Tài liệu Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TOÁN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TOÁN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Một số ký hiệu và chữ viết tắt ii Lời nói đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.4. Một bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định 13 2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 3 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ 24 3.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ii Một số ký hiệu và chữ viết tắt R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn AT ma trận chuyển vị của ma trận A A = (A)ij phần tử Aij của ma trận A diag{l1 , . . . , ln } ma trận đường chéo chính I ma trận đơn vị A≥0 A là một ma trận không âm A≥B A−B ≥0 A>0 A là một ma trận dương α α t0 It , It toán tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α C α α t0 Dt , Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α kết thúc chứng minh của định lí hoặc bổ đề 1 Lời nói đầu Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [5]. Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [2, 6, 17]. Năm 2008, trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [2] lần đầu tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [2, 17]. Do đó hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây (xem [17, 18, 25] và các tài liệu tham khảo trong đó). Trong các ứng dụng thực tế, ta luôn cần phải xem xét dáng điệu của véc tơ trạng thái của hệ thống mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ trong một thời gian hữu hạn, khi đó các giá trị lớn của véc tơ trạng thái là không thể chấp nhận. M.P. Lazarević cùng các cộng sự [10, 11] là những tác giả đầu tiên nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả bởi các hệ phương trình vi phân phân thứ. Khác với bài toán ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái của hệ phương trình vi phân phân thứ trên một khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái trong một khoảng thời gian hữu hạn. Cụ thể hơn một hệ phương trình vi phân phân thứ được gọi là 2 FTS nếu khi ta đưa ra một giới hạn cho điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái của hệ không vượt ra khỏi ngưỡng đã giới hạn trong suốt khoảng thời gian đã cho. Bài toán nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho một số lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây [4, 7, 21, 22, 23, 24]. Mặt khác, trong các bài toán kỹ thuật, ngoài việc tìm cách thiết kế một bộ điều khiển làm cho hệ thống không những ổn định hữu hạn thời gian mà còn đảm bảo một mức độ đầy đủ về hiệu suất (guarantees an adequate level of performance). Bài toán này được gọi là bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ động lực. Nội dung cơ bản của bài toán này là ngoài việc thiết kế một bộ điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển là ổn định hữu hạn thời gian, ta còn phải dựa trên điều khiển đó tìm một cận trên của hàm mục tiêu (hàm chi phí) tương ứng. Đối với hệ phương trình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với bậc nguyên đã có một vài công trình nghiên cứu về bài toán này (xem [9]). Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ được nghiên cứu trong [18]. Luận văn tập trung nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho một số lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ. Luận văn gồm có 3 chương gồm những nội dung chính như sau: Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [8, 13, 14]. Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [18]. Trong chương 3 của luận văn, chúng tôi nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ. Đây chính là đóng góp mới của luận văn. Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em đã 3 nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ. Với tình cảm chân thành em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS. Mai Viết Thuận - người Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, những người đã trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K11 khóa 2017 - 2019, các phòng ban chức năng, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong thời gian học tập vừa qua. Thái Nguyên, ngày 01 tháng 3 năm 2019 Tác giả luận văn NGUYỄN VĂN HIẾN 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích phân thứ như tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ RiemannLiouville, mối liên hệ giữa hai loại đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ. Các kiến thức được trình bày trong chương này được chúng tôi tham khảo trong [1, 13, 16]. 1.1. 1.1.1. Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi: Z t 1 α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0. 0 Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0 chúng ta quy ước α t 0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lí sau: 5 Định lí 1.1. Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, α t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có: α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , t > a. Γ(α + β + 1) (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có: α t0 It x(t) =λ −α +∞ X j=0 1.1.2. (λt)α+j , t > 0. Γ(α + j + 1) Đạo hàm phân thứ Định nghĩa 1.2. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi: Z  dn t dn  n−α 1 (t − s)n−α−1 x(s)ds, := n t0 It x(t) = n dt Γ(n − α) dt t0 trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và RL α t0 Dt x(t) dn dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function):    1 nếu t ≥ 0; f (t) =   0 nếu t < 0. Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là: RL α 0 Dt f (t) = t−α . Γ(1 − α) Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau: 6 Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)). a Do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] (D = d )}. dt Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t 1 α (t − s)n−1 ϕ(s)ds. t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có: f (k) (t0 ) (k = 0, 1, . . . , n − 1). k! Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ ϕ(s) = f (n) (s), ck = Riemann–Liouville. Định lí 1.2. Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau: RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 1 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Z t t0 f (n) (s)ds . (t − s)α−n+1 Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2. Hệ quả 1.1. Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì Z t 0 1 f (t0 ) f (s)ds RL α [ + ]. t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) 7 Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là: RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có: RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z 1 dn t = (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)]ds Γ(n − α) dtn t0 Z Z dn t µ dn t λ n−α−1 (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds = n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Đối với một hàm vectơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t))T đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α t0 Dt x(t) α C α C α T := (C t0 Dt x1 (t),t0 Dt x2 (t), . . . ,t0 Dt xd (t)) . Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm phân thứ Caputo cấp α. Định lí 1.3. Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm α phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có: α (i) Nếu α 6∈ N thì C t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t f (n) (s)ds 1 C α . t0 Dt f (t) = Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 8 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 1 f (s)ds C α . t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N thì C t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt: C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là: C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Định lí 1.4. Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có: C α α t0 Dt (t0 It f (t)) = f (t). Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây: Định lí 1.5. Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì α C α t0 It (t0 Dt f (t)) = f (t) − n−1 (k) X f (t0 ) k=0 k! (t − t0 )k . Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It (t0 Dt f (t)) = f (t) − f (t0 ). Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau: Định lí 1.6. Cho α > 0 và đặt n = [α] + 1. Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: C α t0 Dt x(t) =RL t0 Dtα (x(t) − n−1 X (t − t0 )j j=0 với hầu hết t ∈ [a, b]. j! x(j) (t0 )), 9 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị vectơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau: kxk∞ := max kx(t)k, t∈[0,T ] trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn . Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo C α 0 Dt x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rn , (1.2) trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn . Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và (1.2). Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân. Mệnh đề 1.4. Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn [0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân: Z t 1 ϕ(t, x0 ) = x0 + (t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ]. Γ(α) 0 (1.3) Nhận xét 1.1. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại 10 tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lí sau: Định lí 1.7. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], kx − x0 k ≤ K}. Giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk, ∀(t, x), (t, y) ∈ G. Đặt M = sup kf (t, x)k và (t,x)∈G    T nếu M = 0; ∗ T =   min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại. Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2). Định lí 1.8. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk, ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞). 1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. 11 Định nghĩa 1.4. Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi Eα (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + 1) được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có: E1 (z) = +∞ X k=0 +∞ X zk zk = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5. Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi Eα,β (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + β) được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là: +∞ X Ak , ∀A ∈ Rn×n . Eα,β (A) = Γ(αk + β) k=0 Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của I. Podlubny [16]. Trong phần còn lại của mục này, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất    C Dα x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0; 0 t (1.4)   x(0) = x0 ∈ Rn , trong đó x(t) ∈ Rn , g(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là ma trận thực hằng số cho trước. Ta dễ dàng thu được công thức tường minh của nghiệm bài toán (1.4) như sau: Z t ϕ(t, x0 ) = Φ0 (t)x0 + Φ(t − τ )g(τ ) dτ, 0 trong đó: α Φ0 (t) = Eα (At ) = +∞ X k=0 Φ(t) = +∞ X k=0 k (k+1)α−1 A t . Γ([k + 1]α) Ak tαk , Γ(kα + 1) 12 Để kết thúc mục này, chúng tôi trình bày kết quả về công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến    C α 0 Dt x(t) = Ax(t) + f (x(t)), t ≥ 0; (1.5)   x(0) = x0 ∈ Rn , trong đó x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n là một ma trận thực hằng số cho trước, f : Rn −→ Rn là một hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn f (0) = 0. Định lí 1.9. Xét bài toán (1.5). Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz toàn cục trên Rn với hệ số Lipschitz L và f (0) = 0. Khi đó, với mọi x0 ∈ Rn , bài toán giá trị đầu (1.5) có nghiệm toàn cục duy nhất x(., x0 ). Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn công thức biến thiên hằng số: Z t α x(t, x0 ) = Eα (t A)x0 + (t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)f (x(τ, x0 )) dτ, ∀t ≥ 0. 0 1.4. Một bổ đề bổ trợ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một bổ đề quan trọng được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. [8] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm vectơ liên tục và có đạo hàm. Khi đó, ta có bất đẳng thức sau đúng  T  C α T C α 0 Dt x (t)P x(t) ≤ 2x (t)P 0 Dt x(t), ∀t ≥ 0. Bổ đề 1.2. ([3]) Cho trước các hằng số X, Y, Z với số chiều hữu hạn thỏa mãn Y = Y T > 0, X = X T , khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 nếu và chỉ nếu " # T X Z < 0. Z −Y Bổ đề 1.2 thường được gọi là Bổ đề Schur. Bổ đề 1.3. (Bất đẳng thức Cauchy cho ma trận) [26] Cho S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x, y ∈ Rn . Khi đó ta có bất đẳng thức sau ±2y T x ≤ xT Sx + y T S −1 y. 13 Chương 2 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định. Chương này được viết dựa trên bài báo [18] trong danh mục tài liệu tham khảo. Để thuận tiện cho việc trình bày các nội dung của chương này, đạo hàm phân thứ Caputo của hàm f (.) được ký hiệu bởi Dtα f (t), tích phân phân thứ Riemann–Liouville của hàm g(.) được ký hiệu bởi Itα g(t). 2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn Xét mạng nơ ron phân thứ Caputo    Dtα x(t) = −[A + 4A(t)]x(t) + [D + 4D(t)]f (x(t))    +[W + 4W (t)]w(t) + [B + 4B(t)]u(t),      x(0) = x0 ∈ Rn , t ≥ 0, (2.1) trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của mạng nơ ron, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển đầu vào, w(t) ∈ Rp là véc tơ nhiễu, A = diag{a1 , a2 , . . . , an } ∈ Rn×n là ma trận đường chéo chính, xác định dương; D, W, B là các ma trận hằng số đã biết với số chiều thích hợp; 4A(t) = Ga Fa (t)Ha , 4D(t) = Gd Fd (t)Hd , 14 4W (t) = Gw Fw (t)Hw , 4B(t) = Gb Fb (t)Hb , trong đó Ga , Gd , Gw , Gb , Ha , Hd , Hw , Hb là các ma trận thực, hằng số, đã biết với số chiều thích hợp; Các ma trận Fa (t), Fd (t), Fw (t), Fb (t) là các ma trận thực không biết nhưng thỏa mãn FaT (t)Fa (t) ≤ I, FdT (t)Fd (t) ≤ I, FwT (t)Fw (t) ≤ I, FbT (t)Fb (t) ≤ I, ∀t ≥ 0; f (x(t)) = [f1 (x1 (t)), . . . , fn (xn (t))]T ∈ Rn là các hàm kích hoạt của các nơ ron; x0 là điều kiện ban đầu. Để nghiên cứu tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ (2.1), ta cần các giả thiết sau: H1. Các hàm kích hoạt fi (.) (i=1,. . . ,n) liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz li > 0, fi (0) = 0 (i = 1, . . . , n), tức là kfi (ξ1 ) − fi (ξ2 )k ≤ li kξ1 − ξ2 k, với mọi ξ1 , ξ2 ∈ R. Điều kiện trên tương đương với tồn tại một ma trận đường chéo chính, xác định dương L = diag{l1 , . . . , ln } thỏa mãn kf (y) − f (x)k ≤ kL(y − x)k, với mọi x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rm . H2. Nhiễu w(t) ∈ Rp thỏa mãn điều kiện: ∃d > 0 : wT (t)w(t) ≤ d, ∀t ∈ [0, Tf ]. (2.2) Cho trước một số dương Tf . Hàm chi phí bậc hai liên kết với mạng nơ ron phân thứ (2.1) có dạng 1 J(u) = Γ(α) ZTf (Tf − s)α−1 (xT (s)Q1 x(s) + uT (s)Q2 u(s))ds, (2.3) 0 trong đó Q1 ∈ Rn×n , Q2 ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng xác định dương cho trước. Khi véc tơ điều khiển u(t) ≡ 0, hệ (2.1) trở thành    Dtα x(t) = −[A + 4A(t)]x(t) + [D + 4D(t)]f (x(t))    +[W + 4W (t)]w(t), t ≥ 0,      x(0) = x0 ∈ Rn , (2.4) 15 Định nghĩa 2.1. ([10]) Cho trước các số dương c1 , c2 , Tf và một ma trận đối xứng xác định dương R. Hệ (2.4) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , Tf , R, d) nếu và chỉ nếu xT0 Rx0 ≤ c1 ⇒ xT (t)Rx(t) ≤ c2 , t ∈ [0, Tf ], với mọi nhiễu w(t) ∈ Rp thỏa mãn (2.2). Định nghĩa 2.2. ([18]) Nếu tồn tại một điều khiển ngược u∗ (t) = Kx(t) và một số dương J ∗ sao cho hệ phương trình vi phân phân thứ dưới đây    Dtα x(t) = [−A + BK − 4A(t) + 4B(t)K]x(t)       +[D + 4D(t)]f (x(t))   +[W + 4W (t)]w(t), t ≥ 0,       x(0) = x ∈ Rn , 0 (2.5) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , Tf , R, d) và hàm chi phí (2.3) thỏa mãn J(u) ≤ J ∗ thì giá trị J ∗ gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ, u∗ (t) gọi là luật điều khiển đảm bảo chi phí điều khiển. Định lí 2.1. [18] Giả sử các điều kiện H1 và H2 thỏa mãn. Cho trước các số dương c1 , c2 , Tf và ma trận đối xứng xác định dương R. Nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương P và ma trận Y , các số dương 1 , 2 thỏa mãn điều kiện sau   M11 P HaT Y T HbT P LT P Q1 Y T Q2 D    ∗  − I 0 0 0 0 0 1      ∗  ∗ − I 0 0 0 0 2      ∗ ∗ ∗ −I 0 0 0  < 0,    ∗  ∗ ∗ ∗ −Q 0 0   1    ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ −Q 0 2   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ M77 λ2 c 1 + d(1 + λ3 ) α T < λ1 c2 , Γ(α + 1) f trong đó M11 = −AP − P AT + BY + Y T B T + 1 Ga GTa (2.6a) (2.6b) 16 + 2 Gb GTb + Gd GTd + W W T + Gw GTw , M77 = −I + HdT Hd , 1 1 P = R− 2 P −1 R− 2 , λ1 = λmin (P ), λ2 = λmax (P ), λ3 = λmax (HwT Hw ), L = diag{l1 , . . . , ln }. Khi đó, hệ (2.5) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1 , c2 , Tf , R, d). Hơn nữa, u(t) = Y P −1 x(t), ∀t ≥ 0, là luật điểu khiển đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) với giá trị đảm bảo chi phí điều khiển là J∗ = d(1 + λ3 ) α T + λ2 c 1 . Γ(α + 1) f Chứng minh. Xét hàm toàn phương không âm cho mạng nơ ron (2.5) V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t). Từ Bổ đề 1.1, ta tính được đạo hàm Caputo của V (x(t)) theo t của hệ (2.5) như sau Dtα V (x(t)) ≤ 2xT (t)P −1 Dtα x(t)   T −1 T −1 −1 T T −1 = x (t) − P A − A P + P BK + K B P x(t) − 2xT (t)P −1 Ga Fa (t)Ha x(t) + 2xT (t)P −1 Df (x(t)) T + 2x (t)P −1 T Gd Fd (t)Hd f (x(t)) + 2x (t)P + 2xT (t)P −1 Gw Fw (t)Hw ω(t) + 2xT (t)P −1 Gb Fb (t)Hb Kx(t). −1 W ω(t) (2.7)