Tài liệu Về các định lý montel, kobe, ánh xạ riemann trong giải tích phức một biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN LƯU THỊ SONG VỀ CÁC ĐỊNH LÝ MONTEL,KÖBE, ÁNH XẠ RIEMANN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Thái Nguyên, năm 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN LƯU THỊ SONG VỀ CÁC ĐỊNH LÝ MONTEL,KÖBE, ÁNH XẠ RIEMANN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học PGS. TSKH. TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên, năm 2019 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH. Trần Văn Tấn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy! Dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành thời gian hướng dẫn và giải đáp mọi vấn đề một cách rõ ràng cho tôi. Xin chân thành cảm ơn thầy vì đã tin tưởng và hết lòng giúp đỡ tôi trong thời gian khó khăn vừa qua. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo Khoa Toán - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, nhất là các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô luôn nhiệt tình giảng dạy và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, để tôi hoàn thành luận văn của mình. Do thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế nên luận văn của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! i Mục lục Mở đầu 1 Chương 1 1.1 Định lí ánh xạ Riemann Định lý Arzela - Ascoli 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Định lý Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Miền đơn liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Định lý ánh xạ Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Định lí Köbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2 Tiêu chuẩn Montel về họ chuẩn tắc các hàm phân hình 13 2.1 Các định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai trong Lý thuyết Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc kiểu Montel . . . . . . . . . . . . . 14 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 ii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Các định lí Montel, Köbe về tính chuẩn tắc, Định lí ánh xạ Riemann là những kết quả đẹp đẽ và quan trọng trong Giải tích phức một biến và liên tục thu hút được sự quan tâm của các nhà toán học. Với mong muốn tìm hiểu chủ đề quan trọng này nên chúng tôi đã chọn đề tài này. 2. Cấu trúc luận văn Luân văn được chia làm hai chương: Ở Chương 1, luận văn trình bày về Định lí ánh xạ Riemann về sự tồn tại song ánh chỉnh hình giữa một miền đơn liên (khác toàn thể) trong C với đĩa đơn vị. Để trình bày vấn đề này, chúng tôi tham khảo các tài liệu [1, 2]. Chương 2 đề cập tới một số tiêu chuẩn chuẩn tắc kiểu Montel. Chúng tôi tham khảo [4] để cập nhật một số kết quả gần đây về sự mở rộng Định lí Montel. Thái Nguyên, ngày 27 tháng 1 năm 2019 Tác giả LƯU THỊ SONG 1 Chương 1 Định lí ánh xạ Riemann 1.1 Định lý Arzela - Ascoli Cho X là một không gian metric và F là một họ các hàm trên X , liên tục và nhận giá trị phức. Họ F được gọi là liên tục đều trên tập con Y ⊂ X nếu với mỗi  > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi p, q ∈ Y và mọi f ∈ F thỏa mãn dX (p, q) < δ, thì |f (p) − f (q)| < . Họ F được gọi là chuẩn tắc trên tập con Y ⊂ X nếu với mỗi dãy {fn } ⊂ F, tồn tại một dãy con {fnj } hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Y. Nhắc lại rằng một không gian mêtric X được gọi là tách được nếu tồn tại tập con đếm được {pj } ⊂ X là trù mật. Định lý 1.1. ( Arzela - Ascoli ) Cho X là một không gian mêtric tách được. S Giả sử có tập con compact Kn ⊂ X sao cho Kn ⊂ Kn+1 , và n Kn = X. Cho F là một họ các hàm trên X , liên tục, nhận giá trị phức. Khi đó, F là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu: Họ F là liên tục đều trên mỗi tập con compact của X. (i) (ii) Với bất kì p ∈ X , tồn tại hằng số Cp > 0 sao cho |f (p)| ≤ Cp với mọi f ∈ F. Chứng minh. 1. Điều kiện cần: Để làm rõ điều kiện cần của (i), chúng ta sẽ dùng phản chứng. Giả sử F là một họ chuẩn tắc, và F không liên đều trên tập con compact K ⊂ X. Khi đó, tồn tại  > 0 sao cho với mỗi n, ta có các điểm pn , qn ∈ K và một 2 1 và |fn (pn )−fn (qn )| ≥ . Do F là chuẩn n tắc, tồn tại một dãy con fnj mà hội tụ đều trên K đến giới hạn f0 , thì phải liên tục. Chúng ta có thể chọn dãy con xa hơn ( mà ta lại gọi dãy {nj } với pnj → p0 và qnj → q0 . Nhưng từ dX (pnj , qnj ) < n−1 j → 0, kéo theo p0 = q0 . Tuy nhiên, từ f0 liên tục hàm fn ∈ F sao cho dX (pn , qn ) <  ≤ lim sup |fnj (pnj ) − fnj (qnj )| = |f0 (p0 ) − f0 (q0 )| = 0, j→∞ dẫn đến điều mâu thuẫn. Để chỉ ra điều kiện cần của (ii), ta giả sử tồn tại p ∈ X sao cho tập các giá trị {f (p)} với f ∈ F là không bị chặn. Khi đó, với mỗi n tồn tại một hàm fn ∈ F với |fn (p)| > n. Điều này mẫu thuẫn với giả thiết tồn tại một dãy con {fnj } hội tụ trên tập (compact) {p} ⊂ X. Điều kiện cần của (i) và (ii) đã được chứng minh. 2. Điều kiện đủ. Bây giờ, ta giả sử rằng họ F thỏa mãn (i) và (ii). Xét {fn } ⊂ F là một dãy trong F. Gọi {pn } là một dãy trù mật trong X. Do các giá trị {fn (p1 )} nằm trong tập compact {ζ ∈ C||ζ| ≤ Cp1 }, ta có thể tìm dãy con thứ nhất n1,1 < n1,2 < ... < n1,k < ... sao cho dãy {fn1,k (p1 )} hội tụ, gọi giá trị giới hạn là f0 (p1 ). Tiếp theo, từ tập các giá trị {fn1,k (p2 )} chứa trong tập compact {ζ ∈ C||ζ| ≤ Cp2 }, chúng ta có thể tìm dãy thứ hai n2,1 < n2,2 < ... < n2,k < ... sao cho dãy {fn2,k } (gọi giá trị giới hạn là f0 (p2 )), và dãy thứ hai chứa trong dãy thứ nhất. Tương tự, chúng ta có thể tìm thấy vô hạn các dãy của dãy con n1,1 < n2,1 < n3,1 < .. . nj,1 < .. . n1,2 < n2,2 < n3,2 < .. . nj,2 < .. . ··· ··· ··· ··· ··· ··· sao cho 3 < n1,k < · · · < n2,k < · · · < n3,k < · · · .. . < nj,k < ... .. . (i) Tồn tại giới hạn của dãy {fnj,k (pj )} (gọi giá trị giới hạn là f0 (pj ) ); (ii) Với mỗi dãy con {nj,k } là tập con của dãy con trước {nj−1,k } Từ đó, với bất kỳ j cố định, phần tử của dãy đường chéo {n`,` } chứa trong dãy {nj,k } với ` ≥ j. Do đó, với dãy con các hàm {F` = fn`,` }, ta có lim`→∞ F` (pj ) = f0 (pj ) với mọi j . Ta sẽ chứng minh rằng {F` } hội tụ đều trên bất kỳ tập con compact K ⊂ X. Do dãy là liên tục đều trên K , với bất kỳ  > 0 tồn tại δ > 0 sao cho S d(p, q) < δ bao hàm |F` (p) − F` (q)| < . Bây giờ, K ⊂ q∈K BX (q, δ), và vì S K là compact, tồn tại tập hữu hạn {q1 , ..., qN } sao cho K ⊂ N J=1 BX (qj , δ). Vì lim`→∞ F` (pjr ) = f0 (pjr ), và khi đó, ta chỉ cần xử lý trên tập hợp hữu hạn điểm, ta có thể tìm được M sao cho `1 , `2 ≥ M bao hàm |F`1 (pjr ) − F`2 (pjr )| < . Bây giờ, lấy p ∈ K. Khi đó, p ∈ BX (pj , δ) với mọi jr . Ta có |F`1 (p) − F`2 (p)| ≤ |F`1 (p) − F`1 (pjr )| + |F`1 (pjr ) − F`2 (pjr )| + |F`2 (pjr ) − F`2 (p)| ≤  +  + . Điều này chỉ ra được dãy {F` } là Cauchy đều trong cận trên đúng của chuẩn trên K , và do đó dãy hội tụ đều trên K . Định lý được chứng minh. 1.2 Định lý Montel Tiêu chuẩn Montel được phát biểu sau đây cho phép ta kiểm tra tính chuẩn tắc của một họ thông qua tính bị chặn đều trên các tập con compact. Định lý 1.2. (Montel) Cho Ω ⊂ C là một miền, và F là một họ các hàm chỉnh hình trên Ω. Giả sử với mỗi tập con compact K ⊂ Ω, tồn tại hằng số CK > 0 sao cho |f (z)| ≤ Ck với mỗi f ∈ F và mọi z ∈ K . Khi đó, họ F là chuẩn tắc trên Ω . Chứng minh. Theo Định lý Arzela - Ascoli, ta chỉ cần chứng minh rằng họ F là liên tục đều trên mỗi tập con compact K ⊂ Ω. Do vậy, có thể đẩy vấn đề về việc chứng minh rằng nếu một họ các hàm chỉnh hình trên một đĩa 4 bán kính R bởi M thì nó là liên tục đều trên mỗi hình tròn nằm trong miền xác định. Lấy r < R, và chọn ρ với r < ρ < R. Nếu f là hàm chỉnh hình trên đĩa D(a, R) và có mô-đun bị chặn bởi M , và nếu z, ω ∈ D(a, r), thì Z  1 Z 1 f (zeta) f (ζ)   dζ − dζ  |f (z) − f (ω)| =  2πi |ζ−a|=ρ ζ − z 2πi |ζ−a|=ρ ζ − ω z − ω Z  f (ζ)   = dζ  2πi |ζ−a|=ρ (ζ − z)(ζ − ω) Z 2π ρdt 1 ≤ |z − ω|M 2π 0 |ρeit + a − z||ρeit + a − ω| Mρ . ≤ |z − ω| (ρ − r)2 Như vây, ta nhận được kết luận của Định lý. 1.3 Miền đơn liên Định nghĩa 1.1. Một không gian tôpô X được gọi là đơn liên nếu với mỗi hàm liên tục γ : [0, 1] → X với γ(0) = γ(1) luôn tồn tại một ánh xạ liên tục Γ : [0, 1] × [0, 1] → X sao cho (1) Γ(t, 0) = γ(t) với 0 ≤ t ≤ 1; (2) Γ(0, s) = Γ(1, s) = Γ(0, 0) với 0 ≤ s ≤ 1; (3) Γ(t, 1) = Γ(0, 1) = Γ(1, 1) với 0 ≤ t ≤ 1. Nói cách khác, X là đơn liên nếu và chỉ nếu mỗi ánh xạ liên tục từ hình tròn vào X, đi qua một điểm x0 ∈ X có thể biến đổi một cách liên tục đến ánh xạ hằng có ảnh là {x0 }. Liên quan tới định lí ánh xạ Riemann, ta chỉ đề cập ở đây tới miền đơn liên trong C. Mệnh đề 1.1. Một tập mở liên thông Ω trong C là đơn liên nếu và chỉ nếu b có nhiều nhất một thành phần phần bù của nó trong hình cầu Riemann C liên thông. Điều kiện tôpô của miền đơn liên dẫn đến hệ quả trong giải tích sau: 5 Mệnh đề 1.2. Cho Ω ⊂ C là một miền đơn liên. Nếu f là chỉnh hình trên Ω và f (z) 6= 0 với mọi z ∈ Ω, thì khi đó tồn tại một nhánh chỉnh hình của log f xác định trên Ω, có nghĩa, tồn tại một hàm chỉnh hình g dịnh nghĩa trên Ω sao cho f (z) = exp(g(z)) với mọi z ∈ Ω. Đặc biệt, nếu n là một số 1 nguyên dương bất kì, hàm hn (z) = exp[ g(z)] là chỉnh hình và thỏa mãn n hn (z)n = f (z) với mọi z ∈ Ω. 1.4 Định lý ánh xạ Riemann Mệnh đề 1.3. Giả sử F : D → D là ánh xạ song chỉnh hình của hình tròn đơn vị sao cho F (0) = 0, và F 0 (0) > 0 . Khi đó, F (z) = z với mọi z ∈ D. Chứng minh. Lấy G là ánh xạ ngược của F , F (G(z)) = z và G(F (ω)) = ω với mọi z, ω ∈ D. Khi đó, F 0 (G(z))G0 (z) = 1, và F 0 (0)G0 (0) = 1. Mặt khác, |F (z)| < 1, |G(z)| < 1 với mọi z ∈ D, và F (0) = G(0) = 0 nên điều này suy ra từ bổ đề Schwarz là |F 0 (0)| ≤ 1 và |G0 (0)| ≤ 1. Do đó, ta có |F 0 (0)| = 1 và lại bởi bổ đề Shwarz F (z) = eiθ z . Nhưng từ F 0 (0) > 0 chúng ta phải có θ = 0, và do đó F (z) = z . Mệnh đề 1.4. Lấy a ∈ C với |a| < 1, và định nghĩa φa (z) = a−z . 1 − az Khi đó biến đổi phân tuyến tính φa có các tính chất sau: (i) φa (0) = a và φa (a) = 0; (ii) φa ◦ φa (z) = z ; (iii) φa : D → D là ánh xạ song chỉnh hình. Chứng minh. Phát biểu (i) và (ii) là những phép toán đơn giản. Như chúng ta đã biết, mỗi phép biến đổi tuyến tính phân số là là ánh xạ một đối một của hình cầu Rieman vào chính nó. Nếu ta có thể chỉ ra rằng φa mang hình tròn đơn vị vào chính nó, sẽ kéo theo phát biểu (iii). 6 Nhưng nếu |z| = 1 thì a−z a−z |a|2 − az − az + |z|2 |φa (z)| = = 1 − az 1 − az 1 − az − az + |a|2 |z|2 |a|2 − az − az + 1 = 1, = 1 − az − az + |a|2 2 và do đó |φa (z)| = 1, mệnh đề được chứng minh. Để ý rằng ta cũng có điều ngược lại: Mọi đẳng cấu chỉnh hình f : D → D đều có dạng f (z) = (z−ω) 1−ωz , eiθ (z−ω) 1−ωz , với ω nào đó thuộc D. Thật vậy, xét g(z) = với ω = f −1 (0). Khi đó, g(D) = D và do đó g là một tự đẳng cấu chỉnh hình của D. Do g(ω) = 0 và f (ω) = 0 nên f ◦g −1 (0) = 0. Mặt khác f ◦g −1 là một tự đẳng cấu chỉnh hình của D, nên theo Bổ đề Schwarz, f ◦g −1 (z) = eiθ z với θ nào đó thuộc [0, 2π). Do đó f (z) = f ◦ g −1 (g(z)) = eiθ g(z) = eiθ (z−ω) 1−ωz . Định lý 1.3. (Định lý ánh xạ Rieman) Cho Ω là tập con thật sự của C là một miền đơn liên. Khi đó, với mỗi z0 ∈ Ω, tồn tại duy nhất ánh xạ song chỉnh hình F : Ω → D, giữa Ω và hình tròn đơn vị mở D, sao cho F (z0 ) = 0 và F 0 (z0 ) > 0. Tính duy nhất được suy ra theo Mệnh đề 1.3. Thật vậy, nếu F1 và F2 là hai ánh xạ song chỉnh hình từ Ω đến D khi z0 đến 0, sau đó F2 ◦ F1−1 là ánh xạ song chỉnh hình của hình tròn đơn vị biến 0 thành 0. Gọi F là tập tất cả các đơn ánh chỉnh hình f từ Ω vào D, thỏa mãn f (z0 ) = 0 và f 0 (z0 ) > 0. Ta chứng minh sự tồn tại song ánh chỉnh hình theo ba bước. Bước 1: Tập hợp F là không rỗng. Chứng minh. Vì Ω không phải toàn bộ mặt phẳng phức, tồn tại a ∈ C Ω. Thì hàm z − a là chỉnh hình và không bao giờ không trên Ω, và do Ω là liên thông phạm vi, nên tồn tại một hàm chỉnh hình g trên Ω sao cho g(z)2 = z − a. Hàm g sẽ có những tính chất sau: (i) g là một đổi một. Thật vậy, nếu g(z1 ) = g(z2 ), thì z1 − a = g(z1 )2 = g(z2 )2 = z2 − a, và z1 = z2 . (ii) Ảnh của g không chứa bất kỳ cặp điểm {ω, −ω}. Thật vậy, nếu g1 (z) = −g2 (z), thì z1 − a = g(z1 )2 = (−g(z2 ))2 = g(z2 )2 = z2 − a, và vì 7 thế z2 = z2 , mà g(z1 ) − g(z1 ). Bao hàm g(z1 ) = 0, và do đó z1 = a điều đó không thể được. (iii) Ảnh của g chứa một số hình tròn đóng {ω ∈ C| |ω − g(z0 )| ≤ δ} ở đó δ > 0. Từ (ii) và (iii) khoảng biến thiên của hàm g không chứa điểm bất kỳ trong hình tròn đóng trung tâm at − g(z0 ) của bán kính δ . Do đó, với mỗi z ∈ Ω ta có |g(z) + g(z0 )| > δ . Đặt h(z) =: δ g(z) + g(z0 ) Thì h là chỉnh hình trên Ω; (b) Với mọi z ∈ Ω, ta có |h(z)| < 1; (c) Từ ánh xạ ω → δ(ω + g(z0 ))−1 là một đối một, h là một đối một (d) h(z0 ) = δ(2g(z0 ))−1 = a ∈ D Chúng ta có h : Ω → D là chỉnh hình và một đối một. Bây giờ, ta chỉ ra hàm h với biến đổi tuyến tính phân số φa và định nghĩa (a) F (z) =: φa ◦ h(z) = a − h(z) . 1 + ah(z) Thì F (z0 ) = φa (a) = 0. Nếu ta nhân F với hằng số thích hợp của giá trị tuyệt đối 1, ta có thể đảm bảo đạo hàm ở không là dương. Do đó F 6= 0. Bước 2: Tồn tại F ∈ F sao cho F 0 (z0 ) = supf ∈F f 0 (z0 ). Chứng minh. Lấy A = supf ∈F f (z0 ). sao cho A ∈ (0, +∞]. Chọn một dãy {fn } trong F sao cho limn→∞ fn0 (z0 ) = A. Do họ F bị chặn đều trên Ω, nó chuẩn tắc, và do đó có dãy con {fnk } hội tụ đều trên tập con compact của Ω đến giới hạn F . Từ đó F là giới hạn đều của hàm chỉnh hình, F cũng chỉnh hình. Ta có, F (z0 ) = limk→∞ fnk (z0 ) = 0 và F 0 (z0 ) = limk→∞ fn0 k (z0 ) = A. (Suy ra rằng A < +∞). Tương tự, nếu z ∈ Ω, |F (z)| = limk→∞ |fnk (z)| ≤ 1. Nhưng có thể suy ra từ định lý Mô đun cực đại, ta có |F (z)| < 1 với mọi z ∈ Ω. Còn lại, để chỉ ra rằng F là một đối một. Giả sử F (z1 ) = F (z2 ) = ω . Hàm {fnk (z) − ω} hội tụ đều trên Ω tới hàm F (z) − ω , với giả sử có hai 8 Không. Suy ra, với k đủ lớn, fnk cũng có Không gần z1 và z2 , bao hàm z1 = z2 . Do đó, F ∈ F . Bước 3: F là toàn ánh D. Chứng minh. Giả sử tồn tại a ∈ D sao cho F (z) 6= a với mọi z ∈ Ω. Thì hàm z → φa ◦ F (z) là một đối một, các ánh xạ Ω tới D, không bao giờ Không và φa ◦ F (z0 ) = a. Do Ω là liên thông phạm vi, tồn tại một hàm g , được định nghĩa và chỉnh hình trên Ω, sao cho g(z)2 = φa ◦ F (z). Thì g : Ω → D, và khi chứng minh bước 1, suy ra được là g là một đối một. Hơn nữa, g(z0 ) = b với b2 = a . Nếu ta đặt S(ω) = ω 2 , chúng ta dựng một hàm chỉnh hình g trên Ω sao cho S ◦ g = φa ◦ F. Đặt G = φb ◦ g.. Khi đó, G là một đối một, các ánh xạ Ω tới D, và thỏa mãn G(z0 ) = 0. Ta có thể viết g = φ−1 b ◦ G = φb ◦ G, và ta có φa ◦ F = S ◦ g = S ◦ φb ◦ G, hoặc cuối cùng F = φ−1 a ◦ D ◦ G = φa ◦ S ◦ φb ◦ G. Suy ra F 0 (0) = [φa ◦ S ◦ φb ]0 (0)G0 (0). Còn lại để tính toán [φa ◦ S ◦ φb ]0 (0) = φ0a (a)S 0 (b)φ0b (0) và chỉ ra được giá trị tuyệt đối ngặt và nhỏ hơn 1. Ta được (1 φ0a (z) − az)(−1) − (a − z)(−a) −1 + az + |a|2 − az 1 − |a|2 = =− . (1 − az)2 (1 − az)2 (1 − az)2 Do đó φ0a (a) = −1 −1 = , 1 − |a|2 1 − |b|4 φ0b (0) = 1 − |b|2 , và φ0a (a)S 0 (b)φ0b (0) = − S 0 (b) = 2b 2b 1 + |b|2 có giá trị tuyệt đối ngặt ít hơn 1. Nên |F 0 (z0 )| < |G0 (z0 )|, phủ định tối đại của F 0 (z0 ). Định lý được chứng minh. 9 1.5 Định lí Köbe Định lý 1.4. (Köbe) Gọi S là tập tất cả các đơn ánh chỉnh hình f trên đĩa đơn vị D sao cho f (0) = 0 và f 0 (0) = 1. Khi đó, S là một họ chuẩn tắc. Chứng minh. Cố định dãy {fn } ⊂ S và đặt Rn := sup{R > 0; D(0, R) ⊂ fn (D)} Do fn−1 |D(0,R) : D(0, R) −→ D là chỉnh hình với bất kì đĩa D(0, R) ⊂ f (D), nên theo Bổ đề Schwarz ta có, Rn ≤ 1. Chọn một điểm xn ∈ ∂ D(0, Rn ) − fn (D) và đặt gn := fn /xn . Ta có D ⊂ gn (D) ∈ / 1. √ Do gn (D) c là đơn liên, nên có một nhánh chỉnh hình ψ của z − 1 sao cho √ ψ(0) = −1. Từ đó, hn := ψ ◦ gn thỏa mãn h2n = gn − 1. Ta sẽ chỉ ra rằng hn (D) ∩ (−hn (D)) = ∅. Thật vậy, nếu ω = hn (z) và −ω = (hn (z 0 )), thì gn (−ω) = gn (ω) và phép nội xạ ω = −ω = 0. Nhưng ta lại có gn (z) = 1 nên dẫn đến vô lý. Từ D ⊂ gn (D), chúng ta có U := ψ(D) ⊂ hn (D), và do đó (−U ) ∩ hn (D) = ∅. Do đó, hn là một dãy con hội tụ. Do đó, từ |xn | = Rn ≤ 1, fn = xn (1+h2n ) cũng là một dãy con hội tụ. Gọi f là giới hạn của dãy con này. Đặt a ∈ f (D). Từ nguyên lý argument cho bất kỳ z với f (z) 6= a, Z 1 f 0 (z)dz ` := √ f (z) − a 2π −1 |z|=r là số nguyên, rõ ràng là ≤ 1 cho r đầy đủ gần đến 1. Từ đó fnk tuỳ ý đóng để f trên |z| ≤ r, phép nội xạ của bao hàm fnk Z Z fn0 k (z)dz 1 1 f 0 (z)dz 1= √ = √ =l 2π −1 |z|=r fnk (z) − a 2π −1 |z|=r f (z) − a Từ đó, f là nội xạ, và định lý được chứng minh. Nhận xét 1.5. Với mỗi f ∈ S , ta có f (D) chứa một hình tròn có tâm tại gốc tọa độ. Do họ S là chuẩn tắc, ta có thể lấy các bán kính của các hình tròn ứng với mối f ∈ S sao cho chúng có chặn dưới dương. Trong nhiều ứng 10 dụng, việc các bán kính có chặn dưới dương là đủ. Tuy vậy, Köbe giả thuyết rằng chặn dưới tốt nhất có thể là 1/4 (được chứng minh bởi Bieberbach). Để kiểm tra tính tốt nhất của chặn dưới nói trên, ta có thể xét hàm z − 1  1 f (z) = 1− )2 . 4 z+1 Bây giờ ta xét một hàm f ∈ S , và giả sử, ω ∈ C − f (D). Khi đó, ta được g(z) := ωf (z) , ω − f (z) g ∈ S . Chú ý rằng g(0) = 0, g 0 (0) = 1, và g”(0) = g”(0) + 2ω −1 . Do S là chuẩn tắc, ta có D2 := sup{|f ”(0)|; f ∈ S } là một tập hữu hạn. Do đó, ta có đánh giá D2 ≥ |g”(0)| ≥ 2|ω|−1 − |f ”(0)| ≥ 2|ω|−1 − D2 , vì thế ta được |ω| ≥ D2−1 . Dễ thấy rằng, nếu f ∈ S khi đó hàm 1 , fb(z) = (f (z −1 ))−1 và fe(z) := p f (z −2 ) √ √ trong đó chúng ta lấy nhánh của gửi −1 đến −1, đều là nội xạ trên phần bù của hình tròn đơn vị và chuỗi Lôrăng có dạng z + b1 z −1 + b2 z −2 + ... P (1.1) tập hợp các xạ ảnh đơn trị của C − D chuỗi Laurent có dạng. P Với bất kỳ g ∈ và bất kỳ r > 1, Z 1 0 ≤ Diện tích phần trong(g(∂ D(0, r))) = √ ωdω 2 −1 g(∂ D(0,r)) Z 1 = √ g(z)g 0 (z)dz. 2 −1 |z|=r Đặt kí hiệu 11 Độc giả có thể kiểm tra, Z ∞   X 1 0 2 lim √ g(z)g (z)dz = π 1 − n|bn | . r→1 2 −1 |z|=r n=1 Do đó, chúng ta thấy |b1 | ≤ 1 . f ”(0) −1 z + ... Cuối cùng, người đọc có thể kiểm tra được fe(z) = z − 4 P biên của |b1 | trên chỉ ra được D2 ≤ 4. Do đó, chúng ta thu được kết quả sau đây. Định lý 1.6. (Định lý Köbe 1 4 1 4 ) Với mọi f ∈ S , ta có f (D) ⊃ D(0, 41 ). Số là tốt nhất cho độ lớn bán kính đường tròn thỏa mãn yêu cầu trên. 12 Chương 2 Tiêu chuẩn Montel về họ chuẩn tắc các hàm phân hình 2.1 Các định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai trong Lý thuyết Nevanlinna Để chuẩn bị cho việc nghiên cứu các tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc kiểu Montel, ở phần này, chúng ta đề cập tới một số khái niệm và kết quả cơ bản của Lí thuyết Nevanlinna về sự phân bố giá trị của hàm phân hình. Cho ν là một divisor trên C. Hàm đếm ứng với ν được định nghĩa bởi Zr X n(t) dt (r > 1), where n(t) = ν(z). N (r, ν) = t |z|≤t 1 Với hàm phân hình f trên C, f 6≡ ∞, ta kí hiệu νf là divisor các không điểm của f, và ν f được xác định bởi ν f (z) := min{νf (z), 1}. Đặt Nf (r) := N (r, νf ) và N f (r) := N (r, ν f ). Hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi 1 m(r, f ) = 2π Z2π   log+ f (reiθ )dθ, 0 với log+ x = max{log x, 0} for x ≥ 0. Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi T (r, f ) := m(r, f ) + N (r, f ). 13 Bổ đề đạo hàm Logarit. Cho f làm một hàm phân hình khác hằng trên C, và k là một số nguyên dương. Khi đó f (k) km(r, ) = o(T (r, f )) f (trong phần này, ta dùng kí hiệu kP để chỉ mệnh đề P đúng với mọi r đủ lớn, ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn. Định lí cơ bản thứ nhất. Cho f là một hàm phân hình trên C và a là một số phức. Khi đó T (r, 1 ) = T (r, f ) + O(1). f −a Định lí cơ bản thứ hai. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C, và a1 , . . . , aq là q giá trị trong C \ {0}, đôi một phân biệt. Khi đó (q − 2)T (r, f ) 6 q X N f −ai (r) + o(T (r, f )), i=1 2.2 Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc kiểu Montel Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình được đưa ra bởi Montel năm 1912. Định nghĩa 2.1. Họ hàm chuẩn tắc Một họ F các hàm phân hình trên một miền D ⊂ C được gọi là chuẩn tắc nếu mọi dãy {fv } ⊂ F đều tồn tại dãy con {fvi } hội tụ đều theo metric cầu trên các tập con compact của D tới một hàm phân hình hoặc hàm đồng nhất bằng ∞. Họ F được gọi là chuẩn tắc tại điểm z0 ∈ D nếu tồn tại hình tròn {z : |z − z0 | < } ⊂ D sao cho họ F (hạn chế trên {z : |z − z0 | < }) là chuẩn tắc trên {z : |z − z0 | < }. Như vậy, họ F là chuẩn tắc trên D khi và chỉ khi nó chuẩn tắc tại mọi điểm thuộc D. Với mỗi hàm phân hình f trên một miền D ⊂ C, ta ký hiệu f # là đạo |f 0 | hàm cầu của f , f # = 1+|f |2 . Tiêu chuẩn sau cho họ chuẩn tắc được Marty thiết lập năm 1957. 14 Định lý 2.1. (Định lý Marty) Một họ F gồm các hàm phân hình trên miền D ⊂ C là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu đạo hàm cầu của các hàm trong F bị chặn đều trên các tập con compact của D, có nghĩa, với mỗi tập con compact K của D, tồn tại hằng số dương c(K) sao cho |f 0 (z)| ≤ c(K) f (z) = 1 + |f (z)|2 # với mọi z ∈ K và f ∈ F . Theo nguyên lý Bloch, mỗi định lý dạng Picard bé (về hàm, ánh xạ hằng) đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc. Như vậy, với việc có thể tạo ra các dạng Định lý Picard bé, Lý thuyết Nevanlinna tham gia được vào bài toán về họ chuẩn tắc. Bổ đề sau đây của Zalcman có vai trò quan trọng trong việc triển khai ý tưởng của Bloch. Bổ đề 2.1 (Bổ đề Zalcman cho họ các hàm phân hình). (Bổ đề Zalcman) Họ F các hàm phân hình trên đĩa đơn vị D trong C là không chuẩn tắc tại z0 nếu và chỉ nếu tồn tại 1) số thực r, 0 < r < 1, 2) các điểm zn , |zn | < r, zn → z0 , 3) dãy số thực dương ρn → 0+ , 4) các hàm fn ∈ F sao cho gn (ξ) = fn (zn + ρn ξ) → g(ξ) hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu, ở đó g(ξ) là một hàm phân hình khác hằng và g # (ξ) 6 g # (0) = 1. Chứng minh. Giả sử F không chuẩn tắc trên D. Khi đó, theo Định lý Marty, tồn tại số r∗ , 0 < r∗ < 1, dãy các điểm zn∗ (n ∈ N) trong đĩa {z : |z| ≤ r∗ } và các hàm fn ∈ F sao cho fn# (zn∗ ) → +∞. Cố định một giá trị r sao cho r∗ < r < 1, và với mỗi n ∈ N đặt  Mn = max z:|z|≤r |z|2 1− 2 r  fn# (z) 15 |zn |2 = 1− 2 r   fn# (zn ), (2.1) với zn nào đó thuộc đĩa {z : |z| ≤ r} mà ở đó giá trị lớn nhất nói trên là đạt được (để ý rằng f # liên tục trên {z : |z| ≤ r}). Ta có Mn → +∞. Đặt 1 ρn = Mn  |zn |2 1− 2 r  1 . (2.2) ρn r + |zn | 2 = 2 ≤ → 0. r − |zn | r Mn rMn (2.3) = fn# (zn ) Ta có Vì vậy các hàm gn (ξ) = fn (zn + ρn ξ) xác định trên đĩa {ξ ≤ Rn } với Rn = r − |zn | → +∞. ρn Từ (2.2) ta có gn# (0) = ρn fn# (zn ) = 1. Với |ξ| ≤ R < Rn và |zn + ρn ξ| < r từ (2.1) và (2.2) ta có gn# (ξ) = ρn fn# (zn + ρn ξ) ≤ ρn Mn 2 n ξ| 1 − |zn +ρ r2 r − |zn | r + |zn | · ≤ r + |zn + ρn ξ| r − |zn | − ρn R r + |zn | r − |zn | ≤ · . r r − |zn | − ρn R Trong biểu thức cuối, nhân tử đầu không vượt quá 2, nhân tử thứ hai tiến tới 1 khi n → +∞ do (2.3). Vì vậy, theo Định lý Marty, họ {gn } (n đủ lớn để từ đó Rn > R) chuẩn tắc trên {ξ : |ξ| < R}, với mọi R > 0. Do đó, bằng cách chọn dãy con và bằng quy tắc đường chéo, ta có thể giả sử gn hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu đến một hàm phân hình g . Rõ ràng g khác hằng vì g # (0) = lim gn# (0) = 1 6= 0. Bây giờ ta chứng minh chiều ngược lại của Bổ đề. Giả sử các điều kiện 1)-4) được thỏa mãn, nhưng họ F là chuẩn tắc. Khi đó, theo Định lý Marty, tồn tại M > 0 sao cho # max f (z) ≤ M 1+r |z|≤ 2 với mọi f ∈ F . 16