Tài liệu Về một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ LỆ THỦY VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------ VŨ LỆ THỦY VỀ MỘT LỚP BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HAI CẤP Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2014 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân. . . . . . . . 1.1.3 Các trường hợp riêng và ví dụ thực tế. . . . . . 1.2 Sự tồn tại nghiệm và các tính chất . . . . . . . . . . . 2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 2.1 Phát biểu bài toán và các kiến thức bổ trợ. 2.2 Thuật toán và sự hội tụ. . . . . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . 4 4 4 6 7 11 . . . . 20 20 23 31 32 2 Mở đầu Bất đẳng thức biến phân là một vấn đề quan trọng của Toán học Ứng dụng. Bài toán này có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Ngoài ra, nhiều bài toán quan trọng như tối ưu lồi, bài toán bù, các bài toán phương trình vi phân và đạo hàm riêng v.v... đều có thể mô tả dưới dạng một bất đẳng thức biến phân. Bất đẳng thức biến phân đã được bắt đầu nghiên cứu từ thập kỷ 60 của thế kỷ trước, tuy nhiên bài toán này vẫn là một vấn đề thời sự vì vai trò quan trọng của nó trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng là xây dựng các phương pháp giải. Gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp mà một trường hợp riêng quan trọng là bài toán cực tiểu một chuẩn trên tập nghiệm của một bất đẳng thức biến phân đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Bài toán này xuất hiện trong nhiều vấn đề khác nhau, ví dụ trong vấn đề hiệu chỉnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Việc giải bài toán này không thể áp dụng trực tiếp được bằng các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân thông thường (một cấp) đã có, do cấu trúc lồng nhau và phụ thuộc nhau của bài toán hai cấp. Mục đích của bản luận văn này là giới thiệu một cách cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân. Đặc biệt luận văn đi sâu vào một thuật toán giải bài toán cực tiểu hàm chuẩn trên tập nghiệp của bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Thuật toán được trình bày ở luận văn được lấy từ một bài báo gần đây của tác giả Bùi Văn Định và Lê Dũng Mưu ở tạp chí ACTA Mathematica Vietnamica. Đây là một thuật toán dựa trên phương pháp chiếu kết hợp với kỹ thuật tìm kiếm Armijo và siêu phẳng cắt để thu được sự hội tụ mạnh trong không gian Hilbert. Bản luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo còn có hai chương. Chương 1 có tiêu đề "Bài toán bất đẳng thức biến phân." Trong 3 chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan. Tiếp đó là một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Chương 2 có tiêu đề là: "Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp" Chương này giành để trình bày các kiến thức cơ bản về một bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp và chủ yếu trình bày một thuật toán dựa theo nguyên lý bài toán phụ kết hợp với kỹ thuật tìm kiếm theo tia và siêu phẳng cắt để giải bài toán này. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy, Thầy đã dành nhiều thời gian trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như giải đáp những thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô tại Đại học Thái Nguyên và tại Viện toán học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học. Cuối cùng tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm động viên, tạo điều kiện và ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp. Thái Nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2014. Tác giả Vũ Lệ Thủy 4 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong toàn bộ chương này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert thực H. Trước tiên ta trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan. Tiếp đó là một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Các kiến thức trong chương này được lấy trong tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [7], [8]. 1.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 1.1.1 Một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính. Tích vô hướng xác định trên H là một ánh xạ được xác định: h., .i : H × H −→ R hx, yi 7−→ hx, yi. thỏa mãn các điều kiện sau: i. hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H; ii. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H; iii. hαx, yi = αhx, yi với mọi x, y ∈ H. và α ∈ R; iv.hαx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H, hx, xi = 0 ⇔ x = 0. hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y . Cặp (H, h., .i) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian 5 Unita). Sự hội tụ, khái niệm tập mở,...,trong (H, h., .i) luôn được gắn với chuẩn sinh bởi hx, yi. Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ thì ta nói (H, h., .i) là không gian Hilbert. Định lý 1.1. Cho H là không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau: | hx, yi |2 ≤ hx, xihy, yi, bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz. Định lý 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó: q k x k= hx, xi, x ∈ H, xác định một chuẩn trên H. Định lý 1.3. Cho H là không gian Hilbert, khi đó: h., .i : H × H −→ R, là một hàm liên tục. Định lý 1.4. Với mọi x, y trong không gian tiền Hilbert, ta có: k x + y k2 + k x − y k2 = 2(k x k2 + k y k2 ). Định nghĩa 1.2. Hai vectơ x, y ∈ H được gọi là hai vectơ trực giao với nhau, kí hiệu là x ⊥ y, nếu hx, yi = 0. Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất sau: i. 0 ⊥ x, ∀x ∈ X; ii. x ⊥ y ⇒ y ⊥ x; iii. x ⊥ {y1 , y2 , . . . , yn } ⇒ x ⊥ α1 y1 + α2 y2 + . . . + αn yn , n ∈ N ∗ , αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n; iv. x ⊥ yn , yn → y khi n → ∞ thì x ⊥ y. Định nghĩa 1.3. Cho tập M ⊂ H, phần bù trực giao của M , kí hiệu M ⊥ là tập hợp sau: M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ y, ∀y ∈ H}. 6 Định lý 1.5. (Tích vô hướng sinh bởi chuẩn). Cho (X, k · k) là một không gian tuyến tính định chuẩn trên không gian Hilbert H. Giả sử với mọi x, y ∈ X, thỏa mãn: k x + y k2 + k x − y k2 = 2(k x k2 + k y k2 ). Khi đó trên X có một tích vô hướng thỏa mãn hx, xi =k x k2 . Định nghĩa 1.4. Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H, ánh xạ: A∗ : H → H xác định như sau: ∀y ∈ H, A∗ y = y ∗ ; trong đó: hAx, yi = hx, A∗ yi = hx, y ∗ i. Khi đó A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A. Định lý 1.6. (Định lí F. Riesz). Với mỗi vectơ a cố định thuộc không gian Hilbert H hệ thức: f (x) = ha, xi. (1.1) Xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) trên không gian Hilbert H với: k f k=k a k . (1.2) Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f (x) nào trên không gian Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.1), trong đó a là một vectơ của H thỏa mãn (1.2). 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân. Cho một tập con K của H và ánh xạ F : K → H. Bài toán bất đẳng thức được kí hiệu là V IP (K; F ) là bài toán tìm x∗ sao cho:  x∗ ∈ K, F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.3) Tập hợp những điểm x∗ thỏa mãn (1.3) được gọi là tập nghiệm của V IP (K; F ) và kí hiệu là SOL − V IP (K; F ). 7 1.1.3 Các trường hợp riêng và ví dụ thực tế. Một trong những lớp bài toán quan trọng và là một trường hợp riêng của bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán bù được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.5. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H, K ∗ là nón đối ngẫu của K và cho ánh xạ: F : K → H. Bài toán bù, kí hiệu là N CP (K; F ) là bài toán:   Tìm vectơ x∗ ∈ K sao cho : F (x∗ ) ∈ K ∗ (N CP (K; F ))  x∗ , F (x∗ ) = 0 Tập hợp nghiệm của N CP (K; F ) được kí hiệu là SOL − N CP (K; F ). Mệnh đề 1.1. Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì tập nghiệm của bài toán N CP (K; F ) và bài toán V IP (K; F ) là trùng nhau, tức là: SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F ). Chứng minh Giả sử x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ). Theo định nghĩa ta có:  x∗ ∈ K; F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K. Bằng cách lấy x = 0 ∈ K suy ra:  F (x∗ , −x∗ ) ≥ 0. Bằng cách lấy x = 2x∗ ∈ K ta thu được:  F (x∗ ), x∗ ≥ 0. Từ (1.4) và (1.5) ta kết luận:  F (x∗ ), x∗ = 0. Mặt khác từ định nghĩa ta có:     0 ≤ F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x , ∀x ∈ K. Điều này chứng tỏ: F (x∗ ) ∈ K ∗ . Kết hợp với (1.6) ta có: x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ); hay: SOL − V IP (K; F ) ⊂ SOL − N CP (K; F ). (1.4) (1.5) (1.6) 8 Ngược lại, giả sử x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ). Theo định nghĩa ta có:  ∗ ∗ F∗ (x ) ∗∈ K ; x , F (x ) = 0. Mặt khác vì F (x∗ ) ∈ K ∗ nên với mọi x ∈ K ta có:     F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x ≥ 0. Điều này suy ra: x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ); hay SOL − N CP (K; F ) ⊂ SOL − V IP (K; F ). Kết luận lại ta có: SOL − V IP (K; F ) = SOL − N CP (K; F ). Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.6. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → K. Điểm x̄ ∈ K được gọi là điểm bất động của ánh xạ F nếu thỏa mãn điều kiện: ¯ = x̄. F (x) BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI. Cho K là tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và f : K → R là một hàm lồi trên K . Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ K : f (x∗ ) = minf (x) | x ∈ K. (OP) Mệnh đề 1.2. Giả sử : f : K → R là hàm lồi khả vi trên tập lồi K ∈ H. Khi đó x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (OP) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân:  Tìm x∗ ∈ K sao cho ∇f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K; trong đó: ∇f (x∗ ) là đạo hàm của f tại x∗ . Ta xét các ví dụ thực tế của bài toán bất đẳng thức biến phân. 9 Ví dụ 1.1. Bài toán cân bằng mạng giao thông. Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồn hữu hạn. Gọi: ? N : là tập các nút mạng. ? A: là tập hợp các cạnh ( mỗi cạnh được gọi là một đoạn thẳng ). Giả sử O ⊆ N , D ⊆ N sao cho O ∩ D 6= ∅. Mỗi phần tử O được gọi là điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (được gọi là một tuyến đường). Kí hiệu: • fai là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A. Đặt f là vectơ có các thành phần là fai với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp các phương tiện giao thông). • cia là chi phí khi sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường A. Đặt c là vectơ có các thành phần là cia với i ∈ I và a ∈ A. • diw là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên tuyến đường w = (O, D) với O ∈ O, D ∈ D. Giả sử rằng chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là: c = c(f ) là một hàm của f . • λia là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D. Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn: P i diw = (1.7) xp , ∀i ∈ I, w ∈ O × D, p∈Pw trong đó: Pw là kí hiệu tập hợp các tuyến đường của w = (O, D) (nối điểm nguồn O và điểm đích D). Theo phương trình (1.7) thì nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trên mọi tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đích của tuyến đường đó. Khi đó ta có: P i fai = xp δap, ∀i ∈ I, w ∈ O × D, (1.8) p∈Pw trong đó:  δap := 1 nếu a ∈ P 0 nếu a ∈ / P. Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt: P i cip = ca δap. (1.9) a∈A Như vậy, cia là chi phí khi sử dụng phương tiện i trên tuyến đường p. Đặt d là vectơ có thành phần là diw , (i ∈ I, a ∈ O × D). Một cặp (d∗ , f ∗ ) thỏa mãn 10 điều kiện (1.7) và (1.8) được gọi là điểm cân bằng mạng giao thông nếu:  = λiw (d∗ ) khi xip > 0, i cp > λiw khi xip = 0, với mỗi i ∈ I và mỗi tuyến đường p. Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằng đối với mọi loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp nhất khi có lưu lượng giao thông trên tuyến đó. Trái lại, chi phí sẽ không phải thấp nhất. Đặt  K = (f, d) | ∃x ≥ 0 sao cho (1.7) và (1.8) đúng . Khi đó ta có định lý sau: Định lý 1.7. Một cặp vectơ (f ∗ , d∗ ) ∈ K là một điểm cân bằng của mạng giao thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau:  Tìm (f ∗ , d∗ ) ∈ K : (c(f ∗ ), λ(d∗ )), (f, d) − (f ∗ , d∗ ) ≥ 0, ∀(f, d) ∈ K. Ví dụ 1.2. Bài toán kinh tế bán độc quyền. Giả sử có n công ty cùng sản xuất một loại sản phẩm và lợi nhuận pi của mỗi công ty i phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của tất cả các công n P ty σ := xj . Kí hiệu hi (xi ) là chi phí của công ty i khi sản xuất ra lượng j=1 hàng hóa xi . Giả sử rằng lợi nhuận của công ty i được cho bởi: n P fi (x1 , . . . , xn ) = xi pi ( xj ) − hi (xi ) (i = 1, . . . , n), (1.10) j=1 trong đó p( n P xj ) là giá của một đơn vị sản phẩm, phụ thuộc vào tổng sản j=1 phẩm, còn hàm chi phí của mỗi công ty i chỉ phụ thuộc vào mức độ sản xuất của công ty đó. Đặt Ui ⊂ R, (i = 1, . . . , n) là tập chiến lược của công ty i. Lẽ dĩ nhiên mỗi công ty cần xác định cho mình một mức độ sản xuất để đạt được lợi nhuận cao nhất. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, việc tất cả các công ty đều có lợi nhuận cực đại là khó có thể được. Vì vậy người ta dùng đến khái niệm cân bằng: Một điểm x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) ∈ U := U1 × . . . × Un được gọi là điểm cân bằng Nash nếu: fi (x∗1 , . . . , x∗i−1 , yi , x∗i+1 , . . . , x∗n ) ≤ fi (x∗1 , . . . , x∗n ) ∀yi ∈ Ui , ∀i = 1, . . . , n. 11 Trong mô hình cân bằng Cournot cổ điển, hàm chi phí và lợi nhuận của mỗi công ty là affine có dạng: pi (σ) ≡ p(σ) = α0 − βσ , α0 ≥ 0, β > 0, với σ = n P xi , i=1 hi (xi ) = µxi + ξi , µi ≥ 0, ξi ≥ 0 (i = 1, . . . , n). Ta đặt  β 0 0  0 β 0 A =  ... ... ... 0 0 0   ... 0  ... 0  . . . . . .  , Ã =  ... β 0 β β β 0 β ... ... ... β β β  ... β ... β  ... ...  ... 0 và αT = (α0 , . . . , α0 ), µT = (µ1 , . . . , µn ). Điểm x∗ là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân nghĩa là: n  P ∗ ∗ f (x ), y − x = −∇xi fi (x∗ )(yi − x∗i ) ≥ 0, với mọi y ∈ U. i=1 1.2 Sự tồn tại nghiệm và các tính chất Bổ đề 1.1. (Xem [7]) Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian H. Khi đó với mỗi x ∈ H, có duy nhất y ∈ K sao cho: k x − y k= infn∈K k x − η k . (1.11) Điểm y thỏa mãn (1.11) được gọi là hình chiếu của x lên K và được kí hiệu là: y = P rK x. Dễ thấy : P rK x = x, ∀x ∈ K. Định lý 1.8. (Xem [7]) Cho K là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H và x là một điểm bất kì thuộc H. Khi đó: y = P rK x khi và chỉ khi:  y ∈ K; (y, η − y) ≥ (x, η − y), ∀η ∈ K. 12 Hệ quả 1.1. (Xem [7]) Cho K là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H. Khi đó toán tử P rK : H → H là không giãn, tức là: k P rK x − P rK x0 k≤k x − x0 k, ∀x, x ∈ H. Định lý 1.9. (Định lí về điểm bất động của Brouwer). Cho A là tập khác rỗng, lồi, compact yếu trong H và ánh xạ P : K → K là liên tục yếu. Khi đó có ít nhất một điểm x̄ ∈ K sao cho x̄ = P (x̄). Nói một cách khác, tồn tại ít nhất một điểm bất động của ánh xạ P. Định lý 1.10. Cho K là một tập không rỗng, lồi, compact yếu trong H và F : K → H là ánh xạ liên tục yếu. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ) có ít nhất một nghiệm. Chứng minh Theo định nghĩa, việc chứng minh định lý tương đương với việc chứng minh sự tồn tại của điểm x thỏa mãn:  x ∈ K, (x, y − x) ≥ (x − F (x), y − x), ∀y ∈ K. Dễ nhận thấy, ánh xạ hợp: P rK (I − F ) : K → K; là ánh xạ liên tục với I là ánh xạ đồng nhất. Theo Định lý 1.9, tồn tại điểm bất động x ∈ K sao cho:  x = P rK (I − F ) (x). Ta sẽ chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ). Thực vậy, do x, F (x) ∈ K nên P rK x = x và P rK F (x) = F (x). Kết hợp Định lý 1.8 ta có:   x, y − x ≥ P rK (I − F )x, y − x , ∀y ∈ K;   ⇔ x, y − x ≥ P rK x − P rF (x), y − x , ∀y ∈ K;   ⇔ x, y − x ≥ x − F (x), y − x , ∀y ∈ K;  ⇔ F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K. Điều này chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ), hay V IP (K; F ), có ít nhất một nghiệm. Định lý được chứng minh. 13 Trong trường hợp tập K không bị chặn, định lý về điểm bất động của Brouwer không áp dụng được. Khi đó, sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân có thể được thiết lập theo cách khác. Kí hiệu B̄(0, R) là hình cầu đóng tâm 0, bán kính R > 0 trong không gian Hilbert H và đặt: KR = K ∩ B̄(0, R). Hiển nhiên, KR là khác rỗng, lồi đóng và bị chặn và nó là tập compact yếu. Theo Định lý 1.9, bài toán V IP (K; F ) luôn có nghiệm. Định lý 1.11. Cho K ⊂ H là một tập khác rỗng, lồi và đóng, F : K → H là ánh xạ liên tục. Khi đó điều kiện cần và đủ để bài toán V IP (K; F ) có nghiệm tồn tại số thực R > 0 và bài toán V IP (KR ; F ) có nghiệm x∗R thỏa mãn k x∗R k< R. Chứng minh ? Điều kiện cần: Giả sử rằng x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ) Theo định nghĩa ta có:  F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K. Lấy R > 0 sao cho k x∗ k< R. Hiển nhiên:  F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ KR ; (1.12) tức là: x∗ ∈ SOL − V IP (KR ; F ). ? Điều kiện đủ: Giả sử rằng tồn tại R > 0, x∗R ∈ KR thỏa mãn k x∗ k< R và  F (x∗R ), y − x∗R ≥ 0, ∀y ∈ KR . Do tính lồi của tập K, với mỗi x ∈ K, ta có thể chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho: y = x∗R + ε(x − x∗R ) ∈ K. Hiển nhiên: k y k≤k x∗R k +ε k x − x∗R k . Mặt khác, do k x∗R k< R nên ta có thể chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho: k y k≤k x∗R k +ε k x − x∗R k≤ R; 14 hay y ∈ KR . Theo (1.12) ta có:      0 ≤ F (x∗R ), y − x∗R = F (x∗R ), x∗R + ε(x − x∗R ) − x∗R = ε F (x∗R ), x − x∗R , hay  F (x∗R ), x − x∗R ≥ 0; và điều này đúng với mọi x ∈ K. Vậy chứng tỏ x∗R ∈ SOL − V IP (K; F ). Định lý được chứng minh. Định lý 1.12. Cho K là một tập khác rỗng, lồi và đóng trong H và ánh xạ F : K → H là liên tục đơn điệu mạnh. Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ). Chứng minh ? Chứng minh sự tồn tại nghiệm: Do F là ánh xạ đơn điệu mạnh, điều này kéo theo rằng F thỏa mãn điều kiện bức, nghĩa là:  F (x) − F (y), x − y = +∞, y ∈ K. (1.13) lim x∈K,kxk→+∞ kx−y k Vì F liên tục nên ta có thể chọn các hằng số c > 0, R > 0 sao cho: c >k F (y) k> 0; nếu R >k y k> 0. Do đó theo (1.13) ta có:  F (x) − F (y), x − y ≥ c k x − y k với mọi x ∈ K và k x k≥ R. Từ đó suy ra:   F (x), x − y ≥ c k x − y k + F (y), x − y . Sử dụng đẳng thức Cauchy - schwarz ta có: 
F (x), x − y ≥ c k x − y k − k F (y) kk x − y k= c− k F (y) k k x − y k

≥ c − F (y) k x k − k y k > 0 (1.14) Do F là ánh xạ liên tục. KR là một tập lồi và compact nên theo Định lý 1.10, V IP (KR ; F ) luôn có nghiệm x∗R . Theo Định lý 1.11, để chứng tỏ x∗R là 15 nghiệm của V IP (K; F ) ta cần chỉ ra rằng k x∗R k< R. Thực vậy, vì x∗R ∈ V IP (KR ; F ) nên:  F (x∗R ), x − x∗R ≥ 0, ∀x ∈ KR . Đặc biệt với x = y thì:   F (x∗R ), y − x∗R ≥ 0, ⇒ F (x∗R ), x∗R − y ≤ 0. Khi đó theo (1.14) thì k x∗R k6= R hay k x∗R k< R và ta thu được điều cần chứng minh. Kết luận x∗R là nghiệm của V IP (K; F ). ? Chứng minh duy nhất nghiệm: Giả sử rằng x∗ và x0 là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ), và x∗ 6= x0 . Khi đó, chúng đều thỏa mãn:  F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.15)  F (x0 ), x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K. (1.16) Sau đó ta thế x bởi x0 trong (1.15) và thế x bởi x∗ trong (1.16) ta thu được:  F (x∗ ), x0 − x∗ ≥ 0.  F (x0 ), x∗ − x0 ≥ 0. Cộng bất đẳng thức vừa có ta thu được:  F (x∗ ) − F (x0 ), x0 − x∗ ≥ 0, hay  F (x∗ ) − F (x0 ), x∗ − x0 ≤ 0. (1.17) Nhưng bất đẳng thức (1.17) mâu thuẫn tính đơn điệu chặt của F. Như vậy, điều giả sử là sai hay x∗ = x0 . Kết luận: Bất đẳng thức V IP (K; F ) luôn có nghiệm duy nhất và định lý được chứng minh. Bổ đề 1.2. Cho K là một tập lồi đóng, khác rỗng của H và ánh xạ F : K → H là đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều. Khi đó tồn tại u thỏa mãn:  u
∈ K; (1.18) F u, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K. 16 nếu và chỉ nếu  u
∈ K; F v, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K. (1.19) Chứng minh ? Điều kiện cần: Giả sử tồn tại u ∈ K thỏa mãn:
F u, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K. Do tính đơn điệu của ánh xạ F nên:


0 ≤ F v − F u, v − u = F v, v − u − F u, v − u ∀u, v ∈ K. Vì vậy tồn tại u ∈ K sao cho:

0 ≤ F u, v − u ≤ F v, v − u , ∀v ∈ K. ? Điều kiện đủ: Giả sử rằng tồn tại u ∈ K thỏa mãn:
F u, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K. Với mỗi w ∈ K, do K là tập lồi nên: v = u + t(w − u) ∈ K; trong đó 0 ≤ t ≤ 1. Hiển nhiên, từ (1.19) và với t > 0 ta có:
 F u + t(w − u) , t(w − u) ≥ 0. Hay
 F u + t(w − u) , (w − u) ≥ 0, ∀w ∈ K. Do ánh xạ F là liên tục yếu trên miền giao của K với không gian con hữu hạn chiều sinh bởi đường thẳng đi qua hai điểm u và v , ta có thể chọn t → 0 và có được sự tồn tại u ∈ K sao cho:
F u, w − u ≥ 0, ∀w ∈ K. Điều này cũng chính là (1.18). Bổ đề được chứng minh. 17 Định lý 1.13. Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng của H và cho ánh xạ F : K → H là đơn điệu và liên tục yếu trên các không gian con hữu hạn chiều. Khi đó tồn tại:  u
∈ K; (1.20) F u, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K. Nói cách khác là V IP (F ; K) có nghiệm. Ngoài ra, nếu F là đơn điệu chặt thì nghiệm của (1.20) là duy nhất. Chứng minh Cho M ⊂ H là một không gian con hữu hạn chiều. Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử rằng O ∈ K. Ta xác định ánh xạ: j : M → H là một đơn ánh và ánh xạ: j 0 : H ∗ (= H) → M là ánh xạ đối ngẫu của nó. Các phép toán ở đây được xác định sao cho: hf, jxi = hj 0 f, xiM , ∀x ∈ M, f ∈ H. Ta đặt: KM = K ∩ M ≡ K ∩ jM ; và xét ánh xạ: j 0 F j : KM → M ∗ (= M ). Khi đó, KM là một tập lồi, compact của M và j 0 F j là ánh xạ liên tục bởi giả thiết từ K vào M . Theo kết quả ở trên tồn tại một phần tử uM ∈ KM sao cho: hj 0 F juM , v − uM i ≥ 0, ∀v ∈ KM ; hay nói cách khác, khi juM = uM và jvM = v , ta có: hF uM , v − uM i ≥ 0, ∀v ∈ KM . Theo Bổ đề 1.2: hF v, v − uM i ≥ 0, ∀v ∈ KM . Ta xác định tập: S(v) = {u ∈ K : hF v, v − ui ≥ 0}. Khi đó, S(v) là tập đóng yếu với mỗi v ∈ K. Hơn nữa, khi K là tập bị chặn, K là tập compact yếu. Do đó, ∩v∈K S(v) một tập con đóng của K là một 18 tập compact yếu. Ta sử dụng định lý tương giao hữu hạn để kết luận rằng tập ∩v∈K S(v) khác rỗng. Thực vậy, cho {v1 , . . . , vm } ∈ K. Ta khẳng định rằng: S(v1 ) ∩ S(v2 ) ∩ . . . ∩ S(vm ) 6= ∅. (1.21) Lấy M là không gian con hữu hạn chiều của X sinh bởi {v1 , . . . , vm } và xác định KM = K ∩ M như trên. Từ những lập luận trước, có một phần tử: uM ∈ K sao cho: hF v, v − uM i ≥ 0, ∀v ∈ KM . Đặc biệt: hF vi , vi − uM i ≥ 0, i = 1, . . . , m, do uM ∈ S(vi ), i = 1, . . . , m, . Hiển nhiên, với mỗi tập hợp {v1 , . . . , vm } hữu hạn thì luôn có (1.21). Vì vậy, theo định lý tương giao hữu hạn thì tồn tại một phần tử: u ∈ ∩v∈K S(v), điều này có nghĩa là:  u
∈ K; F v, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K. Dùng bổ đề (1.2) lần nữa ta có:  u
∈ K; F u, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K. Điều này chứng tỏ (1.21) có nghiệm và định lý được chứng minh. Nhận xét 1.1. (Xem [7]) Từ Bổ đề 1.2 thấy rằng tập nghiệm của bất đẳng thức (1.20) là một tập con lồi đóng của tập K. Định lý 1.14. (Xem [7]) Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H; cho F : K → H là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều. Điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm của bất đẳng thức biến phân:  u
∈ K; F u, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K,