Tài liệu Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC DŨNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC DŨNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY VÀ CHỈ SỐ KHẢ QUY CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn Thái Nguyên - 2019 i Tóm tắt Cho (R, m) là một vành giao hoán, Noether địa phương. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh chiều d và A là một R-môđun Artin. Luận án tập trung nghiên cứu hai vấn đề. Thứ nhất, chúng tôi giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy của M , kí hiệu là sp(M ), để đo tính không Cohen-Macaulay dãy của M . Chúng tôi chứng minh rằng sp(M ) chính là chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy của M nếu R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Chúng tôi cũng nghiên cứu sự thay đổi của kiểu đa thức dãy của M qua đầy đủ hóa, qua địa phương hóa cũng như tính không tăng của sp(M/xM ) khi x là một phần tử tham số. Chúng tôi tính toán sp(M ) thông qua các môđun khuyết thiếu của M . Vấn đề nghiên cứu thứ hai là về chỉ số khả quy của môđun Noether hoặc môđun Artin. Trước hết, chúng tôi đưa ra chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số tốt khi kiểu đa thức dãy của môđun Noether M là nhỏ. Sau đó, chúng tôi so sánh chỉ số khả quy của môđun con của M và chỉ số khả quy của đối ngẫu Matlis của môđun thương tương ứng của M . Luận án được chia thành ba chương. Chương 1 dành để nhắc lại một số kiến thức cơ sở như môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen- ii Macaulay suy rộng dãy. Trong Chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy của M , kí hiệu là sp(M ), thông qua kiểu đa thức của các môđun thương trong lọc chiều. Chúng tôi nghiên cứu kiểu đa thức dãy dưới tác động địa phương hóa và đầy đủ m-adic. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa sp(M ) và sp(M/xM ) với x là phần tử tham số của M . Khi R là thương của vành Gorenstein địa phương, chúng tôi tính toán kiểu đa thức dãy của M thông qua chiều và kiểu đa thức của các môđun khuyết thiếu của M . Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề về chỉ số khả quy của môđun. Trước hết, chúng tôi đưa ra công thức chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số tốt q của M với sp(M ) ≤ 1. Phần cuối của Chương dành để nghiên cứu chỉ số khả quy của môđun Artin và đưa ra sự so sánh giữa chỉ số khả quy của môđun con của M với chỉ số khả quy của Đối ngẫu Matlis của môđun thương tương ứng của M . iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Trần Đức Dũng iv Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy tôi: GS. TSKH Nguyễn Tự Cường. Thầy đã dìu dắt tôi từ những bước chập chững đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học, hướng dẫn tôi từ khi tôi làm luận văn thạc sĩ và giờ đây là luận án tiến sĩ. Phương pháp đọc sách, cách phát hiện và giải quyết vấn đề, những ý tưởng toán học mà Thầy chỉ bảo đã giúp tôi trưởng thành hơn trong nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Trong công việc, Thầy luôn nghiêm khắc với học trò, trong cuộc sống thầy luôn dành cho học trò của mình những tình cảm ấm áp và sự yêu thương. Bên cạnh những kiến thức toán học, Thầy như người cha dạy cho tôi biết cách làm người tử tế và sống nhân hậu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Cô tôi: GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô là tấm gương về sự nỗ lực trong gian khó và cùng là người đã truyền cảm hứng cho tôi về Toán học nói chung cũng như Đại số giao hoán nói riêng khi tôi còn ngồi trên giảng đường Đại học. Cô đã bỏ ra rất nhiều công sức và sự kiên nhẫn để không chỉ dẫn dắt, giảng dạy cho tôi về kiến thức, kinh nghiệm và tư duy của người làm Toán, mà còn luôn tạo điều kiện, giúp đỡ cho tôi trong công việc, trong cuộc sống. Sự tận tâm với nghề, với học trò của cô sẽ là cái đích để tôi noi theo và phấn đấu. Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của hai người Thầy: GS. TSKH Nguyễn Tự Cường và GS.TS. Lê Thị Thanh v Nhàn. Một lần nữa, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô và sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy Cô. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau Đại học, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất, phù hợp nhất để tôi vừa hoàn thành việc học tập, vừa đảm bảo công việc giảng dạy của mình tại Trường. Tôi xin cảm ơn PGS.TS Phạm Hùng Quý, TS Đoàn Trung Cường, TS Trần Nguyên An, TS Trần Đỗ Minh Châu đã dành cho tôi những tình cảm thân thiết và giải đáp nhiều thắc mắc chuyên môn cho tôi trong suốt chặng đường dài tôi làm NCS. Xin cảm ơn các anh chị nhóm Đại số giao hoán Thái Nguyên về những trao đổi quý báu trong quá trình làm luận án. Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ. Đặc biệt là Vợ Phạm Thùy Linh và công chúa nhỏ Trần Phạm Ngân Khánh, những người đã luôn hy sinh rất nhiều, luôn lo lắng, mong mỏi tôi tiến bộ từng ngày, từng tháng. Luận án này tôi xin được dành tặng cho những người mà tôi yêu thương. Tác giả Trần Đức Dũng 1 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 2 11 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Môđun Cohen-Macaulay và kiểu đa thức . . . . . . . . . 16 1.3 Môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Kiểu đa thức dãy của môđun 19 23 2.1 Lọc chiều và dãy lọc chính quy chặt . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Kiểu đa thức dãy qua địa phương hóa và đầy đủ hóa . . 31 2.3 Mối quan hệ giữa sp(M ) và sp(M/xM ) với x là phần tử 2.4 tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tính chất đồng điều của kiểu đa thức dãy . . . . . . . . 54 3 Chỉ số khả quy của môđun 58 3.1 Chỉ số khả quy của môđun Noether . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Chỉ số khả quy với kiểu đa thức dãy nhỏ . . . . . . . . . 62 3.3 Chỉ số khả quy của môđun Artin và đối ngẫu Matlis . . 76 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 89 2 Mở đầu Cho (R, m) là một vành giao hoán, Noether địa phương với iđêan cực đại duy nhất m và M là một R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Ta luôn có depth M ≤ dim M . Khi depth M = dim M thì môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay. Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau của Toán học như Hình học đại số, Lý thuyết Tổ hợp, Lý thuyết bất biến... Chú ý rằng M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi `(M/xM ) = e(x; M ) với một (và với mọi) hệ tham số x của M . Một trong những mở rộng quan trọng của lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun Buchsbaum do J. Stückrad và W. Vogel [49] giới thiệu, đó là lớp các môđun M thỏa mãn giả thuyết đặt ra bởi D.A. Buchsbaum: `(M/xM ) − e(x; M ) là hằng số không phụ thuộc hệ tham số x. Sau đó, N.T. Cường, P. Schenzel và N.V. Trung [48] đã giới thiệu lớp các môđun M thỏa mãn supx (`(M/xM )−e(x; M )) < ∞, được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Năm 1991, N.T. Cường [5] đã giới thiệu khái niệm kiểu đa thức của M , kí hiệu là p(M ), để đo tính không Cohen-Macaulay của M , từ đó phân loại và nghiên cứu cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Nếu ta quy ước bậc của đa thức không là −1, thì M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1 và M là Cohen-Macaulay 3 suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0. Một mở rộng quan trọng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp Cohen-Macaulay dãy, được R.P. Stanley [41] giới thiệu cho trường hợp phân bậc và P. Schenzel [39], N.T. Cường, L.T. Nhàn [11] nghiên cứu cho trường hợp địa phương: M là Cohen-Macaulay dãy nếu mỗi thương Di /Di+1 là Cohen-Macaulay, trong đó D0 = M và Di+1 là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dim Di với mọi i ≥ 0. Tiếp theo, N.T. Cường và L.T. Nhàn [11] nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy bằng cách thay điều kiện mỗi môđun thương Di /Di+1 là Cohen-Macaulay bằng điều kiện Di /Di+1 là Cohen-Macaulay suy rộng. Mục đích đầu tiên của luận án là giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy của M , kí hiệu là sp(M ), để đo tính không Cohen-Macaulay dãy của M . Chúng tôi chỉ ra rằng sp(M ) chính là chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy của M khi R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Chúng tôi nghiên cứu sự thay đổi của kiểu đa thức dãy của M qua địa phương hoá, qua đầy đủ hóa cũng như tính không tăng của sp(M/xM ) khi x là một phần tử tham số. Chúng tôi tính toán sp(M ) thông qua chiều và kiểu đa thức của các môđun khuyết thiếu của M . Chú ý rằng trong bài báo [8], N.T. Cường, Đ.T. Cường và H.L. Trường đã nghiên cứu một bất biến mới của M thông qua số bội, và khi vành cơ sở là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương thì bất biến này chính là kiểu đa thức dãy của M . Gần đây, S. Goto và L.T. Nhàn [21] đã đưa ra đặc trưng tham số của kiểu đa thức dãy. Mục tiêu thứ hai của luận án là nghiên cứu một số bài toán về chỉ số khả quy của các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Một môđun con N của M là bất khả quy nếu N 6= M và N không thể viết thành giao của hai môđun con thực sự chứa nó. Khi đó, định lý cơ bản thứ hai của E. Noether [29] nói rằng mỗi môđun con N của M đều phân 4 tích được thành giao của hữu hạn môđun con bất khả quy và số môđun con bất khả quy xuất hiện trong một phân tích bất khả quy thu gọn (tức là các thành phần bất khả quy không thừa) là một bất biến không phụ thuộc vào phân tích của N . Bất biến này được gọi là chỉ số khả quy của N trong M và được kí hiệu là irM (N ) (xem [23],[14]). Nếu q là iđêan tham số của M , thì irM (qM ) được gọi là chỉ số khả quy của q trong M . Chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số cho các lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [14], [15], [22], [23], [28], [37]). Đặc biệt, kết quả gần nhất của P.H. Quý, phát biểu rằng nếu p(M ) ≤ 1 thì tồn tại chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số của M . Tuy nhiên, với mỗi n ≥ 3, S. Goto và N. Suzuki [23] đã xây dựng một vành địa phương (R, m) với p(R) = n và R là Cohen-Macaulay dãy (tức là sp(R) = −1) sao cho supq irR (q) = ∞. Vì thế, khi p(M ) ≥ 3, ta không thể xét chặn đều cho chỉ số khả quy của tất cả iđêan tham số, mà chỉ xét trên các iđêan tham số tốt giới thiệu bởi N.T. Cường và Đ.T. Cường [6]. Chú ý rằng, khi nghiên cứu cấu trúc của các môđun CohenMacaulay dãy và Cohen-Macaulay suy rộng dãy (thường là các môđun trộn lẫn, tức là các iđêan nguyên tố liên kết có chiều khác nhau), các hệ tham số tốt đóng vai trò rất quan trọng. Sự chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số tốt được chứng minh bởi H.L. Trường [43] cho lớp môđun Cohen-Macaulay dãy (tức là sp(M ) = −1) và P.H. Quý [36] cho lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy (tức là sp(M ) ≤ 0). Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số tốt khi sp(M ) ≤ 1. Đây là mở rộng không tầm thường cho kết quả chính trong [37]. Ngoài ra, chúng tôi nghiên cứu chỉ số khả quy trong phạm trù các môđun Artin và so sánh chỉ số khả quy của các môđun con của M với chỉ số khả quy của Đối ngẫu Matlis của 5 các môđun thương tương ứng của M . Đây là vấn đề cơ bản lần đầu tiên được nghiên cứu trong luận án này. Về phương pháp tiếp cận, để nghiên cứu kiểu đa thức dãy chúng tôi khai thác các tính chất của lọc chiều của môđun, dãy lọc chính quy chặt giới thiệu bởi N.T. Cường, M. Morales và L.T. Nhàn [10] và những tính chất đặc thù của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại (Khái niệm lọc chiều được giới thiệu bởi P. Schenzel [39] và được điều chỉnh bởi N.T. Cường, L.T. Nhàn [11] để thuận tiện cho việc sử dụng). Để nghiên cứu chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số tốt khi sp(M ) nhỏ, chúng tôi sử dụng lý thuyết về hệ tham số tốt giới thiệu bởi N.T. Cường, Đ.T. Cường [6], tính chất đồng điều của kiểu đa thức dãy và các kết quả của J.D. Sally [38] về số phần tử sinh tối thiểu của môđun. Luận án được chia thành 3 chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án ở những chương sau, gồm: môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Nội dung của Chương 2 trình bày về kiểu đa thức dãy của môđun dựa theo bài báo [33]. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy của môđun M , kí hiệu là sp(M ), như một độ đo tốt xem môđun đó gần với tính Cohen-Macaulay dãy như thế nào. Chúng tôi nghiên cứu sự thay đổi của kiểu đa thức dãy của M qua địa phương hoá, qua đầy đủ hóa cũng như tính không tăng của sp(M/xM ) khi x là phần tử tham số. Phần cuối của chương, chúng tôi tính toán sp(M ) thông qua các môđun khuyết thiếu của M . Nhắc lại rằng một lọc Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D1 ⊂ D0 = M các 6 môđun con của M được gọi là lọc chiều của M , nếu Di là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dim Di−1 với mọi i = 1, ..., t. Kiểu đa thức dãy của M , kí hiệu là sp(M ), được định nghĩa theo khái niệm kiểu đa thức p(M ) trong [5] và được định nghĩa thông qua kiểu đa thức của các môđun thương trong lọc chiều như sau: sp(M ) = max{p(Di−1 /Di ) | i = 1, . . . , t}. Chú ý rằng sp(M ) = −1 khi và chỉ khi M là môđun Cohen-Macaulay dãy. Ngoài ra, sp(M ) ≤ 0 khi và chỉ khi M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Nhìn chung, sp(M ) đo tính không Cohen-Macaulay dãy của môđun M . Cụ thể, kí hiệu nSCM(M ) là quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy của M , tức là nSCM(M ) := {p ∈ Spec(R) | Mp không là Cohen-Macaulay dãy}. Khi đó nSCM(M ) không nhất thiết là tập con đóng của Spec(R) với tôpô Zariski, nhưng nó luôn ổn định với phép đặc biệt hóa, tức là nếu q ⊂ p là hai iđêan nguyên tố của R sao cho q ∈ nSCM(M ), thì p ∈ nSCM(M ). Vì thế ta có thể định nghĩa được chiều của nSCM(M ). Nếu R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương thì nSCM(M ) là đóng trong Spec(R) với tôpô Zariski. Chúng tôi chỉ ra rằng nếu R là catenary thì sp(M ) ≥ dim(nSCM(M )). Đẳng thức xảy ra khi R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương (Mệnh đề 2.2.4). Chúng tôi nghiên cứu kiểu đa thức dãy thông qua địa phương hóa (Định lý 2.2.7) và sự thay đổi của kiểu đa thức dãy dưới phép đầy đủ hóa m-adic. Chú ý rằng kiểu đa thức bảo toàn qua đầy đủ (xem [5, Bổ đề 2.6]). Tuy nhiên, kiểu đa thức dãy thì không có tính chất này (Ví dụ 2.2.8 và Ví dụ 2.2.11). d Định lý 2.2.9. Ta luôn có sp(M ) ≤ sp(M ). Đẳng thức xảy ra khi R/p là không trộn lẫn với mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M. 7 Nhắc lại rằng, theo M. Nagata [30], vành R được gọi là không trộn c b c c lẫn nếu dim(R/ p) = dim R với mọi pb ∈ Ass R. Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa sp(M ) và sp(M/xM ) khi x là phần tử tham số. Nhìn chung, chúng ta không so sánh được sp(M ) và sp(M/xM ) (Ví dụ 2.3.5), nhưng khi x là phần tử tham số với tính chất đặc biệt, thì ta có quan hệ sau. Định lý 2.3.4. Giả sử sp(M ) > 0. Cho x ∈ m là phần tử lọc chính quy chặt của Di−1 /Di với mọi i ≤ t. Khi đó sp(M/xM ) ≤ sp(M ) − 1. Đẳng thức xảy ra khi R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Đẳng thức sp(M/xM ) = sp(M ) − 1 trong Định lý 2.3.4 có thể không còn đúng nếu ta bỏ đi giả thiết R là thương của vành CohenMacaulay địa phương (Ví dụ 2.3.5). Nhắc lại rằng, khái niệm phần tử lọc chính quy chặt giới thiệu bởi N.T. Cường, M. Morales và L.T. Nhàn [10] là một trường hợp đặc biệt của khái niệm phần tử lọc chính quy giới thiệu bởi N.T. Cường, P. Schenzel và N.V. Trung [48]. Nếu x là phần tử lọc chính quy chặt của M , thì x là phần tử lọc chính quy (xem Bổ đề 2.1.7(i)). Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Thậm chí khi x là phần tử M -chính quy, thì x vẫn không nhất thiết là phần tử lọc chính quy chặt của M (xem Ví dụ 2.1.6). Giả sử rằng (R, m) là thương của vành Gorenstein địa phương 0 (R0 , m0 ) chiều n. Kí hiệu K j (M ) là R-môđun Extn−j R0 (M, R ). Theo P. Schenzel [39], K j (M ) được gọi là môđun khuyết thiếu thứ j của M . Ta kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của R/m. Theo định lý Đối ngẫu địa phương (xem [4, 11.2.6]), ta có H j (M ) ∼ = HomR (K j (M ), E(R/m)). Kết quả cuối m cùng trong nội dung thứ nhất là tính toán sp(M ) thông qua các môđun khuyết thiếu của M . Cho Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D1 ⊂ D0 = M là lọc chiều của M . Đặt dim Di = di với i = 0, 1, ..., t. Ta quy ước dim Dt = −1 8 khi Dt = 0. Đặt Λ(M ) = {d0 , ..., dt }. Chú ý rằng Λ(M ) \ {−1} = {dim(R/p) | p ∈ AssR M }. Hơn nữa, nếu Hm0 (M ) 6= 0 thì Λ(M ) = {dim(R/p) | p ∈ AssR M }. Đặt q1 := max dim(K j (M )) và q2 := max p(K j (M )). Định lý sau đây chỉ j ∈Λ(M / ) j∈Λ(M ) ra rằng sp(M ) có thể tính toán thông qua chiều và kiểu đa thức của các môđun khuyết thiếu K j (M ). Định lý 2.4.2. Nếu R là thương của vành Gorenstein địa phương thì sp(M ) = max{q1 , q2 }. Chương 3 trình bày một số vấn đề về chỉ số khả quy của môđun dựa theo hai tài liệu [9], [18]. Trong chương này chúng tôi chỉ ra tồn tại chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số tốt đối với môđun M trong trường hợp sp(M ) ≤ 1. Chúng tôi so sánh chỉ số khả quy của các môđun con của M với chỉ số khả quy của đối ngẫu Matlis của các môđun thương tương ứng của M . Nhắc lại rằng, với mỗi lọc Hn ⊂ . . . ⊂ H1 ⊂ H0 = M các môđun con của M thỏa mãn dim Hi < dim Hi−1 với mọi i, iđêan tham số q = (x1 , . . . , xd ) của M được gọi là tốt ứng với lọc trên nếu (xhi +1 , . . . , xd )M ∩ Hi = 0 với mọi i ≤ n, trong đó hi = dim Hi . Nếu q là iđêan tham số tốt ứng với lọc chiều của M thì ta nói q là iđêan tham số tốt của M . Cho Hm0 (M ) = Dt ⊂ ... ⊂ D1 ⊂ D0 = M là lọc chiều của M . Cho k ∈ {0, 1, . . . , t} là số nguyên bé nhất sao cho p(Dk ) ≤ 1. Định lý 3.2.6. Giả sử sp(M ) ≤ 1. Khi đó tồn tại một hằng số c sao cho irM (qM ) ≤ c với mọi iđêan tham số tốt q của M ứng với lọc Dk ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M . 9 Nếu x là iđêan tham số tốt đối với lọc chiều, thì x là iđêan tham số tốt với lọc Dk ⊂ . . . ⊂ D1 ⊂ D0 = M trong Định lý 3.2.6. Do đó hằng số c trong định lý trên cũng là chặn đều cho irM (qM ) với mọi q là iđêan tham số tốt của M . Hơn nữa, nếu p(M ) ≤ 1, thì k = 0 và do đó mọi iđêan tham số của M đều là iđêan tham số tốt ứng với lọc trong Định lý 3.2.6. Do vậy, Định lý 3.2.6 là mở rộng kết quả chính về chặn đều cho chỉ số khả quy của các iđêan tham số của môđun M trong bài báo [37]. Theo I.G. Macdonald [25], môđun Artin A gọi là bất khả tổng nếu A 6= 0 và A không thể biểu diễn thành tổng của hai môđun con thực sự của nó, tức là nếu A = B + C, trong đó B, C là các môđun con của A thì A = B hoặc A = C. I.G. Macdonald [25] đã chứng minh rằng mọi môđun Artin A luôn biểu diễn được thành tổng không thừa của hữu hạn môđun con bất khả tổng. Ngoài ra, số thành phần bất khả tổng xuất hiện trong biểu diễn là độc lập với cách biểu diễn bất khả tổng không thừa của A. Ta gọi bất biến này là chỉ số khả quy của môđun Artin A, kí hiệu là irR (A). Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của R-môđun R/m và DR (−) là hàm tử Hom(−, E(R/m)). Với mỗi R-môđun L bất kỳ ta gọi DR (L) là đối ngẫu Matlis của L. Trong trường hợp vành R là đầy đủ, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin thì D(M ) là R-môđun Artin và D(A) là R-môđun hữu hạn sinh. Nếu vành R là không đầy đủ d∼ thì M = D(D(M )) và D(M ) là R-môđun Artin, tuy nhiên D(A) không nhất thiết là R-môđun hữu hạn sinh. Mối quan hệ giữa chỉ số khả quy của môđun con N của M với chỉ số khả quy của đối ngẫu Matlis của môđun thương M/N được chỉ ra trong định lý sau. 10 c Định lý 3.3.10. Cho R = R và N là môđun con của M . Khi đó irR (D(M/N )) ≤ irM (N ). Đẳng thức xảy ra khi `R (M/N ) < ∞. 11 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết về môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, kiểu đa thức, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các chương sau. Trong suốt chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether, M là Rmôđun hữu hạn sinh chiều d. Cho A là R-môđun Artin. Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Kí c d hiệu R và M lần lượt là đầy đủ m-adic của R và M . Cho L là R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh hay Artin). 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương Mục tiêu của tiết này là nhắc lại một số kết quả về môđun đối đồng điều địa phương như tính triệt tiêu, tính Artin, đối ngẫu địa phương, tâp iđêan nguyên tố gắn kết và chiều nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả ở Chương 2 và Chương 3. Định nghĩa và các tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương có thể xem trong [4]. Một trong những kết quả quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý 12 thuyết đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (xem [4, 6.1.2,6.1.4]). Chú ý rằng HIi (L) = 0 với mọi i > dim SuppR L. Ở đây, SuppR L không nhất thiết đóng trong Spec R với tôpô Zariski. Tuy nhiên SuppR L ổn định với phép đặc biệt hóa nên ta định nghĩa được chiều của SuppR L. Định lý 1.1.1. (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của Grothendieck). (i) Nếu M 6= 0 thì d = max{i | (Hmi (M ) 6= 0}. (ii) Nếu M 6= 0 thì depth M = min{i | (Hmi (M ) 6= 0}. Nhìn chung môđun đối đồng điều địa phương không là môđun hữu hạn sinh và cũng không là môđun Artin. Định lý sau (xem [4, Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6]) chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại hoặc tại cấp cao nhất luôn là Artin. Định lý 1.1.2. Giả sử rằng (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó (i) Hmi (M ) là R-môđun Artin với mọi số tự nhiên i. (ii) HId (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R. Tiếp theo, ta nhắc lại một số kiến thức về đối ngẫu Matlis và đối ngẫu địa phương. Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của R-môđun R/m và DR (−) là hàm tử Hom(−, E(R/m)). Với mỗi R-môđun M ta gọi DR (M ) là đối ngẫu Matlis của M . Chú ý rằng AnnR L = AnnR D(L) với L là Rmôđun bất kỳ. Trong trường hợp vành R là đầy đủ, đối ngẫu Matlis cho ta một tương đương khá đẹp giữa phạm trù các R-môđun Artin và phạm trù các R-môđun hữu hạn sinh. Cụ thể, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin thì D(M ) là R-môđun Artin và D(A) là Rmôđun hữu hạn sinh. Hơn nữa, D(D(M )) ∼ = M và D(D(A)) ∼ = A (xem d∼ [4, Định lý 10.2.12]). Nếu vành R là không đầy đủ thì M = D(D(M )) và 13 D(M ) là R-môđun Artin, tuy nhiên D(A) không nhất thiết là R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử rằng (R, m) là thương của vành Gorenstein địa phương 0 (R0 , m0 ) chiều n. Kí hiệu K j (M ) là R-môđun Extn−j R0 (M, R ). Khi đó K j (M ) là R-môđun hữu hạn sinh. Theo P. Schenzel [39], K j (M ) được gọi là môđun khuyết thiếu thứ j của M . Định lý 1.1.3. (Định lý đối ngẫu địa phương) Giả sử (R, m) là ảnh đồng cấu của một vành Gorenstein địa phương. Khi đó ta có đẳng cấu các R-môđun Hmj (M ) ∼ = HomR (K j (M ), E(R/m)). Tiếp theo, chúng tôi trình bày về biểu diễn thứ cấp của môđun đối đồng điều địa phương. Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I.G. Macdonald [25] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ. Nhắc lại rằng một R-môđun L được gọi là thứ cấp nếu L 6= 0 và với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên L là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong trường hợp này, Rad(AnnR L) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi L là p-thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của L là một phân tích L = L1 + . . . + Ln thành tổng hữu hạn các môđun con pi -thứ cấp Li . Nếu L = 0 hoặc L có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói L là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Li nào là thừa, với mọi i = 1, . . . , n. Chú ý rằng nếu L1 , L2 là các môđun con p-thứ cấp của L thì L1 +L2 cũng là môđun con p-thứ cấp của L. Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của L đều có thể đưa được về dạng tối thiểu bằng cách bỏ đi các thành phần thứ cấp thừa và ghép lại các thành phần thứ cấp cùng chung một iđêan