Tài liệu ứng dụng phương trình tích phân volterra vào việc phân tích composite dầm thép bê tông

  ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --------------------------------- NGÔ ĐỨC THỊNH ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VÀO VIỆC PHÂN TÍCH COMPOSITE DẦM THÉP- BÊ TÔNG Chuyên ngành :TOÁN ỨNG DỤNG Mã số:604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014   1     ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --------------------------------- NGÔ ĐỨC THỊNH ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VÀO VIỆC PHÂN TÍCH COMPOSITE DẦM THÉP- BÊ TÔNG Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số :604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. TRẦN NGỌC DIỄM TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014   2     CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH Cán bộ hướng dẫn khoa học:TS. TRẦN NGỌC DIỄM (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 1:..................................................................................................... (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Cán bộ chấm nhận xét 2:..................................................................................................... (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký) Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh ngày…..tháng……. năm…… Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Bộ môn quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có). Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn   Bộ môn quản lý chuyên ngành 3     TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc ----------------  ---oOo---  NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên học viên: NGÔ ĐỨC THỊNH Phái: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 11-06-1985 Nơi sinh: TP.HCM Chuyên ngành: Toán ứng dụng MSHV: 12240584 I. TÊN ĐỀ TÀI: Ứng dụng phương trình tích phân Volterra vào việc phân tích Composite Dầm Thép- Bê Tông NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Dựa trên phương trình tích phân Volterra loại hai tuyến tính để xác định nội lực lực cắt dọc trục dầm( hay gọi là lực dọc) N c ,r (t ) và moment uốn M c ,r (t ) trong composite dầm thép- bê tông. II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: Ngày … tháng … năm …. III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:Ngày … tháng … năm …. IV.HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:TS.TRẦN NGỌC DIỄM Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua. Tp. HCM, ngày .....tháng.....năm …. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN  CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH  TS.Trần Ngọc Diễm   PGS. TS. Nguyễn Đình Huy KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH  TS. Huỳnh Quang Linh 4     LỜI CẢM ƠN   Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô TS.Trần Ngọc Diễm, người đã tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn và cảm ơn thầy T.S. Lê Xuân Đại đã hướng dẫn và cung cấp cho tôi nguồn tài liệu phong phú, giúp tôi hoàn thành nhiệm vụ được giao. Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các thầy trong bộ môn toán ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm để tôi hoàn thành luận văn tốt hơn. Cuối cùng, tôi cũng muốn nói lời cảm ơn đến gia đình đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này.   5     LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan là các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực . Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nghiên cứu của mình. Người thực hiện Ngô Đức Thịnh   6     MỤC LỤC CHƯƠNG 1: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA 1.1. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của một phương trình tích phân Volterra loại hai………………………………………………………………………………………..11 1.2.Một định lý tồn tại gắn với phương trình vi phân thường…………………………...14 1.3. Phương trình Volterra loại 2 tuyến tính……………………………………………..16 CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ VẬT LIỆU COMPOSITE DẦM THÉP- BÊ TÔNG 2.1. Khái niệm……………………………………………………………………………19 2.2. Lịch sử hình thành và phát triển…………………………………………………….19 2.3. Ưu điểm và khuyết điểm của Composite dầm thép- bê tông………………………..19 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VÀO VIỆC PHÂN TÍCH COMPOSITE DẦM THÉP- BÊ TÔNG 3.1. Một số kí hiệu dùng trong chương 3………………………………………………..21 3.2. Phương trình cơ bản để xác định hệ số từ biến……………………………………...22 3.3. Giả định cơ bản và mối liên hệ cấu thành vật liệu…………………………………..23 3.4. Phương trình cơ bản của trạng thái cân bằng………………………………………..25 3.5. Dẫn xuất của mô hình cơ học toán học tổng quát…………………………………..26 3.5.1. Tính tương thích biến dạng trên các bề mặt tiếp xúc giữa thành phần bê tông và thép của dầm composite………………………………………………………………….26 3.5.2. Tính tương thích của độ cong khi τ = t ……………………………………………27 3.5.3. Phương trình cơ bản cho mô đun đàn hồi liên tục của bê tông……………………29 3.6. Phương pháp số……………………………………………………………………..30 3.7. Kết quả tính toán…………………………………………………………………….32 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………...39   7     Phần Mở Đầu Phương trình tích phân nói chung và phương trình Volterra nói riêng đã được nghiên cứu từ lâu, chẳng hạn như Lalesco, T., [1], Volterra, V. , [2]. Phương trình này ngày càng được nghiên cứu sâu rộng về mặt lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế, Mikhlin, S., G., [3], Doncho P., [4], … Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Volterra loại 2 dạng t x(t ) = f (t ) + ∫ k (t , s, x( s)) ds, t ∈[t0 , t0 + a], (0.1) t0 trong đó f , k là các hàm liên tục cho trước. Chúng tôi thu được lời giải (0.1) bằng cách thiết lập một dãy quy nạp hội tụ trên không gian các hàm liên tục. Một số tính chất của nghiệm cũng được khảo sát sau đó. Tiếp theo chúng tôi xem xét đến trường hợp tuyến tính của loại phương trình này t x(t ) = f (t ) + ∫ k (t , s ) x( s )ds, t ∈[t0 , t0 + a ] (0.2) t0 và ứng dụng nó vào việc phân tích dầm thép bê tông liên hợp, một loại vật liệu được sử dụng rộng rãi trong xây dựng. Sự tồn tại nghiệm cũng dựa trên phương pháp xấp xỉ liên tiếp, xây dựng một dãy quy nạp hội tụ trên không gian các hàm liên tục. Từ các nghiên cứu cho thấy, ở các dầm thép, dưới tác dụng của tải trọng, chúng ta thấy sự biến dạng chỉ có đàn hồi, thì trong các tấm bê tông sự biến dạng không đàn hồi diễn ra như một hệ quả của từ biến và sự co ngót của bê tông. Những biến dạng không đàn hồi trong tầng bê tông gây ra sự phân phối lại ứng suất và gia tăng đáng kể sự biến dạng chung. Những công trình đầu tiên giải quyết vấn đề này, dựa trên luật Dischinger( lý thuyết về tuổi thọ) [5] đã sử dụng phương trình tích phân sau: d ε ct σ ct dϕt 1 dσ ct , = + dt Ec 0 dt Ect dt (0.3) trong đó ϕt được gọi là hàm từ biến.   8     Được biết trong phương trình vi phân này có một nhóm nội lực lực dọc trục dầm N c ,r (t ), N a ,r (t ) và moment uốn M c ,r (t ), M a ,r (t ) . Nhóm lực và moment này ảnh hưởng đến những điều kiện ứng suất chung của tính ổn định dầm composite, nó làm giảm ứng suất trong tấm bê tông và gia tăng ứng suất trong các dầm thép. Mối liên hệ giữa σ c (t ) và ε c (t ) được xây dựng bởi phương trình tích phân, trong đó trình bày các cơ sở lý thuyết của vật đàn hồi nhớt tuyến tính. Công trình đầu tiên, dựa trên luật của Bolztman-Volterra [6; 7; 8; 9], xây dựng mối quan hệ phụ thuộc thời gian ứng suất biến dạng cho bê tông dưới dạng phương trình tích phân Voterra mô tả như sau: ε c (t ) = σ c (t0 ) Ec (t0 ) dσ c (τ ) 1 [1 + φ (t −τ )]dτ , d E ( ) τ τ c t0 t [1 + φ (t − t0 )] + ∫ (0.4) Trong đó φ (t −τ ) được gọi là hàm từ biến, t là khoảng thời gian trong suốt quá trình quan sát, τ là khoảng chạy của thời gian- đặc trưng cho quá trình từ biến. Một phương pháp thiết thực giải quyết vấn đề cấu trúc liên hợp dựa trên phương trình tích phân Volterra được đưa ra trong [9]. Trong luận văn này, việc tính lực dọc N c ,r (t ) và moment uốn M c ,r (t ) , chúng tôi dựa trên hai phương trình tích phân Volterra loại hai tuyến tính sau: t N c ,r (t ) = λN ∫ N c ,r (τ ) t0 d [1 + φRH β ( f cm ) β (τ ) β (t − τ )]dτ + dτ (0.5) + λN N c ,0 φRH β ( f cm ) β (t0 ) β (t − t0 ) + λN N sh β (t − t0 ) t M c ,r (t ) = λM ∫ M c ,r (τ ) t0 d [1 + φRH β ( f cm ) β (τ ) β (t − τ )]dτ + dτ + λM M c ,0 φRH β ( f cm ) β (t0 ) β (t − t0 ) − λM (0.6) Ec I c N c ,r (t )r. Ea I a N c ,r (t ), M c ,r (t ) là một nhóm mới của lực dọc (nội lực) và moment uốn, phát sinh do từ biến và co ngót của bê tông. Từ phương pháp số chúng tôi sẽ mô phỏng lại các hàm N c ,r (t ), M c ,r (t ) theo thời gian t . Luận văn được chia thành các chương sau đây:   9     − Phần mở đầu, giới thiệu tổng quát về các vấn đề khảo sát và tóm tắt các chương tiếp theo. − Chương 1 : Tìm hiểu về phương trình tích phân Volterra. Nội dung chính của chương này là khảo sát các vấn đề liên quan đến vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình (0.1) và (0.2). − Chương 2 : Tìm hiểu về vật liệu composite dầm thép bê tông. − Chương 3 : Ứng dụng của phương trình tích phân Volterra vào việc phân tích composite dầm thép – bê tông . Trong chương này chúng tôi trình bày các cơ sở lý thuyết toán học và vật liệu để dẫn đến các phương trình (0.5), (0.6) và phương pháp số để giải quyết hai phương trình này. − Cuối cùng là tài liệu tham khảo.   10     CHƯƠNG 1: TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA Trong phần này chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình tích phân Volterra loại hai. Đầu tiên chúng tôi sẽ khảo sát về một phương trình tích phân Volterra loại hai trên miền hữu hạn. Tiếp theo, chúng tôi sẽ xét đến trường hợp tuyến tính của phương trình này. 1.1. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của một phương trình tích phân Volterra loại hai. Trong phần này ta xét đến phương trình tích phân Volterra loại hai dạng: t x(t ) = f (t ) + ∫ k (t , s, x( s))ds, t ∈[t0 , t0 + a] (1.1) t0 Trong đó f , k là các hàm cho trước, t0 và a > 0 là các hằng số cho trước. Định lí 1.1 Với các giả thiết: (H1) t0 là hằng số tùy ý và a, b là các hằng số dương cho trước; (H2) f (t ) là một hàm số thực liên tục trên đoạn [t0 , t0 + a ], a > 0; (H3) k (t , s, x) là một hàm liên tục trên: Δ : t 0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + a , (H4) x − f (t ) ≤ b, b > 0; k (t , s, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên Δ , theo nghĩa k (t , s, x) − k (t , s, y ) ≤ L x − y . Khi đó, phương trình (1.1) tồn tại nghiệm duy nhất, xác định trên miền ⎧ b⎫ t ∈ [t0 , t0 + δ ], δ = min ⎨a, ⎬ ⎩ M⎭ với (1.2) M = sup { k (t , s, x) ,(t , s, x) ∈Δ} Chứng minh: Chúng ta áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với dãy {xn (t )} được xây dựng như sau:   11     x0 (t ) = f (t ) (1.3) t xn (t ) = f (t ) + ∫ k (t , s, xn−1 ( s )) ds, n ≥ 1. (1.4) t0 Bằng quy nạp toán học ta có thể thấy rằng tất cả các xn (t ) là liên tục trên [t0 , t0 + δ ] , với δ được cho bởi (1.2). Để chứng minh sự hội tụ của dãy {xn (t )} , chúng ta sẽ xem xét chuỗi số sau: ∞ ∑ [ x (t ) − x n =1 n n −1 (t )]. (1.5) Từ (1.4), cho n = 1 , chúng ta lấy t ∈ [t0 , t0 + δ ]. x1 (t ) − x0 (t ) ≤ M (t − t0 ), (1.6) Để có được ước lượng cho | xn (t ) − xn−1 (t ) |, n ≥ 2, từ (1.4) chúng ta nhận thấy rằng, với n≥2: t xn (t ) − xn−1 (t ) ≤ L ∫ xn −1 ( s ) − xn− 2 ( s ) ds, t ∈ [t0 , t0 + δ ]. (1.7) t0 Với giả thiết (H4), từ (1.6) và (1.7), lấy n = 2 ta có (t − t0 ) 2 , x2 (t ) − x1 (t ) ≤ ML 2! t ∈ [t0 , t + δ ]. (1.8) Với các bất đẳng thức (1.6) và (1.8) ta rút ra được ước lượng cho số hạng tổng quát của chuỗi (1.5): n −1 xn (t ) − xn−1 (t ) ≤ ML (t − t 0 ) n , n! t ∈ [t0 , t0 + δ ]. (1.9) Bằng quy nạp ta có bất đẳng thức (1.9) thỏa mãn với mọi n ≥ 1. Như vậy, chuỗi (1.5) hội tụ trên [t0 , t0 + δ ], và do đó dãy {xn (t )} cũng hội tụ trên miền này về một giới hạn mà ta sẽ gọi là x ( t ) . Hàm x ( t ) liên tục trên đoạn [t0 , t0 + δ ] và thỏa mãn (1.1). Thật vậy, qua giới hạn (1.4) khi n → ∞ , kết hợp với đánh giá   12     k ( t , s, xn −1 ( s ) ) − k ( t , s, x( s ) ) ≤ L xn −1 ( s) − x( s ) t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + δ . ta có được t t t0 t0 lim ∫ k (t , s, xn−1 ( s ))ds = ∫ k (t , s, x( s ))ds, n →∞ t ∈ [t0 , t0 + δ ]. Do đó x ( t ) thỏa mãn (1.1) và sự tồn tại của nghiệm đã được chứng minh. Để chứng minh tính duy nhất, gọi y ( t ) là một nghiệm liên tục của (1.1) trên [t0 , t0 + δ ] . Khi đó: t y (t ) = f (t ) + ∫ k (t , s, y ( s ))ds. t0 Trừ (1.4) từ phương trình cuối cùng này, chúng ta có được cho n ≥ 1 t y (t ) − xn (t ) ≤ L ∫ y ( s ) − xn−1 ( s ) ds, t ∈ [t0 , t0 + δ ]. (1.10) t0 Nhưng | y (t ) − f (t ) |≤ M (t − t0 ), và sử dụng (1.10) chúng ta lấy được y (t ) − xn (t ) ≤ MLn (t − t0 ) n , n! t ∈ [t0 , t0 + δ ]. (1.11) Do đó, lim xn (t ) = y (t ) ≡ x(t ), n →∞ t ∈ [t0 , t0 + δ ], Việc chứng minh của định lý 1.1 đã hoàn tất. Nhận xét 1: Giả sử f (t ) = x0 = const , k (t , s, x) ≡ k ( s, x) , định lý 1.1 là định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân thường. Nhận xét 2: Nếu k (t , s, x) được xác định trên Δ′ : t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + a, x < ∞ , thay vì Δ , thì không cần ⎧ ⎩ điều kiện hạn chế t ∈ [t0 , t0 + δ ], δ = min ⎨a,   b⎫ ⎬ . Tất cả xn (t ) liên tục trên đoạn [t0 , t0 + a] , M⎭ 13     và nghiệm sẽ được xác định trên cùng khoảng. Ví dụ, hàm tuyến tính với k (t , s, x) = k (t , s) x, ở đây k (t , s) là liên tục, minh họa cho điều này. Nhận xét 3: Một định lý tương tự cho phương trình tích phân vectơ loại Volterra. Một phương trình như vậy có thể được viết: t x(t ) = f (t ) + ∫ k (t , s, x( s ))ds (1.12) t0 ở đây, x, f và k là các hàm vectơ có cùng chiều. 1.2.Một định lý tồn tại gắn với phương trình vi phân thường: Chúng ta sẽ xem xét lại phương trình (1.1) và chứng minh một định lý tồn tại mà đã khái quát hóa định lý tồn tại của Peano cho phương trình vi phân thường. Định lý 1.2 Với các giả thiết sau: (H1) t0 là hằng số tùy ý và a, b là các hằng số dương cho trước; (H2) f (t ) là một hàm số thực liên tục trên đoạn [t0 , t0 + a ], a > 0; (H3) k (t , s, x) là một hàm liên tục trên: Δ : t 0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + a , | x − f (t ) |≤ b, b > 0; Khi đó tồn tại ít nhất một nghiệm liên tục của phương trình (1.1), được xác định trên [t0 , t0 + δ ], với δ được cho bởi (1.2) Chứng minh: Xét dãy số các hàm liên tục trên đoạn [t0 , t0 + δ ] như sau: x1 (t ) = f (t )   (1.13) 14     ⎧ δ⎤ ⎫ ⎡ t ∈ ⎢ t0 , t 0 + ⎥ ⎪ ⎪ xn (t ) = f (t ), n⎦ ⎪ ⎣ ⎪ ⎨ ⎬ , n >1 t − (δ / n ) δ ⎡ ⎤ ⎪ x (t ) = f (t ) + ∫t k (t , s, xn ( s))ds, t ∈ ⎢⎣t0 + n , t0 + δ ⎥⎦ .⎪⎪ ⎪ n 0 ⎩ ⎭ (1.14) Các công thức này nên được hiểu như sau: công thức đầu tiên trong (1.14) xác định xn (t ) δ⎤ ⎡ trên ⎢t0 , t0 + ⎥ . Từ công thức thứ hai trong (1.14), chúng ta nhận được: n⎦ ⎣ t − (δ / n ) ∫ xn (t ) = f (t ) + k (t , s, f ( s ))ds, t0 δ 2δ ⎤ ⎡ t ∈ ⎢ t 0 + , t0 + . n n ⎥⎦ ⎣ Bước kế tiếp sẽ cho xn (t ) trên [t0 + (2δ / n), t0 + (3δ / n)], … Định nghĩa này của xn (t ) có ý nghĩa, bởi vì ⎛ δ ⎞ xn (t ) − f (t ) ≤ M ⎜ t − − t0 ⎟ < M δ ≤ b , với mọi t ∈ [t0 , t0 + δ ] . ⎝ n ⎠ (1.15) Dễ dàng thấy rằng tất cả các xn (t ) là liên tục trên [t0 , t0 + δ ] và từ (1.15) suy ra rằng chúng bị chặn đều trên khoảng này. Cuối cùng, theo bất đẳng thức dưới đây xn (t ) − xn ( s ) ≤ f (t ) − f ( s ) + M t − s , với mọi n ≥ 1 và t , s ∈ [t0 , t0 + δ ], dãy { xn } là dãy liên tục đồng bậc. Do đó, áp dụng bổ đề Ascoli-Arzelà(tham khảo trang 30 của [ 12 ]) ta thu được một dãy con {xnk (t )} hội tụ đều về x ( t ) trên [t0 , t0 + δ ] . Trong phương trình thứ hai của (1.14), với n = nk , cho k → ∞ ta được t x ( t ) = f ( t ) + ∫ ( kt , s, x ( s ) ) ds t0 Ở đây x ( t ) = lim xnk ( t ) , khi k → ∞ . Vậy định lý 1.2 đã được chứng minh hoàn toàn.   15     Chứng minh của định lý 1.2 là một hình thức chứng minh của định lý Peano(tham khảo trang 39 của [12]) về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân thường. Định lý này phát biểu như sau: Với f là hàm liên tục trên D : t − t0 ≤ a, x − x0 ≤ b ⎧. ⎪ x ( t ) = f ( x, t ) xác định trên miền Khi đó tồn tại ít nhất lời giải của bài toán ⎨ ⎪⎩ x ( t0 ) = x0 ⎧ b ⎫ t − t0 < δ = min ⎨a, ⎬ , M = sup { k (t , s, x) ,(t , s, x) ∈Δ} . ⎩ M⎭ 1.3. Phương trình Volterra loại 2 tuyến tính Như đã đề cập, phương trình Volterra loại hai tuyến tính có dạng: t x(t ) = f (t ) + ∫ k (t , s ) x( s )ds, t ∈ [t0 , t0 + a ], (1.16) t0 ở đây f (t ) và k (t , s ) là các hàm số liên tục trên [t0 , t0 + a ] và t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + a, tương ứng. Áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp (xem định lý 1.1), ta xây dựng dãy sau: x0 (t ) = f (t ), ⎫ ⎪ t ⎪ x1 (t ) = f (t ) + ∫ k (t , s ) f ( s )ds, ⎪ t0 ⎪⎪ ............................. ⎬ ⎪ t t xn (t ) = f (t ) + ∫ k (t , s ) f ( s )ds + ... + ∫ kn (t , s ) f ( s )ds, ⎪ ⎪ t0 t0 ⎪ .................................. ⎪⎭ (1.17) ở đây t kn (t , s) = ∫ k (t , u )kn−1 (u , s )du , n ≥ 2 (1.18) s Ở đây ta lấy k1 (t , s ) = k (t , s ).   16     t Từ công thức chung của dãy quy nạp, xn (t ) = f (t ) + ∫ k (t , s ) xn −1 ( s )ds , với n = 2 , ta có t0 t t s t0 t0 t0 x2 (t ) = f (t ) + ∫ k (t , s ) f ( s )ds + ∫ k (t , s )ds ∫ k ( s, u ) f (u )du Nhưng t s t t t0 t0 t0 u ∫ k (t , s)ds ∫ k (s, u ) f (u )du = ∫ f (u)du ∫ k (t , s)k (s, u)ds. Sử dụng (1.18) , chúng ta nhận được x2 (t ) theo dạng đề cập trước đó. Lập luận tương tự sẽ cho thấy rằng xn (t ) có dạng được đưa ra ở (1.17). Chúng ta cũng có thể viết t ⎛ n ⎞ xn (t ) = f (t ) + ∫ ⎜ ∑ k j (t , s ) ⎟ f ( s )ds t0 ⎝ j =1 ⎠ (1.19) Cho tất cả n ≥ 1; t ∈ [t0 ; t0 + a ]. Bây giờ, chúng ta chứng minh rằng chuỗi ∞ ∑ k (t , s) j =1 (1.20) j hội tụ đều trên t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + a. Lấy K > 0 sao cho k (t , s ) ≤ K , t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + a . Từ (1.18), cho n = 2 , chúng ta có được k2 (t , s ) ≤ K 2 (t − s ), t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + a Và lại sử dụng (1.18), chúng ta sẽ có kn (t , s ) ≤ K n (t − s ) n−1 , ( n − 1)! t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + a. Những đánh giá trên chứng minh (1.20) hội tụ đều trên t0 ≤ s ≤ t ≤ t0 + a . Gọi k% (t , s ) là tổng của chuỗi (1.20), qua giới hạn (1.19) ta có   17     t x(t ) = f (t ) + ∫ k% (t , s ) f ( s )ds. (1.21) t0 Công thức này cho nghiệm của (1.16) và cho thấy rằng k% ( s, t ) thỏa mãn để biểu thị nghiệm với mọi hàm f (t ) liên tục. Thông thường, k (t , s ) được gọi là nhân (kernel) của phương trình (1.16). Hàm k% ( s, t ) mà chúng ta đã xây dựng được gọi là nhân resolvent cho phương trình (1.16). Rõ ràng k% ( s, t ) là một hàm liên tục trên t ≤ s ≤ t ≤ t + a. Do đó, xây dựng của nhân resolvent cho 0 0 phép biểu diễn dạng tích phân của nghiệm với f (t ) tùy ý. Phương trình (1.21) có ý nghĩa cho từng phần f (t ) liên tục từng khúc hay ngay cả những hàm tổng quát hơn. ∞ Cuối cùng, từ k% (t , s) = k (t , s ) + ∑ k j (t , s ) và (1.18), chúng ta suy ra: j =2 t k% (t , s ) = k (t , s ) + ∫ k (t , u ) k% (u , s )du . (1.22) t0 Đó là phương trình tích phân cho các nhân resolvent.   18     CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ VẬT LIỆU COMPOSITE DẦM THÉP- BÊ TÔNG 2.1. Khái niệm Composite dầm thép- bê tông là vật liệu xây dựng phức hợp do hai loại vật liệu là bê tông và dầm thép có đặc trưng cơ học khác nhau cùng phối hợp chịu lực với nhau[11,13,14] • Bê tông là loại vật liệu phức hợp bao gồm xi măng( chất kết dính) , cát, sỏi, đá (cốt liệu) kết lại với nhau dưới tác dụng của nước. • Dầm thép là loại vật liệu chịu kéo hoặc chịu nén đều rất tốt. Do đó nếu đặt dầm thép thích hợp vào tiết diện kết cấu thì khả năng chịu lực của kết cấu tăng lên nhiều. 2.2. Lịch sử hình thành và phát triển Vật liệu composite đã xuất hiện từ rất lâu trong cuộc sống, khoảng 5000 năm trước Công Nguyên người cổ đại đã biết vận dụng vật liệu composite vào cuộc sống( ví dụ sử dụng bột đá trộn với đất sét để đảm bảo sự dãn nở trong quá trình nung đồ gốm). Người Ai cập đã biết vận dụng vật liệu composite từ khoảng 3000 năm trước Công Nguyên, sản phẩm điển hình là vỏ thuyền làm bằng lau, sậy tẩm pitum về sau này các thuyền đan bằng tre trát mùn cưa và nhựa thông hay các vách tường đan tre trát bùn với rơm, rạ là những sản phẩm composite được áp dụng rỗng rãi trong đời sống xã hội. Sự phát triển của vật liệu composite đã được khẳng định và mang tính đột biến vào những năm 1930 khi mà Stayer và Thomat đã nghiên cứu, ứng dụng thành công sợi thủy tinh; Fillis và Foster dùng gia cường cho polyester không no và giải pháp này đã được áp dụng rộng rãi trong ngành công nghiệp chế tạo máy bay, tàu chiến phục vụ cho đại chiến thế giới lần thứ hai. Năm 1950 bước đột phá quan trọng trong ngành vật liệu Composite đó là sự xuất hiện nhựa Epoxy và các sợi gia cường như Polyeste, nylon…Từ năm 1970 đến nay vật liệu Composite nền dẻo đã được đưa vào sử dụng rỗng rãi trong các ngành công nghiệp và dân dụng, y tế, thể thao, quân sự…Hiện nay, vật liệu composite đã được ứng dụng rỗng rãi trong nhiều lĩnh vực. Việc sử dụng các tấm composite làm vật liệu xây dựng, vật liệu phục chế, gia cố các kết cấu công trình bằng gạch, đá và bê tông đã trở nên phổ biến. 2.3. Ưu điểm và khuyết điểm của Composite dầm thép- bê tông Dầm thép- bê tông hiện nay là vật liệu xây dựng được sử dụng rộng rãi vì có các ưu điểm sau: • Rẻ tiền so với thép khi chúng cùng chịu tải trọng như nhau.   19     • Có khả năng chịu lực lớn so với gạch, đá và gỗ, có thể chịu được tải trọng động lực và lực động đất. • Bền vững, dễ bảo dưỡng, sửa chữa ít tốn kém so với thép và gỗ. • Chịu lửa tốt hơn so với thép và gỗ. • Có thể đúc thành kết cấu có hình dạng bất kỳ theo các yêu cầu về cấu tạo, về sử dụng cũng như về kiến trúc. Tuy nhiên dầm thép- bê tông cũng tồn tại một số nhược điểm sau: • Trọng lượng bản thân khá lớn, do đó khó làm được kết cấu nhịp lớn. Nhưng nhược điểm này gần đây được khắc phục bằng cách dung bê tông nhẹ, bê tông cốt thép ứng lực trước và kết cấu vỏ mỏng… • Dưới tác dụng của tải trọng, bê tông dễ phát sinh khe nứt làm mất thẩm mỹ và gây thấm cho công trình. • Thi công phức tạp, tốn nhiều cốp pha khi thi công toàn khối.   20