Mô tả:
Nguyễn Tuấn Anh
Tuyển tập các đề thi đại học
2002-2012
theo chủ đề
Trường THPT Sơn Tây
www.MATHVN.com
Mục lục
1
2
3
4
Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
1.1 Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . . . .
1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ
1.1.2 Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . .
1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit .
1.2 Hệ Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số . . . . .
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bất đẳng thức
2.1 Bất đẳng thức . . . . . . . . . .
2.2 Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất
2.3 Nhận dạng tam giác . . . . . . .
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình học giải tích trong mặt phẳng
3.1 Đường thẳng . . . . . . . . . .
3.2 Đường tròn . . . . . . . . . . .
3.3 Cônic . . . . . . . . . . . . . .
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
4
8
9
12
13
.
.
.
.
17
17
18
20
20
.
.
.
.
22
22
25
26
27
Tổ hợp và số phức
30
4.1 Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com
4.2 Công thức tổ hợp . . . . . . .
4.3 Đẳng thức tổ hợp khi khai triển
4.4 Hệ số trong khai triển nhị thức
4.5 Số phức . . . . . . . . . . . .
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
7
Khảo sát hàm số
5.1 Tiếp tuyến . . . .
5.2 Cực trị . . . . . .
5.3 Tương giao đồ thị
5.4 Bài toán khác . .
Đáp số . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Hình học giải tích trong không gian
6.1 Đường thẳng và mặt phẳng . . . . . .
6.2 Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 31
. 31
. 32
. 33
. 34
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36
36
38
40
41
42
.
.
.
.
44
44
50
51
54
.
.
.
.
Tích phân và ứng dụng
7.1 Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau: . . .
7.3 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng (H) khi quay
quanh Ox. Biết (H) được giới hạn bởi các đường sau: . . . . . .
Đáp Số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
57
. 57
. 59
. 59
. 60
www.MATHVN.com
Chương 1
Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ
BPT
1.1
Phương trình và bất phương trình . . . . . . . . .
1.1.1 Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ
1.1.2 Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . .
1.1.3 Phương trình,bất phương trình mũ và logarit .
1.2 Hệ Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số . . .
Đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
1.1.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Phương trình và bất phương trình
Phương trình, bất phương trình hữu tỉ và vô tỉ
Bài 1.1 (B-12). Giải bất phương trình
√
√
x + 1 + x2 − 4x + 1 ≥ 3 x.
Bài 1.2 (B-11). Giải phương trình sau:
√
√
√
3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x (x ∈ R)
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
8
9
12
13
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
www.MATHVN.com 4
Bài 1.3 (D-02). Giải bất phương trình sau:
√
(x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 ≥ 0.
Bài 1.4 (D-05). Giải phương trình sau:
q
√
√
2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.
Bài 1.5 (D-06). Giải phương trình sau:
√
2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0. (x ∈ R)
Bài 1.6 (B-10). Giải phương trình sau:
√
√
3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0.
Bài 1.7 (A-04). Giải bất phương trình sau:
p
2(x2 − 16) √
7−x
√
+ x−3> √
.
x−3
x−3
Bài 1.8 (A-05). Giải bất phương trình sau:
√
√
√
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4.
Bài 1.9 (A-09). Giải phương trình sau:
√
√
2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0.
Bài 1.10 (A-10). Giải bất phương trình sau:
√
x− x
p
≥ 1.
1 − 2(x2 − x + 1)
1.1.2
Phương trình lượng giác
Bài 1.11 (D-12). Giải phương trình sin 3x + cos 3x˘ sin x + cos x =
Bài 1.12 (B-12). Giải phương trình
√
√
2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
√
2 cos 2x
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
www.MATHVN.com 5
Bài 1.13 (A-12). Giải phương trình sau:
√
3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1
Bài 1.14 (D-11). Giải phương trình sau:
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
√
= 0.
tan x + 3
Bài 1.15 (B-11). Giải phương trình sau:
sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x
Bài 1.16 (A-11). Giải phương trình
1 + sin 2x + cos 2x √
= 2 sin x sin 2x.
1 + cot2 x
Bài 1.17 (D-02). Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng của phương trình:
cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0.
Bài 1.18 (D-03). Giải phương trình sau:
x π
x
sin2 ( − ) tan2 x − cos2 = 0.
2
4
2
Bài 1.19 (D-04). Giải phương trình sau:
(2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.
Bài 1.20 (D-05). Giải phương trình sau:
cos4 x + sin4 x + cos (x −
π
π
3
) sin (3x − ) − = 0.
4
4
2
Bài 1.21 (D-06). Giải phương trình sau:
cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
Bài 1.22 (D-07). Giải phương trình sau:
(sin
x
x 2 √
+ cos ) + 3 cos x = 2.
2
2
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
www.MATHVN.com 6
Bài 1.23 (D-08). Giải phương trình sau:
2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
Bài 1.24 (D-09). Giải phương trình sau:
√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.
Bài 1.25 (D-10). Giải phương trình sau:
sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
Bài 1.26 (B-02). Giải phương trình sau:
sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x.
Bài 1.27 (B-03). Giải phương trình sau:
cot x − tan x + 4 sin 2x =
2
.
sin 2x
Bài 1.28 (B-04). Giải phương trình sau:
5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x.
Bài 1.29 (B-05). Giải phương trình sau:
1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
Bài 1.30 (B-06). Giải phương trình sau:
x
cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4.
2
Bài 1.31 (B-07). Giải phương trình sau:
2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.
Bài 1.32 (B-08). Giải phương trình sau:
√
√
sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x.
Bài 1.33 (B-09). Giải phương trình sau:
√
sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x).
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
www.MATHVN.com 7
Bài 1.34 (B-10). Giải phương trình sau:
(sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.
Bài 1.35 (A-02). Tìm ngiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình:
cos 3x + sin 3x
5 sin x +
= cos 2x + 3.
1 + 2 sin 2x
Bài 1.36 (A-03). Giải phương trình sau:
cot x − 1 =
cos 2x
1
+ sin2 x − sin 2x.
1 + tan x
2
Bài 1.37 (A-05). Giải phương trình sau:
cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0.
Bài 1.38 (A-06). Giải phương trình sau:
2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x
√
= 0.
2 − 2 sin x
Bài 1.39 (A-07). Giải phương trình sau:
(1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x.
Bài 1.40 (A-08). Giải phương trình sau:
1
+
sin x
1
3π
)
sin (x −
2
= 4 sin (
7π
− x).
4
Bài 1.41 (A-09). Giải phương trình sau:
√
(1 − 2 sin x) cos x
= 3.
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)
Bài 1.42 (A-10). Giải phương trình sau:
(1 + sin x + cos 2x) sin (x +
1 + tan x
π
)
4 = √1 cos x.
2
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com 8
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
1.1.3
Phương trình,bất phương trình mũ và logarit
Bài 1.43 (D-11). Giải phương trình sau:
√
√
log2 (8 − x2 ) + log 1 ( 1 + x + 1 − x) − 2 = 0 (x ∈ R)
2
Bài 1.44 (D-03). Giải phương trình sau:
2 −x
2x
2
− 22+x−x = 3.
Bài 1.45 (D-06). Giải phương trình sau:
2x
2 +x
− 4.2x
2 −x
− 22x + 4 = 0.
Bài 1.46 (D-07). Giải phương trình sau:
log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2 (
1
) = 0.
4.2x − 3
Bài 1.47 (D-08). Giải bất phương trình sau:
log 1
2
x2 − 3x + 2
≥ 0.
x
Bài 1.48 (D-10). Giải phương trình sau:
√
42x+
x+2
3
√
+ 2x = 42+
x+2
3 +4x−4
+ 2x
(x ∈ R)
Bài 1.49 (B-02). Giải bất phương trình sau:
logx (log3 (9x − 72)) ≤ 1.
Bài 1.50 (B-05). Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có:
(
12 x
15 x
20 x
) + ( ) + ( ) ≥ 3x + 4x + 5x .
5
4
3
Khi nào đẳng thức sảy ra?
Bài 1.51 (B-06). Giải bất phương trình sau:
log5 (4x + 144) − 4 log2 5 < 1 + log5 (2x−2 + 1).
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
www.MATHVN.com 9
Bài 1.52 (B-07). Giải phương trình sau:
√
√
√
( 2 − 1)x + ( 2 + 1)x − 2 2 = 0.
Bài 1.53 (B-08). Giải bất phương trình sau:
x2 + x
log0,7 (log6 (
)) < 0.
x+4
Bài 1.54 (A-06). Giải phương trình sau:
3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.
Bài 1.55 (A-07). Giải bất phương trình sau:
2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2.
3
Bài 1.56 (A-08). Giải phương trình sau:
log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)2 = 4.
1.2
Hệ Phương trình
Bài 1.57 (D-12). Giải hệ phương trình
xy + x − 2 = 0
;
2x3 − x2 y + x2 + y 2 − 2xy − y = 0
(x; y ∈ R)
Bài 1.58 (A-12). Giải hệ phương trình
( 3
x − 3x2 − 9x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9y
1
(x, y ∈ R).
x2 + y 2 − x + y =
2
Bài 1.59 (A-11). Giải hệ phương trình:
2
5x y − 4xy 2 + 3y 3 − 2(x + y) = 0
xy(x2 + y 2 ) + 2 = (x + y)2
(x, y ∈ R)
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
www.MATHVN.com 10
Bài 1.60 (D-02). Giải hệ phương trình sau:
23x = 5y 2 − 4y
x
x+1
4 + 2
= y.
2x + 2
Bài 1.61 (D-08). Giải hệ phương trình sau:
xy√+ x + y√= x2 − 2y 2
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
Bài 1.62 (D-09). Giải hệ phương trình sau:
(
x(x + y + 1) − 3 = 0
5
(x + y)2 − 2 + 1 = 0
x
(x, y ∈ R).
(x, y ∈ R).
Bài 1.63 (D-10). Giải hệ phương trình sau:
2
x − 4x + y + 2 = 0
2 log2 (x − 2) − log√2 y = 0
(x, y ∈ R).
Bài 1.64 (B-02). Giải hệ phương trình sau:
√
√
3
x−y =
√ x−y
x + y = x + y + 2.
Bài 1.65 (B-03). Giải hệ phương trình sau:
y2 + 2
3y
=
x2
x2 + 2
3x =
.
y2
Bài 1.66 (B-05). Giải hệ phương trình sau:
√
√
x−1+ 2−y =1
3 log9 (9x2 ) − log3 y 3 = 3.
Bài 1.67 (B-08). Giải hệ phương trình sau:
4
x + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
x2 + 2xy = 6x + 6
(x, y ∈ R).
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com 11
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
Bài 1.68 (B-09). Giải hệ phương trình sau:
xy + x + 1 = 7y
x2 y 2 + xy + 1 = 13y 2
(x, y ∈ R).
Bài 1.69 (B-10). Giải hệ phương trình sau:
log2 (3y − 1) = x
4x + 2x = 3y 2 .
Bài 1.70 (A-03). Giải hệ phương trình sau:
1
1
x− =y−
x
y
2y = x3 + 1.
Bài 1.71 (A-04). Giải hệ phương trình sau:
1
log 1 (y − x) − log4 = 1
4
y
x2 + y 2 = 25.
Bài 1.72 (A-06). Giải hệ phương trình sau:
√
x + y − xy = 3
√
√
x + 1 + y + 1 = 4.
Bài 1.73 (A-08). Giải hệ phương trình sau:
x2 + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5
4
5
x4 + y 2 + xy(1 + 2x) = − .
4
Bài 1.74 (A-09). Giải hệ phương trình sau:
log2 (x2 + y 2 ) = 1 + log2 (xy)
2
2
3x −xy+y = 81.
Bài 1.75 (A-10). Giải hệ phương trình sau:
√
(4x2 + 1)x +√(y − 3) 5 − 2y = 0
4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
1.3
www.MATHVN.com 12
Phương pháp hàm số, bài toán chứa tham số
Bài 1.76 (D-11). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
3
2x − (y + 2)x2 + xy = m
(x, y ∈ R)
x2 + x − y = 1 − 2m
Bài 1.77 (D-04). Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
√
√
x+ y =1
√
√
x x + y y = 1 − 3m.
Bài 1.78 (D-04). Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:
x5 − x2 − 2x − 1 = 0.
Bài 1.79 (D-06). Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm
duy nhất:
x
e − ey = ln (1 + x) − ln (1 + y)
y − x = a.
Bài 1.80 (D-07). Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm thực:
1
1
x+ +y+ =5
x
y
1
1
3
3
x +
+
y
+
= 15m − 10.
x3
y3
Bài 1.81 (B-04). Xác định m để phương trình sau có nghiệm
√
√
√
√
√
m
1 + x2 − 1 − x2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .
Bài 1.82 (B-06). Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
√
x2 + mx + 2 = 2x + 1.
Bài 1.83 (B-07). Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương
trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
p
x2 + 2x − 8 = m(x − 2).
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
Bài 1.84 (A-02). Cho phương trình:
q
2
log3 x + log23 x + 1 − 2m − 1 = 0
www.MATHVN.com 13
(m là tham số).
1. Giải phương trình khi m = 2.
√
2. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3 ].
Bài 1.85 (A-07). Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
√
√
√
4
3 x − 1 + m x + 1 = 2 x2 − 1.
Bài 1.86 (A-08). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai
nghiệm thực phân biệt:
√
√
√
√
4
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ R).
Đáp số
1.1
0≤x≤
x≥4
1.2 x =
1
4
1.9 x = −2
√
6
5
x ≤ − 12
1.3 x = 2
x≥3
1.4 x = 3
1.5 x = 1 ∨ x = 2 −
√
2
1.10 x = 3−2 5
π
x = − 12
+ k2π
1.11
x = 7π
+
k2π
12
x = ± 2π
+ k2π
3
1.12
x = k2π
x = π2 + kπ
1.13 x = k2π
x = 2π
+ k2π
3
1.14 x =
1.6 x = 5
√
1.7 x > 10 − 34
1.8 2 ≤ x < 10
π
3
+ k2π
1.15 cos x = −1; cos x =
x = π2 + kπ
1.16
x = π4 + k2π
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
1
2
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
www.MATHVN.com 14
π
5π
7π
x = 12
+ kπ
1.17 x = π2 ; x = 3π
;
x
=
;
x
=
2
2
2
(k ∈ Z)
1.30
+ kπ
x = 5π
12
"
x = π + k2π
π
1.31 x = π8 + k π4
1.18
(k ∈ Z)
x = − + kπ
π
x = 18
+ k 2π
4
3
5π
x = 18 + k 2π
3
x = ± π3 + k2π
1.19
(k ∈ Z)
x = − π4 + kπ
x = π4 + k π2
1.32
(k ∈ Z)
x = − π3 + kπ
π
1.20 x = + kπ (k ∈ Z)
4
x = − π6 + k2π
1.33
(k ∈ Z)
π
"
+ k 2π
x = 42
7
x = kπ
2π
(k ∈ Z)
1.21
x=±
+ k2π
1.34 x = π4 + k π2 (k ∈ Z)
3
x = π3
x = π2 + k2π
1.35
(k
∈
Z)
1.22
x = 5π
x = − π6 + k2π
3
1.23
1.24
1.25
1.26
x = ± 2π
+ k2π
3
x = π4 + kπ
π
x = 18
+ k π3
π
x = − 6 + k π2
x=
x=
π
+ k2π
6
5π
+ k2π
6
x=
x=
kπ
9
kπ
2
1.28
1.29
x=
x=
x=
x=
− π4 + kπ
± 2π
+ k2π
3
+ kπ
1.38 x =
(k ∈ Z)
1.39 x = − π4 + kπ
x = π2 + k2π
x = k2π
5π
4
(k ∈ Z)
(k ∈ Z)
(k ∈ Z)
(k ∈ Z)
π
+ k2π
6
5π
+ k2π
6
π
4
1.37 x = k π2
(k ∈ Z)
1.27 x = ± π3 + kπ
(k ∈ Z)
1.36 x =
+ k2π
(k ∈ Z)
1.40 x = − π4 + kπ
x = − π8 + kπ
x = 5π
+ kπ
8
π
1.41 x = − 18
+ k 2π
3
(k ∈ Z)
1.42
(k ∈ Z)
(k ∈ Z)
x = − π6 + k2π
x = 7π
+ k2π
6
1.43 x = 0
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
(k ∈ Z)
Chương 1.Phương trình-Bất PT-Hệ PT-Hệ BPT
www.MATHVN.com 15
(
(
x = −1
x
=
0
x=2
1.44
1.60
∨
x=2
y=1
y=4
1.45 x = 0 ∨ x = 1
1.61 (x; y) = (5; 2)
1.46 x = log2 3
3
1.62 (x; y) = (1; 1); (2; − )
2
1.47 S = [2 −
√
2; 1) ∪ (2; 2 +
√
2]
1.63 (x; y) = (3; 1)
1.48 x = 1 ∨ x = 2
1.64 (x; y) = (1; 1); ( 32 ; 12 )
1.49 log9 73 < x ≤ 2
1.65 x = y = 1
1.66 (x; y) = (1; 1); (2; 2)
1.50 x = 0
)
1.67 (x; y) = (−4; 17
4
1.51 2 < x < 4
1.68 (x; y) = (1; 31 ); (3; 1)
1.52 x = 1 ∨ x = −1
1.69 (x; y) = (−1; 12 )
1.53 S = (−4; −3) ∪ (8; +∞)
1.54 x = 1
1.55
3
4
1.72 (x; y) = (3; 3)
q
q
1.73 (x; y) = ( 3 54 ; − 3 25
) = (1; − 23 )
16
5
4
(x; y)√= (1; 1)
√
( −1+2 √5 ; 5)
1.57
√
( −1−2 5 ; − 5)
1.58 (x; y) =
√
5 −1+ 5
; 2 )
1.71 (x; y) = (3; 4)
0. Chứng minh rằng :
a
1
b
2 + b .
2
1
2 + a
2
a
b
≤
Bài 2.5 (D-05). Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng
p
p
p
√
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥ 3 3.
xy
yz
zx
Khi nào đẳng thức xảy ra?
2.2
Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất
Bài 2.6 (D-12). Cho các số thực x, y thỏa mãn (x˘4)2 + (y˘4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y 3 + 3(xy˘1)(x + y˘2).
Bài 2.7 (B-12). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và
x2 + y 2 + z 2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = x5 + y 5 + z 5 .
Bài 2.8 (A-12). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
p
P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y 2 + 6z 2
Bài 2.9 (B-11). Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn
2
2(a2 +
b3 ) + 3ab
= (a 2+ b)(ab
+ 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a
b
a
b2
P= 4 3 + 3 − 9 2 + 2 .
b
a
b
a
Bài 2.10 (A-11). Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x
y
z
+
+
2x + 3y y + z z + x
.
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.MATHVN.com 19
Chương 2.Bất đẳng thức
Bài 2.11 (D-11). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =
2x2 + 3x + 3
trên đoạn [0; 2].
x+1
Bài 2.12 (A-07). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện
xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x2 (y + z)
y 2 (z + x)
z 2 (x + y)
√ + √
√ + √
P = √
√ .
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
Bài 2.13 (A-06). Cho hai số thực x 6= 0, y 6= 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
(x + y)xy = x2 + y 2 − xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A=
1
1
+ 3.
3
x
y
Bài 2.14 (B-10). Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
M = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2 + b2 + c2 .
Bài 2.15 (B-09). Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãm (x + y)3 + 4xy ≥ 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 3(x4 + y 4 + x2 y 2 ) − 2(x2 + y 2 ) + 1.
Bài 2.16 (B-08). Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y 2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
2(x2 + 6xy)
.
1 + 2xy + 2y 2
Bài 2.17 (B-07). Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
x
1
y
1
z
1
P =x
+
+y
+
+z
+
.
2 yz
2 zx
2 xy
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
- Xem thêm -
.PDF 
62 
237 
136 
