Tài liệu Vấn đề biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của ba số có dạng n2 a và giả thuyết của farhi

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN j 2k THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG na VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẠNH VẤN ĐỀ BIỂU DIỄN MỘT SỐ TỰ NHIÊN j 2k THÀNH TỔNG CỦA BA SỐ CÓ DẠNG na VÀ GIẢ THUYẾT CỦA FARHI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 3 Mục lục Danh sách ký hiệu 4 Mở đầu 5 Chương 1. Sự phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương 8 1.1 Tóm tắt kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Công thức đệ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các bình phương . 10 Chương 2. Hai giả thuyết của Farhi 16 2.1 Giả thuyết 1 của Farhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Giả thuyết 2 của Farhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Giả thuyết củajFarhi k về biểu diễn số nguyên thành tổng của 2.2.2 n2 3 (n ∈ N) . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ba số có dạng Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 4 Danh sách ký hiệu ∃ ký hiệu “tồn tại” ∀ ký hiệu “với mọi” N tập hợp các số tự nhiên Z tập hợp các số nguyên a∈A a thuộc tập hợp A a∈ /A a không thuộc tập hợp A #X
· lực lượng của tập hợp X bac phần nguyên của số a hai phần lẻ của số a mod p modulo p a ≡ b (mod p) a đồng dư với b theo modulo p a 6≡ b (mod p) a không đồng dư với b theo modulo p a|b a là ước của b · m ∏ bi i=1 ∏ P(d) d|n m ∑ bi i=1 ∞ ∑ bn n=1 ký hiệu Jacobi m (tích hữu hạn) ∏ bi = b1 · b2 · · · bm i=1 tích tất cả các phần tử P(d) với d là ước của n m (tổng hữu hạn) ∑ bi = b1 + b2 + · · · + bm i=1 ∞ (chuỗi vô hạn) ∑ bn = b1 + b2 + · · · + bn + · · · n=1 5 Mở đầu Trong Lý thuyết số, ta đã biết có rất nhiều kết quả về việc biểu diễn một số tự nhiên thành tổng các bình phương của một số cố định các số nguyên. Lagrange đã chứng minh mỗi số tự nhiên có thể biểu diễn thành tổng của bốn hạng tử là bình phương của 4 số nguyên. Gauss cũng đã chỉ ra rằng mỗi số tự nhiên N ≡ 3 (mod 8) đều có thể biểu diễn được thành tổng các bình phương của ba số lẻ. . . Vấn đề này cũng được Fermat và Cauchy nghiên cứu và đã có nhiều kết quả. Legendre đã chứng minh được rằng mỗi số tự nhiên có thể viết được thành tổng các bình phương của 5 số nguyên mà một trong 5 số đó là 0 hoặc 1. Legendre cũng chứng minh được rằng mỗi số tự nhiên không có dạng 4h (8k + 7) với h, k ∈ N đều có thể viết được thành tổng các bình phương của 3 số nguyên. Năm 2013, B. Farhi đã có bài báo trình bày việc biểu diễn một số tự j 2k nhiên thành tổng của ba số có dạng na với a = 8, a = 4 và đưa ra hai giả thuyết: GIẢ THUYẾT 1. “Mỗi số tự nhiên đều có thể viết thành tổng của 3 số có j 2k dạng na ”, và trường hợp tổng quát hơn với giả thuyết sau: GIẢ THUYẾT 2. “Với k > 2, luôn tồn tại một số a(k) sao cho mỗi số tự 6 nhiên đều có thể biểu diễn thành tổng của (k + 1) số có j 2k dạng na , n ∈ N”. Mục tiêu của luận văn là trình bày các kết quả năm 2013 của Farhi trong [3] và việc giải quyết một phần của hai giả thuyết đã nêu của Farhi thông qua hai bài báo [5] và [6]. Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương như sau: • Chương 1. Sự phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương. Chương này sẽ trình bày lại một kết quả về sự phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương. Các phân tích được quan tâm là sự biểu diễn một số thành một số chẵn các bình phương. • Chương 2. Hai giả thuyết của Farhi. Mục tiêu của Chương 2 là trình bày về hai hai giả thuyết của Farhi. Trước hết là sự biểu diễn của một số 2 tự nhiên thành tổng của ba số tự nhiên có dạng b na c (n ∈ N), trong đó a là một số nguyên dương cố định. Phần này sẽ được tham khảo chính trong B. Farhi [3]. Tiếp theo, chúng tôi sẽ là trình bày kết quả về việc giải quyết một phần của hai giả thuyết đã nêu của Farhi (trong Chương 1) thông qua các tài liệu [5, 6]. Tác giả hi vọng rằng luận văn này sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích về lĩnh vực Lý thuyết số và ứng dụng. Luận văn cũng sẽ có ích trong việc bồi dưỡng giáo viên, sinh viên, học viên và những ai có nhu cầu tìm hiểu về Lý thuyết số nói chung. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS. Nông Quốc 7 Chinh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và hoàn thành khóa học. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 9 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thúy Hạnh 8 Chương 1 Sự phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương Trong chương này tôi nghiên cứu về phân tích một số nguyên thành tổng các bình phương. Tài liệu tham khảo chính của chương này là Đoàn Quang Vụ [1] (xem thêm M.B. Nathanson [7]). 1.1 Tóm tắt kết quả Trong phần này ta xét một số dạng bậc hai mà trong đó số tự nhiên n cho trước được biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương của các số nguyên. Với mỗi số nguyên dương s và số nguyên không âm n, ta có Rs (n) biểu thị số các bộ số nguyên x1 , x2 , . . . , xs thỏa mãn n = x12 + x22 + . . . + xs2 . trong đó các số nguyên xi có thể âm, dương hoặc bằng 0. Với mọi s > 1, ta có Rs (0) = 1. Vì 0 = 02 + . . . + 02 là dạng biểu diễn của số 0 dưới dạng tổng của s hạng tử là bình phương. Ta có đồng nhất thức của Liouville rút ra được bài toán biểu 9 diễn một số nguyên dưới dạng tổng của s số bình phương, khi s = 2, 4, 6, 8 và 10. Biểu diễn một số nguyên n dưới dạng tổng của s số bình phương là một vấn đề trong lý thuyết số, nhưng cách giải quyết cho giá trị lẻ của s luôn liên quan tới một tổng các số chia của n, là một chủ đề cơ bản trong lý thuyết số. Ở đây, d và δ là các số nguyên dương và ∑d|n và ∑n=dδ ta sẽ hiểu là tổng các ước của n. 1.2 Công thức đệ quy Định lí 1.1 (xem [1, Định lí 1.1]). Với mọi số nguyên dương s và n ta có ∑√   2 n − (s + 1)u Rs (n − u2 ) = 0. (1.1) |u|6 n Định lí 1.2 (xem [1, Định lí 1.2]). Có Φ là một hàm số xác định đối với tất cả các số nguyên không âm n sao cho Φ(0) = 1 và ∑√   2 n − (s + 1)u Φ(n − u2 ) = 0 |u|6 n Thế thì Φ(n) = Rs (n) với mọi n > 0. với mọi n > 1. (1.2) 10 1.3 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các bình phương Tổng của 2 số nguyên bình phương Định lí 1.3 (xem [1, Định lí 1.3]). Giả sử n được biểu diễn dưới dạng phân tích chuẩn t n = 2r ∏ psi i q jj trong đó pi ≡ 1 (mod 4) và q j ≡ 3 (mod 4). Điều kiện cần và đủ để n biểu diễn thành tổng của hai bình phương là các số t j chẵn với mọi j. Ta ký hiệu S(n) là họ các bộ ba số nguyên (u, d, δ ) thỏa mãn d, δ > 1 và u2 + dδ = n. Nếu k1 và k2 là các số nguyên lẻ thì hàm số f (x, y) = x1k1 yk12 là hàm lẻ với mọi biến số x, y là biến số. Từ đồng nhất thức Liouvill người ta đã chứng minh được hệ quả sau: Cho hàm số f (x, y) lẻ đối với các biến x và y. Khi đó với mỗi số nguyên dương n ta có ∑ (−1) δ −1 2 f (δ − 2u, u + d) = {T0 (l)}n=l 2 u2 +dδ =n δ ≡1 (mod 2) trong đó l T0 (l) = ∑ (−1) j+l f (2 j − 1, l). j=1 Ứng dụng kết quả trên ta nhận được ∑ u2 +dδ =n δ ≡1 (mod 2) (−1) δ −1 2 n o k2 l− j k1 (δ − 2u) (u + d) = l ∑(−1) (2 j − 1) k1 k2 n=l 2 . 11 Nếu (u, d, δ ) ∈ S(n) thì (−u, d, δ ) ∈ S. Từ đây suy ra nếu k là một số nguyên lẻ và g(d, δ ) là một hàm tùy ý thì uk g(d, δ ) = 0. ∑ (1.3) u2 +dδ =n δ ≡1 (mod 2) Do (u, d, δ ) ∈ S nếu và chỉ nếu (u, δ , d) ∈ S nên nếu ε(d, δ ) = ε(δ , d) thì ta có ε(d, δ )(d − δ )h(u) = 0. ∑ (1.4) u2 +dδ =n Từ Định lý 1.2, nó thỏa mãn để xây dựng hàm Φ(n) thỏa mãn Φ(n) = 1 và ∑√ (n − 3x2)Φ(n − x2) = 0 |x|6 n với mọi số nguyên dương n. Định lí 1.4 (xem [1, Định lí 2.1]). Ta có R2 (n) = 4 ∑(−1) d−1 2 . d|n Ví dụ 1.5. Với n = 5 ta có R2 (5) = 4 ∑(−1) d−1 2 h i 1−1 5−1 2 2 = 4 (−1) + (−1) = 4(1 + 1) = 8. d|5 Vậy có 8 bộ hai số nguyên (x1 , x2 ) thỏa mãn 5 = x12 + x22 , trong đó có một tọa độ là ±1, một tọa độ là ±2. Tổng của 4 số nguyên bình phương Định lí 1.6 (Định lý Jacobi, xem [1]). Với mọi số nguyên dương n ta có R4 (n) = 8 ∑ d nếu n lẻ, d|n R4 (n) = 24 ∑ d|n ≡1 (mod 2) d nếu n chẵn. 12 Ví dụ 1.7. Với n = 1 ta có R4 (1) = 8 · 1 = 8. Vậy có 8 bộ bốn số nguyên (x1 , x2 , x3 , x4 ) thỏa mãn 1 = x12 + x22 + x32 + x42 trong đó có một tọa độ là ±1, còn lại là 0. Với n = 2 ta có R4 (2) = 8(1 + 2) = 24. Vậy có 24 bộ bốn số nguyên (x1 , x2 , x3 , x4 ) thỏa mãn 2 = x12 + x22 + x32 + x42 trong đó có hai tọa độ là ±1, còn lại là 0. Tổng của 6 số nguyên bình phương Định lí 1.8 (xem [1, Định lí 2.3]). Cho n là một số nguyên dương, n = 2a m, khi a > 0 và m lẻ. Ta có   m−1 a+1 R6 (n) = 4 4 − (−1) 2 ∑ (−1) δ −1 2 d 2. m=dδ Ví dụ 1.9. Tìm tất cả các dạng biểu diến của 6 như là tổng các bình phương của 6 số nguyên. Chứng minh. Với n = 6 = 21 · 3 ta có a = 1, m = 3. Vì vậy ta có R6 (6) = 4(42 − (−1)1 )[(−1)0 32 + (−1)1 12 ] = 4 · 17 · 8 = 544. Vậy có 544 bộ 6 số nguyên (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) thỏa mãn 6 = x12 + x22 + x32 + x42 + x52 + x62 . Các số đó cụ thể như sau: Có 26 = 64 bộ (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ), xi = ±1. Có 23 ·C63 ·C31 = 480 bộ có dạng (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ), mà một tọa độ là ±2, hai tọa độ là ±1, còn lại là 0. 13 Như vậy có số 6 có 544 các biểu diễn thành tổng bình phương của 6 số nguyên. Bây giờ ta có kết quả ước lượng sau đây: Định lí 1.10 (xem [1, Định lí 2.4]). Với mọi số nguyên dương n ta có 3n2 < R6 (n) < 40n2 . 2 Tổng của 8 số nguyên bình phương Định lí 1.11 (xem [1, Định lí 2.5]). Cho n là một số nguyên dương, nếu n lẻ thì R8 (n) = 16 ∑ d 3 . d|n Nếu n chẵn và n = 2a m, khi a > 1 và m lẻ, thì có 16(8a+1 − 15) R8 (n) = d 3. ∑ 7 d|n Ví dụ 1.12. Tìm tất cả các dạng biểu diễn của 5 như là tổng các bình phương của 8 số nguyên. Chứng minh. Với n = 5 là một số lẻ, ta có R8 (5) = 16 ∑ d 3 = 16(13 + 53 ) = 2016. d|n Như vậy số 5 có thể có 2016 cách biểu diễn như là tổng của các bình phương của 8 số nguyên, hay nói cách khác có 2016 bộ các số nguyên (x1 , x2 , . . . , x8 ) thỏa mãn 8 5 = ∑ xi2 . i=1 14 Cụ thể như sau : Có 25 ·C83 = 1792 bộ tám số mà có bốn giá trị xi là (±1)2 và bốn giá trị là 0. Có 22 ·C86 ·C21 = 224 bộ tám số mà có một giá trị xi là (±1)2 , một giá trị là (±2) và còn lại là giá trị là 0. Tổng của 10 số nguyên bình phương Chúng ta sẽ xác định số lượng các đại diện như tổng của mười số nguyên bình phương. Trong trường hợp này thì công thức R10 (n) bao gồm hai số hạng. Số thứ nhất là các ước, đó là, một tổng các ước của n, và số hạng thứ hai là tổng các đại diện của n như tổng cả hai số nguyên bình phương. Định lí 1.13 (xem [1, Định lí 2.6]). Cho n là số nguyên dương, n = 2a m, khi a > 0 và m lẻ. Khi đó  m−1 δ −1 4  a+1 16 R10 (n) = (v4 − 3v2 w2 ). 16 + (−1) 2 (−1) 2 d 4 + ∑ ∑ 5 5 n=v2 +w2 m=dδ Ví dụ 1.14. Tìm tất cả các dạng biểu diễn của 5 như là tổng các bình phương của 10 số nguyên. Chứng minh. Với n = 5 = 20 · 5, ta có a = 0, m = 5. Ta có 4 16 R10 (5) = (16 + 1)(54 + 1) + (x4 − 3x2 y2 ) ∑ 5 5 5=x2 +y2 = 42568 16 + [4(24 − 3.22 ) + 4(14 − 3.22 )] 5 5 = 8424. 15 Như vậy có 8424 cách biểu diễn số 5 như là tổng các bình phương của 10 số nguyên. Nói các khác có 8424 bộ 10 số nguyên sắp thức tự (x1 , x2 , . . . , x10 ) thỏa mãn 10 5 = ∑ xi2 . i=1 Cụ thể như sau: 5 = 8064 cách biểu diễn 5 thành tổng của 5 số có dạng (±1)2 , Có 25 .C10 và tổng của 5 số có dạng 02 . 1 .C1 = 360 cách biểu diễn 5 thành tổng của 5 số có dạng (±1)2 , Có 22 .C10 9 (±2)2 và tổng của 7 số có dạng 02 . 16 Chương 2 Hai giả thuyết của Farhi Chương này dành để trình bày hai giả thuyết của Farhi về việc biểu diễn 2 của một số tự nhiên thành tổng của ba số tự nhiên có dạng b na c (n ∈ N), trong đó a là một số nguyên dương cố định. Tài liệu tham khảo chính của chương này là [3] và [5, 6]. 2.1 Giả thuyết 1 của Farhi Trong chương này, nếu không có chú ý đặc biệt, ta ký hiệu N là tập hợp các số nguyên không âm, Z là tập hợp các số nguyên, và b·c và h·i tương ứng ký hiệu cho hàm phần nguyên và hàm phần lẻ. Đối với một tập hợp X
cho trước, lực lượng của nó được ký hiệu là #X và ·· là ký hiệu Jacobi. Định lí 2.1. Mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của ba số có 2 dạng b n8 c (n ∈ N). Chứng minh. Theo Định lý số tam giác Gauss, mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của ba số có dạng để ý rằng k2 +k 2 2 = b n8 c với n = 2k + 1. k2 +k 2 (k ∈ N). Để kết luận, chỉ cần 17 Định lí 2.2. Mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của ba số có 2 dạng b n4 c (n ∈ N). Chứng minh. Giả sử N là một số tự nhiên. Do (4N + 1) không có dạng 4h (8k + 7) (h, k ∈ N) nên bởi Định lí Legendre (4N + 1) có thể được biểu diễn thành tổng của ba bình phương số tự nhiên. Giả sử 4N + 1 = a2 + b2 + c2 (a, b, c ∈ N). Bằng cách chia cho 4, ta có 1 a2 b2 c2 N+ = + + , 4 4 4 4 tức là  2   2   2   2   2   2  1 a b c a b c N+ = + + + + + . 4 4 4 4 4 4 4 Bây giờ do thặng dư toàn phương modulo 4 là 0 và 1 nên   2  2  2  b c 1 1 3 a + + ∈ 0, , , . 4 4 4 4 2 4 Vì vậy, lấy phần nguyên ở hai vế của đẳng thức cuối cùng ta được  2  2  2 b c a N= + + 4 4 4 mà đây là điều cần chứng minh . Định lí 2.3. Mọi số tự nhiên N 6≡ 2 (mod 24) có thể được biểu diễn thành 2 tổng của ba số có dạng b n3 c (n ∈ N). Chứng minh. Cho N là một số tự nhiên thỏa mãn N 6≡ 2 (mod 24). Ta phân biệt hai trường hợp sau đây: 18 Trường hợp 1. N 6≡ 2 (mod 8). Trong trường hợp này ta có thể tìm r ∈ {1, 2} sao cho 3N + r 6≡ 0, 4, 7 (mod 8), do vậy (3N + r) không có dạng 4h (8k + 7) (h, k ∈ N). Theo Định lí Legendre (3N + r) có thể được biểu diễn như sau: 3N + r = a2 + b2 + c2 (với a, b, c ∈ N). Bằng cách chia cho 3 và bằng cách tách phần nguyên và phần lẻ, ta được  2   2   2   2   2   2  r a b c a b c N+ = + + + + + . (2.1) 3 3 3 3 3 3 3 Bây giờ do modulo thặng dư toàn phương 3 là 0 và 1 nên  2  2  2   a b c 1 2 + + ∈ 0, , , 1 . 3 3 3 3 3 Nhưng mặt khác, ta có (theo (2.1))  2  2  2 b c r a + + ≡ (mod 1). 3 3 3 3 Do đó  a2 3  b2 + 3   c2 + 3   = r 3 (2.2) Từ (2.1) và (2.2) suy ra   2  2 a2 b c N= + + , 3 3 3  ta có điều phải chứng minh. Trường hợp 2: N ≡ 2 (mod 8). Trong trường hợp này, ta có 3N + 3 ≡ 1 (mod 8). Theo Định lí Legendre (3N + 3) có thể được biểu diễn như sau: 3N + 3 = a2 + b2 + c2 (2.3) 19 (với a, b, c ∈ N). Chia hai vế của (2.3) cho 3 và tách phần nguyên và phần lẻ, ta được   2   2   2   2   2  a2 b c a b c N +1 = + + + + + 3 3 3 3 3 3  (2.4) Bây giờ, do a2 + b2 + c2 ≡ 0 (mod 3) (theo (2.3)) thì ta có một trong hai a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 0 (mod 3) hoặc a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 1 (mod 3). Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng quan hệ a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 0 (mod 3) không thể xảy ra. Giả sử rằng a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 0 (mod 3), thì a ≡ b ≡ c ≡ 0 (mod 3). Ta có thể viết a = 3a0 , b = 3b0 , c = 3c0 (a0 , b0 , c0 ∈ N). Kết hợp với (2.3) ta nhận được (sau khi rút gọn): N + 1 = 3a02 + 3b02 + 3c02 . Điều này suy ra rằng N + 1 ≡ 0 (mod 3), do đó N ≡ 2 (mod 3). Nhưng (N ≡ 2 (mod 8) và N ≡ 2 (mod 3)) là tương đương với N ≡ 2 (mod 24) mâu thuẫn với giả thiết N 6≡ 2 (mod 24). Do đó, a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 0 (mod 3) là không thể. Do đó, ta có a2 ≡ b2 ≡ c2 ≡ 1 (mod 3), suy ra a2 b2 c2 h i + h i + h i = 1. 3 3 3 (2.5) Từ (2.4) và (2.5) suy ra   2  2 b c a2 + + . N= 3 3 3  Định lí được chứng minh. 2 Hệ quả 2.4. Mọi số tự nhiên là tổng của bốn số có dạng b n3 c (n ∈ N), mà một trong số đó là 0 hoặc 1. 20 Chứng minh. Cho N là một số tự nhiên. Nếu N 6≡ 2 (mod 24) thì theo Định lí 2.3, N có thể được viết lại dưới dạng  2  2  2  2  2  2  2 a b c a b c 0 N= + + = + + + . 3 3 3 3 3 3 3 Bây giờ, nếu N ≡ 2 (mod 24), thì N − 1 ≡ 1 (mod 24) 6≡ 2 (mod 24) và theo Định lí 2.3, (N − 1) có thể được viết thành a2 b2 c2 N − 1 = b c + b c + b c, 3 3 3 Do đó (a, b, c ∈ N).   2  2  2 a2 b c 2 N= + + + , 3 3 3 3  đúng yêu cầu. Hệ quả được chứng minh xong. B. Farhi cho rằng trường hợp bị loại trừ (N ≡ 2 (mod 24)) của Định lí 2.3 là vô lý! Điều này dẫn ta đến việc thiết lập giả thuyết sau đây: Giả thuyết 1. Mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của ba số 2 có dạng b n3 c (n ∈ N). Tổng quát hơn, Farhi đã đề xuất giả thuyết sau đây: Giả thuyết 2. Cho k > 2 là một số nguyên. Khi đó tồn tại một số nguyên dương a(k) thỏa mãn tính chất sau đây: Mọi số tự nhiên có thể được biểu diễn thành tổng của (k + 1) số có dạng k n b a(k) c (n ∈ N). Các Định lí 2.1 Định lí 2.2 chỉ ra rằng giả thuyết cuối cùng là đúng với k = 2 và chúng ta có thể lấy a(2) = 8 hoặc 4.