Tài liệu Về định lí điểm bất động cho ánh xạ giữa các không gian g metric đầy đủ

.. „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THI TR×ÍNG V— ÀNH L IšM B‡T ËNG CHO NH X„ GIÚA CC KHÆNG GIAN G−METRIC †Y Õ LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2014 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N THI TR×ÍNG V— ÀNH L IšM B‡T ËNG CHO NH X„ GIÚA CC KHÆNG GIAN G−METRIC †Y Õ Chuy¶n ng nh: TON ÙNG DÖNG M¢ sè: 60.46.01.12 LUŠN V‹N TH„C Sß TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa hå TS. H€ TR†N PH×ÌNG Th¡i Nguy¶n - 2014 1 Mö lö Mð u 1 Khæng gian G−metri 1 3 1.1. Khæng gian G−metri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. ành ngh¾a v  v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Mët sè t½nh h§t õa khæng gian G−metri . . . . . . 5 1.2. Tæpæ tr¶n khæng gian G−metri . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1. G−H¼nh u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2. Sü hëi tö v  t½nh li¶n tö trong khæng gian G−metri 11 1.2.3. T½nh y õ õa ¡ khæng gian G−metri . . . . . . 14 1.2.4. T½nh ompa t trong khæng gian G−metri . . . . . . 16 2 ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian G−metri y õ 17 2.1. Mët sè ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian G−metri y õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. ành lþ °p iºm b§t ëng trong ¡ khæng gian metri têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3. ành lþ iºm b§t ëng hung duy nh§t v  ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ hñp th nh giúa ba khæng gian G−metri . 36 K¸t luªn T i li»u tham kh£o 44 45 1 Mð u Nhúng ành lþ iºm b§t ëng nêi ti¸ng ¢ xu§t hi»n tø u th¸ k XX, trong â ph£i kº ¸n Nguy¶n lþ iºm b§t ëng Brouwer (1912) v  Nguy¶n lþ ¡nh x¤ o Bana h (1922), trong â Nguy¶n lþ ¡nh x¤ o Bana h ÷ñ ¡nh gi¡ l  ành lþ iºm b§t ëng ìn gi£n nh§t v  ÷ñ sû döng rëng r¢i nh§t. V· sau, ¡ k¸t qu£ kinh iºn n y ¢ ÷ñ mð rëng ra nhi·u lîp ¡nh x¤ v  ¡ khæng gian kh¡ nhau, thu ÷ñ nhi·u k¸t qu£ quan trång v  ÷ñ ùng döng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vü kh¡ nhau õa to¡n hå . C¡ k¸t qu£ nghi¶n ùu v· iºm b§t ëng õa ¡nh x¤ tªp Trung v o ¡ h÷îng: nghi¶n ùu sü tçn t¤i, duy nh§t ( §u tró ) õa iºm b§t ëng, ¡ ph÷ìng ph¡p t¼m iºm b§t ëng v  nghi¶n ùu ùng döng õa ành lþ iºm b§t ëng trong ¡ l¾nh vü kh¡ khau õa to¡n hå , ° bi»t trong to¡n hå ùng döng v  ¡ b i to¡n kinh t¸ .... C¡ æng tr¼nh theo h÷îng nghi¶n ùu n y ÷ñ tªp hñp l¤i d÷îi mët t¶n hung: "Lþ thuy¸t iºm b§t ëng" v  ng y  ng ÷ñ ph¡t triºn m¤nh m³. Thíi gian gn ¥y, ¡ ành lþ iºm b§t ëng án ÷ñ mð rëng ho ¡nh x¤ giúa ¡ khæng gian G−metri . Xu§t ph¡t tø kh¡i ni»m di»n t½ h õa mët tam gi¡ trong m°t ph¯ng, n«m 1963, Gahler ([5℄) giîi thi»u kh¡i ni»m 2−metri tr¶n mët khæng gian. N«m 1992, Dhage ([4℄) mð rëng kh¡i ni»m 2−metri th nh kh¡i ni»m D−metri v  n«m 2006, Z. Mustafa v  B. Sims ¢ mð rëng th nh kh¡i ni»m G−metri . ¢ â nhi·u nh  to¡n hå nghi¶n ùu ¡ nguy¶n lþ õa gi£i t½ h tr¶n lîp khæng gian n y, mët trong nhúng t½nh h§t quan trång l  nguy¶n lþ iºm b§t ëng. Ch¯ng h¤n Dhage, Mustafa, Obiedat, Karapinar, Agarwal,... v  nhi·u nh  to¡n hå kh¡ . Vîi mö ½ h tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ nghi¶n ùu v· ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian G−metri y õ, hóng tæi hån · t i " G− ". Luªn v«n gçm hai h÷ìng: Ch÷ìng 1: Khæng gian G−metri . Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh V· ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian metri y õ 2 b y nhúng ki¸n thù ì sð v· khæng gian G−metri v  mët sè t½nh h§t õa lîp khæng gian â, n thi¸t ho vi» hùng minh trong Ch÷ìng 2. Ch÷ìng 2: ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian G−metri y õ. ¥y l  nëi dung h½nh õa luªn v«n. Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ trong nghi¶n ùu v· mët sè iºm b§t ëng: ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian G−metri y õ, ành lþ °p iºm b§t ëng trong ¡ khæng gian metri têng qu¡t, ành lþ iºm b§t ëng hung duy nh§t v  ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ hñp th nh giúa ba khæng gian G−metri Trong suèt qu¡ tr¼nh hå tªp v  l m luªn v«n tæi ¢ ÷ñ  o t¤o, nhªn ÷ñ sü tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï v  ëng vi¶n õa ¡ thy æ trong ¤i hå Th¡i Nguy¶n, ° bi»t l  TS. H  Trn Ph÷ìng. Do vªy, thù nh§t, tæi xin h¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­ tîi TS. H  Trn Ph÷ìng, ng÷íi thy ¢ gióp tæi ho n th nh ÷ñ luªn v«n n y. Thù hai, tæi xin h¥n th nh £m ìn tr÷íng ¤i hå Khoa Hå - ¤i hå Th¡i Nguy¶n v  Khoa To¡n - Tin l  nìi tæi ÷ñ  o t¤o v  ho n th nh luªn v«n th¤ sÿ khoa hå . Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2014 T¡ Gi£ Nguy¹n Th¡i Tr÷íng Ch÷ìng 1 Khæng gian G−metri 1.1. Khæng gian G−metri 1.1.1. ành ngh¾a v  v½ dö N«m 1963, Gahler ([5℄) giîi thi»u kh¡i ni»m 2−metri tr¶n mët tªp hñp nh÷ sau: Cho X l  mët tªp kh¡ réng v  k½ hi»u R+ l  tªp hñp sè thü khæng ¥m. X²t h m d : X × X × X → R+ l  mët h m thäa m¢n ¡ i·u ki»n sau: (A1) (A2) (A3) (A4) Vîi méi °p iºm ph¥n bi»t x, y ∈ X, tçn t¤i z ∈ X sao ho d(x, y, z) 6= 0. d(x, y, z) = 0 n¸u hai trong ba iºm x, y, z ∈ X tròng nhau. d(x, y, z) = d(x, z, y) = d(y, z, x) vîi måi x, y, z ∈ X. d(x, y, z) ≤ d(x, y, a) + d(x, a, z) + d(a, y, z), vîi måi x, y, z, a ∈ X. Khi â d ÷ñ gåi l  mët 2−metri tr¶n X , °p (X, G) gåi l  mët gian 2−metri . khæng V½ dö 1.1. Cho X = R2, vîi méi x, y, z ∈ X , °t d(x, y, z) l  di»n t½ h tam gi¡ â ba ¿nh l  x, y, z. Khi â d s³ l  mët 2−metri tr¶n R2 . N«m 1992, Dhage ([4℄) giîi thi»u kh¡i ni»m D−metri : x²t h m D : X × X × X → R+ 4 gåi l  mët D−metri n¸u nâ thäa m¢n ¡ i·u ki»n (A3), (A4) v  thäa m¢n th¶m ¡ i·u ki»n sau: (A0) (A5) D(x, y, z) = 0 khi v  h¿ khi x = y = z, D(x, y, z) ≤ D(x, z, z) + D(z, y, y), vîi måi x, y, z ∈ X. V½ dö 1.2. Cho X = R2, vîi méi x, y, z ∈ X , °t d(x, y, z) l  hu vi tam gi¡ â ba ¿nh l  x, y, z. Khi â d s³ l  mët D−metri tr¶n R2 . V½ dö 1.3. Cho (X, d) l  mët khæng gian metri . C¡ h m 1 (Es) Ds (d)(x, y, z) = [d(x, y) + d(y, z) + d(x, z)] 3 (Em) Dm (d)(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} l  ¡ D−metri . ành ngh¾a 1.1. Cho X l  mët tªp hñp kh¡ réng v  ho l  mët h m thäa m¢n: (G1) (G2) (G3) (G4) (G5) G : X × X × X → R+ G(x, y, z) = 0 n¸u x = y = z, 0 < G(x, x, y), vîi måi x, y ∈ X, x 6= y, G(x, x, y) ≤ G(x, y, z), vîi måi x, y, z ∈ X, z 6= y, G(x, y, z) = G(x, z, y) = G(y, z, x) = . . . , (T½nh èi xùng èi vîi £ ba bi¸n sè) , G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z), vîi måi x, y, z, a ∈ X (B§t ¯ng thù h¼nh hú nhªt). Khi â G ÷ñ gåi l  mët G−metri tr¶n X , °p (X, G) gåi l  mët khæng gian G−metri . Khæng gian G−metri (X, G) ÷ñ gåi l  èi xùng n¸u (G6) G(x, y, y) = G(x, x, y), vîi måi x, y ∈ X. V½ dö 1.4. D¹ d ng hùng minh ÷ñ khæng gian 2−metri l  mët khæng gian G−metri , khæng gian D−metri ng l  mët khæng gian G−metri . V½ dö 1.5. X²t h m G : R3 −→ R+ x¡ ành bði G(x, y, z) = |x − y| + |y − z| + |z − x| vîi måi x, y, z ∈ R. D¹ d ng hùng minh ÷ñ G l  mët G−metri èi xùng tr¶n R v  (R, G) l  mët khæng gian G−metri èi xùng. 5 1.1.2. Mët sè t½nh h§t õa khæng gian G−metri C¡ t½nh h§t sau ¥y õa mët G−metri d¹ d ng ÷ñ suy ra tø ành ngh¾a. M»nh · 1.1. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri . Vîi méi bë b§t ký x, y, z v  a ∈ X , ta luæn â 1) N¸u G(x, y, z) = 0 th¼ x = y = z. 2) G(x, y, z) ≤ G(x, x, y) + G(x, x, z). 3) G(x, y, y) ≤ 2G(y, x, x). 4) G(x, y, z) ≤ G(x, a, z) + G(a, y, z). 2 5) G(x, y, z) ≤ (G(x, y, a) + G(x, a, z) + G(a, y, z)). 3 6) G(x, y, z) ≤ (G(x, a, a) + G(y, a, a) + G(z, a, a)). 7) |G(x, y, z) − G(x, y, a)| ≤ max{G(a, z, z), G(z, a, a)}. 8) |G(x, y, z) − G(x, y, a)| ≤ G(x, a, z). 9) |G(x, y, z) − G(y, z, z)| ≤ max{G(x, z, z), G(z, x, x)}. 10) |G(x, y, y) − G(y, x, x)| ≤ max{G(y, x, x), G(x, y, y)}. Chùng minh. 1) N¸u G(x, y, z) = 0 th¼ x = y = z . Gi£ sû x 6= y . Tø (G3) v  (G2) ta â G(x, y, z) ≥ G(x, x, y) > 0 (m¥u thu¨n). Vªy x = y . T÷ìng tü ta â y = z , n¶n x = y = z . 2) G(x, y, z) ≤ G(x, x, y) + G(x, x, z). Ta â G(x, y, z) = G(y, x, z) (G5) ≤ G(y, x, x) + G(x, x, z) ( hån a = x) = G(x, x, y) + G(x, x, z). 6 3) G(x, y, y) ≤ 2G(y, x, x) (suy ra tø 2) khi hån z = y ). 4) G(x, y, z) ≤ G(x, a, z) + G(a, y, z). Tø (G5), ta â (G3) G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z) ≤ G(x, a, z) + G(a, y, z). 2 5) G(x, y, z) ≤ (G(x, y, a) + G(x, a, z) + G(a, y, z)). 3 Câ (G5) G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z) ≤ G(x, a, y) + G(a, y, z), G(y, z, x) ≤ G(y, a, a) + G(a, z, x) ≤ G(y, a, z) + G(a, z, x), G(z, x, y) ≤ G(z, a, a) + G(a, x, y) ≤ G(z, a, x) + G(a, x, y). Suy ra 3G(x, y, z) ≤ 2(G(a, y, z) + G(x, y, a) + G(x, a, z)), tø ¥y ta â k¸t luªn. 6) G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(y, a, a) + G(z, a, a). Tø (G5), ta â G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z), k¸t hñp vîi 2) ta â G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, a, y) + G(a, a, z). 7) |G(x, y, z) − G(x, y, a)| ≤ max{G(a, z, z), G(z, a, a)}. (G5) Ta â G(x, y, z) ≤ G(z, a, a) + G(x, y, a). Suy ra G(x, y, z) − G(x, y, a) ≤ G(z, a, a). (1.1) G(x, y, a) − G(x, y, z) ≤ G(a, z, z). (1.2) êi vai trá õa a v  z ta â K¸t hñp (1.1) v  (1.2) ta â biºu thù n hùng minh. 8) |G(x, y, z) − G(x, y, a)| ≤ G(x, a, z). Tø (1.1) ta â G(x, y, z) − G(x, y, a) ≤ G(z, a, a) ≤ G(z, a, x), (1.3) G(x, y, a) − G(x, y, z) ≤ G(a, z, z) ≤ G(a, z, x). (1.4) v  theo (1.2) â Tø (1.3) v  (1.4) ta â i·u n hùng minh. 7 9) |G(x, y, z) − G(y, z, z)| ≤ max{G(x, z, z), G(z, x, x)}. Tø 7) suy ra |G(x, y, z) − G(y, z, a)| ≤ max{G(a, x, x), G(x, a, a)}. Chån a = z ta â b§t ¯ng thù n t¼m. 10) |G(x, y, y) − G(y, x, x)| ≤ max{G(y, x, x), G(x, y, y)}. Tø b§t ¯ng thù (1.3), hån z = y, a = x ta â G(x, y, y) − G(x, y, x) ≤ G(y, x, x). êi vai trá õa x v  y ta â G(y, x, x) − G(y, x, y) ≤ G(x, y, y). K¸t hñp hai b§t ¯ng thù tr¶n ta â i·u n hùng minh.  M»nh · 1.2. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri v  ho k > 0. Khi â G1 v  G2 ng l  ¡ G−metri tr¶n X , trong â 1) G1 (x, y, z) = min{k, G(x, y, z)}, v  G(x, y, z) · k + G(x, y, z) n n¸u X = S Ai l  2) G2 (x, y, z) = Hìn núa, 3) G3 (x, y, z) = i=1 ( G(x, y, z), ph¥n ho¤ h b§t ký õa X th¼ k + G(x, y, z), n¸u vîi i n o â ta â x, y, z ∈ Ai, ng÷ñ l¤i, ng l  mët G−metri . Chùng minh. 1) N¸u hån G1 (x, y, z) = min{k, G(x, y, z)}. C¡ i·u ki»n tø (G1) ¸n (G4) l  hiºn nhi¶n. Ta s³ hùng minh i·u ki»n (G5). Ta â G1 (x, y, z) = min{k, G(x, y, z)} ≤ min{k, G(x, a, a) + G(a, y, z)} ≤ min{k, G(x, a, a)} + min{k, G(a, y, z)} = G1 (x, a, a) + G1 (a, y, z). 8 G(x, y, z) · k + G(x, y, z) t 1 X²t h m sè f (t) = â f ′ (t) = > 0, suy ra h m f (t) k+t (k + t)2 çng bi¸n. C¡ i·u ki»n (G1), (G2) v  (G4) l  hiºn nhi¶n (suy ra tø t½nh h§t õa G(x, y, z)). Ta s³ hùng minh i·u ki»n (G3). Do G(x, x, y) ≤ G(x, y, z) v  f (t) çng bi¸n n¶n 2) G2 (x, y, z) = G2 (x, x, y) = G(x, x, y) G(x, y, z) ≤ = G2 (x, y, z). k + G(x, x, y) k + G(x, y, z) Chùng minh i·u ki»n (G5). Ta â G(x, y, z) k + G(x, y, z) G(x, a, a) + G(a, y, z) ≤ k + G(x, a, a) + G(a, y, z) G(a, y, z) G(x, a, a) + ≤ k + G(x, a, a) k + G(a, y, z) = G2 (x, a, a) + G2 (a, y, z). G2 (x, y, z) = 3) T÷ìng tü, G3 (x, y, z) ng l  khæng gian G−metri . M»nh · 1.3. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri . Khi â ¡ ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng: 1) (X, G) l  èi xùng. 2) G(x, y, y) ≤ G(x, y, a), vîi måi x, y, a ∈ X . 3) G(x, y, z) ≤ G(x, y, a) + G(z, y, b), vîi måi x, y, z, a, b ∈ X . Chùng minh. 1) ⇒ 2): Theo (G3), ta â G(x, x, y) ≤ G(x, y, z), ∀x, y, z ∈ X, z 6= y . V¼ (X, G) èi xùng n¶n G(x, x, y) = G(x, y, y) (theo (G6)). Khi â G(x, y, y) ≤ G(x, y, z) ⇔ G(x, y, y) ≤ G(x, y, a), ∀x, y, a ∈ X. 9 2) ⇒ 3): Theo t½nh h§t 2) õa M»nh · 1.1, ta â G(x, y, z) ≤ G(x, y, y) + G(z, y, y). M°t kh¡ , theo t½nh h§t 2) õa M»nh · 1.3 ta â G(x, y, y) ≤ G(x, y, a) G(z, y, y) ≤ G(z, y, b), v  ∀x, y, z, a, b ∈ X. Ta suy ra G(x, y, z) ≤ G(x, y, a) + G(z, y, b). 3) ⇒ 1): Tø t½nh h§t 3) õa M»nh · 1.3, ta l§y a = x, b = y ta â G(x, y, z) ≤ G(x, y, a) + G(z, y, b) ⇔ G(x, y, y) ≤ G(x, y, x) + G(y, y, y) ⇔ G(x, y, y) ≤ G(x, x, y). v  thay z = y T÷ìng tü ta l¤i â G(y, x, x) ≤ G(y, y, x) ⇔ G(x, x, y) ≤ G(x, y, y). Suy ra G(x, x, y) = G(x, y, y).  1.2. Tæpæ tr¶n khæng gian G−metri 1.2.1. G− H¼nh u Vîi méi tªp X 6= ∅, ta th§y méi metri tr¶n X ·u â thº x¥y düng ÷ñ mët §u tró G−metri tr¶n X (Ds hay Dm ). Ng÷ñ l¤i, vîi méi G−metri G tr¶n X , h m (Ed) dG (x, y) = G(x, y, y) + G(x, x, y) s³ x¡ ành ho ta mët metri tr¶n X. Ta gåi dG l  metri li¶n k¸t vîi G, nâ thäa m¢n: G(x, y, z) 6 Ds (dG )(x, y, z) 6 2G(x, y, z) v  1 G(x, y, z) 6 Dm (dG )(x, y, z) 6 2G(x, y, z). 2 Hìn núa, n¸u xu§t ph¡t tø mët metri d tr¶n X ta â quan h» sau: 4 dDs (d) (x, y) = d(x, y), dDm (d) (x, y) = 2d(x, y). 3 10 ành ngh¾a 1.2. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri , khi â vîi måi x0 ∈ X v  r > 0 th¼ G−h¼nh u vîi t¥m x0, b¡n k½nh r l  BG (x0, r) = {y ∈ X : G(x0, y, y) < r}. M»nh · 1.4. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri . Khi â vîi méi x0 ∈ X v  r > 0, ta â N¸u G(x0, x, y) < r th¼ x, y ∈ BG(x0, r). 2) N¸u y ∈ BG (x0, r) th¼ tçn t¤i mët sè δ > 0 sao ho 1) BG (y, δ) ⊆ BG (x0, r). Chùng minh. 1) Chùng minh n¸u G(x0, x, y) < r th¼ x, y ∈ BG (x0, r). Theo (G3) ta â G(x0, y, y) ≤ G(x0, x, y) < r, G(x0, x, x) ≤ G(x0, x, y) < r, suy ra x, y ∈ BG (x0, r). 2) Chùng minh n¸u y ∈ BG (x0, r) th¼ ∃δ > 0 : BG (y, δ) ⊆ BG (x0, r). Thªt vªy, v¼ y ∈ BG (x0, r) n¶n G(x0, y, y) < r hay r − G(x0, y, y) > 0. °t δ = r − G(x0, y, y) > 0. Gi£ sû x ∈ BG (y, δ), suy ra G(y, x, x) < δ hay G(y, x, x) < r − G(x0, y, y), do â G(y, x, x) + G(x0, y, y) < r. M°t kh¡ , theo (G5) ta â G(x0 , x, x) ≤ G(y, x, x) + G(x0, y, y) < r suy ra x ∈ BG (x0, r).  Tø kh¯ng ành 2) õa m»nh · tr¶n, ta d¹ d ng suy ra: hå B = {BG (x, r) : x ∈ X, r > 0}, s³ t¤o n¶n mët ì sð õa mët tæpæ τ (G) tr¶n X , ta gåi l  tæpæ G−metri . 11 M»nh · 1.5. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri . Khi â vîi måi x0 ∈ X v  r > 0, ta â BG Chùng minh.  1 x0 , r 3  ⊆ BdG (x0, r) ⊆ BG (x0, r). Ta â     1 1 BG x0 , r = x ∈ X : G(x0, x, x) < r , 3 3 BdG (x0, r) = {x ∈ X : dG (x0, x) < r} = {x ∈ X : G(x0, x, x) + G(x0, x0, x) < r}, BG (x0, r) = {x ∈ X : G(x0, x, x) < r}.   1 1 Gi£ sû x ∈ BG x0, r suy ra G(x0, x, x) < r. Khi â 3 3 G(x0, x, x) + G(x0, x0, x) ≤ G(x0, x, x) + G(x0, x, x) + G(x, x0, x) = 3G(x0, x, x) < r.   1 Do â dG (x0, x) < r hay x ∈ BdG (x0, r). Suy ra BG x0, r ⊂ BdG (x0, r). 3 Gi£ sû x ∈ BdG (x0, r). Khi â G(x0, x, x) + G(x0, x0, x) < r ⇒ G(x0, x, x) < r ⇒ x ∈ BG (x0, r). Do â BdG (x0, r) ⊂ BG (x0, r).  M»nh · 1.5 ho ta mët k¸t luªn quan trång: tæpæ G−metri τ (G) tròng vîi tæpæ metri sinh ra tø dG . i·u n y ho ph²p ta d¹ d ng bi¸n êi nhi·u kh¡i ni»m v  k¸t qu£ tø ¡ khæng gian metri v o trong khæng gian G−metri . 1.2.2. Sü hëi tö v  t½nh li¶n tö trong khæng gian G−metri ành ngh¾a 1.3. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri . D¢y (xn) ⊆ X l  G−hëi tö tîi x n¸u nâ hëi tö tîi x trong tæpæ G−metri τ (G) (tù l , d¢y (xn) l  G−hëi tö tîi x ∈ X n¸u G(x, xn, xm) → 0 khi m, n → ∞, hay vîi méi sè ε > 0 ho tr÷î , tçn t¤i sè N ∈ N sao ho G(x, xn, xm) < ε, ∀n, m > N . Khi â, iºm x ÷ñ gåi l  giîi h¤n õa (xn). K½ hi»u xn → x). 12 M»nh · 1.6. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri . Khi â vîi mët d¢y (xn) ⊆ X v  mët iºm x ∈ X , ¡ ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng: 1) (xn) l  G−hëi tö tîi x. 2) dG (xn, x) → 0 khi n → ∞ (ngh¾a l , (xn) hëi tö tîi x theo metri dG ). 3) G(xn, xn, x) → 0 khi n → ∞. 4) G(xn, x, x) → 0 khi n → ∞. 5) G(xm, xn, x) → 0 khi m, n → ∞. Chùng minh. 1) ⇒ 2): D¢y (xn) l  G−hëi tö tîi x, tù l  lim G(x, xn, xm) = 0, k²o m,n→∞ n→∞ theo G(x, xn, xn) −−−→ 0. Do dG (xn, x) = G(xn, x, x) + G(xn, xn, x) = G(x, xn, x) + G(x, xn, xn) ≤ G(x, xn, xn) + G(xn, xn, x) + G(x, xn, xn) n→∞ = 3G(x, xn, xn) −−−→ 0. Suy ra xn → x Theo metri dG . 2) ⇒ 3): Hiºn nhi¶n G(xn , xn, x) ≤ G(xn , x, x) + G(xn , xn, x) = dG (xn, x), n¶n n¸u dG (xn, x) → 0 th¼ G(xn , xn, x) → 0. 3) ⇒ 4): Ta â G(xn , x, x) = G(x, xn, x) ≤ G(x, xn, xn) + G(xn, xn, x) = 2G(xn, xn, x), n¶n n¸u G(xn, xn, x) → 0 th¼ G(xn , x, x) → 0. 4) ⇒ 5): Ta â n,m→∞ G(xm , xn, x) ≤ G(xm , x, x) + G(x, xn, x) −−−−→ 0. n,m→∞ Suy ra G(xm, xn, x) −−−−→ 0. 5) ⇒ 1): Hiºn nhi¶n theo ành ngh¾a.  ành ngh¾a 1.4. Cho (X, G), (X ′, G′) l  hai khæng gian G−metri . nh x¤ f : X → X ′ l  G−li¶n tö t¤i mët iºm x0 ∈ X n¸u f −1(BG′ (f (x0), r)) ∈ τ (G), 13 vîi måi r > 0. Ta nâi f l  G−li¶n tö tr¶n X n¸u nâ l  G−li¶n tö t¤i måi iºm õa X . Ngh¾a l , t½nh li¶n tö õa mët ¡nh x¤ ð ¥y h½nh l  t½nh li¶n tö õa mët ¡nh x¤ giúa hai khæng gian tæpæ (X, τ (G)) v  (X ′ , τ (G′)). V¼ ¡ tæpæ G−metri l  ¡ tæpæ metri , ta â M»nh · 1.7. Cho (X, G), (X ′, G′) l  hai khæng gian G−metri . Khi â ¡nh x¤ f : X → X ′ l  G−li¶n tö t¤i iºm x ∈ X khi v  h¿ khi nâ l  G−li¶n tö theo d¢y t¤i x, ngh¾a l , khi (xn) l  G−hëi tö tîi x th¼ (f (xn)) G−hëi tö tîi f (x). Chùng minh. Gi£ sû f : X → X ′ li¶n tö theo ¡ tæpæ sinh bði G v  G′ . Gi£ sû xn ⊂ X m  xn l  G−hëi tö theo tîi x0 tù l  G(x0, xn, xn) → 0. Ta hùng minh G′ (f (x0), f (xn), f (xn)) → 0. Thªt vªy, ∀ε BG′ (f (x0), ε) = {y ∈ X ′ : G′ (f (x0), y, y) < ε} l  mët h¼nh u õa f (x0) èi vîi tæpæ sinh bði G′ , do f li¶n tö n¶n tçn t¤i mët h¼nh u BG (x0, δ) = {x ∈ X : G(x0, x, x) < δ} thäa m¢n ∀x ∈ BG (x0, δ) th¼ f (x) ∈ BG′ (f (x0), ε). Do xn l  G−hëi tö tîi x0 n¶n ∃n0 : ∀n ≥ n0 : G(x0, xn, xn) < δ , suy ra xn ∈ BG (x0, δ), k²o theo f (xn) ∈ BG′ (f (x0), ε), do â G′ (f (x0), f (xn), f (xn)) < ε. V¼ th¸, f (xn) l  G′ −hëi tö tîi f (x0). Ng÷ñ l¤i, gi£ sû f hëi tö theo d¢y nh÷ng khæng hëi tö theo tæpæ t¤i x0. Tù l  tçn t¤i mët BG′ (f (x0), ε0) sao ho vîi måi h¼nh u BG (x0, r) ta luæn â f (BG (x0, r)) 6⊂ BG′ (f (x0), ε0).   1 ∗ i·u n y k²o theo, vîi måi n ∈ N , tçn t¤i xn ∈ BG x0, sao ho n f (xn) ∈ / BG′ (f (x0), ε0). Suy ra tçn t¤i {xn} ⊂ X m  xn l  G−hëi tö tîi x0 nh÷ng f (xn) khæng G′ −hëi tö tîi f (x0), m¥u thu¨n. Vªy f li¶n tö theo ¡ tæpæ sinh bði G v  G′ .  14 M»nh · 1.8. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri . Khi â h m G(x, y, z) l  li¶n tö theo tøng bi¸n. Chùng minh. Gi£ sû (xk ), (ym) v  (zn ) l  G−hëi tö tîi x, y v  z t÷ìng ùng. Khi â theo (G5) ta â G(x, y, z) ≤ G(y, ym , ym) + G(ym , x, z), G(z, x, ym) ≤ G(x, xk , xk ) + G(xk , ym , z) v  do â G(z, xk , ym) ≤ G(z, zn , zn ) + G(zn , ym , xk ), G(x, y, z) − G(xk , ym , zn) ≤ G(y, ym , ym ) + G(x, xk , xk ) + G(z, zn , zn ). T÷ìng tü, G(xk , ym, zn ) − G(x, y, z) ≤ G(xk , x, x) + G(ym , y, y) + G(zn , z, z). Nh÷ng khi â, k¸t hñp hóng v  sû döng 3) õa M»nh · 1.1, ta â |G(xk , ym , zn ) − G(x, y, z)| ≤ 2[G(x, xk , xk ) + G(y, ym , ym) + G(z, zn , zn )]. V¼ vªy, G(xk , ym , zn ) → G(x, y, z) khi k, m, n → ∞ v  k¸t qu£ suy ra tø M»nh · 1.7.  1.2.3. T½nh y õ õa ¡ khæng gian G−metri ành ngh¾a 1.5. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri . Khi â mët d¢y (xn) ⊆ X ÷ñ gåi l  G−Cau hy n¸u vîi méi ε > 0, tçn t¤i N ∈ N sao ho G(xn, xm, xl ) < ε vîi måi n, m, l ≥ N . C¡ m»nh · sau ÷ñ suy ra tø ành ngh¾a M»nh · 1.9. Trong mët khæng gian G−metri (X, G), ¡ ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng: 1) D¢y (xn) l  G−Cau hy. 2) Vîi méi ε > 0, tçn t¤i N ∈ N sao ho G(xn , xm, xm) < ε, vîi måi n, m ≥ N . 3) (xn) l  mët d¢y Cau hy trong khæng gian metri (X, dG). 15 Chùng minh. 1) ⇒ 2): Do G(xn, xm, xm) ≤ G(xn, xm, xl ) n¶n n¸u lim G(xn, xm, xl ) = 0 m,n,l→∞ th¼ lim G(xn, xm, xm) = 0. m,n→∞ 2) ⇒ 3): Ta â dG (xm, xn) = G(xm, xn, xn) + G(xm, xm, xn) ≤ 3G(xn, xm, xm), n¶n n¸u lim G(xn, xm, xm) = 0 th¼ lim dG (xm, xn) = 0. m,n→∞ m,n→∞ 3) ⇒ 1): Ta â G(xn, xm, xl ) ≤ G(xn, xm, xm) + G(xm, xm, xl ). Do â n¸u (xn) l  d¢y Cau hy trong khæng gian metri (X, dG) th¼ lim G(xn, xm, xm ) = 0 v  m,n→∞ K²o theo lim G(xm , xm, xl ) = 0. m,l→∞ lim G(xn, xm, xl ) = 0. Suy ra (xn) l  d¢y G−Cau hy.  m,n,l→∞ H» qu£ 1.1. Méi d¢y G−hëi tö trong mët khæng gian G−metri l  d¢y G−Cau hy. H» qu£ 1.2. N¸u mët d¢y G−Cau hy trong mët khæng gian G−metri hùa mët d¢y on G−hëi tö th¼ d¢y â ng l  d¢y G−hëi tö. ành ngh¾a 1.6. Mët khæng gian G−metri (X, G) ÷ñ gåi l  G−y õ (X, G) n¸u méi d¢y G−Cau hy trong (X, G) l  G−hëi tö trong (X, G). Ta d¹ d ng hùng minh ÷ñ m»nh · sau: M»nh · 1.10. Mët khæng gian G−metri (X, G) l  G−y õ n¸u v  h¿ n¸u (X, dG) l  mët khæng gian metri y õ. H» qu£ 1.3. N¸u Y l  mët tªp on kh¡ réng õa mët khæng gian G−metri y õ (X, G) th¼ (Y, G|Y ) l  y õ khi v  h¿ khi Y l  G−âng trong (X, G), trong â G|Y l  tæpæ £m sinh bði tæpæ G tr¶n Y . H» qu£ 1.4. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri v  (Fn) l  mët d¢y gi£m (F1 ⊇ F2 ⊇ F3 ⊇ . . .) õa ¡ tªp on G−âng kh¡ réng õa X sao ho sup{G(x, y, z) : x, y, z ∈ Fn } → 0 16 ∞ T khi n → ∞. Khi â (X, G) l  G−y õ khi v  h¿ khi Fn â mët iºm n=1 duy nh§t. 1.2.4. T½nh ompa t trong khæng gian G−metri ành ngh¾a 1.7. Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri v  ho tr÷î ε > 0. Khi â mët tªp A ⊆ X ÷ñ gåi l  mët ε−l÷îi õa (X, G) n¸u vîi méi x ∈ X , tçn t¤i a ∈ A sao ho x ∈ BG (a, ε), n¸u tªp A l  húu h¤n th¼ A ÷ñ gåi l  mët ε−l÷îi húu h¤n õa (X, G). S D¹ th§y, n¸u A l  mët ε−l÷îi th¼ X = BG (a, ε). a∈A ành ngh¾a 1.8. Mët khæng gian G−metri (X, G) ÷ñ gåi l  G−ho n to n bà h°n n¸u vîi méi ε > 0 tçn t¤i mët ε−l÷îi húu h¤n. ành ngh¾a 1.9. Mët khæng gian G−metri (X, G) ÷ñ gåi l  mët khæng gian G−metri ompa t n¸u nâ l  G−y õ v  G−ho n to n bà h°n. M»nh · 1.11. Vîi mët khæng gian G−metri (X, G), ¡ ph¡t biºu sau l  t÷ìng ÷ìng: 1) (X, G) l  mët khæng gian G−metri ompa t. 2) (X, τ (G)) l  mët khæng gian G−tæpæ ompa t. 3) (X, dG) l  mët khæng gian metri ompa t. 4) (X, G) l  G− ompa t d¢y, ngh¾a l , n¸u d¢y (xn) ⊆ X sao ho sup{G(xn, xm, xl ) : n, m, l ∈ N} < ∞, th¼ (xn) â mët d¢y on G−hëi tö. 17 Ch÷ìng 2 ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian G−metri y õ 2.1. Mët sè ành lþ iºm b§t ëng ho ¡nh x¤ tr¶n ¡ khæng gian G−metri y õ ành lþ 2.1. ([6℄) Cho (X, G) l  mët khæng gian G−metri y õ v  T :X→X l  ¡nh x¤ thäa m¢n: G(T (x), T (y), T (z)) ≤ {aG(x, y, z) + bG(x, x, T (x)) + cG(y, y, T (y)) + dG(z, T (z), T (z))}, (2.1) ho° G(T (x), T (y), T (z)) ≤ {aG(x, y, z) + bG(x, x, T (x)) + cG(y, y, T (y)) + dG(z, z, T (z))}, (2.2) vîi måi x, y, z ∈ X , trong â 0 ≤ a + b + c + d < 1. Khi â T â duy nh§t mët iºm b§t ëng (gåi l  u, tù l  T (u) = u), v  T l  G−li¶n tö t¤i u. Chùng minh. Gi£ sû T thäa m¢n i·u ki»n (2.1), khi â vîi måi x, y ∈ X ta â G(T (x), T (y), T (y)) ≤ aG(x, y, y) + bG(x, T (x), T (x)) + (c + d)G(y, T (y), T (y)), G(T (y), T (x), T (x)) ≤ aG(y, x, x) + bG(y, T (y), T (y)) + (c + d)G(x, T (x), T (x)). (2.3)