Tài liệu Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số đặc trưng không và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC .. VŨ THỊ THÙY DUNG VẤN ĐỀ NHẬN GIÁ TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THÙY DUNG VẤN ĐỀ NHẬN GIÁ TRỊ CỦA HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ HOÀI AN Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic 1.1 1.2 1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Các định lý xác định tập giá trị của hàm số liên tục . . . 1 1.1.2 Các phương pháp tìm tập giá trị . . . . . . . . . . . . . 2 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic . . . . . . 18 1.2.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . 18 1.2.2 Một số kết quả của lý thuyết Nevanlinna p-adic . . . . . 21 2 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng 2.1 Vấn đề nhận giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 25 26 Một số áp dụng của các Định lý nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc số không . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Vấn đề nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng” là của tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ. Tác giả Vũ Thị Thùy Dung iii Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Vũ Hoài An. Sau quá trình nhận đề tài và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy, luận văn “Vấn đề nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng” của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin cảm ơn GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. TS Đàm Văn Nhỉ, PGS.TS Trịnh Thanh Hải đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sức tốt đẹp. Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng và Trường trung học phổ thông Hồng Bàng nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K6B (khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Tác giả Vũ Thị Thùy Dung iv Bảng ký hiệu f n(f, a) T (f ) K Hàm hữu tỷ Hàm đếm của f tại điểm a Hàm đặc trưng của f Trường đóng đại số, đặc trưng không. v Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Năm 1983, R. C. Mason chứng minh định lý rất đẹp sau đây cho đa thức (xem [2]): Định lý A. Giả sử a(t), b(t), c(t) là các đa thức với hệ số phức, nguyên tố cùng nhau từng cặp và thỏa mãn hệ thức a(t)+b(t) = c(t). Khi đó, nếu ký hiệu n0 (f ) số nghiệm phân biệt của một đa thức f , thì ta có max{dega, degb, degc} 6 n0 (abc) − 1. Mặt khác, trong [5], Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư đã chứng minh kết quả sau đây: Định lý B. Giả sử f là hàm phân hình trên Cp , a1 , . . . , aq ∈ Cp ∪ {∞}. Khi đó (q − 2)Tf (r) 6 q X N1,f (ai , r) − log r + O(1). i=1 Xét đa thức f (x) ∈ Cp [x], degf = d. Viết f (x) = (x − z1 )m1 . . . (x − zk )mk . Ta có Tf (r) = d log r, N1,f (0, r) = k log r. Từ đây và quan sát hai định lý trên, chúng ta thấy có sự tương tự giữa bậc của đa thức f : degf với Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic: Tf (r); Số nghiệm của đa thức f : n0 (f ) với Hàm đếm không điểm của f tính với bội 1: N1,f (0, r). Nhận xét này gợi ý cho việc tương tự Định lý B đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Từ đó nhận lại Định lý A và các hệ quả của nó. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét Vấn đề nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng. vi 2. Mục tiêu nghiên cứu. 2.1. Tổng hợp, trình bày các kết quả trong [1]. Các kết quả này là tương tự các Định lý B cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không (Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12). 2.2. Trình bày lại áp dụng của Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12, trong đó có cách chứng minh khác cho Định lý Mason(xem [1]). 3. Nội dung nghiên cứu Vấn đề 1. Xét vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông. Xét vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic. Vấn đề 2. Xét vấn đề nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. 4. Kết quả nghiên cứu 4.1. Tổng hợp và trình bày các ví dụ về vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông.Tổng hợp và trình bày tổng quan một số kết quả chính có liên quan của Lý thuyết Nevanlinna p-adic. 4.2. Tổng hợp và trình bày lại các định lý nhận giá trị ở trong [1] và áp dụng của nó. Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày các kết quả trong [1], các kết quả này tương tự hai định lý chính của Lý thuyết Nevalinna cho hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Từ đó trình bày lại hai áp dụng, trong đó có một chứng minh khác Định lý Mason. Cụ thể là: • Định lý 2.1.11, Định lý 2.1.12. • Từ Định lý 2.1.11 nhận được Định lý 2.2.1. Định lý 2.2.1 là một điều kiện đủ để xác định khi nào một hữu tỷ là hàm hằng. • Từ Định lý 2.1.12 nhận được Định lý 2.2.2 - Định lý Mason. vii Luận văn là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên Toán trung học phổ thông, học viên Cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp. 5. Bố cục luận văn Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1. Trong chương này chúng tôi tổng hợp và trình bày các nội dung về vấn đề nhận giá trị đối hàm số thực trong toán học trung học phổ thông và vấn đề nhận giá trị đối hàm phân hình p-adic. Chương 2. Trong chương này chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đề nhận giá trị đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng (xem [1]). 1 Chương 1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình p-adic Trong chương 1, chúng tôi trình bày vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học phổ thông và hàm phân hình p-adic[5-6]. 1.1 Về vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông Vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông là như sau: Cho f là hàm số thực sơ cấp với tập xác định là D, a ∈ R ∪ {∞}. Hãy xét f có nhận a ? Công cụ chính để giải quyết vấn đề này là các định lý về hàm liên tục và khả vi [3], điều kiện có nghiệm của một số kiểu phương trình trong toán học trung học phổ thông. 1.1.1 Các định lý xác định tập giá trị của hàm số liên tục Ở đây chúng tôi trình bày lại các kiến thức trong [3]. Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f : A 7→ R; x0 ∈ A. Nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho ∀x ∈ A : |x − x0 | < δ, |f (x) − f (x0 )| < ε thì ta nói f liên tục tại điểm x0 . • Nếu f liên tục tại mọi điểm x0 ∈ A thì ta nói f liên tục trên A. 2 • Nếu f không liên tục tại điểm x0 ∈ A thì ta nói f gián đoạn tại điểm x0 ∈ A. Định lý 1.1.2. Nếu f liên tục trên [a, b] thì nó đạt cận trên đúng và cận dưới 0 đúng, tức là tồn tại hai số x0 và x0 thuộc [a, b] sao cho: f (x0 ) = max f (x) và 0 f (x0 ) = min f (x). Định lý 1.1.3. (Định lý về không điểm) Nếu f liên tục trên [a, b] và f (a)f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ [a, b] sao cho f (c) = 0. Định lý 1.1.4. (Định lý về quan hệ giữa tính đơn điệu và tính liên tục) Cho f là một hàm đơn điệu. Điều kiện cần và đủ để f liên tục trên [a, b] là miền giá trị của nó là một đoạn với hai đầu mút là f (a) và f (b). Ví dụ 1.1.5. Hàm số y = −x + 1 liên tục tại mọi điểm thuộc R. Thật vậy, lấy x0 ∈ R bất kỳ, ∀ε > 0 chọn δ=ε thì khi |x − x0 | < δ ta có |f (x) − f (x0 )| < ε. Ví dụ 1.1.6. Hàm số y=sin x liên tục trên R. Thật vậy ta có: x + x0 x − x0 x − x0 || sin | 6 2| | = |x − x0 |. 2 2 2 π π Vì |sin t| 6 |t|, ∀0 6 t 6 . Do đó ∀ε > 0, ∃δ = min(ε, ) nên | sin x − sin x0 | < 2 2 ε. | sin x − sin x0 | = 2| cos 1.1.2 Các phương pháp tìm tập giá trị Các ví dụ sau đây là quen thuộc đối với giáo viên toán trung học phổ thông. 3 Phương pháp 1: Dùng định nghĩa và điều kiện có nghiệm của phương trình để tìm tập giá trị của hàm số thực trong toán học trung học phổ thông. Vấn đề nhận giá trị đối với hàm số thực trong toán học trung học phổ thông liên quan đến tập giá trị của hàm số thực và ứng dụng của nó. Trong mục này, chúng tôi đưa ra các ví dụ tìm tập giá trị và ứng dụng của khái niệm này vào phương trình, bất phương và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thực trong toán học trung học phổ thông. Ví dụ 1.1.7. Cho y là hàm số thực xác định trên D. Xác định tập giá trị của y biết y = fi (x), i = 1, . . . , 6, với : sin x + cos x − 1 f1 (x) = ; f2 (x) = sin x − cos x + 3 cos x + sin x + 1 f3 (x) = ; f4 (x) = cos x − sin x − 2 sin x + cos x f5 (x) = ; f6 (x) = sin x − cos x − 2 cos x + 2 sin x + 3 2 cos x − sin x + 4 sin x + 1 2 cos x − sin x − 3 cos x + 3 2 cos x − sin x + 3 Lời giải sin x + cos x − 1 a) f1 (x) = sin x − cos x + 3 sin x + cos x − 1 Đặt y = sin x − cos x + 3 sin x + cos x − 1 (1a) Xét phương trình : y = sin x − cos x + 3 y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (1a) với ẩn x, tham số y có nghiệm. Ta có : (1a) ⇔ sin x + cos x − 1 = y sin x − y cos x + 3y ⇔ (y − 1) sin x − (y + 1) cos x = −3y − 1 ⇒ (y − 1)2 + (y + 1)2 ≥ (3y + 1)2 ⇔ 7y 2 + 6y − 1 ≤ 0 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 7 h 1i T Tập giá trị G1 = − 1, D. 7 4 cos x + 2 sin x + 3 . 2 cos x − sin x + 4 cos x + 2 sin x + 3 Đặt y = 2 cos x − sin x + 4 cos x + 2 sin x + 3 (2b) Xét phương trình : y = 2 cos x − sin x + 4 y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (2b) với ẩn x, tham b, f2 (x) = số y có nghiệm. Ta có : (2b) ⇔ cos x + 2 sin x + 3 = 2y cos x − y sin x + 4y ⇔ (1 − 2y) cos x + (y + 2) sin x = 4y − 3 ⇒ (4y − 3)2 ≤ (y + 2)2 + (1 − 2y)2 ⇔ 11y 2 − 24y + 4 ≤ 0 2 ≤y≤2 ⇔ 11 h 2 iT ,2 D. Tập giá trị G2 = 11 cos x + sin x + 1 c, f3 (x) = cos x − sin x − 2 cos x + sin x + 1 Đặt y = cos x − sin x − 2 cos x + sin x + 1 (3c) Xét phương trình : y = cos x − sin x − 2 y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (3c) với ẩn x, tham số y có nghiệm. Ta có : (3c) ⇔ cos x + sin x + 1 = y cos x − y sin x − 2y ⇔ (1 − y) cos x + (1 + y) sin x = −1 − 2y ⇒ (1 + y)2 + (1 − y)2 ≥ (1 + 2y)2 ⇔ 2y 2 + 4y − 1 ≤ 0 r r 3 3 ⇔ −1 − ≤ y ≤ −1 + 2 2 r r i h 3 3 T , −1 + D. Tập giá trị G3 = − 1 − 2 2 5 sin x + 1 2 cos x − sin x − 3 sin x + 1 Đặt y = 2 cos x − sin x − 3 sin x + 1 (4d) Xét phương trình : y = 2 cos x − sin x − 3 y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (4d) với ẩn x, tham d, f4 (x) = số y có nghiệm. Ta có : (4d) ⇔ sin x + 1 = 2y cos x − y sin x − 3y ⇔ (y + 1) sin x − 2y cos x = −1 − 3y ⇒ (1 + y)2 + (2y)2 ≥ (1 + 3y)2 ⇔ 1 + 2y + y 2 + 4y 2 ≥ 1 + 6y + 9y 2 ⇔ 4y 2 + 4y ≤ 0 ⇔ y2 + y ≤ 0 ⇔ −1 ≤ y ≤ 0 T Tập giá trị G4 = [−1, 0] D. sin x + cos x e, f5 (x) = sin x − cos x − 2 sin x + cos x Đặt y = sin x − cos x − 2 sin x + cos x Xét phương trình : y = (5e) sin x − cos x − 2 y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (5e) với ẩn x, tham số y có nghiệm. Ta có : (5e) ⇔ sin x + cos x = y sin x − y cos x − 2y ⇔ (1 + y) cos x + (1 − y) sin x = −2y ⇒ (1 − y)2 + (1 + y)2 ≥ (2y)2 ⇔ 2y 2 ≤ 2 ⇔ y2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1 6 T Tập giá trị G5 = [−1, 1] D. cos x + 3 f, f6 (x) = 2 cos x − sin x + 3 cos x + 3 Đặt y = 2 cos x − sin x + 3 cos x + 3 Xét phương trình : y = (6f) 2 cos x − sin x + 3 y thuộc tập giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình (6f) với ẩn x, tham số y có nghiệm. Ta có : (6f ) ⇔ cos x + 3 = 2y cos x − y sin x + 4y ⇔ (1 − 2y) cos x + y sin x = 3y − 3 ⇒ (1 − 2y)2 + y 2 ≥ (3y − 3)2 ⇔ 1 − 4y + 4y 2 + y 2 ≥ 9y 2 − 18y + 9 ⇔ 2y 2 − 7y + 4 ≤ 0 √ √ 7 − 17 7 + 17 ≤y≤ ⇔ 4 4 √ √ h 7 − 17 7 + 17 i T Tập giá trị G6 = , D. 4 4 Ví dụ 1.1.8. Tìm m để phương trình có nghiệm: a, sin x + cos x − 1 = m. sin x − cos x + 3 b, cos x + 2 sin x + 3 = m. 2 cos x − sin x + 4 c, cos x + sin x + 1 = m. cos x − sin x − 2 d, sin x + 1 = m. 2 cos x − sin x − 3 e, sin x + cos x = m. sin x − cos x − 2 f, cos x + 3 = m. 2 cos x − sin x + 3 Dựa vào ví dụ 1.1.7 ta được các đáp số là: 7 h 1i a, m ∈ − 1, . 7 h2 i ,2 . b, m ∈ 11 r r i h 3 3 c, m ∈ − 1 − . , −1 + 2 2 d, m ∈ [−1, 0]. e, m ∈ [−1, 1]. h 7 − √17 7 + √17 i . f, m ∈ , 4 4 Ví dụ 1.1.9. Tìm m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm: fi (x) ≥ m với i = 1, 2, ...6. Với fi (x) xác định trong ví dụ 1.1.7. Dựa vào ví dụ 1.1.7, ta có kết quả như sau: 1 1. f1 (x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ . 7 2. f2 (x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ 2. r 3. f3 (x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ −1 + 3 . 2 4. f4 (x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ 0. 5. f5 (x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ 1. 6. f6 (x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ 7+ √ 17 4 . Ví dụ 1.1.10. Tìm m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: fi (x) ≤ m với i = 1, 2, ...6. Với fi (x) xác định trong ví dụ 1.1.7. Dựa vào ví dụ 1 ta có kết quả như sau: 1. f1 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1. 2. f2 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ 2 . 11 r 3. f3 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1 − 3 . 2 8 4. f4 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1. 5. f5 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1. 6. f6 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ 7− √ 17 4 . Ví dụ 1.1.11. Tìm m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm: fi (x) ≤ m với i = 1, 2, ..., 6. Dựa vào ví dụ 1.1.7 ta có kết quả như sau: 1. Bất phương trình f1 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1. 2. Bất phương trình f2 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ 2 . 11 3. Bất phương trình f3 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1 − q 3 . 2 4. Bất phương trình f4 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1. 5. Bất phương trình f5 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ −1. 6. Bất phương trình f6 (x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ √ 7− 17 . 4 Phương pháp 2: Dùng bảng biến thiên để tìm tập giá trị của hàm Ví dụ 1.1.12. Cho các hàm số: f1 (x) = x4 − 2x2 + 1, f2 (x) = 2x3 − 3x2 − 1, f3 (x) = x3 − 3x + 2, 2x − 1 f4 (x) = . x+1 Các tập A1 = [0; 1], A2 = [2; 3], A3 = [−1; 1]. 1.Khảo sát sự biến thiên của các hàm số trên. 2.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số đã cho trên Ai ; i = 1, 2, 3. 3.Tìm tập giá trị của các hàm số trên Ai ; i = 1, 2, 3. 4.Tìm m để mỗi phương trình trong các bất phương trình sau có nghiệm trên Ai ; i = 1, 2, 3 : fj (x) = m; j = 1, 2, 3, 4. 9 5.Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau có nghiệm trên Ai ; i = 1, 2, 3 : fj (x) ≥ m, j = 1, 2, 3, 4. 6.Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau có nghiệm trên Ai ; i = 1, 2, 3 : fj (x) 6 m; j = 1, 2, 3, 4. 7.Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau : fj (x) ≥ m; j = 1, 2, 3, 4 nghiệm đúng với mọi x thuộc một tập hợp bất kỳ trong các tập hợp Ai ; i = 1, 2, 3. 8.Tìm m để mỗi bất phương trình trong các bất phương trình sau fi (x) 6 m; i = 1, 2, 3, 4 nghiệm đúng với mọi x thuộc một tập hợp bất kỳ trong các tập hợp Ai ; i = 1, 2, 3. Lời giải 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số trên. * Xét hàm f1 (x) = x4 − 2x2 + 1 + TXĐ: D = R + SBT: f10 (x) = 4x3 − 4x f10 (x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = −1. + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng: (−∞; −1) và (0; 1). Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (−1; 0) và (1; +∞). + Điểm cực đại của đồ thị là: (0; 1). Điểm cực tiểu của đồ thị là: (1; 0) và (−1; 0). + Giới hạn: lim f1 (x) = +∞; lim f1 (x) = +∞. x→+∞ x→−∞ + Bảng biến thiên: x −∞ f10 (x) -1 - 0 0 + +∞ f1 (x) HH H 0 - 0 + +∞ 1  HH * H  HH j  Hj H 0  0 * Xét f2 (x) = 2x3 − 3x2 − 1 + TXĐ: D = R. + Giới hạn: lim f2 (x) = +∞; lim f2 (x) = −∞. x→+∞ +∞ 1 x→−∞  *  10 + SBT: f20 (x) = 6x2 − 6x f20 (x) = 0 ↔ x = 0 hoặc x = 1 + Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (1; +∞). + Điểm cực đại của đồ thị là: (0; −1). Điểm là cực tiểu là: (1; −2). + Bảng biến thiên: x −∞ f20 (x) 0 + 0 +∞ 1 - 0 + -1 f2 (x) * HH  H  HH   j H  −∞ -2   +∞ 1      * Xét hàm f3 (x) = x3 − 3x + 2 + TXĐ: D = R. + Giới hạn: lim f3 (x) = +∞; lim f3 (x) = −∞. x→+∞ x→−∞ + SBT: f30 (x) = 3x2 − 3, f30 (x) = 0 ↔ x = 1 hoặc x = −1. + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: (−∞; −1) và (1; +∞). Hàm số nghịch biến trên khoảng: (−1; 1). + Điểm cực đại của đồ thị là (−1; 4). Điểm cực tiểu của đồ thị là (1; 0). + Bảng biến thiên: x −∞ f10 (x) f3 (x) -1 + 0 1 - 0 4 * HH  HH  H  j H  −∞ 4 0 +∞ +   +∞ 1     11 2x − 1 x+1 + TXĐ : D = R\{−1}. * Xét hàm f4 (x) = + Sự biến thiên: 3 > 0 , với ∀x ∈ D (x − 1)2 ⇒ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞). f40 (x) = + Hàm số không có cực trị. + Giới hạn: lim f4 (x) = 2; lim f4 (x) = 2 x→+∞ x→−∞ ⇒ Đồ thị có tiệm cận ngang y = 2 lim x→(−1)− f4 (x) = +∞; lim x→(−1)+ f4 (x) = −∞. ⇒ Đồ thị có tiệm cận đứng x = −1 + Bảng biến thiên: x −∞ f40 (x) +∞ -1 + + +∞ f4 (x) 2  *    2  *    −∞ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm đã cho trênAi với i = 1, 2, 3. * Xét với hàm f1 (x) = x4 − 2x2 + 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có các kết luận sau: + Trên tập A1 = [0; 1]: max f1 (x) = 1; min f1 (x) = −0. + Trên tập A2 = [2; 3]: max f1 (x) = 64; min f1 (x) = 9. + Trên tập A3 = [−1; 1]: max f1 (x) = 1; min f1 (x) = 0. * Xét với hàm f2 (x) = 2x3 − 3x2 − 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có các kết luận sau: + Trên tập A1 = [0; 1]: max f2 (x) = −1; min f2 (x) = −2. + Trên tập A2 = [2; 3]: max f2 (x) = 26; min f2 (x) = 3.