Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức http://chukienthuc.com
H×nh l¨ng trô:
1. Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A’B’C’ c¹nh ®¸y a, gãc cña AB’ víi mp
(BCC’B’) b»ng .
3a 2
Chøng minh Sxq cña l¨ng trô b»ng
2 sin
sin 3
.
sin
2. Cho l¨ng trô ®øng OAB.O’A’B’ víi AOB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i O cã BA =
a, mÆt bªn ABB’A’ lµ h×nh vu«ng.
a) TÝnh Sxq vµ V cña l¨ng trô.
b) Gäi I lµ trung ®iÓm AB, lµ mÆt ph¼ng qua I, vu«ng gãc víi AB’.
X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña víi l¨ng trô vµ tÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn
nµy.
c) TÝnh tØ sè thÓ tÝch chia l¨ng trô.
3. Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A’B’C’ cã c¹nh AB = a, AA’ = h. Gäi I lµ
trung ®iÓm cña AB, J lµ h×nh chiÕu cña I trªn AC.
a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña l¨ng trô voÐi mp (IJC’).
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn nµy.
4. Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A’B’C’ cã c¹nh ®¸y vµ c¹nh bªn ®Òu b»ng a.
Gäi M, N, E lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CC’, C’A’.
a) Dùng thiÕt diÖn cña mp (MNE) víi l¨ng trô. Chøng minh c¸c mp
(MNE), (AA’B’B) vu«ng gãc víi nhau.
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
5. Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A’B’C’ c¹nh ®¸y a. b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i
tiÕp 1 mÆt bªn lµ a.
a) TÝnh V, Sxq cña l¨ng trô.
b) X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp l¨ng trô.
6. ChiÒu cao cña 1 l¨ng trô tø gi¸c ®Òu lµ h. Tõ 1 ®Ønh ta vÏ 2 ®êng chÐo cña 2
mÆt bªn kÒ nhau, gãc cña 2 ®êng chÐo Êy b»ng .
a) Chøng minh gãc BCA = gãc B’CB vµ tÝnh V l¨ng trô.
b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn t¹o nªn do mp (ACB’) c¾t l¨ng trô.
L¨ng trô xiªn:
7. Cho l¨ng trô xiªn ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. H×nh chiÕu cña
A’ xuèng mp (ABC) lµ t©m O cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC vµ gãc
BAA’ = 450.
a) TÝnh V l¨ng trô.
b) Chøng minh BCC’B’ lµ hcn.
c) TÝnh Sxq cña l¨ng trô.
8. Cho l¨ng trô xiªn ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu ABC cã t©m O. H×nh
chiÕu cña C’ trªn (ABC) lµ O. TÝnh V cña l¨ng trô biÕt r»ng k/c tõ O ®Õn CC’ lµ
d vµ sè ®o nhÞ diÖn c¹nh CC’ lµ 2 .
9. Mét l¨ng trô xiªn ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a, c¹nh bªn
BB’ = a, h×nh chiÕu cña B’ xuèng ®¸y ABC trïng víi trung ®iÓm I cña c¹nh AC.
a) TÝnh gãc hîp bëi c¹nh bªn víi ®¸y l¨ng trô. TÝnh V l¨ng trô.
b) Chøng minh mÆt bªn AA’C’C lµ hcn.
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức http://chukienthuc.com
10. Cho l¨ng trô xiªn ABC.A’B’C’ cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu ABC cã t©m O. H×nh
chiÕu cña A’ trªn (ABC) lµ O. BiÕt k/c tõ O ®Õn mÆt bªn ABB’A’ lµ d, gãc nhÞ
diÖn c¹nh AA’ lµ 2 .
Chøng minh V l¨ng trô ®ã b»ng
27d 3
4 cos 2 3 4 cos 2
H×nh hép, h×nh hép ch÷ nhËt, h×nh lËp ph¬ng:
11. Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ cã 6 mÆt lµ c¸c h×nh thoi c¹nh a, h×nh chiÕu
vu«ng gãc H cña A’ trªn mp (ABCD) n»m trong h×nh thoi ABCD, c¸c c¹nh xuÊt
ph¸t tõ A cña h×nh hép ®«i mét t¹o víi nhau gãc
a) Chøng minh H n»m trªn ®êng chÐo AC.
b) TÝnh diÖn tÝch c¸c mÆt chÐo ACC’A’ vµ BDD’B’.
c) TÝnh V cña h×nh hép ABCD.A’B’C’D’
12. Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’
a) TÝnh gãc cña mp (A’BD) vµ mp (ABCD)
b) Chøng minh AC’ (A’BD)
13. Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’. LÊy ®iÓm M trªn c¹nh BC, mp
(MB’D) c¾t A’D’ t¹i N.
a) Chøng minh NB’MD lµ hbh.
b) Chøng minh MN C’D
c) Gäi H lµ h/c cña A trªn MN. Khi M ch¹y trªn ®o¹n BC, t×m tËp hîp
®iÓm H.
14. Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã ®êng chÐo lµ d. BiÕt CA’ hîp víi
c¸c mp (ABCD), (ABB’A’) c¸c gãc a, b. Chøng minh V h×nh hép lµ:
V = d 3 sin sin cos( ) cos( )
15. Trong c¸c h×nh hép cn cã cïng V, h×nh nµo cã diÖn tÝch toµn phÇn min.
16. Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’. Chøng minh: (BA’C’) // (ACD’) vµ chia ®êng chÐo B’D thµnh 3 ®o¹n b»ng nhau.
17. Chøng minh r»ng trong mét h×nh hép, tæng b×nh ph¬ng c¸c ®êng chÐo b»ng
tæng b×nh ph¬ng c¸c c¹nh.
18. Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ cã ®¸y lµ h×nh thoi c¹nh a, gãc A = 600.
Ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ B’ xuèng mp (ABCD) trïng víi giao ®iÓm c¸c ®êng
chÐo cña ®¸y. Cho BB’ = a.
a) TÝnh gãc cña c¹nh bªn vµ ®¸y
b) TÝnh V vµ Sxq cña h×nh hép.
19. Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. Gäi M lµ ®iÓm trªn c¹nh A’D’
vµ A’M = x (0 < x < a). Mp (MAC) c¾t C’D’ t¹i N.
Tø gi¸c MNCA lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ®ã theo a vµ x.
20. Trong tÊt c¶ c¸c h×nh hép cn cã cïng diÖn tÝch toµn phÇn, h×nh nµo cã V
max?
21. Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a.
a) Dùng vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña AA’ vµ BD’
b) §iÓm M di ®éng trªn c¹nh AA’. Mp (MBD’) c¾t CC’ t¹i N. Tø gi¸c
BMD’N lµ h×nh g×? X¸c ®Þnh ®iÓm M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c BMD’N min.
TÝnh Smin ®ã.
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức http://chukienthuc.com
22. Cho h×nh hép cn ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh AB = a, AD = h. M, N lÇn lît lµ 2
®iÓm trªn 2 c¹nh AB. BC. Mp (MDD’) c¾t A’B’ t¹i M’, mp (NDD’) c¾t B”C’ t¹i
N’ vµ c¸c mp ®ã chia h×nh hép thµnh 3 phÇn cã V b»ng nhau.
a) TÝnh AM, CN theo a, b.
b) TÝnh tØ sè V 2 khèi ®a diÖn DMND’M’N’ vµ BMNB’M’N’.
c) T×m hÖ thøc gi÷a a vµ b ®Ó c¸c mp (DMM’) vµ (NMM’) vu«ng gãc víi
nhau.
23. Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC.A’B’C’ cã c¹nh ®¸y a, chiÒu cao h. Mét mp a
di ®éng qua A c¾t c¸c c¹nh bªn BB’, CC’ lÇn lît t¹i K, L sao cho tam gi¸c AKL
vu«ng t¹i K. T×m ®k mµ a, h ph¶i tháa ®Ó bµi to¸n cã nghÜa. Khi ®ã t×m max, min
cña diÖn tÝch thiÕt diÖn AKL.
24. Cho l¨ng trô ®øng ABCD.A’B’C’D’ cã ®¸y lµ h×nh thang c©n, AB = 2a, CD =
a vµ gãc BAD = 600. Trªn c¸c c¹nh AA’ vµ BB’ lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M, N sao
cho AM = 2x, BN = 2y. Trªn c¸c c¹nh DD’ vµ CC’ lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao
cho DP = x, CQ = y.
a) Chøng minh MP c¾t NQ t¹i I trªn mp (ABCD).
b) MNPQ lµ h×nh g×? TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c theo a, x, y.
c) TÝnh y theo a vµ x ®Ó MNPQ lµ h×nh thang vu«ng t¹i M vµ P. Trong
T.H nµy h·y tÝnh cosin cña gãc gi÷a 2 mp ABCD vµ MNPQ theo a, x.
25. Cho l¨ng trô tø gi¸c ®Òu ABCD.A’B’C’D’ c¹nh ®¸y a, gãc cña 1 ®chÐo víi
®¸y lµ 600.
a) TÝnh V vµ Sxq cña l¨ng trô.
b) Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BB’ vµ DD’. Chøng minh
MN, AC’ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®o¹n vµ MN AC’. Suy ra
h×nh d¹ng cña thiÕt diÖn t¹o bëi mp (C’MN) vµ l¨ng trô. TÝnh diÖn tÝch
thiÕt diÖn.
c) TÝnh gãc cña mp (C’MN) vµ ®¸y.
26. Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’. Gäi O lµ trung ®iÓm cña ®êng chÐo AC’.
T×m vÞ trÝ cña 1 ®iÓm M trong kh«ng gian sao cho tæng c¸c b×nh ph¬ng c¸c k/c tõ
M ®Õn c¸c ®Ønh cña h×nh hép min.
27. Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’ cã:
AB = a, AD = b, AA’ = c vµ BD’ = AC’ = CA’ = a 2 b2 c 2
a) Chøng minh ABC’D’ lµ hcn vµ ABCD. A’B’C’D’ lµ h×nh hép cn.
b) Gäi a, b, c lµ 3 gãc t¹o bëi 1 ®êng chÐo vµ 3 mÆt cïng qua 1 ®Ønh thuéc
1 ®/chÐo. Chøng minh: Sin2a + Sin2b + Sin2c = 1.
28. Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD. A’B’C’D’ cã ®êng chÐo b»ng a.
a) Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña c¸c ®êng th¼ng AC vµ
DC'
b) Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c A’C’D’. Mp (GAC) c¾t h×nh lËp ph¬ng
theo h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch h×nh nµy.
c) §iÓm M di ®éng trªn c¹nh BC. T×m tËp hîp h×nh chiÕu vu«ng gãc cña
A’ trªn DM
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức http://chukienthuc.com
H×nh chãp ®Òu:
29. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã c¹nh bªn lµ a, gãc ë ®¸y cña mÆt bªn
lµ a. Chøng minh V cña h×nh chãp lµ: V =
2 3
a cos 2 sin( 30 0 ) sin( 30 0 )
3
30. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã c¹nh bªn b»ng b hîp víi ®¸y 1 gãc a.
a) TÝnh V h×nh chãp.
b) TÝnh Sxq cña h×nh chãp ®ã.
31. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã gãc cña ®êng cao vµ mÆt bªn lµ a,
4
2
trung ®o¹n cã ®é dµi lµ d. Chøng minh Stp cña h×nh chãp lµ: 8d 2 sin cos 2 ( )
32. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh bªn b»ng l, mÆt bªn hîp víi ®¸y
gãc a
a) TÝnh V cña h×nh chãp
b) Chøng minh r»ng V
4l 3 3
. Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ®¼ng thøc x¶y
27
ra?
33. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a vµ gãc ASB b»ng a.
Gäi O lµ t©m cña mÆt ®¸y.
a) TÝnh Sxq cña h×nh chãp
b) Chøng minh chiÒu cao h×nh chãp b»ng:
a
cot g 2 1
2
c) X¸c ®Þnh gãc a ®Ó O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp.
34. Mét h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã trung ®o¹n d, gãc cña mÆt bªn vµ ®¸y lµ a.
Chøng minh r»ng Stp cña h×nh chãp lµ: 6 3d 2 cos cos 2
2
H×nh chãp cã 1 c¹nh bªn vu«ng gãc ®¸y:
35. Cho h×nh chãp S.ABCD. §¸y ABCD lµ hcn cã c¹nh AB = a, c¹nh bªn SA
vu«ng gãc ®¸y; c¹nh bªn SC hîp ®¸y gãc a vµ hîp víi mÆt bªn 1 gãc b.
a) Chøng minh r»ng SC 2
a2
cos 2 sin 2
b) TÝnh V h×nh chãp S.ABCD
36. Cho h×nh chãp S.ABCD cã 2 mÆt bªn SAB vµ SAD cïng vu«ng gãc víi ®¸y;
SA = a, ABCD lµ h×nh thoi c¹nh a cã gãc A = 1200.
a) Chøng minh 2 tam gi¸c SBC vµ SDC b»ng nhau.
b) TÝnh Sxq cña h×nh chãp S.ABCD
c) TÝnh V h×nh chãp S.ABCD, tõ ®ã suy ra k/c tõ D ®Õn mp (SBC )
37. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ hcn, chiÒu cao SA = h, 2 mÆt bªn
SBC, SCD lÇn lît t¹o víi ®¸y c¸c gãc a, b. TÝnh V h×nh chãp .
38. Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, B lµ ch©n ®êng
cao cña h×nh chãp.
a) CMR 3 mÆt bªn cña h×nh chãp lµ nh÷ng tam gi¸c vu«ng vµ SC2 = SB2 +
BA2 + AC2
b) BiÕt SB = h, gãc ASC = a vµ nhÞ diÖn c¹nh AC lµ b. TÝnh V h×nh chãp
theo h, a, b .
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức http://chukienthuc.com
38. Cho tø diÖn S.ABC víi c¸c mÆt SAB, SBC, SCA vu«ng gãc víi nhau tõng ®«i
mét vµ cã diÖn tÝch t¬ng øng lµ 24a2, 30a2, 40a2. H·y tÝnh V tø diÖn Êy.
H×nh chãp cã mÆt bªn vu«ng gãc ®¸y:
39. Cho h×nh chãp S.ABC cã (SBC) vu«ng gãc ®¸y, 2 mÆt bªn SAB, SAC cïng
hîp ®¸y gãc 450; ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A cã AB = a.
a) Chøng minh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S lªn mÆt ABC lµ trung ®iÓm
cña c¹nh BC.
b) TÝnh V cña h×nh chãp S.ABC
40. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn SAB lµ tam
gi¸c ®Òu vµ vu«ng gãc víi ®¸y.
a) TÝnh V h×nh chãp ®ã.
b) TÝnh gãc hîp bëi c¹nh bªn SC víi mÆt ®¸y cña h×nh chãp.
41. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh cn víi AB = a, BC = b. MÆt bªn SBC
lµ tam gi¸c vu«ng t¹i S vµ vu«ng gãc víi ®¸y. BiÕt gãc SBC = a
a) TÝnh V h×nh chãp
b) TÝnh tæng diÖn tÝch c¸c mÆt bªn SAB, SCD.
H×nh chãp côt:
42. Cho h×nh chãp côt tø gi¸c ®Òu ABCD.A’B’C’D’ cã c¹nh bªn lµ l vµ hîp víi
®¸y gãc a, diÖn tÝch ®¸y lín b»ng 4 lÇn diÖn tÝch ®¸y nhá
a) TÝnh V h×nh chãp côt.
b) TÝnh diÖn tÝch xung quanh h×nh chãp côt ®ã
43. Cho biÕt diÖn tÝch 2 ®¸y cña 1 h×nh chãp côt lµ S1, S2. TÝnh diÖn tÝch cña thiÕt
diÖn trung b×nh (tøc lµ thiÕt diÖn qua trung ®iÓm cña 1 c¹nh bªn vµ // víi ®¸y).
H×nh nãn:
44. TÝnh Stp h×nh nãn cã ®êng sinh lµ l vµ ®êng sinh hîp víi ®¸y gãc a
45. Gäi V, V1, V2 lµ thÓ tÝch c¸c vËt thÓ trßn xoay t¹o ra bëi 1 tam gi¸c vu«ng
khi quay quanh c¹nh huyÒn vµ c¸c c¹nh gãc vu«ng. Chøng minh r»ng:
1
1
1
2 2
2
V
V1 V2
- Xem thêm -
.PDF 
5 
174 
80 
