Tài liệu Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC .. BÙI QUANG THIỆN VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI QUANG THIỆN VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ HOÀI AN Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii 1 Tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic 1.1 1.2 1.3 1 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange . 1 1.1.2 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic . . . . . . 7 1.2.1 Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ 7 1.2.2 Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập 8 . . . . . . . Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 1.3.2 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh của tập hợp điểm và áp dụng 15 ii 2.1 Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Đa thức duy nhất của hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Đa thức duy nhất kiểu Yn,m . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Đa thức duy nhất kiểu Fn,b . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Hàm hữu tỷ chung nhau tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1 Tập duy nhất cho hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 0 Tập duy nhất kiểu Fn,b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng” là của tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ. Tác giả Bùi Quang Thiện iv Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Vũ Hoài An. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Sau quá trình nhận đề tài và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy, luận văn “Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng” của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ, PGS. TS. Trịnh Thanh Hải đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sức tốt đẹp. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K6B (Khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. v Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề nội suy cho đa thức là vấn đề kinh điển của Toán học sơ cấp. Newton, Lagrange đã giải quyết vấn đề này đối với đa thức với hệ số thực. Hai ông đã đưa ra công thức nội suy mà ngày nay được gọi là Công thức nội suy Newton, Công thức nội suy Lagrange. Đây là các công thức nội suy với hữu hạn mốc nội suy. Trong trường hợp vô hạn mốc nội suy, vấn đề nội suy cho hàm nguyên đã là bài toán mở trong một thời gian dài. Năm 1979, Hà Huy Khoái là người đầu tiên mở rộng vấn đề nội suy cho đa thức cho các hàm nguyên p-adic [4]. Ông đã tìm được điều kiện cần và đủ để xác định hàm nguyên p-adic từ vô hạn mốc nội suy. Trong trường hợp hàm nguyên phức, vấn đề này vẫn chưa được giải quyết. Điều thú vị ở đây là, xuất phát từ vấn đề nội suy cho các hàm nguyên p-adic, Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng lý thuyết phân bố giá trị cho các hàm phân hình p-adic (xem [5]). Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý thuyết phân bố giá trị (p-adic) là vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm. Kết quả kinh điển đầu tiên của vấn đề này là Định lý 4 điểm của Nevalinna. Có hai hướng mở rộng định lý 4 điểm: 1. Xét nghịch ảnh riêng rẽ của điểm. 2. Xét nghịch ảnh của tập hợp điểm. Mặt khác, từ Công thức nội suy Newton, Công thức nội suy Lagrange, vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số thực được giải quyết qua n + 1 mốc nội suy. Nhận xét rằng, có sự tương tự giữa vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số thực được giải quyết qua n + 1 mốc nội suy với vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng p-adic vi qua điều kiện ảnh ngược của tập điểm. Điều này gợi ý cho chúng tôi xem xét vấn đề nội suy cho đa thức dưới góc độ của lý thuyết phân bố trị. Theo hướng tiếp cận này, luận văn nghiên cứu Vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức. 2. Mục tiêu nghiên cứu Trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương tự các định lý duy nhất đối với hàm phân hình p-adic trong [6] cho Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. 3. Nội dung nghiên cứu và Phương pháp nghiên cứu 3.1. Tổng hợp và trình bày về vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học phổ thông. 3.2. Trình bày tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic. 3.3. Tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương tự các định lý duy nhất đối với hàm phân hình p-adic cho Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. 4. Kết quả nghiên cứu Luận văn tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1]. Cụ thể là: • Định lý 2.1.1 là tương tự của Định lý 4 điểm trong [6]. • Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý 3.9 trong [6]. • Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6]. • Định lý 2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6]. 5. Bố cục luận văn Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. vii Chương 1. Trong Chương 1, chúng tôi tổng hợp và trình bày về vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông, trình bày tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic. Chúng tôi cũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đã được đưa ra trong [1] và đã được trình bày lại ở [2]. Chương 2. Trong Chương 2 chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức đã đưa ra trong [1]. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Học viên Bùi Quang Thiện viii Bảng ký hiệu f Hàm hữu tỷ n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a Tf Hàm đặc trưng của f Ef (S) Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f E f (S) K Ảnh ngược không tính bội của S đối với f Trường đóng đại số, đặc trưng không 1 Chương 1 Tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic 1.1 Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông 1.1.1 Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange Công thức nội suy Newton Ví dụ 1.1.1. Xác định đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện P (1) = 2, P (2) = 5, P (3) = 12. Nếu P (1) = 2 ta có đa thức thỏa mãn điều kiện là đa thức A(x) = 2. Nếu B(1) = 2 và B(2) = 5 thì đa thức B(x) là B(x) = A(x) + α(x − 1) = 2 + α(x − 1). Khi đó B(1) = A(1) = 2 B(2) = 2 + α B(2) = 5 ta chọn α = 3. Ta có B(x) = 2 + 3(x − 1). Vậy tương tự như trên ta tìm đa thức P (x) sao cho P (1) = 2, P (2) = 5, 2 P (3) = 12. Ta xét đa thức có dạng P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2) = 2 + 3(x − 1) + α(x − 1)(x − 2). Bởi vì P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2) chúng ta có ngay P (1) = B(1) = 2, P (2) = B(2) = 5. Còn P (3) = 8 + 2α để P (3) = 12 thì α = 2. Ta có P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2). Khi đó đa thức P (x) cần tìm là P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2) = 2x2 − 3x + 3. Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét bài toán tổng quát. Nếu x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 số thực khác nhau và y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 là n + 1 số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm đa thức P (x) có bậc bé thua hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện. P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 . Theo như ví dụ mà chúng ta đã giải ở trên, thì đa thức P (x) có dạng P (x) = α1 +α2 (x−x1 )+α3 (x−x1 )(x−x2 )+. . .+αn+1 (x−x1 )(x−x2 ) . . . (x−xn+1 ). Công thức này gọi là công thức nội suy Newton. Nếu chúng ta thay x = x1 vào công thức nội suy Newton thì chúng ta sẽ xác định được giá trị của hệ số α1 . Tiếp đó, nếu chúng ta thay x = x2 vào công thức nội suy thì chúng ta sẽ xác định được giá trị của hệ số α2 . Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng αn+1 sẽ được xác định nếu chúng ta thay x = xn+1 . Ví dụ 1.1.2. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1, P (2) = 1, P (3) = 2, P (4) = 3, P (5) = 5. Chúng ta dùng công thức nội suy Newton. P (x) = α1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3) 3 + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). Thay x = 1 vào công thức cần tìm, chúng ta có P (1) = α1 = 1 P (x) = 1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3) + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). Thay x = 2, ta có P (2) = 1 + α2 = 1 do đó α2 = 0. Vậy P (x) = 1 + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3) + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). 1 Thay x = 3, ta có P (3) = 1 + 2α3 = 2, do đó α3 = , vậy 2 1 P (x) = 1+ (x−1)(x−2)+α4 (x−1)(x−2)(x−3)+α5 (x−1)(x−2)(x−3)(x−4). 2 Thay x = 5, chúng ta có P (5) = 2 + 24α5 , do đó α5 = 1 . Do đó đa thức cần 12 tìm là 1 1 1 P (x) = 1+ (x−1)(x−2)− (x−1)(x−2)(x−3)+ (x−1)(x−2)(x−3)(x−4). 2 6 12 Ví dụ 1.1.3. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1, P (2) = 4, P (3) = 9, P (4) = 16, P (5) = 25. Chúng ta dùng công thức nội suy Newton. P (x) = α1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3) + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). Thay x = 1 vào công thức trên, chúng ta có P (1) = α1 = 1, vậy P (x) = 1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3) + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). Thay x = 2, chúng ta có P (2) = 1 + α2 = 4, do đó α2 = 3, vậy P (x) = 1 + 3(x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3) 4 + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). Thay x = 3, chúng ta có P (3) = 7 + 2α3 = 9, do đó α3 = 1, vậy P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3) + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). Thay x = 4, chúng ta có P (4) = 16 + 6α4 = 16, do đó α4 = 0, vậy P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4). Thay x = 5, chúng ta có P (5) = 25 + 24α5 = 25, do đó α5 = 0. Do đó đa thức cần tìm là P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) = x2 . Qua đây chúng ta thấy rằng đa thức P (x) xác định bởi điều kiện P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 có thể có bậc bằng n, nhưng cũng có thể có bậc bé hơn n. Công thức nội suy Lagrange Nếu x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 là n + 1 số thực khác nhau, và y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 là n + 1 số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 Chúng ta thấy rằng đa thức P (x) có thể được xây dựng từ các đa thức P1 (x), P2 (x), . . . , Pn (x), Pn+1 (x) như sau P (x) = y1 P1 (x) + y2 P2 (x) + . . . + yn Pn (x) + yn+1 Pn+1 (x) trong đó, các đa thức P1 (x), . . . , Pn+1 (x) được xác định như sau (x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 ) (x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xn )(x1 − xn+1 ) (x − x1 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 ) P2 (x) = (x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xn )(x2 − xn+1 ) P1 (x) = 5 ...... (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn+1 ) (xn − x1 )(xn − x2 ) . . . (xn − xn−1 )(xn − xn+1 ) (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn ) Pn+1 (x) = . (xn+1 − x1 )(xn+1 − x2 ) . . . (xn+1 − xn−1 )(xn+1 − xn ) Pn (x) = Các đa thức này thỏa mãn điều kiện P1 (x1 ) = 1, P1 (x2 ) = 0, P1 (x3 ) = 0, . . . , P1 (xn ) = 0, P1 (xn+1 ) = 0 P2 (x1 ) = 0, P2 (x2 ) = 1, P2 (x3 ) = 0, . . . , P2 (xn ) = 0, P2 (xn+1 ) = 0 ......... Pn (x1 ) = 0, Pn (x2 ) = 0, Pn (x3 ) = 0, . . . , Pn (xn ) = 1, Pn (xn+1 ) = 0 Pn+1 (x1 ) = 0, Pn+1 (x2 ) = 0, Pn+1 (x3 ) = 0, . . . , Pn+1 (xn ) = 0, Pn+1 (xn+1 ) = 1. Tóm lại (x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 ) (x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xn )(x1 − xn+1 ) (x − x1 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 ) + y2 + ... (x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xn )(x2 − xn+1 ) (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn+1 ) + yn (xn − x1 )(xn − x2 ) . . . (xn − xn−1 )(xn − xn+1 ) (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn ) + yn+1 . (xn+1 − x1 )(xn+1 − x2 ) . . . (xn+1 − xn−1 )(xn+1 − xn ) P (x) = y1 Hay viết gọn lại P (x) = n+1 X i=1 yi Y x − xj . xi − xj Đây chính là công thức nội suy Lagrange. Ví dụ 1.1.4. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1, P (2) = 1, P (3) = 2, P (4) = 3, P (5) = 5. Chúng ta dùng công thức nội suy Lagrange P (x) = (x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) (x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5) + (1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5) (2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5) (x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5) +2 +3 (3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5) (4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5) 6 +5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) . (5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4) Ví dụ 1.1.5. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1, P (2) = 4, P (3) = 9, P (4) = 16, P (5) = 25. Dùng công thức nội suy Lagrange thì P (x) = 1.1.2 (x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) (x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5) +4 (1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5) (2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5) (x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5) + 16 +9 (3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5) (4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) + 25 . (5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4) Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông Định lý 1.1.1. Nếu x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 là n + 1 số thực khác nhau, và y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 là n + 1 số thực bất kỳ thì sẽ tồn tại duy nhất một đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 . Định lý trên nói rằng một đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n sẽ được xác định một cách duy nhất bằng n + 1 giá trị của nó. Ví dụ 1.1.6. Xác định đa thức f (x) ∈ R[x] biết 1, f (1) = 2, f (2) = 3, degf = 1. 2, f (1) = 0, f (2) = 0, degf = 2. 1, Xét đa thức f (x) = ax + b f (1) = 2 và f (2) = 3 suy ra a = 1, b = 1 Vậy f (x) = x + 1. 2, Xét đa thức f (x) = α1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) Thay x = 1 vào đa thức trên ta có f (1) = α1 = 0 7 Khi đó f (x) = α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) Thay x = 2 vào đa thức f (2) = α2 = 0 Khi đó f (x) = α3 (x − 1)(x − 2) Chọn α3 = 1 ta có f (x) = (x − 1)(x − 2) = x2 − 3x + 2 1.2 Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic và các định lý được phát biểu ở đây là được Yang - Hu đề cập trong [6]. Ký hiệu Cp là trường số phức p-adic, Cp là trường đóng đại số, đặc trưng 0 và đầy đủ với chuẩn không acsimét. 1.2.1 Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ Định lý 1.2.1. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp và a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị phân biệt trong Cp ∪ {∞}. Khi đó nếu E f (aj ) = E g (aj ), j = 1, 2, 3, 4 thì f ≡ g. Định lý 1.2.2. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp , a1 , . . . , aq là q giá trị khác nhau trên Cp ∪ {∞} và lấy kj ∈ Z+ ∪ {∞}, (j = 1, . . . , q) với k1 > k2 > . . . > kq , q X j=3 kj > 2. kj + 1 Khi đó, f ≡ g nếu f và g thỏa mãn E 6kj (aj ) = E 6kj (aj), j = 1, . . . , q. 8 1.2.2 Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập Xét đa thức sau Fn,b (z) = (n − 1)(n − 2) n n(n − 1) n−2 z − n(n − 2)z n−1 + z + b, 2 2 0 trong đó b ∈ Cp − {0, 1}. Ta cũng ký hiệu tập các không điểm Fn,b bởi Fn,b . 0 Chú ý rằng Fn,b có n giá trị phân biệt. 0 Định lý 1.2.3. Cho n > 10 là một số nguyên, khi đó tập Fn,b là tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng. Tiếp theo ta xét vấn đề chung nhất tính với bội chặn. Cho m0 là số nguyên dương hoặc ∞, F là một họ nào đó các hàm xác định trên Cp lấy giá trị trên Cp ∪ {∞}. Với f ∈ F và S là một tập con của Cp ∪ {∞}, ta ký hiệu [ Efm0 (S) = {(z, m) ∈ Cp × N|f (z) = a với bội n và m = min(n, m0 )}. a∈S Trong trường hợp m0 = ∞ (tương ứng, m0 = 1), ta viết Ef∞ (S) = Ef (S) (tương ứng, Ef1 (S) = E f (S)). Định nghĩa 1.2.1. Tập hợp S được gọi là tập xác định duy nhất (cho ngắn gọn, ta dùng ký hiệu URS) tính bội chặn m0 nếu với mọi cặp các hàm phân hình khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện Efm0 (S) = Egm0 (S) thìf ≡ g. Để đơn giản, trong trường hợp m0 = ∞ tập S thỏa mãn điều kiện trên được gọi là URS, còn với m0 = 1 ta gọi S là URS không tính bội. Khi đó ta cũng có thể gọi rằng hai hàm f và g phân chia tập S tính bội chặn m0 . Định nghĩa 1.2.2. Một đa thức khác hằng P (z) ∈ Cp [z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F và hằng số khác không c ∈ Cp thỏa mãn điều kiện P (f ) = cP (g) thì f = g. 9 Tương tự, ta gọi một đa thức khác hằng P (z) là đa thức duy nhất yếu cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện P (f ) = P (g) thì f = g. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng. Cho một điểm a ∈ Cp ta xét hàm Vfa : Cp → Z xác định bởi công thức Vfa (z) =  0 nếu f (z) 6= a m nếu z là không điểm bậc m của f − a. Định nghĩa 1.2.3. Cho tập S = {a1 , a2 , . . . , aq } ⊂ Cp và đa thức P (z) = (z − a1 )(z − a2 ) . . . (z − aq ). Khi đó P được gọi là đa thức liên kết với S. Ta viết đạo hàm của đa thức P dưới dạng sau P 0 (z) = r(z − d1 )n (z − d2 )n . . . (z − dk )qk , và k được gọi là chỉ số đạo hàm của P. Định nghĩa 1.2.4. Đa thức P (z) khác không được gọi là thỏa mãn điều kiện (H) nếu P (d1 ) 6= P (dm ) với mọi 1 6 l 6 m 6 k. Định lý 1.2.4. Cho m0 là một số nguyên dương hoặc ∞. Giả sử P (z) là đa thức duy nhất mạnh bậc q thỏa mãn điều kiện (H), có chỉ số đạo hàm k > 3, hoặc k = 2 và min(q1 , q2 ) > 2. Giả sử S là tập các nghiệm của P . Hơn nữa, các điều kiện sau đây được thỏa mãn a, q > 2k + 11 trong trường hợp m0 = 1, b, q > 2k + 4 + 5 trong trường hợp m0 > 2, m0 − 1 c, q > 2k + 5 trong trường hợp m0 = ∞. Khi đó, S là URS tính bội chặn m0 cho các hàm phân hình. Đặc biệt, S là URS tính bội chặn m0 cho các hàm nguyên khi các điều kiện sau đây thỏa mãn 10 g, q > 2k + 4 trong trường hợp m0 = 1, h, q > 2k + 2 + 1 trong trường hợp m0 > 2, m0 − 1 k, q > 2k + 1 trong trường hợp m0 = ∞. Tiếp theo, chúng tôi nêu khái quát phương pháp chứng minh các định lý vừa phát biểu trên đây như sau. Đối với trường hợp hai hàm phân hình nhận chung các điểm riêng rẽ. Dùng định lý chính thứ hai, xét bội của không điểm để chuyển hàm đếm tính với bội 1 về hàm đặc trưng, sau đó ước lượng trên hàm đặc trưng và cho bán kính của đĩa đang xét tiến ra vô hạn. Đối với trường hợp hai hàm phân hình nhận chung một tập. Dùng giả thiết nhận chung một tập, đưa về phương trình hàm. Dùng hai định lý chính để phương trình hàm có nghiệm duy nhất. 1.3 Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không 1.3.1 Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không Tiếp theo, tôi nhắc lại các kết quả trong [1] đã được trình bày ở [2]. Từ đây trở đi, ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, đặc trưng không. Giả sử f là đa thức khác hằng có bậc n trên K và a là không điểm của f . Khi đó viết f = (z − a)m p(z) với p(a) 6= 0. Ta gọi m là bội của không điểm a của f . Đặt µ0f (a) = m. Giả sử d ∈ K và l là số nguyên dương. Ký hiệu n(f ) là số các không điểm của f tính cả bội; n(f, d) = n(f − d), nl (f ) = q X i=1 min{mi , l}, nl (f, d) = nl (f − d),