Tài liệu Về bất đẳng thức ostrowski và trapezoid

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ TRAPEZOID LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- ĐỖ THỊ THU GIANG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ TRAPEZOID Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt 1 Mở đầu 2 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Bất đẳng thức Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Bất đẳng thức Ostrowski và trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 8 Chương 2. Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid 2.1. Về bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối . . . . 2.1.2 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn . . 2.2. Về bất đẳng thức trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có biến phân bị chặn 2.2.2 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm đơn điệu . . . . . . . 2.2.3 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm liên tục tuyệt đối . . 2.2.4 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có đạo hàm cấp hai . 2.3. Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski đối với hàm Chebysev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 9 12 14 14 16 19 21 23 Chương 3. Bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức 28 3.1. Bất đẳng thức kiểu Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Bất đẳng thức kiểu trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3. Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid mới . . . . . . . . . 34 3.3.1 Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Ostrowski mới . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.3 Làm chặt bất đẳng thức trapezoid . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.4 Bất đẳng thức kiểu trapezoid mới . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 1 Bảng ký hiệu viết tắt b _ (f ) biến phân toàn phần của hàm số f trên đoạn [a, b]; a n X ai := a1 + a2 + · · · + an ; i=1 max{a, b} kf ks phần tử lớn nhất trong tập hai phần tử a, b; Z b  1s s := | f (t) | dt với s ∈ [1; ∞), hay chuẩn cấp s kf k∞ của hàm số f trên đoạn [a, b]; := sup | f (t) |; σ(f, ξ, In ) n−1 X := f (ξi )hi , (tổng Riemann của hàm f trên [a, b]); kf k[u,v],s chuẩn cấp s của hàm số f trên đoạn [u, v]. a t∈(a;b) i=0 2 Mở đầu Chúng ta đều biết rằng môn Toán được coi là môn "thể thao trí tuệ" giúp người học có nhiều cơ hội rèn luyện, phát triển tư duy cũng như bồi dưỡng năng lực thẩm mỹ khi nghiên cứu nét đẹp của những công thức giải toán độc đáo và mới mẻ. Trong nhiều năm qua, hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế,.... các bài toán liên quan đến bất đẳng thức chiếm một vị trí đáng kể. Đối với lớp bất đẳng thức rời rạc thì đã được khai thác khá triệt để ở chương trinh phổ thông, thậm chí cả cấp THCS. Vì nó là bài toán so sánh, nên trong các kỳ thi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán về cực trị bất đẳng thức. Tuy vậy, một lượng lớn bài toán về bất đẳng thức hàm lại ít được khai thác ở bậc trung học, dạng toán này thường chỉ xuất hiện dạng đơn giản ở bài toán bất phương trình, hoặc xuất hiện bài khó ở các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia, chọn đổi tuyển Quốc tế. Vì lý do đó mà tôi lựa chọn đề tài về bất đẳng thức hàm làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ của mình, cụ thể với đề tài: “Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid’. Đây là loại bất đẳng thức trung bình tích phân. Năm 1938, Ostrowski đã chứng minh được một ước lượng về trung bình tích phân như sau Định lý 0.1. Giả sử f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) với |f 0 (t)| 6 M < ∞ với mọi t ∈ (a, b). Khi đó, với bất kỳ x ∈ [a, b], ta có   2    a + b   Zb  1 x − 2    1  f (x) − f (t)dt 6  (0.1)   4 +  b − a   M (b − a). b − a   a Hằng số 1 là đánh giá tốt nhất, không thể thay thế bằng số bé hơn. 4 Bất đẳng thức (0.1) được coi là bất đẳng thức Ostrowski. Các kế quả tổng quát và liên quan đã được trình bày trong Chương 2 và 3. Một ước lượng khác cho trung bình tích phân được cho bởi quy tắc trapezoid (hay quy tắc hình thang) như sau Định lý 0.2 (Cerone và Dragomir [7]). Giả sử f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) với |f 0 (t)| 6 M < ∞ với mọi t ∈ (a, b). Khi đó, với bất 3 kỳ x ∈ [a, b], ta có   2    a + b b   Z  (x − a)f (a) + (b − x)f (b)  1 x − 2   1   − f (t)dt 6    4 +  b − a   M (b − a), b − a b − a   a (0.2) 1 với mọi x ∈ [a, b]. Hằng số là đánh giá tốt nhất. 4 Năm 1946, Pompeiu đã đưa ra một dạng khác của định lý giá trị trung bình Lagrange, kết quả này được biết đến như định lý giá trị trung bình Pompeiu, kết quả này được phát biểu trong định lý dưới đây: Định lý 0.3. Với mọi hàm thực f khả vi trên [a, b] khoảng này không chứa 0 và với mọi cặp x1 6= x2 trong [a, b], tồn tại ξ giữa x1 và x2 sao cho x1 f (x2 ) − x2 f (x1 ) = f (ξ) − ξf 0 (ξ). x1 − x2 Định lý giá trị trung bình Pompeiu được vận dụng để đưa ra các cách xấp xỉ khác nhau của trung bình tích phân, chẳng hạn như kết quả dưới đây. Định lý 0.4 (Dragomir, 2005 [9]). Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) với [a, b] không chứa 0. Khi đó với bất kỳ x ∈ [a, b], ta có bất đẳng thức sau   2    a + b   Zb  a + b f (x)  b − a 1 x − 2   1 0      2 . 2 − b − a f (t)dt 6 |x|  4 +  b − a   kf − `f k∞ ,   a trong đó `(t) = t, t ∈ [a, b]. Hằng số 1 là đánh giá tốt nhất. 4 Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương, cụ thể: Chương 1. Trình bày sơ lược về hàm số, biến phân của hàm số, bất đẳng thức Hölder. Bất đẳng thức Ostrowski và trapezoid. Chương 2. Trình bày về bất đẳng thức kiểu Ostrowski, trapezoid đối với các lớp hàm có biến phân bị chăn, hàm đơn điệu, hàm liên tục tuyệt đối. Làm chặt bất đẳng thức Ostrowski đối với hàm Chebyshev. Nội dung chương này trình bày từ tài liệu [2]. Chương 3. Trình bày về bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid liên hệ với định lý giá trị trung bình Pompeiu với trọng số mũ phức. Một bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid mới và một số kết quả làm chặt các bất đẳng thức kiểu Ostrowski và trapezoid. Nội dung chương này trình bày lại một số kết quả trong bài 4 báo “Ostrowski and Trapezoid type inequalities related to pompeiu’s mean value theorem with complex exponential weight” của Cerone P., Dragomir S. S., Kikianty E. công bố năm 2017 (xem [3]). Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Khoa học, ĐH Thái Nguyên. Với bản luận văn này, em mong muốn được góp một phần nhỏ công sức của mình vào việc gìn giữ và phát huy vẻ đẹp, sự hấp dẫn cho những định lý toán học vốn dĩ đã rất đẹp. Đây cũng là một cơ hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể các thầy cô giảng viên của trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên nói chung và Khoa Toán – Tin nói riêng, đã truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu trong thời gian em được là học viên của trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Phổ thông Dân tộc Nội trú tỉnh Quảng Ninh cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học; cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toán K11 và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo chủ nhiệm lớp Toán K11, TS. Trần Xuân Quý đã luôn quan tâm ân cần chỉ bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và góp ý sâu sắc cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài. Chặng đường vừa qua sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy ý nghĩa đối với các anh chị em học viên lớp K11 nói chung và với bản thân em nói riêng. Dấu ấn ấy hiển nhiên không thể thiếu sự hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương của cha mẹ hai bên và các anh chị em con cháu trong gia đình. Xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng đường vừa qua. Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 5 năm 2019 Học viên Đỗ Thị Thu Giang 5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi, trình bày một số kiến thức khái niệm và tính chất về hàm số liên tục tuyệt đối, biến phân và biến phân toàn phần của hàm số. Bất đẳng thức Hölder dạng đại số và dạng giải tích, Bất đẳng thức Ostrowski và traped. Các kết quả này được sử dụng cho các chứng minh ở Chương 2 và Chương 3. 1.1. Hàm số, biến phân và biến phân toàn phần Định nghĩa 1.1. (a) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là liên tục tuyệt đối trên [a, b] nếu với mọi ε > 0 tồn tại số dương δ thỏa mãn n X |f (xi ) − f (yi )| < ε, i=1 với P mọi họ hữu hạn các khoảng rời nhau {[xi , yi ] : i = 1, 2, . . . , n} của [a, b] với ni=1 |xi − yi | < δ. (b) Hàm số f : [a, b] → R được gọi là có biến phân bị chặn trên [a, b] khi và chỉ khi tồn tại hằng số M > 0 thỏa mãn n X |f (xi ) − f (xi−1 )| ≤ M, i=1 với mọi phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của [a, b]. (c) Nếu hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b], thì biến phân toàn phần của f trên [a, b] được xác định như sau X  b n _ (f ) = sup |f (xi ) − f (xi−1 ) | . a P={x0 ,x1 ,··· ,xn } phân hoạch của[a,b] i=1 Nhận xét 1.1. Một hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b] thì liên tục đều và có biến phân bị chặn trên [a, b]. 6 Ví dụ 1.1. Nếu f : [a, b] → R là hàm đơn điệu tăng thì với mọi phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của [a, b] ta có n n X X |f (xi ) − f (xi−1 )| = {f (xi ) − f (xi−1 )} i=1 i=1 = f (xn ) − f (x0 ) = f (b) − f (a). Vì vậy, hàm f có biến phân bị chặn và b _ (f ) = f (b) − f (a). a Ví dụ 1.2. Nếu hàm f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) với sup |f 0 (x)| ≥ M , thì với mọi phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của [a, b] và theo a 0, a, b > 0. Nếu đặt u = xa , v = y b , p = (a + b)/a và q = (a + b)/b, rõ ràng p > 1 và ta có bất đẳng thức sau 1 1 1 1 + = 1 =⇒ uv 6 up + v q . p q p q (1.2) Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Young. Kết quả dưới đây được gọi là bất đẳng thức Hölder. Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Hölder). Cho a = (a1 , a2 , . . . , an ) và b = (b1 , b2 , . . . , bn ) 1 1 là hai bộ n số thực dương và p > 1, + = 1. Khi đó ta có bất đẳng thức sau p q ! p1 n ! 1q n n X X X q ai bi ≤ api bi . (1.3) i=1 i=1 i=1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi api = kbqi với mọi i ∈ {1, 2, , . . . , n}. Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức Hölder ở dạng giải tích, chúng tôi chỉ trình bày kết quả mà không chứng minh. Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích). Giả sử (p, q) là cặp số mũ liên 1 1 hợp, tức là thỏa mãn điều kiện p, q > 1 với + = 1, f và g là hai hàm số liên p q tục trên đoạn [a, b], khi đó Z b Z |f (x)g(x)| dx ≤ a a b  p1 Z b  1q q |f (x)| dx |g(x)| dx p (1.4) a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời bằng không sao cho A |f (x)|p = B |g(x)|q ∀x ∈ [a, b]. 8 1.3. Bất đẳng thức Ostrowski và trapezoid Năm 1938, Ostrowski đã chứng minh được một ước lượng về trung bình tích phân như sau Định lý 1.4. Giả sử f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) với |f 0 (t)| 6 M < ∞ với mọi t ∈ (a, b). Khi đó, với bất kỳ x ∈ [a, b], ta có   2    a + b   Zb   1 x − 2   1 f (x) − 6 + f (t)dt (1.5)     M (b − a)  b − a 4 b − a   a Hằng số 1 là đánh giá tốt nhất, không thể thay thế bằng số bé hơn. 4 Bất đẳng thức (1.5) được coi là bất đẳng thức Ostrowski. Các kế quả tổng quát và liên quan đã được trình bày trong chương 2 và 3. Một ước lượng khác cho trung bình tích phân được cho bởi quy tắc trapezoid (hay quy tắc hình thang) như sau Định lý 1.5 (Cerone và Dragomir [7]). Giả sử f : [a, b] → R là hàm liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b) với |f 0 (t)| 6 M < ∞ với mọi t ∈ (a, b). Khi đó, với bất kỳ x ∈ [a, b], ta có   2    a + b b   Z  1 x − 2    (x − a)f (a) + (b − x)f (b) 1   − f (t)dt 6    4 +  b − a   M (b − a), b − a b − a   a (1.6) 1 với mọi x ∈ [a, b]. Hằng số là đánh giá tốt nhất. 4 Bất đẳng thức (1.6) được coi là bất đẳng thức trapezoid. Các kết quả mở rộng và liên quan được trình bày trong chương 2. Chú ý quan trọng về các giá trị biên trong các bất đẳng thức (1.5) và (1.6) là như nhau. 9 Chương 2 Về bất đẳng thức Ostrowski và Trapezoid 2.1. 2.1.1 Về bất đẳng thức Ostrowski Bất đẳng thức Ostrowski với hàm liên tục tuyệt đối Định lý 2.1. Xét f : [a; b] → R là ánh xạ liên tục tuyệt đối trên (a, b). Khi đó ta có    x − a + b 2     1  2  + (b − a)kf 0 k∞ ;    4 b−a       q+1  1    1 x−a q×  Z b  1 q+1 b−a |f (x) − (2.1) f (t)dt| 6 1  b−a a   1 1    ×(a − b) q kf 0 kp , p > 1, + = 1;   p q    a + b      1 |x− 2 |    + kf 0 k1 . 2 b−a với mọi x ∈ [a, b], trong đó  1  
 Rb 0 s s a | f (t) | dt kf 0 ks := 0    sup | f (t) | nếu s ∈ [0; ∞) nếu s = ∞. t∈(a;b) Chứng minh. Lấy tích phân từng phần, ta có Z x Z 0 (t − a)f (t)dt = (x − a)f (x) − a a x f (t)dt 10 và Z x Z 0 (t − a)f (t)dt = (x − b)f (x) − x f (t)dt. b b Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta thu được đẳng thức Montgomery x Z (b − a)f (x) = Z b f (t)dt + b p(x, t)f 0 (t)dt, (2.2) a trong đó ánh xạ p : [a; b]2 → R, xác định như sau ( t − a nếu t ∈ [a; x] p(x, t) := t − b nếu t ∈ [x; b]. Tiếp theo, ta có Z b  Z b    p(x, t)dt p(x, t)f 0 (t)dt 6 sup | f 0 (t) |  t∈(a;b) a a Z x  Z b 0 = kf k∞ (t − a)dt + (t − b)dt a x   2 2 (x − a) + (b − x) = kf 0 k∞ 2   x − a + b 2  1 2 = kf 0 k∞ + (b − a)2 , 4 b−a như vậy ta chứng minh được khẳng định đầu tiên trong (2.1). 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Hölder dạng tích phân với p > 1, + = 1, ta có đánh p q giá sau: Z b  Z   0  6 p(x, t)f (t)dt   a b 1 | p(x, t) |q dt p kf 0 kp a Z = x (t − a)q dt + a  = Z b 1 (t − b)q dt q kf 0 k p x q+1 (x − a) q+1 + (b − x) q+1 1 q kf 0 k . p Kết hợp với khẳng định (2.1), ta thu được khẳng định thứ hai trong (2.1). 11 Để chứng minh khẳng định thứ ba trong (2.1), ta có Z b  Z b    p(x, t)f 0 (t)dt 6 sup |p(x, t)| |f 0 (t)|dt  a t∈(a;b) a = max{x − a; b − x}kf 0 k1    b − a  a + b  = + x − kf 0 k1 .  2 2 từ đánh giá này và đẳng thức (2.2), ta thu được đánh giá cuối của bất đẳng thức (2.1). Chú ý: Trong chứng minh trên ta đã sử dụng đẳng thức hiển nhiên sau X +Y 1 max{X, Y } = + |X − Y |. 2 2 1 Nhận xét 2.1. (a) Hằng số trong bất đẳng thức đầu là đánh giá tốt nhất, tức 4 là không thể thay thế bẳng số bé hơn. Bấ đẳng thức này. Trong bất đẳng thức (2.1), nếu ta chọn hàm số f (x) = x thì ta thu được     x − a + b 2    2 x − a + b  6 1 + (b − a)   2 4 b−a (2.3) với mọi x ∈ [a, b]. Nếu trong bất đẳng thức (2.3), ta chọn x = a hoặc x = b, thì dấu đẳng thức xảy ra. (b) Trong bài báo của Peachey, McAndrew, và Dragomir xuất bản năm 1999, chứng 1 minh được rằng hằng số trong đánh giá cuối của bất đẳng thức (2.1) là đánh 2 giá tốt nhất. 1 trong đánh giá thứ hai của bất đẳng thức (2.1) không thể thay q+1 c thế bằng hằng số dạng với 0 < c < 1. q+1 Thật vậy, giả sử tồn hằng số c như vậy, thì với f (x) = x ta có     q+1  q+1  1   c x−a b−x q (b − a) x − a + b  6 + (2.4)   2 q+1 b−a b−a (c) Hằng số với mọi x ∈ [a, b]. 1 Nếu trong bất đẳng thức (2.4) ta chọn x = a, thì được 6 2  c q+1  1q từ đó 12 q+1 với mọi q > 1. Cho q → 1+ , ta được c ≥ 1 vậy hằng số 1 là q 2 đáng giá tốt nhất. ta có c ≥ 2.1.2 Bất đẳng thức Ostrowski với hàm có biến phân bị chặn Định lý 2.2. Xét hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b]. Khi đó ta có bất đẳng thức. a+b     Z b b |x − | _   1 1 2 f (x) − (f ) f (t)dt 6 +  b−a a 2 b−a a (2.5) b _ với mọi x ∈ [a, b], trong đó (f ) là biến phân toàn phần của hàm số f trên [a, b]. a 1 Hằng số là đánh giá tốt nhất trong bất đẳng thức (2.5). 2 Chứng minh. Z x Z x (t − a)df (t) = (x − a)f (x) − f (t)dt. a (2.6) a và b Z b Z (t − b)df (t) = (b − x)f (x) − x f (t)dt. (2.7) x Cộng hai vế của phương trình (2.6) và (2.7), ta thu được đẳng thức sau Z b Z b f (t)dt = (b − a)f (x) + p(t, x)df (t), x (2.8) a trong đó ( t − a nếu t ∈ [a; x] p(t, x) := , x ∈ [a; b]. t − b nếu t ∈ (x; b] Ta đã biết, nếu hàm g : [a, b] → R liên tục trên các phân hoạch của [a, b] và hàm v : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b], thì hàm g khả tích Riemann-Stieltjes ứng với v, vì vậy ta có đánh giá sau Z b  b _     g(x)dv(x) 6 sup |g(x)| (v). (2.9)  a t∈[a;b] a 13 Áp dụng bất đẳng thức (2.9) cho hàm p và f , ta có khẳng định sau Z b  b _    p(t, x)df (t) 6 sup |p(t, x)| (f ).  t∈[a;b] a (2.10) a với     a + b 1  sup |p(t, x)| = max {x − a, x − b} = (b − a) + x +  2 2 x∈[a;b] t∈[a;b] ở đây ta đã sử dụng đẳng thức 2. max{A, B} = A + B+ | B − A | . Khi đó, từ bất đẳng thức (2.10) và đẳng thức (2.8) ta thu được bất đẳng thức 1 (2.5). Để chứng minh hằng số , là đánh giá tốt nhất trong bất đẳng thức (2.5), 2 ta giả sử bất đẳng thức này thỏa mãn với hằng số C > 0 nào đó, nghĩa là a+b     Z b b |x − | _   2  f (x) − 1 f (t)dt 6 C + (f )  b−a a b−a a (2.11) với mọi x ∈ [a, b]. Chọn hàm số f : [a, b] → R xác định bởi   0 nếu x ∈ [a; a + b ) ∪ ( a + b ; b], 2 2 f (x) = a+b  1 nếu x = . 2 Khi đó hàm f có biến phân bị chặn trên [a, b], với Rb a b _ f (t)dt = 0 và (f ) = 2. a a+b Thay hàm f và bất đẳng thức (2.11) Và chọn x = , ta thu được 1 6 2C. Hay 2 1 C > ta có điều phải chứng minh. 2 Nhận xét 2.2. Giả sử f là ánh xạ xác định như trên và In := a < x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b là một phân hoạch của [a, b], hi = xi+1 − xi , ξi ∈ [xi ; xi+1 ], i = 0, n − 1, và tổng Riemann được biểu diễn bởi σ(f, ξ, In ) = n−1 X i=0 f (ξi )hi . 14 Ta có Z b f (x)dx = σ(f, ξ, In ) + R(f, ξ, In ), (2.12) a trong đó phần dư R(f, ξ, In ) thỏa mãn bất đẳng thức sau   b  X   _ 1 x + x i i+1 ξi −  | R(f, ξ, In ) |6 ν(h) + (f )   2 2 a (2.13) i=0,n−1 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức (2.5) trên đoạn [xi , xi + 1] và với ξi ∈ [xi , xi + 1], ta thu được   xi+1  Z xi+1     _   1 x + x i i+1     + ξi − (f ). f (t)dt − hi (ξi ) 6   2  2 xi xi Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức này theo i = 0, 1, . . . , n − 1 ta có   xi+1 n−1  X   _ x + x 1 i i+1  hi + ξi − (f ) | R(f, ξ, In ) | 6  2 2 xi i=1   n−1 xi+1   1 xi + xi+1  X _ 6 max hi + ξi − (f )  2 i=0,n−1 2 i=1 xi   b   xi + xi+1  _ 1 (f ), = ν(h) + max ξi −  2 2 i=0,n−1 a trong đó ν(h) = max{hi : i = 0, 1, . . . , n − 1}. 2.2. Về bất đẳng thức trapezoid 2.2.1 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm có biến phân bị chặn Định lý 2.3. Xét hàm f : [a, b] → R có biến phân bị chặn. Khi đó ta có bất đẳng thức  Z b b  b−a_  f (a) + f (b)  (b − a) 6 (f ) (2.14) f (x)dx −  2 2 a a với b _ (f ) là biến phân toàn phần của hàm f trên đoạn [a, b]. Hằng số a giá tốt nhất trong bất đẳng thức (2.14). 1 là đánh 2 15 Chứng minh. Áp dụng quy tắc lấy tích phân từng phần, ta có  Z b Z b a+b f (a) + f (b) x− df (x) = (b − a) − f (x)dx 2 2 a a (n) (n) (n) (n) Giả sử ∆n : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b với ν(∆n ) := (2.15) X (n) xi+1 − i=0,n−1 (n)
xi (n) ξi (n) (n) [xi , xi+1 ]. và ∈ Nếu p : [a, b] → R là ánh xạ liên tục trên [a, b] và v : [a, b] → R có biến phân bị chặn trên [a, b], thì ta có Z b    n−1 X     (n) (n) (n)   =  lim  p(x)dv(x) p(ξ )[v(x − v(x ] (2.16) i i+1 i     ν(∆n )→0 a 6 lim ν(∆n )→0 i=0 n−1 X (n) (n) (n) (n) i=0 6 max |p(x)| sup x∈[a;b] = max |p(x)| x∈[a;b] (n) |p(ξi )||v(xi+1 − v(xi | n−1 X ∆n i=0 b _ |v(xi+1 − v(xi | (ν). a Áp dụng bất đẳng thức (2.16), ta thu được   b  Z b  _ a + b a+b  (f ) df (x) ≤ max x − x− 2 2  a x∈[a;b] a (2.17) b a−b_ (f ), = 2 a và thông qua đẳng thức (2.15), ta có bất đẳng thức (2.14). Để chứng minh hằng số 1/2 là xấp xỉ tốt nhất trong bất đẳng thức (2.14), ta giả sử bất đẳng thức này thỏa mãn với hằng số C > 0 nào đó, nghĩa là, Z b  b _   f (a) + f (b)  (b − a) 6 C(b − a) (f ). (2.18) f (x)dx −  2 a a Xét ánh xạ f : [a, b] → R xác định bởi ( 1 nếu x ∈ {a; b}; f (x) = 0 nếu x ∈ (a; b). 16 b _ Rb Khi đó f có biến phân bị chặn, với (f ) = 2 và a f (x)dx = 0, ta thu được a Z b f (x)dx − a và f (a) + f (b) (b − a) = −(b − a); 2 b _ (b − a) (f ) = 2(b − a). a 1 Từ bất đẳng thức (2.18) ta có (b − a) 6 2c(b − a), từ đây suy ra C ≥ do đó hằng 2 1 số là đánh giá tốt nhất trong bất đẳng thức (2.14). 2 Nhận xét 2.3. Nếu In : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b là phân hoạch của [a, b] và hàm f xác định như trên thì ta có Z b f (x)dx = AT (f, In ) + RT (f, In ) (2.19) a trong đó AT (f, In ) công thức trapezoid. Tức là n 1X AT (f, In ) := [f (xi ) + f (xi+1 )]hi , hi := xi+1 − xi , 2 i=1 và phần dư thỏa mãn AT (f, In ) thõa mãn ước lượng sau b ν(h) _ |AT (f, In )| 6 (f ), 2 a với ν(h) = max {hi }. Hằng số i=0,n−1 2.2.2 (2.20) 1 là đánh giá tốt nhất. 2 Bất đẳng thức trapezoid đối với hàm đơn điệu Định lý 2.4. Xét hàm số f : [a, b] → R đơn điệu không tăng trên đoạn [a, b]. Khi đó ta có bất đẳng thức Z b    f (a) + f (b)   f (x)dx − (b − a) (2.21)   2 a   Z b a+b 1 6 (b − a)(f (b) − f (a)) − sgn x − f (x)dx 2 2 a (b − a)(f (b) − f (a)) 6 . 2 17 Hằng số 1 là đánh giá tốt nhất trong hai bất đẳng thức trên. 2 Chứng minh. Lấy tích phân từng phần ta thu được  Z b Z b a+b f (a) + f (b) (b − a) − f (x)dx. x− df (x) = 2 2 a a (n) (n) (n) (2.22) (n) Giả sử ∆n : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b là dãy các điểm chia của (n) (n)
đoạn [a, b] với ν(∆n ) → 0 khi n → ∞, trong đó ν(∆n ) := max xi+1 − xi và i=0,n−1 (n) ξi (n) (n) [xi , xi+1 ]. ∈ Nếu hàm p : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và hàm v đơn điệu không giảm trên [a, b], thì ta có Z b   n−1 X  


 (n) (n) (n)   p(x)dv(x) =  lim p ξi v xi+1 − xi   ν(∆n )→0 a ≤ lim ν(∆n )→0 =≤ lim i=0 n−1 X  (n)


 p ξ v x(n) − x(n)  i i+1 i i=0 n−1 X ν(∆n )→0 Z (2.23)  (n)



p ξ  v x(n) − x(n) i i+1 i i=0 n |p(x)|dv(x). = a Áp dụng đánh giá (2.23), ta có:  Z b  Z b      a + b a + b 6 x − df (x)  df (x) x −     2 2 a a   Z b  Z a+b  2 a+b a+b − x df (x) + x− df (x) = a+b 2 2 a 2    a+b a+b Z 2 2 a+b = − x f (x) + f (x)dx 2 a a   b Z b a+b + x− f (x) + f (x)dx a+b 2 a+b 2 2   Z b 1 a+b = (b − a)(f (b) − f (a)) − sgn x − f (x)dx 2 2 a ta thu được bất đẳng thức đầu tiên trong (2.21). Vì hàm f đơn điệu không tăng