Tài liệu Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình vớ điều kiện của đa thức đạo hàm

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TÔ THỊ THIẾM VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH VỚI ĐIỀU KIỆN CỦA ĐA THỨC ĐẠO HÀM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 8 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: PGS. TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - Năm 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Tác giả Tô Thị Thiếm i Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Hà Trần Phương, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Tác giả Tô Thị Thiếm ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Kiến thức cơ bản về lý thuyết Nevanlinna . . . . . . . . 3 1.2 Một số khái niệm và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2 Vấn đề duy nhất với điều kiện của đa thức đạo hàm 19 2.1 Trường hợp hàm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Trường hợp hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii Lời nói đầu Như một ứng dụng quan trọng của lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna, các nghiên cứu về vấn đề duy nhất cho hàm phân hình luôn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Những công trình này được khởi nguồn từ định lý 5 điểm của Nevanlinna và càng có nhiều công trình được công bố dưới nhiều hình thức khác nhau. Cho f là một hàm phân hình trong mặt phẳng phức C. Kí hiệu S(r, f ) = o(T (r, f )), r → ∞. Hàm phân hình a = a(z) là một hàm nhỏ của f nếu T (r, a) = S(r, f ). Kí hiệu S(f ) là tập hợp các hàm phân hình nhỏ của f . Cho f và g là hai hàm phân hình trong C và a ∈ S(f ) ∩ S(g). Ta nói rằng f và g chung nhau hàm nhỏ a = a(z) kể cả bội (hoặc không kể bội) nếu f − a và g − a có cùng tập hợp các 0−điểm kể cả bội (tương ứng không kể bội). Cho h là hàm phân hình khác hằng, kí hiệu P (h) = n X p Y ak (h(j) )lkj , j=0 k=1 trong đó ak ∈ S(h), k = 1, 2, ..., n và lkj , k = 1, 2, ..., n; j = 0, 1, ..., p là các số không âm. P (h) được gọi là đa thức đạo hàm của h. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng. P (f ) và P (g) là lần lượt là các đa thức đạo hàm của f và g, ak ∈ S(f ) ∩ S(g). Vấn đề đặt ra là nếu P (f ) và P (g) chung nhau hàm nhỏ a(z) thì vấn đề gì sẽ xảy ra đối với các hàm f và g hoặc P (f ) và P (g)? Những kết quả theo hướng nghiên cứu này liên quan đến các công trình của J. T. Li, P. Li, H. X. Yi, C. C. Yang và nhiều tác giả khác. 1 Với mong muốn tìm hiểu những kết quả nghiên cứu theo hướng này, chúng tôi lựa chọn đề tài "Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình với điều kiện của đa thức đạo hàm". Mục đích chính của đề tài là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu gần đây của J. T. Li và P. Li trong [9] và I. Lahiri và B. Pal trong [8]. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 của luận văn dành cho việc trình bày một số kiến thức về các hàm Nevanlinna, hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna và một số tính chất về phân bố giá trị của hàm phân hình với điều kiện của đa thức đạo hàm. Chương 2 trình bày về vấn đề duy nhất cho hàm nguyên và hàm phân hình với điều kiện của đa thức đạo hàm chung nhau một giá trị hay hàm nhỏ. 2 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Kiến thức cơ bản về lý thuyết Nevanlinna Các hàm Nevanlinna Định nghĩa 1.1.1. Cho f xác định trên mặt phẳng phức C, lấy giá trị trên C, D ⊂ C là một miền. Ta nói f chỉnh hình tại z0 ∈ C nếu tồn tại một lân cận U của z0 sao cho f (z) = ∞ X cn (z − z0 )n . n=0 Với mọi z ∈ U , trong đó cn ∈ C là các hằng số. Hàm f (z) được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó chỉnh hình tại mọi z ∈ D. Định nghĩa 1.1.2. Hàm f (z) được gọi là hàm nguyên nếu nó chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức C. Định nghĩa 1.1.3. Điểm z0 được gọi là 0−điểm cấp m ≥ 0 của hàm f (z) nếu trong lân cận của z0 , hàm f (z) có biểu diễn f (z) = (z − z0 )m .h(z), trong đó h(z) chỉnh hình trong lân cận của z0 và h(z0 ) 6= 0. Điểm z0 được gọi là cực điểm cấp m ≥ 0 của hàm f (z) nếu z0 là 0−điểm cấp m của hàm 1 f (z) . Với hàm phân hình f , ta kí hiệu :   m nếu z0 là 0−điểm cấp m của f (z) ordf (z0 ) = 0 nếu f (z0 ) 6= 0, ∞  −m nếu z là cực điểm cấp m của f (z). 0 3 Định nghĩa 1.1.4. Hàm số f (z) được gọi là hàm phân hình trong miền D ⊂ C nếu nó chỉnh hình trong miền D, trừ ra tại một số điểm bất thường là cực điểm. Khi đó f (z) là hàm phân hình trên C ta gọi đơn giản là hàm phân hình. Nhận xét: Nếu f (z) là hàm phân hình trên D thì trong mỗi lân cận của z ∈ D hàm f (z) biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình. Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng Nevanlinna của một hàm phân hình. Với mỗi số thực dương x ∈ R∗+ , kí hiệu  log x nếu x ≤ 1 log+ x = 0 nếu 0 < x < 1. Như vậy: log+ x = max {log x, 0} , 1 log x = log+ x = log+ . x Cho f : C → C là một hàm phân hình, với mỗi số thực R > 0, ta có Z 2π 1 log |f (Reiϕ )|dϕ 2π 0 Z 2π Z 2π 1 1 1 + iϕ = log |f (Re )|dϕ − log+ | |dϕ. 2π 0 2π 0 f (Reiϕ ) Định nghĩa 1.1.5. Hàm 1 m(r, f ) = 2π Z 2π log+ |f (Reiϕ )|dϕ 0 được gọi là hàm xấp xỉ của hàm phân hình f . Kí hiệu n(r, f ) là số cực điểm kể cả bội của hàm f (z) trong đĩa {|z| < t} và n(0, f ) = limn(t, f ). Khi đó, nếu f (0) 6= ∞ ta có t→0 Z 0 R N X R R log dn(t, f ) = log | |, t bv v=1 trong đó bv , v = 1, 2, ..., N là các cực điểm của hàm f trong đĩa {|z| < R}. 4 Thật vậy, bằng phương pháp tích phân từng phần ta có R Z R Z R Z R  R R dt R log dn(t, f ) = log n(t, f ) − n(t, f ) . n(t, f )d log = t t t t 0 0 0 0 Do hàm f chỉ có hữu hạn cực điểm trong {|z| ≤ R} nên hàm n(t, f ) chỉ nhận một số hữu hạn giá trị nguyên không âm và tăng theo t. Gọi r1 , r2 , ..., rn−1 ∈ {|bv |, v = 1, ..., N } và r0 , rn là các số thực không âm sao cho 0 = r0 < r1 < ... < rn−1 < rn = R và trên mỗi hình vành khăn {rj < |z| ≤ rj+1 } hàm n(t, f ) không đổi. Khi đó: Z R Z r1 Z r2 Z rn dt dt dt dt n(t, f ) = n(t, f ) + n(t, f ) + ... + n(t, f ) . t t t t 0 r0 r1 rn−1 Giả sử   0 nếu t ≤ r1    α1 nếu r1 < t ≤ r2 n(t, f ) =  ...   α nếu rn−1 < t ≤ rn = R. n−1 = N Khi đó ta có: Z r1 Z r2 Z rn Z R dt dt dt dt 0. + α1 + ... + αn−1 n(t, f ) = t t t t r0 r1 rn−1 0 r2 r3 R    = α1 log t + α2 log t + ... + αn−1 log t r1 = N X log v=1 R = rv r2 N X log v=1 Định nghĩa 1.1.6. Hàm N (R, f ) = PN rn−1 R . |bv | R v=1 log |bv | được gọi là hàm đếm (còn gọi là hàm đếm tại các cực điểm) của hàm f . Định nghĩa 1.1.7. Hàm T (R, f ) = m(R, f ) + N (R, f ) gọi là hàm đặc trưng của f . Các hàm đặc trưng T (R, f ), hàm xấp xỉ m(R, f ) và hàm đếm N (R, f ) là các hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, còn gọi là các hàm Nevanlinna. 5 Định lý 1.1.8. Cho các hàm phân hình f1 , f2 , ..., fp , khi đó: (1). (2). (3). (4). (5). (6). p X m(r, N (r, ν=1 p Y T (r, ν=1 p X ν=1 p Y fν ) ≤ fν ) ≤ fν ) ≤ fν ) ≤ ν=1 m(r, fν ) + log p. ν=1 p X fν ) ≤ ν=1 p X N (r, T (r, fν ) ≤ ν=1 p Y m(r, p X m(r, fν ). ν=1 p X ν=1 p X ν=1 p X ν=1 p X N (r, fν ). N (r, fν ). T (r, fν ) + log p. T (r, fν ). ν=1 Tiếp theo ta đề cập đến một số hàm đếm mở rộng thường dùng trong chứng minh các định lý về xác định duy nhất hàm phân hình. Cho f là hàm phân hình và r > 0, kí hiệu nk (r, f ) là số cực điểm bội cắt cụt bởi k trong Dr của f (tức là các cực điểm bội l > k chỉ được tính k lần trong tổng nk (r, f )). Hàm Z r nk (r, f ) − nk (0, f ) Nk (r, f ) = dt + nk (0, f ) log r t 0 được họi là hàm đếm bội cắt cụt bởi k, trong đó nk (0, f ) = limnk (r, f ), r→0 số k trong nk (r, f ) được gọi là chỉ số bội cắt cụt. 1 Cho a ∈ C ∪ {∞}, kí hiệu n(r, f −a ) là các số không điểm kể cả bội, 1 n(r, f −a ) là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr . 1 N (r, 0; f ) = N (r, )= f −a Z 1 N (r, 0; f ) = N (r, )= f −a Z r 1 1 n(t, f −a ) − n(0, f −a ) t 0 r 1 1 n(t, f −a ) − n(0, f −a ) t 0 6 dt + n(0, 1 ) log r, f −a dt + n(0, 1 ) log r. f −a Cho a ∈ C ∪ {∞}, kí hiệu nk) (r, 1/(f − a)) là số các không điểm kể cả bội, nk) (r, 1/(f − a)) là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr với bội không vượt quá k, n(k (r, 1/(f − a)) là số các không điểm kể cả bội, n(k (r, 1/(f − a)) là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr với bội ít nhất bằng k. Đặt: Z r n (t, 1 ) − n (0, 1 ) k) k) 1 1 f −a f −a )= dt + nk) (0, ) log r, Nk) (r, f −a t f −a 0 Z r n (t, 1 ) − n (0, 1 ) k) k) 1 1 f −a f −a N k) (r, )= dt + nk) (0, ) log r, f −a t f − a 0 Z r n (t, 1 ) − n (0, 1 ) (k (k 1 1 f −a f −a )= dt + n(k (0, ) log r, N(k (r, f −a t f −a 0 Z r n (t, 1 ) − n (0, 1 ) (k (k 1 1 f −a f −a )= dt + n(k (0, ) log r, N (k (r, f −a t f −a 0 trong đó: 1 ) = limnk) (t, t→0 f −a f 1 ) = limn(k (t, n(k (0, t→0 f −a f nk) (0, 1 ), nk) (0, −a f 1 ), n(k (0, −a f 1 ) = limnk) (t, t→0 −a f 1 ) = limn(k (t, t→0 −a f 1 ), −a 1 ). −a Dễ thấy Nk (r, 1 1 1 1 ) = N (r, ) + N (2 (r, ) + ... + N (k (r, ), f −a f −a f −a f −a 1 1 1 1 N (r, ) + N (2 (r, ) = N2 (r, ) ≤ N (r, ) h h h h và N2 (r, f ) = N (r, f ) + N (2 (r, f ). 1.1.2 Hai định lí cơ bản Định lí cơ bản thứ nhất Bổ đề 1.1.9. Giả sử f (z) là hàm phân hình và mọi a ∈ C ta có: |T (r, f ) − T (r, f − a)| ≤ log+ |a| + log 2. 7 Chứng minh. Đặt f = (f − a) + a = f1 + f2 với f1 = f − a, f2 = a. Ta có: T (R, f ) ≤ T (R, f1 ) + T (R, f2 ) + log 2 = T (R, f − a) + log+ |a| + log 2. Từ đó suy ra T (r, f ) − T (R, f − a) ≤ log+ |a| + log 2. Ngoài ra ta có T (R, f − a) ≤ T (r, f ) + log+ |a| + log 2. Suy ra T (r, f ) − T (R, f − a) ≥ −(log+ |a| + log 2). Như vậy |T (r, f ) − T (R, f − a)| ≤ (log+ |a| + log 2). Bổ đề được chứng minh. Định lý 1.1.10. (Định lý cơ bản thứ nhất). Giả sử f (z) là hàm phân hình trong hình tròn {|z| ≤ R} với R > 0, a là số phức tùy ý. Khi đó ta có: m(R, 1 1 ) + N (R, ) = T (R, f ) − log |f (0) − a| + ε(a, R). f −a f −a Trong đó |ε(a, R)| ≤ log+ |a| + log 2. Chứng minh. Ta có: 1 1 ) + N (R, ) f −a f −a 1 = T (R, ) f −a = T (R, f − a) − log |f (0) − a| m(R, = T (R, f ) − log |f (0) − a| + {T (R, f − a) − T (R, f )} , và T (R, f − a) − T (R, f ) = ε(a, R). Định lý được chứng minh. Định lý cơ bản thứ hai 8 Định lý 1.1.11. (Bất đẳng thức cơ bản). Giả sử f (z) là hàm phân hình khác hằng số trong miền {|z| ≤ r} , a1 , ..., aq ; q ≥ 2 là các số phức phân biệt, δ > 0 và |aµ − aν | ≥ δ với 1 ≤ µ < ν ≤ q. Khi đó ta có: m(r, f ) + q X m(r, aj ) ≤ 2T (r, f ) − N1 (r, f ) + S(r, f ), j=1 trong đó N1 (r, f ) = N (r, 1 ) + 2N (r, f ) − N (r, f 0 ). 0 f q X f0 f0 1 3q S(r, f ) = m(r, ) + m(r, + log 2 + log 0 ) + q log+ f f − aν δ |f (0)| ν=1 = o(T (r, f ) + log r). Định lý 1.1.12. (Định lý cơ bản thứ hai). Giả sử f (z) là hàm phân hình trong miền {|z| ≤ r} và a1 , ..., aq ; q ≥ 2 là các số phức phân biệt. Khi đó ta có: (q − 1)T (r, f ) ≤ q X N (r, aj ) + N (r, f ) − N1 (r, f ) + S(r, f ) j=1 ≤ N (r, f ) + q X N (r, aj ) − N0 (r, j=1 1 ) + S(r, f ), f0 trong đó S(r, f ) = o(T (r, f )) khi r → ∞, r nằm ngoài một tập có độ đo 0 hữu hạn, N1 (r, f ) = N (r, f10 ) + 2N (r, f ) − N (r, f ), N0 (r, f10 ) là hàm đếm các 0−điểm của f mà không là 0−điểm của f − aj với j = 1, ..., q. Chứng minh. Theo bất đẳng thức cơ bản ta có: m(r, f ) + q X m(r, aj ) ≤ 2T (r, f ) − N1 (r, f ) + S(r, f ). j=1 Cộng đại lượng N (r, f ) + Pq j=1 N (r, aj ) {m(r, f ) + N (r, f )} + q X vào hai vế ta được {m(r, aj ) + N (r, aj )} j=1 ≤ 2T (r, f ) + q X N (r, aj ) + N (r, f ) − N1 (r, f ) + S(r, f ). j=1 9 Mặt khác m(r, f ) + N (r, f ) = T (r, f ) và 1 1 ) + N (r, ) f − aj f − aj 1 = T (r, ) = T (r, f − aj ) + O(1) f − aj = T (r, f ) + O(1). m(r, aj ) + N (r, aj ) = m(r, Điều đó kéo theo T (r, f ) + q X {T (r, f ) + O(1)} j=1 ≤ 2T (r, f ) + q X T (r, aj ) + N (r, f ) − N1 (r, f ) + S(r, f ) j=1 ⇔ (q − 1)T (r, f ) ≤ q X T (r, aj ) + N (r, f ) − N1 (r, f ) + S(r, f ). j=1 Ta lại có N (r, f ) + q X T (r, aj ) − N1 (r, f ) + S(r, f ) j=1 = q X 1 0 T (r, aj ) − N (r, ) + N (r, f ) − N (r, f ) + S(r, f ). f j=1 0 Vì N (r, f ) = N (r, f ) + N (r, f ). Suy ra ta có: 0 N (r, f ) − N (r, f ) = N (r, f ). (1.1) Ngoài ra q X q X 1 1 N (r, aj ) − N0 (r, 0 ). N (r, aj ) − N (r, 0 ) = f f j=1 j=1 (1.2) Thật vậy, giả sử b là nghiệm bội k > 1 của phương trình f = aj , j = 0 1, ..., q thì b là nghiệm bội (k − 1) của phương trình f = 0. P P r Ta có: qj=1 N (r, aj ) = log |b| . b 10 r được tính k lần trong Với mỗi b bội k > 1 thì đại lượng log |b| Pq 1 j=1 N (r, aj ) và (k − 1) lần trong N (r, f 0 ). P r Vậy log |b| được tính đúng một lần trong hiệu qj=1 N (r, aj )−N (r, f1 ). P P r Chú ý rằng:N (r, f10 ) = log |b| + log |br0 | trong đó b là nghiệm của b b0 0 0 phương trình f = aj , j = 1, ..., q và b là nghiệm của phương trình f = 0 nhưng không là nghiệm của phương trình f = aj , j = 1, ..., q. Vậy ta có (1.1). Kết hợp (1.1) và (1.2) ta có: q X N (r, aj ) − N (r, j=1 = N (r, f ) + q X 1 0 ) + N (r, f ) − N (r, f ) + S(r, f ) f0 N (r, aj ) − N0 (r, j=1 1 ) + S(r, f ). f0 Vậy ta có (q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) + q X N (r, aj ) − N0 (r, j=1 1 ) + S(r, f ). f0 Định lí được chứng minh. Bổ đề số khuyết Giả sử f (z) là hàm phân hình trên C và a ∈ C ∪ {∞}, k là một số nguyên dương. Ta kí hiệu δ(a; f ) = lim inf r→∞ 1 ) m(r, f −a T (r, f ) = 1 − lim sup T (r, f ) r→∞ k δ (a; f ) = 1 − lim sup r→∞ Θ(a; f ) = 1 − lim sup r→∞ θ(a; f ) = lim inf 1 N (r, f −a ) 1 Nk (r, f −a ) T (r, f ) 1 N (r, f −a ) T (r, f ) , , 1 1 N (r, f −a ) − N (r, f −a ) T (r, f ) r→∞ , . Định nghĩa 1.1.13. δ(a; f ) được gọi là số khuyết, δ k (a; f ) được gọi là số khuyết bội cắt cụt bởi một số nguyên dương k của f tại a, Θ(a; f ) được gọi là số khuyết không kể bội, θ(a; f ) gọi là bậc của bội của số khuyết. 11 Nhận xét. 1 1. Nếu f (z) = a vô nghiệm thì N (r, f −a ) = 0 với mọi r suy ra δ(a; f ) = 1. Chẳng hạn f (z) = ez thì δ(0; f ) = 1. 1 ) = o(T (r, f )) thì δ(a; f ) = 1. Như vậy số khuyết bằng 2. Nếu N (r, f −a 1 khi số nghiệm của phương trình quá ít so với cấp tăng của nó. 3. Với hàm phân hình f và a ∈ C, ta có 0 ≤ δ(a; f ) ≤ δ k (a; f ) ≤ Θ(a; f ) ≤ 1. Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết hay còn gọi là Bổ đề quan hệ số khuyết. Định lý 1.1.14. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó tập hợp các giá trị của a mà Θ(a; f ) > 0 cùng lắm là đếm được và ta có X X (δ(a; f ) + θ(a; f )) ≤ Θ(a; f ) ≤ 2. a∈C∪{∞} a∈C∪{∞} Định nghĩa 1.1.15. Cho f là một hàm phân hình trên C. Một phần tử a ∈ C ∪ {∞} được gọi là giá trị bỏ được Picard (viết tắt là e.v.P.) của f nếu a 6∈ f (C). 1 ) = 0. Nên δ(a; f ) = 1. Nếu a là một điểm bỏ được Picard thì N (r, f −a Bởi vậy một hàm nguyên có duy nhất một giá trị bỏ được Picard là ∞. Định lý 1.1.16. (Định lý Picard). Giả sử f là hàm phân hình trên C, nếu f không nhận 3 giá trị a1 , a2 , a3 ∈ C ∪ {∞} thì f là hàm hằng. Chứng minh. Nếu f không nhận giá trị a thì phương trình f (z) = a vô 1 nghiệm. Điều này kéo theo N (r, f −a ) = 0. Suy ra Θ (a; f ) = 1. Từ Bổ đề về quan hệ số khuyết, nếu f khác hằng số thì chỉ tồn tại không quá hai giá trị a ∈ C ∪ {∞} sao cho Θ(a; f ) = 1. Vậy f là hàm hằng. 12 1.2 1.2.1 Một số khái niệm và bổ đề Một số tính chất bổ sung của các hàm Nevanlinna Bổ đề 1.2.1. ([1]). Cho f là một hàm phân hình khác hằng và cho k là một số nguyên không âm. Khi đó T (r, P (f )) ≤ T (r, f ) + kN (r, f ) + S(r, f ). (1.3) Bổ đề 1.2.2. ([9]). Giả sử rằng f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong mặt phẳng phức C và a(z) là một hàm nhỏ của f (z) nghĩa là T (r, a) = S(r, f ). Nếu f (z) không phải là đa thức thì: N (r, 1 1 ) ≤ T (r, P (f )) − T (r, f ) + N (r, ) + S(r, f ) (1.4) P (f ) − P (a) f −a và N (r, 1 1 ) ≤ N (r, ) + kN (r, f ) + S(r, f ). P (f ) − P (a) f −a (1.5) Chứng minh. Theo định lí cơ bản đầu tiên của Nevnanlinna và theo bổ đề đạo hàm của logarit ta có: T (r, f ) − N (r, 1 1 ) = m(r, ) + S(r, f ) f −a f −a 1 P (f − a) ≤ m(r, ) + m(r, ) + S(r, f ) P (f ) − P (a) f −a 1 = T (r, P (f )) − N (r, ) + S(r, f ). P (f ) − P (a) Chuyển vế bất đẳng thức trên ta được (1.4), kết hợp (1.3) và (1.4) ta được (1.5). Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 1.2.3. ([8]). Cho f là một hàm phân hình khác hằng, P (f ) là một đa thức đạo hàm được xác định bởi (2.13). Khi đó: T (r, P ) ≤ dT (r, f ) + QN (r, ∞; f ) + S(r, f ) 13 và N (r, 0; P ) ≤ T (r, P ) − dT (r, f ) + dN (r, 0; f ) + S(r, f ) ≤ QN (r, ∞; f ) + dN (r, 0; f ) + S(r, f ). Chứng minh. Từ N (r, P ) ≤ dN (r, f ) + QN (r, ∞; f ) + S(r, f ) và m(r, f ) ≤ m(r, P ) + m(r, f d ) = dm(r, f ) + S(r, f ), d f ta có T (r, P ) ≤ dT (r, f ) + QN (r, ∞; f ) + S(r, f ). (1.6) Bây giờ ta có m(r, 0; f d ) ≤ m(r, 0; P ) + m(r, P ) = m(r, 0; P ) + S(r, f ) fd và như vậy T (r, f d ) − N (r, 0; f d ) ≤ T (r, P ) − N (r, 0; P ) + S(r, f ), N (r, 0; P ) ≤ T (r, P ) − dT (r, f ) + dN (r, 0; f ) + S(r, f ). (1.7) Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 1.2.4. ([3]). Cho f là một hàm phân hình khác hằng và a1 , a2 , a3 là các hàm nhỏ phân biệt của S(f ). Khi đó T (r, f ) ≤ N (r, 0; f − a1 ) + N (r, 0; f − a2 ) + N (r, 0; f − a3 ) + S(r, f ). Bổ đề 1.2.5. ([5]). Cho f là một hàm số phức siêu việt, P (f ) là một đa thức đạo hàm khác hằng và được xác định bởi (2.13), d ≥ 1. Khi đó dT (r, f ) ≤N (r, ∞; f ) + N (r, 1; P (f )) + dN (r, 0; f ) − N0 (r, 0; (P (f ))(1) ) + S(r, f ), với N0 (r, 0; (P (f ))(1) ) là hàm đếm các không điểm của (P (f ))(1) nhưng không có các không điểm của P (f ) và P (f ) − 1. 14 Nhận xét. Bổ đề 1.2.5 là trường hợp đặc biệt của Bổ đề 1.2.4. Bổ đề 1.2.6. ([13]). Giả sử fj (j = 1, 2, ..., m + 1) và gj (j = 1, 2, ..., m) là các hàm nguyên thỏa mãn các điều kiện sau: P gj (z) (i) nj=1 fj (z)e ≡ fm+1 (z); (ii) Bậc của fj (z) nhỏ hơn bậc của egk (z) , 1 ≤ j ≤ m + 1, 1 ≤ k ≤ m; Hơn nữa bậc của fj nhỏ hơn bậc của egl (z)−gk (z) với m ≥ 2 và 1 ≤ j ≤ m + 1, 1 ≤ l, k ≤ m, l 6= k. Khi đó fj ≡ 0(j = 1, 2, ..., m + 1). Bổ đề 1.2.7. ([19]). Giả sử rằng f1 , f2 , ..., fn , n ≥ 3 là các hàm phân P hình mà không phải hàm hằng trừ fn . Cho nj=1 fj ≡ 1. Nếu fn 6≡ 0 và n X N (r, 0; fj ) + (n − 1) n X j=1 N (r, ∞; fj ) < {λ + o(1)} T (r, fk ), j=1 với r ∈ I, k = 1, 2, ..., n − 1, I là một tập hợp có độ đo vô hạn và 0 < λ < 1, thì fn ≡ 1. 1.2.2 Hàm phân hình chung nhau giá trị Cho f là một hàm phân hình trong mặt phẳng phức C. Kí hiệu S(r, f ) = o(T (r, f )), r → ∞, r nằm ngoài một tập có độ đo hữu hạn. Cho a ∈ C ∪ {∞} , đặt E(a, f ) = {z, f (z) − a = 0} là tập các 0− điểm của f − a kể cả bội và E(a, f ) = {z, f (z) − a = 0} là tập các 0− điểm của f − a không kể bội. Định nghĩa 1.2.8. ([9]). Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hàm hằng, hàm f và g được gọi là chung nhau giá trị a CM (IM ) nếu E(a, f ) = E(a, g)(E(a, f ) = E(a, g)). Định nghĩa 1.2.9. ([8]). Cho f là một hàm phân hình trong mặt phẳng phức mở C. Một hàm phân hình a = a(z) được gọi là một hàm nhỏ của f nếu T (r, f ) = S(r, f ). Kí hiệu S(f ) là tập các hàm nhỏ của f , C ⊂ S(r, f ). 15 Định nghĩa 1.2.10. ([8]). Cho f và g là hai hàm phân hình trong mặt phẳng phức C và a ∈ S(f ) ∩ S(g). Ta nói rằng f và g chung nhau hàm nhỏ a = a(z) CM (kể bội) hoặc IM (không kể bội) nếu f − a và g − a có cùng tập hợp đếm các không điểm kể bội hoặc không kể bội. Cho a ∈ C ∩ {∞}, các đại lượng δ(a; f ) = 1 − lim sup r→∞ N (r, a; f ) T (r, f ) và Θ(a; f ) = 1 − lim sup r→∞ N (r, a; f ) T (r, f ) lần lượt được gọi là số khuyết và chỉ số phân nhánh của a cho hàm phân hình f . Nếu δ(a; f ) > 0 thì số phức a được gọi là một giá trị 1 1 thiếu của f (z) . Khi đó N (r, a; f ) = N (r, f −a ), N (r, a; f ) = N (r, f −a ), N (r, ∞; f ) = N (r, f ) và N (r, ∞; f ) = N (r, f ). + ) Số λ(f ) = lim log logT (r,f được gọi là bậc của hàm nguyên f (z). r r→∞ T (r,f ) ) Số ρ(f ) = lim sup loglog và τ (f ) = lim sup Tr(r,f ρ(f ) (0 < ρ(f ) < ∞) lần r r→∞ r→∞ lượt được gọi là bậc và loại của của hàm phân hìnhf . Hàm phân hình f được gọi là loại tối thiểu nếu τ (f ) = 0. Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng F và G chung nhau 1 ) là hàm đếm các 0-điểm của giá trị 1 IM. Kí hiệu N L (r, F 1−1 ), N L (r, G−1 1) 1) 1 F − 1, G − 1; NE (r. F 1−1 ), NE (r. G−1 ) là hàm đếm các 0-điểm đơn của (2 (2 1 ) là hàm đếm các 0-điểm hai hàm F − 1, G − 1 và NE (r. F 1−1 ), NE (r. G−1 bội của F − 1, G − 1. N1) (r, F1 ) là hàm đếm các 0-điểm đơn của hàm F và N(2 (r, F ) là hàm đếm các 0-điểm bội của F . Bổ đề 1.2.11. ([9]). Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng, F và G chung nhau giá trị 1 IM. Cho 00 0 00 0 F 2F G 2G H= 0 − − 0 + . F F −1 G G−1 (1.8) Nếu H 6≡ 0 thì 1 1 1 ) + 2N (r, F ) + N (r, ) + 2N L (r, ) F G F − 1   1 + 2N (r, G) + N L r, + S (r, F ) + S (r, G) . G−1 T (r, F ) ≤ N (r, 16 (1.9)