Tài liệu Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGHIÊM ĐỨC VĂN VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGHIÊM ĐỨC VĂN VỀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 1 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ lồi 4 1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các điều kiện cần và đủ tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ lồi suy rộng 25 2.1 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 40 1 Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học của mình, thầy đã tận tâm và nhiệt tình chỉ bảo. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng toàn thể các cán bộ giảng dạy lớp cao học toán K7Y đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015 Tác giả Nghiêm Đức Văn 2 Mở đầu Bài toán cân bằng vectơ bao gồm nhiều lớp bài toán như: Bài toán tối ưu vectơ, bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ, bài toán bù vectơ, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm bất động,. . . phạm vi áp dụng của bài toán cân bằng rất rộng rãi. Người ta nghiên cứu bài toán cân bằng về sự tồn tại nghiệm, điều kiện tối ưu, đối ngẫu, ổn định nghiệm và cấu trúc tập nghiệm. X. H. Gong [2] đã dẫn các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục và nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ lồi có ràng buộc và áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu vectơ. X. J. Long, Y. Q. Huang, Z. Y. Peng [5] thiết lập các điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của bài toàn cân bằng vectơ có ràng buộc với các giả thiết về tính lồi suy rộng. Mới đây, D. V. Luu và D. D. Hang [6, 7] đã thiết lập các điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ không trơn và bài toán cân bằng vectơ không trơn. Đây là đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Về điều kiện tối ưu cho bài toàn cân bằng vectơ”. Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho một số loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ lồi có ràng buộc của Gong ([2], 2008) và điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc với các giả thiết lồi suy rộng của Long – Huang – Peng ([5], 2011). 3 Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo Chương 1 trình bày các kết quả của X. H. Gong ([2], 2008) về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ lồi gồm một số khái niệm nghiệm hữu hiệu và các điều kiện cần và đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng véctơ có ràng buộc và áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc và bài toán tối ưu có ràng buộc. Chương 2 trình bày các kết quả của X. J. Long, Y. Q. Huang và Z. Y. Peng ([5], 2011) về điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu Henig và nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng véctơ lồi suy rộng có ràng buộc, cùng với các áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ và bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc. Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưng với trình độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và các anh chị đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn. Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015 Nghiêm Đức Văn Học viên Cao học Toán lớp Y, khóa 01/2014-01/2016 Chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên 4 Chương 1 Điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ lồi Chương 1 trình bày các kết quả của X.H. Gong ([2], 2008) về điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng véctơ lồi có ràng buộc, cùng với các áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc và bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc. 1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ Giả sử X, Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y là không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương thực, X0 là tập con lồi khác rỗng của X, g : X0 → Z, F : X0 × X0 → Y , K là nón nhọn lồi đóng của Z, intK 6= ∅. Đặt A = {x ∈ X0 : g(x) ∈ K}. Xét bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc (VEPC): Tìm x ∈ A sao cho F (x, y) ∈ / −P trong đó P ∪ {0} là một nón lồi trong Y. (∀y ∈ X), 5 Giả sử Y ∗ là không gian tôpô đối ngẫu của Y , C là một nón nhọn lồi đóng trong Y . Tập C ∗ = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y) > 0, ∀y ∈ C} là nón đối ngẫu của C. Ký hiệu tựa phần trong của C ∗ là C ] , tức là C ] := {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ (y) > 0, ∀y ∈ C \ {0}}. Giả sử D là tập con khác rỗng của Y . Bao nón của D được xác định như sau: cone(D) = {td : t > 0, d ∈ D} . Kí hiệu bao đóng của D bởi cl(D) và phần trong của D bởi intD. Một tập con lồi khác rỗng B của nón lồi C được gọi là một cơ sở của C, nếu C = cone(B) và 0 ∈ / cl(B). Dễ thấy rằng C ] 6= ∅ nếu và chỉ nếu C có một cơ sở. Cho B là một cơ sở của C. Đặt  C M (B) = y ∗ ∈ C ] : ∃t > 0 sao cho y ∗ (b) > t ∀b ∈ B . Theo định lí tách của các tập lồi, ta có C M 6= ∅. Rõ ràng C M (B) ⊂ C ] . Cho B là một cơ sở của C. Khi đó 0 ∈ / clB. Theo định lí tách của các tập lồi, tồn tại y ∗ ∈ Y ∗ \ {0} sao cho r = inf {y ∗ (b) : b ∈ B} > y ∗ (0) = 0. Đặt VB = {y ∈ Y : |y ∗ (y)| < r/2} . Khi đó VB là một lân cận lồi mở của 0 trong Y . Khái niệm VB sẽ được sử dụng trong suốt chương này. 6 Rõ ràng là inf {y ∗ (y) : y ∈ B + VB } > r/2. Dễ thấy rằng với mỗi lân cận lồi U của 0 với U ⊂ VB , B + U là một tập lồi và 0 ∈ / cl(B + U ), và do đó CU (B) := cone(U + B ) là một nón lồi nhọn và C \ {0} ⊂ intCU (B ). Nếu intC 6= ∅ thì một véc tơ x ∈ A thỏa mãn F (x, y) ∈ / −intC , với mọi y ∈ A, được gọi là một nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng véctơ có ràng buộc VEPC. Với mỗi x ∈ X0 , ta kí hiệu F (x, A) = [ F (x, y). y∈A Định nghĩa 1.1. Vectơ x ∈ A được gọi là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của VEPC nếu tồn tại một nón lồi nhọn H ⊂ Y với C \ {0} ⊂ intH sao cho F (x, A) ∩ ((−H) \ {0}) = ∅. Định nghĩa 1.2. Vectơ x ∈ A được gọi là một nghiệm hữu hiệu Henig của VEPC nếu tồn tại lân cận U nào đó của 0 với U ⊂ VB sao cho cone (F (x , A)) ∩ (−intCU (B )) = ∅. Rõ ràng một véctơ x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu Henig nếu và chỉ nếu F (x, A) ∩ (−intCU (B )) = ∅. 7 Định nghĩa 1.3. Vectơ x ∈ A được gọi là một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC nếu với mỗi lân cận V của 0, tồn tại lân cận U nào đó của 0 sao cho cone (F (x , A)) ∩ (U − C ) ⊂ V . Giả sử L(X, Y ) là không gian tất cả các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào Y . Ta kí hiệu (h, x)là giá trị của h ∈ L(X, Y ) tại x. VEPC bao hàm như một trường hợp đặc biệt bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ có ràng buộc (ký hiệu là VVIC) với F (x, y) = hT x, y − xi, trong đó T là một ánh xạ từ A vào L(X, Y ). Định nghĩa 1.4. Nếu F (x, y) = hT x, y − xi, x, y ∈ A, và x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu yếu, hoặc một nghiệm hữu hiệu Henig, một nghiệm hữu hiệu toàn cục, một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC thì x ∈ A được gọi là là một nghiệm hữu hiệu yếu, hoặc một nghiệm hữu hiệu Henig, một nghiệm hữu hiệu toàn cục, một nghiệm siêu hữu hiệu của VVIC tương ứng. Một trường hợp đặc biệt khác của VEPC là bài toán tối ưu véctơ có ràng buộc (ký hiệu là VOPC) với F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ A trong đó f : A → Y . Định nghĩa 1.5. Nếu F (x, y) = f (y) − f (x), x, y ∈ A và x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu yếu, hoặc một nghiệm hữu hiệu Henig, một nghiệm hữu hiệu toàn cục, 8 một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC thì x ∈ A tương ứng được gọi là một nghiệm hữu hiệu yếu, hoặc một nghiệm hữu hiệu Henig, một nghiệm hữu hiệu toàn cục, một nghiệm siêu hữu hiệu của VOPC. Ký hiệu tập của nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu của VOPC tương ứng là VW , VH , VG và VS . Ký hiệu tôpô mạnh trên Y ∗ bởi β(Y ∗ , Y ). Tập \  n  ∗ ∗ ∗ ω= y ∈ Y : sup |y (y)| < ε : Ai (i = 1, 2, ..., n) i=1 y∈Ai là các tập con bị chặn của Y, ε > 0, n ∈ N  lập thành một cơ sở lân cận của 0 trong Y ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ). Bổ đề 1.1. Giả sử nón lồi nhọn C có một cơ sở là B. (i) Với bất kì lân cận lồi mở U của 0 trong Y với U ⊂ VB , ta có (CU (B))∗ \ {0} ⊂ C M (B). (ii) Với bất kì f ∈ C M (B), tồn tại lân cận lồi mở U của 0 trong Y với U ⊂ VB sao cho f ∈ (CU (B))∗ \ {0} . (iii) Nếu nón lồi đóng C có một cơ sở B đóng bị chặn, thì intC ∗ = C M (B ), trong đó intC ∗ là phần trong của C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ). 1.2 Các điều kiện cần và đủ tối ưu Phần này trình bày điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu yếu, nghiệm hữu hiệu Henig, nghiệm hữu hiệu toàn cục, nghiệm siêu hữu hiệu của bài toán cân bằng véctơ có ràng buộc. 9 Ánh xạ f : X0 → Y được gọi là C- lồi, nếu với mọi x1 , x2 ∈ X0 , và t ∈ [0, 1], tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) ∈ f (tx1 + (1 − t)x2 ) + C. Ánh xạ g : X0 → Z được gọi là K- lõm trên X0 , nếu với mỗi x1 , x2 ∈ X0 , và t ∈ [0, 1], tg(x1 ) + (1 − t)g(x2 ) ∈ g (tx1 + (1 − t)x2 ) − K. Ta đưa vào giả thiết sau: (A) Với mỗi x ∈ X0 , F (x, x) = 0 và F (x, y) là C - lồi trong Y ; g là K - lõm trên X0 , và tồn tại x0 ∈ X0 sao cho g(x0 ) ∈ intK . Nếu g là K- lõm trên X0 , theo giả thiết (A), ta có A = {x ∈ X0 : g(x) ∈ K} là một tập lồi khác rỗng. Định lí 1.1. Giả sử giả thiết (A) là đúng và intC 6= ∅. Khi đó x ∈ A là nghiệm hữu hiệu yếu của VEPC nếu và chỉ nếu tồn tại y ∗ ∈ C ∗ \ {0} , z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g (x)) = 0 và  y ∗ (F (x, x)) + z ∗ (g (x)) = min y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(x)) . y∈X0 Chứng minh. Giả sử có x ∈ A là nghiệm hữu hiệu yếu của VEPC. Định nghĩa tập  M = (y, z) ∈ Y × Z : ∃y 0 ∈ X0 sao cho y − F (x, y 0 ) ∈ intC , g(y 0 ) − z ∈ intK . Rõ ràng M 6= ∅. Do tính C- lồi của F theo biến thứ hai, và tính K- lõm của g, ta có M là một tập lồi. Rõ ràng M là một tập mở. Ta khẳng định rằng 10 (0, 0) ∈ / M . Nếu không, khi đó tồn tại y 0 ∈ X0 sao cho 0 − F (x, y 0 ) ∈ intC , g(y 0 ) − 0 ∈ intK . Khi đó F (x, y 0 ) ∈ −intC , và y 0 ∈ A. Điều này mâu thuẫn với x là nghiệm hữu hiệu của VEPC. Như vậy (0, 0) ∈ / M . Theo định lí tách các tập lồi, tồn tại (0, 0) 6= (y ∗ , z ∗ ) ∈ (Y × Z)∗ = Y ∗ × Z ∗ sao cho 0 < y ∗ (y) + z ∗ (z) với mọi (y, z) ∈ M. (1.1) Giả sử (y, z) ∈ M . Khi đó tồn tại y 0 ∈ X0 sao cho y−F (x, y 0 ) ∈ intC , g(y 0 )− z ∈ intK . Vì vậy, với mọi c ∈ intC , k ∈ intK , t > 0 , t 0 > 0 , ta có (y + tc, z) ∈ M ,và (y, z − t0 k) ∈ K. Từ (1.1) ta có 0 < y ∗ (y + tc) + z ∗ (z) với mọi c ∈ intC và t > 0 . Như vậy, (−z ∗ (z) − y ∗ (y))/t < y ∗ (c) với mọi c ∈ intC và t > 0 . Cho t → ∞, ta nhận được 0 6 y ∗ (c) với mọi c ∈ intC . Bởi vì C là một nón lồi đóng cho nên C = cl(intC ). Do tính liên tục của y ∗ , ta có thể thấy rằng 0 6 y ∗ (c) với mọi c ∈ C. Điều đó có nghĩa là y ∗ ∈ C ∗ . Tương tự, ta có thể thấy rằng z ∗ ∈ −K ∗ . Ta cũng có y ∗ 6= 0. Thật vậy, nếu y ∗ = 0, từ (1.1) ta được 0 < z ∗ (z) với mọi (y, z) ∈ M. Theo giả thiết (A), tồn tại x0 ∈ X0 sao cho g(x0 ) ∈ intK . Như vậy, ta có (F (x, x0 ) + c, g(x0 ) − z) ∈ M với mọi c ∈ intC , z ∈ intK . 11 Vì vậy, 0 < z ∗ (g(x0 ) − z) , và do đó, z ∗ (z) < z ∗ (g(x0 )) . Nói riêng, ta có z ∗ (g(x0 )) < z ∗ (g(x0 )) . Đây là một mâu thuẫn. Như vậy y ∗ 6= 0. Rõ ràng là (F (x, y) + c, g(y) − k) ∈ M với mọi y ∈ X0 , c ∈ intC và z ∈ intK . Từ (1.1), ta nhận được 0 6 y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(y)) với mọi y ∈ X0 . (1.2) Rõ ràng là (F (x, x) + tc, g(x) − tk) ∈ M với mọi c ∈ intC , z ∈ intK , t > 0. Từ (1.1) và giả thiết (A), ta có 0 < y ∗ (F (x, x) + tc) + z ∗ (g(x) − tk) = ty ∗ (c) + z ∗ (g(x)) − tz ∗ (k). Cho t → 0, ta có được 0 6 z ∗ (g(x)). Lưu ý rằng x ∈ A, và z ∗ ∈ −K ∗ , ta có z ∗ (g(x)) 6 0. Như vậy, z ∗ (g(x)) = 0. (1.3) Từ (1.2), (1.3) và F (x, x) = 0, ta có y ∗ (F (x, x)) + z ∗ (g(x)) = min y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(y)) . y∈X0 (1.4) Ngược lại, cho x ∈ A, và giả sử rằng tồn tại y ∗ ∈ C ∗ \ {0} , z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g (x)) = 0 và y ∗ (F (x, x)) + z ∗ (g (x)) = min {y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(y))} . y∈X0 (1.5) 12 Ta sẽ chỉ ra rằng x là một nghiệm hữu hiệu yếu của VEPC. Nếu không, khi đó tồn tại y0 ∈ A sao cho F (x, y0 ) ∈ −intC . Bởi vì y ∗ ∈ C ∗ \ {0}, ta có y ∗ (F (x, y0 )) < 0. Chú ý rằng y0 ∈ A, ta có g(y0 ) ∈ K và z ∗ (g (y0 )) 6 0 bởi vì z ∗ ∈ −K ∗ . Kết hợp với (1.5) có được

 0 = y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(y)) y∈X0

6 y ∗ F (x, y0 ) + z ∗ g(y0 ) < 0. Đây là một mâu thuẫn. Vì vậy, x là một nghiệm hữu hiệu yếu của VEPC. Định lí 1.2. Giả sử giả thiết (A) thỏa mãn và C có một cơ sở B. Khi đó x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu Henig của VEPC nếu và chỉ nếu tồn tại y ∗ ∈ C M (B), z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g (x)) = 0 và



y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y) . y∈X0 Chứng minh. Giả sử có x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu Henig của VEPC. Theo định nghĩa, tồn tại lân cận U nào đó của 0 với U ⊂ VB sao cho F (x, A) ∩ (−intCU (B )) = ∅. Đặt  M = (y, z) ∈ Y × Z : ∃y 0 ∈ X0 sao cho (1.6) 13 y − F (x, y 0 ) ∈ intCU (B ), g(y 0 ) − z ∈ intK . Rõ ràng là M 6= ∅. Do tính C - lồi của F theo biến thứ hai, tính K - lõm của g, C\ {0} ⊂ intCU (B ) và CU (B) là một nón lồi, ta có M là một tập lồi. Rõ ràng M là một tập mở. Ta khẳng định rằng (0, 0) ∈ / M . Nếu không, khi đó tồn tại y 0 ∈ X0 sao cho 0 − F (x, y 0 ) ∈ intCU (B ), g(y 0 ) − 0 ∈ intK . Khi đó F (x, y 0 ) ∈ −intCU (B ), và y 0 ∈ A. Điều này mâu thuẫn với (1.6). Như vậy (0, 0) ∈ / M . Theo định lí tách các tập lồi, tồn tại (0, 0) 6= (y ∗ , z ∗ ) ∈ (Y × Z)∗ = Y ∗ × Z ∗ sao cho 0 < y ∗ (y) + z ∗ (z) với mọi (y, z) ∈ M. (1.7) Lấy (y, z) ∈ M . Khi đó tồn tại y 0 ∈ X0 sao cho y − F (x, y 0 ) ∈ intCU (B ), g(y 0 ) − z ∈ intK . Vì vậy, với mọi c ∈ intCU (B ), k ∈ intK , t > 0 , t 0 > 0 ta có (y + tc, z) ∈ M và (y, z − t0 k) ∈ M. Điều này kéo theo y ∗ ∈ (CU (B))∗ và z ∗ ∈ −K ∗ . Bằng cách chứng minh tương tự với định lí 1.1, ta có y ∗ 6= 0. Theo bổ đề 1.1, ta có y ∗ ∈ C M (B). Rõ ràng là (F (x, y) + c, g(y) − k) ∈ M, với mọi y ∈ X0 , c ∈ intCU (B ) và k ∈ intK . Ta nhận được 0 6 y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(y)) với mọi y ∈ X0 . (1.8) 14 Rõ ràng là (F (x, x) + tc, g(x) − tk) ∈ M với mọi c ∈ intCU (B ), z ∈ intK , t > 0 . Từ (1.7) và giả thiết (A), ta có 0 < y ∗ (F (x, x) + tc) + z ∗ (g(x) − tk) = ty ∗ (c) + z ∗ (g(x)) − tz ∗ (k). Cho t → 0, ta có 0 6 z ∗ (g(x)). Lưu ý rằng x ∈ A, và z ∗ ∈ −K ∗ , ta có z ∗ (g(x)) 6 0. Như vậy, z ∗ (g(x)) = 0. (1.9) Từ (1.8) và (1.9) ta được y ∗ (F (x, x)) + z ∗ (g(x)) = min y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(y)) . y∈X0 (1.10) Ngược lại, cho x ∈ A, và giả sử rằng tồn tại y ∗ ∈ C M (B), z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g (x)) = 0 và



y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y) . y∈X0 (1.11) Ta sẽ chỉ ra x là một nghiệm hữu hiệu Henig của VEPC, tức là tồn tại lân cận U của 0 với U ⊂ VB , F (x, A) ∩ (−intCU (B )) = ∅. (1.12) Giả sử ngược lại rằng với bất kì lân cận U của 0 với U ⊂ VB , ta có F (x, A) ∩ (−intCU (B )) = ∅ (1.13) không đúng, có nghĩa là F (x, A) ∩ (−intCU (B )) 6= ∅. Như vậy, với mỗi lân cận U của 0 với U ⊂ VB , tồn tại yU ∈ A sao cho F (x, yU ) ∈ −intCU (B ). (1.14) 15 Bởi vì y ∗ ∈ C M (B), theo bổ đề 1.1, tồn tại V ⊂ VB sao cho y ∗ ∈ (CV (B))∗ \ {0}. Với V đó, từ (1.14) tồn tại yV ∈ A sao cho F (x, yV ) ∈ −intCV (B ). (1.15) Do y ∗ ∈ (CV (B))∗ \ {0} và (1.15), ta có y ∗ (F (x, yV )) < 0. (1.16) Chú ý yV ∈ A, ta có g(yV ) ∈ K. Do z ∗ ∈ −K, ta có z ∗ (g(yV )) 6 0. (1.17) Từ (1.16) và (1.17), ta có được y ∗ (F (x, yV )) + z ∗ (g(yV )) < 0. Theo (1.11), ta có



0 = y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y) . y∈X0 Đây là một mâu thuẫn. Vì vậy, x là một nghiệm hữu hiệu Henig của VEPC. Nếu C có một cơ sở B đóng bị chặn, theo bổ đề 1.1, ta có intC ∗ = C M (B ). Hơn nữa, theo mệnh đề 2 [4], x ∈ A là một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC nếu và chỉ nếu x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu Henig của VEPC. Vì vậy, theo định lí 1.2, ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.1. Giả sử giả thiết (A) thỏa mãn và C có một cơ sở đóng bị chặn B. Khi đó x ∈ A là một nghiệm siêu hữu hiệu của VEPC nếu và chỉ nếu tồn tại y ∗ ∈ intC ∗ , z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g(x)) = 0 và



y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y) , y∈X0 16 trong đó ∈ intC ∗ là phần trong của C ∗ theo tôpô β(Y ∗ , Y ). Định lí 1.3. , Giả sử giả thiết (A) đúng và C có một cơ sở B. Khi đó x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của VEPC nếu và chỉ nếu tồn tại y ∗ ∈ C ] , z ∗ ∈ −K ∗ sao cho z ∗ (g(x)) = 0 và



y ∗ F (x, x) + z ∗ g (x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y) . y∈X0 Chứng minh. Giả sử x ∈ A là một nghiệm hữu hiệu toàn cục của VEPC. Theo định nghĩa, tồn tại nón lồi nhọn H ⊂ Y sao cho C \ {0} ⊂ intH và F (x, A) ∩ ((−H) \ {0}) = ∅. (1.18) Đặt  M = (y, z) ∈ Y × Z : ∃y 0 ∈ X0 sao cho y − F (x, y 0 ) ∈ intH , g(y 0 ) − z ∈ intK . Rõ ràng là M 6= ∅. Do tính C - lồi của F theo biến thứ hai, tính K - lõm của g và C\{0} ⊂ intH , ta có M là một tập lồi. Rõ ràng M là một tập mở. Ta khẳng định rằng (0, 0) ∈ / M . Nếu không, sẽ tồn tại y 0 ∈ X0 sao cho 0 − F (x, y 0 ) ∈ intH , g(y 0 ) − 0 ∈ intK . Khi đó F (x, y 0 ) ∈ −intH và y 0 ∈ A. Bởi vì H là một nón nhọn, F (x, y 0 ) 6= 0. Điều này mâu thuẫn với (1.18). Như vậy (0, 0) ∈ / M . Theo định lí tách các tập lồi, tồn tại (0, 0) 6= (y ∗ , z ∗ ) ∈ (Y × Z)∗ = Y ∗ × Z ∗ sao cho 0 < y ∗ (y) + z ∗ (z) với mọi (y, z) ∈ M. (1.19) 17 Lấy (y, z) ∈ M . Khi đó tồn tại y 0 ∈ X0 sao cho y − F (x, y 0 ) ∈ intH , g(y 0 ) − z ∈ intK . Vì vậy, với mọi c ∈ intH , k ∈ intK , t > 0 , t 0 > 0 , ta có (y + tc, z) ∈ M, và (y, z − t0 k) ∈ M. Điều này kéo theo y ∗ ∈ H ∗ và z ∗ ∈ −K ∗ . Bằng cách chứng minh tương tự của định lí 1.1, ta có y ∗ 6= 0. Do C\{0} ⊂ intH và 0 6= y ∗ ∈ H ∗ , ta có y ∗ ∈ C ] . Ta có (F (x, y) + c, g(y) − k) ∈ M, với mọi y ∈ X0 , c ∈ intH và k ∈ intK . Từ (1.19), ta có 0 6 y ∗ (F (x, y)) + z ∗ (g(y)), với mọi y ∈ X0 (1.20) Rõ ràng là
F (x, x) + tc, g(x) − tk ∈ M, với mọi c ∈ intH , z ∈ intK , t > 0 . Từ (1.19) và giả thiết (A), ta có 0 < y ∗ (F (x, x) + tc) + z ∗ (g(x) − tk) = ty ∗ (c) + z ∗ (g(x)) − tz ∗ (k). Cho t → 0, ta có được 0 6 z ∗ (g(x)). Lưu ý rằng x ∈ A, và z ∗ ∈ −K ∗ , ta có z ∗ (g(x)) 6 0. Như vậy, z ∗ (g(x)) = 0. (1.21) Do F (x, x) = 0, (1.20) và (1.21), ta có



y ∗ F (x, x) + z ∗ g(x) = min y ∗ F (x, y) + z ∗ g(y) . y∈X0 (1.22) Ngược lại, cho x ∈ A, và giả sử rằng tồn tại y ∗ ∈ C ] (B), z ∗ ∈ −K ∗ sao cho
z ∗ g(x) = 0