Tài liệu Về bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ DUYÊN VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ DUYÊN VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2014 i LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tôi đã nhận được sự dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên. Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, tới các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Duyên ii Mục lục Mở đầu 1 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân. 3 1.1 1.2 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. . . . . . 3 1.1.1 Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Tập lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Toán tử đơn điệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Bài toán bất đẳng thức biến phân. . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Phát biểu bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán. . . . . . . . . . 10 1.2.3 Một số ví dụ điển hình. . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Một số phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh. 23 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi. . . . . . 31 2.3 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo một hằng số cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo một hằng số không cho trước. . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Các kí hiệu và danh mục các từ viết tắt •A S B : Hợp của hai tập hợp A và B . •A T B :Giao của hai tập hợp A và B . • R: Tập số thực. • [a; b]: Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b. • (a; b): Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b. • ∀: Với mọi. • ∃: Tồn tại • H : Không gian Hilbert. • h, i: Tích vô hướng. • k.k: Chuẩn. • V IP : Bài toán bất đẳng thức biến phân. • SOL − V IP : Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. 1 MỞ ĐẦU Bài toán Bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi Hartman và Stampachia. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và các ứng dụng thực tiễn của nó thì được giới thiệu trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications” của Kinderlehrer D. và Stampachia G., xuất bản năm 1980 và trong cuốn sách “Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems” của Baiocci C. và Capelo A., xuất bản năm 1984. Năm 1979 Michael J. Smith đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông và đến năm 1980 Defermos đã chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài toán này là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Từ đó bài toán bất đẳng thức biến phân được phát triển trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lí thuyết trò chơi và nhiều bài toán khác. Trong bài toán bất đẳng thức biến phân thì lớp bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh có một vị trí hết sức quan trọng. Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu trong bản luận văn được trình bày thành hai chương với tiêu đề: Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân. Chương 2: Một số phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh. Nội dung chính của các chương là: Chương 1: Một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực, giải tích 2 lồi, các khái niệm về toán tử đơn điệu. Sau đó, là phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân, sự tồn tại nghiệm, trong đó đề cập đến các bài toán liên quan, các mô hình thực tế. Chương 2: Trình bày một số phương pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh. Cụ thể là trình bày ba thuật toán: + Thuật toán chiếu với độ dài bước có thể thay đổi trong trục số dương. + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi theo các hằng số cho trước liên quan đến hệ số giả đơn điệu mạnh và hằng số Lipschitz của ánh xạ giá. + Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi nhưng không đòi hỏi biết hệ số giả đơn điệu mạnh và hằng số Lipschitz của ánh xạ giá. 3 Chương 1 Bài toán bất đẳng thức biến phân. Nội dung chính của chương bao gồm: Một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực, giải tích lồi, các khái niệm về toán tử đơn điệu. Tiếp theo là phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân, sự tồn tại nghiệm và một số bài toán ví dụ có liên quan. Các kiến thức trong chương này lấy từ tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1 1.1.1 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Không gian Hilbert. Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích vô hướng xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau: h., .i : H × H → R (x, y) → hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau: i). hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X . ii). hx + y, zi = hx, yi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X. iii). hλx, yi = λhx, yi, ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X . iv).hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ X, hx, xi = 0 ⇔ x = 0. hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vec tơ x và y . 4 Nếu H là không gian tuyến tính định chuẩn với k x k= p hx, xi với mọi x ∈ H , thì H được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita). Nếu không gian tiền Hilbert là đầy đủ thì nó được gọi là không gian Hilbert. Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một không gian Hilbert thực và ta chủ yếu làm việc trên không gian Ơcơlit thực Rn . Ví dụ 1.2. 1) Lấy H = Rn với x = (x1 , x2 , ....., xn ), y = (y1 , y2 , ...., yn ) ∈ H và biểu n P thức hx, yi = xi yi xác định một tích vô hướng trên Rn . i=1 2) Lấy H = C[0,1] là không gian các hàm liên tục trên [0,1] nhận giá trị thực với x, y ∈ H biểu thức hx, yi = Z1 x(t)y(t)dt 0 xác định một tích vô hướng trên C[0,1] . Khi đó không gian này là một không L . gian tiền Hilbert và thường kí hiệu là C[0,1] 3) Cho (Ω, β, µ) là không gian độ đo kí hiệu: Z 2 L (Ω) = f : Ω → C : |f (x)2 |dµ < ∞ Ω với tích vô hướng hf, gi = R f (x)g(x)dµ, L2 (Ω) là một không gian Hilbert Ω H. Định lý 1.3. Cho H là một không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau : |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi. Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz. Định lý 1.4. Cho H là một không gian Hilbert khi đó h, i : H × H → R là một hàm liên tục. 5 Định lý 1.5 (Đẳng thức hình bình hành). Với mọi x,y trong không gian tiền Hilbert H ta có: k x + y k2 + k x − y k2 = 2(k x k2 + k y k2 ). 1.1.2 Tập lồi, hàm lồi Định nghĩa 1.6. Một tập C ⊆ H được gọi là một tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C. Định nghĩa 1.7. Một tập hợp C ⊆ H được gọi là nón nếu: ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi. Như vậy, một tập lồi C là nón lồi khi và chỉ khi nó có tính chất sau: i) λC ⊆ C, ∀λ > 0. ii) C + C ⊆ C . Tập C ⊆ H dưới đây ta luôn giả thiết C là tập lồi (nếu không giải thích gì thêm). Định nghĩa 1.8. Cho C là tập lồi khác rỗng trong H và điểm x ∈ C , nón pháp tuyến của C tại x là một tập được kí hiệu và kí hiệu như sau N (x/C) = {x∗ ∈ H ∗ : hx∗ , x − x∗ i ≤ 0, ∀x ∈ C}. Định nghĩa 1.9. Cho hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó hàm f được gọi là i) lồi trên C nếu: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1]. ii) lồi chặt trên C nếu: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, λ ∈ (0, 1). iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β k x − y k2 . 6 Nhận xét 1.10. Từ định nghĩa 1.9 ta dễ thấy (ii) ⇒ (i), (iii) ⇒ (ii). Định nghĩa 1.11. Hàm f được gọi là lõm trên C nếu -f là hàm lồi trên C. Định nghĩa 1.12. Với f (x) < +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho : f (x) − ε ≤ f (y), ∀y ∈ U. Với f (x) = +∞, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu ∀N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho: f (y) ≤ N, ∀y ∈ U. Định nghĩa 1.13. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên H nếu f nửa liên tục dưới với mọi x ∈ H. Định nghĩa 1.14. Với f (x) < +∞, hàm f gọi là nửa liên tục trên tại x nếu ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho : f (x) + ε ≥ f (y), ∀y ∈ U. Với f (x) = +∞, hàm f gọi là nửa liên tục trên tại x nếu ∀N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho : f (x) ≥ −N, ∀y ∈ U. Định nghĩa 1.15. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H nếu f nửa liên tục trên với mọi x ∈ H . Nhận xét 1.16. Hàm f liên tục tại x ∈ H nếu và chỉ nếu f là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. Định nghĩa 1.17. Cho hàm f xác định trên một lân cận của x ∈ H , hàm f được gọi là khả vi tại x nếu ∀x∗ ∈ H sao cho f (z) − f (x) − hx∗ , z − xi lim = 0. z→x kz−xk Hàm f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ H . 7 Nhận xét 1.18. Điểm x∗ nếu tồn tại xẽ là duy nhất và được gọi là đạo hàm của hàm f tại x, kí hiệu là ∇f (x) hoặc f 0 (x). Định nghĩa 1.19. Giả sử f : C → R là hàm lồi trên C ⊆ H ta định nghĩa dưới vi phân của hàm lồi như sau Véc tơ w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x0 ∈ C nếu: f (x) − f (x0 ) ≥ hw, x − x0 i, ∀x ∈ C. Tập tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x0 ∈ C được gọi là dưới vi phân của f tại x0 ∈ C , kí hiệu là ∂f (x0 ) = {w ∈ H : hw, x − x0 i ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C}. Ví dụ 1.20. Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong H . Xét hàm chỉ của tập C như sau:  0, x∈C δc (x) = +∞, x ∈ 6 C Nếu x0 ∈ C thì ∂δc (x0 ) = {x∗ |hx∗ , x − x0 i ≤ δc (x), ∀x ∈ H}. Nếu x0 6∈ C thì ∂δc (x) = +∞ nên bất đẳng thức hx∗ , x − x0 i ≤ δc (x), ∀x ∈ H luôn đúng. Do đó ∂δc (x0 ) = {x∗ |hx∗ , x − x0 i ≤ 0, ∀x ∈ C} = Nc (x0 ). Vậy dưới vi phân của hàm chỉ C tại một điểm x∗ ∈ C là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 . 1.1.3 Toán tử đơn điệu. Như chúng ta đã biết toán tử F từ không gian X vào không gian Y là đơn trị nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X , xác định duy nhất một phần tử F (x) = y ∈ Y và ta thường kí hiệu là : F : X → Y. 8 Trong luận văn này ta xét đối với các ánh xạ (toán tử) là đơn trị. Đối với ánh xạ F thì ánh xạ ngược: F −1 : Y → X được định nghĩa như sau: F −1 (y) = {x ∈ X : F (x) = y}. Định nghĩa 1.21. Cho toán tử F : H → H ∗ và K ⊆ H . Khi đó toán tử F được gọi là : a) Đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 thì ta có hF (u) − F (v), u − vi ≥ γ k u − v k2 , ∀u, v ∈ K. b) Đơn điệu trên K nếu hF (u) − F (v), u − vi ≥ 0 ∀u, v ∈ K. c) Giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 thì ta có hF (u), v − ui ≥ 0 ⇒ hF (u), v − ui ≥ γ k v − u k2 , ∀u, v ∈ K. d) Giả đơn điệu trên K nếu hF (u), v − ui ≥ 0 ⇒ hF (u), v − ui ≥ 0, ∀u, v ∈ K. Nhận xét 1.22. Ta có (a) ⇒ (b), (a) ⇒ (c), (c) ⇒ (d), (b) ⇒ (d) là hiển nhiên. Định nghĩa 1.23. Toán tử F gọi là liên tục Lipschitz trên K nếu tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: k F (u) − F (v) k≤ L k u − v k, ∀u, v ∈ K. Ví dụ 1.24. Cho toán tử T đơn trị xác định trên R như sau: T (x) = 2x, ∀x ∈ R, 9 với T (x) là đạo hàm cấp 1 của hàm lồi x2 xác định trên R. Khi đó, T là toán tử đơn điệu vì ∀x, y ∈ R ta có : hT (x) − T (y), x − yi = h2x − 2y, x − yi = 2(x − y)2 ≥ 0. Mặt khác, T cũng là toán tử giả đơn điệu mạnh vì ∀x, y ∈ R, γ > 0 ta có: h2x, y − xi ≥ 0 ⇔ h2x, yi + hy, y − xi ≥ 0 ⇔ hy, y − xi ≥ −hy, 2xi ⇒ hy, y − xi ≥ γ k y − x k2 . Tổng quát hơn, nếu T là đạo hàm của một hàm lồi khả vi trên H , thì T sẽ là toán tử đơn điệu. Thật vậy, giả sử T (x) = ∇f (x) với f (x) là một hàm lồi khả vi trên H. Với mọi x, y ∈ H : hT (x) − T (y), x − yi = h∇f (x) − ∇f (y), x − yi = h∇f (x), x − yi + h∇f (y), y − xi ≥ f (x) − f (y) + h∇f (y), y − xi ≥ 0. (do f (x) ≥ f (y) + h∇f (y), x − yi). Vậy T là toán tử đơn điệu. 1.2 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân. Phát biểu bài toán. Định nghĩa 1.25. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H và cho ánh xạ F : K → H . Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân, kí hiệu là VIP(K;F) được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ K : hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ K 10 Tập hợp các nghiệm của V IP (K; F ) được kí hiệu là SOL − V IP (K; F ). Ví dụ 1.26. Trong R, xét tập K = [1; 5] ⊂ R và ánh xạ F : [1; 5] → R được xác định bởi: F (x) = x − 1, x ∈ [1; 5]. Khi đó VIP(K; F) là tìm x∗ ∈ [1; 5] sao cho hx∗ −1, x−x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ [1; 5] (1.2.1) Ta chứng tỏ rằng: SOL-VIP(K; F)={1}. Thật vậy, hiển nhiên x∗ = 1 là một nghiệm. Nếu x∗ ∈ (0; 1) thì (1.2.1) chỉ thỏa mãn với x ≤ x∗ . Ngược lại, nếu x∗ > 1 thì (1.2.1) chỉ thỏa mãn với x ≤ x∗ . Điều đó chứng tỏ x∗ = 1 là nghiệm duy nhất. 1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán. Định nghĩa 1.27. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi , đóng của H và cho ánh xạ F : K → K . Khi đó, x ∈ K được gọi là điểm bất động của ánh xạ F nếu thỏa mãn điều kiện sau: F (x) = x. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu về vấn đề tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cuả bài toán bất đẳng thức biến phân. Một trong những công cụ hữu hiệu để nghiên cứu vấn đề này là định lí điểm bất động của Brouwer. Trước khi phát biểu định lí, chúng ta phát biểu một số kết quả sau. Bổ đề 1.28. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H. Khi đó, với mỗi x ∈ H có duy nhất y ∈ K sao cho : k x−y k= min k x−η k . η∈K (1.2.2) 11 Một điểm y thỏa mãn (1.2.2) được gọi là hình chiếu của x trên K và kí hiệu là : y = P rK x. Dễ thấy P rK x = x, ∀x ∈ K . Định lý 1.29. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H và x là một điểm bất kì thuộc H. Khi đó : y = P rK x khi và chỉ khi:  y ∈ K hy, η − yi ≥ hx, η − yi, η ∈ K. Hệ quả 1.30. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H. Khi đó toán tử P rK : H → K là không giãn, tức là : k P rK (u) − P rK (v) k≤k u − v k, ∀u, v ∈ H. Định lý 1.31 (Định lí về điểm bất động của Brouwer). Cho K là một tập khác rỗng, lồi, compact yếu trong H và ánh xạ P : K → K là liên tục yếu. Khi đó, có ít nhất một điểm x ∈ K : x = P (x). Hay, tồn tại ít nhất một điểm bất động của ánh xạ P. Định lý 1.32. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, compact yếu trong H và ánh xạ F : K → H là ánh xạ liên tục yếu. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ) có ít nhất một nghiệm. Chứng minh. Theo định nghĩa, việc chứng minh định nghĩa tương đương với việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của x thỏa mãn:  x ∈ K; hx, y − xi ≥ hx − F (x), y − xi, ∀y ∈ K. Dễ nhận thấy, ánh xạ hợp : P rK (I − F ) : K → K là ánh xạ liên tục, với I là ánh xạ đồng nhất. Theo định lí 1.31, tồn tại điểm bất động x ∈ K sao cho :
x = P rK (I − F ) (x). 12 Ta sẽ chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ). Thật vậy, do x, F (x) ∈ K nên P rK x = x và P rK F (x) = F (x). Kết hợp với Định lí 1.29 ta có: hx, y − xi ≥ hP rK (I − F )x, y − xi, ∀y ∈ K ⇔ hx, y − xi ≥ hP rK x − P rK F (x), y − xi, ∀y ∈ K ⇔ hx, y − xi ≥ hx − F (x), y − xi, ∀y ∈ K ⇔ hF (x), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K. Điều này chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ), hay V IP (K; F ) có ít nhất một nghiệm. Trong trường hợp tập K không bị chặn, định lí về điểm bất động của Brouwer không áp dụng được. Khi đó, sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân có thể thiết lập theo cách khác. Kí hiệu B(O; R) là hình cầu đóng tâm O, bán kính R > 0 trong không gian H và ta đặt: KR = K ∩ B(O; R). Hiển nhiên, KR lầ tập khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn và nó là tập compact yếu. Theo Định lí 1.31 bài toán V IP (K; F ) luôn có nghiệm. Định lý 1.33. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → H là ánh xạ liên tục. Khi đó, điều kiện cần và đủ để bài toán VIP(K; F) có nghiệm là tồn tại số thực R > 0 và bài toán VIP(K; F) có nghiệm x∗R thỏa mãn k x∗R k< R. Chứng minh. Điều kiện cần Giả sử rằng x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ). theo định nghĩa ta có : hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ K. Lấy R > 0 sao cho k x∗R k< R. Hiển nhiên: hF (x∗ ), x−x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ KR . (1.2.3) 13 Tức là x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ). Điều kiện đủ : Giả sử tồn tại R > 0, x∗R ∈ KR thỏa mãn k x∗R k< R và hF (x∗R ), y − x∗R i ≥ 0, ∀y ∈ KR . Do tính lồi của tập hợp K , với mỗi x ∈ K , ta có thể chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho : y = x∗R + ε(x − x∗R ) ∈ K. Hiển nhiên : k y k≤k x∗R k +ε k (x − x∗R ) k . Mặt khác, do k x∗R k< R, nên ta có thể chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho : k y k≤k x∗R k +ε k (x − x∗R ) k≤ R. Hay y ∈ KR . Theo (1.2.3) ta có : 0 ≤ hF (x∗R ), y −x∗R i = hF (x∗R ), [x∗R +ε(x−x∗R )]−x∗R i = εhF (x∗R ), x−x∗R i. Hay : hF (x∗R ), x − x∗R i ≥ 0 và điều này đúng với mọi x ∈ K . Vậy chứng tỏ x∗R ∈ SOL − V IP (K; F ). Định lí được chứng minh. Trên đây là một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp ánh xạ F là liên tục. Sau đây là một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử F là đơn điệu. Định lý 1.34. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → H là đơn điệu mạnh. Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(K; F). Chứng minh. Chứng minh sự tồn tại nghiệm: 14 Do F là ánh xạ đơn điệu mạnh, điều này suy ra F thỏa mãn điều kiện bức, nghĩa là : hF (x) − F (y), x − yi = +∞, y ∈ K. x∈K,kxk→+∞ kx−y k lim (1.2.4) Vì F thỏa mãn điều kiện (1.2.4) nên ta có thể chọn hằng số c > 0, R > 0 sao cho : c >k F (y) k> 0 và R >k y k> 0 thỏa mãn : hF (x) − F (y), x − yi ≥ c k x − y k, ∀x ∈ K, k x k≥ R. Từ đó suy ra : hF (x), x − yi ≥ c k x − y k +hF (y), x − yi, Sử dụng công thức Cauchy-Schwarz ta có : hF (x), x − yi ≥ c k x − y k − k F (y) kk x − y k= (c− k F (y) k) k x − y k ≥ (c−F (y))(k x k − k y k) > 0 (1.2.5) ở đó k x k= R. Do F là ánh xạ liên tục, KR là một tập lồi compact nên theo Định lí 1.32 ,V IP (K; F ) luôn có nghiệm x∗R . Theo Định lí 1.33 , để chứng tỏ x∗R là nghiệm của V IP (K; F ), ta cần chỉ ra rằng k x∗R k< R. Thật vậy, vì x∗R ∈ SOL − V IP (K; F ) nên : hF (x∗R ), x − x∗R i ≥ 0, ∀x ∈ KR . Đặc biệt, với x = y thì : hF (x∗R ), y − x∗R i ≥ 0 ⇒ hF (x∗R ), x∗R − yi ≤ 0. Khi đó, theo (1.2.5) thì k x∗R k6= R hay k x∗R k< R và ta có điều chứng minh. Kết luận x∗R là nghiệm của V IP (K; F ). Chứng minh duy nhất nghiệm : 15 Giả sử rằng x∗ vá x0 là hai nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ), và x∗ 6= x0 . Khi đó, chúng đều thỏa mãn : hF (x∗ ), x−x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ KR . (1.2.6) hF (x0 ), x−x0 i ≥ 0, ∀x ∈ KR . (1.2.7) Sau đó thay thế x bởi x0 trong (1.2.6) và thay thế x bởi x∗ trong (1.2.7), ta thu được : hF (x∗ ), x0 − x∗ i ≥ 0. hF (x0 ), x∗ − x0 i ≥ 0. Cộng các bất đẳng thức vừa có ta được : hF (x∗ ) − F (x0 ), x0 − x∗ i ≥ 0 Hay hF (x∗ )−F (x0 ), x∗ −x0 i ≤ 0 (1.2.8) Nhưng bất đẳng thức (1.2.8) mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của F . Như vậy điều giả sử là sai hay x∗ = x0 . Kết luận: Bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ) luôn có nghiệm duy nhất và định lí được chứng minh. 1.2.3 Một số ví dụ điển hình. Bài toán điểm bất động Brouwer Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → H là ánh xạ đơn trị. Bài toán điểm bất động của ánh xạ F được phát biểu như sau : Tìm x∗ ∈ K : x∗ = F (x∗ ). (1.2.9) Ta sẽ thấy mối quan hệ của bài toán V IP (K; F ) và bài toán điểm bất động (1.2.9) thông qua mệnh đề sau: