..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THANH LOAN
VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU
ĐỊA PHƯƠNG CỦA A. D. IOFFE
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên, năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Möc löc
Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1 ành l½ quy gån v i·u ki»n tèi ÷u c§p 1
6
1.1 ành l½ quy gån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 X§p x¿ c§p 1 cõa h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Tr÷íng hñp dimY < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Tr÷íng hñp F kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii 15
2.1
2.2
2.3
2.4
X§p x¿ kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii
èi ng¨u hâa i·u ki»n cüc tiºu . . . . . . .
T½nh ch§t °c tr÷ng cõa nghi»m . . . . . . .
T½nh chu©n tc cõa b i to¡n . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 i·u ki»n tèi ÷u c§p 2
15
21
23
28
37
3.1 Ph¡t biºu b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 i·u ki»n c¦n v õ tèi ÷u c§p 2 . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 i·u ki»n c¦n c§p 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
3.2.2 i·u ki»n õ c§p 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 ành l½ h m ph¤t ch½nh x¡c trìn . . . . . . . . . . . . . .
3.4 B i to¡n trìn vîi c¡c r ng buëc ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc
K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T i li»u tham kh£o
53
2
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
40
43
47
52
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mð ¦u
Lþ thuy¸t c¡c b i to¡n tèi ÷u âng mët vai trá quan trång trong to¡n
ùng döng v câ nhi·u ùng döng trong kinh t¸, kÿ thuªt. º d¨n c¡c i·u
ki»n tèi ÷u, ng÷íi ta th÷íng x§p x¿ c¡c ¡nh x¤ v tªp hñp câ trong b i
to¡n b¬ng nhúng ¡nh x¤ v tªp hñp ìn gi£n hìn (th÷íng l tuy¸n t½nh
ho°c lçi) v sau â ¡p döng c¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cho b i to¡n trìn ho°c
lçi.
A. D. Ioffe [2] ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p thi¸t lªp i·u ki»n c¦n r§t hi»u
qu£ vîi mët ành l½ quy gån cì b£n º ÷a b i to¡n xu§t ph¡t v· b i
to¡n khæng câ r ng buëc. C¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u ÷ñc Ioffe thi¸t lªp
d÷îi ngæn ngú c¡c x§p x¿ c§p 1 cõa h m möc ti¶u, c¡c h m r ng buëc
v h m kho£ng c¡ch ¸n tªp r ng buëc. Vîi þ t÷ðng ÷a b i to¡n xu§t
ph¡t v· b i to¡n khæng câ r ng buëc, A. D. Ioffe [3] ¢ nghi¶n cùu c¡ch
ti¸p cªn i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii d÷îi ngæn
ngú c¡c LMO - x§p x¿, düa tr¶n ành l½ quy gån trong [2]. C¡c i·u ki»n
chu©n tc v chu©n tc m¤nh ÷ñc ÷a v o nghi¶n cùu º xâa bä sü sai
kh¡c giúa t½nh ch§t nghi»m b i to¡n xu§t ph¡t v b i to¡n khæng r ng
buëc. Trong [4], A. D. Ioffe nghi¶n cùu b i to¡n tèi ÷u khæng câ r ng
buëc vîi h m möc ti¶u l hñp cõa mët ¡nh x¤ kh£ vi li¶n töc v mët
h m d÷îi tuy¸n t½nh, v d¨n c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2. Sû döng ành
l½ quy gån trong [2], c¡c k¸t qu£ â ¡p döng ÷ñc cho b i to¡n vîi r ng
3
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
buëc ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc thæng th÷íng.
Luªn v«n tr¼nh b y l½ thuy¸t c¡c i·u ki»n tèi ÷u cõa A. D. Ioffe trong
[2] - [4] bao gçm c¡c i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p 1 d÷îi ngæn ngú c¡c x§p
x¿ c§p 1, LMO - x§p x¿ cho b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c r ng buëc ¯ng thùc,
b§t ¯ng thùc v r ng buëc tªp, v c¡c c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 cho
b i to¡n khæng r ng buëc vîi h m möc ti¶u l hñp cõa mët ¡nh x¤ kh£
vi li¶n töc v mët h m d÷îi tuy¸n t½nh còng vîi c¡c ¡p döng cho b i
to¡n trìn vîi r ng buëc ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc nhí ành l½ quy gån
trong [2].
Luªn v«n bao gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng, k¸t luªn v danh möc
c¡c t i li»u tham kh£o.
Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n c¦n cõa Ioffe [2] tr¶n cì
sð thi¸t lªp mët ành l½ quy gån º ÷a b i to¡n gèc v· b i to¡n khæng
câ r ng buëc. C¡c i·u ki»n c¦n ÷ñc thi¸t lªp d÷îi ngæn ngú d÷îi vi
ph¥n cõa x§p x¿ c§p 1 cõa h m möc ti¶u, c¡c h m r ng buëc v h m
kho£ng c¡ch ¸n tªp r ng buëc.
Ch÷ìng 2 tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin Miljutin - Osmolovskii cõa Ioffe [3] düa tr¶n cæng cö LMO - x§p x¿ v
ành l½ quy gån cõa Ioffe. Vîi i·u ki»n chu©n tc m¤nh th¼ s³ khæng câ
sü sai kh¡c v· t½nh ch§t nghi»m cõa b i to¡n gèc v b i to¡n khæng câ
r ng buëc.
Ch÷ìng 3 tr¼nh b y c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 c¦n v õ cõa Ioffe [4]
cho b i to¡n khæng r ng buëc vîi h m möc ti¶u l hñp cõa mët ¡nh x¤
kh£ vi li¶n töc v mët h m d÷îi tuy¸n t½nh. Sû döng ành l½ quy gån
cõa Ioffe trong ch÷ìng 1 s³ d¨n ÷ñc c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§p 2 c¦n v
õ cho b i to¡n trìn vîi r ng buëc ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc.
4
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi th¦y gi¡o PGS. TS é V«n
L÷u, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa Sau ¤i håc, Ban
chõ nhi»m Khoa To¡n - Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc thuëc ¤i håc
Th¡i Nguy¶n còng c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y kho¡
håc.
Xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v c¡c b¤n
còng lîp cao håc To¡n K3 ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n v gióp ï tæi
trong suèt thíi gian håc tªp v l m luªn v«n.
Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2011
T¡c gi£
Tr¦n Thanh Loan
5
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch֓ng 1
ành l½ quy gån v i·u ki»n tèi ÷u
c§p 1
Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n c¦n cõa Ioffe [2] tr¶n cì
sð thi¸t lªp mët ành l½ quy gån º ÷a b i to¡n gèc v· b i to¡n khæng
câ r ng buëc. C¡c i·u ki»n c¦n ÷ñc thi¸t lªp d÷îi ngæn ngú d÷îi vi
ph¥n cõa x§p x¿ c§p 1 cõa h m möc ti¶u, c¡c h m r ng buëc v h m
kho£ng c¡ch ¸n tªp r ng buëc.
X²t b i to¡n
minimizef0(x),
(1.1)
F (x) = 0,
(1.2)
fi (x) ≤ 0, i = 1, ..., n,
(1.3)
x ∈ S,
(1.4)
trong â f0, ..., fn l c¡c h m gi¡ trà thüc tr¶n khæng gian Banach X, F
l ¡nh x¤ tø khæng gian Banach X v o khæng gian Banach Y v S ⊂ X .
Trong ch÷ìng n y ta ch¿ quan t¥m tîi cüc tiºu àa ph÷ìng. Do vªy,
ta ch¿ c¦n x²t nhúng h m fi v ¡nh x¤ F ÷ñc x¡c ành trong mët l¥n
cªn cõa iºm z ∈ S . Ta gi£ thi¸t fi v F Lipschitz trong mët l¥n cªn
6
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
cõa z ∈ S v S l tªp âng.
1.1 ành l½ quy gån
Gi£ sû f l h m Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z. Khi â h m
h 7−→ f 0 (z; h) = lim sup
u→z
t↓0
f (u + th) − f (u)
t
l lçi v li¶n töc tr¶n X, v tªp
∂f (z) = {x∗ ∈ X ∗ : f 0 (z; h) ≥ hx∗ , hi, ∀h ∈ X} = ∂f 0 (z; 0)
l kh¡c réng v compact y¸u*, nâ ÷ñc gåi l gradient suy rëng cõa f
t¤i z (xem [6]). Gåi dS (x) l h m kho£ng c¡ch tø x tîi S v z ∈ S . Tªp
TS (z) = {h ∈ X|d0S (z, h) = 0}
l nân lçi âng v ÷ñc gåi l nân ti¸p tuy¸n cõa S t¤i z. Nân cüc
NS (z) = {x∗ ∈ X ∗ |hx∗ , hi ≤ 0, ∀h ∈ TS (z)}
gåi l nân ph¡p tuy¸n cõa S t¤i z. Chó þ r¬ng
∂dS (z) ⊆ NS (z) v clcone∂dS (z) = NS (z),
trong â clcone∂dS (z) l bao âng cõa nân sinh bði ∂dS (z).
Nhc l¤i: iºm z ÷ñc gåi l iºm ch½nh quy cõa F èi vîi S n¸u tçn
t¤i k>0 v l¥n cªn U cõa z sao cho vîi måi x ∈ U ∩ S ,
dQ (x) ≤ kkF (x) − F (z)k,
trong â
Q = {x ∈ S|F (x) = F (z)}.
7
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Trong ph¦n n y, gi£ sû z thäa m¢n (1.2), (1.3) v (1.4) trong tr÷íng
hñp F (z) = 0, v k½ hi»u
I = {i ∈ {1, 2, ..., n}|fi (z) = 0}.
ành lþ 1.1.1. Gi£ sû z l iºm ch½nh quy cõa F èi vîi S. Khi â, n¸u
z l nghi»m àa ph÷ìng ( àa ph÷ìng cæ lªp) cõa (1.1) - (1.4) th¼ vîi måi
r > 0 õ lîn, h m
Mr (x) = max{f0 (x) − f0 (z), max fi (x)} + r(kF (x)k + dS (x))
i∈I
¤t cüc tiºu àa ph÷ìng ( àa ph÷ìng ch°t) t¤i z.
Ng÷ñc l¤i, n¸u Mr (x) ¤t cüc tiºu àa ph÷ìng ch°t t¤i z vîi mët r n o
â th¼ z l nghi»m àa ph÷ìng cæ lªp cõa b i to¡n (1.1) - (1.4).
Chùng minh. Ph¦n thù hai cõa ành l½ l hiºn nhi¶n n¶n ta ch¿ c¦n chùng
minh ph¦n thù nh§t. N¸u z l nghi»m àa ph÷ìng ( àa ph÷ìng cæ lªp)
cõa b i to¡n (1.1) - (1.4) th¼ z l nghi»m àa ph÷ìng ( àa ph÷ìng cæ lªp)
cõa b i to¡n sau:
minimizef (x),
(1.5)
F (x) = 0,
(1.6)
x ∈ S,
(1.7)
trong â
f (x) = max{f0 (x) − f0 (z), max fi (x)}.
i∈I
Chån q > 0 v l¥n cªn V cõa z sao cho vîi méi x ∈ V
u ∈ S thäa m¢n hai i·u ki»n sau:
∩ S,
tçn t¤i
f (u) ≥ f (z),
(1.8)
F (u) = 0, kx − uk ≤ qkF (x)k.
(1.9)
8
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Gåi c > 0 l h¬ng sè Lipschitz cõa F v f tr¶n V . L§y r1 ≥ qc, khi
â n¸u x ∈ V ∩ S v u ∈ S thäa m¢n (1.8) v (1.9) th¼
f (x) ≥ f (x) − f (u) + f (z) ≥ −ckx − uk + f (z)
≥ −cqkF (x)k + f (z) ≥ −r1 kF (x)k + f (z).
i·u n y chùng tä z l nghi»m àa ph÷ìng cõa b i to¡n:
minimize{f (x) + r1kF (x)k : x ∈ S}.
(1.10)
Trong tr÷íng hñp z l nghi»m àa ph÷ìng cæ lªp cõa (1.5) - (1.7), ta
câ thº chån r1 º z l nghi»m àa ph÷ìng cæ lªp cõa b i to¡n (1.10).
Chó þ r¬ng x ∈ S t÷ìng ÷ìng vîi dS (x) = 0. i·u n y chùng tä z
l iºm ch½nh quy cõa dS (.) èi vîi X v f (x) + r1kF (x)k l Lipschitz.
Chùng minh ho n to n t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta câ thº t¼m ÷ñc r2 > 0 sao
cho z l nghi»m àa ph÷ìng ( àa ph÷ìngcæ lªp) cõa b i to¡n:
minimize{f (x) + r1kF (x)k + r2dS (x)}.
Khi â, ành l½ ÷ñc chùng minh vîi r = max{r1, r2}.
1.2 X§p x¿ c§p 1 cõa h m
ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû f (x) l mët h m thüc x¡c ành trong mët
l¥n cªn cõa z. H m thüc φ(x) ÷ñc gåi l x§p x¿ c§p 1 cõa h m f t¤i z
n¸u
φ(tx) = tφ(x),
v
lim sup
t↓0
∀t ≥ 0,
∀x ∈ X,
f (z + th) − f (z) − tφ(h)
≤ 0,
t
∀h ∈ X.
(1.11)
9
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Theo ành ngh¾a, n¸u f l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z th¼ h m φ(x) =
f 0 (z, x) l x§p x¿ c§p 1 cõa f t¤i z .
Lîp quan trång c¡c x§p x¿ c§p 1 l x§p x¿ tuy¸n t½nh thæng th÷íng
cõa h m kh£ vi li¶n töc v c¡c ¤o h m theo ph÷ìng cõa h m Lipschitz
àa ph÷ìng.
Nhc l¤i [5]: d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi φ t¤i z ÷ñc ành ngh¾a nh÷
sau
∂c φ(z) = {x∗ ∈ X ∗ |hx∗ , x − zi ≤ f (x) − f (z), ∀x ∈ X}.
Khi φ lçi v Lipschitz àa ph÷ìng trong mët l¥n cªn cõa z th¼
∂c φ(z) = ∂φ(z).
M»nh · 1.2.2. Gi£ sû φ l x§p x¿ c§p 1 cõa f t¤i z. N¸u f ¤t cüc
tiºu àa ph÷ìng t¤i z th¼ φ ¤t cüc tiºu tuy¶t èi t¤i gèc. Hìn núa, n¸u
φ l lçi th¼
0 ∈ ∂c φ(0).
Chùng minh. L§y h ∈ X cè ành. Khi â,
f (z + th) − f (z) = tφ(h) + r(t),
trong â
lim sup
t→0
r(t)
≤ 0.
t
N¸u φ(h) < 0 th¼ tφ(h) + r(t) < 0 vîi t õ nhä. Do â
f (z + th) − f (z) < 0
vîi t õ nhä. i·u n y m¥u thu¨n vîi z l cüc tiºu àa ph÷ìng cõa f .
Do â, φ(h) ≥ 0, chùng tä φ ¤t cüc tiºu tuy¶t èi t¤i 0.
10
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
M»nh · 1.2.3. Gi£ sû φ, φ1, ..., φn l¦n l÷ñt l x§p x¿ c§p 1 cõa f, f1, ..., fn
t÷ìng ùng t¤i z . Khi â, c¡c kh¯ng ành sau óng:
(a) N¸u k ≥ 0 th¼ kφ l x§p x¿ c§p 1 cõa kf t¤i z ,
(b) φ + φ1 + ... + φn l x§p x¿ c§p 1 cõa f + f1 + ... + fn t¤i z ,
(c) maxi∈I φi(x) l x§p x¿ c§p 1 cõa max1≤i≤n fi(x) t¤i z , trong â
I = {i ∈ {1, 2, ..., n}| fi (z) = max fj (z)}.
1≤j≤n
1.3 i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p 1
p döng ành l½ 1.1.1, c¡c m»nh · 1.2.2 v 1.2.3 ta nhªn ÷ñc
ành lþ 1.3.1. ([2]) Gi£ sû
(a) Tçn t¤i c¡c h m lçi φ0, φ1, ..., φn, ψ, ρ l¦n l÷ñt l x§p x¿ c§p 1 cõa c¡c
h m f0, f1, ..., fn, kF (.)k, dS (.) t¤i z v chóng li¶n töc trø ra nhi·u
nh§t mët h m,
(b) z l iºm ch½nh quy cõa F èi vîi S .
Khi â, n¸u
l nghi»m àa ph÷ìng cõa (1.1) - (1.4) th¼ tçn t¤i
λ0 ≥ 0, ..., λn ≥ 0, r > 0 sao cho λ0 +, ..., +λn = 1, λi fi (z) = 0 vîi
i = 1, ..., n (ho°c t÷ìng ÷ìng λi = 0 n¸u i 6= 0 v i 6∈ I ) v
z
0∈
n
X
λi ∂c φi (0) + r∂c ψ(0) + r∂c ρ(0).
i=0
1.3.1 Tr÷íng hñp dimY < ∞
Ta çng nh§t Y vîi Rm. Khi â,
F (x) = (fn+1 (x), ..., fn+m (x)),
(1.12)
11
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
trong â fn+j x¡c ành v Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z. Theo [6], z l iºm
ch½nh quy cõa F èi vîi S n¸u
µ1 x∗1 + .... + µm x∗m ∈ NS (z),
x∗j ∈ ∂fn+j (z),
k²o theo µ1 = · · · = µm = 0.
N¸u i·u ng÷ñc l¤i óng th¼ tçn t¤i
b¬ng 0 sao cho
j = 1, ..., m,
λn+1 , ..., λn+m
khæng çng thíi
0 ∈ λn+1 ∂fn+1 (z) + · · · + λn+m ∂fn+m (z) + NS (z).
(1.13)
Sû döng k¸t qu£ â, ta nhªn ÷ñc ành l½ sau:
ành lþ 1.3.2. Gi£ sû F x¡c ành bði (1.12), trong â fn+j l c¡c h m
Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z v φ0, φ1, ..., φn l¦n l÷ñt l c¡c x§p x¿ c§p 1 lçi
v li¶n töc cõa c¡c h m f0, f1, ..., fn. N¸u z l nghi»m àa ph÷ìng cõa
b i to¡n (1.1) - (1.4) th¼ tçn t¤i c¡c sè λ0, ..., λn+m khæng çng thíi b¬ng
0 sao cho
λi ≥ 0, i = 0, ..., n
0∈
n
X
v
λi ∂φi (0) +
i=0
λi fi (z) = 0, i = 1, ..., n;
n+m
X
λi ∂fi (z) + NS (z).
(1.14)
(1.15)
i=n+1
1.3.2 Tr÷íng hñp F kh£ vi
Gi£ sû F kh£ vi ch°t t¤i z, tùc l F kh£ vi Fr²chet t¤i z v
kF (x + h) − F (x) − F 0 (z)hk = r(x, h)khk,
trong â r(x, h) → 0 n¸u x → z, h → 0.
ành lþ 1.3.3. Gi£ sû
(a) F kh£ vi ch°t t¤i z;
12
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
(b) R(F'(z)) l khæng gian con âng trong Y;
(c) int TS (z) 6= ∅ v ¡nh x¤ gi¡ trà nân x −→ TS (z) nûa li¶n töc d÷îi
tr¶n S t¤i z.
Gåi φ0, φ1, ..., φn l¦n l÷ñt l c¡c x§p x¿ lçi c§p 1 cõa c¡c h m f0, f1, ..., fn
t¤i z. Khi â, n¸u z l l nghi»m àa ph÷ìng cõa (1.1) - (1.4) th¼ tçn t¤i
λi ≥ 0, i = 1, ..., n v v²c tì y ∗ ∈ Y ∗ khæng çng thíi b¬ng 0 sao cho
0
∗
∗
−F (z)y ∈
n
X
λi ∂c φi (0) + NS (z),
i=0
trong â R(F (z)) l mi·n gi¡ trà cõa F (z).
0
0
Chùng minh. N¸u R(F (z)) 6= Y th¼ tçn t¤i y∗ 6= 0 v b¬ng khæng tr¶n
R(F (z)). Nh÷ vªy, F ∗ (z)y ∗ = 0 v ành l½ ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch
l§y λ0 = ... = λn = 0.
B¥y gií, gi£ sû R(F (z)) = Y . Khi â, n¸u Ker F (z) ∩ intTS (z) = ∅
th¼ tçn t¤i x∗ ∈ X ∗, x∗ 6= 0 t¡ch KerF (z) v intTS (z). Do â, hx∗, xi ≥ 0
vîi ∀x ∈ TS (z) v hx∗, xi = 0 vîi ∀x ∈ KerF (z). Bði v¼ R(F (z)) = Y ,
ta suy ra x∗ = F (z)y∗ = 0 vîi y∗ n o â thuëc Y ∗, y∗ 6= 0. Khi â, ta câ
hF (z)y ∗ , xi ≥ 0 n¸u x ∈ TS (z). Chån λ0 = ... = λn = 0, ta suy ra i·u
ph£i chùng minh.
Cuèi còng, gi£ sû R(F (z)) = Y v KerF (z) ∩ intTS (z) 6= ∅. Tø (c)
suy ra tçn t¤i h ∈ KerF (z), khk ≤ 1 v α > 0 sao cho vîi ∀u ∈ X m
ku − hk < α thuëc TS (x) n¸u x ∈ S õ g¦n z (do TS (x) l lçi âng v
nûa li¶n töc d÷îi theo x t¤i z). Vîi méi x nh÷ th¸, ta câ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C(F (z), TS (x)) = sup inf{kuk F (z)u = y, u ∈ TS (x)}
kyk≤1
0
≤ α−1 C(F (z), X),
13
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
trong â
0
0
C(F (z), X) = sup inf{kuk : F (z)u = y}
kyk≤1
bði v¼ F (z) l ¡nh x¤ tø X l¶n Y . Khi â, z l iºm ch½nh quy cõa F
èi vîi S v ta suy ra i·u ph£i chùng minh.
0
14
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ch֓ng 2
i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin Miljutin - Osmolovskii
Ch÷ìng n y tr¼nh b y c¡ch ti¸p cªn i·u ki»n tèi ÷u kiºu Levitin Miljutin - Osmolovskii cõa Ioffe [3] düa tr¶n cæng cö LMO - x§p x¿ v
ành l½ quy gån cõa æng. Vîi i·u ki»n chu©n tc m¤nh th¼ s³ khæng câ
sü sai kh¡c v· t½nh ch§t nghi»m cõa b i to¡n gèc v b i to¡n khæng câ
r ng buëc.
2.1 X§p x¿ kiºu Levitin - Miljutin - Osmolovskii
Trong ch÷ìng n y chóng ta v¨n x²t b i to¡n (1.1) - (1.4) trong Ch÷ìng
1 vîi gi£ thi¸t f0, ..., fn v F l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z ∈ X , fi : X →
R, i = 0, ..., n, F : X → Y , X v Y l c¡c khæng gian Banach. Ta k½ hi»u
h m tüa cõa A ⊂ X ∗ bði
s(x, A) = sup{hx∗ , xi|x∗ ∈ A}.
C¡c k½ hi»u v kh¡i ni»m ð ¥y nh÷ trong ch÷ìng 1.
ành ngh¾a 2.1.1. Cho f (x) l mët h m thüc x¡c ành trong mët l¥n
cªn U cõa z. Mët h m thüc φ(x, h) ành ngh¾a tr¶n tr¶n U × X ÷ñc
15
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
gåi l x§p x¿ Levitin - Miljutin - Osmolovskii (LMO - x§p x¿) cõa f t¤i
z n¸u
(a) φ(x, 0) = f (x);
(b) Vîi b§t k¼ x thuëc mët l¥n cªn cõa z, h m h −→ φ(x, h) l li¶n töc
v lçi;
(x+h)
(c) lim inf x→z,h→0 φ(x,h)−f
≥ 0.
||h||
Ta x²t c¡c v½ dö sau:
V½ dö 2.1. Gi£ sû h m f kh£ vi ch°t t¤i z . Khi â h m:
φ(x, h) = f (x) + hf 0 (z), hi
thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa ành ngh¾a tr¶n. Do â, nâ l LMO - x§p x¿
f t¤i z .
V½ dö 2.2. Gi£ sû h m f (x) = g(G(x)), trong â G : X −→ Y kh£ vi
ch°t t¤i z v g l h m lçi v li¶n töc trong mët l¥n cªn cõa G(z). Khi
â, h m
φ(x, h) = g(G(x) + G0 (z)h)
l LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z.
V½ dö 2.3. Gi£ sû h m f l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z . L§y k > 0 õ
lîn v
φ(x, h) = f (x) + kkhk.
Khi â φ l LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z.
ành ngh¾a 2.1.2. Gi£ sû A ⊂ X ∗ l mët tªp lçi v compact y¸u*. Ta
nâi r¬ng A l tªp húu hi»u àa ph÷ìng cõa f t¤i z n¸u vîi måi > 0, tçn
t¤i δ = δ() > 0 sao cho ∂f (x) ⊆ A, khi kx − zk ≤ δ(), trong â A l
- l¥n cªn cõa A trong X ∗ .
16
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
V½ dö 2.4. Gi£ sû f nh÷ V½ dö 2.3 v A ⊂ X ∗ l tªp húu hi»u àa
ph÷ìng cõa f t¤i z. Khi â,
φ(x, h) = f (x) + s(h, A)
l LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z.
Thªt vªy, i·u ki»n (a), (b) trong ành ngh¾a 2.1.2 hiºn nhi¶n thäa
m¢n. L§y η > 0 v δ > 0 sao cho ∂f (x) ⊆ Aη n¸u kx − zk ≤ δ. N¸u
kx − zk ≤ δ/2, khk ≤ δ/2 th¼ kx + th − zk ≤ δ vîi ∀t ∈ (0, 1). Theo ành
l½ gi¡ trà trung b¼nh Lebourg [6], tçn t¤i t0 ∈ (0, 1) v x∗ ∈ ∂f (x + t0h)
sao cho
hx∗ , hi = f (x + h) − f (x)
Do x∗ ∈ Aη , cho n¶n
s(h, Aη ) = s(h, A) + ηkhk ≥ f (x + h) − f (x).
Ta suy ra i·u ki»n (c) ÷ñc thäa m¢n.
Cho f l h m lçi v > 0. Tªp hñp
∂ f (x) = {x∗ ∈ X ∗ |f (x) + f (x∗ ) ≤ hx∗ , xi + }
(kh¡c réng n¸u x ∈ domf ) ÷ñc gåi l - d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x, trong
â f ∗ l h m li¶n hñp cõa f . Tªp n y luæn lçi, âng y¸u* v bà ch°n
theo chu©n n¸u f li¶n töc t¤i x (xem [5]). Hìn núa,
∂f (u) ⊂ ∂ f (x)
n¸u u õ g¦n x. Do vªy, ∂f (x) l tªp húu hi»u àa ph÷ìng cõa f t¤i x.
°c bi»t,
sup{hx∗ , ui − f ∗ (x∗ )|x∗ ∈ ∂ f (x)} = f (u),
(2.1)
n¸u u õ g¦n x.
17
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
V½ dö 2.5. Gi£ sû φ(x, h) l LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z v
φ (x, h) = sup{hh∗ , hi − φ∗ (x, h∗ )|h∗ ∈ ∂ φ(x, 0)}.
M»nh · 2.1.3. N¸u f l Lipschitz àa ph÷ìng t¤i z v > 0 th¼ φ(x, h)
l LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z .
Chùng minh. i·u ki»n (a), (b) cõa ành ngh¾a LMO - x§p x¿ ÷ñc suy
ra tø t½nh ch§t cõa d÷îi vi ph¥n v li¶n hñp Fenchel.
Gåi k l h¬ng sè Lipschitz cõa f . L§y k > η > 0 v chån δ thäa m¢n
0 < δ ≤ /2k sao cho
(2.2)
φ(x, h) + ηkhk ≥ f (x + h)
khi kx − zk ≤ δ, khk ≤ δ.
Ta ch¿ c¦n chùng minh (2.2) óng khi thay φ(x, h) b¬ng φ(x, h).
Thªt vªy, l§y x v h sao cho kx − zk ≤ δ, khk ≤ δ. Theo ành ngh¾a
φ (x, h) ≤ φ(x, h). N¸u ¯ng thùc x£y ra èi vîi x v h th¼ kh¯ng ành
tr¶n l óng. Do â, ta gi£ sû φ(x, h) < φ(x, h) (k²o theo h 6= 0). °t
t0 = inf{t > 0|φ (x, th) < φ(x, th)}.
Tø (2.1) suy ra t0 > 0 v ta câ thº gi£ thi¸t t0 < 1.
Tr÷îc h¸t, ta ch¿ ra sü tçn t¤i cõa h∗ ∈ ∂φ(x, t0h) sao cho
φ(x, 0) + φ∗ (x, h∗ ) = .
Thªt vªy, tø
n¶n bao h m thùc
∂φ (x, t0 h) ⊂ ∂φ(x, t0 h) l óng. V¼ φ(x, .) l h m lçi v li¶n töc n¶n
∂φ (x, t0 h) 6= ∅ v theo ành ngh¾a ta câ ∂φ (x, t0 h) ⊂ ∂ φ(x, 0). Do vªy,
tçn t¤i h∗1 ∈ ∂φ(x, t0h) º h∗1 ∈ ∂φ(x, 0), hay φ(x, 0) + φ∗(x, h∗1) ≤ .
φ(x, t0 h) = φ (x, t0 h)
v
(2.3)
φ ≤ φ
18
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
M°t kh¡c, n¸u t > t0, φ(x, th) > φ(x, th) v h∗ ∈ ∂φ(x, th) th¼ h∗ 6∈
∂ φ(x, 0) (trong tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i th¼ φ(x, th) = φ (x, th)) v do â
φ(x, 0) + φ∗ (x, h∗ ) ≥ . T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i cõa
h∗2 ∈ ∂ φ(x, t0 h) sao cho φ(x, 0) + φ∗ (x, h∗2 ) ≤ . Khi â mët tê hñp lçi
cõa h∗1 v h∗2 s³ thäa m¢n (2.3).
Tø (2.3) ta câ
− hh∗ , t0 hi = φ(x, 0) − φ(x, t0 h).
K¸t hñp vîi (2.2) ta nhªn ÷ñc
hh∗ , t0 hi ≥ f (x + t0 h) − f (x) + − ηt0 khk ≥ − (k + η)t0 khk.
Bði v¼ vîi 0 < t0 < 1 v khk ≤ δ ≤ /2k ta suy ra
hh∗ , hi
≥
− (k + η) ≥
− (k + η) ≥ (k − η)
khk
t0 khk
khk
Cuèi còng, do h∗ ∈ ∂φ(x, t0h) (thüc ra h∗ ∈ ∂φ(x, t0h) v h∗ ∈ ∂φ(x, 0)),
ta câ
φ (x, h) + ηkhk ≥ φ (x, t0 h) + ηkhk + (1 − t0 )hh∗ , hi
≥ φ(x, t0 h) + ηkhk + (1 − t0 )(k − η)khk
≥ φ(x, t0 h) + ηkhk ≥ f (x + t0 h).
M»nh · ÷ñc chùng minh.
Hai m»nh · ìn gi£n sau cho ta c¡c t½nh ch§t cõa LMO - x§p x¿.
M»nh · 2.1.4. ([3]) N¸u φ(x, h) l LMO - x§p x¿ cõa f t¤i z th¼
ψ(h) = φ0 (z, 0; h) = lim
t↓0
φ(z, th) − φ(z, 0)
t
l x§p x¿ c§p 1 cõa f t¤i z.
19
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -
.PDF 
55 
1 
84 
