Tài liệu Về môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không cohen macaulay trên vành noether địa phương.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN LƯU PHƯƠNG THẢO VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn TS. Trần Nguyên An THÁI NGUYÊN - NĂM 2019 Tóm tắt Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M , ký hiệu nCM(M ), là tập các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp không là Cohen-Macaulay. Khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương, M có môđun chính tắc KM . Ta nói M là Cohen-Macaulay chính tắc (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc) nếu môđun chính tắc KM của M là Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng). Luận án nghiên cứu về môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không Cohen-Macaulay: quỹ tích không CohenMacaulay nCM(M ), quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(KM ), và quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s của M, ký hiệu là nCM>s (M ). Trong luận án, chúng tôi đặc trưng cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Chúng tôi làm rõ mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và quỹ tích không CohenMacaulay của M. Chúng tôi cũng nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng, từ đó đưa ra công thức tính chiều của quỹ tích không CohenMacaulay theo chiều > s. Luận án được chia thành 4 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở về môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Artin, môđun chính tắc và môđun khuyết. Trong Chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm hệ tham số chính tắc, chỉ ra mối quan hệ giữa hệ tham số chính tắc và hệ tham số chuẩn 2 tắc. Chúng tôi thiết lập đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc thông qua hệ tham số chính tắc và cải tiến các kết quả trước đây về cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Trong Chương 3, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM . Đặc biệt hơn, chúng tôi chỉ ra rằng, ngoài mối quan hệ bao hàm nCM(KM ) ⊆ nCM(M ) thì hai quỹ tích này hầu như là độc lập với nhau. Trong Chương 4, chúng tôi làm rõ sự thay đổi của tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương Artin bP , trong đó P ∈ Spec(R) b và p = P ∩ R. qua chuyển phẳng ϕ : Rp → R Sử dụng kết quả này, chúng tôi đưa ra công thức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s. Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả Lưu Phương Thảo Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi từ những ngày đầu tiên tập làm nghiên cứu khoa học. Với tất cả niềm đam mê nghiên cứu khoa học và tâm huyết của người thầy, cô đã truyền thụ cho tôi không chỉ về tri thức toán học mà còn về phương pháp nghiên cứu, cách phát hiện và giải quyết vấn đề. Cô là tấm gương sáng cho lớp học trò chúng tôi phấn đấu noi theo về những nỗ lực vượt qua khó khăn để đạt tới thành công. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứ hai của tôi - TS. Trần Nguyên An. Thầy đã luôn quan tâm, động viên, khích lệ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tôi xin trân trọng cảm ơn GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Thầy là người đầu tiên giảng dạy cho tôi những kiến thức về Đại số giao hoán từ những ngày tôi còn là học viên cao học. Cho tới nay, khi tôi học nghiên cứu sinh, thầy vẫn luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo và đồng nghiệp trong Tổ Hình học - Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm đã quan tâm động viên và giúp đỡ nhiều mặt trong thời 5 gian tôi làm nghiên cứu sinh. Tôi xin cảm ơn chị Nguyễn Thị Kiều Nga, em Trần Đỗ Minh Châu cùng các anh chị em trong nhóm seminar Đại số Đại học Thái Nguyên đã luôn đồng hành cùng tôi, động viên, khích lệ, chia sẻ với tôi trong học tập cũng như trong cuộc sống. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình của mình, đặc biệt là Bố mẹ, Chồng và hai Con trai yêu quý, đã luôn động viên, chia sẻ khó khăn và luôn mong mỏi tôi thành công. Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tác giả Lưu Phương Thảo 6 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1. Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . 18 1.2. Môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3. Môđun chính tắc và môđun khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. Môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc . . . 28 2.1. Hệ tham số chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 3. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1. Một số tính chất qua chuyển phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc . . . . . . . 51 Chương 4. Đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng và quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s . . . . . . . . . 58 4.1. Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2. Chiều và bội qua chuyển phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3. Quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng 70 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7 Mở đầu Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương với m là iđêan cực đại duy nhất, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d. Ta luôn có mối liên hệ giữa hai bất biến độ sâu và chiều của M được cho bởi công thức depth M ≤ dim M . Nếu depth M = dim M thì M được gọi là môđun Cohen-Macaulay. Khi R là R-môđun Cohen-Macaulay, thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay. Lớp môđun Cohen-Macaulay và các mở rộng của chúng đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới. Cấu trúc của những lớp môđun này đã được đặc trưng qua hầu hết lý thuyết quen biết của Đại số giao hoán (số bội, đối đồng điều địa phương, địa phương hóa, đầy đủ hóa,...). Các môđun này xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Lý thuyết bất biến, Tổ hợp và Hình học đại số. Luận án liên quan đến hai hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay sau đây. Mở rộng thứ nhất là dựa theo hiệu số I(x; M ) giữa độ dài `(M/xM ) và số bội e(x; M ) với x là hệ tham số của M. Chú ý rằng M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu I(x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x. Từ đó, một giả thuyết được đặt ra bởi D. A. Buchsbaum [11] năm 1965 như sau: I(x; M ) := `(M/xM ) − e(x; M ) là một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M . Câu trả lời phủ định cho giả thuyết được W. Vogel và J. Stückrad [51] đưa ra năm 1973, và họ đã nghiên cứu lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện của giả thuyết, được gọi là vành và môđun Buchsbaum [42]. Năm 1978, N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung [48] đã giới thiệu một mở rộng của lớp môđun Buchsbaum, đó là lớp môđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theo mọi hệ tham số x của M , và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy 8 rộng. Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán. Tiếp tục mở rộng theo hướng này, ta được lớp môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s, với s ≥ −1 là số nguyên (xem [45]). Chú ý rằng M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu nó là Cohen-Macaulay theo chiều > −1. Khi R là thương của vành Cohen-Macaulay, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu M là Cohen-Macaulay theo chiều > 0. Hướng mở rộng thứ hai của lớp môđun Cohen-Macaulay là dựa vào cấu trúc của môđun chính tắc, trong trường hợp R là ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein địa phương (R0 , m0 ) chiều n0 . Với mỗi số nguyên 0 n −i i i := ExtR là R-môđun hữu hạn sinh i ≥ 0, đặt KM (M, R0 ). Khi đó KM 0 và được gọi là môđun khuyết thứ i của M. Đặc biệt, với i = d ta ký d và gọi là môđun chính tắc của M. Khi KM là Cohenhiệu KM := KM Macaulay, ta nói M là Cohen-Macaulay chính tắc. Chú ý rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì KM cũng là môđun Cohen-Macaulay. Vì thế, lớp môđun Cohen-Macaulay chính tắc là một mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay. Khái niệm vành và môđun Cohen-Macaulay chính tắc xuất phát từ bài toán sau: Giả sử (R, m) là một miền nguyên, địa phương. Ký hiệu Q(R) là trường các thương của R. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là tồn tại hay không một vành trung gian R ⊆ B ⊆ Q(R) sao cho B là R-môđun hữu hạn sinh và B là vành Cohen-Macaulay? Vành B như trên (nếu tồn tại) được gọi là Macaulay hóa song hữu tỷ của R. Đây là bài toán quan trọng trong Đại số giao hoán. Năm 2004, P. Schenzel [38] đã chứng minh rằng một miền nguyên Noether địa phương R có Macaulay hóa song hữu tỷ nếu và chỉ nếu R là vành Cohen-Macaulay chính tắc. Năm 2006, L. T. Nhàn [33] đã đưa ra một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay chính tắc thông qua tính triệt tiêu của độ dài thặng dư của môđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số là f -dãy chặt giới thiệu trong [15]. Tiếp theo, 9 năm 2012, M. Brodmann và L. T. Nhàn [5] đã chỉ ra rằng với điều kiện d ≥ 4 và x là phần tử tham số f -chặt, thì M là Cohen-Macaulay chính tắc khi và chỉ khi M/xM là Cohen-Macaulay chính tắc. Một cách tự nhiên, N. T. H. Loan và L. T. Nhàn [26] đã giới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, đó là lớp các môđun M sao cho KM là Cohen-Macaulay suy rộng. Họ đã đặc trưng lớp môđun này thông qua sự tồn tại chặn đều cho các độ dài thặng dư của các môđun đối đồng điều địa phương ứng với các hệ tham số là f -dãy chặt. Chú ý rằng nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Luận án nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành Noether địa phương. Mục đích thứ nhất của luận án là đặc trưng cấu trúc của lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc khi R là thương của vành Gorenstein địa phương. Mục đích thứ hai là làm rõ mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và quỹ tích không CohenMacaulay của M. Mục đích thứ ba là nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương Artin dưới tác bP , trong đó P ∈ Spec(R), b p = P ∩ R và động của chuyển phẳng Rp → R R tùy ý không nhất thiết là thương của vành Gorenstein, từ đó đưa ra công thức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s. Về phương pháp nghiên cứu, để đặc trưng lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, chúng tôi khai thác những tính chất đặc thù của môđun đối đồng điều địa phương Artin và sử dụng linh hoạt các hệ tham số là f -dãy chặt. Về mối quan hệ giữa hai quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(KM ) và nCM(M ), chúng tôi cần đến Định lý cấu trúc của vành Buchsbaum [19, Định lý 1.1], Định lý cấu trúc của môđun chính tắc qua chuyển phẳng [4, Định lý 4.1] và công thức chiều của môđun khuyết dưới tác động của mở rộng chuỗi lũy thừa hình thức. Để nghiên cứu môđun đối đồng điều 10 bP , chúng tôi áp dụng địa phương dưới tác động của chuyển phẳng Rp → R hữu hiệu tính chất chuyển dịch qua địa phương hóa và đầy đủ hóa của L. T. Nhàn và P. H. Quý [35, Định lý 1.1] và công thức số bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phương Artin được đưa ra bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp [9]. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia làm 4 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở phục vụ cho các chương sau, bao gồm các đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng; tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và bội của môđun Artin; môđun chính tắc và môđun khuyết. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc dựa theo phần 2 của bài báo [1]. Chương 3 dành để đưa ra mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M dựa theo các kết quả trong phần 1 của bài báo [1]. Trong Chương 4, chúng tôi làm rõ sự thay đổi của tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội của môđun đối đồng điều bP địa phương với giá cực đại dưới tác động của mở rộng phẳng Rp → R b và p = P ∩ R. Sử dụng kết quả này, chúng tôi đưa ra với P ∈ Spec(R) công thức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s. Các kết quả của Chương 4 được viết dựa theo các bài báo [31], [43]. Trong suốt luận án, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d. Trong Chương 2, cho R là thương của một vành Gorenstein địa phương. Ký hiệu KM là môđun chính tắc của M . Chú ý rằng KM là R-môđun hữu hạn sinh và Hmd (M ) ∼ = HomR (KM , E(R/m)), trong đó E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m. Theo N. T. H. Loan và L. T. Nhàn [26], M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc nếu KM là Cohen-Macaulay suy rộng. Mục đích của Chương 11 2 là nghiên cứu cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Trước hết ta chú ý rằng M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu `R (Hmi (M )) < ∞ với mọi i < d. Đặc biệt, chúng ta có các đặc trưng sau đây của môđun Cohen-Macaulay suy rộng (xem [44], [48]). Các phát biểu sau là tương đương: (a) M là Cohen-Macaulay suy rộng; (b) Tồn tại hệ tham số (x1 , . . . , xd ) của M sao cho sup I(xn1 1 , . . . , xnd d ; M ) < ∞; n1 ,...,nd ∈N (c) Tồn tại hệ tham số chuẩn tắc (x1 , . . . , xd ) của M , tức là I(x1 , . . . , xd ; M ) = I(x21 , ..., x2d ; M ). Hơn nữa, nếu (x1 , . . . , xd ) là hệ tham số chuẩn tắc của M , thì ! d−1 X d−1 `(Hmi (M )). I(x1 , . . . , xd ; M ) = i i=0 Một đặc trưng tham số của môđun Cohen-Macaulay chính tắc được đưa ra trong bài báo của M. Brodmann và L. T. Nhàn [5] như sau: M là Cohen-Macaulay chính tắc khi và chỉ khi
Rl Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M ) = 0 với một (với mọi) hệ tham số (x1 , . . . , xd ) đồng thời là f -dãy chặt của M. Ở đây, độ dài thặng dư Rl(A) của một R-môđun Artin A được định nghĩa bởi R. Y. Sharp và M. Hamieh [41]. Nếu s ∈ N sao cho mt A = ms A với mọi t ≥ s, thì Rl(A) := `R (A/ms A) (xem Tiết 2.1). Mục đích chính của Chương 2 là thiết lập một phiên bản cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc tương tự như các đặc trưng tham số (a), (b), (c) ở trên của môđun Cohen-Macaulay suy rộng, trong đó vai trò 12 của hiệu số I(x1 , . . . , xd ; M ) được thay bằng vai trò của độ dài thặng dư
Rl Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M ) , và vai trò của hệ tham số chuẩn tắc được thay bằng vai trò của hệ tham số chính tắc định nghĩa như sau. Định nghĩa 2.1.9. Một f -dãy chặt x = (x1 , . . . , xd ) được gọi là hệ tham số chính tắc của M nếu

Rl Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M ) = Rl Hm2 (M/(x21 , . . . , x2d−3 )M ) . Nếu x đồng thời vừa là một f -dãy chặt hoán vị được vừa là một hệ tham số chính tắc của M , thì x được gọi là hệ tham số chính tắc hoán vị được của M . Định lý sau đây là kết quả chính đầu tiên của luận án, cũng là kết quả chính duy nhất của Chương 2, được trích đăng trong phần 2 của bài báo [1]. Định lý 2.2.4. Các phát biểu sau là tương đương: (a) M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. (b) Tồn tại một số nguyên cM sao cho
Rl Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M ) ≤ cM với mọi f -dãy chặt (x1 , . . . , xd ) của M . (c) Tồn tại một f -dãy chặt (x1 , . . . , xd ) của M sao cho sup n1 ,...,nd−3 ∈N
nd−3 Rl Hm2 (M/(xn1 1 , . . . , xd−3 )M ) < ∞. (d) Tồn tại một hệ tham số chính tắc hoán vị được của M . Hơn nữa, nếu (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số chính tắc hoán vị được của M thì ! d−3 X
d−3 Rl Hm2 (M/(x1 , . . . , xd−3 )M ) = `(Hmi+2 (KM )). i i=0 13 Cho (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M là Rmôđun hữu hạn sinh chiều d. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, ký hiệu bởi nCM(M ), được xác định như sau nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp không là Cohen-Macaulay}. Nhìn chung, nCM(M ) không là tập con đóng trong Spec(R) với tôpô Zariski. Năm 1965, A. Grothendieck [46, IV2, 6.11.2] đã chỉ ra rằng nCM(M ) là đóng khi R là thương của vành chính quy. Trong [21], R. Hartshorne đã chứng tỏ nCM(M ) là đóng nếu R là thương của vành Gorenstein địa phương. Trong trường hợp này, ta có mô tả chi tiết tập nCM(M ) (xem [49], [50]). Hơn nữa, nCM(M ) cũng là tập đóng khi R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương (xem [17, Hệ quả 4.2(iv)]). Khi nCM(M ) là tập đóng, ta có thể định nghĩa chiều dim nCM(M ) của nó. Nếu M là Cohen-Macaulay, thì nCM(M ) = ∅, trong trường hợp này chúng ta quy ước dim nCM(M ) = −1. Chú ý rằng dim nCM(M ) ≤ d − 1. Nếu M là không trộn lẫn (unmixed) thì dim nCM(M ) ≤ d − 2. Mục tiêu của Chương 3 là nghiên cứu chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M, chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và mối liên hệ giữa chúng. Ý tưởng này xuất phát từ một kết quả của Y. Aoyama năm 1980 [3] khi ông nghiên cứu về độ sâu và tính Cohen-Macaulay của môđun chính tắc. Ông đã chứng minh rằng, trong trường hợp R không là vành Cohen-Macaulay thì depth KR và depth R không phụ thuộc nhau, cụ thể là nếu cho trước các số nguyên 0 ≤ r < n và 2 ≤ s ≤ n, thì luôn tồn tại vành địa phương đầy đủ R sao cho dim R = n, depth R = r và depth KR = s. Định lý sau đây là kết quả chính của Chương 3, được trích đăng trong phần 1 của bài báo [1], trong đó chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M và chiều của 14 quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM . Đặc biệt hơn, chúng tôi chỉ ra rằng, ngoài mối quan hệ bao hàm nCM(KM ) ⊆ nCM(M ), thì hai quỹ tích này hầu như là độc lập với nhau theo nghĩa sau. Định lý 3.2.1. Các phát biểu sau là đúng. (a) dim nCM(KM ) ≤ min {d − 3, dim nCM(M )}. (b) Cho các số nguyên n, s, r thỏa mãn −1 ≤ s ≤ n − 3 và s ≤ r ≤ n − 2. Khi đó luôn tồn tại một vành Noether địa phương, đầy đủ (R, m) sao cho R là không trộn lẫn và dim R = n, dim nCM(R) = r, dim nCM(KR ) = s. Chương 4 được viết dựa theo hai bài báo [31] và [43]. Trước hết chúng tôi nghiên cứu tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng. Cho ϕ : (S, n) → (S 0 , n0 ) là một đồng cấu phẳng giữa các vành Noether địa phương. Với mỗi S -môđun hữu hạn sinh L, ta có mối quan hệ giữa các tập iđêan nguyên tố liên kết của S 0 -môđun L ⊗S S 0 và của S -môđun L như sau (xem [29, Định lý 23.2]) 0 Ass (L ⊗S S ) = S0 [ AssS 0 (S 0 /sS 0 ); s∈AssS L −1 AssS L = {ϕ (S) | S ∈ AssS 0 (L ⊗S S 0 )}. Ta đã biết tập các iđêan nguyên tố gắn kết định nghĩa bởi I. G. Macdonald [27] cho môđun Artin đóng vai trò quan trọng tương tự như tập các iđêan nguyên tố liên kết của các môđun hữu hạn sinh. Mặt khác, với i ≥ 0 là một số nguyên và r = dim(S 0 /nS 0 ), các môđun đối đồng điều 0 i địa phương Hni+r 0 (L ⊗S S ) và Hn (L) là các môđun Artin tương ứng trên các vành S 0 và S . Do đó, một câu hỏi hoàn toàn tự nhiên đặt ra là các tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin trên có quan hệ với nhau như thế nào? Kết quả tiếp theo của luận án trả lời một phần cho câu hỏi trên. Cho (R, m) là một vành Noether địa 15 b , p = P∩R phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử P ∈ Spec(R) bP /pR bP ), trong đó R b và M c tương ứng là đầy đủ m-adic và rP = dim(R bP cảm sinh từ đồng cấu tự của R và M . Khi đó đồng cấu ϕ : Rp → R b là đồng cấu phẳng địa phương và Mp ⊗R R bP ∼ cP . Do đó nhiên R → R =M p chúng tôi quan tâm đến mối liên hệ giữa hai tập iđêan nguyên tố gắn kết
i+r c
i Att b H P (M ) và Att H (M ) P R p . Trường hợp chiều thớ rP = 0, RP p bP PR pRp cP ) ∼ bP , nên theo [35, Bổ đề 2.3] ta suy ra ta có HPi Rb (M = HpiRp (Mp ) ⊗Rp R P ngay được rằng

bP ) | QR bP ∈ Att b H i (M cP ) . AttRp HpiRp (Mp ) = ϕ−1 (QR b RP PR P c và ta có cP ∼ b, thì p = m, Mp ∼ Đặc biệt, nếu P = mR =M = M, M c)} AttR Hmi (M ) = {Q ∩ R | Q ∈ AttRb Hmi Rb (M (xem [8, 8.2.4, 8.2.5]). Hơn nữa, nếu R là thương của một vành CohenMacaulay địa phương thì đẳng thức sau là đúng với mọi R-môđun hữu hạn sinh M và mọi số nguyên i ≥ 0 (xem [35, Định lý 1.1]) [ b pR). b c) = AssRb (R/ AttRb Hmi Rb (M i (M ) p∈AttR Hm Kết quả chính thứ nhất của Chương 4 chỉ ra mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương HpiRp (Mp ) và i+r c H P (M P ) trong trường hợp vành thớ có chiều rP ≥ 0 tùy ý. bP PR Định lý 4.1.3. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa
b và p = P ∩ R. Đặt rP = dim R bP /pR bP . phương. Giả sử P ∈ Spec(R) Khi đó với bất kỳ số nguyên i ≥ 0, ta có  bP ∩ Rp | QR bP ∈ Att b H i+rP (M cP ) . (a) AttRp HpiRp (Mp ) = QR bP RP PR [
i+rP c bP /qR bP . (b) AttRbP HPRb (MP ) = Ass R P i qRp ∈AttRp HpR (Mp ) p b thỏa mãn Q ⊆ P và q = Q ∩ R, ta có (c) Với mọi Q ∈ Spec(R) bP ∈ Att b H i+rP (M cP ) nếu và chỉ nếu qRp ∈ AttR H i (Mp ) và QR p pRp bP RP PR b Q ∈ min Var(qR). 16 i+r c Từ Định lý 4.1.3, chúng tôi đưa ra công thức tính chiều của HPRb P (M P) P thông qua chiều của HpiRp (Mp ). Định lý 4.2.1. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa b với p = P ∩ R. Đặt rP = dim R bP /pR bP . phương. Giả sử P ∈ Spec(R) Khi đó với bất kỳ số nguyên i ≥ 0 ta có i+r c i dimRbP HPRb P (M P ) = dimRp HpRp (Mp ) + rP . P Sử dụng Định lý 4.1.3 và công thức bội liên kết xây dựng bởi M. Brodmann i+r c và R. Y. Sharp [9], chúng tôi đưa ra công thức tính số bội của H P (M P) bP PR thông qua số bội của HpiRp (Mp ) (xem Định lý 4.2.3). Mục đích tiếp theo của Chương 4 là vận dụng các kết quả trên để nghiên cứu tính Cohen-Macaulay, tính Cohen-Macaulay theo chiều > s và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển bP , trong đó quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều phẳng ϕ : Rp → R > s của môđun M, ký hiệu nCM>s (M ), được định nghĩa là tập các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s. Lưu ý rằng, nCM>−1 (M ) chính là nCM(M ), do đó nó là tập con đóng của Spec(R) theo tôpô Zariski. Trường hợp s ≥ 0, quỹ tích nCM>s (M ) nhìn chung là không đóng kể cả khi R là đầy đủ (xem [34, Mệnh đề 4.3(iii)]). Tuy nhiên, nCM>s (M ) luôn đóng với phép đặc biệt hóa nên chúng ta vẫn có thể định nghĩa chiều của chúng. Áp dụng Định lý 4.2.1, ta có hai định lý sau đây, là các kết quả chính cuối cùng của luận án. Định lý 4.3.4. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa b và p = P ∩ R. Đặt rP = dim(R bP /pR bP ), phương. Giả sử P ∈ Spec(R) s ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó cP là Cohen-Macaulay. (a) Mp là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M cP là Cohen(b) Mp là Cohen-Macaulay theo chiều > s nếu và chỉ nếu M Macaulay theo chiều > s + rP . 17 Định lý 4.3.7. Cho s ≥ −1 là một số nguyên. Giả sử R là thương của b và p = P ∩ R. một vành Cohen-Macaulay địa phương. Cho P ∈ Spec(R) bP /pR bP ). Khi đó Đặt rP = dim(R cP ) ≥ rP ; (a) nCM>s (Mp ) 6= ∅ nếu và chỉ nếu dim nCM>s (M cP ) = dim nCM>s (Mp )+rP . (b) Nếu nCM>s (Mp ) 6= ∅, thì dim nCM>s (M 18 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Artin, môđun chính tắc và môđun khuyết nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của luận án ở những chương sau. Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là b M c tương R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Ký hiệu R, ứng là đầy đủ m-adic của R và M, depth M là độ sâu của M ứng với iđêan cực đại m. 1.1. Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng là hai lớp môđun quen thuộc và quan trọng trong Đại số giao hoán. Tiết 1.1 dành để nhắc lại một số kết quả thường sử dụng trong luận án về hai lớp môđun này. Định nghĩa 1.1.1. [29, Trang 134] M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc M 6= 0 và depth M = dim M . Nếu R là môđun CohenMacaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay. Sau đây là một số tính chất quen thuộc của môđun Cohen-Macaulay. 19 Mệnh đề 1.1.2. [29, Định lý 17.3] Các mệnh đề sau đây là đúng. (i) Nếu M là Cohen-Macaulay thì dim R/p = dim M với mọi p ∈ AssR M. (ii) Cho x1 , . . . , xt ∈ m là một M -dãy chính quy. Khi đó M là CohenMacaulay nếu và chỉ nếu M/(x1 , . . . , xt )M là Cohen-Macaulay. (iii) M là R-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là Rp -môđun Cohen-Macaulay, với mọi p ∈ SuppR M. c là R b-môđun Cohen(iv) M là R-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M Macaulay. Cho q là một iđêan của R sao cho `R (M/qM ) < ∞. Khi đó ta có hàm Hilbert-Samuel Hq (n) := `R (M/qn+1 M ). Chú ý rằng tồn tại một đa thức Pq (n) bậc d sao cho với n đủ lớn ta có Hq (n) = Pq (n). Hơn nữa, tồn tại các số nguyên e0 (q; M ) > 0, e1 (q; M ), . . . , ed (q; M ) sao cho ! ! n+d n+d−1 Pq (n) = e0 (q; M ) + e1 (q; M ) + . . . + ed (q; M ) d d−1 và deg Pq (n) = dim M = inf{t | ∃x1 , . . . , xt ∈ m : `R (M/(x1 , . . . , xt )M ) < ∞}. Như vậy, với d = dim M , luôn tồn tại hệ d phần tử x1 , . . . , xd ∈ m sao cho `R (M/(x1 , . . . , xd )M ) < ∞. Hệ (x1 , . . . , xd ) như thế được gọi là hệ tham số của M. Hệ số e0 (q; M ) được gọi là số bội của M ứng với iđêan q. Cho x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của M. Đặt q = (x1 , . . . , xd )R và ký hiệu e0 (q; M ) bởi e(x; M ). Khi đó ta luôn có 0 < e(x; M ) ≤ `(M/xM ). Mệnh đề 1.1.3. (Xem [29, Định lý 17.5, Định lý 17.11]) Các điều kiện sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay; (ii) Mọi hệ tham số của M đều là M -dãy chính quy; (iii) Với mọi hệ tham số x của M ta có e(x; M ) = `(M/xM ); (iv) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho e(x; M ) = `(M/xM ).