Tài liệu Về kiểu đa thức dạy của mô đun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ HUYỀN THƢƠNG VỀ KIỂU ĐA THỨC DÃY CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƢƠNG Ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ h khoa học: GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tụy của Cô giáo, GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Huyền Thƣơng ii Mục lục Lời cam đoan................................................................................................................................................................. i Lời cảm ơn........................................................................................................................................................................ ii Mục lục ................................................................................................................................................................................. iii Mở đầu .................................................................................................................................................................................. 1 Chƣơng 1 Kiểu đa thức của môđun .................................................................................................. 3 1.1 Chiều và độ sâu của môđun ................................................................................................... 3 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương ................................................................................... 8 1.3 Vành và môđun Cohen – Macaulay .............................................................................. 11 1.4 Kiểu đa thức của môđun ............................................................................................................ 20 Chƣơng 2 Kiểu đa thức dãy của môđun ..................................................................................... 29 2.1 Lọc chiều của môđun .................................................................................................................... 29 2.2 Vành và môđun Cohen – Macaulay dãy .................................................................. 34 2.3 Kiểu đa thức dãy của môđun ................................................................................................ 38 2.4 Kiểu đa thức dãy qua đầy đủ và địa phương hóa ............................................ 44 Kết luận................................................................................................................................................................................ 49 Tài liệu tham khảo.................................................................................................................................................. 50 iii Mở đầu Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh với dim(M ) = d. Ta luôn có dimR (M ) ≥ depthR (M ). Nếu dimR (M ) = depthR (M ) thì ta nói M là Cohen-Macaulay. Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học. Lớp môđun này đã được đặc trưng thông qua những lý thuyết quen biết như địa phương hóa, đầy đủ hóa, số bội, đối đồng điều địa phương. Để phân loại cấu trúc của các môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương, N. T. Cuong [3] năm 1992 đã giới thiệu khái niệm kiểu đa thức của môđun M , ký hiệu là p(M ), thông qua các hiệu số giữa độ dài và số bội ứng với lũy thừa của các phần tử của một hệ tham số của M . Nếu ta quy ước bậc của đa thức 0 là −1 thì M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi p(M ) = −1. Khi M không là Cohen-Macaulay, p(M ) được xem là khoảng cách từ M đến lớp môđun Cohen-Macaulay. Theo nghĩa nào đó, p(M ) càng lớn thì cấu trúc của M càng xa với cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay. Một tính chất quan trọng của môđun Cohen-Macaulay là tính chất không trộn lẫn. Cụ thể, nếu M là Cohen-Macaulay thì dim(R/p) = d với mọi p ∈ AssR (M ). Để nghiên cứu các môđun trộn lẫn M , người ta xét đến lọc chiều của M , đó là dãy các môđun con {Di }, trong đó D0 = M và Di là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dimR (Di−1 ) với mọi i ≥ 1. Ta nói M là Cohen-Macaulay dãy nếu mỗi thương Di−1 /Di là CohenMacaulay. Rõ ràng mỗi môđun M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M là môđun Cohen-Macaulay dãy và 0 ⊂ M là lọc chiều của M . Khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu được giới thiệu bởi R. Stanley năm 1996 cho các môđun hữu hạn sinh phân bậc, sau đó được nghiên cứu bởi P. Schenzel [10] và N. T. Cuong, L.T. Nhan [4] cho trường hợp môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Để mở rộng khái niệm kiểu đa thức một cách tự nhiên, năm 2016, L. T. Nhan, T. D. Dung và T. D. M. Chau [8] đã định nghĩa kiểu đa thức dãy của M , ký hiệu là sp(M ), là số lớn nhất trong các kiểu đa thức p(Di−1 /Di ). Rõ ràng, M là Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi sp(M ) = −1. Khi M không là Cohen-Macaulay dãy, sp(M ) được xem như là khoảng cách từ môđun M đến lớp môđun Cohen-Macaulay dãy. Mục đích của luận văn là nghiên cứu kiểu đa thức dãy của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày chi tiết một số kết quả trong bài báo [8]: A measure of non-sequential 1 Cohen-Macaulayness of finitely generated modules, J. Algebra, 468 (2016), 275-295. Để tiện theo dõi và đối sánh, luận văn cũng trình bày chi tiết các kết quả về kiểu đa thức trong bài báo của N. T. Cuong [3]. Trong suốt luận văn, bên cạnh các khái niệm và kết quả, tác giả của luận văn đưa ra nhiều ví dụ minh họa cụ thể. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày kiểu đa thức của môđun. Trong các tiết đầu của Chương 1, chúng tôi nhắc lại kiến thức cần thiết về chiều, độ sâu, môđun đối đồng điều địa phương. Tiết 1.4 dành để làm rõ cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay và các môđun liên quan. Tiết 1.5 giới thiệu khái niệm kiểu đa thức và các kết quả đã biết về kiểu đa thức trong bài báo của N. T. Cuong [3]. Chương 2 là nội dung chính của luận văn, trình bày kiểu đa thức dãy của môđun. Tiết 2.1 bàn về lọc chiều của môđun. Tiết 2.2 trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy và các tính chất của môđun này. Tiết 2.3 giới thiệu khái niệm kiểu đa thức dãy và các kết quả về kiểu đa thức dãy trong bài báo [8]. 2 Chương 1 Kiểu đa thức của môđun Mục tiêu của chương này là trình bày khái niệm kiểu đa thức của môđun được giới thiệu bởi N. T Cuong [3] và các tính chất của kiểu đa thức trong mối liên hệ với chiều của đồng điều địa phương của môđun đó. 1.1 Chiều và độ sâu của môđun Trong suốt tiết này, cho R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Để tiện theo dõi, trước khi trình bày khái niệm vành và môđun Cohen-Macaulay, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất về chiều, độ sâu. Khái niệm chiều Krull sau đây được định nghĩa cho các vành giao hoán Noether và các môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán Noether (không nhất thiết là vành địa phương). Đặt AnnR (M ) = {x ∈ R | xM = 0}. Khi đó AnnR (M ) là iđêan của R. Định nghĩa 1.1.1. Một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ · · · ⊂ pn của R, trong đó pi 6= pi+1 với mọi i, được gọi là một dãy nguyên tố độ dài n. Chiều Krull của R (gọi tắt là chiều của R), ký hiệu là dim(R), là cận trên của các độ dài của các dãy nguyên tố trong R. Chiều của môđun M , ký hiệu là dimR (M ), được định nghĩa là chiều của vành R/ AnnR (M ). Vành Z các số nguyên có chiều bằng 1 vì các iđêan nguyên tố của vành này là 0 và pZ với p là số nguyên tố. Vành Z12 có chiều bằng 0 vì vành này chỉ có hai iđêan nguyên tố (cũng là tối đại), đó là 2Z12 và 3Z12 . 3 Chú ý rằng vành giao hoán Noether có thể có chiều vô hạn. Chẳng hạn, cho T = k[x1 , · · · , xn , · · · ] là vành đa thức vô hạn biến trên trường k. Gọi m1 , · · · , mn , · · · là dãy các số nguyên dương sao cho mi − mi−1 < mi+1 − mi với mọi i. Gọi pi là iđêan nguyên tố của T sinh bởi các biến xj với mj ≤ j ≤ mj+1 . Gọi S là giao của các phần bù của tất cả các pi , tức là T S = (R \ pi ). Khi đó vành địa phương hóa TS là vành giao hoán Noether i∈N có chiều vô hạn (theo Ví dụ 1, phần Phụ lục A1, cuốn sách Vành địa phương của M. Nagata). Vành Noether địa phương luôn có chiều hữu hạn (xem Hệ quả 1.3.7). Vì thế chiều của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương luôn là số hữu hạn. Với mỗi iđêan I của R, ta kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Vì M là hữu hạn sinh nên ta có SuppR (M ) = VarR (AnnR (M )). Do R là vành Noether nên ta có min SuppR (M ) = min AssR (M ) (theo [7, Định lý 6.5]). Vì thế min AssR (M ) = min Var(AnnR (M )). Do đó chiều của môđun M có thể được tính thông qua chiều của các iđêan nguyên tố liên kết như sau dimR (M ) = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR (M )}. c của M. Tiếp theo là mối liên hệ giữa chiều của M và đầy đủ m-adic M Nhắc lại rằng họ các R-môđun con {mn M }n=1,2,... của M làm thành một cơ sở lân cận của 0 trong M. Cơ sở này của 0 xác định trên M một tôpô gọi là tôpô tuyến tính m-adic sinh bởi họ {mn M }n=1,2,... . Khi M được trang bị một tôpô, ta có thể định nghĩa các dãy Cauchy trên M tương tự trên tập các số thực như sau. Một dãy các phần tử (xn ) của M được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi N ∈ N, tồn tại n(N ) ∈ N thỏa mãn xn+1 − xn ∈ mN M, với mọi n ≥ n(N ). Ta nói hai dãy (xn ), (yn ) các phần tử của M là tương đương, kí hiệu là (xn ) ∼ (yn ), nếu với mọi N ∈ N, tồn tại n(N ) ∈ N thỏa mãn xn − yn ∈ mn M với mọi n ≥ n(N ). Ký hiệu X là tập các dãy Cauchy của M . Dễ dàng kiểm tra được quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trên X . c := X/ ∼ là đầy đủ m-adic của M. Trên M c, với mỗi Ta gọi tập thương M c, với mỗi r ∈ R, ta định nghĩa hai phép toán sau (xn ), (yn ) ∈ M (xn ) + (yn ) = (xn + yn ), r.(xn ) = (r.xn ). c có cấu trúc R-môđun. Nếu Dễ dàng kiểm tra được với hai phép toán này M b được gọi là vành đầy đủ m-adic của R. Hơn nữa, M c là một R bM = R thì R 4 c là dimR (M ) = dim b (M c), môđun. Khi đó mối liên hệ giữa chiều của M và M R xem [7]. Ví dụ 1.1.2. Cho k là một trường. Ký hiệu R1 := k[x1 , · · · , xd ] là vành đa thức và R2 := k[[x1 , · · · , xd ]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức d biến trên trường k. Chú ý rằng R1 không là vành địa phương, R2 là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là (x1 , · · · , xd ) và R2 là vành đầy đủ của vành địa phương (R1 )(x1 ,··· ,xd ) . Khi đó ta có dim(R1 ) = dim(R2 ) = d và dim(Z[x1 , · · · , xd ]) = d + 1 (theo [7, Định lý 15.4]). Ta có dim(R2 ) = dim(R1 )(x1 ,··· ,xd ) = d. Với d ≥ 3, M = R2 /(x1 , x22 ) ∩ (x53 ) thì AssR2 (M ) = {(x1 , x2 ), (x3 )}. Vì thế dimR2 (M ) = max{dim(R2 /(x1 , x2 )), dim(R2 /(x3 ))} = d − 1. Định nghĩa 1.1.3. Một phần tử x ∈ R được gọi là ước của 0 đối với môđun M nếu tồn tại m ∈ M , m 6= 0 sao cho xm = 0. Một dãy các phần tử x1 , · · · , xt của vành R được gọi là một M -dãy chính quy có độ dài t nếu M 6= (x1 , · · · , xt )M và mỗi xi không là ước của 0 đối với môđun M/(x1 , · · · , xi−1 )M . Chú ý rằng khi (R, m) là vành địa phương, mỗi hoán vị của M -dãy chính quy là M -dãy chính quy (điều này không còn đúng khi vành cơ sở không là vành địa phương), xem [7]. Cho R := k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức với k là một trường. Khi đó x, y, z là một R-dãy chính quy, trong khi đó dãy x, x + y, y không là dãy chính quy vì y là ước của 0 trong R/(x, x + y) = R/(x, y). Trong trường hợp đơn giản, ta có thể dùng định nghĩa để kiểm tra một dãy phần tử có là dãy chính quy. Trong trường hợp tổng quát, ta biết rằng tập các ước của 0 đối với M là hợp của các iđêan nguyên tố liên kết của M , điều này hỗ trợ cho việc xem xét một dãy phần tử có là chính quy hay không. Ví dụ sau minh họa điều này. 5 Ví dụ 1.1.4. Với R := k[[x, y, z]] và M = R/(x2 , z 5 ) ∩ (y 3 , z 2 ) thì x + y là phần tử M -chính quy. Thật vậy, vì AssR (M ) = {(x, z), (y, z)} và x + y ∈ / (x, z), x + y ∈ / (y, z) nên x + y không là ước của 0 đối với M . Rõ ràng M 6= (x + y)M . Vì thế x + y là M -chính quy. Định nghĩa 1.1.5. Cho I là một iđêan của R. Một dãy các phần tử x1 , · · · , xt ∈ I được gọi là một M -dãy chính quy tối đại trong I nếu x1 , · · · , xt là M -dãy chính quy và không tồn tại phần tử y ∈ I sao cho x1 , · · · , xt , y là M -dãy chính quy. Cho I là một iđêan của R. Chú ý rằng mỗi M -dãy chính quy trong I đều có thể mở rộng thành một M -dãy chính quy tối đại trong I . Hơn nữa, các M -dãy chính quy tối đại trong I đều có chung độ dài (xem [7]). Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M trong I và được ký hiệu là depth(I, M ). Khi (R, m) là vành địa phương, độ sâu của M trong m được gọi là độ sâu của M và được ký hiệu là depthR (M ). Từ đây đến hết tiết này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều dimR (M ) = d. Nhận xét 1.1.6. Theo Bổ đề Nakayama, nếu M 6= 0 và I là iđêan chứa trong m thì M 6= IM . Vì thế một dãy x1 , · · · , xt ∈ m là M -dãy chính quy nếu và chỉ nếu mỗi xi không là ước của 0 đối với môđun M/(x1 , · · · , xi−1 )M . Vì tập các ước của 0 đối với M là hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M , nên một phần tử x ∈ m là phần tử M -chính quy nếu và chỉ nếu x ∈ / p với mọi p ∈ AssR (M ). Do đó depthR (M ) = 0 nếu và chỉ nếu m ∈ AssR (M ). Rõ ràng nếu x là phần tử M -chính quy thì depthR (M/xM ) = depthR (M ) − 1. Sau đây là một số tính chất của độ sâu. Bổ đề 1.1.7. depthR (M ) ≤ dim(R/ p) với mọi p ∈ AssR (M ). Đặc biệt, depthR (M ) ≤ dimR (M ). Chứng minh. Ta luôn có dimR (M ) = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR (M )}. Ta sẽ chứng minh depth(M ) ≤ dim(R/ p) với mọi p ∈ AssR (M ). Thật 6 vậy, cho p ∈ AssR (M ). Ta chứng minh bằng quy nạp theo dim(R/ p). Nếu dim(R/ p) = 0 thì m = p và do đó m ∈ AssR (M ). Theo Nhận xét 1.1.6, ta có depthR (M ) = 0. Giả sử dim(R/ p) > 0. Nếu m ∈ AssR (M ) thì theo chứng minh trên ta có depthR (M ) = 0, do đó kết quả là đúng. Giả sử m ∈ / AssR (M ). Theo Định lý tránh nguyên tố, tồn tại a ∈ m sao cho a ∈ / p với mọi p ∈ AssR (M ). Do đó a là M -chính quy. Ta khẳng định rằng tồn tại q ∈ AssR (M/aM ) sao cho q ⊇ p +Ra. Giả sử ngược lại, khi đó p 6⊆ q với mọi q ∈ AssR (M/aM ). Khi đó, theo Định lý tránh nguyên tố, tồn tại phần tử b ∈ p sao cho b ∈ / q với mọi q ∈ AssR (M/aM ). Ta suy ra b là phần tử M/aM -chính quy. Vì thế dãy a, b là M -dãy chính quy. Vì hoán vị của dãy chính quy là dãy chính quy nên b, a cũng là M -dãy chính quy. Vì thế b là M -chính quy. Do p ∈ AssR (M ) nên b ∈ / p. Điều này là vô lý, khẳng định được chứng minh. Do vậy tồn tại q ∈ AssR (M/aM ) sao cho aR + p ⊆ q. Vì a ∈ / p nên dim(R/ q) < dim(R/ p). Vì thế theo giả thiết quy nạp ta có depthR (M/aM ) ≤ dim(R/ q) < dim(R/ p). Theo Nhận xét 1.1.6, ta có depthR (M ) = depthR (M/aM ) + 1 ≤ dim(R/ q) + 1 ≤ dim(R/ p). Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính độ sâu của môđun khi chuyển qua đầy đủ m-adic và mở rộng chuỗi luỹ thừa hình thức (xem [7]). Mệnh đề 1.1.8. Cho I là iđêan của R. Các phát biểu sau là đúng. b M c); (i) depthR (I, M ) = depthRb (I R, (ii) depth(R[[x1 , · · · , xt ]]) = t + depth(R). 7 Ví dụ 1.1.9. Cho R = k[[x, y, z]] với k là trường. Với M := R/(x2 , z) ∩ (y, z) và N = R/(x2 ) ∩ (y, z 2 ), ta có dimR (M ) = depthR (M ) = 1 và dimR (N ) = 2, depthR (N ) = 1. Thật vậy, vì AssR (M ) = {(x, z), (y, z)} nên dimR (M ) = 1. Do x + y ∈ / (x, z) và x + y ∈ / (y, z) nên x + y là M -chính quy. Suy ra depthR (M ) > 0. Vì thế dimR (M ) = depthR (M ) = 1. Tương tự, ta có AssR (N ) = {(x); (y, z)}. Vì thế dimR (N ) = max{dimR (R/(x), dimR (R/(y, z))} = 2. Vì depthR (N ) ≤ dimR (R/ p) với mọi p ∈ AssR (N ) nên depthR (N ) ≤ 1. Do x+y ∈ / (x) và x + y ∈ / (y, z) nên x + y là N -chính quy. Vậy depthR (N ) = 1. 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương Trong tiết này ta nhắc lại khái niệm và một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương trình bày trong cuốn sách [1]. Định nghĩa 1.2.1. Cho I là iđêan của R và L, N là các R-môđun. Đặt S ΓI (L) = n≥0 (0 :L I n ). Cho f : L → N là đồng cấu giữa các R-môđun và f ∗ : ΓI (L) → ΓI (N ) là đồng cấu cảm sinh từ f cho bởi f ∗ (x) = f (x) với mọi x ∈ ΓI (L). Khi đó, ΓI (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun. Hàm tử ΓI (−) được gọi là hàm tử I -xoắn. Định nghĩa 1.2.2. Một R-môđun L được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu f : N −→ N 0 và mỗi đồng cấu g : N −→ L, luôn tồn tại đồng cấu h: N 0 −→ L sao cho g = hf. Một giải nội xạ của R-môđun L là một dãy khớp các R-môđun α f0 f1 f2 0 −→ L−→E0 −→E1 −→E2 −→ . . . 8 trong đó mỗi Ei là một môđun nội xạ. Chú ý rằng mọi môđun đều có giải nội xạ. Định nghĩa 1.2.3. Cho L là một R-môđun và I là iđêan của R. Môđun dẫn suất phải thứ i của hàm tử I -xoắn ΓI (−) ứng với M được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của L với giá I và được ký hiệu là HIi (L). Để tính môđun HIi (L) ta lấy một giải nội xạ của L f0 α f1 f2 0 −→ L−→E0 −→E1 −→E2 −→ . . . rồi tác động hàm tử I -xoắn vào ta được đối phức f∗ f∗ f∗ 0 1 2 0 −→ ΓI (E0 )−→Γ I (E1 )−→ΓI (E2 )−→ . . . . ∗ ), với mỗi i ≥ 0. Chú ý rằng môđun này Khi đó HIi (L) = Ker(fi∗ )/ Im(fi−1 không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L. Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.2.4. Cho L là R-môđun. Các khẳng định sau là đúng. (i) ΓI (L) ∼ = HI0 (L). (ii) Nếu 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồn δ tại các đồng cấu nối HIi (L00 ) →i HIi+1 (L0 ) với mỗi i ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 →ΓI (L0 ) → ΓI (L) → ΓI (L00 ) → → HI1 (L0 ) → HI1 (L) → HI1 (L00 ) → HI2 (L0 ) → . . . Một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu trong mối quan hệ với tính I -xoắn, độ sâu và chiều của môđun. Đầu tiên là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương trong mối quan hệ với tính I -xoắn. Ta gọi L là I -xoắn nếu L = ΓI (L). 9 Mệnh đề 1.2.5. Cho L là R-môđun. Các phát biểu sau là đúng. (i) HIi (L) là môđun I xoắn với mọi i ≥ 0; (ii) Nếu L là I -xoắn thì HIi (L) = 0 với mọi i > 0. Đặc biệt với mỗi Rmôđun L, ta có HIj (HIi (L)) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j > 0. Mệnh đề trên cho ta kết quả sau đây. Hệ quả 1.2.6. Với mỗi R-môđun L, đặt L = L/ΓI (L). Khi đó ta có HIi (L) ∼ = HIi (L) với mọi số tự nhiên i ≥ 1. Từ nay đến hết tiết này, ta giả thiết (R, m) và vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Tiếp theo là tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương liên quan đến chiều và độ sâu của môđun. Định lý 1.2.7. Cho I là iđêan của R. Các phát biểu sau là đúng (i) depth(I, M ) = min{i | HIi (M ) 6= 0}. (ii) dimR (M ) = max{i | Hmi (M ) 6= 0}. (iii) depthR (M ) = min{i | Hmi (M ) 6= 0}. (iv) Hmi (M ) = 0 với mọi i > dimR (M ). Một trong những lớp môđun đối đồng điều địa phương quan trọng đó là lớp môđun đối đồng điều địa phương Artin. Định lý sau đây khẳng định rằng môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là Artin. Định lý 1.2.8. Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh với dimR (M ) = d. Khi đó Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0 và HId (M ) là Artin với mọi iđêan I của R. Phần tiếp theo trình bày tính chất chuyển qua đầy đủ của môđun đối đồng điều địa phương Artin với giá cực đại. Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Nhắc lại rằng nếu A là R-môđun Artin, thì 10 b-môđun Artin với tích vô hướng xác định như A có cấu trúc tự nhiên là R b trong đó x có đại diện là dãy Cauchy (xn ) ⊆ R. sau: Cho u ∈ A và x ∈ R, Vì Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, nên nó là Artin. Rõ ràng Ru là hữu hạn sinh. Do đó Ru có độ dài hữu hạn. Vì thế tồn tại số tự nhiên t sao cho mt u = 0. Do (xn ) là dãy Cauchy nên tồn tại n0 ∈ N sao cho xn − xm ∈ mt với mọi m, n > n0 . Suy ra (xn − xm )u = 0, tức là xn u không đổi khi n ≥ n0 . Từ đây ta có thể định nghĩa tích vô hướng xu := xn u với n ≥ n0 . Vì môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) là R-môđun Artin theo b-môđun Artin. Định lý 1.2.8, nên Hmi (M ) có cấu trúc tự nhiên là R Định lý 1.2.9. Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó với mọi số nguyên i ≥ 0 ta có c) ∼ b∼ Hmi Rb (M = Hmi (M ) ⊗R R = Hmi (M ). Bổ đề sau cho ta thông tin về chiều của môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) trên vành đầy đủ m-adic của R. Bổ đề 1.2.10. [9, Tính chất 2.4] Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó b Ann b (H i (M )) ≤ i. dim(R/ m R 1.3 Vành và môđun Cohen-Macaulay Trong tiết này, giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh với dimR (M ) = d. Ta có dimR (M ) ≥ depthR (M ) (xem Bổ đề 1.1.7). Điều này dẫn đến định nghĩa sau. Định nghĩa 1.3.1. Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc depthR (M ) = dimR (M ). Vành R được gọi là vành CohenMacaulay nếu R xét như R-môđun là Cohen-Macaulay. Chú ý rằng khái niệm môđun Cohen-Macaulay được định nghĩa tổng quát cho trường hợp môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán Noether (không nhất thiết địa phương). Tuy nhiên, trong luận văn này chúng ta chỉ xét trường hợp vành cơ sở là địa phương. 11 Ví dụ 1.3.2. Cho k là một trường và d ≥ 3 là số nguyên. (i) Cho R = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức 3 biến trên trường k. Khi đó vành R là vành Cohen-Macaulay; M = R/((x2 , z) ∩ (y, z)) là R-môđun Cohen-Macaulay; N = R/(x2 ) ∩ (y, z 2 ) không là R-môđun Cohen-Macaulay. (ii) Cho R = k[[x1 , . . . , xd ]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức d biến trên k và M = R/((x21 , x52 ) ∩ (x22 , x23 , . . . , x2d )). Khi đó, R là vành CohenMacaulay; dimR (M ) = d − 2, depthR (M ) = 1. Đặc biệt, M là Rmôđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu d = 3. Chứng minh. (i) Do dim(R) = depth(R) = 3 nên R là vành Cohen- Macaulay. Theo Ví dụ 1.1.9, ta có dimR (M ) = depthR (M ) = 1 nên M là R-môđun Cohen-Macaulay. Vì dimR (N ) = 2 và depthR (N ) = 1 nên N không là môđun Cohen-Macaulay. (ii) Do dim(R) = depth(R) = d nên R là vành Cohen-Macaulay. Ta có AssR (M ) = {(x1 , x2 ); (x2 , x3 , . . . , xd )}. Suy ra dimR (M ) = max{dim R/(x1 , x2 ); R/(x2 , x3 , . . . , xd )} = max{d − 2, 1} = d − 2. Hơn nữa, depthR (M ) ≤ dimR (R/ p) với mọi p ∈ AssR (M ). Điều này dẫn đến depthR (M ) ≤ 1. Vì x1 +x3 ∈ / (x1 , x2 ) và x1 +x3 ∈ / (x2 , . . . , xd ) nên x1 + x3 là M -chính quy. Vậy depthR (M ) = 1. Suy ra M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi dimR (M ) = depthR (M ), hay d = 3. 12 Chú ý rằng chiều và độ sâu của môđun được bảo toàn qua đầy đủ m-adic (xem tiết 1.1). Vì thế ta có kết quả sau. c là Cohen-Macaulay. Mệnh đề 1.3.3. M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi M Một tính chất quan trọng của môđun Cohen-Macaulay là tính chất không trộn lẫn. Theo cuốn sách "Vành địa phương" của M. Nagata, M b P) = d với mọi P ∈ Ass b (M c). được gọi là không trộn lẫn nếu dim(R/ R Mệnh đề 1.3.4. Nếu M là Cohen-Macaulay thì M không trộn lẫn. Trong trường hợp này, dim(R/ p) = d với mọi p ∈ AssR (M ). c là R b-môđun CohenChứng minh. Do M là R-môđun Cohen-Macaulay nên M c) = d. Cho P ∈ Ass b (M c). Khi đó theo Bổ đề Macaulay. Suy ra depthRb (M R 1.1.7, ta có c) ≤ dim(R/ b P) ≤ dimR (M ) = d. d = depthRb (M b P) = d. Lập luận tương tự ra suy ra dim(R/ p) = d với mọi Suy ra dim(R/ p ∈ AssR (M ). Chú ý rằng phát biểu ngược lại của Mệnh đề 1.3.4 không còn đúng nữa. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng tồn tại những môđun không trộn lẫn và không là Cohen-Macaulay. Ví dụ 1.3.5. Cho k là trường, d ≥ 2 là số nguyên và R = k[[x1 , . . . , xd ]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo d biến trên k. Khi đó R-môđun M := (x1 , . . . , xd )R là không trộn lẫn và dimR (M ) = d, depthR (M ) = 1. Do đó, M không là môđun Cohen-Macaulay. Chứng minh. Vì R là miền nguyên nên Ass(R) = {0}. Do M 6= 0 nên ∅= 6 AssR (M ) ⊆ Ass(R). Vì thế AssR (M ) = {0}. Vậy M không trộn lẫn và dimR M = d. 13 Theo Hệ quả 1.2.4(ii), từ dãy khớp 0 → M → R → R/M → 0 ta có dãy khớp dài 0 → Hm0 (M ) → Hm0 (R) → Hm0 (R/M ) → Hm1 (M ) → Hm1 (R) → . . . trong đó m = (x1 , . . . , xd )R là iđêan cực đại của R. Vì R là vành CohenMacaulay nên depth(R) = dim(R) = d. Do đó Hmi (R) = 0 với mọi i 6= d. Suy ra Hm0 (M ) = 0. Chú ý rằng dim(R/M ) = 0. Vì thế Hm0 (R/M ) 6= 0. Do Hm1 (R) = 0 (vì d ≥ 2) nên Hm1 (M ) ∼ = Hm0 (R/M ). Vì thế Hm1 (M ) 6= 0. Theo Định lý 1.2.7(iii) ta có depthR (M ) = 1. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu tính Cohen-Macaulay có bảo toàn khi chuyển qua địa phương hóa tại các iđêan nguyên tố. Trước khi trả lời câu hỏi này, chúng ta nhắc lại Định lý đa thức Hilbert - Samuel về chiều của môđun. Nhắc lại rằng một iđêan q 6= R của R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu với mọi x, y ∈ R, xy ∈ q và x ∈ / q, luôn tồn tại n ∈ N sao cho n y ∈ q . Đặt Rad(q) = {x ∈ R | ∃n ∈ N để xn ∈ q}. Khi đó Rad(q) là một iđêan của R chứa q . Nếu q là một iđêan nguyên sơ, thì p := Rad(q) là một iđêan nguyên tố của R. Trong trường hợp này, ta gọi q là iđêan p-nguyên sơ. Nếu q là m-nguyên sơ thì M/qn M có độ dài hữu hạn (khi đó ta có thể xem `R (M/qn M ) như một hàm theo biến nguyên dương n.) Định lý 1.3.6. (Xem [7, Định lý 13.4]) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ. Khi đó, `R (M/qn M ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủ lớn và dimR (M ) = deg `R (M/qn M ) = inf{t | ∃x1 , . . . , xt ∈ m, `R (M/(x1 , . . . , xt )M ) < 0}. Định lý trên dẫn đến hệ quả thú vị sau. Hệ quả 1.3.7. Các phát biểu sau là đúng (i) Chiều của vành địa phương (R, m) luôn là một số hữu hạn. (ii) dimR (M/xM ) ≥ d − 1 với mọi x ∈ M. Đẳng thức xảy ra nếu x là phần tử M -chính quy. 14 Chứng minh. (i) Vì R là vành giao hoán Noether, nên m là iđêan hữu hạn sinh. Do đó tồn tại x1 , . . . , xt ∈ m sao cho m = (x1 , . . . , xt )R. Vì `R (M/ m M ) < ∞, nên `R (M/(x1 , . . . , xt )M ) < ∞. Do đó theo Định lý đa thức Hilbert-Samuel ta suy ra dimR (M ) ≤ t < ∞. (ii) Cho x ∈ m . Giả sử dimR (M/xM ) = k < d − 1, ta cần tìm mâu thuẫn. Đặt M1 = M/xM. Theo Định lý 1.3.6, tồn tại x1 , . . . , xk ∈ m sao cho `R (M1 /(x1 , . . . , xk )M1 ) < ∞. Do đó `R (M/(x, x1 , . . . , xk )M ) < ∞. Theo Định lý 1.3.6 ta có d = dimR (M ) ≤ k + 1. Do đó d − 1 ≤ k, điều này là mâu thuẫn. Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng tính Cohen-Macaulay bảo toàn qua địa phương hóa. Mệnh đề 1.3.8. M là R-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là Rp -môđun Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppR (M ). Chứng minh. Nếu M = 0 thì không có gì phải chứng minh. Giả thiết M 6= 0. Ta chứng minh chiều đảo trước. Giả sử Mp là Rp -môđun Cohen-Macaulay với mọi p ∈ SuppR (M ). Khi đó Mm là Rm -môđun Cohen-Macaulay. Chú ý rằng Rm ∼ = M. Vì thế M là R-môđun Cohen-Macaulay. = R và Mm ∼ Ta chứng minh chiều thuận. Cho p ∈ SuppR (M ). Khi đó Mp 6= 0. Ta chứng minh Mp là Cohen-Macaulay bằng quy nạp theo d := dimR (M ). Vì M 6= 0 nên d ≥ 0. Nếu d = 0 thì SuppR (M ) = {m}. Ta có Rm ∼ = R và Mm ∼ = M. Vì thế Mm là Rm -môđun Cohen-Macaulay. Cho d > 0 và giả sử kết quả đã đúng cho các môđun Cohen-Macaulay có chiều nhỏ hơn d. Nếu p ∈ min SuppR (M ) thì dimRp (Mp ) = 0. Hiển nhiên depthRp (Mp ) = 0. Vì thế, Mp là Rp -môđun Cohen-Macaulay. Bây giờ ta giả thiết p ∈ / min SuppR (M ). Khi đó, dim(R/ p) < dimR (M ) = d và dimRp (Mp ) > 0. Vì M là R-môđun Cohen-Macaulay, nên theo Mệnh 15