Tài liệu Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình chung nhau một hàm nhỏ

.. TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M THI NGUY–N KHOA TON CHANTHONE KEOMANISAY V‡N — DUY NH‡T CHO H€M PH…N HœNH CHUNG NHAU MËT H€M NHÄ Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 60.46.01.02 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N - 2017 TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M THI NGUY–N KHOA TON CHANTHONE KEOMANISAY V‡N — DUY NH‡T CHO H€M PH…N HœNH CHUNG NHAU MËT H€M NHÄ Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 60.46.01.02 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TS. H€ TR†N PH×ÌNG THI NGUY–N - 2017 Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng b£n luªn v«n n y l  sü nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS. H  Tr¦n Ph÷ìng. C¡c k¸t qu£ ch½nh trong luªn v«n ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong c¡c luªn v«n th¤c s¾ cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c ð Vi»t Nam. Håc vi¶n Chanthone Keomanisay X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa To¡n X¡c nhªn cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc PGS.TS. H  Tr¦n Ph÷ìng Líi c£m ìn º ho n th nh b£n luªn v«n n y tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. H  Tr¦n Ph÷ìng, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn væ h¤n tîi PGS.TS. H  Tr¦n Ph÷ìng - ng÷íi ¢ tªn t¼nh d¼u d­t tæi tø nhúng b÷îc chªp nhúng ¦u ti¶n tr¶n con ÷íng nghi¶n cùu khoa håc vîi t§t c£ ni·m say m¶ khoa håc v  t¥m huy¸t cõa ng÷íi th¦y. Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong Pháng  o t¤o (bë ph¥n qu£n lþ  o t¤o Sau ¤i håc) thuëc Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o måi i·u ki»n cho tæi v· t i li»u v  thõ töc h nh ch½nh º tæi ho n th nh b£n luªn v«n n y. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n, Vi»n To¡n håc, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y, trang bà cho tæi nhúng ki¸n thùc cì sð tr¶n con ÷íng nghi¶n cùu khoa håc. Tæi công gûi líi c£m ìn ¸n c¡c b¤n trong lîp Cao håc To¡n K23, ¢ ëng vi¶n gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n. Cuèi còng tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh cõa m¼nh. Nhúng ng÷íi luæn ëng vi¶n chia s´ khâ kh«n v  luæn mong mäi tæi th nh cæng. B£n luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, t¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc sü ch¿ b£o tªn t¼nh cõa c¡c th¦y cæ v  b¤n b± çng nghi»p. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 3 n«m 2017 T¡c gi£ luªn v«n Chanthone Keomanisay Möc löc MÐ †U 1 1 Ki¸n thùc cì sð chu©n bà 3 1.1. Hai ành lþ cì b£n trong lþ thuy¸t Nevanlinna . . . . . . 3 1.1.1. C¡c h m Nevanlinna v  t½nh ch§t . . . . . . . . . 3 1.1.2. Hai ành lþ cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. H m ph¥n h¼nh chung nhau mët gi¡ trà hay h m nhä . . 13 1.2.1. Kh¡i ni»m mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2. Mët sè t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 V§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh khi a thùc chùa ¤o h m chung nhau mët h m nhä 21 2.1. Tr÷íng hñp a thùc chùa ¤o h m c§p 1 . . . . . . . . . 21 2.2. Tr÷íng hñp a thùc chùa ¤o h m c§p cao . . . . . . . . 33 K¸t luªn 41 T i li»u tham kh£o 41 1 MÐ †U Mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu quan trång cõa lþ thuy¸t Nevanlinna l  nghi¶n cùu v§n · duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh. N«m 1926, R. Nevanlinna ÷ñc chùng tä hai h m ph¥n h¼nh chung nhau 5 gi¡ trà ri¶ng bi»t khæng kº bëi th¼ s³ tròng nhau. Cæng tr¼nh n y cõa Æng ÷ñc xem l  khði nguçn cho c¡c nghi¶n cùu v· v§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh. V· sau, vi»c ph¡t triºn c¡c nghi¶n cùu theo h÷îng n y thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc: F Gross, H. Yi , H. Fujimoto, L. Smiley, H. H. Khoai, G. Dethloff, C. C. Yang, M. Ru v  nhi·u nh  to¡n håc kh¡c. Ch¯ng h¤n, N«m 1982, F.Gross v  C.C. Yang ¢ ch¿ ra tªp hñp T = {z ∈ C|ez + z = 0} l  tªp x¡c ành duy nh§t kº c£ bëi cho c¡c h m nguy¶n tr¶n C, tùc l  vîi hai h m nguy¶n f v  g , i·u ki»n Ef (T ) = Eg (T ) k²o theo f ≡ g. Chó þ, tªp T x¡c ành nh÷ tr¶n chùa væ sè ph¦n tû. N«m 1995, H.Yi ¢ x²t tªp hñp SY = {z ∈ C|z n + az m + b = 0}, trong â n ≥ 15, n > m ≥ 5, a, b l  c¡c h¬ng sè kh¡c khæng sao cho z n +az m +b = 0 khæng câ nghi»m bëi v  Æng ¢ chùng minh SY l  tªp x¡c ành duy nh§t cho c¡c h m nguy¶n tr¶n C. N«m 1998, G.Frank v  M.Reinders ch¿ ra mët v½ dö v· tªp x¡c ành duy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh tr¶n C. n¸u mët h m vîi måi gi¡ trà nguy¶n d÷ìng n th¼ l  N«m 1967, W. K. Hayman ([5]) ¢ °t ra gi£ thuy¸t nguy¶n f thäa m¢n f nf 0 6= 1 h m h¬ng. Khi nghi¶n cùu gi£ thuy¸t n y, n«m 1997, C. C. Yang v  C. Z. Hua ([10]) ¢ chùng minh mët ành lþ v· v§n · duy nh§t cho h m ph¥n h¼nh khi hai a thùc chùa ¤o h m bªc nh§t chung nhau mët gi¡ trà. Tø â ¸n nay nhúng v§n · nghi¶n cùu theo h÷îng n y ÷ñc ph¡t triºn m¤nh m³ bði c¡c cæng tr¼nh cõa nhi·u t¡c gi£ trong v  ngo i n÷îc nh÷: X. Y. Zhang, J. F. Chen, W. C. Lin ([12]), K. Boussaf, 2 A. Escassut v  J. Ojeda ([1]), R. S. Dyavanal ([2]), N. V. Thin v  H.T Phuong ([9]),.... Vîi mong muèn t¼m hiºu v§n · h m ph¥n h¼nh ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t bði i·u ki»n ¤i sè cõa a thùc chùa ¤o h m, chóng tæi chån · t i V§n · duy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh chung nhau mët h m nhä . Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l  tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ ¢ ÷ñc chùng minh bði N. V. Thin v  H.T Phuong ([9]) v  mët sè k¸t qu£ kh¡c. Luªn v«n gçm câ hai ch÷ìng nh÷ sau: Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc cì sð chu©n bà. Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà Nevanlinna cho c¡c h m ph¥n h¼nh v  mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ sû döng trong Ch÷ìng 2. Ch÷ìng 2: V§n · duy nh§t cõa h m ph¥n h¼nh khi a thùc chùa ¤o h m chung nhau mët h m nhä. ¥y l  ch÷ìng ch½nh cõa luªn v«n, chóng tæi tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ nguy¶n cùu cõa N. V. Thin v  H.T Phuong ([9]) v  mët sè k¸t qu£ cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c ¢ cæng bè trong thíi gian g¦n ¥y. 3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð chu©n bà 1.1. Hai ành lþ cì b£n trong lþ thuy¸t Nevanlinna 1.1.1. C¡c h m Nevanlinna v  t½nh ch§t Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m th÷íng ÷ñc sû döng trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà Nevanlinna. ành ngh¾a 1.1. Cho h m ch¿nh h¼nh f tr¶n m°t ph¯ng phùc C, iºm z0 ∈ C ÷ñc gåi l  khæng iºm bëi k ∈ N∗ cõa h m f (z) n¸u tçn t¤i mët h m ch¿nh h¼nh h(z) khæng tri»t ti¶u trong l¥n cªn U cõa z0 sao cho trong l¥n cªn â h m f ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng f (z) = (z − z0 )k h(z). Ngh¾a l  f (n) (z0 ) = 0, vîi méi n = 1, ..., k − 1 v  f (k) (z0 ) 6= 0. iºm z0 ÷ñc gåi l  cüc iºm bëi k ∈ N∗ cõa h m f (z) n¸u nâ l  khæng iºm 1 . bëi k cõa h m f (z) Vîi méi sè thüc x > 0, k½ hi»u: log+ x = max{log x, 0}. Khi â log x = log+ x − log+ (1/x). Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C, r > 0, vîi méi ϕ ∈ [0; 2π], ta 4 câ     1 , log |f (reiϕ )| = log+ |f (reiϕ )| − log+  iϕ f (re )  n¶n 1 2π Z2π   1 log f (reiϕ ) dϕ = 2π 0 Z2π   1 log+ f (reiϕ ) dϕ− 2π Z2π 0 ành ngh¾a 1.2.    1   dϕ. log  f (reiϕ )  + 0 H m 1 m(r, f ) = 2π Z2π   log+ f (reiϕ ) dϕ 0 ÷ñc gåi l  h m x§p x¿ cõa h m f . B¥y gií ta ành ngh¾a c¡c h m ¸m. Cho f l  h m ph¥n h¼nh v  r > 0. K½ hi»u n(r, 1/f ) l  sè khæng iºm kº c£ bëi, n(r, 1/f ) l  sè khæng iºm khæng kº bëi cõa f , n(r, f ) l  sè cüc iºm kº c£ bëi, n(r, f ) l  sè cüc iºm khæng kº bëi cõa f trong Dr = {z ∈ C : |z| 6 |r|}. ành ngh¾a 1.3. H m N (r, ∞; f ) = N (r, f ) = Zr n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t 0 h m ¸m kº c£ bëi cõa f ÷ñc gåi l  (cán gåi l  h m ¸m t¤i c¡c cüc iºm). H m N (r, ∞; f ) = N (r, f ) = Zr n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t 0 ÷ñc gåi l  h m ¸m khæng kº bëi. Trong â n(0, f ) = lim n(t, f ), n(0, f ) = lim n(t, f ). t→0 ành ngh¾a 1.4. t→0 H m T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) 5 gåi l  h m °c tr÷ng cõa h m f . C¡c h m °c tr÷ng T (r, f ), h m x§p x¿ m(r, f ) v  h m ¸m N (r, f ) l  ba h m cì b£n trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà, nâ cán gåi l  c¡c h m Nevanlinna. ành lþ sau ¥y cho th§y mët sè t½nh ch§t cõa c¡c h m n y. ành lþ 1.1. Cho c¡c h m ph¥n h¼nh f1, f2, · · · , fp, khi â: (1) (2) (3) (4) (5) (6) m(r, m(r, N (r, N (r, T (r, T (r, p X ν=1 p Y fν ) ≤ fν ) ≤ ν=1 p X ν=1 p Y fν ) ≤ fν ) ≤ p X ν=1 p X ν=1 p X ν=1 p X ν=1 ν=1 p X p X ν=1 p Y fν ) ≤ fν ) ≤ ν=1 ν=1 p X m(r, fν ) + log p; m(r, fν ); N (r, fν ); N (r, fν ); T (r, fν ) + log p; T (r, fν ). ν=1 Vi»c chùng minh c¡c t½nh ch§t n y l  ìn gi£n, ta ch¿ c¦n düa theo t½nh ch§t : n¸u a1 , . . . , ap l  c¡c sè phùc ph¥n bi»t th¼  p  p Y  X  + log  aν  6 log+ |aν |   ν=1 v  ν=1  p  p X  X  + + log  aν  6 log (p max |aν |) 6 log+ |aν | + log p. ν=1,...,p   ν=1 ν=1 1.1.2. Hai ành lþ cì b£n Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y hai ành lþ cì b£n trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà Nevanlinna, tr÷îc h¸t l  cæng thùc Poisson - Jensen. 6 Cho f (z) 6≡ 0 l  mët h m ph¥n h¼nh trong h¼nh trán {|z| ≤ R} vîi 0 < R < ∞. Gi£ sû a1, ..., ap l  c¡c khæng iºm kº c£ bëi, b1, ..., bq l  c¡c cüc iºm kº c£ bëi trong h¼nh trán â. Khi â vîi méi z trong {|z| < R} khæng ph£i l  khæng iºm hay cüc iºm cõa f , ta câ ành lþ 1.2 (Cæng thùc Poisson - Jensen). Z2π R2 − |z|2 iϕ log |f (Re )|dϕ |Reiϕ − z|2 0     2 p q  R2 − b z  X  R − ai z  X  j  + log  − log  .   R(z − bj )  R(z − a ) i j=1 i=1 1 log |f (z)| = 2π Nhªn x²t. Cæng thùc Poisson-Jensen ch¿ ra r¬ng, n¸u bi¸t gi¡ trà cõa |f (z)| tr¶n bi¶n, bi¸t c¡c cüc iºm v  khæng iºm cõa h m f (z) trong |z| < R th¼ ta câ thº t¼m ÷ñc gi¡ trà cõa mæun |f (z)| t¤i c¡c gi¡ trà z kh¡c b¶n trong ¾a |z| < R. H» qu£ 1.1. Vîi |z| < R, ta câ Z2π 1 1 dθ = . R2 − |z|2 |R2 e − z|2 2π iθ 0 Cho f (z) 6≡ 0 l  mët h m ph¥n h¼nh trong h¼nh trán {|z| ≤ R} vîi 0 < R < ∞. Gi£ sû a1, ..., ap l  c¡c khæng iºm kº c£ bëi, b1, ..., bq l  c¡c cüc iºm kº c£ bëi trong h¼nh trán â trø bä i iºm 0. Khi â H» qu£ 1.2 (Cæng thùc Jensen). 1 log |cf | = 2π Z2π iθ log |f (Re )|dθ − p X i=1 0     q R R X log   + log   ai bj j=1 − (ord0 f ) log R, trong â f (z) = cf z ord f + ...., ord0f ∈ Z, cf l  h¬ng sè kh¡c khæng nhä nh§t trong khai triºn Laurent cõa f t¤i 0. 0 ành lþ sau ¥y l  mët c¡ch vi¸t l¤i cõa cæng thùc Jensen, ÷ñc gåi l  ành lþ cì b£n thù nh§t. 7 Cho f 6≡ 0 l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C. Khi â, vîi méi r > 0, ta câ: ành lþ 1.3 (ành lþ cì b£n thù nh§t).   (1) 1 T (r, f ) = m r, f (2) Vîi méi sè phùc a ∈ C,  1 + N r, f  + log |cf | ;        1 1 T (r, f ) − m r,  − N r,  f −a f −a       c1    + log+ |a| + log 2, ≤ log  f − a  trong â cf l  h» sè kh¡c 0 nhä nh§t trong khai triºn Taylor cõa h m f trong l¥n cªn iºm 0, c1 /(f − a) l  h» sè kh¡c 0 nhä nh§t trong khai triºn Taylor cõa h m 1/(f − a) trong l¥n cªn iºm 0. Nhªn x²t 1.1. d¤ng Ta th÷íng dòng (2) cõa ành lþ cì b£n thù nh§t d÷îi T (r, 1 ) = T (r, f ) + O(1), f −a trong â O(1) l  ¤i l÷ñng bà ch°n khi r → ∞. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh, r > 0. K½ hi»u   1 Nram (r, f ) = N r, 0 + 2N (r, f ) − N (r, f 0 ) f v  gåi l  h m gi¡ trà ph¥n nh¡nh cõa h m f . Hiºn nhi¶n Nram(r, f ) ≥ 0 ành lþ 1.4 (ành lþ cì b£n thù hai). Gi£ sû f l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C, a1, · · · , aq ∈ C, (q > 2) l  c¡c h¬ng sè ph¥n bi»t, khi â 8 vîi méi ε > 0, b§t ¯ng thùc q X  1 (q − 1)T (r, f ) ≤ N r, f − aj j=1  + N (r, f ) − Nram (r, f ) + log T (r, f ) + (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1)   q X 1 + N (r, f ) + log T (r, f ) ≤ N r, f − a j j=1 + (1 + ε) log+ log T (r, f ) + O(1) óng vîi måi r ≥ r0 n¬m ngo i mët tªp E câ ë o Lebesgue húu h¤n. Chùng minh. K½ hi»u δ = mini6=j {|ai −aj |, 1}. Vîi méi z m  f (z) 6= ∞ v  f (z) 6= aj , j = 1, ..., q , gåi j0 l  mët ch¿ sè trong tªp {1, ..., q}, sao cho |f (z) − aj0 | ≤ |f (z) − aj |, vîi måi 1 ≤ j ≤ q. Khi â, vîi j 6= j0 , theo b§t ¯ng thùc tam gi¡c ta câ |f (z) − aj | ≥ δ/2. Nh÷ vªy, vîi j 6= j0 , log+ f (z) ≤ log+ |f (z) − aj | + log+ |aj | + log 2 ≤ log |f (z) − aj | + log+ 2/δ + log+ |aj | + log 2. Do â + (q − 1) log f (z) ≤ X j6=j0 log |f (z) − aj | + q X log+ |aj | j=1 + (q − 1)(log+ 2/δ + log 2). B¥y gií ta ÷îc l÷ñng têng ¦u ti¶n trong v¸ ph£i cõa biºu thùc tr¶n, ta câ q X X log |f (z) − aj | = log |f (z) − aj | − log |f 0 (z)| + log j6=j0 ≤ j=1 q X j=1 |f 0 (z)| |f (z) − aj0 | q X log |f (z) − aj | − log |f 0 (z)| + log( j=1 |f 0 (z)| ). |f (z) − aj | 9 Nh÷ vªy + (q − 1) log f (z) ≤ q X log |f (z) − aj | − log |f 0 (z)| + j=1 q X log+ |aj | j=1 q X + log( j=1 |f 0 (z)| ) + (q − 1)(log+ 2/δ + log 2). |f (z) − aj | Ti¸p theo, °t z = reiθ v  l§y t½ch ph¥n theo bi¸n θ ta ÷ñc (q − 1)m(r, f ) = (q − 1) Z2π log+ |f (reiθ )| dθ 2π 0 ≤ Z2π q X j=1 0 Z2π dθ log |f (reiθ ) − aj | − 2π log |f 0 (reiθ )| dθ 2π 0 q X log( + Z2π j=1 0 |f 0 (reiθ )| dθ + O(1). |f (reiθ ) − aj |) 2π Ta câ Z2π log |f (reiθ ) − aj | 0 v  Z2π log |f 0 (reiθ )| 1 dθ = N (r, ) − N (r, f ) + log |cf −aj | 2π f − aj dθ = N (r, 1/f 0 ) − N (r, f 0 ) + log |cf 0 |. 2π 0 Nh÷ vªy (q − 1)m(r, f ) − q X j=1 ≤ Z2π 0 N (r, 1 ) + qN (r, f ) + N (r, 1/f 0 ) − N (r, f 0 ) f − aj q X log( j=1 q |f 0 (reiθ )| dθ X + + log |aj | |f (reiθ ) − aj |) 2π j=1 + + (q − 1)(log 2/δ + log 2) + q X j=1 log |cf −aj | − log |cf 0 |. 10 M°t kh¡c, theo ành lþ cì b£n thù nh§t v  ành ngh¾a h m Nram (r, f ), v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ÷ñc vi¸t l¤i l  (q − 1)T (r, f ) − q X N (r, j=1 1 ) − N (r, f ) + Nram (r, f ). f − aj º ho n t§t chùng minh ta c¦n ÷îc l÷ñng Z2π q X log( j=1 0 |f 0 (reiθ )| dθ . |f (reiθ ) − aj |) 2π P Gåi α ∈ (0, 1), sû döng t½nh ch§t cõa log v  b§t ¯ng thùc ( dj )α ≤ P α dj cho c¡c sè thüc khæng ¥m dj , ta câ Z2π q X log( 0 j=1 0 iθ |f (re )| dθ = 1/α |f (reiθ ) − aj |) 2π ≤ Z2π Z2π q X log( j=1 0 q X log( | j=1 0 2π q Z X ≤ log( | j=1 0 |f 0 (reiθ )| dθ iθ α |f (re ) − aj |) 2π dθ f 0 (reiθ ) | f (reiθ ) − aj )α 2π f 0 (reiθ ) dθ | f (reiθ ) − aj )α ) 2π Sû döng log+ (x + y) ≤ log+ x + log+ y , b§t ¯ng thùc tr¶n ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau 2π q Z X log( | j=1 0 dθ ρ f 0 (reiθ ) + | ≤ log f (reiθ ) − aj )α ) 2π r(ρ − r) + log + q X 2T (ρ, f − aj ) + C(α), j=1 trong â C(α) l  h¬ng sè ch¿ phö thuëc v o α. °t ρ=r+ 1 , log1+ε T (r, f ) vîi r ≤ r0 v  r ∈ / E ta câ log T (ρ, f ) ≤ log T (r, f ) + 1 11 v  ρ ≤ (1 + ε) log+ T (r, f ) + log 2. r(ρ − r) Nh÷ vªy, vîi r ≥ r0 , r ∈ / E ta câ q X ρ + + log + log 2T (ρ, f − aj ) + C(α) r(ρ − r) j=1 log+ ≤ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + log+ max (2T (ρ, f − aj )) + C(α) 1≤j≤q ≤ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + log(2T (ρ, f )) + C(α) ≤ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + log(T (ρ, f )) + C(α), K¸t hñp c¡c ÷îc l÷ñng tr¶n ta câ q X 1 ) − N (r, f ) + Nram (r, f ) (q − 1)T (r, f ) + N (r, f − a j j=1 ≤ (1 + ε) log+ log T (r, f ) + log T (r, f ) + C(α), b§t ¯ng thùc thù nh§t ÷ñc chùng minh. Ngo i ra     q q X X 1 1 N r, N r, + N (r, f ) − Nram (r, f ) ≤ + N (r, f ), f − a f − a j j j=1 j=1 n¶n b§t ¯ng thùc thù hai ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø b§t ¯ng thùc thù nh§t. ành lþ ÷ñc chùng minh. Gi£ sû f (z) l  h m ph¥n h¼nh tr¶n C, a ∈ C ∪ {∞} v  k l  mët sè nguy¶n d÷ìng. Ta k½ hi»u 1 1 N (r, ) ) f −a f −a = 1 − lim sup ; T (r, f ) T (r, f ) r→∞ m(r, δ(a, f ) = lim inf r→∞ 1 ) f −a Θ(a, f ) = 1 − lim sup ; T (r, f ) r→∞ 1 1 N (r, ) − N (r, ) f −a f −a θ(a, f ) = lim inf . r→∞ T (r, f ) N (r, 12 ành ngh¾a 1.5. δ(a, f ) ÷ñc gåi l  sè khuy¸t, Θ(a, f ) gåi l  sè khuy¸t khæng kº bëi, θ(a, f ) gåi l  bªc cõa bëi cõa sè khuy¸t. 1 ) = 0 vîi måi r f −a suy ra δ(a, f ) = 1. Ch¯ng h¤n f (z) = ez th¼ δ(0, f ) = 1. 1 ) = o(T (r, f )) khi â δ(a, f ) = 1. Nh÷ vªy sè 2. N¸u N (r, f −a khuy¸t b¬ng 1 khi sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh qu¡ ½t so vîi c§p t«ng Nhªn x²t. 1. N¸u f (z) = a væ nghi»m th¼ N (r, cõa nâ. 3. Vîi méi h m ph¥n h¼nh f v  a ∈ C, ta luæn câ 0 6 δ(a, f ) 6 Θ(a, f ) 6 1. ành lþ sau cho ta mët t½nh ch§t cõa sè khuy¸t, th÷íng ÷ñc gåi l  Bê · quan h» sè khuy¸t. Cho f l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Khi â tªp hñp c¡c gi¡ trà cõa a m  Θ(a, f ) > 0 còng l­m l  ¸m ÷ñc, çng thíi ta câ X X ành lþ 1.5.
δ(a, f ) + θ(a, f ) 6 b a∈C b a∈C Gi£ sû f l  h m ph¥n h¼nh tr¶n C, n¸u khæng nhªn 3 gi¡ trà a1, a2, a3 ∈ C ∪ {∞} th¼ f l  h m h¬ng. H» qu£ 1.3 f Θ(a, f ) 6 2. (ành lþ Picard). Ta bi¸t, n¸u f khæng nhªn gi¡ trà a th¼ ph÷ìng tr¼nh 1 f (z) = a væ nghi»m. i·u n y k²o theo N (r, ) = 0, suy ra f −a Θ(a, f ) = 1. Tø Bê · v· quan h» sè khuy¸t, n¸u f kh¡c h¬ng sè Chùng minh. th¼ ch¿ tçn t¤i khæng qu¡ hai gi¡ trà a ∈ C ∪ {∞} sao cho Θ(a, f ) = 1. i·u n y k²o theo k¸t luªn cõa h» qu£.  13 1.2. H m ph¥n h¼nh chung nhau mët gi¡ trà hay h m nhä 1.2.1. Kh¡i ni»m mð ¦u Ti¸p theo ta · cªp ¸n mët sè h m ¸m mð rëng th÷íng dòng trong chùng minh c¡c ành lþ v· x¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh. Cho f l  h m ph¥n h¼nh v  r > 0, k½ hi»u nk (r, f ) l  sè cüc iºm bëi c­t cöt bði k trong Dr cõa f (tùc l  c¡c cüc iºm bëi l > k ch¿ ÷ñc t½nh k l¦n trong têng nk (r, f )). H m Zr Nk (r, f ) = nk (r, f ) − nk (0, f ) dt + nk (0, f ) log r t 0 ÷ñc gåi l  h m ¸m bëi c­t cöt bði k , trong â nk (0, f ) = limt→0 nk (r, f ). Sè k trong nk (r, f ) ÷ñc gåi l  ch¿ sè bëi c­t cöt. Cho a ∈ C ∪ {∞}, k½ hi»u n(r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm kº c£ bëi, n(r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm ph¥n bi»t cõa f − a trong Dr N (r, 0; f ) = N (r, 1 )= f −a Zr n(t, 1 1 ) − n(0, ) f −a f −a dt t 0 1 ) log r, f −a 1 1 Zr n(t, ) − n(0, ) 1 f −a f −a N (r, 0; f ) = N (r, )= dt f −a t + n(0, 0 + n(0, 1 ) log r. f −a Cho a ∈ C ∪ {∞}, k½ hi»u nk) (r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm kº c£ bëi, nk) (r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm ph¥n bi»t cõa f − a trong Dr vîi bëi khæng v÷ñt qu¡ k ; n(k (r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm kº c£ bëi, n(k (r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm ph¥n bi»t cõa f − a trong 14 Dr vîi bëi ½t nh§t b¬ng k . °t Nk) (r, 1 )= f −a Zr nk) (t, 1 1 ) − nk) (0, ) 1 f −a f −a dt + nk) (0, ) log r, t f −a 0 N k) (r, 1 )= f −a Zr nk) (t, 1 1 ) − nk) (0, ) 1 f −a f −a dt + nk) (0, ) log r, t f −a 0 N(k (r, 1 )= f −a Zr n(k (t, 1 1 ) − n(k (0, ) 1 f −a f −a dt + n(k (0, ) log r, t f −a 0 N (k (r, 1 )= f −a Zr n(k (t, 1 1 ) − n(k (0, ) 1 f −a f −a dt + n(k (0, ) log r, t f −a 0 trong â nk) (0, 1 1 1 1 ) = lim nk) (t, ), nk) (0, ) = lim nk) (t, ), t→0 t→0 f −a f −a f −a f −a n(k (0, 1 1 1 1 ) = lim n(k (t, ), n(k (0, ) = lim n(k (t, ). t→0 t→0 f −a f −a f −a f −a D¹ th§y         1 1 1 1 Nk r, = N r, +N (2 r, +· · ·+N (k r, , f −a f −a f −a f −a         1 1 1 1 N r, + N (2 r, = N2 r, ≤ N r, h h h h v  N2 (r, f ) = N (r, f ) + N (2 (r, f ). K½ hi»u nE (r, a; f, g), (nE (r, a; f, g)) l  sè c¡c khæng iºm kº c£ bëi (khæng kº bëi) t¤i c¡c khæng iºm chung còng bëi cõa f − a v  g − a v  n0 (r, a; f, g), (n0 (r, a; f, g)) sè c¡c khæng iºm kº c£ bëi (khæng kº bëi) t¤i t§t c£ c¡c khæng iºm chung cõa f − a v  g − a. °t 15 Zr nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g) dt + nE (0, a; f, g) log r, t NE (r, a; f, g) = 0 Zr N E (r, a; f, g) = 0 Zr N0 (r, a; f, g) = nE (t, a; f, g) − nE (0, a; f, g) dt + nE (0, a; f, g) log r, t n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g) dt + n0 (0, a; f, g) log r, t 0 Zr N 0 (r, a; f, g) = n0 (t, a; f, g) − n0 (0, a; f, g) dt + n0 (0, a; f, g) log r. t 0 trong â nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g), nE (0, a; f, g) = lim nE (t, a; f, g), t→0 t→0 n0 (0, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g), n0 (t, a; f, g) = lim n0 (t, a; f, g). t→0 t→0 C¡c h m NE (r, a; f, g), (N E (r, a; f, g)) ÷ñc gåi l  h m ¸m kº c£ bëi (h m ¸m khæng kº bëi) t¤i c¡c khæng iºm chung còng bëi cõa f − a v  g − a, N0 (r, a; f, g); (N 0 (r, a; f, g)) l  h m ¸m kº c£ bëi (h m ¸m khæng kº bëi) t¤i t§t c£ c¡c khæng iºm chung cõa f − a v  g − a. Ngo i ra, ta ành ngh¾a δk (0, f ) = 1 − lim sup r−→∞ Nk (r, 1/f ) , T (r, f ) trong â k l  mët sè nguy¶n d÷ìng tòy þ. Ti¸p theo ta · cªp ¸n kh¡i ni»m c¡c h m chung nhau mët h¬ng sè hay h m nhä. Cho f, g l  hai h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc C v  a ∈ C ∪ {∞}. Ta nâi r¬ng f v  g chung nhau gi¡ trà a−CM n¸u f − a v  g − a câ chung c¡c khæng iºm kº c£ bëi. Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C, ta k½ hi»u Mf (C) l  tªp c¡c h m nhä èi vîi f . Khi f l  h m nguy¶n, ta k½ hi»u Af (C) thay cho