Tài liệu Vận dụng tiếp cận “cụ thể – hình ảnh – trừu tượng” trong dạy học một số chủ đề số học và đại số cho học sinh trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THU VÂN VẬN DỤNG TIẾP CẬN “CỤ THỂ – HÌNH ẢNH – TRỪU TƯỢNG” TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2020 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THU VÂN VẬN DỤNG TIẾP CẬN “CỤ THỂ - HÌNH ẢNH - TRỪU TƯỢNG” TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 8140209.01 Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân HÀ NỘI – 2020 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin cảm ơn các thầy cô trường Đại học Giáo dục đã luôn giảng dạy, giúp đỡ, cung cấp những tài liệu bổ ích và tạo điều kiện thuận lợi cho em học tập và nghiên cứu trong suốt những năm học vừa qua, giúp em có thể có đủ kỹ năng và kiến thức để hoàn thành được luận văn này. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS. Nguyễn Phụ Hoàng Lân – Giảng viên Khoa Toán – Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc, động viên, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến trường THCS Phan Chu Trinh, trường THCS Pascal cùng các cô giáo Nguyễn Thị Hiền – giáo viên trường THCS Phan Chu Trinh, cô giáo Nguyễn Thị Hồng Vân – giáo viên trường THCS Pascal, Hà Nội, đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình thực nghiệm sư phạm. Vì thời gian có hạn nên luận văn này không tránh khỏi những sai sót, kính mong nhận được những đóng góp nhiệt tình của quý thầy cô và các anh chị học viên để đề tài được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 28 tháng 11 năm 2020 Học viên thực hiện Nguyễn Thu Vân i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ CPA Concrete – pictorial – abstract (cụ thể – hình ảnh – trừu tượng) GV Giáo viên HS Học sinh THCS Trung học cơ sở TIMSS Xu hướng nghiên cứu khoa học và toán học quốc tế SGK Sách giáo khoa ii DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Tỷ lệ phần trăm học sinh lớp 8 của Singapore đúng các mục trên TIMSS, 1999 và 2003 [17]................................................................................ 7 Bảng 1.2. Phân bố giới tính của mẫu khảo sát ................................................ 17 Bảng 1.3. Phân bố khối học của mẫu khảo sát................................................ 17 Bảng 1.4. Xếp loại học lực năm học trước của mẫu khảo sát ......................... 17 Bảng 1.5. Nguyên nhân khiến HS thích/ không thích nội dung Số học/Đại số ......................................................................................................................... 18 Bảng 1.6. Biểu hiện bằng hành động của HS trong khi học Số học/Đại số ... 21 Bảng 2.1. Thiết kế mô hình cụ thể - hình ảnh - trừu tượng cho số nguyên .... 40 Bảng 3.1. Thống kê kết quả điểm của các bài kiểm tra lớp 6 ......................... 67 Bảng 3.2. Thống kê kết quả điểm của các bài kiểm tra lớp 7 ......................... 68 iii DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ BIỂU ĐỒ Hình 1.1. Hình minh họa giải thích phép cộng trong ví dụ [9]....................... 13 Biểu đồ 1.1. Mức độ hứng thú của HS với nội dung Số học/Đại học ............ 18 Biểu đồ 1.2. Cách giải của HS khi giải bài toán Số học/Đại số...................... 22 Hình 2.1. Hình ảnh sử dụng que kem minh họa phép tính cộng..................... 31 Hình 2.2. Hình ảnh sử dụng hình khối để minh họa phép tính cộng .............. 32 Hình 2.3. Hình ảnh minh họa phép tính cộng theo mô hình thanh ................. 32 Hình 2.4. Hình ảnh minh họa phép tính cộng theo hình tròn ......................... 33 Hình 2.5. Hình ảnh minh họa cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.1 .............................. 34 Hình 2.6. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.1 .................................... 34 Hình 2.7. Hình ảnh minh họa cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.2 .............................. 35 Hình 2.8. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.2 .................................... 35 Hình 2.9. Hình ảnh minh họa cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.3 .............................. 36 Hình 2.10. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.3................................... 36 Hình 2.11. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.4................................... 37 Hình 2.12. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.5................................... 38 Hình 2.13. Hình ảnh minh họa phép tính ở ví dụ 2.2.6................................... 38 Hình 2.14. Hình ảnh minh họa trường hợp 1 ở ví dụ 2.2.7............................. 39 Hình 2.15. Hình ảnh minh họa trường hợp 2 ở ví dụ 2.2.7............................. 39 Hình 2.16. Hình ảnh cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.8 ............................................ 42 Hình 2.17. Hình ảnh minh họa ví dụ 2.2.9 ...................................................... 43 Hình 2.18. Hình ảnh minh họa ví dụ 2.2.10 .................................................... 44 Hình 2.19. Hình ảnh cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.12 .......................................... 45 Hình 2.20. Hình ảnh cấp độ cụ thể ở ví dụ 2.2.13 .......................................... 46 Hình 2.21. Hình ảnh minh họa cho ví dụ 2.2.13 ............................................. 46 Hình 2.22. Hình ảnh minh họa cho ví dụ 2.2.14 ............................................. 47 Hình 2.23. Hình ảnh cấp độ cụ thể trong ví dụ 2.2.15 .................................... 48 Hình 2.24. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.15 ......................... 48 iv Hình 2.25. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.16 ......................... 49 Hình 2.26. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.17 ......................... 50 Hình 2.27. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.18 ......................... 51 Hình 2.28. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.19 ......................... 52 Hình 2.29. Mô hình minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.20........................... 52 Hình 2.30. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.21 ......................... 53 Hình 2.31. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.22 ......................... 54 Hình 2.32. Hình ảnh minh họa cấp độ trừu tượng trong ví dụ 2.2.22 (1) ....... 54 Hình 2.33. Hình ảnh minh họa cấp độ trừu tượng trong ví dụ 2.2.22 (2) ....... 55 Hình 2.34. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.23 ......................... 55 Hình 2.35. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.24 ......................... 56 Hình 2.36. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.25 ......................... 57 Hình 2.37. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.26 ......................... 57 Hình 2.38. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.27 ......................... 58 Hình 2.39. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.28 ......................... 58 Hình 2.40. Hình ảnh minh họa phép toán trong ví dụ 2.2.29 ......................... 59 Biểu đồ 3.1. Mức độ hứng thú của học sinh sau khi học Số học theo phương pháp CPA ........................................................................................................ 69 v MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................... ii DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................... iii DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ BIỂU ĐỒ ........................................................ iv MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do nghiên cứu đề tài ................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3 4. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................... 3 5. Đối tượng và khách thể nghiên cứu .............................................................. 3 6. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 4 7. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 4 8. Cấu trúc luận văn .......................................................................................... 5 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 6 1.1. Một số vấn đề cơ bản về phương pháp “cụ thể – hình ảnh – trừu tượng” . 6 1.1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề ...................................................................... 6 1.1.2. Một số khái niệm liên quan ................................................................... 11 1.2. Sơ lược nội dung chương trình Số học và Đại số ở lớp 6 và lớp 7.......... 15 1.3. Thực trạng dạy học Số học và Đại số ở trung học cơ sở ......................... 15 1.3.1. Mục đích điều tra .................................................................................. 15 1.3.2. Phương pháp điều tra ............................................................................ 16 1.3.3. Kết quả điều tra ..................................................................................... 16 1.3.4. Nhận xét chung ..................................................................................... 23 Kết luận chương 1 ........................................................................................... 23 CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP CỤ THỂ – HÌNH ẢNH – TRỪU TƯỢNG VÀO GIẢNG DẠY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỐ HỌC, ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ ................................................................. 25 vi 2.1. Các nội dung về Số học và Đại số bậc trung học cơ sở có thể áp dụng phương pháp cụ thể – hình ảnh – trừu tượng vào giảng dạy ......................... 25 2.1.1. Số học .................................................................................................... 25 2.1.2. Đại số..................................................................................................... 30 2.2. Áp dụng phương pháp cụ thể – hình ảnh – trừu tượng vào giảng dạy Số học, Đại số ở trung học cơ sở .......................................................................... 30 2.2.1. Dạy học Số học trung học cơ sở theo phương pháp cụ thể – hình ảnh – trừu tượng ........................................................................................................ 31 2.2.2. Dạy học Đại số trung học cơ sở theo phương pháp cụ thể – hình ảnh – trừu tượng ........................................................................................................ 56 Kết luận chương 2 ........................................................................................... 59 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................... 60 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 60 3.2. Phương pháp thực nghiệm ....................................................................... 60 3.3. Nội dung thực nghiệm .............................................................................. 60 3.3.1. Tổ chức thực nghiệm............................................................................. 60 3.3.2. Đối tượng thực nghiệm ......................................................................... 60 3.3.3. Giáo án mẫu .......................................................................................... 60 3.4. Kết quả thực nghiệm ................................................................................ 67 3.4.1. Kết quả định lượng ................................................................................ 67 3.4.2. Kết quả định tính ................................................................................... 69 Kết luận chương 3 ........................................................................................... 69 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................. 70 1. Kết luận ....................................................................................................... 70 2. Khuyến nghị ................................................................................................ 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 71 PHỤ LỤC vii MỞ ĐẦU 1. Lý do nghiên cứu đề tài Giáo dục Việt Nam đang bước vào giai đoạn đổi mới, vì vậy cập nhật, tham khảo các phương pháp dạy và học mới là một trong những vấn đề rất cấp thiết. Chương I, điều 7, khoản 2 của Luật Giáo dục số 43/2019/QH14 có viết: “Phương pháp giáo dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học và hợp tác, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Các chương trình giáo dục trên thế giới cũng đều đang dần thay đổi để tạo sự hứng thú cho học sinh, từ đó giúp người học phát huy tính chủ động và phát triển tư duy. Toán học là một môn khoa học đóng một vai trò lớn trong bất kỳ lĩnh vực nào. Ngay cả các công trình kiến trúc, công nghệ hiện đại và rất nhiều lĩnh vực kiến thức khác cũng được liên kết với những khái niệm Toán học. Vì vậy, học sinh ở THCS cần đảm bảo nền tảng Toán học vững chắc để có thể dễ dàng tiếp thu các kiến thức ở các cấp học cao hơn và phục vụ cho cuộc sống, công việc sau này. Hiện nay, rất nhiều giáo viên vẫn dạy Toán theo lối truyền thống, khiến môn học càng trở nên trừu tượng, khó hiểu. Để giúp học sinh cảm thấy hứng thú, tích cực hơn, kích thích đam mê đối với môn Toán, giáo viên cần phải tìm ra nhiều phương pháp mới giúp lý thuyết Toán học khô khan trở nên dễ hình dung hơn. Để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh trong thế kỉ 21, giáo viên cần kết hợp nhiều cách trình bày ý tưởng để làm tăng cơ hội tiếp cận với tất cả các học sinh. Mỗi người học sẽ có một cách học, cách tiếp cận dưới nhiều hình thức khác nhau như nghe, nhìn, nói, chạm, thao tác, viết… các nội dung kiến thức. Thông qua các môn học, giáo viên phải tìm ra các phương pháp tiếp cận dễ dàng nhất cho học sinh. 1 Chương trình giáo dục áp dụng phương pháp “Cụ thể – Hình ảnh – Trừu tượng” (CPA) là một hướng tiếp cận được triển khai ở nhiều nước trên thế giới, đặc biệt là Singapore trong nhiều năm nay. CPA là viết tắt của Concrete (Cụ thể), Pictorial (Hình ảnh) và Abstract (Trừu tượng) - một phương pháp được phát triển dựa trên nghiên cứu của Jerome Bruner. Ông cho rằng để tiếp cận một vấn đề, người học cần trải qua ba bước: đầu tiên là xử lý đối tượng thực tế, sau đó sử dụng hình ảnh để mô phỏng lại vấn đề, cuối cùng là dùng khái niệm trừu tượng để giải thích [1]. Lý thuyết này được áp dụng vào Toán Singapore giúp học sinh hứng thú và ghi nhớ tốt hơn. Trên thế giới có một số công trình nghiên cứu về phương pháp CPA như: Gujarati J. (2013), “Deepening mathematics teaching and learning through the concrete-pictorial-abstract approach”, Strategies for Successful Learning, 6(2); Leong Y.H., Ho W.K., & Cheng L.P. (2015), Concrete-Pictorial-Abstract: Surveying its origins and charting its future; Putri, H. E. (2015), “The Influence of Concrete-Pictorial-Abstract (CPA) Approach to The Mathematical Representation Ability Achievement of the Pre-Service Teachers at Elementary School”, International Journal of Education and Research, 3(6), 113-126; Sharma J., & Connor D. (2017), “Developing a concrete-pictorial-abstract model for negative number arithmetic”, Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 37(2);… Tuy vậy, hầu hết các đề tài chỉ tập trung nghiên cứu phương pháp CPA trong giảng dạy các bài toán ở bậc Tiểu học, rất ít các đề tài nghiên cứu phương pháp này trong giảng dạy Số và Đại số ở bậc THCS. Là một giáo viên, tôi nhận thấy tầm quan trọng của việc ứng dụng phương pháp CPA trong dạy học Số và Đại số ở trường THCS. Nghiên cứu này sẽ giúp giáo viên có phương pháp dạy học nội dung Số học và Đại số THCS hiệu quả hơn, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. 2 Với tất cả những lý do trên, tôi quyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài luận văn của mình: “Vận dụng tiếp cận “cụ thể – hình ảnh – trừu tượng” trong dạy học một số chủ đề số học và đại số cho học sinh trung học cơ sở”. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở nghiên cứu lý luận về phương pháp CPA, phân tích một số nội dung Số và Đại số ở bậc THCS có thể áp dụng phương pháp CPA vào giảng dạy, từ đó đưa ra biện pháp dạy học cụ thể cho học sinh THCS và đánh giá tính hiệu quả của đề tài. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Nhiệm vụ nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu cơ sở lý luận liên quan tới phương pháp CPA. - Nghiên cứu một số nội dung Số và Đại số ở bậc THCS (có thể áp dụng phương pháp CPA vào giảng dạy). 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu thực tiễn - Điều tra thực trạng dạy và học Số và Đại số ở bậc THCS. - Đề xuất biện pháp dạy học áp dụng phương pháp CPA trong một số chủ đề về Số và Đại số THCS. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm và đưa ra kết quả nghiên cứu. 4. Câu hỏi nghiên cứu - Giáo viên đã áp dụng phương pháp CPA vào giảng dạy Số và Đại số ở THCS hay chưa? - Áp dụng phương pháp CPA vào giảng dạy Số và Đại số THCS có giúp nâng cao chất lượng dạy học hay không? 5. Đối tượng và khách thể nghiên cứu 5.1. Đối tượng nghiên cứu Các nội dung Số và Đại số ở THCS có thể áp dụng phương pháp CPA để giảng dạy. 3 5.2. Khách thể nghiên cứu Học sinh trường THCS Phan Chu Trinh và THCS Pascal, Hà Nội. 6. Phạm vi nghiên cứu 6.1. Phạm vi về không gian Trường THCS Phan Chu Trinh và THCS Pascal, Hà Nội. 6.2. Phạm vi về thời gian Thời gian nghiên cứu từ 03/2020 đến 12/2020. 6.3. Phạm vi về nội dung Áp dụng phương pháp CPA vào giảng dạy một số vấn đề về số học, đại số cho học sinh trung học cơ sở. 7. Phương pháp nghiên cứu Đề tài vận dụng tổng hợp một số phương pháp như sau: 7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận - Tìm hiểu và nghiên cứu các lý luận của các nhà giáo dục, tâm lý học,… về phương pháp CPA. - Đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa tài liệu: Phân tích các nguồn tư liệu (sách, tạp chí khoa học, nghiên cứu khoa học, khóa luận, luận văn,…) về phương pháp CPA trong giảng dạy, các nội dung Số và Đại số THCS. 7.2. Phương pháp điều tra thực tiễn - Phương pháp quan sát: Quan sát tiến trình dạy học trong các giờ học Số và Đại số ở THCS. - Phương pháp điều tra bảng hỏi: Phát bảng hỏi cho học sinh và giáo viên tại THCS để nắm bắt được thực trạng giảng dạy áp dụng phương pháp CPA trong nội dung Số và Đại số. 7.3. Phương pháp thống kê Toán học Sử dụng phương pháp thống kê Toán học, trong đó chủ yếu sử dụng phần mềm SPSS để xử lý số liệu điều tra khảo sát, kết quả thực nghiệm sư phạm. 4 7.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm Tiến hành dạy học theo phương pháp CPA ở một số lớp, đối chứng kết quả trước khi dạy và sau khi dạy ở những lớp đó. 8. Cấu trúc luận văn Ngoài các phần như mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2. Áp dụng phương pháp cụ thể - hình ảnh – trừu tượng vào giảng dạy một số vấn đề về số học, đại số cho học sinh trung học cơ sở Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 5 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số vấn đề cơ bản về phương pháp “cụ thể – hình ảnh – trừu tượng” 1.1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề Nghiên cứu của Jerome Bruner cho rằng trẻ em học các khái niệm trừu tượng thông qua cách tiếp cận từ các đồ vật cụ thể, biểu diễn chúng bằng hình ảnh để hiểu các khái niệm trừu tượng một cách thấu đáo [5]. Trong số những đóng góp to lớn của ông, một trong những quan niệm nổi tiếng nhất là quan niệm về các phương thức đại diện “mang tính biểu tượng”. Quan niệm này tạo nền tảng cho rất nhiều phương pháp giảng dạy liên quan đến toán học, đặc biệt là phương pháp tiếp cận “cụ thể - hình ảnh – trừu tượng” đang phổ biến tại Singapore ngày nay. Là một thuộc địa thương mại của Anh vào năm 1819, Singapore gia nhập Malaysia vào năm 1963 nhưng rút lui hai năm sau đó và trở thành một thành phố-nhà nước độc lập. Dân số Singapore rơi vào khoảng 5,6 triệu người, ít hơn dân số của Hà Nội hiện nay. Năm 1970, Tổng sản phẩm quốc nội (GDP) bình quân đầu người của Singapore là khoảng $300. Đến năm 2000, thu nhập bình quân đầu người của nó là khoảng $25.000, một trong những mức cao nhất trên thế giới. [8, tr. 5] Singapore chú trọng đến giáo dục được coi là lý do chính cho thành công kinh tế của nó. Năm 1999, học sinh lớp 8 của Singapore đạt điểm trung bình cao nhất trong số học sinh từ 38 quốc gia tham gia TIMSS, 46% học sinh của Singapore nằm trong số 10% hàng đầu của tất cả những người dự thi. Trong năm 2003, học sinh lớp 8 của Singapore giữ được điểm trung bình cao nhất của học sinh từ 46 quốc gia [17]. 6 Bảng 1.1. Tỷ lệ phần trăm học sinh lớp 8 của Singapore đúng các mục trên TIMSS, 1999 và 2003 [17] Lĩnh vực Toán 1999 (% đúng) 2003 (% đúng) Tổng thể 76 74 Số 80 78 Đo lường 76 74 Hình học 73 71 Thống kê 81 79 Đại số 69 69 Thứ hạng 1 (*) 1 (**) học * trên 38 quốc gia ** trên 46 quốc gia Để đạt được điều này, chương trình giáo dục Toán học của Singapore phải được đổi mới, đặc biệt là Singapore đã ứng dụng phương pháp tiếp cận “cụ thể – hình ảnh – trừu tượng” trong dạy học môn Toán. Phương pháp tiếp cận CPA đã được chứng minh là đặc biệt hiệu quả với những học sinh gặp khó khăn với môn toán [18]. Đây là một cách tiếp cận phù hợp với cách học của học sinh dựa trên nghiên cứu tâm lý hành vi, giúp học sinh hiểu bản chất hơn là cách học theo công thức để giải toán nhưng không hiểu bản chất. Kể từ khi ra đời vào đầu những năm 1980, phương pháp CPA luôn là một chiến lược giảng dạy quan trọng được Bộ Giáo dục Singapore ủng hộ. Kể cả trong tài liệu giáo trình để triển khai trong năm 2013 cũng có trình bày: “Phương pháp tiếp cận [dựa trên hoạt động] đặc biệt hiệu quả để dạy các khái niệm và kỹ năng toán học tại cấp tiểu học và trung học cơ sở, nhưng cũng có hiệu quả ở các cấp cao hơn. Học sinh tham gia vào các hoạt động để khám phá 7 và tìm hiểu các khái niệm toán học và kỹ năng… Từ các thao tác cụ thể và kinh nghiệm, học sinh được hướng dẫn để khám phá toán học trừu tượng như khái niệm hoặc kết quả… Trong hoạt động, học sinh giao tiếp và chia sẻ hiểu biết của họ bằng cách sử dụng các đại diện cụ thể và hình ảnh. Vai trò của giáo viên là của một người hỗ trợ hướng dẫn học sinh thông qua mức độ hiểu biết cụ thể, hình ảnh và trừu tượng, bằng cách cung cấp khung lý thuyết thích hợp và sự phản hồi”. [12, tr. 23] Mặc dù phương pháp CPA hiện đã nổi tiếng trong và ngoài Singapore hay trong cộng đồng giáo dục toán học, nhưng rất ít công trình học thuật tìm hiểu nguồn gốc của phương pháp tiếp cận CPA. Trong tài liệu [8] có chỉ ra rằng, có một sự tương ứng giữa phương pháp “Cụ thể - Hình ảnh - Trừu tượng” của Singapore với lý thuyết “Hoạt động - Hình tượng - Tượng trưng” của Bruner. Trong thực hành giảng dạy toán học ở Singapore, khái niệm biểu tượng của Bruner là trọng tâm của khái niệm cụ thể - hình ảnh - trừu tượng. “Cụ thể” không chỉ giới hạn ở “những thao tác cụ thể”, mà còn là “những kinh nghiệm cụ thể”, bao gồm các hoạt động và các thao tác thích hợp. Do đó, quan điểm về “Cụ thể” này rất phù hợp với quan điểm “Hoạt động” của Bruner, cũng là về kiến thức toán học được thể hiện qua các hành động. Còn về “Hình ảnh” có thể hiểu là “hình ảnh đại diện”, tương ứng chặt chẽ với quan điểm "Hình tượng" của Bruner. Tiếp theo, chúng ta có thể suy ra rằng "Trừu tượng" về mặt khái niệm không khác xa so với sự nhấn mạnh ngôn ngữ - biểu tượng trong quan điểm "Tượng trưng" của Bruner. Chương trình Toán của Singapore đang rất nổi tiếng hiện nay, nhưng trước đó quốc gia này cũng chỉ sử dụng các giáo trình của nước khác. Năm 1981, Phòng Kế hoạch và Phát triển chương trình giảng dạy Singapore thấy được sự cần thiết của bộ sách giáo khoa riêng nên bắt đầu xây dựng chương trình mới. Xem xét một số sách giáo khoa của Singapore, ví dụ như tài liệu [7], phần giới thiệu chương trình của sách giáo khoa có thứ tự sau: bối cảnh “đời 8 thực” cung cấp cho một tình huống hoặc vấn đề đáng chú ý (như: một vấn đề về việc chia thành nhiều phần), một mô tả trực quan về tình huống hoặc các vấn đề liên quan khác (như: bánh nướng hình tròn), và trừu tượng hóa từ dạng trực quan thành dạng biểu tượng (như: làm việc với các phân số). Từ đó, ta thấy một trình tự phản ánh chặt chẽ các giai đoạn của phương pháp CPA. Tuy nhiên, sự “Cụ thể” như được trình bày trong sách giáo khoa của Singapore dường như đã lệch đi khỏi quan niệm ban đầu của Bruner về hoạt động, chuyển thành mô tả đơn thuần về một hoạt động. Nói cách khác, các tác giả sách giáo khoa dường như đã mở rộng sự “Cụ thể” không chỉ bao gồm hành động cụ thể, mà còn bao gồm cả việc mô tả về một hoạt động thông qua bài đọc. Trong các tài liệu của Bộ Giáo dục Singapore [13], [14], [15] , phương pháp CPA được đưa vào giảng dạy đầu tiên chỉ được áp dụng cho các cấp Tiểu học vào đầu những năm 1980. Cho đến năm 1990, cách tiếp cận CPA mới được chính thức xác nhận là một phương pháp giảng dạy được khuyến nghị cho cấp Trung học cơ sở. Tuy nhiên, có một đặc điểm có vẻ khác với Bruner: cụ thể, hình ảnh và trừu tượng được mô tả trong các tài liệu của Bộ Giáo dục là “mức độ hiểu biết” [14, tr 10; 12, tr. 23], còn trong tài liệu của Bruner không sử dụng ngôn ngữ của “cấp độ” mà liên quan nhiều hơn đến việc sắp xếp theo trình tự thời gian. Ở đây, ta cần phải hiểu hoạt động tâm lý của học sinh trong một tình huống giải quyết vấn đề không chỉ dừng lại ở một cấp độ duy nhất. Học sinh có khả năng vận dụng thành thạo hơn ở cấp độ “Trừu tượng”, khi đã có các công cụ để xử lý các nhiệm vụ toán học phức tạp hơn. Sau đó, xuất hiện một sự khác biệt giữa quan niệm “Cụ thể” được sử dụng bởi những người viết Dự án Toán Tiểu học vào đầu những năm 1980 và những người viết tài liệu giáo trình được thực hiện vào năm 2013. Quan niệm “Cụ thể” gần đây đã quay lại quan niệm ban đầu của Bruner, được nhấn mạnh là sự trải nghiệm của học sinh. Vai trò của giáo viên là cung cấp kinh nghiệm 9 học tập thích hợp, trải nghiệm cụ thể, có thể ở dạng các hoạt động, bối cảnh thực tế hoặc sử dụng các thao tác. Ngoài ra, quan niệm của Bruner cũng tương đối phù hợp với các nhà lý thuyết khác như Piaget và Dienes, những người tin rằng quá trình học tập bắt đầu từ sự tham gia tích cực hoặc trải nghiệm với các tình huống cụ thể trước khi chuyển sang sự thừa nhận một đặc tính bất biến trong số những kinh nghiệm cụ thể. Theo lý thuyết kiến tạo của J. Piaget, người dạy sẽ định hướng người học chủ động tìm tòi, khám phá, phát hiện tri thức mới. Theo đó, có ba hình thức khám phá: qua hành động; qua hình ảnh hay các mô hình, sơ đồ; qua các kí hiệu ngôn ngữ, mệnh đề… Từ đây, có thể thấy hoạt động học tập của người học được chia thành ba bước: phân tích sự vật, mô hình hóa và kí hiệu hóa. Còn Dienes đã đề xuất ba giai đoạn để học khái niệm bắt đầu bằng việc chơi vô thức trong các tình huống cụ thể (xây dựng), sau đó là nhận ra một điều gì đó có ý nghĩa trong các vở kịch (chuyển từ xây dựng sang phân tích), kết thúc bằng một khoảnh khắc nhìn sâu và hiểu được ý nghĩa (phân tích). Đối với Dienes, khái niệm của Piaget về sự phát triển nhận thức được sắp xếp theo ba giai đoạn cảm giác nhạy bén, hoạt động cụ thể và hoạt động chính thức được phản ánh trong sự hình thành của mọi khái niệm [6]. Quan điểm chung giữa ba nhà lý thuyết là sự tồn tại của các giai đoạn song song, được sắp xếp theo trình tự tương tự từ cụ thể đến trừu tượng mặc dù chúng có thể khác nhau trong từng giai đoạn cụ thể. Tuy vậy, có một vài sự khác biệt trong quan điểm của Bruner và của Jean Piaget, "cụ thể" có xu hướng gắn liền với các đối tượng hơn là hành động. Tương tự, theo Richard R. Skemp có trình bày năm 1986, “trừu tượng” có thể được định nghĩa là kết quả cuối cùng của quá trình trừu tượng hóa bằng cách so sánh những điểm tương đồng chứ không phải như quan niệm của Bruner về hoạt động trong một hệ thống biểu tượng [12]. Thêm vào đó, khái niệm “cụ thể” hay “trừu tượng” còn chưa được phân biệt rõ ràng, ví dụ như: một nhà toán 10 học sẽ coi các công thức toán học là “cụ thể” trong khi nó lại là sự “trừu tượng” đối với học sinh không quen với nhiệm vụ. Đối với điều này, các quan niệm mà Bruner đề cập vẫn là những hướng dẫn hữu ích. Theo Bruner, học tập khái niệm bắt đầu bằng trải nghiệm từ các hành động thực tế được thực hiện, sau đó được chuyển thành hình ảnh của trải nghiệm mang tính biểu tượng, cuối cùng là dùng khái niệm trừu tượng để giải thích [5]. Trên thế giới gần đây cũng có một số tài liệu nghiên cứu về phương pháp CPA như: Gujarati J. (2013), “Deepening mathematics teaching and learning through the concrete-pictorial-abstract approach”, Strategies for Successful Learning, 6(2); Leong Y.H., Ho W.K., & Cheng L.P. (2015), ConcretePictorial-Abstract: Surveying its origins and charting its future; Putri, H. E. (2015), “The Influence of Concrete-Pictorial-Abstract (CPA) Approach to The Mathematical Representation Ability Achievement of the Pre-Service Teachers at Elementary School”, International Journal of Education and Research, 3(6), 113-126; Sharma J., & Connor D. (2017), “Developing a concrete-pictorialabstract model for negative number arithmetic”, Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 37(2);… Tuy vậy, hầu hết các đề tài chỉ tập trung nghiên cứu phương pháp CPA trong giảng dạy và hiệu quả của phương pháp này ở bậc Tiểu học, rất ít các đề tài nghiên cứu phương pháp này trong giảng dạy Số và Đại số ở bậc THCS. 1.1.2. Một số khái niệm liên quan 1.1.2.1. Phương pháp tiếp cận cụ thể – hình ảnh – trừu tượng Phương pháp CPA hay cách tiếp cận “cụ thể - hình ảnh - trừu tượng”, giúp học sinh xây dựng kỹ năng thay vì chỉ chú ý đến nội dung, cho phép học sinh hiểu lý thuyết rõ ràng hơn, ghi nhớ tốt hơn. Bruner cho rằng để tiếp cận một vấn đề, người học cần trải qua ba bước, đầu tiên là xử lý đối tượng thực tế, sau đó sử dụng hình ảnh để mô phỏng lại vấn đề, cuối cùng là dùng khái niệm trừu tượng để giải thích. 11