Tài liệu Vấn đề chọn tham số trong phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một hệ hữu hạn phương trình không chỉnh

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ BÍCH HÀ VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ BÍCH HÀ VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mở đầu 1 1 Một số khái niệm cơ bản 6 1.1 Không gian Banach - Toán tử đơn điệu và J -đơn điệu . . . Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Toán tử đơn điệu và J- đơn điệu . . . . . 1.2 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . 1.2.2 Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . 1.3 Hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử đơn điệu 1.1.1 6 . . . . . 6 . . . . . 8 . . . . . 11 . . . . . 11 . . . . . 15 . . . . . 16 Kết luận chương 1 19 2 Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có toán tử J - đơn điệu 20 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình toán tử J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Cách chọn tham số hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cách chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . 2.3.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . 2.2 Kết luận Tài liệu tham khảo . 21 . 26 . 26 . 31 33 34 1 MỞ ĐẦU Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở lên vô nghiệm. Lớp các bài toán trên được gọi là lớp các bài toán không chính qui hay bài toán đặt không chỉnh. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên cứu ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic. Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình A (x) = f (1) ở đây, A là toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y . Theo J. Hadamard bài toán (1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. Phương trình (1) có nghiệm x0 với mọi y ∈ Y ; 2. Nghiệm x0 được xác định một cách duy nhất; 3. Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f . Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra trong quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến những sai lệch đáng kể. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán (1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Do lớp bài toán đặt không 2 chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới. Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh như: Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng. . . Để giải số bài toán đặt không chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đã đưa về bài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong một tập compact lồi M và ảnh A (M ) = N sao cho khi f xấp xỉ bởi fδ ∈ N ta vẫn có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N . Do số liệu xấp xỉ là số liệu không chính xác, nên có thể xấp xỉ fδ lại không nằm vào tập A (M ). Khi đó, phương trình A (x) = fδ không có nghiệm theo nghĩa thông thường. Để khắc phục tình trạng này, V. K. Ivanov đã đưa ra khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1). Theo V. K. Ivanov phần tử x̃ ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf ρY (A (x) , f ) được gọi là tựa nghiệm của (1) trên tập M , x∈M trong trường hợp M là tập compact của X , thì mọi f ∈ Y bao giờ cũng tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A (M ) thì tựa nghiệm chính là nghiệm thông thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm thông thường có thể không duy nhất. Năm 1963, Tikhonov đưa ra một hướng mới giải quyết bài toán (1), đó là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc tham số M α [x, fδ ] = ρ2 (A (x) , fδ ) + αψ (x) , (2) ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X , α là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc δ , α = α (δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có α (δ) → 0 và điểm cực tiểu xδα của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của bài toán (1). Đối với bài toán (1), khi A : H → H (H là không gian Hilbert), là một toán tử liên tục và đóng yếu, H. W. Engl đã xét dạng cụ thể của (2) là M α [x, fδ ] = kAx − fδ k2 + α kxk2 (3) và chứng minh được bài toán (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ và hội tụ về nghiệm của (1) khi fδ → f. Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ không gian 3 Banach X vào X ∗ , Alber và Ryazantseva đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình A (x) + αJ s (x) = fδ , (4) ở đây, J s là toán tử đối ngẫu tổng quát của X , tức là J s : X → X ∗ , thỏa mãn điều kiện hJ s (x) , xi = kxk kJ s (x)k , kJ s (x)k = kxks−1 , s ≥ 2. Trong vài năm gần đây, do nhu cầu thực tế người ta đã xét mở rộng bài toán (1) cho một họ hữu hạn phương trình đặt không chỉnh tức là tìm nghiệm x0 sao cho Ai (x0 ) = fi , i = 1, 2, ..., N, (5) ở đây, Ai : X → Yi , X và Yi là các không gian Hilbert. Hệ phương trình (5) có thể đưa về một phương trình (1), với A : X → Y được xác định bởi A (x) = (A1 (x) , A2 (x) , . . . , AN (x)) , Y := Y1 × Y2 × . . . × YN và f = (f1 , f2 , . . . , fN ) . Có thể coi (1) như là trường hợp riêng của (5) khi N = 1. Tuy nhiên (5) có lợi hơn (1) ở chỗ (5) đề cập riêng rẽ từng tính chất của (Ai , fi ), còn (1) cho ta tính chất chung của (Ai , fi ) và nghiệm của (1) phải thỏa mãn các tọa độ giống nhau. Dựa trên khoảng cách Bregman

 D xδ , x0 := J xδ − J (x0 ) − J 0 (x0 ) , xδ − x0 Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh xδ về nghiệm x0 của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán tử Ai , i = 1, 2, ..., N. Trong trường hợp Ai là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trên không gian Banach, Nguyễn Bường đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh dựa vào việc giải phương trình N X αµi Ai (x) + αJ (x) = θ, i=1 µ1 = 0 < µi < µi+1 < 1, i = 2, ..., N − 1, (6) 4 ở đây, J (x) là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào X ∗ , tức J (x) = J 2 (x). Khi Ai : H → H là các toán tử đơn điệu và liên tục, GS.TS Nguyễn Bường và TS Nguyễn Thị Thu Thủy đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán Ai (x) = θ, i = 1, 2, ..., N, (7) bằng hồ sơ lặp x(k+1) = x(k) − βk N X    αki Ai x(k) + αkN +1 x(k) − x∗  ! , (8) i=1 ở đây, xấp xỉ đầu x(0) và x∗ là phần tử trong không gian H và αk , βk là các dãy số dương. Hệ (7) cũng được GS.TSKH Phạm Kỳ Anh và GS.TS Cao Văn Chung xét đến khi Ai : H → H có tính chất ngược đơn điệu mạnh bằng phương pháp hiệu chỉnh lặp song song. Các kết quả đạt được của phương pháp cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất. Trong luận văn này, chúng ta xét các phương pháp hiệu chỉnh, cách chọn tham số và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Trong trường hợp các toán tử Ai : X → X là J - đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng ta xét phương pháp hiệu chỉnh (5) dựa vào việc giải phương trình A0 (x) + α µ N X
Ai (x) − fiδ + α (x − x∗ ) = f0δ (9) i=1 và đưa ra cách chọn tham số α = α (δ), ở đây µ ∈ (0, 1) là hằng số cố định. Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá mà chỉ cần dựa vào điều kiện đặt lên một toán tử A0 . Các kết quả đạt được trong luận văn này là kết quả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương: Chương 1. Một số khái niệm cơ bản. Trong chương này ta trình bài các khái niệm cơ bản về không gian 5 Banach và bài toán đặt không chỉnh, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov. Từ đó giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử đơn điệu. Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương này còn giới thiệu bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh. Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có toán tử J - đơn điệu. Trong chương này ta trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình đối với toán tử J - đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Tôi mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Bường, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong quá trình tôi thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới các giáo sư, tiến sĩ ở Viện Toán học, Viện công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học nói chung và khoa Toán - Tin nói riêng đã hết lòng giảng dạy, truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức khoa học trong suốt quá trình tôi học tập tại trường. Cuối cùng, tôi cũng muốn cảm ơn đến người thân, bạn bè đã cổ vũ tôi trong suốt thời gian vừa qua. Do điều kiện thời gian và trình độ có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi có nhiều thiếu sót. Tôi rất mong sẽ nhận được nhiều ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn. Hải Phòng, ngày 11 tháng 10 năm 2014 Tác giả Phí Thị Bích Hà 6 Chương 1 Một số khái niệm cơ bản Chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản trong không gian Banach, toán tử đơn điệu và J - đơn điệu. Khái niệm bài toán đặt không chỉnh, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov. Đồng thời giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh với toán tử đơn điệu. Các kiến thức này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3], [7], [8]. 1.1 1.1.1 Không gian Banach - Toán tử đơn điệu và J-đơn điệu Không gian Banach Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: 1) kxk > 0, ∀x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0; 2) kαxk = |α| . kxk , ∀x ∈ X, α ∈ R; 3) kx + yk ≤ kxk + kyk , ∀x, y ∈ X, (bất đẳng thức tam giác). Một không gian định chuẩn đầy đủ là không gian Banach. +) Sự hội tụ trong không gian Banach: Dãy các phần tử xn không gian Banach X được gọi là hội tụ đến phần tử x0 ∈ X khi n → ∞, nếu khi n → ∞, ký hiệu là xn → x0 . Sự hội tụ đó được gọi là hội tụ mạnh. Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ X , ký hiệu là xn 7 hội tụ yếu tới x0 , nếu với ∀f ∈ X ∗ là không gian liên hợp của X , ta có f (xn ) → f (x0 ), khi n → ∞. Từ định nghĩa trên ta có tính chất sau: i) Từ sự hội tụ mạnh của một dãy {xn } suy ra sự hội tụ yếu của dãy đó. ii) Giới hạn yếu của một dãy nếu có là duy nhất. iii) Nếu xn → x thì sup kxn k < ∞ và kxk ≤ lim kxn k. n→∞ 1≤n<∞ Nhận xét 1.1. Một số trường hợp hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ mạnh là: i) X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều. ii) {xn } ⊂ M với M là một tập compact trong X . +) Không gian phản xạ Giả sử X là không gian định chuẩn thực, X ∗ là không gian liên hợp của X và gọi X ∗∗ = L (X ∗ ) là không gian liên hợp thứ hai của X . Ta cho tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên X ∗∗ nhờ hệ thức hx∗∗ , f i = hf, xi , ∀f ∈ X ∗∗ ở đây hf, xi là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ tại x ∈ X . Ta có kxk = kx∗∗ k. Đặt h (x) = x∗∗ , nếu h : X → X ∗∗ là toàn ánh thì không gian X được gọi là không gian phản xạ. Ví dụ 1.1. Không gian Lp [a, b] với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với chuẩn kφk = Z b  p1 |φ (x)p dx| , φ ∈ Lp [a, b] . a Ví dụ 1.2. Không gian Lp [a, b] , p > 1 là không gian phản xạ. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ. Định lý 1.2. Nếu X là không gian Banach thì các khẳng định sau là tương đương: 1) X phản xạ, 8 2) Mọi dãy giới nội là compact yếu, nghĩa là ∀ {xn } ⊂ X : kxn k ≤ K ⇒ ∃ {xn } , xnk → x ∈ X; 3) Hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu; 4) Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong X là compact yếu; 5) Mỗi tập lồi đóng bị chặn trong X là compact yếu. +) Đạo hàm Fréchet: Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X , nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y , sao cho kA (x + h) − A (x) − T (h)k = 0, khk→0 khk lim T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x và kí hiệu là A0 (x). 1.1.2 Toán tử đơn điệu và J- đơn điệu Định nghĩa 1.3. Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A (x) , y ∗ ∈ A (y) . Tập Gr (A) được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên. Nếu Gr (A) không được chứa thực sự trong một tập đơn điệu nào khác trong X × X ∗ thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại.(Gr (A) là đồ thị của toán tử A). Từ định nghĩa suy ra kết quả sau. Mệnh đề 1.4. Toán tử đơn điệu A : X × X ∗ là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi từ bất đẳng thức hg − f, y − x0 i ≥ 0, ∀ (y, g) ∈ Gr (A) suy ra x0 ∈ D (A) và f ∈ A (x0 ) . Định nghĩa 1.5. Toán tử A được gọi là 1) Đơn điệu (monotone) nếu hA (x) − A (y) , x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D (A) ; 9 2) Đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi x = y; 3) Đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ (t) không giảm với t ≥ 0, δ (0) = 0 và hA (x) − A (y) , x − yi ≥ δ (kx − yk) , ∀x, y ∈ D (A) ; Nếu δ (t) = cA t2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. Chú ý: Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương đương với tính không âm của toán tử. Định nghĩa 1.6. Toán tử A được gọi là 1) h –liên tục (hemicontinous) trên X nếu A (x + ty) → Ax khi t → 0 với mọi x, y ∈ X 2) d – liên tục (demicontinous) trên X từ xn → x suy ra Axn → Ax khi n→∞ Định nghĩa 1.7. Toán tử A được gọi là toán tử bức (coercive) nếu hAx, xi = +∞, ∀x ∈ X. kxk→+∞ kxk lim Định nghĩa 1.8. Ánh xạ U S : X → X ∗ (nói chung đa trị) xác định bởi n o S−1 S ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ U (x) = x ∈ X : hx , xi = kx k . kxk ; kx k = kxk ,s ≥ 2 được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian X . Khi s = 2 thì U S thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X . Định nghĩa 1.9. Hàm F : X → R được gọi là 1) lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X ta có F (tx + (1 − t) y) ≤ tF (x) + (1 − t) F (y) , ∀t ∈ [0, 1] ; 2) lồi chặt trên X nếu bất đẳng thức trên không xảy ra dấu bằng với x 6= y; 3) nửa liên tục dưới trên X nếu lim inf F (y) ≥ F (x) , ∀x ∈ X; y→x 10 4) nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy {xn } ta có xn hội tụ yếu đến x thì lim inf F (y) ≥ F (x) , ∀x ∈ X n→∞ Định nghĩa 1.10. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, F : X → R là một phiếm hàm lồi, chính thường trên X . Ta định nghĩa ∂F (x) bởi ∂F (x) = {x∗ : F (y) − F (x) ≥ hx∗ , y − xi} , ∀y ∈ X Phần tử x∗ ∈ X ∗ được gọi là dưới Gradient của hàm F tại x và ∂F (x) được gọi là dưới vi phân của F tại x. Định lý 1.11. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X . Nếu F : X → R là hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới trên X , thì ánh xạ dưới vi phân ∂F là một toán tử đơn điệu cực đại từ X vào X ∗ . Định nghĩa 1.12. Toán tử A : X → X được gọi là 1) J -đơn điệu trên X nếu tồn tại j (x − y) ∈ J (x − y) sao cho hA (x) − A (y) , j (x − y)i ≥ 0 với ∀x, y ∈ X . 2) J - đơn điệu mạnh trên X với hằng số α, nếu tồn tại một hằng số α > 0 sao cho hA (x) − A (y) , j (x − y)i ≥ α kx − yk2 , ∀x, y ∈ X. 3) Ngược J - đơn điệu mạnh trên X với hằng số λ, nếu tồn tại một hằng số dương λ sao cho hA (x) − A (y) , j (x − y)i ≥ λ kA (x) − A (y)k2 , ∀x, y ∈ X, 4) m-J - đơn điệu trong X , nếu A là J - đơn điệu và R (A + λI) = X, ∀λ > 0. 5) Liên tục Lipchitz trên X , nếu kA (x) − A (y)k ≤ L kx − yk , ∀x, y ∈ X, Ở đây, L là hằng số dương. Khi L = 1 thì A được gọi là toán tử không giãn. Dễ thấy nếu A là toán tử ngược J−đơn điệu mạnh với hằng số λ thì A là liên tục Lipchitz với hằng số 1/λ. 11 1.2 1.2.1 Bài toán đặt không chỉnh Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh Khái niệm về bài toán chỉnh được J. Hadarmard đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic. Việc tìm nghiệm x của bất kỳ một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f , có nghĩa là x = R (f ). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng là ρX (x1 , x2 ) và ρY (f1 , f2 ) , x1 , x2 ∈ X, f1 , f2 ∈ Y . Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi đó, bài toán tìm nghiệm x = R (f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ), nếu mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ (ε) > 0, sao cho từ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ (ε) ta có ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ở đây x1 = R (f1 ) , x2 = R (f2 ) , f1 , f2 ∈ Y, x1 , x2 ∈ X. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán chỉnh trên cặp không gian Metric (X, Y ) nếu có: 1) Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X , 2) Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất, 3) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ). Một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm. Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm nghiệm được gọi là bài toán không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn. Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp không gian Metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian Metric khác. Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1) dữ kiện ban 12 đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f . Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi fδ với sai số ρ1 (fδ , f ) ≤ δ . Như vậy, với (fδ , f ) ta phải tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác của (1) khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh trên. Nếu ta ký hiệu Qδ = {x ∈ X : ρY (A (x)) , fδ ≤ δ} thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên phải nằm trong tập Qδ . Nhưng rất tiếc tập Qδ này lại rất lớn, tức là các phần tử cách nhau rất xa. Chính vì vậy, không phải các phần tử của Qδ có thể coi là nghiệm xấp xỉ của (1) được. Vì lẽ đó, bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (1). Muốn thực hiện việc chọn đó cần thiết phải có các thông tin khác nữa về nghiệm chính xác x0 . Chúng ta sẽ lần lượt nghiên cứu các thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán không chỉnh ở chương tiếp theo. Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh Ví dụ 1.3. A là toán tử liên tục mạnh của bài toán bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, giả sử {xn } là một dãy chỉ hội tụ yếu đến x, và yn = A (xn ), y = A (x). Khi đó, do tính liên tục mạnh của A suy ra yn → y là nghiệm của phương trình A (x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định D (A) của toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính compact với miền ảnh R (A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A−1 nói chung là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A (x) = f là bài toán đặt chỉnh. 13 Ví dụ 1.4. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I Zb K (x, s)φ (s) ds = f0 (x) , x ∈ [a, b] (10) a ở đây nghiệm là một hàm φ (x), vế phải f0 (x) là một hàm cho trước, K (x, s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K (x, s) cùng với liên tục trên hình vuông [a, b] × [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau: ∂K(x,s) ∂x • Trường hợp 1 A : C [a, b] → L2 [a, b] Rb φ (x) 7→ f0 (x) = K (x, s) φ (s) ds. a Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2 [a, b], tức là khoảng cách giữa hai hàm f0 (x) và f1 (x) trong L2 [a, b] được cho bởi   12 Zb |f0 (x) − f1 (x)|2 dx . ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) =  a Giả sử phương trình (12) có nghiệm là φ0 (x). Khi đó với vế phải Zb f1 (x) = f0 (x) + N K (x, s) sin (ωs) ds a Thì phương trình này có nghiệm φ1 (x) = φ0 (x) + N sin (ωx) . Với N bất kì và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong không gian L2 [a, b] là   ρL[a,b] (f0 , f1 ) = |N |  Zb  a Có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt Kmax =  12  K (x, s) sin (ωs) ds dx  a 2 Zb max x∈[a,b],s∈[a,b] |K (x, s)| , 14 Ta tính được  b  12 2 Z  |N | Kmax c0 1 Kmax cos (ωs)|ba dx ≤ ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N |  , ω ω a ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω đủ lớn tùy ý nhưng N /ω lại nhỏ. Trong khi đó ρC[a,b] (φ0 , φ1 ) = max |φ0 (x) − φ1 (x)| = |N | x∈[a,b] Có thể lớn bất kì. • Trường hợp 2 A : L2 [a, b] → L2 [a, b] Rb φ (x) 7→ f0 (x) = K (x, s) φ (s) ds. a Tương tự, ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm φ0 và φ1 trong không gian L2 [a, b] có thể lớn bất kì. Thật vậy, ! 21 ! 21 b Rb R ρL2 [a,b] (φ0 , φ1 ) = |φ0 (x) − φ1 (x)|2 dx = |N | sin2 (ωx) dx a a q 1 = |N | b−a 2 − 2ω sin (ω (b − a)) cos (ω (b + a)). Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) rất nhỏ nhưng ρL2 [a,b] (φ0 , φ1 ) lại rất lớn. Ví dụ 1.5. Xét toán tử A : l2 → Y a 7→ f0 (t) = ∞ P an cos (nt) , n=1 ở đây Y là một không gian Banach, hệ số a = (a0 , a1 , ...., an , ...) ∈ l2 . Hãy tính giá trị của toán tử A tại điểm a được cho xấp xỉ bởi ε cn = an + , n ≥ 1, c0 = 0. n 15 • Trường hợp 1: Y = C [0, 1] . Ta có chuỗi Fourier tương ứng f1 (t) = ∞ X cn cos (nt). n=0 với hệ số (c0 , c1 , ...., cn , ...) ∈ l2 . Khoảng cách giữa hai hệ số (a0 , a1 , ...., an , ...) và (c0 , c1 , ...., cn , ...) trong không gian l2 là ! 21 ! 12 r ∞ ∞ X X 1 π2 ε1 = (cn − an )2 =ε = ε . 2 n 6 n=0 n=0 Do đó, khoảng cách này có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó   ∞ ∞  X  X 1 1   ρC[0,1] (f0 , f1 ) = max ε cos (nt) = ε 0≤t≤1   n n n=1 n=1 Có thể làm lớn bao nhiêu cũng được, vì chuỗi ε ∞ P n=1 1 n phân kì. Như vậy, nếu khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 được xét trong không gian các hàm với độ đo đều thì bài toán tính tổng của chuỗi Fourier không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. • Trường hợp 2: Y = L2 [0, π] . Trong trường hợp này bài toán ổn định. Thật vậy π  12 R 2 ρL2 [0,π] (f1 , f0 ) = |f1 (t) − f0 (t)| 0  2 ! 12 ∞  Rπ  P   dt = (c − a ) cos (nt) n n   0 n=0 ∞  21 pπ P π 2 = (c − a ) = ε n n 1 2 2. n=0 1.2.2 Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta chỉ biết fδ thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ. Định nghĩa 1.13. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử T (f, α) phụ thuộc vào tham số α, 16 tác động từ Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1) nếu: 1) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử T (f, α) xác định với mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn: kfδ − f k ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ) , 2) Tồn tại một hàm α = α (δ, fδ ) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi ε > 0, luôn tìm được δ (ε) ≥ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn: kfδ − f k ≤ δ ≤ δ (ε) Thì xδα − x0 ≤ ε, ở đây x0 là nghiệm có x∗ − chuẩn nhỏ nhất cỉa bài toán (1) và xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) . Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị. Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (1), còn α = α (δ, fδ ) được gọi là tham số hiệu chỉnh. Tham số hiệu chỉnh α (δ, fδ ) phải được chọn sao cho: lim α (δ, fδ ) = 0 δ→0 Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu. Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ phục thuộc liên tục vào dữ kiện phương trình (1) gồm các bước: Bước 1: Xây dựng toán tử hiệu chỉnh T (f, α). Bước 2: Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán về phần tử fδ và mức sai số δ. 1.3 Hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử đơn điệu Xét phương trình toán tử (1), ở đó A là một toán tử đơn điệu và h− liên tục từ không gian Banach X vào X ∗ , X ∗ lồi chặt và X có tính chất ES, tức là X phản xạ và mọi dãy {xn } các phần tử xn ∈ X hội tụ yếu trong X đến x và kxn k → kxk cho ta {xn } hội tụ mạnh đến phần tử x. 17 Nếu không có tính đơn điệu đều, thì bài toán (1) nói chung là một bài toán không chỉnh. Giả sử (1) có nghiệm. Ta kí hiệu S0 là tập nghiệm của hệ phương trình đó. Khi đó, S0 là một tập đóng và lồi trong X . Xét phương trình
A (x) + αJ s x − x0 = fδ , kfδ − f k ≤ δ, (11) ở đây J s : X → X ∗ là một ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X . tức là J s thỏa mãn hJ s (x) , xi = kxks và kJ s (x)k = kxks−1 với s ≥ 2 còn x0 là một phần tử bất kỳ trong X . Phần tử này giúp cho ta tìm một nghiệm của (1) theo ý muốn. Ta có kết quả sau. Định lý 1.14. Với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗ , phương trình (11) có duy nhất  nghiệm xδα . Nếu α, δ/α → 0, thì xδα hội tụ đến một phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn x0 − x0 = min x − x0 . x∈S0 (12) Chứng minh. Do X ∗ là lồi chặt, nên U s là một ánh xạ h- liên tục. Vì vậy A + αU s cũng là một toán tử đơn điệu và h- liên tục từ X vào X ∗ . Mặt khác, do U s là một toán tử bức, nên với mỗi α > 0 toán tử A + αJ s cũng là một toán tử bức. Do đó, với mỗi α > 0 phương trình (11) có duy  nhất nghiệm. Kí hiệu nghiệm đó bằng xδα . Bây giờ, ta chứng minh xδα hội tụ đến x0 thỏa mãn (12). Thật vậy, từ (1) và (11) ta có
 A xδα − A (x) + f0 − fδ , xδα − x 

+α J s xδα − x0 − J s x − x0 , xδα − x
 = α J s x − x0 , x − xδα , ∀x ∈ S0 Do A là một toán tử đơn điệu và J s thỏa mãn tính chất x0 = f0 , xk+1 =
xk − Axk − f0 nên s
 δ mU xδα − x ≤ xδα − x + U s x − x0 , x − xδα . (13) α  Suy ra tập xδα là giới nội. Vì X là một không gian Banach phản xạ,  cho nên tồn tại một dãy con của xδα hội tụ yếu đến phần tử x1 nào đó