Tài liệu Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM PHAN THỊ THU HIỀN VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Danh Nam THÁI NGUYÊN, 2015 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015 Xác nhận của GV hƣớng dẫn luận văn Tác giả luận văn TS. Nguyễn Danh Nam Phan Thị Thu Hiền Xác nhận của Trƣởng khoa chuyên môn 3 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Danh Nam, người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn. Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Đào tạo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ Toán, các em HS khối 10 Trường THPT Ngô Quyền và Trường THPT Dương Tự Minh – TP. Thái Nguyên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực nghiệm sư phạm. Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn. Tác giả Phan Thị Thu Hiền 4 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cam đoan ............................................................................................................... 3 Lời cảm ơn .................................................................................................................. 4 Mục lục ........................................................................................................................ 5 Danh mục các cụm từ viết tắt ...................................................................................... 7 MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 8 Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................. 12 1.1. Mô hình và phương pháp mô hình hóa ......................................................... 12 1.1.1. Khái niệm mô hình ................................................................................... 12 1.1.2. Ứng dụng của toán học trong thực tiễn .................................................... 15 1.1.3. Phương pháp mô hình hóa ....................................................................... 18 1.2. Quy trình mô hình hóa .................................................................................. 20 1.3. Vai trò của phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán .......................... 25 1.4. Thực trạng vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn Toán ở trường THPT ..................................................................................................... 36 1.5. Kết luận chương 1 ......................................................................................... 47 Chƣơng 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LỚP 10 .................................................................................. 48 2.1. Nguyên tắc thiết kế mô hình toán học ........................................................... 48 2.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề hàm số ............................................ 50 2.2.1. Mô hình hàm số bậc nhất ......................................................................... 50 2.2.2. Mô hình hàm số bậc hai. .......................................................................... 56 2.3. Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề phương trình và bất phương trình .. 62 2.4. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa Đại số lớp 10 ................................. 67 2.4.1. Hệ thống bài tập chủ đề "Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai" ............... 69 2.4.2. Hệ thống bài tập chủ đề "Phương trình và bất phương trình".................. 77 2.5. Kết luận chương 2 ......................................................................................... 88 5 Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................. 89 3.1. Mục đích thực nghiệm................................................................................... 89 3.2. Nội dung thực nghiệm ................................................................................... 89 3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 90 3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................ 90 3.3.2. Tiến trình thực nghiệm ............................................................................. 90 3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ...................................................................... 91 3.4.1. Đánh giá về mặt định tính ........................................................................ 91 3.4.2. Đánh giá về mặt định lượng ..................................................................... 93 3.5. Kết luận chương 3 ......................................................................................... 95 KẾT LUẬN ............................................................................................................97 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 98 PHỤ LỤC .............................................................................................................. 101 6 DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ TN Thực nghiệm ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông MHH Mô hình hóa CNTT Công nghệ thông tin GQVĐ Giải quyết vấn đề tr. Trang 7 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho HS. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và MHH các vấn đề trong cuộc sống. Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực cho HS. Liên hệ thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động và có ý nghĩa hơn. Để thực hiện được mục tiêu đó, người GV dạy toán cần có năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn được coi là cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tiễn”. Thuật ngữ “toán học hóa” có nghĩa là sử dụng ngôn ngữ toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu diễn toán học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn. Trong dạy học toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử. MHH trong dạy học toán là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm dạy học. Sử dụng phương pháp này trong giảng dạy 8 sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS. Quá trình MHH các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. Do vậy, nó đòi hỏi HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán. Những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy học Toán ở trường phổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn. Ở Việt Nam, chưa có nhiều nghiên cứu vận dụng phương pháp MHH trong dạy học toán. Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nay vẫn chưa giúp HS hiểu rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Vì vậy, kết quả của đề tài có thể tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứng dụng cũng như làm rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông. Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường trung học phổ thông”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng phương pháp MHH trong việc dạy học Toán góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT, giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. 9 3. ĐỐI TƢỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU 3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT và quá trình sử dụng các kiến thức toán học mô tả các tình huống thực tiễn. 3.2. Đối tƣợng nghiên cứu: Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán, quy trình MHH, hệ thống bài tập MHH. 3.3. Phạm vi nghiên cứu: Lớp 10 ở trường THPT. 4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu thiết kế được hệ thống các tình huống và bài tập có nội dung thực tiễn, vận dụng phương pháp MHH để tổ chức các hoạt động học tập thì sẽ hình thành và phát triển năng lực MHH toán học cho HS, góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực cho HS ở trường THPT. 5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 5.1. Nghiên cứu đặc điểm của phương pháp MHH vận dụng trong các tình huống dạy học điển hình trong chương trình toán THPT. 5.2. Nghiên cứu đặc điểm của chương trình SGK Đại số lớp 10 theo định hướng phát triển năng lực cho HS. 5.3. Xây dựng được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn vận dụng phương pháp MHH để sử dụng trong dạy Toán ở trường THPT. 5.4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường THPT. 6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu trong và ngoài nước về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn. 6.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Quan sát, điều tra thực trạng về việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường THPT qua các hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật kí ghi chép, phỏng vấn trực tiếp GV ở trường THPT. 6.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Phỏng vấn trực tiếp nhóm HS. 10 6.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THPT để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu được đề xuất. 6.5. Phương pháp sử dụng thống kê toán học trong xử lí số liệu thực nghiệm. 7. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 7.1. Những đóng góp về mặt lý luận - Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng phương pháp MHH để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. - Đề xuất được những quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số tình huống MHH trong dạy học Toán và xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn và đưa ra được những gợi ý, những chỉ dẫn về vận dụng phương pháp MHH để giải quyết hệ thống bài tập đó. 7.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn - Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Đại số lớp 10 ở trường THPT, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán ở trường THPT. - Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT. - Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề có liên quan trong luận văn, trong đó có việc định hướng đổi mới chương trình SGK môn Toán sau 2015. 11 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. MÔ HÌNH VÀ PHƢƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA 1.1.1. Khái niệm mô hình Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số định nghĩa: - Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với một hệ thống S các đặc trưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc chọn để bắt chước A theo những đặc trưng đó [13, tr.107]. - Mô hình là một “vật” hay “hệ thống” đóng vai trò đại diện hoặc vật thay thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu [17, tr.175]. - Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu [18, tr.347]. Tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc) nhằm hướng tới mục đích nhất định nào đó. Như vậy, mô hình có một số đặc trưng sau đây: - Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới. Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn. - Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình 12 trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp MHH có tính chất cách mạng, có tính phát triển. Do đó, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực. - Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản. - Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không phải là cái bất biến. Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn. - Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả hiện thực khách quan. Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác [7], [13]. Mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của các vật thể thực tế (Mason & Davis ,1991). Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật. Tuy nhiên, điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó (Swetz & Hatler, 1991; Verschaffel, 2002). Mô hình toán học là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. Mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ Vật lý, Sinh học, và Kĩ 13 thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế, Xã hội học và Khoa học chính trị). Ví dụ 1.1. (Mô hình gia tăng dân số của Maithus) Giả sử tỷ lệ người sinh ra là b và tỷ lệ người chết là d; b và d đều là những hằng số, thì tỷ lệ gia tăng dân số là r  b  d cũng là một hằng số. Giả sử thời kỳ đầu ( t  0 ) dân số là số tại thời điểm t là N t  N 0 .e rt N 0 , thì dân cũng chính là nói dân số tăng theo cấp số nhân. So sánh với những số liệu về dân số đã thống kê được trước thế kỷ 19 thì sự gia tăng dân số ở một số vùng châu Á tương đối phù hợp với mô hình của Maithus, nhưng đa số trường hợp lại đi rất xa mô hình này. Vì thế, mô hình này không hoàn toàn phù hợp với tình hình thực tế. Bởi vì nó đã không tính đến việc cùng với sự gia tăng của dân số thì môi trường, nguồn tài nguyên thiên nhiên,… chỉ hạn chế trong một giới hạn. Dân số quá đông dẫn tới sự thiếu hụt lương thực, chỗ ở chật hẹp, ô nhiễm môi trường nghiêm trọng và các vấn đề khác nữa, từ đó dẫn tới sự giảm của tỷ lệ sinh và sự tăng lên của tỷ lệ chết [4]. Ví dụ 1.2. (Mô hình mô tả hành vi của khách hàng) Khách hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng với số tiền hiện có. Trong mô hình này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng được đánh nhãn 1, 2, ..., n, mỗi thứ có giá là p1, p2,..., pn. Giả thiết rằng khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tương ứng cho số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x1, x2,..., xn. Mô hình còn giả thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x1, x2,..., xn). Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở thành bài toán tối ưu hóa, nghĩa là: n m ax U  x1 ; x 2 ; ...; x n  thỏa mãn:  p i .xi  M và i 1 x i  0  i  { 1 ,2 ,...,n } . Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung, đặc biệt dùng để chứng minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế. Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề tranh cãi [4]. Ví dụ 1.3. (Mô hình chuyển động của chất lỏng) Phương trình chuyển động của chất lỏng không nén được biểu diễn bằng hệ phương trình Navier-Stokes như sau: 14 ur ur ur ur ur V  p 2 r  V . V    v V  t ur Trong đó v là hệ số nhớt động, V là tốc độ của các phần tử chất lỏng, p là áp suất của môi trường và  là mật độ của dòng chất lỏng. Kết hợp với phương trình liên tục dành cho chất lỏng không nén như sau:  Và điều kiện biên: mặt vật thể, ur U uur ur Vs  U ur  .V 0 uur Trong đó V s là tốc độ của hạt chất lỏng trên bề là điều kiện biên [4]. Tóm lại, trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử (Van Den Heuvel & Panhuizen, 2003; Van De Walle, 2004 ). MHH trong dạy học toán là phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học. Sử dụng phương pháp này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS [7]. 1.1.2. Ứng dụng của Toán học trong thực tiễn 1.1.2.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn Toán học là môn học có tính trừu tượng cao. Theo [3, tr.35] tính trừu tượng của toán học và của môn Toán trong nhà trường phổ thông do chính đối tượng của toán học quy định. Theo Ăng – ghen, “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan”. Hình dạng không gian có thể hiểu không phải chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà còn cả trong những không gian trừu tượng khác nữa như không gian có số chiều là n hoặc vô hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục, … Quan hệ số lượng không chỉ bó hẹp trong phạm vi tập hợp các số mà được hiểu như những phép toán và tính chất của chúng trên những tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề, phép biến hình,… 15 Tuy nhiên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Theo [4, tr.62] thì liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán là một trong ba phương hướng thực hiện nguyên lí giáo dục. Cụ thể là: - Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nile (Ai Cập),… - Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: Khái niệm véctơ phản ánh những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi bằng số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình cùng hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn,… Trong Toán học có những chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau: “nghĩ đi rồi phải nghĩ lại”, “có qua có lại”, “sống phải có trước có sau”,… - Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng giác để đo khoảng cách không tới được, đạo hàm ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân để tính thể tích, diện tích, … 1.1.2.2. Toán học có ứng dụng thực tiễn Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng trong không gian của thế giới khách quan. Toán học có vai trò rất quan trọng và được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, vật lý, thiên văn học, quân sự,… Ví dụ 1.4. (Trong quân sự) Pháo là một loại vũ khí không thể thiếu trong chiến tranh, nó cơ động, có sức sát thương lớn và tầm hoạt động lên tới hàng chục ki-lô-mét. Lần sử dụng pháo với đạn đẩy bằng thuốc nổ trên chiến trường đã được ghi lại lần đầu là vào ngày 28 tháng 1 năm 1132 khi tướng Hàn Thế Trung của Nam Tống dùng thang mây và hoả pháo để đánh thành Kiến Châu (nay là Kiến Âu). Loại vũ khí nhỏ thô sơ này đã du nhập vào vùng Trung Đông rồi đến châu Âu vào thế kỷ thứ 13. Trải qua nhiều thế kỷ, các nhà khoa học kỹ thuật đã không ngừng cải tiến các khẩu pháo cả về tầm bắn, tính chính xác lẫn sức công phá. Với sự phát triển của Toán học, người ta đã viết được phương trình bay của viên đạn sau khi ra khỏi nòng 16 pháo: y   gx 2 2 v 0 .c o s  2 2   ta n   x trong đó v 0 là vận tốc khi viên đạn ra khỏ nòng pháo và  là góc mà nòng pháo tạo với phương nằm ngang. Ví dụ 1.5. (Trong thiên văn) Đã từ rất lâu, các nhà khoa học đã phát hiện ra các hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo một quỹ đạo nhất định, và các nhà thiên vãn tin rằng quỹ đạo các hành tinh là một hình tròn hoàn hảo. Những tính toán chi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao Hỏa lần đầu tiên cho Kép-lê thấy quỹ đạo của nó phải là hình elíp thì mới phù hợp với dữ liệu quan sát, và từ đây ông suy luận tương tự cho các hành tinh khác quay quanh Mặt trời cũng phải có quỹ đạo hình elíp. Ba định luật Kép-lê (1609 - 1619) và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ông là một thách thức lớn cho mô hình địa tâm của A-rít-tốt và Ptô-lê-mê đã được chấp thuận từ rất lâu, và ủng hộ cho mô hình nhật tâm của Cô-péch-ních (mặc dù quỹ đạo elíp theo Kép-lê khác với các quỹ đạo tròn theo Cô-péch-ních), bằng chứng tỏ Trái đất quay quanh Mặt trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo là biến đổi, và quỹ đạo có đường elíp hơn là đường tròn. Ví dụ 1.6. (Trong hội họa – kiến trúc) Tờ báo mà bạn đọc, màn hình vi tính, thẻ tín dụng, cánh hoa, lá cây, toà nhà cao ốc – tất cả mọi thứ đều được tạo lập dựa trên một nguyên tắc, một tỷ lệ, một giá trị cân đối. Dường như vũ trụ đang tiết lộ với chúng ta về một mật mã ẩn chứa trong mọi khía cạnh của tự nhiên – một mật mã độc đáo và mang đầy tính nghệ thuật: đó là con số của tỷ lệ vàng – một tỉ lệ hoàn hảo. Trong một cuộc thực nghiệm gần đây nghiên cứu một số cá thể từ các dân tộc khác nhau đã cho thấy rằng: trong số những số đo khác nhau của hình chữ nhật, thì hầu hết mọi người đều đồng ý với một con số cân đối nhất. Con số hoàn hảo nhất được hình thành khi tỷ lệ giữa cạnh lớn hơn với cạnh nhỏ hơn xấp xỉ 1,618 – trong toán học con số này được gọi là “vàng”. Tỷ lệ các cạnh hình chữ nhật này có mặt trong hàng ngàn công trình kiến trúc trên khắp thế giới, cũng như là trong các hộp diêm, danh thiếp, những cuốn sách, và hàng trăm vật dụng hàng ngày khác, đơn giản bởi vì con người cảm thấy nó phù hợp. Kim tự tháp Giza, kim tự tháp Cheops, trụ sở Liên Hiệp Quốc tại New York, và nhà thờ Đức Bà Paris là những dẫn chứng điển hình cho việc ứng dụng tỷ lệ vàng. Trên thực tế, đền thờ Panthenon có rất nhiều chi tiết ứng dụng tỷ lệ này. 17 Đền Parthenon (Athens) Nàng Mona Lisa Các thí dụ từ hình chữ nhật cho tới hình xoắn ốc tuân theo tỷ lệ vàng (hình tạo thành bằng cách nối các đỉnh của các hình chữ nhật vẽ theo tỷ lệ vàng đặt chồng lên nhau) có thể tìm thấy ở khắp mọi nơi: sừng của con cừu, khoáng vật, xoáy nước, cơn lốc, vân tay, cánh hoa hồng, những đài hoa đồng tâm của cây súp-lơ hay hoa hướng dương, chim muông, côn trùng, cá, dải ngân hà, hay một số dải thiên hà khác như dải M51 ngay cạnh dải ngân hà của chúng ta… thậm chí cả con ốc sên. Một con ốc thật đẹp và thật hoàn hảo như ốc Anh Vũ chắc chắn phải có sự kết hợp thật tài tình với tỷ lệ vàng. Rất nhiều loài cây cũng thể hiện mối liên hệ với tỷ lệ vàng trong độ dày giữa giữa cành thấp với cành cao. Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất. Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng Toán học vào giải quyết một tình huống thực tế, tức là dùng những công cụ Toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra [4]. 1.1.3. Phƣơng pháp mô hình hóa Phương pháp MHH trong dạy học Toán ở trường phổ thông được chú trọng nghiên cứu khoảng một thập kỉ gần đây (Blum, Galbraith, Henn & Niss, 2002). Phương pháp này giúp HS giải quyết các bài toán thực tiễn bằng phương pháp toán học, từ đó hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. MHH là một quá trình khép kín (English, 2007), bắt đầu từ việc chuyển các vấn đề thực tiễn sang các vấn đề toán học, sử dụng toán học để hiểu, đánh giá, chọn lọc và cải tiến mô hình cho phù 18 hợp với thực tiễn. Hoạt động MHH gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế giới bên ngoài (Zbiek & Conner, 2006; Stillman, 2009). Nó giúp HS phát triển các kĩ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao (Tanner & Jones, 2002; McClure & Sircar, 2008). GV nên phát triển các loại bài tập gắn với hoạt động MHH như: các bài tập ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế các vấn đề nảy sinh tại địa phương, phân tích các tin tức trên báo chí, số liệu trong SGK hoặc trên mạng internet [7]. Đối với cấp tiểu học, phương pháp MHH thường được sử dụng để giải quyết lớp các bài toán có lời văn. Mô hình thường là được biểu diễn dưới dạng biểu tượng như hình chữ nhật, hình thang, hình tròn,… Tuy nhiên, hoạt động MHH không thể hiện một cách rõ ràng ở bậc tiểu học. Van de Walle (2004) cho rằng mô hình diễn tả các khái niệm toán học và mối quan hệ giữa các khái niệm đó có thể là đồ vật, bức tranh hay hình vẽ cụ thể giống như việc sử dụng các khối hình chữ nhật để biểu diễn các phân số bằng nhau. Quá trình MHH đòi hỏi hoạt động nhóm, hợp tác và thảo luận để có thể tập hợp, liên kết các lập luận của thành viên trong nhóm [13]. Đối với cấp trung học, HS tiếp cận với khối lượng tri thức lớn hơn, các chủ đề rộng hơn. Bài tập toán thường được chia thành ba loại: sử dụng mối quan hệ giữa các bộ môn Toán học, giải quyết các vấn đề thực tiễn dưới dạng các vấn đề toán học thuần túy và giải quyết các vấn đề thực tiễn phải sử dụng các kiến thức toán học. HS cần phải linh hoạt trong việc giải hai dạng bài toán đầu tiên, đó là bài toán ứng dụng toán học. Từ đó, chuẩn bị cho việc tiếp cận dạng bài toán thứ ba là giải toán thực tế thông qua mô phỏng và MHH [13]. Chúng ta cần làm rõ dạy học MHH và dạy học bằng MHH. Để nâng cao năng lực hiểu biết toán cho HS, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra. Đối với các nhà toán học, mô hình ấy thường là chưa tồn tại, hoặc đã tồn tại nhưng không cho phép giải quyết mọi trường hợp, hay ngược lại, không mang đến lời giải tối ưu cho một lớp các trường hợp đặc biệt nào đó. Việc tìm ra mô hình mới của họ thường dẫn đến một phát minh mới (một khái niệm, một định lý mới). Song đối với GV thì mô hình ấy đã tồn tại. Điều đó dẫn đến chỗ việc dạy học có thể được tổ chức theo hai tiến trình (trình bày theo [1]): 19 - Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức). - Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn; Xây dựng mô hình toán học; Câu trả lời cho bài toán thực tiễn; Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức; Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp. Tiến trình dạy học thứ nhất, gọi là dạy học MHH, tiết kiệm được thời gian nhưng lại làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất nghĩa của tri thức. Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên HS sẽ không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức vừa đưa vào. Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp hay không? Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH, cho phép khắc phục khiếm khuyết này. Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết vấn đề. Người ta gọi đây là dạy học bằng MHH. Với những điểm lý luận vừa trình bày trên thì rõ ràng dạy học bằng MHH và dạy học MHH là một con đường để nâng cao năng lực hiểu biết toán học cho HS. Như vậy, để đạt được mục đích dạy học toán thì cần thiết phải tính đến vấn đề MHH trong dạy học. 1.2. QUY TRÌNH MÔ HÌNH HÓA MHH các tình huống thực tiễn trong dạy học toán có thể sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học phổ biến như công thức, thuật ngữ, phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu,… Vì thế nó cần tuân theo quy trình gồm 4 giai đoạn chính sau đây (trình bày theo Swetz và Hartzler, 1991): 1. Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó. 2. Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn ngữ toán học, từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng. 20 3. Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để MHH bài toán và phân tích mô hình. 4. Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận. Quá trình GQVĐ và MHH có những đặc điểm tương tự nhau giúp rèn luyện cho HS những kĩ năng toán học cần thiết. Do đó, chúng hỗ trợ và bổ sung cho nhau. Quy trình này được xem là khép kín vì nó được dùng để mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn (English, 2007). Có thể minh họa quy trình trên bằng sơ đồ khép kín dưới đây: Tình huống thực tiễn Quan sát, hiểu và xây dựng mô hình Phân tích Áp dụng Kết luận, Thông báo Mô hình toán học Hiểu và thông dịch Kết luận toán học Hình 1.1: Quy trình mô hình hóa khép kín Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, GV cần giúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá trình MHH các bài toán: - Bƣớc 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xậy dựng các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học. - Bƣớc 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa. - Bƣớc 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu). 21