Tài liệu Về đa thức hệ số thực có các nghiệm đều thực

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN VĂN LƯU VỀ ĐA THỨC HỆ SỐ THỰC CÓ CÁC NGHIỆM ĐỀU THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN VĂN LƯU VỀ ĐA THỨC HỆ SỐ THỰC CÓ CÁC NGHIỆM ĐỀU THỰC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục 1 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Điều kiện để đa thức với hệ số thực có các nghiệm đều là thực 6 1.1 1.2 1.3 2 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . Một vài điều kiện cần cho một đa thức có tất cả nghiệm đều thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Điều kiện đủ để mọi nghiệm của đa thức là thực . . . . . các . . . . . . Một số bài toán liên quan 2.1 2.2 Mối liên hệ giữa nghiệm thực của đạo hàm và nghiệm thực của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số bài toán sơ cấp liên quan . . . . . . . . . . . . . Kết luận 6 10 19 27 27 32 38 Tài liệu tham khảo 39 2 3 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn đã hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này. Mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng Cô vẫn dành nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện đề tài. Trong quá trình tiếp cận đề tài đến quá trình hoàn thiện luận văn Cô luôn tận tình chỉ bảo và tạo điều kiện tốt nhất nhất cho tôi hoàn thành luận văn. Cho đến bây giờ luận văn thạc sĩ của tôi đã được hoàn thành, xin cảm ơn Cô. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán - Tin và Phòng Đào tạo của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trường THPT Gia Viễn A - Ninh Bình nơi tôi công tác đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành công việc chuyên môn tại nhà trường để tôi hoàn thành chương trình học tập cao học. Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. 4 PHẦN MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết, khi nghiên cứu về đa thức thì vấn đề nghiệm của đa thức là yếu tố rất quan trọng. Theo Định lý cơ bản của Đại số thì đa thức hệ số phức bậc n có đủ n nghiệm phức (tính cả bội của chúng). Tuy nhiên, đa thức hệ số thực thì không có được khẳng định như vậy. Chẳng hạn, đa thức bậc hai p(x) = ax2 + bx + c với hệ số thực có hai nghiệm thực nếu và chỉ nếu b2 − 4ac ≥ 0. Trong lịch sử toán học, các nhà khoa học đã cố gắng tìm ra các điều kiện của hệ số để một đa thức hệ số thực có số nghiệm thực cho trước cũng như công thức nghiệm theo các hệ số. Tuy nhiên chúng ta mới chỉ giải quyết một số bài toán cụ thể hay lớp đa thức đặc biệt nào đó. Việc nghiên cứu điều kiện trên các hệ số của đa thức với hệ số thực để đa thức có các nghiệm đều thực được trình bày trong bài báo [3] và [4]. Bài báo [3]: "A sufficient condition for all the roots of a polynomial to be real" trình bày một điều kiện đủ của các hệ số để đa thức hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực, bài báo [4]: "Some necessary conditions for a real polynomial to have only real roots" trình bày một vài điều kiện cần của các hệ số để đa thực hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực. Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả trong các bài báo trên. Ngoài ra, luận văn còn quan tâm khai thác mối liên hệ giữa nghiệm của đa thức và nghiệm của đạo hàm đa thức đó thông qua đánh giá bất đẳng thức, nội dung này được trình bày lại từ bài báo [5]: "On the roots of the derivative of a polynomial with real roots". Luận văn còn khai thác một số ứng dụng các kết quả để giải quyết những bài toán sơ cấp về tính chất nghiệm thực của đa thức với hệ số thực. Luận văn chia làm hai chương. Chương 1 gồm 3 phần. Phần thứ nhất trình bày một số kiến thức cơ bản về nghiệm của đa thức như Định lý cơ bản của Đại số, Công thức 5 Viete, Định lý Rolle, số nghiệm của đa thức khi hệ số tự do thay đổi và Điều kiện không lồi của Newton. Phần thứ hai dành để trình bày một vài điều kiện cần cho một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực, thể hiện trong các Định lý 1.2.1, Định lý 1.2.5, Định lý 1.2.8, Định lý 1.2.11. Ngoài ra, ở mỗi Định lý sau phần chứng minh còn có một số phản ví dụ để chỉ ra rằng các điều kiện đó không phải là điều kiện đủ để đa thức có tất cả các nghiệm đều thực. Phần cuối trình bày một điều kiện đủ để mọi nghiệm của đa thức là số thực, thể hiện trong Định lý 1.3.2. Định lý 1.3.2 là một kết quả rất đẹp mở rộng tiêu chuẩn có đủ 2 nghiệm thực của đa thức bậc hai thành tiêu chuẩn có đủ n nghiệm thực của đa thức bậc n. Chương 2 gồm hai phần. Phần đầu trình bày về mối liên hệ giữa nghiệm thực của đạo hàm và nghiệm thực của đa thức, thể hiện trong Định lý 2.1.1. Phần tiếp theo đưa ra một số bài toán sơ cấp để áp dụng các định lý ở Chương 1. Chương 1 Điều kiện để đa thức với hệ số thực có các nghiệm đều là thực Mục đích của Chương này là trình bày một số kết quả về đa thức hệ số thực có các nghiệm đều thực. Tài liệu tham khảo chính của Chương là [1], [3], [4]. 1.1 Nghiệm của đa thức Mục tiêu của tiết này là nhắc lại một số khái niệm, tính chất quen biết về nghiệm của đa thức, trong đó có Công thức Viete, Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM Inquality), Định lý Rolle, số nghiệm của đa thức khi hệ số tự do thay đổi, Điều kiện không lồi của Newton . . . Cho số nguyên dương n. Đa thức p(x) bậc n, hệ số thực là biểu thức có dạng p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 với a0 , a1 , . . . , an là các số thực và an 6= 0. Đa thức được viết dưới dạng các hạng tử bậc giảm dần như trên được gọi là dạng chính tắc của đa thức. Trong toàn bộ luận văn này, nếu không có giải thích gì thêm thì ta luôn quy ước p(x) là đa thức bậc n hệ số thực có dạng như trên. Khi n = 1 thì p(x) = a1 x + a0 được gọi là nhị thức bậc nhất, khi 6 7 n = 2 thì p(x) = a2 x2 + a1 x + a0 được gọi là tam thức bậc hai. Đây là các đa thức được nghiên cứu nhiều trong chương trình phổ thông. Cho đa thức p(x) bậc n hệ số thực. Số phức a được gọi là nghiệm của đa thức p(x) nếu p(a) = 0. Nếu a là số thực ta gọi a là nghiệm thực của đa thức p(x). Về tính chất nghiệm phức của đa thức p(x) bậc n hệ số phức, ta có Định lý cơ bản của đại số. 1.1.1 Định lý. Cho đa thức p(x) bậc n hệ số phức. Trên tập số phức C, đa thức p(x) có đủ n nghiệm, mỗi nghiệm được tính với số bội của nó. Rõ ràng khi đa thức p(x) bậc n có hệ số thực thì đa thức p(x) có đủ n nghiệm phức (mỗi nghiệm được tính với bội của nó). Tuy nhiên, Định lý 1.1.1 trên chưa làm rõ được số nghiệm thực và số nghiệm không thực của đa thức p(x). Luận văn này sẽ làm sáng tỏ một phần vấn đề trên. Liên quan đến các nghiệm của đa thức, ta có Định lý Viete về mối quan hệ giữa các nghiệm và các hệ số của đa thức. Nội dung Định lý như sau. 1.1.2 Định lý (Định lý Viete). Cho đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 bậc n với hệ số phức và n ≥ 2. Giả sử p(x) có n nghiệm thực hoặc phức, gọi là x1 , x2 , . . . , xn . Khi đó  an−1  , x1 + x2 + . . . + xn = −   a n    a  x1 x2 + x1 x3 + . . . + xn−1 xn = n−2 , an   ...     a0   x1 x2 . . . xn = (−1)n . an Trong luận văn, ta phát biểu Định lý Rolle dưới ngôn ngữ của đa thức . Định lý nổi tiếng Rolle là định lý liên quan đến sự tồn tại nghiệm của đạo hàm và giá trị của đa thức. Định lý được phát biểu như sau. 8 1.1.3 Định lý (Định lý Rolle). Nếu có hai số thực a < b thỏa mãn p(a) = p(b) thì tồn tại số thực c thuộc khoảng (a, b) sao cho p0 (c) = 0. Do đó nếu a < b là các nghiệm của đa thức p(x) thì luôn tồn tại số thực c ∈ (a, b) là nghiệm của đa thức đạo hàm p0 (x). Vì vậy nếu đa thức p(x) có tất cả các nghiệm đều là thực thì đa thức p0 (x) cũng có tất cả các nghiệm đều là thực. Vì thế ta có Hệ quả sau. 1.1.4 Hệ quả. Cho đa thức p(x) bậc n hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực. Khi đó đạo hàm cấp k của đa thức p(x) cũng có tất cả các nghiệm đều thực, với mỗi 1 ≤ k ≤ n − 1. Chứng minh. Ta ký hiệu p(k) (x) là đạo hàm cấp k của đa thức p(x) với mỗi 1 ≤ k ≤ n − 1. Hiển nhiên rằng p(k) (x) cũng là đa thức bậc n − k hệ số thực. Giả sử đa thức p(x) bậc n hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực. Bằng quy nạp theo k, ta chỉ cần chứng minh rằng đa thức p0 (x) cũng có tất cả các nghiệm đều thực. Nếu đa thức p(x) có a là nghiệm bội m thì a là nghiệm bội m − 1 của đa thức p0 (x). Do đó, ta chỉ cần xét trường hợp đa thức p(x) có n nghiệm thực phân biệt theo thứ tự tăng dần là x1 , x2 , . . . , xn . Đa thức p0 (x) có bậc n − 1 nên có tối đa n − 1 nghiệm thực. Theo Định lý Rolle, tồn tại số thực ck thuộc khoảng (xk , xk+1 ) sao cho p0 (ck ) = 0 với mỗi 1 ≤ k ≤ n − 1. Do đó c1 , c2 , . . . , cn−1 là các nghiệm thực của đa thức p0 (x). Vậy đa thức p0 (x) có n − 1 nghiệm thực. Điều ngược lại của Hệ quả 1.1.4 không đúng. Chẳng hạn, đa thức p(x) = x4 − 4x2 + 5 không có nghiệm thực, nhưng đạo hàm p0 (x) = 4x3 − 8x2 có tất cả các nghiệm đều thực. 9 Với một đa thức, khi hệ số thay đổi thì số nghiệm cũng như các nghiệm của đa thức đều thay đổi. Tuy nhiên, nếu chỉ có hệ số tự do thay đổi trên một miền nào đó thì số nghiệm của đa thức đó không đổi. Đó là nội dung của Bổ đề 1.1.5 sau đây. 1.1.5 Bổ đề. Cho đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt. Khi đó, tồn tại số thực  > 0 sao cho với mọi 0 ≤ λ < , đa thức p(x) + λ cũng có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh. Giả sử đa thức p(x) có n nghiệm thực phân biệt theo thứ tự tăng dần là x1 , x2 , . . . , xn . Theo Hệ quả 1.1.4, đa thức p0 (x) có n − 1 nghiệm thực phân biệt theo thứ tự tăng dần là t1 , t2 , . . . , tn−1 và ti ∈ (xi , xi+1 ) với mỗi i = 1, 2, . . . , n − 1. Ngoài ra, t1 , t2 , . . . , tn−1 cũng chính là các điểm cực trị của hàm số p(x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 . Do đa thức p(x) có n nghiệm thực phân biệt nên các giá trị cực trị p(ti ) 6= 0 với mỗi i = 1, 2, . . . , n − 1. Đặt  = min{|p(t1 )|, |p(t2 )|, . . . , |p(tn−1 )|}. Rõ ràng  > 0 và với mọi 0 ≤ λ <  thì đa thức p(x) + λ cũng có n nghiệm thực. Ngoài ra, trong một số chứng minh, ta cần sử dụng Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân sau đây. 1.1.6 Mệnh đề (Bất đẳng thức AM - GM). Với n số thực không âm a1 , a2 , . . . , an ta có bất đẳng thức √ a1 + a2 + . . . + an ≥ n a1 a2 . . . an . n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an . 1.1.7 Định lý (Điều kiện không lồi Newton). Cho đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 10 là đa thức có bậc n ≥ 2 với hệ số thực. Nếu mọi nghiệm của đa thức p(x) là thực thì các hệ số của p(x) thỏa mãn điều kiện sau. a2i − n−i+1 i+1 . .ai−1 .ai+1 ≥ 0, n−i i với i = 1, 2, . . . , n − 1. Đây là điều kiện được cho là của Newton, gọi là Điều kiện không lồi. Chứng minh của Định lý này có thể xem trong tài liệu [2]. 1.2 Một vài điều kiện cần cho một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực Như đã biết, chúng ta không có công thức cũng như phương pháp giải phương trình bậc cao hệ số thực một cách tổng quát. Chúng ta chỉ biết được phương pháp giải và công thức nghiệm của phương trình bậc đến 4. Do đó với một đa thức hệ số thực tổng quát, ta không thể kiểm tra tất cả các nghiệm của đa thức đều thực bằng cách giải phương trình bậc cao bất kỳ. Chú ý rằng, đối với đa thức bậc 3, 4 với hệ số thực, chúng ta có công thức nghiệm biểu diễn qua các hệ số của đa thức (xem Tiết 1.6 trong tài liệu [1]). Tuy nhiên, nếu dựa vào công thức này, chúng ta không thể biết nghiệm của các đa thức là thực hay không (xem Chú ý 1.6.6 trong tài liệu [1]). Vì vậy, bài toán tìm điều kiện để để đa thức hệ số thực bậc 3, 4 có tất cả các nghiệm đều thực vẫn là bài toán được quan tâm, đặc biệt là trong chương trình toán sơ cấp. Nội dung của tiết này tập trung trình bày một số điều kiện của các hệ số sao cho khi đa thức hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực thì các hệ số của đa thức thỏa mãn điều kiện trên. Đó được gọi là điều kiện cần của các hệ số để một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực. Ngoài ra, trong mỗi điều kiện cần, đều có các ví dụ cụ thể để chứng minh rằng điều kiện đưa ra không đồng thời là điều kiện đủ. Nội dung của tiết này được viết dựa vào tài liệu [4]. 11 1.2.1 Định lý. Cho n ≥ 2 và cho a0 , a1 , a2 , . . . , an là các số thực với an 6= 0. Nếu mọi nghiệm của đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 là thực thì (n − 1).a21 ≥ 2n.a0 .a2 . Chứng minh. Giả sử đa thức p(x) có mọi nghiệm đều thực. Nếu a0 = 0 thì bất đẳng thức (n − 1).a21 ≥ 2n.a0 .a2 luôn đúng. Vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng a0 6= 0. Do đó mọi nghiệm của p(x) là khác 0. Với mỗi số tự nhiên k ≥ 1, ký hiệu q (k) (x) là đạo hàm bậc k của đa thức q(x). Xét đa thức   1 = an + an−1 x + · · · + a2 xn−2 + a1 xn−1 + a0 xn . q(x) = x p x n Chú ý rằng a0 6= 0, do đó đa thức q(x) có bậc n. Dễ thấy rằng nếu 1 là nghiệm của q(x). Do đó mọi nghiệm x0 6= 0 là nghiệm của p(x) thì x0 của q(x) đều là thực. Theo Hệ quả 1.1.4 thì mọi nghiệm của q (k) (x) cũng là thực với mỗi 0 ≤ k ≤ n − 1. Chú ý rằng n ≥ 2. Với k = n − 2 thì mọi nghiệm của đa thức q (n−2) (x) = (n − 2)!a2 + (n − 1)!a1 x + n! a0 x2 2 là thực. Suy ra [(n − 1)!a1 ]2 ≥ 4 · (n − 2)!a2 · n! a0 , 2 hay ta được bất đẳng thức (n − 1).a21 ≥ 2n.a0 .a2 . Định lý đã được chứng minh. Rõ ràng, nếu n = 2 thì bất đẳng thức ở Định lý 1.2.1 có thể được viết dưới dạng a21 ≥ 4.a0 .a2 , đây cũng là điều kiện đủ để mọi nghiệm của đa thức p(x) bậc hai là thực. Tuy nhiên, điều kiện trên không còn là điều kiện đủ khi n ≥ 3. 12 1.2.2 Ví dụ. Đa thức p(x) = x xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1
có bậc n và thỏa mãn điều kiện (n − 1).a21 ≥ 2n.a0 .a2 . Tuy nhiên p(x) có nghiệm 0 và e 2πik n với 1 ≤ k ≤ n − 1. Khi n ≥ 3, các nghiệm e 2πik n không thực với mọi k = 1, 2, · · · , n − 1. 1.2.3 Ví dụ. Xét đa thức p4 (x) = x4 + x3 + x2 − x − 2 có các hệ số thỏa mãn (4 − 1) .(−1)2 ≥ 2.4.1. (−2) nhưng đa thức chỉ có đúng 2 nghiệm thực x = −1, x = 1. 1.2.4 Ví dụ. Xét đa thức p4 (x) = x4 + 7x3 + 2x2 + 7x + 1 có các hệ số thỏa mãn (4 √ − 1) .72 ≥ 2.4.2.1 √ nhưng đa thức chỉ có đúng 2 nghiệm −7 − 45 −7 + 45 ,x = . thực x = 2 2 Do đó điều kiện (n − 1).a21 ≥ 2n.a0 .a2 chỉ là điều kiện cần không phải điều kiện đủ. Định lý 1.2.1 chỉ đưa ra điều kiện cho 3 hệ số cuối cùng của đa thức. Do đó việc kiểm tra một đa thức hệ số thực có các nghiệm đều thực sẽ rất hạn chế do các hệ số còn lại có thể thay đổi tùy ý. Tuy nhiên, sử dụng kết quả của Định lý 1.2.1, chúng ta có thể mở rộng Định lý 1.2.1 cho ba hệ số liên tiếp bất kỳ. Khi đó điều kiện của các hệ số sẽ chặt hơn. Đó là nội dung của Định lý 1.2.5 sau đây. 1.2.5 Định lý. Cho n ≥ 2 và cho a0 , a1 , a2 , . . . , an là các số thực với an 6= 0. Nếu mọi nghiệm của đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 là thực thì (n − k − 1).(k + 1).a2k+1 ≥ (n − k).(k + 2).ak .ak+2 với mỗi k, 0 ≤ k ≤ n − 2. (1) 13 Chứng minh. Do mọi nghiệm của p(x) đều là thực nên theo Hệ quả 1.1.4, đạo hàm bậc k của đa thức p(x) p(k) (x) = n X m=k m k ! k!am xm−k có tất cả các ! nghiệm là thực, với mỗi k, 0 ≤ k ≤ n − 2. Ở đây ta ký m n! = hiệu là số tổ hợp chập k của n phần tử. Áp dụng k!.(n − k)! k Định lý 1.2.1 với đa thức p(k) (x), suy ra " ! #2 " ! #" ! # k+1 k k+2 (n−k−1) k!ak+1 ≥ 2(n−k) k!ak k!ak+2 . k k k Do đó (n − k − 1)(k + 1)a2k+1 ≥ (n − k)(k + 2)ak ak+2 . Định lý được chứng minh. Như vậy, Định lý 1.2.5 đã đưa ra điều kiện cần cho tất cả các hệ số bằng cách kiểm tra điều kiện của bộ 3 hệ số liên tiếp nhau trong đa thức. Chú ý rằng điều kiện các hệ số trong Định lý 1.2.5 chỉ là điều kiện cần, không nhất thiết là điều kiện đủ. 1.2.6 Ví dụ. Xét đa thức p3 (x) = x3 + 5x2 + 4x + 1 có các hệ số thỏa mãn (3 − 1) .42 ≥ 2.3.5.1, (3 − 2) .2.52 ≥ 2.3.1.4 nhưng đa thức chỉ có đúng 1 nghiệm thực. Do đó điều kiện (n − k − 1) (k + 1) a2k+1 ≥ (n − k) (k + 2) ak ak+2 chỉ là điều kiện cần không phải điều kiện đủ. 1.2.7 Hệ quả. Cho n ≥ 2 và cho a0 , a1 , a2 , . . . , an là các số thực dương. Nếu mọi nghiệm của đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 14 là thực thì a1 an−1 ≥ n2 a0 an . Chứng minh. Do các hệ số a0 , a1 , a2 , . . . , an dương nên các nhân tử ở hai vế của n − 1 bất đẳng thức (1) trong phát biểu Định lý 1.2.5 đều dương. Từ bất đẳng thức (1) trong phát biểu Định lý 1.2.5, ta có n−k ak+2 k + 1 ak+1 · ≥ · với 0 ≤ k ≤ n − 2. k + 2 ak n − k − 1 ak+1 Do các hệ số a0 , a1 , a2 , . . . , an đều dương nên hai vế của n − 1 bất đẳng thức trên đều dương. Nhân các vế của n − 1 bất đẳng thức cùng dấu ở trên với nhau ta được n−2 Y k=0 n−2 n−2 n−2 k=0 k=0 k=0 k + 1 Y ak+1 Y n − k Y ak+2 ≥ . k+2 ak n−k−1 ak+1 Từ đó suy ra n an 1 an−1 · ≥ · . n a0 1 a1 Vì vậy a1 an−1 ≥ n2 a0 an . Như vậy, Hệ quả 1.2.7 là điều kiện cho hai cặp hệ số đầu tiên và cuối cùng của đa thức có hệ số thực dương. Hệ quả trên giúp kiểm tra đa thức với hệ số thực dương có tất cả các nghiệm thực thông qua 2 hệ số đầu tiên và 2 hệ số cuối cùng. Tiếp theo, chúng ta có một chứng minh thú vị cho một phiên bản yếu hơn của Định lý 1.2.1. 1.2.8 Định lý. Cho n ≥ 2 và cho a0 , a1 , a2 , . . . , an là các số thực với an 6= 0. Nếu mọi nghiệm của đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 là thực thì n.a21 ≥ 8.a0 .a2 . Chứng minh. Nếu a0 a2 = 0 thì hiển nhiên Định lý 1.2.8 thỏa mãn. Do đó ta có thể giả sử a0 a2 6= 0. Vì vậy, mọi nghiệm của p(x) là thực và 15 khác 0. Ta gọi các nghiệm đó là α1 , α2 , . . . , αn . Với mỗi j ta đặt mj = an αjn−2 + an−1 αjn−3 + · · · + a3 αj + a2 . Khi đó ta có 0 = p (αj ) = mj αj2 + a1 αj + a0 . (2) Xét phương trình bậc hai hệ số thực mj x2 + a1 x + a0 = 0. Theo (2), phương trình này có nghiệm thực là αj . Do đó a21 ≥ 4a0 mj 1≤j≤n với (3) Từ đẳng thức (2), chia hai vế cho αj2 ta được mj = −a0 · αj−2 − a1 · αj−1 . Cộng n bất đẳng thức (3) với mọi giá trị của j và thay biểu thức của mj ở trên ta được na21 ≥ 4a0 n X mj = −4a0 a1 j=1 n X αj−1 − 4a20 n X αj−2 (4) j=1 j=1 Do αj 6= 0 nên αj−1 là nghiệm của đa thức   X n 1 n q(x) = x p = ai xn−i . x i=0 Vì vậy theo Định lý Viete (Định lý 1.1.2) ta có n X a2 a1 X (αj αk )−1 = . αj−1 = − , a0 a0 j=1 (5) 1≤j 0 thì điều kiện ở Định lý n(n − 1) 1.2.8 là hệ quả của điều kiện ở Định lý 1.2.1. Vì vậy Định lý 1.2.8 là một phiên bản yếu hơn của Định lý 1.2.1. Như vậy, điều kiện trong Định lý 1.2.1 và Định lý 1.2.8 chỉ liên quan đến 3 hệ số cuối cùng của đa thức. Do đó việc kiểm tra một đa thức hệ số thực có các nghiệm đều thực cũng sẽ hạn chế do các hệ số còn lại có thể thay đổi tùy ý. Tuy nhiên, sử dụng kết quả của Định lý 1.2.8, với cách xây dựng tương tự như Định lý 1.2.5 và Hệ quả 1.2.7, chúng ta có thể mở rộng Định lý 1.2.8 cho ba hệ số liên tiếp bất kỳ, đó là nội dung của Định lý 1.2.11 sau đây. 1.2.11 Định lý. Cho n ≥ 2 và cho a0 , a1 , a2 , . . . , an là các số thực với an 6= 0. Nếu mọi nghiệm của đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 là thực thì (n − k).(k + 1).a2k+1 ≥ 4.(k + 2).ak .ak+2 (7) 17 với mỗi k, 0 ≤ k ≤ n − 2. Chứng minh. Chú ý rằng đạo hàm bậc k của p(x) là ! n X m p(k) (x) = k!am xm−k , k m=k ! m m! = (là số tổ hợp chập k của n phần tử). Do trong đó k!(m − k)! k mọi nghiệm của p(x) đều là thực nên theo Hệ quả 1.1.4 ta có p(k) (x) có tất cả các nghiệm là thực. Áp dụng Định lý 1.2.8 suy ra " ! #2 " ! #" ! # k+1 k k+2 (n − k) k!ak+1 ≥ 8 k!ak k!ak+2 , k k k với k = 0, 1, · · · , n − 2. Do đó (n − k)(k + 1)a2k+1 ≥ 4(k + 2)ak ak+2 . Định lý được chứng minh. Từ Định lý 1.2.11 ta có hệ quả sau. 1.2.12 Hệ quả. Cho n ≥ 2 và cho a0 , a1 , a2 , . . . , an là các số thực dương. Nếu mọi nghiệm của đa thức p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 là thực thì (n − 1)!a1 an−1 ≥ 4n−1 a0 an . Chứng minh. Do các hệ số a0 , a1 , a2 , . . . , an đều dương nên các nhân tử ở hai vế của n − 1 bất đẳng thức (7) trong phát biểu Định lý 1.2.11 đều dương. Từ bất đẳng thức (7) trong phát biểu Định lý 1.2.11, ta có k + 1 ak+1 4 ak+2 · · ≥ với 0 ≤ k ≤ n − 2. k + 2 ak n − k ak+1 Do các hệ số a0 , a1 , a2 , . . . , an đều dương nên các vế của n − 1 bất đẳng thức trên đều dương. Nhân n − 1 bất đẳng thức cùng dấu ở trên theo 18 từng vế với nhau ta được n−2 Y k=0 n−2 n−2 n−2 k + 1 Y ak+1 Y 4 Y ak+2 ≥ . k+2 ak n−k ak+1 k=0 k=0 k=0 Từ đó suy ra 4n−1 an 1 an−1 · ≥ · . n a0 n! a1 Vì vậy (n − 1)!a1 an−1 ≥ 4n−1 a0 an . 1.2.13 Nhận xét. 4n−1 Xét các điều kiện cần a1 an−1 ≥ a0 an và a1 an−1 ≥ n2 a0 an (n − 1)! trong các Hệ quả 1.2.12 và Hệ quả 1.2.7. 4n−1 Ta chứng minh được n2 ≥ hay n.n! ≥ 4n−1 , với n ≥ 2. Thật (n − 1)! vậy, thử với n = 2, n = 3 thì bất đẳng thức luôn đúng. Với n ≥ 4 ta có 4n−1 là tích của n − 1 số 4, n.n! = 1.2.3.4 . . . n.n = 6.4 . . . n.n là tích của n − 1 số tự nhiên không nhỏ hơn 4, do đó bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy, khi Hệ quả 1.2.7 là đúng thì Hệ quả 1.2.12 cũng đúng, hay Hệ quả 1.2.12 là yếu hơn Hệ quả 1.2.7. Như vậy, để kiểm tra một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực hay không, ta đưa đa thức về dạng chính tắc, từ đó kiểm tra các hệ số với các điều kiện ở trên. Khi các hệ số không thỏa mãn điều kiện trên, đa thức đó không có tất cả các nghiệm đều thực. Tuy nhiên khi các hệ số thỏa mãn tất cả các điều kiện trên, ta cũng chưa thể kết luận được là đa thức đó có tất cả các nghiệm là thực hay không. Để kết luận được đa thức có tất cả các nghiệm là thực, ta sẽ tiếp tục nghiên cứu ở phần tiếp theo. 19 1.3 Điều kiện đủ để mọi nghiệm của đa thức là thực Trong phần trước, chúng ta đã trình bày một số điều kiện cần để đa thức hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực. Với các điều kiện cần đó, chúng ta có thể loại bỏ được đa thức hoặc một lớp đa thức hệ số thực mà không có tất cả các nghiệm đều thực. Tuy nhiên, chúng ta lại chưa thể khẳng định được liệu đa thức đó có tất cả các nghiệm đều thực hay không. Nội dung của tiết này đưa ra một điều kiện đủ theo các hệ số để mọi nghiệm của đa thức đều là số thực. Nội dung của Tiết này được viết dựa theo tài liệu [3]. Cảm nhận rằng việc tìm được một điều kiện đủ là khó hơn rất nhiều so với việc tìm một điều kiện cần. Trước khi phát biểu và chứng minh một điều kiện đủ để đa thức hệ số thực có tất cả các nghiệm đều thực, chúng ta cần Bổ đề sau đây. 1.3.1 Bổ đề. Cho đa thức có bậc n ≥ 2 với hệ số thực p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , trong đó an > 0 và mọi nghiệm của p(x) đều có phần thực âm. Nếu p(x) có một nghiệm thực kép thì a2i − 4ai−1 ai+1 ≤ 0, với i = 1, 2, . . . , n − 1. (1) Chứng minh. Khi n = 2, Bổ đề trên là đúng. Thật vậy, khi n = 2, nếu p(x) có một nghiệm thực kép thì a21 − 4a0 a2 = 0, thỏa mãn điều kiện (1) của Bổ đề 1.3.1. Giả sử rằng n > 2 và p(x) có một nghiệm thực kép là −a. Theo giả thiết ta có a > 0. Ta viết được
p(x) = (x + a)2 bn−2 xn−2 + bn−3 xn−3 + · · · + b0 . Đồng nhất hệ số cao nhất ta suy ra bn−2 > 0 (vì an > 0). Giả sử các nghiệm phức của đa thức q(x) = bn−2 xn−2 + bn−3 xn−3 + · · · + b0