Tài liệu Về bất đẳng thức simpson và vận dụng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRỊNH THỊ THANH BÌNH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC SIMPSON VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRỊNH THỊ THANH BÌNH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC SIMPSON VÀ VẬN DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC HD1: TS. Trần Xuân Quý HD2: TS. Đỗ Thị Phương Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2020 Mục lục Mở đầu 2 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Bất đẳng thức Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Bất đẳng thức Grüss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Bất đẳng thức Simpson và một số ứng dụng 12 2.1 Bất đẳng thức Simpson đối với các ánh xạ có biến phân bị chặn . . . . . . 14 2.2 Bất đẳng thức Simpson đối với ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Bất đẳng thức Simpson với các số hạng khả tích cấp p . . . . . . . . . . . 22 2.4 Bất đẳng thức Grüss, Ostrowski đối với công thức Simpson . . . . . . . . . 26 2.4.1 Bất đẳng thức Grüss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2 Bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 2 Mở đầu Trong kỷ nguyên công nghệ thông tin, sự biến đổi các ngành trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội luôn diễn ra với tốc độ chóng mặt. Nhờ internet và các phương tiện truyền thông mà các quốc gia đã xích lại gần nhau trong một thế giới hội nhập toàn cầu hoá. Ở một phạm vi hẹp chúng ta có thể thấy sự phát triển của các trang web Toán học đã làm cho những người đam mê Toán học trên thế giới có thể dễ dàng nhanh chóng tiếp cận và trao đổi thông tin vô cùng phong phú. Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của Toán học sơ cấp đang ngày càng phát triển, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế luôn cuốn hút rất nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm. Mọi người dễ thống nhất với nhau là bất đẳng thức luôn chiếm vị trí quan trọng đối với toán học phổ thông cũng như trên các trang web Toán học. Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,. . . Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong toán sơ cấp, đó là có rất nhiều những bài toán khó, thậm chí là rất khó, luôn có thể giải được bằng những kiến thức rất cơ sở và việc hoàn thành được chứng minh là niềm vui thực sự. Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó hoặc rất khó. Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một số biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng (bất đẳng thức) tương ứng. Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và cực kỳ đa dạng. Có nhiều ý tưởng cơ bản, cách thức tiếp cận và một số hướng ứng dụng theo các dạng toán cũng như phương pháp giải điển hình. Với đề tài “ Về bất đẳng thức Simpson và vận dụng”, trong tập luận văn này tác giả xin tóm tắt các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Simpson, từ đó đi sâu nghiên cứu một số bài tập liên quan đến bất đẳng 3 thức Simpson. Luận văn này gồm phần Mở đầu, Nội dung và được chia làm hai chương đề cập các vấn đề sau đây: Chương 1: Trình bày về “ Một số kiến thức chuẩn bị”. Trong chương này tác giả trình bày sơ lược về hàm số, biến phân và biến phân toàn phần, một số bất đẳng thức liên quan như: bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Grüss, bất đẳng thức Ostrowski. Chương 2: Trình bày về “ Bất đẳng thức Simpson và một số ứng dụng “. Trong chương này tác giả giới thiệu bất đẳng thức Simpson. Trình bày bất đẳng thức Simpson đối với các ánh xạ có biến phân bị chặn, bất đẳng thức Simpson đối với đối với ánh xạ Lipschitz, bất đẳng thức Simpson với các số hạng khả tích cấp p, bất đẳng thức Grüss, Ostrowski đối với công thức Simpson. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán -Tin. Với bản luận văn này, em mong muốn được góp một phần nhỏ công sức của mình vào việc gìn giữ và phát huy vẻ đẹp, sự hấp dẫn cho những bất đẳng thức toán học vốn dĩ đã rất đẹp. Đây cũng là một cơ hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể các thầy cô giảng viên của trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên nói chung và Khoa Toán - Tin nói riêng, đã truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu trong thời gian em được là học viên của trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Đồng Hòa - Kiến An - Hải Phòng cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học; chân thành cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toán K12A7 và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo giảng dạy của em đồng thời cũng là giáo viên hướng dẫn - TS. Trần Xuân Quý và TS. Đỗ Thị Phương Quỳnh đã luôn quan tâm ân cần chỉ bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và góp ý sâu sắc cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài. Chặng đường vừa qua sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy ý nghĩa đối với các anh chị em học viên lớp K12A7 nói chung và với bản thân em nói riêng. Dấu ấn ấy hiển nhiên không thể thiếu sự hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương của tất cả người thân trong gia đình. Xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng đường vừa qua. Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 8 năm 2020 Học viên Trịnh Thị Thanh Bình 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần Trong chương này, tác giả sẽ trình bày một số khái niệm liên quan tới hàm số, chẳng hạn như hàm số liên tục tuyệt đối, hàm số L-Lipchitz và một số bất đẳng thức liên quan tới việc chứng minh bất đẳng thức Simpson sẽ trình bày trong chương tiếp theo. Định nghĩa 1.1. (a) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là liên tục tuyệt đối trên [a, b] nếu với mọi ε > 0 tồn tại số dương δ thỏa mãn n X |f (xi ) − f (yi )| < ε, i=1 với mọi họ hữu hạn các khoảng rời nhau {[xi , yi ] : i = 1, 2, . . . , n} của [a, b] với n X |xi − yi | < δ. i=1 (b) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là L-Lipschitz trên [a, b] nếu tồn tại L > 1 thỏa mãn |f (x) − f (y)| 6 L|x − y| với mọi x, y ∈ [a, b]. (c) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là có biến phân bị chặn trên [a, b] khi và chỉ khi tồn tại hằng số M > 0 thỏa mãn n X |f (xi ) − f (xi−1 )| 6 M, i=1 với mọi phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của [a, b]. (d) Nếu hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b], thì biến phân toàn phần của f trên [a, b] được xác định như sau b _ a (f ) = sup P={x0 ,x1 ,··· ,xn } phân hoạch của[a,b] X n i=1  |f (xi ) − f (xi−1 ) | . 5 Nhận xét 1.1. Một hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b] thì liên tục đều và có biến phân bị chặn trên [a, b]. Ví dụ 1.1. Nếu f : [a, b] → R là hàm đơn điệu tăng thì với mọi phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của [a, b] ta có n X n X |f (xi ) − f (xi−1 )| = {f (xi ) − f (xi−1 )} i=1 i=1 = f (xn ) − f (x0 ) = f (b) − f (a). b _ Vì vậy, hàm f có biến phân bị chặn và (f ) = f (b) − f (a). a Ví dụ 1.2. Nếu hàm f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) với sup |f 0 (x)| > a 0, a, b > 0. Nếu đặt u = xa , v = y b , p = (a + b)/a và q = (a + b)/b, rõ ràng p > 1 và ta có bất đẳng thức sau 1 1 1 1 + = 1 =⇒ uv 6 up + v q . p q p q (1.2) Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Young. Kết quả dưới đây được gọi là bất đẳng thức Hölder. Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Hölder). Cho hai bộ số a1 , a2 , . . . , an và b1 , b2 , . . . , bn là hai 1 1 bộ n số thực dương và p > 1, thỏa mãn + = 1. Khi đó ta có bất đẳng thức sau: p q n X n X ai b i 6 i=1 ! p1 n X api i=1 ! 1q bqi . (1.3) i=1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi api = kbqi với mọi i ∈ {1, 2, , . . . , n}. Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức Hölder ở dạng giải tích, chúng tôi chỉ trình bày kết quả mà không chứng minh. Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích). Giả sử p, q > 1 thỏa mãn 1 1 + = 1, p q f và g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a, b], khi đó Z b Z |f (x)g(x)| dx 6 a b |f (x)|p dx a  p1 Z b |g(x)|q dx  1q (1.4) a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho A |f (x)|p = B |g(x)|q 1.2.2 ∀x ∈ [a, b]. Bất đẳng thức Grüss Giả sử f, g và p là các hàm khả tích trên [a, b]. Ta có các ký hiệu sau: Z x P (x) = p(t)dt, P (x) = P (b) − P (x), a 7 b R  p(x)f (x)dx a b  , R p(x)dx A(f ; p) = A(f ) = A(f ; 1), a T (f, g; p) = A(f g; p) − A(f ; p)A(g; p), R(f, g; p) = T (f, g) = T (f, g; 1), A(f ; p) , A(f ; p)A(g; p) R(f, g) = R(f, g; 1), Giả sử f và g là hai hàm số xác định và khả tích trên [a, b], thỏa mãn điều kiện: ϕ 6 f (x) 6 φ, γ 6 g(x) 6 Γ (1.5) với mỗi x ∈ [a, b], trong đó ϕ, φ, γ, Γ là các số thực cho trước. Năm 1935 G. Grüss đã đưa ra khẳng định sau: 1 |T (f, g)| 6 (φ − ϕ)(Γ − γ), 4 (1.6) trong bài báo công bố năm 1935 Grüss đã chứng minh bất đẳng thức này và cũng chỉ ra 1/4 là xấp xỉ tốt nhất. Hàm T (f, g) được gọi là hàm Čebyšev. Định lý 1.4. Cho f, g : [a, b] → R là các hàm khả tích trên [a, b] và thỏa mãn điều kiện: φ 6 f (x) 6 Φ, γ 6 g(x) 6 Γ với mọi x ∈ [a, b]. (1.7) Khi đó ta có bất đẳng thức sau: Z b Z b  1 Z b  1 1   |T (f, g)| = f (x)g(x)dx − f (x)dx · g(x)dx b−a a b−a a b−a a 1 6 (Φ − φ)(Γ − γ) 4 Hằng số (1.8) 1 là xấp xỉ tốt nhất. 4 Chứng minh. Từ đẳng thức Z b Z b Z b (b − a) f (x)g(x)dx− f (x)dx g(x)dx a a a Z Z 1 b b = (f (x) − f (y))(g(x) − g(y))dxdy 2 a a (1.9) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz, ta có: Z bZ b    (f (x)−f (y))(g(x) − g(y))dxdy   a a Z b Z ≤ b 2  21 Z b Z (f (x) − f (y)) dxdy a a b 2 (g(x) − g(y)) dxdy a a  21 . (1.10) 8 Từ đẳng thức (1.9) ta có: 1 2 b Z bZ Z 2 2 Z a 2 b f (x)dx − (f (x) − f (y)) dxdy = (b − a) a a b f (x)dx , (1.11) a ta cũng có đẳng thức tương tự đối với hàm g. Từ đó ta có: 1 b−a Z b a 2 Z b 1 f (x)dx − f (x)dx b−a a    Z b Z b 1 1 f (x)dx f (x)dx − φ = Φ− b−a a b−a a Z b 1 − (f (x) − φ)(Φ − f (x))dx b−a a  2 (1.12) và tương tự ta có đẳng thức (1.12) đối với hàm g. Theo giả thiết (1.7) ta có (f (x) − φ)(Φ − f (x)) > 0 với mọi x ∈ [a, b], vì vậy b Z (f (x) − φ)(Φ − f (x))dx > 0 a từ đẳng thức (1.12) suy ra 1 b−a Z b a  2 1 b−a Z b Z b 2 f (x)dx − f (x)dx a    Z b 1 1 ≤ Φ− f (x)dx f (x)dx − φ b−a a b−a a   2  Z b Z b 1 1 1 6 f (x)dx + f (x)dx − φ Φ− 4 b−a a b−a a 1 = (Φ − φ)2 4 (1.13) Trong đánh giá trên, ta đã sử dụng bất đẳng thức quen thuộc  2 A+B > AB. 2 Tương tự ta có: Z bZ a a b 1 (g(x) − g(y))2 dxdy 6 (Γ − γ)2 . 4 (1.14) Sử dụng bất đẳng thức (1.10) kết hợp với bất đẳng thức (1.11) và các đánh giá trong (1.13) và (1.14), ta thu được   Z bZ b  1 1  6 (Φ − φ)(Γ − γ)(b − a)2  (f (x) − f (y))(g(x) − g(y))dxdy  4 2 a a và từ (1.9), ta suy ra (1.8). 9 1 Để chứng minh hằng số là xấp xỉ tốt nhất, ta chọn hàm f, g : [a, b] → R, xác định 4     a+b a+b như sau f (x) = sgn x − , g(x) = sgn x − . Khi đó, ta có: 2 2 Z b Z b Z g(x)dx = 0 f (x)dx = f (x)g(x)dx = 1, a a a b và Φ−φ=Γ−γ =2 ta nhận được dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.8). Nhận xét 1. (a) Điều kiện (1.7) có thể làm giảm với điều kiện yếu hơn như sau: b Z Z (f (x) − φ)(Φ − f (x))dx > 0, a b (Γ − g(x))(g(x) − γ)dx > 0. (1.15) a (b) Nếu ta xét hàm f (x) = (x − a)p , p > 0, thì ta thu được bất đẳng thức moment đối với hàm g: Z b  p Z b   1  (x − a)p g(x)dx − (b − a)  6 (b − a)p+1 (M − m), g(x)dx   4 p + 1 a a trong đó giả sử m 6 g(x) 6 M với x ∈ [a, b]. Bất đẳng thức (1.8) có thể thu được ước lượng tốt hơn nếu ta thêm điều kiện hạn chế đối với các hàm f và g. Thật vậy, xét ∆nh f (x) là sai phân thứ n của hàm f , nghĩa là ∆nh f (x) = n X (−1)n−k Cnk f (x + kh). k=0 Hàm f xác định trên (a, b) được gọi là đơn điệu bậc p nếu ∆nh f (x) > 0 hoặc ∆nh f (x) 6 0 với mọi n = 1, 2, . . . , p với mọi x ∈ (a, b), h > 0, x + nh < b. Nếu f đơn điệu bậc p trong (a, b) với mọi p = 1, 2, . . . , thì ta nói rằng f đơn điệu tuyệt đối trên (a, b). Ta có khẳng định sau Định lý 1.5 (Grüss, 1935). Nếu các hàm f, g là đơn điệu tuyệt đối trên (0, 1) thì ta có các bất đẳng thức sau: 4 (Φ − φ)2 45 (1.16) 4 (Φ − φ)(Γ − γ) 45 (1.17) T (f, f )2 6 và T (f, g) 6 10 Hằng số 4/45 trong các bất đẳng thức (1.16) và bất đẳng thức (1.20) là ước lượng tốt nhất có thể, chẳng hạn chọn hàm f (x) = x2 ta thu được dấu đẳng thức trong (1.16). Trong bài báo công bố năm 1935, Grüss đã chứng minh hai bất đẳng thức này bằng đa thức Berstein. Nhưng cũng năm 1935, E Landau đã đưa ra cách chứng minh đơn giản hơn, và năm 1936, E Landau đã chứng minh hai bất đẳng thức (1.16) và (1.20) đúng nếu các hàm f, g đơn điệu cấp 4. Đối với các hàm đơn điệu cấp k = 1, 2, 3 E Landau đã chứng minh được: 1 T (f, g) 6 (Φ − φ)(Γ − γ) với k = 1, 4 1 T (f, g) 6 (Φ − φ)(Γ − γ) với k = 2, 9 9 T (f, g) 6 (Φ − φ)(Γ − γ) với k = 3. 100 (1.18) (1.19) (1.20) Năm 1936, G. H. Hardy đã đưa ra khẳng định sau: Định lý 1.6 (Hardy, 1936). Nếu hàm số f : R+ → R thỏa mãn f (x) > 0, f 0 (x) 6 0, f ”(x) > 0, f 000 (x) 6 0, . . . với mọi x ∈ R+ và φ 6 f (x) 6 Φ, γ 6 g(x) 6 Γ với mọi x ∈ [0, a]. Khi đó ta có bất đẳng thức sau: |T (f, g)| 6 với  Z  1 |T (f, g)| =  b−a 0 a 1 (Φ − φ)(Γ − γ) 12 1 f (x)g(x)dx − b−a Z 0 a 1 f (x)dx · b−a Z 0 a   g(x)dx Bất đẳng thức Grüss chỉ ra cận trên và cận dưới cho sai phân D(f, g). Một ước lượng tương tự cũng đã được J. Karamata chứng minh đối với Z 1 Z 1 f (x)dx g(x)dx 0 0 R(f, g) = . Z 1 f (x)g(x)dx 0 Kết quả này được gọi là bất đẳng thức Karamata. 1.2.3 Bất đẳng thức Ostrowski Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối: 11 Định lý 1.7. Xét f : [a; b] → R là hàm số liên tục tuyệt đối trên (a, b). Khi đó ta có bất đẳng thức sau:     x − a + b 2    1  2  + (b − a)kf 0 k∞ ;    4 b−a       q+1  1    1 x−a q  Z b  × 1 q+1 b−a f (t)dt| 6 |f (x) − 1  b−a a   1 1    + = 1; ×(a − b) q kf 0 kp , p > 1,   p q    a+b     | x − |   1 2   + kf 0 k1 . 2 b−a (1.21) với mọi x ∈ [a, b], trong đó  1     R b | f 0 (t) |s dt
s a kf 0 ks :=  0    sup | f (t) | nếu s ∈ [0; ∞) nếu s = ∞. t∈(a;b) Bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn: Định lý 1.8. Xét hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b]. Khi đó ta có bất đẳng thức: a+b    Z b b |x − _   1 1 2 f (x) −  f (t)dt 6 + (f )  b−a a 2 b−a a (1.22) b _ với mọi x ∈ [a, b], trong đó (f ) là biến phân toàn phần của hàm số f trên [a, b]. Hằng a 1 số là đánh giá tốt nhất trong bất đẳng thức (1.22). 2 12 Chương 2 Bất đẳng thức Simpson và một số ứng dụng Bất đẳng thức sau được được biết đến như là bất dẳng thức của Simpson: Z b      f (a) + f (b) a + b b − a  6 1 f (4) (b − a)5 ,  + 2f f (x)dx −   ∞ 3 2 2 2880 a (2.1) trong đó hàm số f : [a, b] → R là hàm khả vi liên tục có đạo hàm tới cấp 4 trong khoảng (a, b) và có đạo hàm cấp 4 bị chặn trên khoảng (a, b), nghĩa là,   kf (4) k∞ := sup f (4) (x) < ∞. x∈(a,b) Xét In : a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b là một phân phân hoạch của khoảng [a; b] và f được xác định như trên, từ đó ta có công thức Simpson cầu cổ điển: Z b f (x)dx = AS (f, In ) + RS (f, In ) (2.2) a với AS (f, In ) gọi là quy tắc Simpson n−1 n−1 1X 2X AS (f, In ) =: [f (xi ) + f (xi+1 )] hi + f 6 i=0 3 i=0  xi + xi+1 2  hi (2.3) và phần dư RS (f, In ) sẽ thỏa mãn ước lượng n−1 X 1 (4) |RS (f, In )| 6 f h5i ∞ 2880 i=0 (2.4) với hi := xi+1 − xi với i = 0, . . . , n − 1. Khi ta phân hoạch đều khoảng [a, b] xác định như sau: In : xi := a + b−a · i, i = 0, . . . , n; n (2.5) 13 thì ta có công thức: Z b f (x)dx = AS,n (f ) + RS,n (f ) (2.6) a với   # n−1   b−aX b−a b−a AS,n (f ) : = f a+ ·i +f a+ · (i + 1) 6n i=0 n n  n−1  2(b − a) X b − a 2i + 1 + f a+ · , 3n n 2 i=0 (2.7) và phần dư thỏa mãn bất đẳng thức |RS,n (f )| 6 1 (b − a)5 (4) · kf k∞ . 2880 n4 (2.8) Các kết quả nghiên cứu về bất đẳng thức tích phân đã được tổng hợp trong cuốn sách “Inequalities for Functions and Their Integrals and Derivatives” của D.S. Mitrinovir xuất bản năm 1994 (xem tài liệu [12]). Mục đích của luận văn này là trình bày các kết quả về bất đẳng thức Simpson với phần dư được biểu diễn qua các biểu thức đạo hàm cấp nhỏ hơn 4. Ta đã biết rằng nếu một hàm số hoặc không có đạo hàm tới cấp 4 hoặc đạo hàm cấp 4 không bị chặn trên khoảng (a, b) thì ta không dùng được công thức xấp xỉ Simpson, một công thức thường được vận dụng nhất trong tính toán thực hành. Trong mục đầu tiên của chương này (mục 2.1), tôi sẽ trình bày về chặn trên của phần dư bất đẳng thức Simpson cho lớp hàm có biến phân bị chặn. Mục tiếp theo (mục 2.2), chúng tôi sẽ trình bày một số ước lượng đối với phân dư khi f là hàm số Lipschitz. Trong mục 2.3 cũng sẽ trình bày các vấn đề tương tự mục 2.2 cho lớp hàm f liên tục tuyệt đối với đạo hàm khả tích cấp p trên [a, b], tức là (f 0 ∈ Lp [a, b]). Mục 2.4 trình bày các kết quả của Grüss về ước phần dư trong công thức xấp xỉ tích phân Simpson với các số hạng cận trên đúng và cận dưới đúng của đạo hàm cấp 1. Phần tiếp theo (mục 2.5) trình bày về tổ hợp lồi tổng quát đối với công thức hình thang và công thức cầu phương, trong trường hợp đặc biệt ta thu được quy tắc Simpson cổ điển. Đặc biệt trong mỗi mục trên, chúng tôi trình bày các ứng dụng đối với các đại lượng trung bình đặc biệt cho 2 số dương sau: (1). Trung bình số học A = A(a, b) := a+b , a, b > 0; 2 (2.9) √ ab, a, b > 0; (2.10) (2). Trung bình nhân/Trung bình hình học G = G(a, b) := 14 (3). Trung bình điều hòa 2 , a, b > 0; 1/a + 1/b (2.11) b−a , a, b > 0, a 6= b; ln b − ln a (2.12) H = H(a, b) := (4). Trung bình logarit L = L(a, b) := (5). Ý nghĩa trung bình 1 I = I(a, b) := e  bb aa 1  b−a , a, b > 0, a 6= b; (2.13) (6). Giá trị trung bình p-Logarit bp+1 − ap+1 Lp = Lp (a, b) := (p + 1)(b − a)   p1 , p ∈ R\{−1, 0}, a, b > 0, a 6= b. (2.14) Ta dễ dàng có Lp là hàm đơn đơn điệu không giảm p ∈ R với L−1 := L và L0 := I. Đặc biệt, ta có các bất đẳng thức sau: √ 2 b−a 1 6 ab 6 6 1/a + 1/b ln b − ln a e  bb aa 1  b−a 6 a+b . 2 (2.15) Hay là H 6 G 6 L 6 I 6 A. 2.1 Bất đẳng thức Simpson đối với các ánh xạ có biến phân bị chặn Định lý 2.1. Xét hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên khoảng [a, b]. Khi đó ta có bất đẳng thức Z b    b _  1  b − a f (a) + f (b) a + b   6 (b − a) (f ), · + 2f f (x)dx −   3 3 2 2 a a với Wb a (f ) là biến phân toàn phần của hàm f trên khoảng [a, b]. Hằng số (2.16) 1 là ước lượng tốt 3 nhất. Chứng minh. Sử dụng công thức tích phân Riemann-Stieltjes ta có:    Z b Z b b − a f (a) + f (b) a+b · + 2f − f (x)dx, s(x)df (x) = 3 2 2 a a (2.17) 15 với    a+b 5a + b    x − 6 , x ∈ a, 2 s(x) :=    a+b a + 5b   ,x ∈ ,b . x − 6 2 Thật vậy, b Z s(x)df (x) a a+b 2    Z b  5a + b a + 5b df (x) + df (x) = x− x− a+b 6 6 a 2     a+b  b Z b 2 a + 5b 5a + b + x− = x− f (x) f (x) − f (x)dx 6 6 a+b a a 2    Z b b − a f (a) + f (b) a+b f (x)dx, = · + 2f − 3 2 2 a Z vậy đẳng thức (2.17) được chứng minh. (n) Tiếp theo ta xét phân hoạch ∆n : a = x0 (n) < . . . < xn−1 < xn (n) i h (n) (n) ∈ xi , xi+1 . < x1 (n) (n) = b với ν(∆n ) → 0 khi n → ∞, trong đó ν(∆n ) :=  max i∈{0,...,n−1} (n) (n) xi+1 − xi  và ξi Nếu p : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và v : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b] thì ta có  Z b   n−1  i   h  X     (n) (n) (n)  v xi+1 − v xi p(x)dv(x) =  lim p ξi    ν(∆n )→0 a 6 lim ν(∆n )→0 i=0 n−1 X         (n)  (n) (n)   − v x v x p ξ    i i+1 i i=0 n−1      X  (n) (n)  6 max |p(x)| sup v xi+1 − v xi  x∈[a,b] = max |p(x)| x∈[a,b] ∆n b _ i=0 (v). (2.18) a Áp dụng bất đẳng thức (2.18) cho p(x) = s(x) và v(x) = f (x) ta thu được: Z b  b _     s(x)df (x) 6 max |s(x)| (f ). (2.19)  x∈[a,b] a a     a+b a+b Mặt khác, hàm số s đơn điệu không giảm trên các khoảng a, và , b và 2 2 b−a s(a) = − , 6   a+b 1 s − 0 = (b − a), 2 3   a+b 1 s = − (b − a) 2 3 16 và s(b) = b−a , 6 nên ta có 1 max |s(x)| = (b − a), x∈[a,b] 3 Từ đó, bằng cách sử dụng bất đẳng thức (2.19) và đẳng thức (2.17) ta thu được bất đẳng thức (2.16). Tiếp theo ta sẽ chứng minh hằng số 1/3 là đánh giá tốt nhất. Thật vậy, giả sử có bất đẳng thức sau đây: Z b    b _   f (a) + f (b) a + b b − a   6 C(b − a) (f ) · + 2f f (x)dx −   3 2 2 a a với hằng số C > 0 nào đó. Ta chọn một ánh xạ f : [a, b] → R xác định bởi: 
    1 nếu x ∈ a, a+b ∪ a+b , b 2 2 f (x) =  −1 nếu x = a+b . 2 Khi đó, ta có: Z b     a + b  4 b − a f (a) + f (b)  · + 2f f (x)dx −  = 3 (b − a)  3 2 2 a và (b − a) b _ (f ) = 4(b − a). a 4 1 1 (b − a) suy ra C ≥ và như vậy hằng số là xấp xỉ tốt 3 3 3 nhất của bất đẳng thức (2.16). Từ đó ta suy ra 4C(b − a) ≥ Từ đẳng thức (2.17) của định lý trên ta có các hệ quả sau: Hệ quả 2.1. Giả sử f : [a, b] → R là hàm số khả vi, có đạo hàm liên tục trên khoảng (a; b) và thỏa mãn: 0 Z kf k1 := b |f 0 (x)| dx < ∞. a Khi đó ta có bất đẳng thức Z b     b − a f (a) + f (b) a + b  1 0 2  f (x)dx − · + 2f   6 3 kf k1 (b − a) . 3 2 2 a Hệ quả sau đây cho công thức tổng hợp của Simpson là: (2.20) 17 Hệ quả 2.2. Giả sử f : [a, b] → R là ánh xạ có biến phân bị chặn trên [a, b] và Ih là một phân hoạch của [a, b]. Khi đó, ta có công thức cầu phương của Simpson (2.2) và phần dư RS (f, Ih ) thỏa mãn đánh giá sau: b _ 1 |RS (f, Ih )| 6 γ(h) (f ), 3 a (2.21) trong đó γ(h) := max{hi |i = 0, . . . , n − 1}. Hệ quả 2.3. Đặt In là phân hoạch đều của [a, b] và ánh xạ f xác định như trong Định lý 2.1. Khi đó, ta có công thức (2.6) và phần dư thỏa mãn bất đẳng thức sau: b _ 1 (b − a) (f ). (2.22) 3n Rb Nhận xét 2.1. Nếu ta muốn tính gần đúng tích phân a f (x)dx bởi công thức Simpson |RS,n (f )| 6 AS,n (f ) với độ chính xác không vượt quá ε > 0, ta cần ít nhất nε ∈ N điểm chia trong phân hoạch In của khoảng, với " # b _ 1 nε := · (b − a) (f ) + 1 3ε a và [r] ký hiệu phần nguyên r ∈ R. Nếu ánh xạ f : [a, b] → R không có đạo hàm cấp 4 hoặc đạo hàm cấp 4 không bị chặn trên (a; b) thì ta không có ước tính trong công thức của Simpson. Tuy nhiên nếu f là hàm có biến phân bị chặn, chúng ta có ước lượng (2.21) trong Hệ quả 2.2. Ta có một lớp các ánh xạ có biến phân bị chặn nhưng đạo hàm cấp 4 không bị chặn trên khoảng đã cho. Ánh xạ fp : [a, b] → R, fp (x) := (x − a)p trong đó p ∈ (3, 4). Rõ ràng là: fp0 (x) := p(x − a)p−1 , x ∈ (a, b) và fp(4) (x) = p(p − 1)(p − 2)(p − 3) , x ∈ (a, b). (x − a)4−p Rõ ràng là fp có biến phân bị chặn và b _ (f ) = (b − a)p < ∞, a (4) nhưng lim fp (x) = +∞. x→a+ Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số ví dụ vận dụng đối với bất đẳng thức Simpson chỉ ra một số bất đẳng thức mới, xuất phát từ các giá trị trung bình (2.9)-(2.14) và bất đẳng thức (2.15): H 6 G 6 L 6 I 6 A. 18 Áp dụng Định lý 2.1, ta có một số bất đẳng thức liên quan tới các đại lượng trung bình trên. Bài toán 2.1. Xét hàm số f : [a, b] → R với (0 < a < b), f (x) = xp , p ∈ R\{−1, 0}. Khi đó ta có Z b 1 f (x)dx = Lp (a, b) b−a a f (a) + f (b) = A (ap , bp ) 2   a+b f = Ap (a, b) 2 và kf 0 k1 = |p|(b − a)Lp−1 p−1 , p ∈ R\{−1, 0, 1}. Áp dụng bất đẳng thức (2.20) ta thu được bất đẳng thức sau:     p 2 1 Lp (a, b) − A (ap , bp ) − Ap (a, b) 6 |p| Lp−1 (b − a)2 .   3 3 3 p−1 Bài toán 2.2. Xét hàm f : [a, b] → R (0 < a < b), f (x) = 1 . Khi đó ta có x Z b 1 f (x)dx = L−1 (a, b) b−a a f (a) + f (b) = H −1 (a, b) 2   a+b f = A−1 (a, b) 2 và kf 0 k1 = b−a . G2 (a, b) Áp dụng bất đẳng thức (2.20) ta thu được bất đẳng thức sau: |3AH − AL − 2HL| 6 (b − a)2 LHA. G2 Bài toán 2.3. Xét hàm f : [a, b] → R (0 < a < b), f (x) = ln x. Khi đó ta có: Z b 1 f (x)dx = ln I(a, b), b−a a f (a) + f (b) = ln G(a, b), 2  a+b f = ln A(a, b) 2 và kf 0 k1 = b−a . L(a, b) Áp dụng bất đẳng thức (2.20) ta thu được bất đẳng thức sau:      (b − a)2 I ln 6 . 1 2   3L G3 A3