Tài liệu ứng dụng số phức trong việc nghiên cứu toán sơ cấp

.. §¹i Häc Th¸i Nguyªn Tr­êng §¹i Häc Khoa Häc NguyÔn H÷u Thanh øng dùng sè phøc trong viÖc nghiªn cøu to¸n s¬ cÊp Chuyªn ngµnh : Ph­¬ng Ph¸p To¸n S¬ CÊp M· sè: 60.46.40 LuËn V¨n Th¹c SÜ To¸n Häc Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: PGS.TS. §µm V¨n NhØ Th¸i Nguyªn - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn C«ng tr×nh ®­îc hoµn thµnh t¹i Tr­êng §¹i Häc Khoa Häc - §¹i Häc Th¸i Nguyªn Ph¶n biÖn 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................ Ph¶n biÖn 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................ LuËn v¨n sÏ ®­îc b¶o vÖ tr­íc héi ®ång chÊm luËn v¨n häp t¹i: Tr­êng §¹i Häc Khoa Häc - §¹i Häc Th¸i Nguyªn Ngµy 22 th¸ng 11 n¨m 2011 Cã thÓ t×m hiÓu t¹i Th­ ViÖn §¹i Häc Th¸i Nguyªn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc 1 Sè phøc 4 1.1 Kh¸i niÖm sè phøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 TÝnh ®ãng ®¹i sè cña tr­êng 8 C . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 VËn dông sè phøc trong §¹i sè, Sè häc vµ L­îng gi¸c 15 2.1 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 TÝnh chia hÕt cña mét vµi ®a thøc ®Æc biÖt 2.3 ChuyÓn bµi to¸n trªn Z thµnh bµi to¸n trªn C . . . . . . . . . . 26 2.4 Sö dông sè phøc trong L­îng gi¸c 3 . . . . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . . . . . . 38 VËn dông sè phøc trong H×nh häc 46 3.1 Sö dông sè phøc cho phÐp quay . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 §­êng th¼ng trong mÆt ph¼ng phøc. . . . . . . . . . . . . . . . 52 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Më ®Çu Do tr­êng sè phøc C lµ mét tr­êng ®ãng ®¹i sè, §Þnh lý cña d'AlembertGauss, nªn mäi ®a thøc bËc d­¬ng trong C[x] ®Òu cã nghiÖm. Sö dông kÕt qu¶ nµy mµ khi gi¶i nh÷ng bµi to¸n liªn quan ®Õn mét ®a thøc thuéc R[x], kh«ng tÝnh ®­îc nghiÖm trong R, ng­êi ta th­êng xÐt nh÷ng bµi to¸n ®ã trªn C. VÒ mÆt h×nh häc, ta cã thÓ coi mçi sè phøc nh­ mét vÐct¬ ®Ó viÖc biÓu diÔn mét sè yÕu tè sÏ ®¬n gi¶n ®i. H¬n n÷a, viÖc sö dông sè phøc trong Sè häc, §¹i sè, H×nh häc vµ L­îng gi¸c ®· tá ra cã rÊt nhiÒu thuËn lîi vµ trong ch­¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng cÊp THPT ®· ®­a phÇn sè phøc vµo ch­¬ng tr×nh To¸n líp 12. ChÝnh v× nh÷ng lý do nh­ vËy mµ luËn v¨n nµy tËp trung tr×nh bµy nh÷ng kÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ sè phøc liªn quan ®Õn To¸n s¬ cÊp. LuËn v¨n gåm ba ch­¬ng: Ch­¬ng 1 : Tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n cña sè phøc. KÕt qu¶ chÝnh ë ®©y lµ viÖc chøng minh l¹i cho Ch­¬ng 2: §Þnh lý c¬ b¶n cña §¹i sè. Giíi thiÖu viÖc vËn dông sè phøc trong §¹i sè, Sè häc vµ L­îng gi¸c. Trong ch­¬ng nµy chóng t«i giíi thiÖu 4 vËn dông cña sè phøc: VËn dông ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh tÝch c¸c nh©n tö bÊt kh¶ qui; VËn dông vµo tÝnh chia hÕt cña mét vµi ®a thøc ®Æc biÖt; VËn dông trong viÖc chuyÓn bµi to¸n trªn Z thµnh bµi to¸n trªn C; VËn dông trong l­îng gi¸c . Ch­¬ng 3: Tr×nh bµy viÖc vËn dông sè phøc ®Ó biÓu diÔn phÐp quay vµ ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng trong ®ã chøng minh l¹i mét sè bµi to¸n h×nh häc nh­ : §Þnh lý Menelaus, §Þnh lý CÐva, ®­êng th¼ng Simpson,... . LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn vµ chØ b¶o tËn t×nh cña PGS.TS §µm V¨n NhØ - §¹i häc S­ Ph¹m Hµ Néi. ThÇy ®· dµnh nhiÒu thêi gian h­íng dÉn vµ gi¶i ®¸p c¸c th¾c m¾c cña t¸c gi¶ trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn ThÇy. T¸c gi¶ xin göi tíi c¸c thÇy (c«) khoa To¸n, phßng §µo t¹o Tr­êng §¹i Häc Khoa Häc - §¹i Häc Th¸i Nguyªn, cïng c¸c thÇy c« tham gia gi¶ng d¹y khãa Cao häc 2009-2011 lêi c¶m ¬n s©u s¾c vÒ c«ng lao d¹y dç trong 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 thêi gian qua. §ång thêi xin göi lêi c¶m ¬n tËp thÓ líp Cao häc To¸n K3B Tr­êng §¹i Häc Khoa Häc ®· ®éng viªn gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lµm luËn v¨n nµy. T¸c gi¶ xin c¶m ¬n tíi Së Néi Vô, Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o B¾c Ninh, Ban gi¸m hiÖu vµ tæ To¸n tr­êng THPT ThuËn Thµnh sè 1 ®· t¹o ®iÒu kiÖn gióp ®ì ®Ó t¸c gi¶ hoµn thµnh khãa häc nµy. Tuy nhiªn, do sù hiÓu biÕt cña b¶n th©n vµ khu«n khæ thêi gian, ch¾c ch¾n r»ng trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, t¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®­îc sù chØ b¶o vµ ®ãng gãp ý kiÕn cña quÝ thÇy (c«) vµ ®éc gi¶ quan t©m tíi luËn v¨n nµy. T¸c gi¶ NguyÔn H÷u Thanh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 1 Sè phøc Ch­¬ng nµy tr×nh bµy nh÷ng kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ sè phøc. §Æc biÖt lµ viÖc chøng minh l¹i ®Þnh lý c¬ b¶n cña ®¹i sè. Ch­¬ng nµy tham kh¶o c¸c tµi liÖu [2],[3],[5]. 1.1 Kh¸i niÖm sè phøc Mét vµi kh¸i niÖm c¬ b¶n XÐt TÝch Descartes T = R × R = {(a, b)|a, b ∈ R} vµ ®Þnh nghÜa phÐp to¸n: (a, b) = (c, d) khi vµ chØ khi a = c, b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) . (c, d) = (ac − bd, ad + bc) §Ó ®¬n gi¶n, viÕt (i) Víi (ii) (iii) (a, b).(c, d) qua (a, b)(c, d). Tõ ®Þnh nghÜa cña phÐp nh©n: i = (0, 1) ∈ T cã i2 = i.i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) (a, b)(1, 0) = (1, 0)(a, b) = (a, b) (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), ∀ (a, b) ∈ T. Ánh x¹ φ : R → T, a 7→ (a, 0), lµ mét ®¬n ¸nh vµ φ(a + a ) = φ(a) + φ(a0 ), φ(aa0 ) = φ(a)φ(a0 ) víi mäi a, a0 ∈ R. Bæ ®Ò 1.1.1. tháa m·n 0 §ång nhÊt (a, 0) ∈ T víi a ∈ R. Khi ®ã cã thÓ viÕt (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi víi i2 = (−1, 0) = −1. 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Ký hiÖu C lµ tËp T cïng c¸c phÐp to¸n ®· nªu ra ë trªn. Nh­ vËy C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1} vµ ta cã a + bi = c + di khi vµ chØ khi a = c, b = d a + bi + c + di = a + c + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i. Mçi phÇn tö z = a + bi ∈ C ®­îc gäi lµ mét sè phøc víi phÇn thùc a, ký hiÖu Re z, vµ phÇn ¶o b, ký hiÖu Im z; cßn i ®­îc gäi lµ ®¬n vÞ ¶o. Sè phøc a − bi ®­îc gäi lµ sè phøc liªn hîp cña z = a + bi vµ ®­îc ký hiÖu qua 2 2 z = a + bi. DÔ √ dµng kiÓm tra zz = (a + bi)(a −0 bi) = a + b , z0 1 z2 = z1 z2 vµ gäi |z| = zz lµ m«®un cña z. Sè ®èi cña z = c + di lµ −z = −c − di vµ hiÖu z − z 0 = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b − d)i. XÐt mÆt ph¼ng täa ®é (Oxy). Mçi sè phøc z = a + bi ta cho t­¬ng øng víi ®iÓm M (a; b). T­¬ng øng nµy lµ mét song ¸nh C → R×R, z = a+bi 7→ M (a; b). Khi ®ång nhÊt C víi (Oxy) qua viÖc ®ång nhÊt z víi M, th× mÆt ph¼ng täa ®é víi biÓu diÔn sè phøc nh­ thÕ ®­îc gäi lµ mÆt ph¼ng phøc hay mÆt ph¼ng Gauss MÖnh ®Ò 1.1.2. ®Ó ghi c«ng C. F. Gauss-ng­êi ®Çu tiªn ®­a ra biÓu diÔn. TËp C lµ mét tr­êng chøa tr­êng R nh­ mét tr­êng con. C lµ mét vµnh giao ho¸n víi ®¬n vÞ 1. Gi¶ sö z = a + bi(6= 0. Khi ®ã a + b2 > 0. Gi¶ sö z 0 = x + yi ∈ C tháa m·n ax − by = 1 a b zz 0 = 1 hay Gi¶i hÖ ®­îc x = 2 ,y = − 2 . 2 a +b a + b2 bx + ay = 0. a b VËy z 0 = 2 − i lµ nghÞch ®¶o cña z. Tãm l¹i C lµ mét tr­êng. a + b2 a2 + b2 V× ®ång nhÊt a ∈ R víi a + 0i ∈ C nªn cã thÓ coi R lµ tr­êng con cña C. Chøng minh: DÔ dµng kiÓm tra 2 Chó ý r»ng, nghÞch ®¶o cña §Þnh nghÜa 1.1.3. z 6= 0 lµ z Cho sè phøc −1 z0 z0z z 0 −1 = 2 vµ = z z = 2 . |z| z |z| z 6= 0. Gi¶ sö M lµ ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z. Sè ®o (ra®ian) cña mçi gãc l­îng gi¸c tia ®Çu Ox vµ tia cuèi OM ®­îc gäi lµ mét argument cña z vµ ®­îc ký hiÖu qua arg(z). Gãc ∠xOM ®­îc gäi lµ Argument cña z vµ ®­îc ký hiÖu bëi Arg z. Argument cña sè phøc 0 lµ kh«ng ®Þnh nghÜa. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chó ý r»ng, nÕu α lµ mét argument cña z th× mäi argument cña z ®Òu cã d¹ng α + k.2π víi k ∈ Z. Víi z 6= 0, ký hiÖu α + k.2π lµ Argument cña z. √ Ký hiÖu r = zz. Khi ®ã sè phøc z = a + bi cã a = r cos α, b = r sin α.
VËy khi z 6= 0 th× cã thÓ biÓu diÔn z = r cos α + i sin α vµ biÓu diÔn nµy ®­îc gäi lµ d¹ng l­îng gi¸c cña z.

MÖnh ®Ò 1.1.4. NÕu z1 = r1 cos α1 + i sin α1 , z2 = r2 cos α2 + i sin α2 víi r1 , r2 > 0 th× z1 |z1 | |= . z2 |z2 | 

 (ii) z1 z2 = r1 r2 cos α1 + α2 + i sin α1 + α2

 z1 r1  cos α1 − α2 + i sin α1 − α2 khi r > 0. (iii) = z2 r2 (i) |z1 z2 | = |z1 ||z2 | vµ | Chøng minh: HiÓn nhiªn. Chó ý r»ng, víi hai sè phøc z1 vµ z2 ta lu«n cã z1 = z2 arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 ⇔ |z1 | = |z2 |, arg z1 = arg z2 + 2kπ, k ∈ Z. = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z. = arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z. = arg(z1 ) + arg(z2 ). = arg(z1 ) − arg(z2 ).
n
n a + bi = x + iy cã a2 + b2 = x2 + y 2 .
n
n Bµi gi¶i: Tõ a + bi = x + iy suy ra a − bi = x − iy . Nh©n l¹i ta cã
n a2 + b2 = x2 + y 2 . VÝ dô 1.1.5. Víi C«ng thøc Moivre vµ C«ng thøc Euler
z = r(cos α
+ i sin α) cos nα + i sin nα . MÖnh ®Ò 1.1.6. [Moivre] d­¬ng n n cã z = r Chøng minh: theo n  NÕu th× víi mçi sè nguyªn DÔ dµng chøng minh c«ng thøc b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7
z = r cos α + i sin α 6= 0  α + 2kπ α + 2kπ  1/n ta nhËn ®­îc n gi¸ trÞ kh¸c nhau zk = r cos + i sin n n víi k = 1, 2, . . . , n. HÖ qu¶ 1.1.7. Cho c¨n bËc Chøng minh: HiÓn nhiªn. n cña mét sè phøc z = r(cos α + i sin α) cßn ®­îc biÓu diÔn thµnh d¹ng z = reiα . §Æc biÖt khi r = 1 th× z = eiα vµ khi r = 1, α = 0 th× e0 = 1. Sè phøc Bæ ®Ò 1.1.8. Víi ký hiÖu trªn ta cã eiα eiβ = ei(α+β) vµ eiα = ei(α−β) . iβ e Tõ eiα eiβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos(α + β) + eiα cos α + i sin α iα iβ i(α+β) i sin(α + β) suy ra ngay e e = e = . Do bëi iβ = e cos β + i sin β eiα cos(α − β) + i sin(α − β) nªn iβ = ei(α−β) . e  ( eiα + e−iα   cos α = eiα = cos α + i sin α 2 −iα vµ nhËn ®­îc: Tõ suy ra iα e − e  e−iα = cos α − i sin α sin α = 2i Chøng minh: eiα + e−iα eiα − e−iα MÖnh ®Ò 1.1.9. [Euler] Ta cã cos α = vµ sin α = . 2 2i
n nπ nπ
 1 + i tan α n +i sin vµ = VÝ dô 1.1.10. Ta cã 1+i = 2n/2 cos 4 4 1 − i tan α 1 + i tan nα π , víi α 6= , n 6= 2. 1 − i tan nα 4
n π
n π Bµi gi¶i: Theo c«ng thøc Moivre cã 1 + i = 2n/2 cos + sin = 4 4
n  1 + i tan α n cos α + i sin α nπ
nπ n/2
n = +i sin . Ta còng cã 2 cos = 4 4 1 − i tan α cos α − i sin α cos nα + i sin nα 1 + i tan nα = . cos nα − i sin nα) 1 − i tan nα 1 1 z 6= 0 vµ z + = 2 cos α th× z n + n = 2 cos nα víi mäi z z sè tù nhiªn d­¬ng n. VÝ dô 1.1.11. NÕu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 z 2 − 2z cos α + 1 = 0 cã 2 nghiÖm z = z1 = cos α + 1 1 i sin α, = z2 = cos α − i sin α. Khi ®ã z n = z1n = cos nα + i sin nα, n = z z 1 n n z2 = cos nα − i sin nα. Do vËy z + n = 2 cos nα víi mäi sè tù nhiªn z d­¬ng n. Bµi gi¶i: 1.2 Ta cã TÝnh ®ãng ®¹i sè cña tr­êng C Môc nµy sÏ chØ ra r»ng, mäi ®a thøc bËc d­¬ng thuéc trong C[x] ®Òu cã nghiÖm C. §ã chÝnh lµ néi dung §Þnh lý c¬ b¶n cña ®¹i sè. Ng­êi ®Çu tiªn chøng minh ®Þnh lý nµy lµ nhµ to¸n häc C. Gauss (1777-1855). Ta b¾t ®Çu môc nµy b»ng kh¸i niÖm tr­êng ®ãng ®¹i sè. K ®­îc gäi lµ mét tr­êng ®ãng ®¹i sè nÕu mäi ®a thøc bËc d­¬ng thuéc K[x] ®Òu cã nghiÖm trong K. §Þnh nghÜa 1.2.1. Nh­ vËy, trong Tr­êng K[x] mäi ®a thøc bËc d­¬ng ®Òu ph©n tÝch ®­îc thµnh tÝch c¸c nh©n tö tuyÕn tÝnh. Bæ ®Ò 1.2.2. thuéc Mçi ®a thøc bËc lÎ thuéc R[x] ®Òu cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thùc R. f (x) = a0 x2s+1 + a1 x2s + · · · + a2s x + a2s+1 ∈ R[x] víi a0 6= 0. DÔ dµng thÊy r»ng a0 f (x) sÏ tiÕn ra +∞ khi x → +∞ vµ a0 f (x) sÏ tiÕn ra −∞ khi x → −∞. Tõ ®©y suy ra sù tån t¹i cña c¸c sè thùc α > 0 vµ β < 0 tháa m·n a0 f (α) > 0, a0 f (β) < 0. Do vËy a20 f (α)f (β) < 0 hay f (α)f (β) < 0. V× ®a thøc f (x) lµ hµm x¸c ®Þnh vµ liªn tôc trªn R tháa m·n f (α)f (β) < 0 nªn, theo §Þnh lý Weierstrass, ®a thøc f (x) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thùc thuéc (α, β). Chøng minh: Bæ ®Ò 1.2.3. Gi¶ sö Mçi ®a thøc bËc hai thuéc C[x] ®Òu cã hai nghiÖm thuéc C. z ®Òu cã hai sè phøc = = z. ThËt vËy,(gi¶ sö z = a+bi 6= 0 vµ gi¶ sö z1 = x+yi x2 − y 2 = a 2 víi a, b, x, y ∈ R ®Ó z1 = z hay 2xy = b. Chøng minh: z1 , z2 ®Ó z12 Tr­íc tiªn ta chØ ra, víi mçi sè phøc z, z22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Ta chØ cÇn xÐt tr­êng hîp b 6= 0 v× tr­êng hîp b = 0 ®­îc xÐt t­¬ng tù. V× b 6= 0 nªn x 6= 0. Khi ®ã  y = b 2x 4x4 − 4ax2 − b2 = 0   x r √ a2 + b 2 = ± 6= 0 1,2 2 hay  y = b . 2x bi bi Ta cã z1 = x1 + vµ z2 = x2 + tháa m·n z12 = z22 = z. 2x1 2x2 Theo lËp luËn ë trªn, cã hai sè phøc z1 vµ z2 ®Ó z12 = z22 = b2 − 4ac. Khi ®ã −b + z1 −b + z2 nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vµ . 2 2 a+ §Þnh lý 1.2.4. [d'Alembert-Gauss, §Þnh lý c¬ b¶n cña ®¹i sè] bËc d­¬ng thuéc Mäi ®a thøc C[x] ®Òu cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc C. f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ta ký hiÖu ®a thøc f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an . Khi ®ã g(x) = f (x)f (x) ∈ R[x]. NÕu g(α) = 0 th× f (α) = 0 hoÆc f (α) = 0. Tõ tr­êng hîp f (α) = 0 ta suy ra 0 = f (α) = f (α). Tãm l¹i, g(x) cã nghiÖm th× f (x) cã nghiÖm. ChÝnh v× Chøng minh: Cho ®a thøc tïy ý kÕt qu¶ nµy mµ ta chØ cÇn chøng minh ®Þnh lý cho ®a thøc víi hÖ sè thùc. Ta biÕt r»ng cho mçi ®a thøc f (x) më réng = xn +a1 xn−1 +· · ·+an ∈ R[x] cã tr­êng K cña R ®Ó trong K[x] ta cã sù ph©n tÝch thµnh tÝch c¸c nh©n tö tuyÕn tÝnh f (x) = (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αn ). n = 2d ` víi ` lµ sè nguyªn d­¬ng lÎ. Ta chøng minh cã Ýt nhÊt mét αi ∈ C b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p theo sè nguyªn kh«ng ©m d. NÕu d = 0 th× f (x) lµ ®a thøc bËc lÎ. Nã cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong C theo Bæ ®Ò 1.2.2. NÕu d > 0, ta gi¶ thiÕt nh÷ng ®a thøc thuéc R[x] cã bËc m víi sù ph©n tÝch m = 2e p, p lÎ vµ e < d, cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc C. Víi mét sè thùc c ta xÐt c¸c phÇn tö Ph©n tÝch bËc βij = αi αj + c(αi + αj ) víi tÊt c¶ c¸c cÆp chØ sè i, j = 1, . . . , n, i < j. Sè c¸c cÆp (i, j) nh­ vËy b»ng n(n − 1) = 2d−1 `(2d ` − 1) = 2d−1 q víi sè q lÎ. §a thøc bËc 2d−1 q sau ®©y: 2 Y g(x) = (x − βij ) 16i 0 ®Òu cã n nghiÖm trong C vµ c¸c ®a thøc bÊt kh¶ quy trong C[x] lµ c¸c ®a thøc bËc nhÊt. HÖ qu¶ 1.2.5. Mäi ®a thøc thuéc §«i khi ®Ó t×m mèi liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm hay mét tÝnh chÊt nµo ®ã cña nghiÖm ®a thøc ta th­êng sö dông kÕt qu¶ sau ®©y: §Þnh lý 1.2.6. [ViÐt] ®©y: n x1 , . . . , xn lµ n nghiÖm cña ®a thøc bËc n sau + δ2 xn−2 − · · · + (−1)n δn . Khi ®ã cã c¸c hÖ thøc Gi¶ sö n−1 f (x) = x − δ1 x   δ1 = x1 + x2 + · · · + xn    δ = x x + x x + · · · + x x 2 1 2 1 3 n−1 n  ...    δ = x x . . . x . n 1 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 = xn −δ1 xn−1 +· · ·+(−1)n δn = (x−x1 ) . . . (x−xn ), v× x1 , . . . , xn lµ n nghiÖm cña f (x), suy ra ngay δ1 = x1 + x2 + · · · + xn , . . . , δn = x1 x2 . . . xn . Chøng minh: Tõ f (x) 1 1 + . + π 2π 3π 4 4 cos4 cos 7 cos 7 7 π π
7 Bµi gi¶i: Tõ hÖ thøc −1 = cos π + i sin π = cos + i sin suy ra 7 7 π cos lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 64x7 − 112x5 + 56x3 − 7x + 1 = 0 hay 7 π (x − 1)(8x3 − 4x2 − 4x + 1)2 = 0. Nh­ vËy cos lµ mét nghiÖm cña 7 3π 5π 8x3 − 4x2 − 4x + 1 = 0. T­¬ng tù cos vµ cos còng lµ nghiÖm cña 7 7 3π 5π π vµ cos lµ 3 sè ®«i mét kh¸c 8x3 − 4x2 − 4x + 1 = 0. Do cos , cos 7 7 7 nhau nªn chóng lµ 3 nghiÖm ph©n biÖt cña 8x3 − 4x2 − 4x + 1 = 0. VËy π 3π 5π 1 cos + cos + cos =− . 7 7 2
7 7 Tõ cos x + i sin x = cos 7x + i sin 7x ta suy ra c«ng thøc khai triÓn sin 7x tan 7x = qua tan x. Tõ ®ã cã tan6 x − 21 tan4 x + 35 tan2 x − 7 = 0 cos 7x π 2π 3π , x3 = tan2 lµ 3 nghiÖm kh¸c nhau vµ nh­ vËy x1 = tan2 , x2 = tan2 7 7 7 1 1 1 cña x3 − 21x2 + 35x − 7 = 0. Ký hiÖu T = + + . π 2π 3π 4 cos cos4 cos4 7 7 7 DÔ dµng cã T = (1 + x1 )2 + (1 + x2 )2 + (1 + x3 )2 = 416. VÝ dô 1.2.7. TÝnh cos π 3π 5π + cos + cos 7 7 7 vµ 1 1 1 + + , n = 1, 2, . . . . Chøng π 3π 5π n n cosn cos cos 7 7 7 minh r»ng an nguyªn vµ chia hÕt cho 32 khi n > 4. π π Bµi gi¶i: Theo c«ng thøc Moivre ta cã (cos + i sin )7 = −1. 7 7 π §Æt x = cos . Khi ®ã x tháa m·n 7 64x7 − 112x5 + 56x3 − 7x + 1 = 0 hay (x + 1)(8x3 − 4x2 − 4x + 1)2 = 0. 3π 5π Do x 6= −1 nªn 8x3 − 4x2 − 4x + 1 = 0. T­¬ng tù cos , cos còng lµ 7 7 VÝ dô 1.2.8. §Æt an = 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 1 1 1 , y3 = π , y2 = 3π 5π cos cos cos 7 7 7 3 2 lµ ba nghiÖm cña y − 4y − 4y + 8 = 0. Ta cã an = y1n + y2n + y3n víi mäi n nguyªn d­¬ng. Theo §Þnh lý ViÐt ®èi víi ®a thøc bËc ba   y1 + y2 + y3 = 4, y1 y2 + y2 y3 + y3 y1 = −4,   y1 y2 y3 = −8. nghiÖm ph­¬ng tr×nh nµy. NhËn ®­îc y1 = = 4, a2 = (y1 + y2 + y3 )2 − 2(y1 y2 + y2 y3 + y3 y1 ) = 24, a3 = (y1 + y2 + y3 )(y12 + y22 + y32 − y1 y2 − y2 y3 − y3 y1 ) + 3y1 y2 y3 = 88, theo VÝ dô 1.2.7, vµ c«ng thøc truy håi an+3 = 4an+2 + 4an+1 − 8an , n > 1. B»ng qui n¹p theo n ta chØ ra ®­îc an nguyªn vµ chia hÕt cho 32 khi n > 4. DÔ dµng kiÓm tra a1 VÝ dô 1.2.9. (i) Chøng minh r»ng víi sè nguyªn d­¬ng lÎ n ta cã c¸c kÕt qu¶: π 2π (n − 1)π (4 + cot2 )(4 + cot2 ) · · · (4 + cot2 ) ∈ Q. n n 2n π 2π (2010)π 32011 > (4 + cot2 )(4 + cot2 ) · · · (4 + cot2 ). 4022 2011 2011 4022  x + i n n n = 1. Bµi gi¶i: XÐt ph­¬ng tr×nh (x + i) = (x − i) hay x−i x+i k2π k2π Ph­¬ng tr×nh nµy cã n nghiÖm trong C lµ = cos + i. sin víi x−i n n kπ k = 1, . . . , n. Gi¶i ra ®­îc c¸c nghiÖm x = cot víi k = 1, . . . , n − 1. n (n − k)π kπ (i) Tõ p(x) = (x + i)n − (x − i)n vµ cot = − cot ta suy ra n n (ii) π 2π (n − 1)π p(x) = 2ni(x − cot )(x − cot ) . . . (x − cot ) n n n π 2π (n − 1)π = 2ni(x2 − cot2 )(x2 − cot2 ) . . . (x2 − cot2 ). n n 2n π Víi x = 2i thay vµo p(x) vµ ®iÒu kiÖn n lÎ ta ®­îc (4 + cot2 )(4 + n n 2π (n − 1)π 3 − 1 cot2 ) · · · (4 + cot2 )= ∈ Q. n 2n 2n (ii) suy ra tõ (i) víi n = 2011. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 1.3 Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®a thøc ax2 + bx + c = 0 Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai : ax2 + bx + c = 0 cã hai nghiÖm x1,2 = b c Khi ®ã x1 + x2 = − , x1 x2 = . a a Ph­¬ng tr×nh Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc ba : −b ± √ b2 − 4ac . 2a ax3 + bx2 + cx + d = 0 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d vÒ d¹ng g(x) = x3 + ux2 + vx√ + t. u −1 + i 3 Víi viÖc ®Æt y = x+ ta cã ®a thøc h(y) = y 3 +py +q. Víi  = , 3 2 ®a thøc h(y) cã ba nghiÖm trong C :  s s r r  2 3  q q 2 p3 p q q 3 3   y = + + + − + − −  1  2 4 27 2 4 27   s s  r r  q q q 2 p3 q 2 p3 3 2 3 y2 =  − + + + − − +   2 4 27 2 4 27  s s  r r    q q q 2 p3 q 2 p3 3  2 3  + + − − + . y3 =  − + 2 4 27 2 4 27 Tr­íc tiªn ®­a Tõ ®©y suy ra ba nghiÖm x1 , x2 , x3 cña ax3 + bx2 + cx + d = 0 vµ ba hÖ thøc b c d x1 + x2 + x3 = − , x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = , x1 x2 x3 = − . a a a Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc bèn : Chia hai vÕ cho ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 a vµ ®Æt y = x + b ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh ®· cho vÒ d¹ng 2a y 4 + py 2 + qy + r = 0. (y 2 + z)2 = (2z − p)y 2 − qy + z 2 − r. Gi¶ sö y lµ mét nghiÖm cña y 4 + py 2 + qy + r = 0. Chän z ®Ó sao (2z − p)y 2 − qy + z 2 − r = (sy + t)2 . §Ó ®¹t ®iÒu ®ã chØ cÇn xÐt ∆ = q 2 − 4(2z − p)(z 2 − r) = 0. Ta ®· biÕt c¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc ba víi Èn z. Gäi z0 lµ mét nghiÖm cña BiÕn ®æi tiÕp, ta cßn cã Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 (y 2 + z0 )2 = (sy + t)2 . Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta sÏ suy ra ®­îc bèn nghiÖm cña ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. ph­¬ng tr×nh nµy. Khi ®ã Tuy nhiªn trong mét sè bµi to¸n ta cÇn khÐo lÐo biÕn ®æi ®Ó t×m ra c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh, ch¼ng h¹n: 3 Ph­¬ng tr×nh x −3x−1 = 0 cã ba nghiÖm 0 vµ −2 cos 80 b»ng c¸ch ®Æt x = 2 cos α, α ∈ (0; π). VÝ dô 1.3.1. VÝ dô 1.3.2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 cos 200 , −2 cos 400 x4 + x2 + 1 = 0. (x2 + √ 1)2 = x2 ta ®­îc√bèn nghiÖm lµ 1− 5 1+ 5 −1 − i 3 −1 + i 3 x1 = , x2 = , x3 = , x4 = . 2 2 2 2 Bµi gi¶i: ViÕt √ ph­¬ng tr×nh √ thµnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng 2 VËn dông sè phøc trong §¹i sè, Sè häc vµ L­îng gi¸c Ch­¬ng nµy ®­a ra mét sè øng dông (vËn dông) cña sè phøc trong c¸c bµi to¸n trong §¹i sè, Sè häc, L­îng gi¸c trong ®ã cã nªu l¹i c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n ®Ó tõ ®ã x©y dùng lêi gi¶i bµi to¸n hoÆc ®Þnh h­íng khai th¸c bµi to¸n míi. Ch­¬ng nµy tham kh¶o c¸c tµi liÖu [1],[2],[4],[5]. 2.1 V× Ph©n tÝch ®a thøc thµnh tÝch C lµ tr­êng ®ãng ®¹i sè nªn ®a thøc bÊt kh¶ quy mét Èn trªn C chØ lµ nh÷ng ®a thøc bËc 1 theo HÖ qu¶ 1.2.5. ChÝnh v× lý do nµy mµ ta chØ xÐt ®a thøc bÊt kh¶ quy trªn Q vµ trªn R. Gi¶ sö hai ®a thøc f (x), g(x) ∈ R[x]. §a thøc f (x) ®­îc gäi lµ cho ®a thøc g(x) nÕu cã ®a thøc h(x) ∈ R[x] ®Ó f (x) = g(x)h(x). Bæ ®Ò 2.1.1. (ii) f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Z[x], a0 6= 0. p víi (p, q) = 1 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh f (x) = 0 th× q Cho ®a thøc NÕu sè h÷u tû (i) p lµ mét ­íc cña an p − mq vµ q lµ mét ­íc cña a0 . f (m) cho mäi sè nguyªn m. p (i) Gi¶ sö sè h÷u tû víi (p, q) = 1 lµ nghiÖm cña f (x) = 0. q lµ mét ­íc cña Chøng minh: Khi ®ã chia hÕt a0 pn + a1 pn−1 q + · · · + an q n = 0. V× (p, q) = 1 nªn p lµ mét ­íc cña an vµ q lµ mét ­íc cña a0 . 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 (ii) Khai triÓn f (x) theo c¸c luü thõa cña x − m ta ®­îc f (x) = a0 (x − m)n + b1 (x − m)n−1 + · · · + bn−1 (x − m) + f (m) ∈ Z[x]. p Cho x = vµ quy ®ång a0 (p − mq)n + b1 (p − mq)n−1 q + · · · + bn−1 (p − q mq)q n−1 + f (m)q n = 0. V× (p, q) = 1 nªn p − mq lµ mét ­íc cña f (m) cho mäi sè nguyªn m. HÖ qu¶ 2.1.2. NghiÖm h÷u tû cña ®a thøc f (x) = xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Z[x] ph¶i lµ sè nguyªn. Chøng minh: VÝ dô 2.1.3. Suy ra tõ bæ ®Ò trªn. Sè q q p p √ √ α = 2+ 2+ 3− 6−3 2+ 3 lµ sè h÷u tØ hay v« tØ? α4 − 16α2 + 32 = 0 nªn ®a thøc f (x) = x4 − 16x2 + 32 ∈ Z[x] tháa m·n f (α) = 0. Kh«ng ­íc nµo cña 32 lµ nghiÖm cña f (x). Nh­ vËy, α Bµi gi¶i: V× lµ mét sè v« tØ. f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ Z[x], a0 6= 0. §Æt cont(f ) = 1 d = (a0 , . . . , an ). Khi ®ã f lµ ®a thøc víi c¸c hÖ sè nguyªn vµ c¸c hÖ sè d Cho ®a thøc nguyªn tè cïng nhau. §a thøc nµy ®­îc gäi lµ ®a thøc nguyªn b¶n. Bæ ®Ò 2.1.4. [Gauss] Víi ®a thøc g, h ∈ Z[x] cã cont(gh) = cont(g) cont(h). ChØ cÇn chøng minh cho tr­êng hîp cont(g) = cont(h) = 1 g h lµ ®ñ v× thay cho viÖc xÐt g vµ h ta xÐt c¸c ®a thøc vµ cont(g) cont(h) n n−1 t­¬ng øng. Gi¶ thiÕt g(x) = a0 x + a1 x + · · · + an vµ h(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm ∈ Z[x], a0 b0 6= 0, víi cont(g) = cont(h) = 1. Gi¶ sö cont(gh) = d > 1. Gäi p lµ sè nguyªn tè vµ lµ ­íc cña d. Khi ®ã tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña gh ®Òu chia hÕt cho p trong khi g vµ h cã nh÷ng hÖ sè kh«ng cïng chia hÕt cho p. Gäi ar vµ bs lµ nh÷ng hÖ sè ®Çu tiªn cña g vµ h t­¬ng øng mµ kh«ng chia hÕt cho p. Khi ®ã hÖ sè cr+s cña gh tháa m·n   ar−1 ≡ ar−2 ≡ · · · ≡ a0 ≡ 0(mod p) bs−1 ≡ bs−2 ≡ · · · ≡ b0 ≡ 0(mod p)   cr+s = ar bs + ar+1 bs−1 + · · · + ar−1 bs+1 + · · · ≡ ar bs 6≡ 0(mod p). Chøng minh: §iÒu m©u thuÉn nµy chØ ra ®iÒu gi¶ sö lµ sai. VËy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên cont(gh) = 1. http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Tõ bæ ®Ò trªn ta suy ra ngay hai hÖ qu¶ sau ®©y: HÖ qu¶ 2.1.5. TÝch hai ®a thøc nguyªn b¶n còng lµ mét ®a thøc nguyªn b¶n. HÖ qu¶ 2.1.6. §a thøc bÊt kh¶ quy trªn f ∈ Z[x] lµ bÊt kh¶ quy trªn Z khi vµ chØ khi nã lµ Q. f ∈ Z[x] vµ f = gh víi g, h ∈ Q[x]. Kh«ng h¹n chÕ, cã thÓ gi¶ thiÕt cont(f ) = 1. Cho g ta chän sè nguyªn d­¬ng m sao m cho mg ∈ Z[x]. §Æt n = cont(mg) vµ r = . Khi ®ã rg ∈ Z[x] vµ n cont(rg) = 1. T­¬ng tù, chän sè h÷u tû d­¬ng s cho h ®Ó sao sh ∈ Z[x] vµ cont(sh) = 1. Khi ®ã f = (rg)(sh) lµ ph©n tÝch cña f trªn Z. Theo Bæ ®Ò 2.1.4, ta cã 1 = cont(f ) = cont(rg) cont(sh) = cont(rsgh) = cont(rsf ). VËy rs = 1. Chøng minh: Gi¶ sö Do kÕt qu¶ nµy mµ ta chØ cÇn nghiªn cøu tÝnh bÊt kh¶ quy cña ®a thøc víi c¸c hÖ sè nguyªn trªn vµnh Z. Mét sè tiªu chuÈn sau ®©y ®Ó cã thÓ kiÓm tra khi nµo mét ®a thøc víi c¸c hÖ sè nguyªn lµ bÊt kh¶ quy. f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , an 6= 0, lµ ®a thøc víi c¸c hÖ sè nguyªn vµ p lµ sè nguyªn tè sao cho an kh«ng chia hÕt cho p vµ c¸c ai (i < n) chia hÕt cho p nh­ng a0 kh«ng 2 chia hÕt cho p . Khi ®ã f (x) lµ ®a thøc bÊt kh¶ qui trªn Z. §Þnh lý 2.1.7. [Tiªu chuÈn Eisenstein] Chøng minh: Gi¶ sö f = gh = ( r P i=0 Cho bi xi )( s P cj xj ) víi g, h ∈ Z[x] vµ j=0 r = deg g, s = deg h > 0, r + s = n. V× b0 c0 = a0 chia hÕt cho p nªn tèi thiÓu mét sè b0 hoÆc c0 ph¶i chia hÕt cho p, ch¼ng h¹n b0 chia hÕt cho p. V× a0 kh«ng chia hÕt cho p2 nªn c0 kh«ng chia hÕt cho p. NÕu tÊt c¶ c¸c bi ®Òu chia hÕt cho p th× an còng ph¶i chia hÕt cho p : m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. VËy ph¶i cã mét bi kh«ng chia hÕt cho p. Gäi i lµ chØ sè nhá nhÊt ®Ó bi kh«ng chia hÕt cho p. Khi ®ã 0 < i 6 r. V× ai = bi c0 + bi−1 c1 + · · · + b0 ci chia hÕt cho p víi tÊt c¶ c¸c sè h¹ng bi−1 c1 , . . . , b0 ci ®Òu chia hÕt cho p nªn bi c0 còng chia hÕt cho p : m©u thuÉn. §iÒu nµy chøng tá f lµ ®a thøc bÊt kh¶ qui trªn Z. x2 xn VÝ dô 2.1.8. Víi bÊt kú sè nguyªn d­¬ng n ®a thøc f (x) = 1+x+ +· · ·+ 2! n! lµ bÊt kh¶ quy trªn Q. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 n!x2 Bµi gi¶i: Ta ph¶i chøng minh n!f (x) = n! + n!x + + · · · + xn lµ bÊt 2! kh¶ qui trªn Z. Ta chän sè nguyªn tè p víi p 6 n < 2p vµ n chia hÕt cho p, nh­ng n! kh«ng chia hÕt cho p2 . Theo tiªu chuÈn Eisenstein, ®a thøc n!f lµ bÊt kh¶ qui trªn Z. VÝ dô 2.1.9. Víi bÊt kú sè nguyªn tè bÊt kh¶ quy trªn p ®a thøc f (x) = 1 + x + · · · + xp−1 Z. f (x + 1) = xp−1 +
p · · · + p−1 lµ bÊt kh¶ qui trªn Z. Do ®ã f lµ bÊt kh¶ qui trªn Z. Bµi gi¶i: lµ Theo Tiªu chuÈn Eisenstein, ®a thøc p 1
xp−2 + f (x) = b0 xn + b1 xn−1 + · · · + bn lµ ®a thøc víi c¸c hÖ sè nguyªn vµ p lµ sè nguyªn tè sao cho b0 kh«ng chia hÕt cho p nh­ng bk+1 , . . . , bn chia hÕt cho p, bn kh«ng chia hÕt cho p2 . Khi ®ã f (x) cã nh©n tö bÊt kh¶ qui bËc > n − k. §Þnh lý 2.1.10. Cho Chøng minh: Ph©n tÝch m m−1 f (x) thµnh tÝch c¸c nh©n tö bÊt kh¶ quy. Gi¶ sö g(x) = c0 x + c1 x + · · · + cm ∈ Z[x] lµ mét nh©n tö bÊt kh¶ quy víi cm chia hÕt cho p. BiÓu diÔn f (x) = g(x)h(x) víi h(x) = d0 xh + d1 xh−1 + · · · + dh ∈ Z[x]. Khi ®ã dh kh«ng chia hÕt cho p. Gäi ci lµ hÖ sè ®Çu tiªn cña g(x) kh«ng chia hÕt cho p trong khi bm , . . . , bi+1 chia hÕt cho p. Ta cã cm dh = bn chia hÕt cho p, nh­ng kh«ng chia hÕt cho p2 . V× bh+i = ci dh + bi+1 dh−1 + · · · kh«ng chia hÕt cho p nªn h + i 6 k hay n − m + i 6 k. Do ®ã m > n + i − k > n − k. f (x) ∈ R[x] \ R. f (x) lµ ®a thøc bÊt kh¶ qui khi vµ chØ 2 khi hoÆc f (x) = ax + b víi a 6= 0 hoÆc f (x) = ax + bx + c víi a 6= 0 vµ b2 − 4ac < 0. §Þnh lý 2.1.11. Cho f (x) = ax + b víi a 6= 0 hoÆc f (x) = ax + bx + c víi a 6= 0 vµ b − 4ac < 0 th× f (x) lµ bÊt kh¶ qui. Ta chøng minh ®iÒu ng­îc l¹i. Gi¶ thiÕt f (x) ∈ R[x] lµ bÊt kh¶ quy víi deg f (x) > 1. Tr­êng hîp deg f (x) = 1 th× f (x) = ax + b víi a 6= 0. XÐt tr­êng hîp deg f (x) = 2. Khi ®ã f (x) = ax2 + bx + c víi a 6= 0. NÕu ∆ = b2 − 4ac > 0 th× f (x) cã hai nghiÖm α1 , α2 ∈ R vµ ta cã f (x) = a(x − α1 )(x − α2 ) : m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt. VËy b2 − 4ac < 0. XÐt tr­êng hîp deg f (x) > 2. V× C lµ tr­êng ®ãng ®¹i sè nªn f (x) = 0 cã nghiÖm α ∈ C theo §Þnh lý 1.2.4 vµ nh­ vËy nã cßn cã nghiÖm α. Khi ®ã f (x) cã nh©n tö (x − α)(x − α) ∈ R[x] Chøng minh: 2 HiÓn nhiªn, nÕu 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn