Tài liệu Vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học phương trình bậc hai đại số lớp 9

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THANH TÂM VẬN DỤNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THANH TÂM VẬN DỤNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số: 8.14.01.11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Hồng HÀ NỘI – 2019 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc nghiêm túc, tác giả đã hoàn thành luận văn này. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và biết ơn đến thầy giáo Tiến sĩ Lê Văn Hồng, giảng viên trƣờng Đại học Thủ đô Hà Nội đã hƣớng dẫn, động viên và góp ý để tác giả hoàn thành luận tốt luận văn này. Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trƣờng Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình giảng dạy, hƣớng dẫn, gợi ý và cho những lời khuyên bổ ích suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trƣờng. Dù đã rất cố gắng đầu tƣ thời gian nghiên cứu song luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc nhận xét và góp ý của các thầy, cô giáo để tác giả có đƣợc những định hƣớng tốt hơn trong hƣớng nghiên cứu tiếp theo. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 2 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thanh Tâm i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ GD&ĐT Giáo dục và Đào tạo GQVĐ Giải quyết vấn đề GV Giáo viên HS Học sinh MHH Mô hình hóa Nxb Nhà xuất bản PT Phƣơng trình SGK Sách giáo khoa t1 Tập 1 t2 Tập 2 TPHCM Thành phố Hồ Chí Minh tr. Trang THCS Trung học cơ sở ii DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG Danh mục các hình Hình 1.1. Sơ đồ mô hình hóa toán học................................................................. 8 Hình 1.2. Chu trình mô hình hóa 7 bƣớc của Blum........................................... 11 Hình 1.3. Chu trình mô hình hóa của Stillman.................................................... 12 Hình 1.4. Chu trình mô hình hóa theo PISA........................................................ 13 Hình 2.1. Biểu đồ tăng dân số thành phố Hà Nội................................................ 26 Danh mục các bảng Bảng 1.2. Bảng thống kê ý kiến GV.................................................................... 23 Bảng 3.1. Bảng thống kê ý kiến của học sinh hai lớp thực nghiệm.................. 65 Bảng 3.2. Kết quả đầu ra của hai lớp trƣờng THCS Phú La................................ 66 Bảng 3.3. Kết quả đầu ra của hai lớp trƣờng PTQT Việt Nam............................ 67 Bảng 3.4. Tỉ lệ phần trăm năng lực MHH của HS trƣờng PT Quốc tế VN....... Bảng 3.5. Tỉ lệ phần trăm năng lực MHH của HS trƣờng THCS Phú La iii 68 58 DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 1.1. Mong muốn biết thêm ứng dụng thực tiễn của những kiến thức toán học............................................................................................................. 19 Biểu đồ 1.2. Mức độ thƣờng xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học............................................................................................... 19 Biểu đồ 1.3. Mức độ thƣờng xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV....................................................................................................... 20 Biểu đồ 1.4. Mối liên hệ giữa chủ để giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình với thực tiễn và với môn học khác.......................................................... 21 Biểu đồ 1.5. Mức độ khó khăn trong việc giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình..................................................................................................... iv 21 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN............................................................................................................i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT........................................................................ii DANH MỤC HÌNH VÀ BẢNG...............................................................................iii DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ...................................................................................iv MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 2 3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu ..................................................................... 2 4. Câu hỏi nghiên cứu.............................................................................................. 2 5. Giả thuyết khoa học ............................................................................................. 3 6. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 3 7. Phƣơng pháp nghiên cứu ..................................................................................... 3 8. Đóng góp của luận văn ........................................................................................ 4 9. Cấu trúc luận văn................................................................................................. 4 CHƢƠNG 1.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 5 1.1. Tổng quan nghiên cứu ...................................................................................... 5 1.2. Hệ thống khái niệm .......................................................................................... 6 1.2.1. Mô hình ......................................................................................................... 6 1.2.2. Mô hình toán học ........................................................................................... 6 1.2.3. Mô hình hóa toán học .................................................................................... 8 1.3. Bài toán thực tiễn và bài toán phỏng thực tiễn .................................................. 8 v 1.4. Dạy học theo hƣớng vận dụng mô hình hóa .................................................... 10 1.5. Chu trình hoạt động mô hình hóa.................................................................... 11 1.5.1. Cơ sở lí luận ................................................................................................ 11 1.5.2. Đề xuất chu trình hoạt động mô hình hóa toán học ...................................... 13 1.6. Ý nghĩacủa dạy học theo hƣớng vận dụng mô hình hóa..................................16 1.7. Thực trạng vận dụng mô hình hóa trong dạy học phƣơng trình bậc hai........... 17 1.7.1. Về bài toán nội dung mô hình hóa chủ đề phƣơng trình bậc hai ................... 17 1.7.2. Thực trạng vận dụng mô hình hóa trong dạy học phƣơng trình bậc hai ........ 18 Kết luận chƣơng 1 ................................................................................................. 23 CHƢƠNG 2.THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐẠI SỐ LỚP 9.............................................. 24 2.1. Định hƣớng xây dựng hoạt động mô hình hóa ................................................ 24 2.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa chủ đề phƣơng trình bậc hai ......................... 26 2.3. Xây dựng hệ thống bài tập mô hình hóa ......................................................... 43 Kết luận chƣơng 2 ................................................................................................. 62 CHƢƠNG 3.THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM............................................................ 63 3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm ...................................................................... 63 3.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm ...................................................................... 63 3.3. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ........................................................................ 63 3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm sƣ phạm .......................................................... 64 Kết luận chƣơng 3 ................................................................................................. 69 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ........................................................................ 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 71 vi PHỤ LỤC vii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học có liên hệ mậtzthiết với thực tiễn và có ứngzdụng rộngzrãi trong nhiều lĩnhzvực khácznhau của đời sống. Tăng cƣờngztính thựcztiễn trongzdạy họczToán đóng vaiztrò rất quanztrọng trong hìnhzthành và phátztriển năngzlực mô hình hóa (MHH) cho học sinh (HS). Liên hệ thựcztiễn giúp HS họcztập Toánztích cực, chủzđộng và cózý nghĩazhơn. Đặc điểm nổi bật trong Chƣơng trình đánh giá HS quốc tế PISA là nội dung đánh giá đƣợc xác định dựa trên các kiến thức, kỹ năng cần thiết. Một trong các năng lực đƣợc đánh giá trong PISA là năng lực toán học phổ thông, với năng lực này, PISA đề xuất 7 năng lực toán học cơ bản trong đó có năng lực “Mô hình hóa toán học” [3]. Theo Chƣơngztrình giáozdục phổ thôngztổng thể (2017): “Giáozdục toánzhọc hình thànhzvà phátztriển cho HS năngzlực toán học với các thành tố cốtzlõi là: năng lựcztƣ duy và lập luậnztoán học, năngzlực MHH toánzhọc, năng lực giảizquyết vấnzđề toánzhọc… tạo cơzhội để học sinh đƣợc trảiznghiệm, ápzdụng toán họczvào đời sốngzthực tiễn. Giáo dục toánzhọc tạozdựng sự kếtznối giữa cáczý tƣởngztoán học, giữaztoán học với cáczmôn học kháczvà giữa toánzhọc vớizđời sống thựcztiễn” [4]. Nhƣ vậy, năng lực MHH toán học hay giải quyết vấn đề toán học gắn với thực tiễn đƣợc chú trọng và đề cao trong tất cả các năng lực toán học cần có ở HS. MHH trongzdạy họcztoán là quá trình giúp HS tìmzhiểu, khámzphá các tình huốngznảy sinh từzthực tiễnzbằng côngzcụ và ngônzngữ toánzhọc với sựzhỗ trợ của công nghệzthông tin [12]. Vậnzdụng MHH toánzhọc trongzgiảng dạyzgiúp GV phátzhuy tínhztích cực trongzhọc tậpzcủa HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “Mônztoán cózứngzdụng gì trong thựcztiễn và có vaiztrò quan trọngzgì trong việczgiải thích các hiệnztƣợng thựcztiễn?”. Điều nàyzcó ý nghĩazrất lớn trongzviệc gợizđộng cơ học tập ngay từ đầu chozHS. 1 Những năm gần đây, đã xuất hiện một số nghiên cứu về vận dụng MHH trong dạy học toán, tuy nhiên số lƣợng nghiên cứu chƣa nhiều, đặc biệt là các nghiên cứu về vận dụng MHH trong dạy học toán Trung học cơ sở (THCS). Hơn nữa, qua thực tế giảng dạy, nhiều GV cho biết HS rất hay gặp khó khăn và dễ nản chí khi gặp những bài toán có lời văn. HS không biết phải đặt ẩn và biểu diễn các đại lƣợng của bài toán theo ẩn nhƣ nào cho đúng, từ đó lập đƣợc phƣơng trình và tìm kết quả chính xác cho bài toán. Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn: “Vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học Phương trình bậc hai Đại số lớp 9”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng MHH toán học trong dạy học Phƣơng trình bậc hai Đại số lớp 9, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trƣờng THCS, giúp HS rèn luyện năng lực MHH toán học. 3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu 3.1. Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học môn toán ở trƣờng THCS và quá trình sử dụng các kiến thức toán học mô tả các tình huống thực tiễn. 3.2. Đối tượng nghiên cứu Vận dụng MHH toán học trong dạy học Phƣơng trình bậc hai Đại số lớp 9. 3.3. Phạm vi nghiên cứu Lớp 9 trƣờng THCS Phú La (Hà Đông, Hà Nội) và lớp 9 trƣờng Phổ thông Quốc tế Việt Nam (Hà Đông, Hà Nội). 4. Câu hỏi nghiên cứu - Câu hỏi 1: Thực trạng dạy học Đại số 9 – chủ đề phƣơng trình bậc hai) hiện nay từ quan điểm vận dụng MHH trong dạy học Toán ra sao? - Câu hỏi 2: Có thể vận dụng MHH trong dạy học Đại số 9 - chủ đề phƣơng trình bậc hai nhƣ thế nào? 2 - Câu hỏi 3: Việc thực hiện vận dụng MHH nhƣ vậy đƣợc thực tiễn chấp nhận nhƣ thế nào? 5. Giả thuyết khoa học Thiết kế và vận dụngzMHH toán học tổ chứczhoạt độngzhọc tập chủ đề Phƣơngztrình bậc hai sẽzhình thành vàzphát triểnzcác năng lựczMHH toánzhọc chozHS. 6. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng hệ thống khái niệm cơ bản; tìm hiểu thực trạng dạy và học Toán lớp 9 theo hƣớng vận dụng MHH. - Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng MHH toán học trong dạy học Phƣơng trình bậc hai – Đại số lớp 9. - Thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng MHH toán học trong dạy học môn toán ở trƣờng THCS. 7. Phƣơng pháp nghiên cứu 7.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận - Tìmzhiểu, nghiên cứu tài liệuztrong và ngoàiznƣớc vềzcác vấn đề có liên zz quan đến đề tài luận văn. - Nghiên cứu sách giáo khoa (SGK) toán 9 – Phần Đại số chủ đề Phƣơng trình bậc hai và các tài liệu tham khảo toán 9 số phục vụ hoàn thành luận văn. 7.2. Phương pháp điều tra, quan sát Quan sát, điểu tra thực trạng vận dụng MHH toán học trong dạy học môn toán lớp 9 ở trƣờng THCS qua các hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật ký ghi chép, phỏng vấn trực tiếp GV ở trƣờng THCS. 7.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp Phỏng vấn trực tiếp nhóm học sinh. 3 7.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trƣớc và sau khi thực nghiệm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. - Xử lý số liệu điều tra, số liệu thu đƣợc từ các bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm nhằm bƣớc đầu kiểm chứng tính khả thi, tính hiệu quả của giả thuyết nghiên cứu. 8. Đóng góp của luận văn 8.1. Những đóng góp về mặt lý luận - Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng MHH toán học giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. - Đề xuất đƣợc quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số hoạt động MHH trong dạy học toán và xây dựng hệ thống bài tập MHH, cũng nhƣ đƣa ra những gợi ý, chỉ dẫn về việc vận dụng MHH toán học giải quyết hệ thống bài tập đó. 8.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn - Nâng caozhiệu quảzdạy và họcznội dung Đạizsố lớp 9 – Phƣơngztrình bậczhai, tăngzcƣờng tính ứng dụng thựcztiễn củaztoán trong chƣơng trình môn toán ở trƣờng THCS. - Kết quả luận văn nhƣ một tài liệu tham khảo cho GV và HS trong giảng dạy và học tập môn toán ở trƣờng THCS. 9. Cấu trúc luận văn Chƣơng 1: Cơzsở lízluận vàzthực tiễn Chƣơng 2: Thiết kế một số hoạt động mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 9 Chƣơng 3: Thựcznghiệm sƣzphạm 4 CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tổng quan nghiên cứu Những năm gần đây, đã xuất hiện một số nghiên cứu về MHH trong dạy học toán, điển hình phải kể đến nhƣ: Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) với nghiên cứu “Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán” đƣợc đăng trên tạp chí Khoa học – Đại học sƣ phạm TPHCM [1]. Nghiên cứu đã chỉ ra MHH toán học sẽ là cầu nối các suy luận trong lớp học và suy luận trong những tình huống thực tế. Bài báo trình bày một số lí do cần thiết của MHH trong dạy học toán, chỉ ra các yếu tố cơ bản của chu trình MHH và minh họa cho các yếu tố đó. Bên cạnh đó, bài báo giới thiệu tóm tắt về lịch sử và các tiếp cận lí thuyết về MHH trong giáo dục toán để thấy đƣợc sự quan tâm của thế giới trong lĩnh vực này. Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2013) với bài báo “Xây dựng các tình huống dạy học hỗ trợ quá trình toán học hóa” đăng trên Khoa học – Đại học sƣ phạm TPHCM [2]. Bài báo giới thiệu quá trình toán học hóa cùng với các gợi ý xây dựng tình huống dạy học hỗ trợ quá trình này, đồng thời bài báo cũng đã trình bày các phân loại các tình huống toán học giúp cho việc sử dụng các tình huống vào dạy học thuận lợi và đúng mục đích hơn. Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) với nghiên cứu “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm” đƣợc đăng trên tạp chí Khoa học – Đại học sƣ phạm TPHCM [5]. Bài báo đã đề xuất đƣợc quy trình MHH với 4 bƣớc cơ bản nhằm hƣớng đến dạy học khái niệm đạo hàm cho HS, Bên cạnh đó, nghiên cứu cũng đã nhấn mạnh sự khác biệt giữa dạy học MHH và dạy học bằng MHH từ trình bày của Lê Văn Tiến (2005). Tác giả Nguyễn Danh Nam (2015) với nghiên cứu “Quy trình mô hình hóa trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông” đăng trên tạp chí Khoa học ĐHQGHN. Đề 5 tài đã điều chỉnh và đề xuất quy trình mô hình hóa với 7 bƣớc nhằm đơn giản hóa và dễ hiểu hơn đối với HS phổ thông [12]. Tác giả Phan Thị Thu Hiền (2015) với luận văn “Vận dụng phƣơng pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trƣờng trung học phổ thông”. Luận văn tập trung nghiên cứu và đề xuất những mô hình toán học về hàm số, phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình và tổ chức thực nghiệm khá thành công. Đa phần học sinh rất hứng thú và đạt đƣợc cấp độ cao về năng lực mô hình hóa [8]. Tác giả Nguyễn Thị Hƣơng (2016) với đề tài “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh khi dạy học các bài toán bằng cách lập phƣơng trình, hệ phƣơng trình”. Đề tài đã đƣa ra một số hoạt động và phƣơng pháp nhằm phát triển năng lực MHH toán học cho HS trong dạy học phƣơng trình, đề tài đã thực nghiệm và cho kết quả khả thi [9]. 1.2. Hệ thống khái niệm 1.2.1. Mô hình Theo Chevallard (1989): Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa đƣợc thiết kế để mô tả cấu trúc của hệ thống, cách vận hành của một hoặc các sự vật, hiện tƣợng thuộc hệ thống này [5]. Tác giả Nguyễn Danh Nam trong nghiên cứu “Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trƣờng phổ thông” đã đƣa ra định nghĩa: Mô hình đƣợc mô tả nhƣ một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy đƣợc các đặc điểm đặc trƣng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tƣợng mà không cần đến vật thật [12]. Tóm lại, mô hình là một hình thức mô tả, minh họa thay thế mà qua đó ta thấy đƣợc các đặc điểm, đặc trƣng của vật thể thực tế. 1.2.2. Mô hình toán học Mô hình toán học là một mô hình sử dụng ngôn ngữ toán để mô tả về một hệ thống. Mô hình toán học đƣợc sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và 6 chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ: vật lý, sinh học, và kĩ thuật điện tử) đồng thời trong cả khoa học xã hội (nhƣ kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị). - Mô hình về sự phát triển của dân số của Maỉhus: Giả sử tỉ lệ ngƣời sinh ra là b và tỉ lệ ngƣời chết đi là d đều là những hằng sô, thì tỷ lệ gia tăng dân số là r = b – d cũng là một hằng số. Giả sử thời kỳ đầu (t = 0) dân số là N0 thì dân số tại thời điểm t là Nt = N0.ert cũng chính là nói dân số tăng theo cấp số nhân. - Mô hình mô tả hành vi của khách hàng: Khách hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có. Trong mô hình này, ta xem xét trƣờng hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n mặt hàng đƣợc đánh nhãn 1,2,...,n, mỗi thứ có giá là p1, p2,..., pn. Giả thiết rằng khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tƣơng ứng cho số lƣợng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x1, x2,..., xn. Mô hình còn giả thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x1, x2,..., xn). Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách hàng trở thành bài toán tối ƣu hóa, nghĩa là: MaxU ( x1 , x2 , ..., xn ) thỏa mãn n px M i 1 i i ; xi  0 i 1,2,..., n Nhƣ vậy, mô hình toán học là sự thay thế cho vấn đề cần nghiên cứu trong toán học và thƣờng đƣợc thể hiện bằng ngôn ngữ toán học, trong đó ngôn ngữ toán học có thể là các kí hiệu toán học, có thể là các hình vẽ sơ đồ, bảng biểu...). Ví dụ 1.2.1: Trong kho có 500 tấn hàng, mỗi ngày ngƣời ta lấy đi 30 tấn hàng. Hỏi số hàng còn lại trong kho là bao nhiêu tấn sau 2 ngày, 4 ngày, 10 ngày? Mô hình toán học của tình huống này là hàm số bậc nhất y = 500 – 30x. Nhờ mô hình này, có thể trả lời dễ dàng: x = 2 thì y = 440; nếu x = 4 thì y = 380; x = 10 thì y = 200. Hay trong giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình, phƣơng trình là một mô hình toán học đã xuất hiện trong quá trình hình thành vài giải bài toán. 7 1.2.3. Mô hình hóa toán học MHH toán học: Có thể hiểu theo nghĩa hẹp là quá trình toán học hóa để xuất hiện mô hình toán học. Nghĩa là, ngƣời học cần vận dụng các tri thức vào việc giải các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học. MHH toán học: có thể hiểu theo nghĩa rộng là quá trình giải quyết vấn đề thực tiễn bằng công cụ toán học. Trong quá trình đó có xuất hiện mô hình toán học, làm việc với mô hình và hoàn thiện để có mô hình tốt nhất có thể. Hình 1.1. Sơ đồ mô hình hóa toán học Tác giả Lê Thị Hoài Châu đã đƣa ra khái niệm MHH toán học nhƣ sau: MHH toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [5]. 1.3. Bài toán thực tiễn và bài toán phỏng thực tiễn Theo Lê Văn Tiến (2005), bài toán nội dung thực tiễn là bài toán mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các mối quan hệ,... chứa đựng trong bài toán đều là các yếu tố của thực tiễn “thực” [14].Thực tiễn có thể từ nội dung ngành toán học khác (Đại số coi Hình học thuộc ngành khác), có thể từ môn học khác (các bài toán về chuyển động trong vật lí hay các bài toán về tỉ lệ các chất từ hóa học) và có thể từ thực tiễn đời sống nhƣ bài toán liên quan đến tài chính tiền tệ lãi suất, hay bài toán liên quan đến năng suất lao động, làm chung công việc…). Bài toán phỏng thực tiễn là bài toán mà các dữ kiện, các biến, các yêu cầu, các câu hỏi, các mối quan hệ,…không phải là các yếu tố của thực tiễn “thực”mà chỉ là sự mô phỏng (hay phản chiếu) của thực tiễn này. Sự sai biệt giữa bài toán nội 8 dung thực tiễn và bài toán thực tiễn là hệ quả của hệ thống dạy học. Chẳng hạn, giá trị của các dữ kiện đƣợc cho trong bài toán thƣờng đƣợc chọn sao cho việc tính toán không quá phức tạp, kết quả giải (đáp số) đẹp hơn. Nhƣ vậy các bài toán có áp dụng tri thức toán trong chƣơng trình Toán phổ thông sẽ chủ yếu là các bài toán phỏng thực tiễn. Việc giải bài toán thực tiễn hay bài toán phỏng thực tiễn chính là quá trình giải bài toán toán học, nghĩa là HS cần chuyển bài toán thực tiễn hoặc phỏng thực tiễn sang bài toán toán học bằng cách diễn đạt bằng ngôn ngữ và kí hiệu toán học, từ đó HS dễ dàng dùng các công cụ toán học sẵn có để giải quyết, quá trình này liên hệ chặt chẽ với hình thành và phát triển năng lực MHH toán học. Để làm đƣợc điều này học sinh phải có khả năng thu nhận đƣợc thông tin toán học từ tình huống thực tế ban đầu, chuyển đổi thông tin giữa thực tế và toán học, thiết lập đƣợc mô hình toán học từ tình huống thực tế. Trong sách giáo khoa môn Toán ở THCS, quy trình giải các bài toán thực tế không đƣợc đƣa vào một cách tƣờng minh mà chỉ đƣợc đƣa vào trong trƣờng hợp cụ thể đó là quy trình giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình hoặc hệ phƣơng trình (Toán 8) gồm 3 bƣớc đó là: - Bƣớc 1: Lập phƣơng trình: Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; biểu diễn các đại lƣợng chƣa biết theo ẩn và các đại lƣợng đã biết; lập phƣơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lƣợng. - Bƣớc 2: Giải phƣơng trình. - Bƣớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phƣơng trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận. Quy trình đƣợc phát biểu lại trong sách GV Toán 9 (trang 60) nhƣ sau: “1. Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn; 2.Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn; 3.Lập phương trình; 4.Giải phương trình; 5.Trả lời”. Các bƣớc này không đƣợc đƣa ra trong SGK lớp 9. Nhƣ vậy kĩ năng HS phải lĩnh hội chủ yếu là kĩ năng lập và giải 9 PT từ một bài toán có nội dung thực tế, trong đó kĩ năng “lập phƣơng trình” bị coi nhẹ hơn so với kĩ năng “giải phƣơng trình”. Tuy nhiên chúng ta đều biết một trong những kĩ năng quan trong chính là việc chuyển từ các bài toán có nội dung thực tiễn về các mô hình toán học, nói cách khác là “lập phƣơng trình” chúng. Trong SGK Toán 9 – tập 2 đƣa ra Ví dụ 1 trang 20: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngƣợc lại thì đƣợc một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị. Cách giải sách đƣa ra có bƣớc đầu phân tích dữ kiện bài toán để đƣa ra đƣợc điều kiện về hai chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị (đều khác 0). Sau đó gọi chữ số hàng chục là x, chữ số hàng đơn vị là y... Nhƣ vậy việc lập phƣơng trình – khâu quan trọng trong dạy học bài toán có nội dung thực tiễn và từ đó dạy học MHH, đƣợc chỉ dẫn từng bƣớc không phát huy đƣợc tính sáng tạo của HS để thông qua đó hình thành các kỹ năng MHH toán học và kỹ năng áp dụng toán học vào cuộc sống [13]. 1.4. Dạy học theo hƣớng vận dụng mô hình hóa Nói về MHH trong dạy học toán, tác giả Lê Văn Tiến (2005) phân biệt hai khái niệm Dạy học MHH và dạy học bằng MHH [14]. - Dạy học MHH là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn. [...] Quy trình dạy học có thể là: Dạy học tri thức toán học lí thuyết  Vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học. - Dạy học bằng MHH: là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn. 10 Quy trình dạy học tƣơng ứng có thể là: Bài toán thực tiễn Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lời cho bài toán thực tiễn  Tri thức cần giảng dạy  Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn. Dạy học bằng MHH cho phép tri thức cần giảng dạy sẽ hình thành từ quá trình nghiên cứu các vấn đề thực tiễn, nảy sinh với tƣ cách là kết quả hay phƣơng tiện giải quyết vấn đề. Nhƣ vậy, thông qua dạy học bằng MHH sẽ phát triển đƣợc năng lực MHH cho học sinh một cách tích cực và tự nhiên nhất. Qua đó, HS có thể tiếp cận bài toán và xây dựng mô hình toán học phù hợp, từ đó đối chiếu xem mô hình đó có tối ƣu không và đƣa ra câu trả lời chính xác cho bài toán thực tiễn. 1.5. Chu trình hoạt động mô hình hóa 1.5.1. Cơ sở lí luận MHH thƣờng đƣợc mô tả kĩ hơn qua các bƣớc của cả quá trình MHH. Nhiều sơ đồ đã đƣợc sử dụng để chỉ ra bản chất của hoạt động MHH toán học, nhƣ là một hƣớng dẫn để thiết kế các nhiệm vụ MHH và thực hiện MHH trong lớp học [1]. Sơ đồ của Blum (2005): sơ đồ này đƣợc xem là cơ sở cho tất cả các hoạt động MHH và những thay đổi của các chu trình MHH ngày nay. Hình 1.2. Chu trình MHH 7 bước của Blum [16] 11