Tài liệu Về lí thuyết hàm phức và nghiệm của đa thức

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM THỊ UYÊN VỀ LÍ THUYẾT HÀM PHỨC VÀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Trần Việt Cường THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Một số ký hiệu và chữ viết tắt ii Lời nói đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức . . . . . . . . . . 1.2 Hàm phức . . . . . . . . . 1.3 Giới hạn và liên tục . . . . 1.4 Đạo hàm và hàm giải tích 1.5 Thặng dư . . . . . . . . . 1.6 Đa thức hệ số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Áp dụng lí thuyết hàm phức và nghiệm đa quyết một số bài toán sơ cấp 2.1 Bài toán tính tích phân xác định . . . . . . . 2.2 Bài toán rút gọn biểu thức . . . . . . . . . . . 2.3 Bài toán phủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Bài toán đếm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 6 7 11 12 thức để giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 19 23 27 ii Một số ký hiệu và chữ viết tắt N, N∗ tập các số tự nhiên và các số tự nhiên khác không Z tập các nguyên R tập các số thực C tập các số phức 1, n tập các số tự nhiên {1, 2, ..., n} z, z̄ số phức z và số phức liên hợp của số phức z Rez, Imz phần thực và phần ảo tương ứng của số phức z kết thúc chứng minh của định lí, hệ quả, và lời giải 1 Lời nói đầu Giải tích phức cổ điển là lý thuyết về các hàm của một biến phức, là một trong những nhánh trong toán học, có nguồn gốc từ thế kỷ 18 và chỉ trước đó. Nó rất hữu ích trong nhiều ngành toán học, bao gồm hình học đại số, lý thuyết số, tổ hợp phân tích, toán học ứng dụng; cũng như trong vật lý, bao gồm các nhánh của thủy động lực học, nhiệt động lực học và đặc biệt là cơ học lượng tử. Bằng cách mở rộng, giải tích phức cũng có ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật như hạt nhân, hàng không vũ trụ, cơ khí và kỹ thuật điện. Trong thời hiện đại, nó đã trở nên rất phổ biến với sự ra đời của hệ động lực phức và hình ảnh của các fractals được tạo ra bởi các hàm chỉnh hình. Một ứng dụng quan trọng khác của giải tích phức trong lý thuyết dây là nghiên cứu các bất biến tuân thủ trong lý thuyết trường lượng tử. Các nhà toán học đã có những đóng góp quan trọng liên quan đến các số phức bao gồm Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, và nhiều hơn nữa trong thế kỷ 20. Trong toán học, đa thức là một biểu thức bao gồm các biến và các hệ số, chỉ liên quan đến các phép toán cộng, trừ, nhân và lũy thừa số nguyên không âm của các biến. Đa thức xuất hiện trong nhiều lĩnh vực toán học và khoa học. Ví dụ, chúng được sử dụng để hình thành các phương trình đa thức, mã hóa một loạt các bài toán từ cơ bản đến phức tạp trong khoa học; chúng được sử dụng để xác định các hàm đa thức, xuất hiện trong hóa học, vật lý đến kinh tế và khoa học xã hội; chúng được sử dụng trong tính toán và phân tích số để tính gần đúng các hàm khác. Trong toán học nâng cao, đa thức được sử dụng để xây dựng các vòng đa thức và các đại số, các khái niệm trung tâm trong đại số và hình học đại số. Một số đa thức, chẳng hạn như x2 +1, không có nghiệm trong tập số thực. Tuy nhiên, nếu tập hợp các nghiệm được mở rộng thành các số phức, thì mọi đa thức khác hằng số có ít nhất một nghiệm phức; đây là định lí có bản của đại số. Như một hệ quả, bất kỳ đa thức nào có hệ số phức đều có thể được viết dưới dạng tích của các đa thức hệ số phức bậc 1 và số nghiệm phức được tính với bội số của chúng bằng bậc của đa thức. 2 Luận văn được chia làm hai chương với những nội dung chính như sau: Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về lí thuyết hàm phức. Chương 2, chúng tôi áp dụng lí thuyết hàm phức và nghiệm của đa thức giải quyết một số bài toán sơ cấp. Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ. Với tình cảm chân thành em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Trường Thanh - người Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, những người đã trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12 khóa 2018 - 2020, các phòng ban chức năng, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong thời gian học tập vừa qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể lớp K12, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 12 năm 2019 Tác giả luận văn PHẠM THỊ UYÊN 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về số phức và hàm phức. Các khái niệm và kết quả trong Chương 1 được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 6]. 1.1 Số phức Định nghĩa 1.1.1. Số phức là biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là số thực và i2 = −1. Đối với số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo. Kí hiệu: a = Rez, b = Imz Tập hợp các số phức kí hiệu là C. C = {z = a + bi|a, b ∈ R} . Nhận xét 1.1.2. Mỗi số thực a đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. Hai số phức bằng nhau: Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau. Mô đun của số phức: Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ. −−−→ Độ dài của |OM | chính là mô đun của số phức z. Kí hiệu là |z|. √ −−−→ Ta có: |z| = |OM | = |a + bi| = a2 + b2 4 Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi, ta gọi a − bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z = a − bi. Ví dụ: z = 1 + 2i thì z = 1 − 2i. Một số tính chất của số phức liên hợp: • z × z = a2 + b2 là một số thực. • z + z0 = z + z0 • z × z0 = z × z0 Dạng lượng giác của số phức: Trong mặt phẳng phức cho số phức z với z 6= 0 được biểu diễn bởi −−→ vector OM với M (a; b). −→ −−→ Góc lượng giác (Ox, OM ) = ϕ + 2kπ, k ∈ Z. Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z. Gọi ϕ là một acgumen và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0 dạng lượng giác của z là: z = r(a cos ϕ + i sin ϕ) √ Với r = a2 + b2 và ϕ định bởi cos ϕ = ar và sin ϕ = br. Ghi chú: • |z| = 1 ↔ z = (cos ϕ + i sin ϕ), ϕ ∈ R • z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định xem như tùy ý. Cấu trúc đại số và một số tính chất khác của số phức: 1. Phép cộng: • z1 + z2 = z2 + z1 , • (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ). 2. Phép nhân: • z1 z2 = z2 z1 , • (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ), • (z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 . 5 3. Phép chia: Nếu z1 = wz2 , z2 6= 0, w ∈ C, thì chúng ta kí hiệu phép chia giữa 2 số phức z1 và z2 , là z1 = w. z2 4. Phép lấy căn bậc n Nếu z0 = wn , w ∈ C, thì chúng ta kí hiệu căn bậc n của số phức z0 là √ n z0 = w. 5. Dấu bằng ( Re z1 z1 = z2 ⇔ Im z1 = Re z2 , = Im z2 . 6. Một số tính chất khác: giả sử các số phức sau có biểu diễn z1 = x1 + iy1 = |z1 |(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = x2 + iy2 = |z2 |(cos ϕ2 + i sin ϕ2 ), và các số phức liên hợp z̄1 = x1 − iy1 , z̄2 = x2 − iy2 . Khi đó • z1 + z2 = z̄1 + z̄2 , z1 z2 = z̄1 z̄2 . • z̄1 = |z1 |(cos ϕ1 − i sin ϕ1 ), z̄2 = |z2 |(cos ϕ2 − i sin ϕ2 ). • |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, |z1 z̄1 | = |z1 |2 . • z1 z2 = |z1 ||z2 |(cos[ϕ1 + ϕ2 ] + i sin[ϕ1 + ϕ2 ]). • z1 z̄2 |z1 | z1 = = (cos[ϕ1 − ϕ2 ] + i sin[ϕ1 − ϕ2 ]), với z2 6= 0. z2 |z2 |2 |z2 | 6 1.2 Hàm phức Định nghĩa 1.2.1. Giả sử S là một tập con của C. Hàm f : S → C là quy tắc gán với mỗi z trong S một số phức w. Số w được gọi là giá trị của f tại z và được ký hiệu là f (z). Tập S được gọi là miền xác định của hàm phức f (z). Khi miền xác định không được đề cập, chúng ta quy ước đó là tập lớn nhất có thể để hàm xác định. Ví dụ 1.2.2. Một số hàm phức cơ bản. 1. Hàm đa thức P (z) = c0 + c1 z + · · · + cn z n , ci ∈ C, cn 6= 0, i = 0, 1, . . . , n. 2. Hàm mũ cơ số e ez = ex (cos y + i sin y), z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R. 3. Hàm lượng giác ez + e−z ez − e−z cos z = , sin z = . 2 2i 1.3 Giới hạn và liên tục Định nghĩa 1.3.1. Giả sử hàm f (z) được xác định tại tất cả các điểm z trong một lân cận của z0 , có thể không xác định tại z0 . Hàm f (z) được nói là có giới hạn tại z0 nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho 0 < |z − z0 | < δ ⇒ |f (z) − w0 | < ε. Trong trường hợp này, chúng ta kí hiệu lim f (z) = w0 . z→z0 Định nghĩa 1.3.2. Hàm f (z) được gọi là liên tục tại một điểm z0 nếu cả ba điều kiện sau đây là thỏa mãn: (i) f (z0 ) xác định, (ii) lim f (z) tồn tại, z→z0 7 (iii) lim f (z) = f (z0 ). z→z0 Hàm f được nói là liên tục trên một tập con nếu nó liên tục tại mỗi điểm của tập này. Ví dụ 1.3.3. Các hàm đa thức P (z), hàm mũ ez , và hàm lượng giác cos z, sin z là liên tục trên mặt phẳng phức C. 1.4 Đạo hàm và hàm giải tích Định nghĩa 1.4.1. Giả sử hàm biến phức f (z) xác định trên một lân cận của z0 . Hàm f (z) được nói là có đạo hàm tại điểm z0 nếu giới hạn sau tồn tại hữu hạn f (z) − f (z0 ) lim . z→z0 z − z0 Trong trường hợp này, chúng ta kí hiệu đạo hàm này bởi f 0 (z0 ) và f (z) − f (z0 ) . z→z0 z − z0 f 0 (z0 ) = lim Định nghĩa 1.4.2. Hàm f của biến phức z là giải tích tại điểm z0 nếu nó có đạo hàm tại mỗi điểm trong của một số lân cận nào đó của z0 . Tiếp theo, chúng ta giới thiệu điều kiện cần và đủ để tồn tại đạo hàm của hàm phức tại một điểm. Định lý 1.4.3 (Điều kiện cần để tồn tại đạo hàm). Giả sử f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) và f 0 (z) tồn tại ở điểm z0 = x0 + iy0 . Khi đó, các đạo hàm riêng bậc nhất của u và v phải tồn tại ở (x0 , y0 ) và chúng phải thỏa mãn các phương trình Cauchy - Riemann tại (x0 , y0 ), u0x = vy0 , u0y = −vx0 . Hơn thế, 0 f (z0 ) = (u0x +   ivx0 ) . (x0 ,y0 ) 8 Chứng minh. Giả sử f 0 (z0 ) tồn tại. Khi đó, các giới hạn sau tồn tại f (x0 + ∆x + iy0 ) − f (x0 + iy0 ) ∆x→0 x0 + ∆x + iy0 − (x0 + iy0 ) u(x0 + ∆x, y0 ) − u(x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x v(x0 + ∆x, y0 ) − v(x0 , y0 ) + i lim ∆x→0 ∆x = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) f (x0 + i(y0 + ∆y)) − f (x0 + iy0 ) = lim ∆y→0 i∆y u(x0 , y0 + ∆y) − u(x0 , y0 ) = lim ∆y→0 i∆y v(x0 , y0 + ∆y) − v(x0 , y0 ) + i lim ∆y→0 i∆y = vy (x0 .y0 ) − iuy (x0 .y0 ). f 0 (z0 ) = lim Điều này dẫn tới điều kiện Cauchy-Riemann và giá trị của f 0 (z0 ). Thoả mãn hệ phương trình Cauchy - Riemann tại một điểm z0 = (x0 , y0 ) là không đủ để đảm bảo sự tồn tại của đạo hàm của hàm f (z) tại điểm đó. Nhưng, với các điều kiện liên tục nhất định, chúng ta có những khẳng định sau. Định lý 1.4.4 (Điều kiện đủ để tồn tại đạo hàm). Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y) xác định trên ε− lân cận của z0 và (i) các đạo hàm riêng bậc nhất của các hàm u và v đối với x và y tồn tại ở mọi nơi trong vùng lân cận; (ii) các đạo hàm riêng đó liên tục tại (x0 , y0 ) và thỏa mãn hệ phương trình Cauchy - Riemann tại (x0 , y0 ), u0x = vy0 , 0 0 Khi đó f (z0 ) tồn tại và f (z0 ) = (u0x + u0y = −vx0 .   ivx0 ) . (x0 ,y0 ) Chứng minh. Từ công thức Taylor bậc một và điều kiện Cauchy-Riemann 9 tại z0 , ta thấy, f (x0 + ∆x + i(y0 + ∆y)) − f (x0 + iy0 ) x0 + ∆x + i(y0 + ∆y) − (x0 + iy0 ) u(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − u(x0 , y0 ) = ∆x + i∆y v(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − v(x0 , y0 ) +i ∆x + i∆y ux (x0 + t1 ∆x, y0 + t1 ∆y)∆x + uy (x0 + t1 ∆x, y0 + t1 ∆y)∆y = ∆x + i∆y vx (x0 + t1 ∆x, y0 + t1 ∆y)∆x + vy (x0 + t1 ∆x, y0 + t1 ∆y)∆y +i ∆x + i∆y ux (x0 , y0 )∆x + vy (x0 , y0 )i∆y uy (x0 , y0 )∆y + vx (x0 , y0 )i∆x = + ∆x + i∆y ∆x + i∆y ε1 ∆x + iε4 ∆y ε2 ∆y + iε3 ∆x + + ∆x + i∆y ∆x + i∆y ε1 ∆x + iε4 ∆y ε2 ∆y + iε3 ∆x = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) + + , ∆x + i∆y ∆x + i∆y trong đó t1 ∈ (0, 1), ε1 = ux (x0 + t1 ∆x, y0 + t1 ∆y) − ux (x0 .y0 ), ε2 = uy (x0 + t1 ∆x, y0 + t1 ∆y) − uy (x0 .y0 ), ε3 = uy (x0 + t1 ∆x, y0 + t1 ∆y) − uy (x0 .y0 ), ε4 = vy (x0 + t1 ∆x, y0 + t1 ∆y) − vy (x0 .y0 ). Bên cạnh đó, tính liên tục của các đạo hàm riêng u, v tại (x0 , y0 ), ta có ∆x2 + ∆y 2 → 0 dẫn tới ε21 + ε22 + ε23 + ε24 → 0. Ngoài ra,  ε ∆x + iε ∆y 2 ε2 ∆x2 + ε2 ∆y 2  1  4 4 ≤ sup ε2i ≤ ε21 + ε22 + ε23 + ε24 → 0,   = 1 2 2 ∆x + i∆y ∆x + ∆y i  ε ∆y + iε ∆x 2 ε2 ∆y 2 + ε2 ∆x2  2  3 3 ≤ sup ε2i ≤ ε21 + ε22 + ε23 + ε24 → 0.   = 2 2 ∆x + i∆y ∆x + ∆y 2 i Từ đây và các biểu thức trên, ta thu được sự tồn tại của giới hạn f (z) − f (z0 ) = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ). z→z0 z − z0 lim 10 Điều này hoàn tất chứng minh định lí. Định lý 1.4.5 (Định lí Liouville). Nếu hàm f là giải tích và bị chặn trên C, thì f (z) là hàm hằng trên C. Ví dụ 1.4.6. Xét hàm f (z) = z 2 và số phức z0 = 1 + i. Chúng ta kiểm tra sự tồn tại của đạo hàm hàm f (z) tại điểm z0 . Lời giải. Ta thấy, với z = x + iy, f (z) = z 2 = (x + iy)2 = x2 − y 2 + i2xy = u + iv, trong đó u = x2 − y 2 , v = 2xy. Dễ dàng thấy rằng, các đạo hàm riêng bậc nhất u0x = 2x, u0y = −2y, vx0 = 2y, vy0 = 2x liên tục tại lân cận điểm (1, 1) và điều kiện Cauchy - Riemann thỏa mãn tại điểm z0 ,     0 0 0 0 ux  = vy  = 2, uy  = −vx  = −2. z0 z0 z0 z0 Theo định lí về điều kiện đủ để tồn tại đạo hàm, hàm f (z) tồn tại đạo hàm tại z0 . Hơn thế,  0 0 0  f (z0 ) = (ux + ivx ) = 2 + i2 = 2z0 . z0 Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được sự tồn tại đạo hàm của hàm f (z) trên tập số phức C, f 0 (z) = 2z, ∀z ∈ C. Ví dụ 1.4.7. Xét hàm f (z) = z + Imz và số phức bất kì z0 . Chúng ta kiểm tra sự tồn tại của đạo hàm hàm f (z) tại điểm z0 . Lời giải. Ta thấy, với z = x + iy, f (z) = z + Imz = (x + iy) + y = x + y + iy = u + iv, trong đó u = x+y, v = y. Dễ dàng thấy rằng, điều kiện Cauchy - Riemann của các hàm u, v không thỏa mãn tại z0 , u0y = 1 6= −vx0 = 0. Nói cách khác, hàm f (z) không tồn tại đạo hàm tại mọi điểm z0 ∈ C. Ví dụ 1.4.8. Các hàm đa thức P (z), hàm mũ ez , hàm lượng giác cos z, sin z là hàm giải tích trên C. Hơn thế, trên tập này chúng ta có P 0 (z) = c1 + 2c2 z + · · · + ncn z n−1 , [cos z]0 = sin z, [ez ]0 = ez , [sin z]0 = cos z. 11 1.5 Thặng dư Định nghĩa 1.5.1. Giả sử hàm phức f (z) xác định tại một lân cận V của z0 , có thể không xác định tại z0 . Khi đó, biểu thức Z 1 Res[f, z0 ] := f (z)dz, 2πi L(z0 ) được gọi là thặng dư của hàm f (z) tại z0 , trong đó L(z0 ) là đường cong bao quanh z0 nằm trong lân cận V . Định nghĩa 1.5.2. Số phức z0 được gọi là là cực điểm cấp m của hàm f (z), nếu hàm f (z) có khai triển Laurent tại lân cận z0 f (z) = ∞ X an (z − z0 )n . n=−m Định lý 1.5.3. Giả sử hàm phức f (z) = Q(z) , P (z) trong đó Q là hàm giải tích trên C, và P (z) là hàm đa thức có các nghiệm phức z1 , z2 , ..., zk với bội tương ứng là m1 , m2 , ..., mk . Khi đó f (z) có đúng k cực điểm z1 , z2 , ..., zk với cấp tương ứng là m1 , m2 , ..., mk . Định lý 1.5.4 (Cách tính thặng dư). Giả sử z0 là cực điểm cấp m của hàm f (z). Khi đó,   0 nếu m = 0,    lim (z − z0 )f (z) nếu m = 1, Res[f, z0 ] = a−1 = z→z0  (m−1)   1  m  lim (z − z0 ) f (z) nếu m ≥ 2. z→z0 (m − 1)! Đặc biệt trong trường hợp m = 1, nếu f (z) = thì A(z) , A(z0 ) 6= 0, B(z0 ) = 0, B 0 (z0 ) 6= 0, B(z) A(z)  A(z0 ) Res[f, z0 ] = 0  = 0 . B (z) z=z0 B (z0 ) 12 Ví dụ 1.5.5. Tìm các thặng dư của hàm số f (z) = 1 . (z − 1)z 2 Lời giải. Ta thấy đa thức (z − 1)z 2 có hai nghiệm z1 = 1, z2 = 0 với bội nghiệm tương ứng là m1 = 1; m2 = 2. Nói cách khác, hàm f (z) có hai cực điểm z1 = 1 cực điểm cấp 1, z2 = 0 cực điểm cấp 2. Từ đây, 1 1 = lim = 1, Res[f, z1 ] = lim (z − z1 )f (z) = lim(z − 1) z→z1 z→1 (z − 1)z 2 z→1 z 2 0 1 2 1 −1 Res[f, z2 ] = lim z = lim = −1. z→0 1! z→0 (z − 1)2 (z − 1)z 2 Định lý 1.5.6. Giả sử hàm f (z) giải tích trên miền đóng D trừ một số hữu hạn điểm z1 , z2 , . . . , zn ∈ D. Khi đó, Z n X f (z)dz = 2πi Re[f, zk ]. k=1 ∂D+ 1.6 Đa thức hệ số phức Định lý 1.6.1 (Định lí cơ bản của đại số). Đa thức khác hằng với hệ số phức P (z) = c0 + c1 z + · · · + cn z n , (cn 6= 0), luôn có ít nhất một nghiệm phức. Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử P (z) không bằng 0 đối với bất kỳ giá trị nào của z. Khi đó, hàm f (z) = 1 P (z) là hàm giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức C. Tiếp theo, chúng ta chỉ ra hàm f (z) cũng bị chặn trên toàn bộ mặt phẳng phức. Để cho thấy rằng f bị chặn, trước tiên chúng ta viết P (z) = (cn + w)z n , 13 trong đó w= c1 cn−1 c0 + + · · · + . z n z n−1 z Với R đủ lớn, ta có |w| < |cn | , 2 khi |z| > R. Từ đây,  |c |    n |cn + w| > |cn | − |w| > , 2 khi |z| > R. Hơn thế, |P (z)| = |cn + w||z|n > |cn | n R , 2 khi |z| > R. Rõ ràng, khi đó, |f (z)| = 1 1 < , |P (z)| |cn |Rn khi |z| > R. Vì vậy, f (z) bị chặn ở bên ngoài khu vực vào đĩa |z| > R. Nhưng f (z) liên tục trong đĩa đóng, |z| ≤ R, và điều này có nghĩa là f (z) cũng bị chặn ở đó. Nói cách khác, f (z) là bị chặn trong toàn bộ mặt phẳng phức. Bây giờ áp dụng Định lý Liouville, ta có f (z) là hằng số. Nhưng P (z) không phải là hằng số và mâu thuẫn chỉ ra điều phải chứng minh. Định lý 1.6.2. Đa thức khác hằng với hệ số phức P (z) = c0 + c1 z + · · · + cn z n , (cn 6= 0), luôn có đúng n nghiệm phức z1 , z2 , . . . , zn , kể cả nghiệm bội. Khi đó, chúng ta biểu diễn được P (z) = cn (z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn ). Chứng minh. Theo Định lí cơ bản của đại số, tồn tại z1 ∈ C sao cho P (z1 ) = 0. Tiếp theo, từ các đẳng thức z k − z1k = (z − z1 )(z k−1 + z k−2 z1 + · · · + z1k−1 ), ∀k = 1, 2, . . . , n, 14 chúng ta thu được P (z) = P (z) − P (z1 ) = (z − z1 )Q1 (z), trong đó Q1 (z) là đa thức bậc n − 1. Do Q1 (z) là đa thức, lặp lại lập luận như trên, tồn tại z2 ∈ C sao cho Q1 (z2 ) = 0, Q1 (z) = (z − z2 )Q2 (z), trong đó Q2 (z) bậc (n − 2). Bằng cách này, tồn tại một tập z1 , z2 , . . . , zn sao cho P (z) = (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn )Qn (z), trong đó Qn (z) là đa thức bậc 0. Nói cách khác, tồn tại hằng số A sao cho P (z) = A(z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn ), ∀z ∈ C. Đồng nhất hệ số, ta thu được cn = A. Điều này kết thúc chứng minh của Định lí. Định lý 1.6.3 (Công thức Viète). Giả sử đa thức hệ số phức P (z) = c0 + c1 z + · · · + cn z n , cn 6= 0, có n nghiệm phức z1 , z2 , . . . , zn kể cả bội. Khi đó, các đẳng thức sau là đúng X cn−k zi1 · · · zik = (−1)k , ∀k = 1, n. c n 1≤i - Xem thêm -