Tài liệu Về các nguyên lý biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- HOÀNG THỊ MẤN VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60. 46. 01. 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ . . . 1.2 Không gian vectơ tôpô 1.3 Không gian mêtric . . . 1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . 1.5 Một số kí hiệu . . . . . 1.6 Hàm nửa liên tục dưới 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Nguyên lí biến phân Ekeland 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . 2.2 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . 15 . . . . . . 23 cân bằng 23 . . . . . . 29 3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác 3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . 3.1.1 Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) . . . . 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) . . . . . . . . . 3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Refinement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 6 7 10 12 12 12 36 36 36 38 41 43 44 44 46 3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk . 3.4 Một số nguyên lí biến phân khác . . . . . . 3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler . . KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 51 51 54 58 59 Mở đầu Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle, viết tắt là EVP) được coi là một trong các kết quả quan trọng nhất của giải tích phi tuyến trong bốn thập kỷ vừa qua. Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng, nếu hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi X là tập không compact thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Với không gian metric đủ X , hàm f bị chặn dưới, với mỗi ε > 0, ta luôn tìm được điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức là inf f ≤ f (xε ) < inf f + ε. X X Vào năm 1974, Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian metric đủ X thì với mọi điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta luôn tìm được điểm x̂ là cực tiểu chặt của hàm nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f (x̂) ≤ f (x). Không những thế, ta có thể còn đánh giá được khoảng cách giữa x̂ và x . Sau khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế,... Nguyên lí biến phân Ekeland đã được GS. Phạm Hữu Sách [1] sử dụng để nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị và các điều kiện tối ưu trong bài toán qui hoạch có tham gia các ánh xạ đa trị. Sự tương đương của nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động CaristiKirk đã được phát hiện từ lâu. Năm 1984 Penot mới chứng minh được rằng nguyên lí đó cũng tương đương với định lí giọt nước của Danes mà 3 sau này được gọi là dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland. Trong những năm gần đây, nguyên lí này được mở rộng cho hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian vectơ và áp dụng trong các bài toán cân bằng. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí biến phân này. Luận văn gồm 3 chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của tôpô và giải tích hàm phục vụ cho việc chứng minh các định lí. Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland Chương này trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, các mở rộng của nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ. Chương 3. Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác Chương này trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa và định lí giọt nước. Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach, một kết quả tinh tế hơn của Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk. Cuối cùng là nguyên lí biến phân Borwein-Preiss và nguyên lí DevilleGodefroy-Zizler. Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh cụ thể và chi tiết cùng với những chỉnh sửa cần thiết) về nguyên lí biến phân Ekeland. 4 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. Hà Nội, Ngày 25 tháng 10 năm 2015 Tác giả luận văn Hoàng Thị Mấn 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1. Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F được gọi là số (đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V định nghĩa trên trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng véctơ và phép nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đây được thỏa mãn: 1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp: Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; 2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán: Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v; 3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa: Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v; 4. Phép cộng véctơ có phần tử đối: Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0; 5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; 6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; 7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; 8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1. 6 Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó). Định nghĩa 1.1.3 (Nón). Cho X là một không gian vectơ. Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ K, ∀λ ≥ 0 thì λx ∈ K . K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0. Định nghĩa 1.1.4 (Nón đóng). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón đóng nếu K là tập đóng. Định nghĩa 1.1.5 (Nón nhọn). Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng nào. Định nghĩa 1.1.6 (Nón lồi). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi, có nghĩa là ∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 và λ + µ = 1 thì λx + µy ∈ K. Mệnh đề 1.1.1. K là nón lồi khi và chỉ khi K là nón và K + K = K. Chứng minh. Giả sử K là nón. Theo định nghĩa ta có ∀x, y ∈ K thì 1 1 x ∈ K và y ∈ K . 2 2 1 1 1 Mặt khác, K là nón lồi nên (x + y) = x + y ∈ K . Vậy (x + y) ∈ K . 2 2 2 Suy ra K + K ⊆ K . Vậy K + K = K . Đảo lại, vì K là nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K . Mà K + K = K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K là tập lồi. 1.2 Không gian vectơ tôpô Định nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô). Cho một tập X 6= ∅. Họ τ các tập con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu (i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; (ii) Gα ∈ τ với α ∈ I, I là tập chỉ số bất kì thì ∪α∈I Gα ∈ τ ; (iii) ∀G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ. Tập X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô. Kí hiệu: (X, τ ). 7 Định nghĩa 1.2.2. Cho (X, τ ) là không gian tôpô. • Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ. • Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ. Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X . Tập U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A. Khi A = {x} thì U là một lân cận của điểm x. Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tôpô (X, τ ). Một họ {Gα : α ∈ I} các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X nếu A ⊂ ∪α∈I Gα . Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn. Nếu mọi Gα là tập mở thì ta nói phủ là phủ mở. Định nghĩa 1.2.5. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ mở của A ta luôn có thể lấy ra được một phủ con hữu hạn. Nhận xét 1.2.1. Trong trường hợp A ⊂ Rn là tập compact khi và chỉ khi A đóng và bi chặn. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử A là tập compact và {xk } là một dãy phần tử của A sao cho xk → a. Ta chứng minh a ∈ A. Vì A là tập compact, theo định nghĩa dãy {xk }k chứa một dãy con {xk }l hội tụ đến một giới hạn thuộc A. Ta có a = lim xk = lim xkl ∈ A. k→+∞ l→+∞ Vậy A là tập đóng. Giả sử ngược lại tập A không bị chặn. Khi đó với mỗi k ∈ N∗ tồn tại xk ∈ A sao cho ||xk || > k . Vì A là tập compact, dãy {xk } ⊂ A có chứa một dãy con {xkl }l sao cho xkl → a ∈ A (l → ∞). Do tính liên tục của chuẩn ta có ||xkl || → ||a||, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức ||xkl || > kl với mọi l ∈ N∗ . Vậy tập A phải bị chặn. Điều kiện đủ. Giả sử A ⊂ Rn là tập hợp đóng và bị chặn và {xk }k là dãy phần tử bất kì của A. Khi đó {xk }k là dãy bị chặn. Theo định lí Bozano- Weierstrass thì trong không gian Rn mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ nên dãy {xk }k có chứa một dãy con {xkl }l 8 sao cho xkl → a (l → ∞). Vì A là tập đóng nên a ∈ A. Vậy A là tập compact. Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì của X . Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi: (i) Điểm x là điểm trong của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A. (ii) Điểm x là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trọn trong X\A. (iii) Điểm x là điểm biên của tập A nếu x đồng thời không là điểm trong và không là điểm ngoài của A. Hay nói cách khác, x là điểm biên của A nếu mọi lân cận của x đều có giao khác rỗng với A và X\A. Tập hợp những điểm biên của tập hợp A được gọi là biên của tập hợp A, kí hiệu ∂A. Định nghĩa 1.2.7. Cho X , Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0 ) đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X . Định nghĩa 1.2.8. Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô đó, tức là nếu: 1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y , tức là với mọi lân cận V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho nếu x0 ∈ Ux , y 0 ∈ Uy thì x0 + y 0 ∈ V. 2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x, tức là với mọi lân cận V của αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho |α − α0 | < ε, x0 ∈ U thì α0 x0 ∈ V. Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính). Định nghĩa 1.2.9. Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian véctơ tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập lồi. 9 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày một số vấn đề sau: - Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ. - Trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland, sự tương đương với tính đầy đủ của không gian mêtric. - Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk. - Một số nguyên lí biến phân khác. 58 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tham khảo chính [1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland và ứng dụng, Hội thảo Giải tích hiện đại và ứng dụng, trường hè Huế, Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987. [2] Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị , Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên và công nghệ, 2007. [3] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini, Existence of equilibria via Ekeland’s principle, J. Math. Anal. Appl. 305 (2005) 502-512. [4] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini, Ekeland’s principle for vector equilibrium problems, Nonlinear Analysis 66 (2007) 1454-1464. [5] Jonathan M. Borwein, Qiji J. Zhu, Techniques of Variational Analysis, Springer, 2004. [B] Tài liệu tham khảo bổ sung [6] Errett Bishop and R. R. Phelps, A proof that every Banach space is subreflexive, Bull. Amer. Math. Soc., 67:97-98, 1961. [7] Errett Bishop and R. R. Phelps, The support functionals of a covex set. In V. L. Klee, editor, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VII, page 27-35. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1963. [8] Josef Danes, A geometric theorem useful in nonlinear functional analysis, Boll. Un. Mat. Ital. (4), 6:369-375, 1972. [9] Ivar Ekeland, Nonconvex minimization problems, Boll. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1:443-474, 1979. 59