Tài liệu ứng dụng phép suy luận quy nạp trong dạy học dạng toán có yếu tố chuyển động ở trường phổ thông

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lời nói đầu .................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 2 6. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 2 7. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2 CHƯƠNG 1: LÝ LUẬN CHUNG VỀ GIẢI TOÁN........................................ 3 1.1. Bài toán và lời giải bài toán ....................................................................... 3 1.2. Ý nghĩa của việc giải toán .......................................................................... 3 1.3. Phân loại bài toán ....................................................................................... 6 1.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán: ............................................................. 7 1.5. Phép suy luận Toán học ........................................................................... 10 1.5.1 Phép suy luận toán học........................................................................... 10 1.5.2 Phép suy luận quy nạp (Suy luận có lí)................................................. 10 1.6. Ứng dụng của phép suy luận quy nạp ...................................................... 14 1.6.1 Ứng dụng suy luận quy nạp để tiếp cận lời giải bài toán ....................... 14 1.6.2 Ứng dụng suy luận quy nạp trong dự đoán kết quả bài toán ................. 17 1.6.3 Ứng dụng suy luận quy nạp trong việc khai thác bài toán ..................... 21 TIỂU KẾT CHƯƠNG 1: ................................................................................ 23 CHƯƠNG 2:ỨNG DỤNG PHÉP SUY LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ........................................................ 24 2.1. Ứng dụng suy luận quy nạp trong dạy học dạng toán chuyển động tìm điểm cố định .................................................................................................... 24 2.1.1 Phương pháp dự đoán điểm cố định trong toán chuyển động ............... 24 2.1.2 Luyện tập toán chuyển động tìm điểm cố định ...................................... 27 2.2. Ứng dụng suy luận quy nạp trong dạy học dạng toán tìm tập hợp ở trường phổ thông ......................................................................................................... 41 2.2.1 Một số phương pháp dự đoán tập hợp cần tìm hoặc chứng minh tập hợp có tính chất nào đó. ......................................................................................... 41 2.2.2 Luyện tập toán tìm quỹ tích ................................................................... 46 TIỂU KẾT CHƯƠNG 2.................................................................................. 63 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 65 MỞ ĐẦU 1. Lời nói đầu Toán học là một môn khoa học suy diễn, được trình bày chặt chẽ bằng phương pháp tiên đề. Trong đó mọi khái niệm được định nghĩa và mọi mệnh đề đã biết trước đó. Nhưng trong toán học, cũng như các khoa học khác cần có những thí nghiệm và sự nghiên cứu để dự đoán kết quả, dự đoán quy luật trước khi chứng minh chúng bằng suy luận logic. Phép suy luận quy nạp đi từ cái riêng đến cái chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Phép suy luận quy nạp là cơ sở của mọi sự sáng tạo Toán học; đồng thời phép suy luận quy nạp có ý nghĩa to lớn trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. Đối với dạng toán hình học chứa yếu tố chuyển động, tìm một hình có tính chất nào đó hoặc đi qua một điểm cố định nào đó,… thì khó khăn chung đầu tiên - nhiều khi là khó khăn chủ yếu là dự đoán được hình cần tìm, dự đoán được kết quả cần chứng minh. Chính vì vậy, tôi đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng phép suy luận quy nạp trong dạy học dạng toán có yếu tố chuyển động ở trường phổ thông”. 2. Mục đích nghiên cứu Cung cấp cho học sinh cấp THCS nói chung, học sinh lớp 9 nói riêng cách giải các bài toán chứa yếu tố chuyển động đặc biệt là hình học, luyện tập các phương pháp giải theo chuyên đề các bài toán chứng minh quỹ tích, tìm điểm cố định hình học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về lí luận: + Nghiên cứu lý luận chung về giải toán. + Phép suy luận và chứng minh Toán học. 1 - Ứng dụng suy luận quy nạp trong giải toán nói chung và trong dạy học toán chuyển động ở trường phổ thông. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Dạng toán chuyển động trong chương trình môn toán trường phổ thông. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận về bài toán, cách phân tích tiếp cận các dữ liệu bài toán lời giải bài toán và phương pháp chung về giải toán. Nghiên cứu nội dung chương trình giảng dạy và thuận lợi, khó khăn của học sinh về dạng toán hình học chứa yếu tố chuyển động ở trường phổ thông. Tổng kết kinh nghiệm về dạy học giải dạng toán có yếu tố chuyển động trong hình học ở trường phổ thông. Từ đó đề xuất phương pháp dạy học dạng toán chứa yếu tố chuyển động trong hình học ở trường phổ thông sao cho hiệu quả: Dạy học dự đoán quỹ tích, điểm cố định cần tìm; dạy chứng minh thuận đảo của bài toán tìm tập hợp ở trường THCS. 6. Giả thuyết khoa học Dựa vào phép suy luận quy nạp giúp học sinh củng cố và nâng cao kỹ năng giải các bài toán chuyển động đặc biệt là hình học ở trường phổ thông, qua đó phát triển tư duy hình học và lập luận suy diễn trong quá trình chứng minh bài toán. 7. Cấu trúc khóa luận a. Mở đầu b. Chương 1: Lý luận chung về giải toán. c. Chương 2: Ứng dụng phép suy luận quy nạp trong dạy học. 2 CHƯƠNG 1 LÝ LUẬN CHUNG VỀ GIẢI TOÁN 1.1. Bài toán và lời giải bài toán a. Bài toán: Theo G.Polya: bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay. Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.Polya cho ta thấy rằng: Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập… Cũng trong định nghĩa bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành một bài toán đó là: Sự đòi hỏi của bài toán và mục đích của bài toán. b. Lời giải bài toán. Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đề ra. Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán. Một bài toán có thể có: - Một lời giải - Không có lời giải - Nhiều lời giải 1.2. Ý nghĩa của việc giải toán a. Kiến thức Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán yêu cầu ta phải phân tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề bài và các kiến thức đã tích lũy từ trước khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới. Và cứ như vậy, tiếp tục quá trình trên, các kiến thức mới tìm ra 3 lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới… Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán. Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức mới theo yêu cầu mà cả một hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán cũng được ôn tập, củng cố và nâng cao thêm. b. Kỹ năng Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ một môn khoa học nào là thông hiểu, ghi nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, cụ thể là các bài toán phát sinh trong quá trình phát triển khoa học. Trong việc giảng dạy môn toán thì bài toán lại tham gia trong mọi tình huống của quá trình dạy học môn toán. Trong giảng dạy các khái niệm: toán học từ cơ bản đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây tình huống để dẫn dắt học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm; Bài toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm. Trong giảng dạy định lí toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây tình huống, đưa ra nhiệm vụ dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lí toán học; Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập áp dụng định lí; Đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lí chính là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương nào đó của môn học. Trong luyện tập toán học: Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập toán học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài toán có liên quan chặt chẽ với nhau nhằm mục đích giúp học 4 sinh củng cố các kiến thức; hình thành và phát triển một số kĩ năng cơ bản đến nâng cao nào đó. c. Tư duy Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán trong trường phổ thông là một môn khoa học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy nên lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác, các bước làm có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ ràng. Vì vậy khi giải một bài toán, nó cho ta động lực, tác động trực tiếp đến việc rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận theo quy tắc suy diễn… Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán. Mỗi bài toán có một dữ liệu khác nhau, muốn tìm được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, tổng hợp, phải biết cách dự đoán hướng đi đến kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hóa… Như vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển. d. Tư tưởng Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là: Mọi hoạt động đều có mục đích nhất định và rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện, trau dồi năng lực hoạt động của con người. Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán nâng cao đòi hỏi tư duy logic phức tạp, vận dụng nhiều kiến thức, người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì, nhiều khi người ta phải có động lực và tích tự giác cao độ để tìm ra lời giải bài toán đó. 5 Nói theo cách của G.POLIA là “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”. Do vậy ta thấy rằng: Hoạt động giải bài toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách con người. 1.3. Phân loại bài toán Phân loại bài toán: Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi. - Phân loại theo hình thức bài toán: Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho hay chưa để phân chia bài toán thành hai loại. + Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một cách rõ ràng trong đề toán. + Bài toán tìm kiếm: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn trong đề bài toán. - Phân loại theo phương pháp giải bài toán: Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có algorit giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại. + Bài toán có algorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một algorit nào đó hoặc mang tính chất algorit nào đó. + Bài toán không có algorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó không theo một algorit nào hoặc không mang tính chất algorit nào. - Phân loại theo nội dung bài toán: Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát triển theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau như sau: + Bài toán số học 6 + Bài toán đại số + Bài toán hình học. - Phân loại theo ý nghĩa bài toán: Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau: + Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó. + Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo, nâng cao hơn. 1.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLIA Bước 1: Tìm hiểu đề: Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau: Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán? Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi, biến thiên của bài toán. Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán. Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không? Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó khăn nhất. Bước này yêu cầu chúng ta phải biết huy động các kiến thức sẵn có để nhận xét, so sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán. 7 Đối với những bài toán không có algorit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau: a. Phương pháp đi xuôi: Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề. Bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó. Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm tiền đề mới. Lại bằng suy luận hợp logic chúng ra tìm ra được hệ quả logic mới gần gũi hơn với kết luận… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra được hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán. Khi ấy ta tìm được lời giải của bài toán. Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau: A  B X  C  D (Trong đó A, C là giả thiết, X là kết luận) b. Phương pháp đi ngược: Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp logic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này. Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra các tiền đề gần gũi với giả thiết của bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra các tiên đề logic mới của các kết luận mới này… Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được các tiên đề logic trùng với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán. Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau: C  A X  D  B (Trong đó A, B là các giả thiết, X là kết luận) Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của bài toán ta thường kết hợp cả hai phương pháp - đi xuôi và đi ngược. c. Phương pháp sử dụng các phép suy luận quy nạp: Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phương pháp. Tuy nhiên không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của 8 bài toán. Có những bài toán mà ta đã sử dụng phối hợp nhiều phương pháp: Phương pháp đi xuôi, phương pháp đi ngược hoặc dựa vào kinh nghiệm tích lũy thậm chí kết hợp tất cả mà vẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển hướng suy nghĩ theo một hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử dụng các phép suy luận quy nạp, nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán có liên quan, có tính chất gần giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán hệ quả, bài toán tương tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát. Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của bài toán có liên quan với bài toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã cho. Theo G.POLYA chúng ta thường phải đặt câu hỏi sau: “Anh có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bài toán gần giống với bài toán của anh đã được giải rồi. Anh có thể dùng được nó làm gì không?”; “Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trước hết hãy giải bài toán gần giống với nó.” Bước 3: Thực hiện chương trình giải: Đây là quá trình tổng hợp lại các bước xây dựng chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán. Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được chính là điều chứng minh được. Bước 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được của bài toán. Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán. Nghiên cứu các bài toán có liên quan. 9 1.5. Phép suy luận Toán học 1.5.1 Phép suy luận toán học - Suy luận: Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề ta rút ra mệnh đề mới. Mệnh đề đã có trước gọi là tiền đề, mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận. Ký hiệu: X1, X2,…, Xn  X Trong đó: X1, X2,…, Xn – là các tiền đề. X: là kết luận. Nếu X1, X2,…, Xn là hằng đúng thì ta nói phép suy luận đó hợp logic. Lúc đó ta gọi X1, X2,…, Xn là các tiền đề logic, còn X là hệ quả logic. Nếu các tiền đề trong phép suy luận hợp logic là đúng thì ta có hệ quả logic của nó là đúng. Nếu các tiền đề trong phép suy luận hợp logic là sai thì hệ quả logic của nó có thể đúng hoặc sai. 1.5.2 Phép suy luận quy nạp (Suy luận có lí) - Khái niệm: Phép suy luận quy nạp là suy luận đi từ cái đúng riêng đến kết luận chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Theo con đường quy nạp, xuất phát từ các đối tượng riêng lẻ đã biết như vật chẩt, mô hình, hình vẽ,… giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh trừu tượng hóa, khái quát hóa để tìm ra các dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể, từ đó đi đến định nghĩa tường minh. - Đặc trưng của suy luận quy nạp là: + Quá trình suy luận không theo quy tắc suy diễn. + Kết luận mang tính ước đoán có thể đúng, có thể sai cần phải kiểm nghiệm. 10 + Các phép suy luận quy nạp có nhiều ứng dụng trong giải toán, trong việc sáng tạo toán học. - Một số phép suy luận quy nạp: + Phép quy nạp không hoàn toàn: Suy luận quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận mà kết luận thuộc tính A thuộc vào tất cả các phần tử của tập đang xét trên cơ sở biết thuộc tính A thuộc vào một số phần tử nào đó của tập đó. Trong trường hợp kết luận tổng quát rút ra không dựa trên sự kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra mà chỉ trên cơ sở một số đủ lớn các trường hợp thì ta có quy nạp không hoàn toàn. Quy nạp không hoàn toàn được vận dụng nhiều trong các khoa học thực nghiệm. Chẳng hạn bằng cách đó người ta đã thiết lập nên định luật cơ bản bảo toàn khối lượng: định luật này được Lômônôxôp phát biểu và chỉ được thừa nhận khi Lavoadiê đã kiểm tra sự đúng đắn của nó với độ chính xác đủ lớn và trong các điều kiện đủ khác nhau. Trong toán học, quy nạp không hoàn toàn không được xem là một phương pháp chứng minh chặt chẽ, do đó nó chỉ được áp dụng rất hạn chế. Bởi vì một mệnh đề toán học bao hàm một số vô hạn các trường hợp riêng, nhưng con người ta không thể tiến hành kiểm tra một số vô hạn các trường hợp được. Chẳng hạn sau khi có kết quả đúng với 4 trường hợp như ở ví dụ 1, n ta chưa thể đưa ra kết luận rằng, 2 2  1 là một số nguyên tố với mọi n  N * . Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn là một phương pháp “gợi mở” rất hiệu lực để tìm ra chân lý mới. Chúng ta hãy tham khảo một ví dụ 1. n Ví dụ 1: Khi xét các số có dạng 2 2  1 nhà toán học Fecma nhận xét rằng với n = 1; 2; 3 hoặc 4 thì thu được các số nguyên tố. Từ đó ông đưa ra giả thiết rằng tất cả các số có dạng như thế (với n  N * ) là số nguyên tố. Nhưng ơle đã chỉ 11 ra rằng với n = 5 ta được số 2 32  1 không phải là số nguyên tố vì số đó chia hết cho 641. Điều đó có nghĩa là kết luận của nhà toán học Fecma là sai lầm. + Phép khái quát hóa: Suy luận khái quát hóa là suy luận đi từ một đối tượng hay một nhóm đối tượng sang một nhóm đối tượng rộng hơn chứa đối tượng ban đầu bằng cách dựa vào đặc điểm đặc trưng của nhóm đối tượng xuất phát. Ví dụ 1: Nếu có hai điểm A1, A2, G là trọng tâm của hệ hai điểm ta có: GA1  GA2  0 Nếu có ba điểm A1, A2, A3, G là trọng tâm hệ ba điểm ta có: GA1  GA2  GA3  0 ………………...... n Vậy nếu hệ n điểm Ai, G là trọng tâm hệ n điểm thì:  GA  0 i 1 i + Phép đặc biệt hóa: Suy luận đặc biệt hóa là suy luận đi từ nhóm đối tượng rộng đến một nhóm đối tượng hẹp hơn chứa trong tập hợp đối tượng ban đầu. Trong phép suy luận đặc biệt hóa cần chú ý đến các trường hợp đặc biệt giới hạn suy biến: Đoạn thẳng là trường hợp suy biến của tam giác, tam giác là trường hợp suy biến của tứ giác,… + Phép tương tự: Theo G.Poya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng” Theo PGs Hoàng Chúng: “Tương tự thường có nghĩa giống nhau. Người ta thường xét vấn đề tương tự trong toán học trong các khía cạnh sau: - Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh giống nhau. 12 - Hai hình là tương tự nếu có chúng có nhiều tính chất giống nhau, nếu vai trò của chúng giống nhau trong hai vấn đề nào đó hoặc nếu giữa các phần tử trong chúng giống nhau” Ta xem xét các ví dụ sau: Ví dụ 1: Đường thẳng, tam giác, đường tròn trong hình học phẳng tương tự với mặt phẳng, tứ diện, mặt cầu trong hình học không gian. Ví dụ 2: Trong hình học phẳng ta có bài toán sau: “Cho tam giác ABC có O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, G, H thẳng hàng. Ta có bài toán tương tự trong không gian “Cho tứ diện trực tâm ABCD có O, G, H lần lượt là tâm hình cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng.” Người ta cũng thường xem những trường hợp đặc biệt của cùng một vấn đề là tương tự nhau, chẳng hạn tam giác và tứ giác là tương tự nhau. Ví dụ 3: A có các dấu hiệu a, b, c, d B có các dấu hiệu a, b, c  Kết luận B cũng có dấu hiệu d. Suy luận tương tự có ứng dụng rất nhiều trong việc tìm tòi và sáng tạo toán học, tuy nhiên cần tránh dập khuôn máy móc. + Quy nạp hoàn toàn: Khái niệm: là một mệnh đề tổng quát được chứng minh theo từng trường hợp của một số hữu hạn các trường hợp có thể có. Ví dụ 1: Chúng ta xác lập rằng: 13 “Mỗi số chẵn n trong khoảng 4;100đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố”. Muốn vậy chúng ta phân tích: 4 = 2+2 6 = 3+3 8 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5 ...... ...... 98 = 93+5 100 = 97+3 Sau khi thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức này chứng tỏ rằng, thực tế mỗi số chẵn trong khoảng xét được biểu diễn duới dạng tổng của 2 số nguyên tố. 1.6. Ứng dụng của phép suy luận quy nạp 1.6.1 Ứng dụng suy luận quy nạp để tiếp cận lời giải bài toán Khi giải một bài toán, một phương pháp chung tổng quát để tìm lời giải là đưa bài toán cần phải giải về các bài toán có liên quan, bài toán tương tự đơn giản hơn, đã biết cách giải. Sau khi giải xong bài toán có liên quan này, ta có thể vận dụng kết quả hoặc phương pháp giải của nó để tìm được lời giải của bài toán đặt ra ban đầu. Các phép suy đoán như đặc biệt hoá, tương tự, khái quát hoá... có tác dụng tích cực trong mặt này. Bài tập ví dụ: » . Gọi Ví dụ 1: Cho đường tròn (O), dây BC, M chuyển động trên cung nhỏ BC N là trung điểm của BM, qua N kẻ NP vuông góc với CM. Chứng minh rằng: NP luôn đi qua điểm cố định. (Hình 1.1) 14 d1 D I O d K C C h P M d2 o đ Hình 1.1 ư ờ Dự đoán: n M ≡ B: ta có nếu M ≡ B và MB g trùng với BC. Vậy đường thẳng NP trùng với đường thẳng qua B vuôngtrgóc với BC, tức là đường NP trùng với ò đường BD. Ta có điểm cố định I thuộc đường BD. n M ≡ C: Ta có N ≡ K trung điểm ( BC và đường MC suy biến về đường Ct là tiếp tuyến của đường tròn tại C.O ), Vậy đường NP trùng với đường thẳng qua K vuông góc với Ct (tức là d NP trùng với đường thẳng qua K và song â song với OC). y thẳng qua K và song song với OC. Ta có điểm cố định I thuộc đường Do đó dự đoán điểm cố định IBlà giao của BD và đường thẳng qua K và C, song song với OC. Từ đây ta dễ dàngMchứng minh được I là trung điểm BD. c h u y ể n đ ộ n g tr ê 15 n c B N Chứng minh: » , M  C và B, gọi N là trung điểm của Lấy M bất kỳ trên cung nhỏ BC dây MB, hạ NP  MC. Chứng minh đường thẳng NP luôn đi qua điểm I. (Dễ dàng chứng minh được nhờ định lý đường trung bình của một tam giác) Ví dụ 2: Cho (O) và điểm A thuộc (O) cố định. Dây BC có độ dài a không đổi thuộc đường tròn. Gọi M là trung điểm BC. H là trực tâm ∆ ABC. Chứng minh HM luôn đi qua cố định. (Hình 1.2) Giải: A O H C1 B B1 C M D Hình 1.2 Dự đoán: BC ở vị trí đối xứng nhau qua AO: ∆ ABC cân tại A. Trung điểm M của BC thuộc AO. Trực tâm H AO. HM ≡ AO Điểm cố định AO. (1) B ≡ A: ∆ABC suy biến thành đoạn AC. Vậy trung điểm BC là trung điểm AC (không tồn tại). Trường hợp này không xảy ra. C ≡ A: tương tự Gọi kéo AO cắt (O) tại D. 16 C ≡ D : D là điểm đối xứng của A qua O. ∆ ABC ≡ ∆ ABD ∆ ABD vuông tại B H ≡ B. M là trung điểm BD HM ≡ DB Điểm cố định thuộc BD. (2) Từ (1) và (2), BD giao AO tại D. Chứng minh : HM qua D +) HC // BD (do cùng vuông góc với AB) BH // DC (do cùng vuông góc với AC) Ta có tứ giác BHCD là hình bình hành (dhnb) HD đi qua trung điểm M của BC (t/c hbh) (Điều phải chứng minh) 1.6.2 Ứng dụng suy luận quy nạp trong dự đoán kết quả bài toán Toán học là một khoa học suy diễn, được trình bày chặt chẽ theo phương pháp tiên đề. Trong đó, mọi khái niệm được định nghĩa và mọi mệnh đề Toán học được chứng minh đều dựa vào các khái niệm và mệnh đề đúng đã biết trước đó. Nhưng trong Toán học, cũng như các khoa học khác cần có những thực nghiệm và sự nghiên cứu để dự đoán kết quả, dự đoán qui luật trước khi chứng minh chúng bằng suy luận hợp logic. Khi giải bài toán, đối với dạng toán tìm kiếm như toán hình tìm quỹ tích, tìm điểm cố định, tìm một hình có tính chất nào đó,... thì khó khăn đầu tiên, nhiều khi là khó khăn chủ yếu, đó là dự đoán được hình cần tìm, dự đoán được kết quả cần chứng minh. Trong trường hợp này ta phải biết sử dụng các phép suy đoán vào việc dự đoán căn cứ vào các dữ liệu đề bài cho sẵn (có thể là cố định hoặc không, các vị trí đặc biệt) bằng được kết quả của bài toán. 17 Phương pháp dự đoán kết quả bài toán bằng các phép suy đoán như sau: - Xét một vài trường hợp đặc biệt của bài toán. - So sánh các trường hợp đặc biệt để tìm thấy sự tương tự của các trường hợp đặc biệt đó. - Phân tích sự tương tự trong các trường hợp đặc biệt và tổng quát hoá để đề ra dự đoán. - Nếu thấy cần thiết thì lại đặc biệt hoá để kiểm tra lại dự đoán đó. Mặt khác, việc dự đoán kết quả bài toán còn ý nghĩa tích cực trong quá trình giải toán. Khi người ta đã dự đoán được kết quả của bài toán, từ đó sẽ tạo động lực thúc đẩy quyết tâm và khát vọng giải được bài toán đó và những bài toán tiếp theo. Ví dụ 3: Dự đoán kết quả và cho lời giải bài toán sau: “Cho ABC vuông cân tại A và điểm M chạy trên cạnh BC. Từ điểm M ta kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB và AC. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định.” Giải: (Hình 1.3) A E d F M B C E' d1 Dự đoán d2 F’ Hình 1.3 D - M  B: Ta có E  B, F  A . Vậy đường EF trùng với AB và đường thẳng d trùng với đường thẳng d1 vuông góc với AB tại B. - M  C: Ta có F  C, E  A . Vậy đường EF trùng với AC và đường thẳng d trùng với đường thẳng d2 vuông góc với AC tại C. 18