Tài liệu Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- ĐỖ THỊ PHƯƠNG VỀ BÀI TOÁN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN CHO MỘT LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ CÓ TRỄ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Mai Viết Thuận TS. Nguyễn Hữu Sáu THÁI NGUYÊN - 2020 1 Mục lục Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ . . . 11 1.3. Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ 19 2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Một tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ . . . . . . . . . . . 21 2.3. Một ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 LỜI NÓI ĐẦU Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [6, 7]. Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [7, 18]. Năm 2008, trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [3] lần đầu tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 18]. Do đó hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây. Từ quan điểm của kỹ thuật, người ta mong muốn thiết kế các hệ thống điều khiển không chỉ ổn định tiệm cận mà còn có thể đảm bảo mức hiệu suất hệ thống phù hợp. Năm 1972, hai nhà khoa học Chang và Peng [5] đưa ra và nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ động lực được mô tả bởi hệ phương trình vi phân thường. Sau đó bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Đối với hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên, đã có một số kết quả thú vị và sâu sắc được công bố trong những năm gần đây (xem [10, 11, 12] và các tài liệu tham khảo trong đó). Năm 2019, Thuận và Hướng [20] nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một 3 lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ. Luận văn tập trung trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ dựa trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp bài báo đã được công bố trong những năm gần đây (xem [20]). Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung chính như sau: Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ. Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [8, 14, 15, 17, 21]. Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ. Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết. Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân thành cảm ơn. 4 5 Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều AT ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa là A − B ≥ 0 A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Rn Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn AC m [a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α α t0 Dt , Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe p λmax (A> A) số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α   l1 0 0    L = diag{l1 , l2 , l3 } L =  0 l2 0    0 0 l3 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ, định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ, bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [8, 14, 15, 17, 21]. 1.1. 1.1.1. Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t 1 α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0. 0 Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước α t0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau 7 Định lý 1.1. ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, α t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. ([15]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a. (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2. (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > 0. Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2. ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi RL α t0 Dt x(t)  dn  1 dn := n t0 Itn−α x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, nếu t ≥ 0 f (t) =   0, nếu t < 0. Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RL α 0 Dt f (t) = t−α . Γ(1 − α) 8 Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau. Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:   d }. D= dt AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. ([15]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t 1 α (t − s)n−1 ϕ(s)ds. t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, . . . , n − 1). ck = k! Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2. ([15]) Cho α ≥ 0, n = dαe. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) 1 (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds . (t − s)α−n+1 9 Hệ quả 1.1. ([15]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì   Z t 0 1 f (t ) f (s)ds 0 RL α + . t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t 1 (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = Γ(n − α) dtn t0 Z Z dn t dn t λ µ n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn dxn là đạo hàm thông thường cấp n. T Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α t0 Dt x(t) :=
T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t) . Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α. 10 Định lý 1.3. ([15]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo α hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α 6∈ N thì C t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t f (n) (s)ds 1 C α D f (t) = . t0 t Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 f (s)ds 1 C α . t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N thì C t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt, C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2. Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo. Mệnh đề 1.4. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì C α t0 Dt ξ = 0. Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Định lý 1.4. ([15]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t). 11 Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây Định lý 1.5. ([15]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − n−1 (k) X f (t0 ) k=0 k! (t − t0 )k . Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − f (t0 ). Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville. Định lý 1.6. [15] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: C α t0 Dt x(t) = RL α t0 Dt x(t) − n−1 X (t − t0 )j j=0 j! ! x(j) (t0 ) , với hầu hết t ∈ [a, b]. Định lý dưới đây có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính thụ động cho một số mạng nơ ron phân thứ. Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α > 0, β > 0. Giả sử rằng f (t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây   β β α+β α α f (t), ∀t ≥ t0 ≥ 0. t0 It t0 It f (t) = t0 It ( t0 It f (t)) = t0 It 1.2. Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Trong mục này chúng tôi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ. Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. 12 Định nghĩa 1.4. [14] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi Eα (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + 1) được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có E1 (z) = +∞ X k=0 +∞ X zk zk = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5. [14] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi Eα,β (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + β) được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là +∞ X Eα,β (A) = k=0 Ak , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [15]. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ sau đây    C Dα x(t) = f (t, xt ), t ≥ t0 , t0 t (1.1)   x(t) = φ(t), t ∈ [t0 − τ, t0 ], trong đó α ∈ (0, 1) xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ), −τ ≤ θ ≤ 0, f : [t0 , +∞)×C([t0 −τ, t0 ], Rn ) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0 , +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ) là điều kiện ban đầu. Định nghĩa 1.6. ([13]) Hệ (1.1) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn b kx(t)k ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] , ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 . 13 Nhận xét 1.2. ([13]) Nếu hệ (1.1) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim kx(t)k = 0. t−→+∞ Tiếp theo, chúng tôi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ. Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, S. Liu cùng các cộng sự [13] đã đưa ra một phiên bản mới của Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ. Theo như sự hiểu biết của chúng tôi, đây là một trong những phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn định và một số tính chất liên quan của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ. Định lý 1.8. [13] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ (1.1). Giả sử tồn tại ba hằng số dương a1 , a2 , a3 và một hàm khả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn (i) a1 kxk2 ≤ V (x) ≤ a2 kxk2 , và đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (.) thỏa mãn α 2 (ii) C t0 Dt V (x(t)) ≤ −a3 kxk khi mà V (x(t + s)) ≤ γV (x(t)), s ∈ [−τ, 0], với γ > 1 nào đó. Khi đó hệ ổn định tiệm cận. 1.3. Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên Như đã phân tích trong phần mở đầu. Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho các hệ động lực được nghiên cứu đầu tiên bởi hai nhà toán học S.S.L. Chang và T.K.C. Peng vào năm 1972 (xem [5]). Trong bài toán này, ngoài việc thiết kế một bộ điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển không những ổn định mà còn đảm bảo rằng một hàm chi phí toàn phương liên hệ với hệ động lực đó có giá trị hữu hạn và giá trị đó càng nhỏ càng tốt. Xét hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm    ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0,   x(0) = x0 ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , (1.2) 14 với hàm chi phí toàn phương (hay còn gọi là hàm mục tiêu dạng toàn phương) Z +∞ (1.3) J(u) = [xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)]dt, 0 trong đó Q ∈ R n×n ,R ∈ R m×m là các ma trận đối xứng, xác định dương cho trước. Điều khiển u(t) ∈ U Ω , Ω ⊆ Rn . Trong đó U Ω = {u(t) ∈ L2 ([0, ∞), Rn ), u(t) ∈ Ω hầu khắp trên [0, ∞)}. Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ điều khiển tuyến tính (1.2) hay còn gọi là bài toán tối ưu toàn phương là tìm điều khiển chấp nhận được u(.) ∈ U Ω sao cho với điều khiển này giá trị của hàm chi phí toàn phương đạt giá trị nhỏ nhất, tức là J(u) → min. Bằng cách dùng nguyên lý cực đại Pontriagin, trong [19, 22] đã đưa ra một lời giải cho bài toán này. Khác với bài toán điều khiển tối ưu, bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.2) là tìm một điều khiển u(t) chấp nhận được nào đó sao cho với điều khiển này hệ (1.2) là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.3) là không vượt quá một giá trị hữu hạn J ∗ nào đó. Như vậy, ta có thể phát biểu định nghĩa bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ (1.2) về mặt toán học như sau: Định nghĩa 1.7. Xét hệ điều khiển tuyến tính (1.2) và hàm chi phí toàn phương (1.3), nếu tồn tại một luật điều khiển ngược u∗ (t) = Kx(t), K ∈ Rm×n và một số dương J ∗ sao cho hệ đóng    ẋ(t) = [A + BK]x(t), (1.4)   x(0) = x0 là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.3) thỏa mãn J ≤ J ∗ , thì J ∗ được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.2) và u∗ (t) được gọi là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.2). Bằng cách chọn hàm Lyapunov–Krasovskii V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t), với P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương, ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau: Định lý 1.9. Cho Q ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xác định dương. Xét hệ điều khiển tuyến tính ôtônôm (1.2) với hàm chi phí toàn phương 15 tương ứng (1.3). Giả sử tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n , một ma trận Y có số chiều thích hợp sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn:   T T T T (AP + P A + BY + Y B ) P Q Y R    ∗ −Q 0  < 0.   ∗ ∗ −R Khi đó u(t) = Y P −1 x(t) là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ tuyến tính ôtônôm (1.2) và giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ là J ∗ = xT0 P −1 x0 . Như vậy, thông qua các định nghĩa trên ta thấy về cơ bản bài toán đảm bảo chi phí điều khiển khác với bài toán điều khiển tối ưu. Ngoài ra, nếu ma trận A và ma trận B bị "nhiễu" thành A + D1 ∆(t)E1 và B + D1 ∆(t)E1 , trong đó D1 , E1 là các ma trận cho trước có số chiều thích hợp, ∆(t) là ma trận không biết trước nhưng thỏa mãn điều kiện ∆T (t)∆(t) ≤ I, thì bài toán điều khiển tối ưu cho bài toán trên rất khó giải nhưng bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho bài toán đó đã được hai nhà toán học I.R. Petersen và D.C. McFarlane giải quyết không mấy khó khăn (xem [17]). Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kết quả về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân có trễ với bậc nguyên. Xét hệ điều khiển tuyến tính không chắc chắn có trễ    ẋ(t) = [A + ∆A]x(t) + [A1 + ∆A1 ]x(t − d) + [B + ∆B]u(t),   x(t) = φ(t), (1.5) t ∈ [−d, 0], với x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véctơ điều khiển. Các ma trận A, A1 , B là các ma trận thực hằng cho trước có số chiều thích hợp. Còn ∆A, ∆A1 , ∆B là các ma trận không biết trước nhưng thỏa mãn điều kiện [∆A ∆B ∆A1 ] = DF (t)[E1 E2 Ed ], trong đó D, E1 , E2 , Ed là các ma trận thực hằng cho trước có số chiều thích hợp và ma trận F (t) là không biết trước nhưng thỏa mãn điều kiện F T (t)F (t) ≤ I, φ(t) là hàm điều kiện ban đầu 16 của hệ. Liên kết với hệ (1.5), ta xét hàm chi phí toàn phương sau Z +∞ J(u) = [xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)]dt, trong đó Q ∈ Rn×n , R ∈ R 0 m×m (1.6) là các ma trận đối xứng, xác định dương cho trước. Điều khiển u(t) ∈ U Ω , Ω ⊆ Rn . Định nghĩa 1.8. Xét hệ điều khiển tuyến tính không chắc chắn có trễ (1.5) và hàm chi phí toàn phương (1.6), nếu tồn tại một luật điều khiển ngược u∗ (t) = Kx(t), K ∈ Rm×n và một số dương J ∗ sao cho với độ trễ d, hệ đóng    ẋ(t) = [A + ∆A + BK + ∆BK]x(t) + [A1 + ∆A1 ]x(t − d), (1.7)   x(t) = φ(t), t ∈ [−d, 0], là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.6) thỏa mãn J ≤ J ∗ , thì J ∗ được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.5) và u∗ (t) được gọi là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.5). Trong [21], các tác giả L. Yu và J. Chu đã đưa ra một điều kiện đủ cho sự tồn tại một điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.5) như sau. Định lý 1.10. ([21]) Cho Q ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xác định dương. Xét hệ điều khiển tuyến tính không chắc chắn có trễ (1.5) với hàm chi phí toàn phương tương ứng (1.6). Giả sử tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương X, V ∈ Rn×n , một ma trận W ∈ Rm×n và một số dương  sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn:   Ξ A1 V (E1 X + E2 W )T X WT X    ∗ −V  T V E 0 0 0   d   ∗ ∗ −I 0 0 0      < 0. −1 ∗  ∗ ∗ −Q 0 0     −1 ∗  ∗ ∗ ∗ −R 0   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −V Khi đó u∗ (t) = W X −1 x(t) là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (1.5) và giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ là J ∗ = R0 φT (0)X −1 φ(0) + −d φT (τ )V −1 φ(τ )dτ. 17 Bây giờ, ta đưa ra định nghĩa tổng quát về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ điều khiển có trễ với bậc nguyên. Xét hệ điều khiển có trễ    ẋ(t) = f (t, xt , u(t)),   x(t) = φ(t), t ≥ 0, (1.8) t ∈ [−h, 0], trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển; h ≥ 0 là hằng số trễ, φ ∈ C := C([−h, 0], Rn ) là hàm điều kiện ban đầu và f : R+ × C × Rm → Rn là hàm véctơ cho trước thỏa mãn điều kiện, f (t, 0, 0) = 0, t ≥ 0. Liên kết với hệ điều khiển có trễ (1.8), ta xét hàm chi phí toàn phương sau. +∞ Z [xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t)]dt, J(u) = (1.9) 0 trong đó Q ∈ Rn×n , R ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng, xác định dương cho trước. Điều khiển u(t) ∈ U Ω , Ω ⊆ Rn . Ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.9. Xét hệ điều khiển có trễ (1.8) và hàm chi phí toàn phương (1.9), nếu tồn tại một luật điều khiển ngược u∗ (t) = g(x(t)), g : Rn → Rm và một số dương J ∗ sao cho hệ đóng    ẋ(t) = f (t, xt , g(x(t))),   x(t) = φ(t), t ≥ 0, (1.10) t ∈ [−h, 0], là ổn định tiệm cận và giá trị của hàm chi phí toàn phương (1.9) thỏa mãn J ≤ J ∗ , thì J ∗ được gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ điều khiển có trễ (1.8) và u∗ (t) được gọi là luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ điều khiển có trễ (1.8). Vì đạo hàm phân thứ và tích phân thứ có nhiều tính chất khác biệt so với đạo hàm và tích phân cổ điển nên việc nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân phân thứ có nhiều thách thức. Năm 2019, Thuan và Huong [20] nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ có trễ biến thiên bằng cách sử 18 dụng kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính, định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ và một số tính chất của giải tích phân thứ. Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi sẽ trình bày lại một cách có hệ thống kết quả này. 1.4. Một số bổ đề bổ trợ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau: ±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y. Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 nếu và chỉ nếu   T X Z   < 0. Z −Y Bổ đề sau đây có vai trò quan trọng trong việc ước lượng hàm Lyapunov. Bổ đề 1.3. ([8]) Cho x(t) ∈ Rn là một véc tơ hàm khả vi liên tục và P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có ước lượng sau đây:
1C α T α D x (t)P x(t) ≤ xT (t)P C t0 Dt x(t), ∀t ≥ t0 ≥ 0. 2 t0 t 19 Chương 2 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ Chương này trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ có trễ. Nội dung được trình bày trong chương này dựa một phần trên bài báo của M.V. Thuan và D.C. Huong công bố trên tạp chí Optimal Control Applications and Methods năm 2019. 2.1. Phát biểu bài toán Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ Caputo có trễ sau đây    Dtα x(t) = − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D (t)] f (x(t))    + [W + ∆W (t)] g(x(t − τ )) + [B + ∆B(t)] u(t),      x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], t ≥ 0, (2.1) T ở đó α ∈ (0, 1), x(t) = [x1 (t) x2 (t), . . . , xn (t)] ∈ Rn là véc tơ trạng thái, T u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, f (x(t)) = [f1 (x1 (t)) f2 (x2 (t)), . . . , fn (xn (t))] ∈ T Rn , g(x(t − τ )) = [g1 (x1 (t − τ )) g2 (x2 (t − τ )), . . . , gn (xn (t − τ ))] ∈ Rn là các hàm kích hoạt của mạng nơ ron, A = diag{a1 , a2 , . . . , an } ∈ Rn×n là một ma trận đường chéo chính xác định dương, D, W ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m là các ma trận thực cho trước; ∆A(t) = Ea Fa (t)Ha , ∆D(t) = Ed Fd (t)Hd , ∆W (t) =