Tài liệu Về bất đẳng thức bất định heisenberg cho toán tử tích phân fourier không unitar

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CÙ THỊ THU MINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG CHO TOÁN TỬ TÍCH PHÂN FOURIER KHÔNG UNITAR LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CÙ THỊ THU MINH VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG CHO TOÁN TỬ TÍCH PHÂN FOURIER KHÔNG UNITAR Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2017 2 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Biến đổi tích phân Fourier 1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Biến đổi Fourier như là chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Những tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . . 5 5 7 14 2 Bất đẳng thức bất định Heisenberg 2.1 Hàm Hermite . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nguyên lí bất định của biến đổi Fourier 2.2.1 Nguyên lý bất định Heisenberg 2.2.2 Ứng dụng trong cơ học lượng tử 2.2.3 Ứng dụng trong vật lý . . . . . 2.3 Nguyên lý bất định Heisenberg. . . . . . 22 22 30 30 31 33 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 42 3 Mở đầu "Sự ngẫu nhiên và mờ ảo cai trị thế giới các nguyên tử. Tôi không thể miêu tả sự chuyển động của một electron trong một nguyên tử như tôi đã miêu tả đường đạo của một trái banh mà người ta ném lên không, hay cuộc hành trình của chiếc tàu rẽ nước đại dương. Tôi không nắm được sự chuyển động của electron vì không thể đo ở mỗi thời điểm cùng một lúc vị trí và vận tốc của nó như tôi có thể làm việc này cho trái banh hay con tàu. Sự không chính xác, hay bất định, không thể trừ khử được cho dù dụng cụ đo đạc có cầu kỳ thế nào đi chăng nữa. Nó gắn liền với hành động đo. Thí dụ lúc đo vị trí một electron, tôi phải chiếu sáng nó, khi làm vậy, tôi gởi tới đó những hạt ánh sáng sẽ gây nhiễu loạn vận tốc của electron đó. Nếu ∆x là sự bất định của phép đo vị trí x và ∆v là sự bất định của phép đo vận tốc v, thì tích h số của chúng sẽ luôn luôn lớn hơn một số rất nhỏ, bằng 2π trong đó h −27 là hằng số Planck, h ∼ 6, 63.10 erg giây): ∆x.∆v ≥ h . 2π Vậy nếu chúng ta làm giảm sự bất định về vị trí (∆x gần zero) thì sự bất định sẽ trở nên vô cùng lớn để bù trừ, làm thế nào để cho tích h . Tôi không thể làm giảm cùng một lúc ∆x và ∆x.∆v luôn lớn hơn 2π ∆v." (Trích- nguồn: Internet) Nhà vật lý học Đức Werner Heisenberg đã diễn tả sự bất định trong thế giới nguyên tử chỉ bằng một bất đẳng thức. Nguyên lí bất định là một nguyên lí quan trọng trong cơ học lượng tử. Trong toán học, nguyên lí bất định được thể hiện rất đa dạng, phong phú. Trong khuôn khổ nghiên cứu em muốn trình bày trong bài luận văn của mình một số hiểu biết về Bất đẳng thức bất định Heisenberg cho toán tử tích phân Fourier không unitar. 4 Luận văn gồm hai chương và được sắp xếp như sau. Chương 1 nhắc lại định nghĩa biến đổi Fourier và biến đổi tích phân Fourier ngược cùng một số ví dụ. Sau đó là những tính chất cơ bản của biến đổi Fourier như tính tuyến tính, tính trễ, tính liên hợp phức . . . và một số định lý, bổ đề quan trọng có sử dụng trong Chương 2. Trong chương 2, luận văn trình bày về nguyên lý bất định Heisenberg , những biến dạng và biến thể của của nguyên lý. Luận văn nhấn mạnh đến nguyên lý bất định cho biến đổi tích phân Fourier không unitar. Đầu tiên, ta đề cập đến dịch chuyển của hàm Hermite . Hàm Hermite đóng vai trò rất quan trọng trong những nghiên cứu các dao động điều hòa trong cơ học lượng tử, nó là hàm riêng của phép biến đổi T2,1 . Do T2,1 không phải là toán tử unitar nên đẳng thức Parseval không còn đúng cho toán tử này, thay thế vào đó là đẳng thức dạng Parseval. Tiếp theo, ta đề cập đến nguyên lý bất định bằng một định lý. Với những đại lượng được đề cập trong định lý ta tìm hiểu ý nghĩa vật lý và cơ học lượng tử. Cuối cùng là nguyên lý bất định dạng Heisenberg cho toán tử tích phân Fourier T2,1 . Do T2,1 không phải là toán tử unitar nên việc chứng minh nguyên lý sẽ phức tạp hơn nhiều so với phép chứng minh tương tự cho toán tử unitar. Vì thế, luận văn nêu lại đẳng thức Parseval, đẳng thức dạng Parseval , nó đóng vai trò quan trọng trong quá trình chứng minh nguyên lý. Một số bổ đề và định lý cũng được đưa ra bổ sung cho các bước chứng minh. Cách tiếp cận để chứng minh cho nguyên lý này là sử dụng chuỗi Fourier của hàm số thực. Để hoàn thành luận văn, tác giả nhận được sự giúp đỡ của thầy cô, bạn bè, đặc biệt là sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của PGS. TS Nguyễn Minh Tuấn, cùng các thầy cô trong Seminar bộ môn Toán của trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS Nguyễn Minh Tuấn và các thầy cô giáo trong khoa Toán- Cơ- Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội đã hướng dẫn em hoàn thành khóa học Cao học 2015-2017. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! 5 Chương 1 Biến đổi tích phân Fourier 1.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.1 ([13]). Biến đổi Fourier và biến đổi tích phân Fourier ngược được định nghĩa bởi các công thức dưới đây: Z 1 f (y)e−ixy dy (1.1) (Ff ) (x) := d d 2 (2π) R Z
1 −1 f (y)eixy dy (1.2) F f (x) := d (2π) 2 Rd Hàm số f được gọi là hàm gốc, Ff được gọi là hàm ảnh. Trong mục này ta sẽ chứng minh rằng với một
giả thiết cho
trước , hoặc nếu F xác định trong không gian hàm L1 Rd hoặc L2 Rd , hai biến đổi Fourier F, F−1 thực sự tạo thành một cặp xuôi-ngược. Nghĩa là nếu gọi cái này là biến đổi khởi đầu thì cái kia sẽ là biến đổi ngược (Ta chấp nhận cụm từ biến đổi ngược dành cho F−1 ). Với mỗi x = (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ Rd , kí hiệu −x = (−x1 , −x2 , . . . , −xd ), và ^ f (x) = f (−x) cho những hàm xác định trên Rd . ^ Dễ dàng thấy rằng, f ∈ L1 (Rd ) khi và chỉ khi f ∈ L1 (Rd ). Hơn nữa,  ^ 
Ff (x) = F−1 f (x),   ^ −1 (F f ) (x) = F f (x). (1.3) (1.4) 6 Đôi khi ta dùng kí hiệu (Ff )( x) := fb(x). Trong những trường hợp phức hợp, ta dùng kí hiệu sau (f g)∧ (x) := (Ff g)(x), Nghĩa là , (f g)∧ (x) là biến đổi Fourier của hàm số tích f g. Ví dụ 1.1. Với mỗi số dương a, xét hàm số 2 f (y) = e−a|y| xác định trên Rd , trong đó |y| := q y12 + y22 + · · · + yd2 . Đây là một trường hợp đặc biệt của hàm Gauss. Ta dễ nhận thấy f ∈ L1 (Rd ). Hơn nữa, |x|2 1 (Ff ) (x) = √ e− 4a 2a 1 Bằng cách chọn a = , x = 0 ta được đẳng thức quen thuộc 2 Z+∞ √ 2 e−x dx = π −∞ Khi đó chúng ta thấy Ff ∈ L1 (Rd ). Trong trường hợp này f ∈ L1 (Rd ) và fb ∈ L1 (Rd ) Khi a > 0 ta thấy f ∈ Lp (Rd ) và fb ∈ Lp (Rd ) với mọi p ≥ 1. Ví dụ 1.2. Xét hàm số h(y) = ( e−y , 0, nếu y ≥ 0 nếu y < 0 xác định trên R, ta có (Fh) (x) = √ 1 . 2π(1 + ix) 7 Hơn nữa,   1  1  1 1 √ √ . |(Fh) (x)| = √  . = 2π 1 + ix  2π 1 + x2 Từ đó suy ra Fh ∈ / L1 (R). Trong trường hợp này mặc dù h ∈ L1 (R) nhưng Fh ∈ / L1 (R). Ví dụ 1.3. Cho hai số bất kì a, b ∈ R thỏa mãn a < b. Xét hàm số ( 1, nếu a ≤ y ≤ b (f0 )(y) = 0, nếu y ∈ (−∞, a) ∪ (b, +∞). Như vậy hàm f0 xác định trên R. tại điểm x=0 ta có Z Z b 1 1 b−a (Ff0 ) (0) = √ e−ixy f0 (y)dy = √ dy = √ . 2π R 2π a 2π Tại những điểm x 6= 0 ta có Z Z b 1 1 e−iax − e−ibx √ (Ff0 ) (0) = √ e−ixy f0 (y)dy = √ e−ixy dy = . 2π R 2π a 2πix Vậy,  −iax e − e−ibx    √ , x 6= 0 2πix (Ff0 )(x) = b−a    √ , nếu x = 0. 2π Chú ý: Hàm ảnh của f0 là Ff0 liên tục tại mọi điểm. Tuy nhiên F f0 ∈ / L1 (R). 1.2 Biến đổi Fourier như là chuỗi Fourier trên khoảng vô hạn Trong phần này ta ngầm hiểu các hàm đang xét thỏa mãn tất cả các giả thiết để lập luận đúng. Trọng tâm của phần trình bày là ý tưởng, vì thế ta xét trường hợp một chiều. Giả sử hàm f xác định trên R. Ta nói rằng hàm f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng [−T, T ] nếu 8 • f khả tích tuyệt đối trên khoảng [−T, T ]. • f có số lượng hữu hạn các điểm gián đoạn loại một và không có điểm gián đoạn loại hai trong khoảng [−T, T ]. • f có số lượng hữu hạn các điểm cựu đại và cực tiểu thuộc khoảng [−T, T ]. Theo định lý Fourier, nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng [−T, T ] thì f có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi Fourier phức +∞ X f (x) = n=−∞ cn exp(i nπ x), T (1.5) ở đây 1 cn = 2T Z +T f (t) exp(−i −T nπ t)dt. T (1.6) Đặc biệt nếu f ∈ C 1 ([−T, T ]) thì chuỗi Fourier xác định bởi vế phải của (1.5) hội tụ tuyệt đối và đều đến f. Có thể nói rằng, điều kiện Dirichlet ở trên là đủ để chuỗi Fourier hội tụ. Thực ra, điều kiện đủ để chuỗi Fourier hội tụ đã là mối quan tâm của nhiều nhà toán học lớn trong thời gian dài. Năm 1922, Andrey Kolmogorov đã cho một ví dụ về hàm khả tích Lebesgue nhưng chuỗi Fourier của nó lại phân kỳ hầu khắp nơi. Sau đó, ông lại cho một ví dụ về hàm khả tích có chuỗi Fourier phân kỳ tại mọi điểm . Đến nay, có rất nhiều kết quả đề cập đến tính hội tụ của chuỗi Fourier, từ một điều kiện đủ là f khả vi tại x dến một kết quả hết sức tinh tế của Lennart Carleson rằng nếu f ∈ L2 ([0, T ]) thì chuỗi của nó hội tụ hầu khắp nơi; cụ thể, hai định lý dưới đây là các phiên bản khác nhau được chứng minh bởi Carleson cho đối tượng thuộc L2 vào năm 1966, và được Hunt mở rộng cho các đối tượng thuộc Lp (p > 1) vào năn 1968. Định lý 1.1 ([13], Định lý Carleson-Hunt). Giả sử f là hàm số xác định trên đoạn hữu hạn [0, T ] và Lp - khả tích với p > 1. Ký hiệu fb(n) là hệ số Fourier của f. Khi đó X lim fb(n)einx = f (x) N →∞ |n|6N với x ∈ [0, T ] hầu khắp nơi. 9 Định lý 1.2 ([13], Định lý Carleson-Hunt). Giả sử f ∈ Lp (R) với p > 1 và f có biến đổi Fourier fb(ξ). Khi đó Z 1 lim √ fb(ξ)eixξ dξ = f (x) R→∞ 2π |ξ|6R với x ∈ R hầu khắp nơi. Nhận xét 1. Trong công thức (1.5), f được biểu diễn bởi một tổng nπ và biên độ phức cn . Biểu diễn này hiển các dao động với tần số T 2T nhiên là tuần hoàn với chu kỳ trong khoảng [−T, T ] này. Tuy thế, n vế phải của (1.5) không biểu thị hàm f tại những điểm ngoài khoảng [−T, T ], trừ khi f vốn đã tuần hoàn với chu kỳ 2T . Trong trường hợp tổng quát (khi mà f có thể không thỏa mãn điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ), ta viết f (x) ∼ +∞ X nπ cn e(i T x) . (1.7) n=−∞ Ta nói rằng (1.7) là một biểu diễn (hình thức) của hàm f xác định trên đoạn hữu hạn [−T, T ]. Ta sẽ thấy ngay dưới đây những vấn đề trên khoảng hữu hạn dẫn đến lý thuyết chuỗi Fourier, và những vấn đề trên khoảng vô hạn (−∞, +∞) dẫn đến tích phân Fourier. Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên ở đây là: với những hàm xác định trên R thì sao? Nói cách khác, tìm một biểu diễn nào đó của hàm xác định trên R (không nhất thiết tuần hoàn). Rõ ràng, một biểu diễn với tổng tương tự như (1.5) có lẽ không phù hợp nữa vì trong tổng đó đại lượng nπ e(i T x) chỉ có nghĩa khi T là hữu hạn. Ý tưởng chính ở đây là, cho T → ∞ và ta sẽ tìm một biểu diễn tương ứng cho các hàm số xác định trên khoảng vô hạn R ( không nhất thiết tuần hoàn). Tạm thời ta ký hiệu Z +T b f (T, ω) = f (x)e−iωx dx, ω ∈ R. (1.8) −T 10 Nhờ đó, hệ số cn trong (1.5) được viết dưới dạng cn = 1 b nπ f (T, ). 2T T Công thức (1.5) trở thành +∞ 1 X b f (T, ωn ) exp(iωn x) f (x) = 2T n=−∞ +∞ 1 X b π = f (T, ωn ) exp(iωn x) , 2π n=−∞ T (1.9) trong đó nπ . T Vế phải của (1.9) là tổng Darboux của tích phân với khoảng chia trục thực là π ∆ωn = ωn+1 − ωn = . T Bây giờ ta cho T → ∞ trong (1.9) và định nghĩa Z fb(ω) = lim fb(T, ω) = f (x)e−iωx dx, ω ∈ R. (1.10) ωn = T →∞ R (Ở đây chúng ta chưa xét tính chặt chẽ của các phép toán lấy giới hạn và tích phân). Bây giờ, trong (1.5) ta cho T → ∞ và thay fb(T, ωn ) bởi fb(ωn ) ta được  Z Z 1 −iωt f (x) ∼ f (t)e dt eiωx dω. (1.11) 2π R R Dường như ta đã có điều mong muốn. Thực vậy, cặp các công thức (1.10) và (1.11) là minh chứng cho một phiên bản mới (tương tự chuỗi Fourier) cho hàm xác định trên R (không nhất thiết phải tuần hoàn). Chúng ta hiểu điều này như sau: • Với điều kiện thích hợp áp đặt lên hàm f xác định trên R, biểu thức (1.10) xác định một hàm số mới là fb gọi là biến đổi Fourier của f ; (tương ứng với hàm xác định trên khoảng hữu hạn: biểu thức (1.6)) cho ta xác định một dãy vô hạn {cn } gọi là các hệ số Fourier). 11 • Tiếp theo, chúng ta khảo sát hàm fb xác định bởi (1.10) đó và thấy rằng: với một số điều kiện áp đặt lên hàm f thì nó lại được xác định (khôi phục) thông qua vế phải của (1.11) (theo một nghĩa nhất định, chẳng hạn theo L1 - hoặc L2 - chuẩn); tương ứng với hàm xác định trên khoảng hữu hạn, hàm f có thể biểu thị thông qua các hệ số {cn } như công thức (1.5). Như vậy, biến đổi Fourier cho hàm xác định trên khoảng vô hạn thực sự là một phiên bản khác của chuỗi Fourier. Nhận xét 2. Ta cũng lập luận rằng biến đổi Fourier là một phiên bản của chuỗi Fourier từ góc độ của lý thuyết truyền sóng liên tục. Cụ thể, trong số những hàm xác định trên toàn trục số thì những hàm tuần hoàn với chu kỳ hữu hạn mới có thể ( với các điều kiện bổ sung) biểu diễn bằng một tổng hữu hạn của những hàm cosine và sine. Biến đổi Fourier là một giải pháp cho cho vấn đề về khả năng biểu diễn những hàm không tuần hoàn, nói một cách toán học là chu kỳ được kéo dài đến vô hạn. Về mặt ứng dụng, có thể khôi phục biên độ của sóng trong khai triển chuỗi Fourier bằng tích phân nhờ các tính chất của cosine và sine. Trong nhiều trường hợp, người ta dùng công thức Euler eiθ = cos θ + i sin θ để biểu thị chuỗi Fourier dưới dạng các sóng cơ bản eθ . Trong trường hợp này, chu kỳ của sóng là 2π. Do cách biểu thị dưới dạng phức, các hệ số trong chuỗi Fourier có thể là những số phức. Biểu thị dạng phức của chuỗi Fourier này cũng cho ta cả hai đại lượng là biên độ của sóng và pha (góc ban đầu) của sóng. Nói nôm na, tần số là số đo số lượng đường tròn trong một giây. Hơn nữa, mũ phức chứa cả tần số âm: nếu θ biểu thị thời gian có đơn vị giây, thì sóng eiθ và e−iθ đều có đồ thị là đường tròn đơn vị, nhưng chiều biến thiên của hai đồ thị này ngược nhau khi θ biến thiên trong khoảng [0, 2π]. Vậy là, eiθ và e−iθ biểu thị hai tần số khác nhau. Do vậy, biến đổi Fourier của chúng cũng biểu thị các tần số khác nhau. Bằng phép đồng dạng ta có thể xét hàm sóng với chu kỳ bất kỳ khác. Bởi vậy, ta ấn định chu kỳ bằng 1 bằng cách xét hàm số e±imθ , thay vì hàm số e±iθ . Do vậy, nhân Fourier e±imθ biểu thị dao động chu kỳ T = 2π m . Lúc này, để thuận tiện trong các tính toán hệ số ta xét biến đổi Fourier được xác định bởi công thức sau Z (Ff )(x) = e−2πixy f (y)dy. (1.12) Rd 12 Để minh họa cho mối liên hệ giữa chuỗi Fourier và biến đổi Fourier, ta xét trường hợp hàm f có giá compact. Chúng ta có thể xác định được tất cả các hệ số Fourier của hững hàm có giá compact, nghĩa là xác định được chuỗi  Fourier.  Cụ thể, giả T T sử T là số thực dương đủ lớn sao cho khoảng − 2 , 2 vẫn chứa giá (support) của f . Khi đó, hệ số Fourier được tính bởi công thức Z T /2 cn = f (x)e−2πi(n/T )x dx. (1.13) −T /2 So sánh cn với định nghĩa biến đổi Fourier vừa nêu ta suy ra cn = fb(n/T )   do f bằng không ở ngoài khoảng − T2 , T2 . Như vậy, hệ số Fourier của hàm số tại những điểm chia với khoảng mức là 1/T . Khi T tăng dần và tiến tới vô cùng, các hệ số Fourier đều có biểu thị gần với biến đổi Fourier của hàm f . Với điều kiện thích hợp của hàm f , tổng Fourier bằng giá trị hàm: +∞ +∞ X 1 X b 2πi(n/T )x f (x) = f (n/T )e = fb(ξn )e2πiξn x ∆ξ, T n=−∞ n=−∞ ở đây ta ký hiệu ξn = n/T, ∆ξ = (n + 1)/T − nT = 1/T. Ta thấy +∞ X fb(ξn )e2πiξn x ∆ξ n=−∞ lại là tổng Riemann (Darboux) trong định nghĩa tích phân. Cho T → ∞, tổng này hội tụ tới giá trị tích phân của biến đổi Fourier ngược. Với một vài điều kiện thích hợp của f , lập luận trên là chính xác. Theo công thức (1.13), hệ số cn có thể được hiểu như là số lượng các sóng biểu thị trong chuỗi Fourier của f . Tương tự như thế , biến đổi Fourier của f được hiểu như là một hàm số đo từng tần số riêng biệt trong hàm sóng, và ta có thể tổ hợp lại những sóng này bằng lấy tích phân để khôi phục hàm sóng ban đầu. Định lý 1.3 ([13]). Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong mọi khoảng hữu hạn và khả tích tuyệt đối trên R thì tích phân Fourier (1.11) hội tụ đến hàm 1 [f (x + 0) + f (x − 0)] 2 13 tại mọi điểm x ∈ R. Nói cách khác,  Z Z 1 1 −iωt [f (x + 0) + f (x − 0)] = f (t)e dt eiωx dω, 2 2π R R (1.14) với mọi x ∈ R. Từ nay về sau, ta gọi vế phải của (1.14) là tích phân Fourier. Nếu f liên tục tại điểm x thì f (x + 0) + f (x − 0) = f (x). Khi đó công thức (1.14) trở thành  Z Z 1 −iωt f (x) = f (t)e dt eiωx dω. 2π R R Như vậy, ta nhận được công thức (1.11) trong đó dấu ∼ được thay bởi =. Nhấn mạnh rằng công thức ngược (1.14) đúng tại từng điểm thuộc trục số. Chúng ta sẽ trở lại chủ đề về công thức ngược khi trình bày định lý ngược của biến đổi Fourier khi hàm f chỉ khả tích Lebesgue trên Rd ( định lý (1.5)). Định lý tích phân Fourier này được phát biểu đầu tiên trong một chuyên đề nổi tiếng của Fourier có tiêu đề "La Thèorie Analytique de la Chaleur " (1882), và ý nghĩa lớn lao của nó được phát hiện bởi các nhà toán học và vật lý. Thực vậy, định lý này là một trong những kết quả lớn nhất của giải tích toán học hiện đại và có những ứng dụng rộng lớn trong vật lý và kỹ thuật. Ta xét một vài phiên bản khác của tích phân Fourier. Trong lý thuyết chuỗi Fourier thực ta biết rằng nếu hàm f thỏa mãn điều kiện Dini tại mọi điểm thuộc khoảng [−T, T ] thì chuỗi Fourier của nó hội tụ, nghĩa là ∞ a0 X nπ nπ 1 [f (x + 0) + f (x − 0)] = + x + bn sin x), (1.15) (an cos 2 2 T T n=1 trong đó Z 1 T nπ an = cos tf (t)xdt, T −T T Z 1 T nπ bn = sin tf (t)xdt, n = 1,2,... T −T T Thực hiện các phép tính tương tự như chuỗi Fourier phức như trên ta thu được ba biểu diễn (1.16), (1.17), (1.18) dưới đây: Z +∞ f (x) ∼ [A(t) cos xt + B(t) sin xt]dt, (1.16) 0 14 trong đó R R +∞ +∞ A(t) = π1 −∞ cos(tu)f (u)du ,B(t) = π1 −∞ sin(tu)f (u)du; Z Z +∞ 1 +∞ f (x) ∼ du cos u(v − x)f (v)dv; π 0 −∞ Z Z +∞ 1 +∞ du f (x) ∼ sin u(v − x)f (v)dv; π 0 −∞ (1.17) (1.18) Các công thức (1.16), (1.17), (1.18) là những phiên bản khác nhau của tích phân Fourier. Hơn nữa, nếu hàm f là chẵn hoặc lẻ thì ta còn có các công thức sau: Z Z +∞ 2 +∞ cos xudu cos uvdv; (1.19) f (x) ∼ π 0 0 Z Z +∞ 2 +∞ f (x) ∼ sin xudu sin uvdv. (1.20) π 0 0 Các công thức (1.19), (1.20) được gọi là công thức tích phân Fouriercosine và Fourier-sine. Có điều thú vị là hai công thức tích phân (1.19), (1.20) được khám phá một cách độc lập bởi Cauchy khi ông nghiên cứu sự lan truyền của sóng nước. Ta tóm tắt lại mục này như sau: • Đối với những hàm xác định trên khoảng hữu hạn hoặc hàm xác định trên khoảng vô hạn và tuần hoàn, ta có thể nghiên cứu chúng bởi công cụ chuỗi Fourier. • Chuỗi Fourier không hội tụ trên khoảng vô hạn, trừ khi hàm đó tuần hoàn và thỏa mãn các điều kiện đủ bổ sung. Đối với những hàm xác định trên khoảng vô hạn và không tuần hoàn, ta có thể nghiên cứu chúng bằng công cụ của tích phân Fourier. 1.3 Những tính chất cơ bản của biến đổi Fourier Tính chất 1.1 (Tính tuyến tính). Nếu f, g ∈ L1 (Rd ) thì F (αf + βg) = αFf + β Fg với mọi α, β ∈ C. Nói cách khác biến đổi Fourier là toán tử tuyến tính xác định trên không gian Banach L1 (Rd ). 15 Tính chất 1.2 (Tính dịch chuyển, trễ). Đặt g(y) := e−ihy f (y). Khi đó (Ff ) (x + h) = (Fg) (x). Thật vậy, ta có Z e−ihx+h,yi f (y)dy ZRd h i −ihx,yi −ihh,yi = e e f (y) dy = (Fg) (x). (Ff ) (x + h) = Rd Cho α = (α1 , α2 , ..., αd ) là một d-bó thỏa mãn αj 6= 0 với mọi j=1,2,...,d. Khi đó ta có thể kí hiệu α−1 := ( 1 1 1 , , ..., ). α1 α2 αd Với mỗi x ∈ Rd ta viết α  x := (α1 x1 , α2 x2 , ..., αd xd ) . Khi đó ta dễ chứng minh các tính chất (1.3),(1.4),(1.5) sau : Tính chất 1.3 (Tính đồng dạng). (Ff (α  y)) (x) = 1 (Ff ) (α−1 x). α1 α2 . . . αd Tính chất 1.4 (Tính liên hợp phức). F(f )(x) = Ff (−x). Trong đó f kí hiệu là liên hợp phức của f. Tính chất 1.5 (Tính dịch chuyển trong hạt nhân). Đẳng thức sau đúng với a ∈ Rd bất kỳ cố định: (F(f (y + a)))(x) = eixa (Ff )(x). Tính chất 1.6. Giả sử α ∈ Rd là véc tơ d chiều bất kỳ. Khi đó i) F [f (t − α)] (x) = e−iαx fb(x); 16   ii) F eiαt f (t) (x) = fb(x − α); iii) F −1 h iv) F −1 h i b f (x − α) (t) = eiαx f (t); iαx e i b f (x) (t) = f (t − α); v) F [cos(x0 t)f (t)] (x) = 1 2 h i b b f (x − x0 ) + f (x + x0 ) ; vi) F [sin(x0 t)f (t)] (x) = 1 2i h i b b f (x − x0 ) − f (x + x0 ) . Tính chất 1.7. Nếu f1 , f2 ∈ L1 (Rd ) thì: Z Z (Ff2 ) (y)f1 (y)dy. (Ff1 ) (y)f2 (y)dy = Rd Rd Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh biểu thức ở vế trái tồn tại và có giá trị hữu hạn. Cụ thể, ta có Z Z Z Z  −ixy  e f1 (x)f2 (y)dxdy = |f1 (x)| |f2 (y)| dxdy d d d Rd R R R  Z  Z = |f1 (x)|dx |f2 (y)|dy = kf1 k1 kf2 k1 < ∞. Rd Rd Suy ra Z Rd (Ff1 ) (y)f2 (y)dy = Z Rd Z e−iyx f1 (x)f2 (y)dxdy < ∞. Rd Tương tự ta có thể chứng minh biểu thức vế phải tồn tại và có giá trị hữu hạn. Thật vậy: Z (Ff2 ) (y)f1 (y)dy < ∞. Rd Áp dụng định lý Fubini ta suy ra đẳng thức trên, vì các vế trái và phải của đẳng thức đó đều bằng Z Z e−iyx f1 (x)f2 (y)dxdy. Rd Rd 17 Tính chất 1.8. Nếu dãy hàm {fn }n≥1n∈ Lo1 (Rd ) hội tụ (theo L1 −chuẩn) đến hàm f , thì dãy hàm ảnh Fourier fbn hội tụ đều (hội tụ điểm) n≥1 đến hàm ảnh của nó, nghĩa là nếu kfn − f k1 → 0 thì fbn (x) → fb(x). Hội tụ trên theo điểm là đều. Khẳng định tính hội tụ đều của dãy này được suy trực tiếp từ đánh giá sau: với mọi x ∈ Rd . thì Z    −ixy  1 b  e . |fn (y) − fm (y)| dy fn (x) − fc m (x) ≤ d d 2 (2π) R = kfn − fm k1 → 0 khi n, m → ∞. Tính chất 1.9 (Bổ đề Lebesgue-Riemann). Nếu f khả tích tuyệt đối trên Rd thì biến đổi Fourier fb là hàm liên tục, giới nội và triệt tiêu tại vô cùng. Chứng minh. Tính giới nội của ảnh được suy trực tiếp từ bất đẳng thức: Z Z  −ixy  1 1 e |f (y)|dy = kf k1 . f (y)dy = k(Ff ) (x)k ≤ d d d d 2 2 R R (2π) (2π) Ta sẽ chứng minh tính liên tục của hàm ảnh và lim (Ff ) (x) = 0. |x|→∞ Đầu tiên ta chứng minh cho hàm bậc thang. Cho hai cặp số thực bất kì (a1 , a2 , ..., ad ) và (b1 , b2 , ..., bd ) thỏa mãn aj < bj với mọi j = 1, 2, ..., d. Kí hiệu  Bd = x ∈ Rd : xj ∈ [aj , bj ] , j = 1, 2, ..., d là hình hộp d chiều trong Rd . Xét hàm số  1, nếu y ∈ Bd f (y) = 0, nếu y ∈ / Bd . 18 Sử dụng kết quả của Ví dụ 4 ta tính được Z 1 (Ff ) (x) = e−ixy f (y)dy d d (2π) 2 R Z d  −iaj xj −ibj xj  Y e − e 1 1 . e−ixy dy = = d d d xj (2π) 2 R id (2π) 2 j=1 Hàm số này liên tục trên Rd và triệt tiêu tại vô cùng. Theo tính chất (1.1), biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính. Từ đây ta suy ra ảnh Fourier của mọi hàm bậc thang cũng là hàm liên tục và triệt tiêu tại vô cùng. Cho bất kỳ hàm f ∈ L1 (Rd ). Ta biết tập hợp tất cả các hàm bậc thang trù mật trong L1 (Rd ) (theo L1 − chuẩn). Vì vậy tồn tại dãy các hàm bậc thang {fn } sao cho fn → f theo L1 − chuẩn . Theo tính chất (1.8), dãy các hàm ảnh fbn hội tụ đều tới hàm fb. Do đó hàm giới hạn fb liên tục và triệt tiêu tại vô cùng. Ta có thể chứng minh bổ đề này một cách ngắn gọn hơn. Thực vậy, ta giả thiết hàm f trơn, có giá compact trên R. Tích phân từng phần ta được Z  Z  Z     1 1 −ixy 0 −ixy  f (x)e dy  =  f (y)e dy  ≤ |f 0 (y)| dy → 0  ix |x| khi x → ∞. Nếu f khả tích tuyệt đối bất kỳ thì nó có thể xấp xỉ ( theo L1 − chuẩn ) bởi hàm trơn có giá compact g sao cho kf − gk1 < ε với bất kỳ ε > 0 cho trước. Do đó Z        lim sup fb(x) ≤ lim sup  (f (y) − g(y)) e−ixy dy  x→±∞ z→±∞ Z    + lim sup  g(y)e−ixy dy  ≤ ε + 0 = ε. z→±∞ Ta suy ra điều phải chứng minh. Cần phải nhấn mạnh bổ đề Riemann-Lebesgue sẽ không còn đúng nếu hàm gốc f chỉ khả tích mà không khả tích tuyệt đối. Thực vậy, 19 công thức r  π , nếu |x| < a (Ff )(x) = 2  0, nếu |x| > a. Các định lý tiếp theo dành cho hàm một biến, nhiều biến; thể hiện rõ hơn về hàm ảnh của biến đổi Fourier. Để hiểu rõ về hàm ảnh của biến đổi Fourier ta xét định lý dưới đây. Định lý 1.4 ([13]). Nếu f ∈ L1 (Rd ) thì Ff là hàm liên tục đều trên Rd Chứng minh. Trước hết ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức |sin x| 6 |x| với mọi x ∈ R. Giả sử f ∈ L1 (Rd ). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có |hu, yi| 6 |u| |y| . Bằng tính toán tích phân ta được |(Ff )(x + u) − (Ff )(x)| 6 = = = ≤ ≤ 1 Z d 2 Z d (2π) 2 Rd    −ihx+u,yi −ihx,yi  −e e  . |f (y)| dy    −ihu,yi  − 1 |f (y)| dy e (2π) 2 Rd  Z   hu, yi  2  . |f (y)| dy sin d  2  (2π) 2 Rd   Z  hu, yi  2 sin  . |f (y)| dy d   2 2 (2π) |y|>R   Z  hu, yi  2 sin  . |f (y)| dy + d  2  (2π) 2 |y|≤R   Z  hu, yi  2 sin  . |f (y)| dy d   2 2 (2π) |y|>R Z 1 + |hu, yi| . |f (y)| dy d (2π) 2 |y|≤R   Z  hu, yi  1 sin  . |f (y)| dy d   2 2 (2π) |y|>R