα bα + aα cα . Từ đó, ta có khẳng định sau đối với (Rα , +, ·). Mệnh đề 2.1.1. (i). (Rα , +, ·) là một trường như trường số thực (R, +, ·); 16 (ii). Phần tử đơn vị cộng 0α và phần tử đơn vị nhân 1α tương ứng xác định duy nhất; (iii). Phần tử đối và phần tử nghịch đảo tương ứng xác định duy nhất; (iv). Với mỗi aα ∈ Rα , thì phần tử đối (−a)α có thể viết là −aα . Với mỗi bα ∈ Rα \{0α }, (1/b)α có thể viết 1α /bα nhưng khác 1/bα ; (v). Nếu quan hệ thứ tự “ < ” xác định trên (Rα , +, ·) như sau: nếu aα < bα khi và chỉ khi a < b trong R thì (Rα , +, ·, <) là một trường có thứ tự giống như trường (R, +, ·, <). Nhận xét, trong khẳng định (iv), nếu viết (1/b)α = 1/bα với bα ∈ Rα \ {0α }, thì dẫn tới 1α = 1. Như vậy, nếu 1α = 1 là đúng thì ta có thể viết 2α = (1 + 1)α = 1α + 1α = 1 + 1 = 2, điều này là không thể xảy ra khi 0 < α < 1. Định nghĩa 2.1.2. Hàm không khả vi f : R → Rα , x 7→ f (x) được gọi là liên tục phân thứ địa phương tại điểm x0 nếu với mọi  > 0 thì tồn tại θ > 0 sao cho |f (x) − f (x0 )| < α (2.2) với |x − x0 | < θ trong đó , θ ∈ R. Ta nói hàm f là liên tục địa phương trên khoảng (a, b) nếu f liên tục phân thứ địa phương tại mọi x ∈ (a, b). Khi đó ta viết f (x) ∈ Cα [a, b]. Định nghĩa 2.1.3. Đạo hàm phân thứ địa phương của hàm f (x) bậc α tại x = x0 được xác định bởi f (α) (x0 ) = ∆α (f (x) − f (x0 )) dα f (x) | = lim x=x0 x→x0 dxα (x − x0 )α (2.3) Z α trong đó ∆ (f (x)−f (x0 )) = Γ(1+α)(f (x)−f (x0 )) và hàm Gamma Γ(x) = ∞ tx−1 e−t dt. 0 k+1 lần Nếu tồn tại f (k+1)α z }| { (x) = Dxα · · · Dxα f (x) với mọi x ∈ I ⊆ R thì ta ký hiệu f ∈ D(k+1)α (I) với k = 0, 1, 2, . . . Định nghĩa 2.1.4. Giả sử f (x) ∈ Cα [a, b]. Đặt ∆tj = tj+1 − tj và ∆t = max{∆t1 , ∆t2 , . . . , ∆tn }, 17 trong đó các đoạn [tj , tj+1 ], j = 0, . . . , N − 1 thỏa mãn a = t0 < t1 < t2 < · · · < tN −1 < tN = b là phân hoạch của [a, b]. Khi đó tích phân phân thứ của hàm f được xác định như sau α a Ib f (x) 1 = Γ(1 + a) Z a b N −1 X 1 f (tj ) (∆tj )α f (t) (dt) := lim Γ(1 + a) ∆→0 j=0 α (2.4) với giới hạn này tồn tại (giới hạn này tồn tại vì f (x) ∈ Cα [a, b]). Ta có a Ibα f (x) = 0 nếu a = b và α a Ib f (x) = −a Ibα f (x) nếu a < b. Nếu tồn tại a Ibα f (x) với bất kỳ x ∈ [a, b] và f : [a, b] → Rα thì ta ký hiệu f (x) ∈ Ixα [a, b]. Bổ đề 2.1.5 (Bổ đề 3, [6]). (1). Giả sử f 0 (x) = g α (x) ∈ Cα [a, b], khi đó ta có α a Ib f (x) = g(b) − g(a). (2). (Tích phân phân thứ địa phương từng phần). Giả sử f (x), g(x) ∈ Dα [a, b] và f (α) (x), g (α) (x) ∈ Cα [a, b], khi đó ta có α (α) (x) a Ib f (x)g = f (x)g(x)|ba −a Ibα f α (x)g(x). (3). (Đạo hàm phân thứ α−địa phương). dα xkα Γ(1 + kα) = x(k−1)α . α dx Γ (1 + (k − 1)α) Z b
1 Γ(1 + kα) (4). xkα (dx)α = b(k+1)α − a(k+1)α , Γ(α + 1) a Γ (1 + (k + 1)α) với k ∈ R. Bổ đề 2.1.6 (Bất đẳng thức Hölder tổng quát). Giả sử f, g ∈ Cα [a, b], p, q > 1 với p−1 + q −1 = 1. Khi đó ta có bất đẳng thức sau Z b 1 |f (x)g(x)|(dx)α Γ(α + 1) a   p1   1q Z b Z b 1 1 p α q α 6 |f (x)| (dx) |g(x)| (dx) . Γ(α + 1) a Γ(α + 1) a (2.5) 18 Định lý 2.1.7 (Định lý Taylor phân thứ địa phương suy rộng, [5]). Giả sử f ((k+1)α) (x) ∈ Cα [a, b] với khoảng I ⊆ R, k = 0, 1, . . . , n, 0 < α 6 1. Và xét x0 ∈ [a, b]. Khi đó, với bất kỳ x ∈ I tồn tại ít nhất một điểm ξ nằm giữa x và x0 thõa mãn n X f (n+1)α) (ξ) f kα (x0 ) (x − x0 )(kα) + (x − x0 )(n+1)α . f (x) = Γ(1 + ka) Γ(1 + (n + 1)a) k=0 (2.6) Định nghĩa 2.1.8 (Hàm lồi tổng quát). Xét f : I ⊆ R → Rα . Với bất kỳ x1 , x2 ∈ I và λ ∈ [0, 1], nếu có bất đẳng thức sau f (λx1 + (1 − λ)x2 ) 6 λα f (x1 ) + (1 − λ)α f (x2 ) (2.7) thì hàm f được gọi là hàm lồi tổng quát trên I. Định nghĩa 2.1.9. Xét f : I ⊆ R → Rα . Với bất kỳ x1 , x2 ∈ I và λ ∈ [0, 1], nếu có bất đẳng thức sau f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < λα f (x1 ) + (1 − λ)α f (x2 ) (2.8) thì hàm f được gọi là hàm lồi chặt tổng quát trên I. Từ định nghĩa về hàm lồi tổng quát và hàm lồi chặt tổng quát, thì tương tự trong giải tích cổ điển, một hàm lồi chặt tổng quát là hàm lồi tổng quát, nhưng điều ngược lại không đúng. Nếu chiều bất đẳng thức trong khái niệm hàm lồi và lồi chặt tổng quát là ngược lại thì ta có khái niệm hàm lõm tổng quát và hàm lõm chặt tổng quát. Ta có một số ví dụ về hàm lồi chặt tổng quát sau. (1). f (x) = xαp , x > 0, p > 0. (2). f (x) = Eα (xα ), x ∈ R, trong đó α Eα (x ) = ∞ X
xαk /Γ(1 + kα) k=0 là hàm Mittag-Lefer. Ta có hàm tuyến tính f (x) = aα xα + bα , x ∈ R vừa là hàm lồi tổng quát, vừa là hàm lõm tổng quát. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số tính chất của hàm lồi tổng quát. Định lý 2.1.10. Xét f : I → Rα . Khi đó f là hàm lồi tổng quát khi và chỉ khi thỏa mãn bất đẳng thức f (x1 ) − f (x2 ) f (x3 ) − f (x2 ) 6 α (x1 − x2 ) (x3 − x2 )α với mọi x1 , x2 , x3 ∈ I thỏa mãn x1 < x2 < x3 . (2.9)