III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1.
2.
2
2
2
2
2
Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d )
Chứng minh: sinx + cos x £ 2
3.
Cho 3a – 4b = 7.
4.
Cho 2a – 3b = 7.
5.
Cho 3a – 5b = 8.
6.
Cho a + b = 2.
7.
Cho a + b ³ 1
2
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
BĐT Bunhiacopxki
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
2
Chứng minh: 3a + 4b ³ 7.
725
2
2
Chứng minh: 3a + 5b ³
.
47
2464
2
2
.
Chứng minh: 7a + 11b ³
137
4
4
Chứng minh: a + b ³ 2.
1
Chứng minh: a2 + b2 ³
2
a2 + b2
2
a + b 3 a3 + b3
³
2
2
a
b
Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+
³ a+ b
b
a
1
1
2
Chứng minh: Với a ³ b ³ 1:
+
³
2
2
1+ ab
1+ a
1+ b
Cho a + b ³ 0 chứng minh:
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
6.
Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R
7.
Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e)
8.
Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx
9.
a. Chứng minh:
a+ b+ c
³
3
b. Chứng minh:
a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö
³ç
÷
3
3
è
ø
Cho a, b > 0 chứng minh:
3
a3 + b3 æ a + b ö
³ç
÷ (*)
2
è 2 ø
3
3
3
a +b
æ a + bö
2
-ç
÷ ³ 0 Û ( a + b)( a - b) ³ 0 . ĐPCM.
8
2
è 2 ø
a+b
a2 + b2
(«)
£
2
2
÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng.
Chứng minh:
a+b
£
2
2
2
a +b
.
2
a+b
Cho a + b ³ 0 chứng minh:
³
2
3
3
( a + b)3 a3 + b3
3 a +b
Û
£
2
8
2
Û 3 ( b - a ) ( a2 - b2 ) £ 0 Û -3 ( b - a ) ( a + b) £ 0 , ĐPCM.
a
b
Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+
³ a + b («)
b
a
(«) Û a a + b b ³ a b + b a Û ( a - b) a - ( a - b) b ³ 0
Û ( a - b) ( a - b ) ³ 0 Û
10. Chứng minh:
ab + bc + ca
; a,b,c ³ 0
3
2
a2
+ b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc
4
11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b
12. Chứng minh: x2 + y2 + z2 ³ 2xy - 2xz + 2yz
2
5.
a+b
£
2
3
5.
Vậy:
4.
Chứng minh:
4.
( a - b)2
a2 + b2 + 2ab a2 + b2
÷ a + b > 0 , («) Û
£0 Û
³ 0 , đúng.
4
4
2
3.
2.
a3 + b3 æ a + b ö
³ç
÷
2
è 2 ø
Lời giải:
(*) Û
2.
Cho a, b > 0 chứng minh:
3.
3
1.
1.
(
13. Chứng minh: x 4 + y4 + z2 + 1 ³ 2xy(xy 2 - x + z + 1)
1
4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
2
2
2
a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca).
b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
2 2
2 2
2 2
4
4
4
c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0
14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a3 + b3 ³
2
a - b ) ( a + b ) ³ 0 , ĐPCM.
1
1
2
Chứng minh: Với a ³ b ³ 1:
+
³
(«)
2
2
1+ ab
1+ a
1+ b
4
HTTP://KINHHOA.VIOLET.VN
1
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1.
Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a,b,c ³ 0
2.
Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0
3.
Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) với a , b , c ³ 0
3
m
4.
5.
6.
7.
8.
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
1
1
1
1
+ 3
+ 3
£
3
3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
với a , b , c , d ³ 0
a. a + b + c + d ³ 44 abcd
b.
m
bö
æ aö
æ
+
Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2m + 1 , với m Î Z
bø
è
è aø
bc ca ab
Chứng minh:
+
+
³ a + b + c ; a,b,c ³ 0
a
b
c
Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc .
a
b
c
1æ 1 1 1ö
10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2
+ 2
+ 2
£ ç + + ÷
2
2
2
2è a b c ø
a +b
b +c
a +c
11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c .
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ³ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc
1 öæ
1 öæ
1ö
æ
c) ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64
è a øè b øè c ø
1
x+
³3
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( x - y) y
16. Chứng minh:
x2 + 1
b)
x+8
x -1
³ 6 , "x > 1
y2
1
18. Chứng minh:
+
£
, "x , y Î R
4
4
4
1+ 16x
1+ 16y
a
b
c
3
19. Chứng minh:
+
+
³ ;a,b,c>0
b+c a+c a+b 2
2
4
2
2
bc + b
ac + c
29. Cho y =
32.
33.
34.
a2 + 5
a2 + 1
³4
(Côsi 3 số )
ab ; a , b , c > 0
23. Chứng minh: 2 a + 3 b + 4 c ³ 9 abc
x 18
24. Cho y = +
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
2 x
x
2
25. Cho y = +
,x > 1 . Định x để y đạt GTNN.
2 x -1
3x
1
26. Cho y =
+
, x > -1 . Định x để y đạt GTNN.
2 x +1
x
5
1
27. Cho y = +
,x >
. Định x để y đạt GTNN.
3 2x - 1
2
x
5
28. Cho y =
+
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
1- x x
31.
c)
2
(Côsi 4 số)
9
x3 + 1
x2
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
x 2 + 4x + 4
, x > 0.
x
2
Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0.
x
Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN.
5
Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £
. Định x để y đạt GTLN
2
5
Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN
2
5
1
Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £
. Định x để y đạt GTLN
2
2
x
Cho y = 2
. Định x để y đạt GTLN
x +2
30. Tìm GTNN của f(x) =
ab
bc
ca
a+b+ c
+
+
£
; a, b, c > 0
17. Chứng minh:
a+ b b+ c c+ a
2
x2
với a , b , c ³ 0 ,
3
3
9.
³ 2 ,"x Î R
3
22. Chứng minh: a + b + c ³ a
x6 + y9
³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0
4
1
Chứng minh: 2a4 +
³ 3a2 - 1.
1+ a 2
Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1)
,a>0
x2 + 2
a + b + c ³ 3 abc
3
Chứng minh:
a)
3
35.
36.
37.
38. Cho y =
x2
( x 2 + 2 )3
. Định x để y đạt GTLN
3
7.
Chứng minh: 2a4 +
1
1+ a
(«) Û a4 + a4 + a2 + 1+
2
³ 3a2 - 1 («)
1
1+ a
2
Û
³ 4a2 .
8.
1
1+ a
2
³ 44 a4 a4 ( a2 + 1)
Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) («)
1
1+ a
2
1
1+ a 2
Û
= 4a2
÷
6.
,a>0
7.
1995 1995
+ 1+ ... + 1 ³ 1995
a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 114243
a
= 1995a
Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc .
a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c 2 + c2a2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1.
°
a = ( a - 1) + 1 ³ 2 a - 1 , b = ( b - 1) + 1 ³ 2 b - 1
°
ab ³ 2b a - 1 , ab ³ 2a b - 1
Tương tự: y ³ 4
4(
2
x - 1) ( y - 1) ( z - 1) ;
2
( y - 1) ( z - 1)
z³4
4(
1+ b2
a (b - a)
° a = ( a - b) + ( b - c ) + c ³ 33 ( a - b)( b - c ) c
8
b ( a - b)
+
b-a æ a
b ö
³0
1+ ab çè 1+ a2 1+ b2 ÷ø
³0 Û
( b - a ) 2 ( ab - 1)
b - a æ a + ab2 - b - ba2 ö
Û
³
0
³ 0 , ĐPCM.
çç
÷
1+ ab è (1+ a2 )(1+ b2 ) ÷ø
(1+ ab) (1+ a2 )(1+ b2 )
Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0.
Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e)
a2
a2
a2
a2
- ab + b2 +
- ac + c2 +
- ad + d2 +
- ae + e2 ³ 0
4
4
4
4
2
2
8.
2
x - 1) ( y - 1) ( z - 1)
2
2
Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx
Û 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ³ 0
Û
9.
( x - y )2 + ( x - z )2 + ( y - z )2 ³ 0
a. Chứng minh:
÷
a+ b+ c
³
3
ab + bc + ca
; a,b,c ³ 0
3
a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca
2
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ab + bc + ca
æa+ b+ cö
÷ ç
³
÷ =
3
9
3
è
ø
a+ b+ c
³
3
b. Chứng minh:
÷
ab + bc + ca
3
a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö
³ç
÷
3
3
è
ø
2
3 ( a2 + b2 + c 2 ) = a2 + b2 + c2 + 2 ( a2 + b2 + c2 )
³ a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c )
Þ
Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c .
1
1
ab - a2
ab - b2
+
³0
³ 0Û
1+ ab 1+ ab
(1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab)
(1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab)
Û
° ab ³ a b - 1 + b a - 1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
° x = ( x - 1) + 1 = ( x - 1) + x + y + z - 3
= ( x - 1) + ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) ³ 44 ( x - 1)
-
æa
ö
æa
ö
æa
ö
æa
ö
Û ç - b ÷ + ç - c ÷ + ç - d ÷ + ç - e ÷ ³ 0 . ĐPCM
è2
ø
è2
ø
è2
ø
è2
ø
6
a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ³ 6 a6b6 c6 = 6abc
a
b
c
1æ 1 1 1ö
10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2
+ 2
+ 2
£ ç + + ÷
2
2
2
2è a b c ø
a +b
b +c
a +c
a
a
1
b
b
1
c
c
1
£
=
£
=
£
=
°
, 2
, 2
2
2
2
2
2ab 2b
2bc 2c a + c
2ac 2a
a +b
b +c
a
b
c
1æ 1 1 1ö
+
+
£ ç + + ÷
° Vậy: 2
a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2 è a b c ø
°
1
Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R
Û
1994 soá
°
÷
+
2
2
2
Û ( a - 1) + ( b - 1) + ( c - 1) ³ 0 . ĐPCM.
(«) Û a1995 > 1995a - 1995 Û a1995 + 1995 > 1995a
9.
1+ a 2
Û
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a4 , a4 , a2 + 1,
a 4 + a 4 + a 2 + 1+
1
10. Chứng minh:
a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö
³ç
÷
3
3
è
ø
2
a2
+ b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc
4
5
2
2
Û
a2
æa
ö
- a ( b - c ) + b2 + c2 - 2bc ³ 0 Û ç - ( b - c ) ÷ ³ 0 .
4
è2
ø
11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1.
Û 2a2 + 2b2 + 2 - 2ab - 2a - 2b ³ 0
Û a2 - 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + 1 ³ 0
2
2
Þ ( a + b)( b + c ) ( a + c ) ³ 8 a 2b2c2 = 8abc .
2
Û ( a - b) + ( a - 1) + ( b - 1) ³ 0 .
2
2
2.
2
12. Chứng minh: x + y + z ³ 2xy - 2xz + 2yz
Þ a + b + c ³ 33 abc , a2 + b2 + c2 ³ 3 a2b2c2
2
3
Þ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c 2 ) ³ 9 a3b3 c3 = 9abc .
13. Chứng minh: x4 + y4 + z2 + 1 ³ 2x(xy2 - x + z + 1)
Û x4 + y4 + z2 + 1- 2x2 y2 + 2x2 - 2xz - 2x ³ 0
3.
Û ( x2 - y2 ) + ( x - z ) + ( x - 1) ³ 0 .
2
2
3
3
2
1ö
1 1
æ
3
3
Þ a + b = 3ç a - ÷ + ³ .
è
2ø
4 4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
2
2
2
a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca).
2
2
2
2
2
2
÷
ab + bc + ca £ a + b + c Û (a – b) + (a – c) + (b – c)
÷
a > b-c , b > a-c , c > a-b
b.
Þ a2 > b2 - 2bc + c2 , b2 > a2 - 2ac + c2 , c2 > a2 - 2ab + b2
2
2
2
Þ a + b + c < 2(ab + bc + ca).
abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
2
÷
a2 > a2 - ( b - c ) Þ a2 > ( a + c - b)( a + b - c )
÷
÷
°
m
4.
m
5.
2
2
6
m
m
bö
æ aö æ
³ 2 ç 1+ ÷ . ç 1 + ÷
bø è
aø
è
2
6.
³ 2 4m = 2m + 1
bc ca ab
Chứng minh:
+
+
³ a + b + c ; a, b, c > 0
a
b
c
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
Chứng minh:
x6 + y9
³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0 («)
4
3
3
(«) Û x6 + y9 + 64 ³ 12x2 y3 Û ( x2 ) + ( y3 ) + 43 ³ 12x2 y3
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:
( x2 )3 + ( y3 )3 + 43 ³ 3x2y3 4 = 12x2y3 .
7
m
b aö
æ
= 2 ç2+ + ÷
a bø
è
ca ab
a2bc
+
³2
= 2a
b
c
bc
bc ca ab
Þ
+
+
³ a+b+c .
a
b
c
c > c - ( a - b) Þ c > ( b + c - a ) ( a + c - b)
2
m
3
³ 2m + 1 , với m Î Z
bc ca
abc2
bc ba
b2ac
+
³2
= 2c ,
+
³2
= 2b ,
a
b
ab
a
c
ac
2
Þ a2b2c2 > ( a + b - c ) ( a + c - b) ( b + c - a )
Û abc > ( a + b - c )( a + c - b)( b + c - a )
2 2
2 2
2 2
4
4
4
2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0
2 2
2 2
2
4
4
2 2
4
Û 4a b + 2c (b + a ) – a – b – 2a b – c > 0
2 2
2 2
2
2
2 2
4
Û 4a b + 2c (b + a ) – (a + b ) – c > 0
2
2
2
2 2
2
2
2
2
Û (2ab) – [(a + b ) – c ] > 0 Û [c – (a – b) ][(a + b) – c ] > 0
Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
m
bö
æ aö
æ
Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷
bø
è
è aø
bö
æ aö
æ
1+ ÷ + ç 1+ ÷
÷ çè
bø
è aø
2
2
c.
3
÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ 1+ 33 abc + 3 a2b2c2 + abc = (1+ 3 abc )
b2 > b2 - ( a - c ) Þ b2 > ( b + c - a ) ( a + b - c )
2
3
Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) , với a , b , c ³ 0.
÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc.
÷ a + b + c ³ 33 abc , ab + ac + bc ³ 3 a2b2c 2
1
14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a + b ³
4
3
3
2
3
° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b = (1 – a) = 1 – a + a – a
3
Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
3
Û x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz ³ 0 Û (x – y + z) ³ 0.
2
Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a, b, c ³ 0
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
Þ a + b ³ 2 ab , b + c ³ 2 bc , a + c ³ 2 ac
+
°
Dấu “ = ” xảy ra Û
x -1
2
2
=
Û ( x - 1) = 4 Û
2
x -1
éx = 3
ê x = -1(loaïi)
ë
5
Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng
2
3x
1
26. Cho y =
+
, x > -1 . Định x để y đạt GTNN.
2 x +1
3(x + 1)
1
3
+
÷ y=
2
x+1 2
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ³ 16abc.
2
b)
°
3 ( x + 1)
1
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
,
:
2
x+1
3 ( x + 1)
1
3
3 ( x + 1) 1
3
3
+
- ³2
.
- = 62
x +1 2
2
x+1 2
2
Dấu “ = ” xảy ra Û
é
6
-1
êx =
3 ( x + 1)
1
2
2
3
Û
=
Û ( x + 1) = Û ê
ê
2
x +1
3
6
- 1(loaïi )
êx = 3
ë
c)
°
6
3
- 1 thì y đạt GTNN bằng 6 2
3
x
5
1
27. Cho y = +
,x >
. Định x để y đạt GTNN.
3 2x - 1
2
2x - 1
5
1
÷ y=
+
+
6
2x - 1 3
Vậy: Khi x =
2x - 1
5
1
2x - 1 5
1
+
+ ³2
.
+ =
6
2x - 1 3
6 2x - 1 3
Dấu “ = ” xảy ra
2x - 1
5
,
:
6
2x - 1
30 + 1
3
30 + 1
30 + 1
thì y đạt GTNN bằng
2
3
x
5
28. Cho y =
+
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
1- x x
12
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
a)
é
30 + 1
êx =
2x - 1
5
2
2
=
Û ( 2x - 1) = 30 Û ê
Û
ê
6
2x - 1
- 30 + 1
(loaïi )
êx =
ë
2
Vậy: Khi x =
4
1 4 ab2c
°
³
b
b
1 öæ
1 öæ
1ö
æ
÷ ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64
è a øè b øè c ø
1+
1
x+
4
1 4 abc2
³
c
c
³3
( x - y) y
( x - y) y
1
VT = ( x - y ) + y +
³ 33
=3
( x - y) y
( x - y) y
16. Chứng minh:
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
y=
4
1 ö æ a + a + b + c ö 4 a2bc
æ
ç 1+ ÷ = ç
÷³
a
a
è aø è
ø
° 1+
÷
2
2
2
° 4a (1- a ) = (1- a ) ( 4a - 4a2 ) = (1- a ) éë1- (1- 2a ) ùû £ 1- a = b + c
(1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc
(1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ³ 2 bc.2 ac.2 ab = 8abc
1 öæ
1 öæ
1ö
æ
ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64
è a øè b øè c ø
°
y=
2
2
æb+ cö
æb+ cö
æ 1- a ö
ç
÷ ³ bc Û 16abc £ 16a ç
÷ = 16a ç
÷ = 4a (1- a )
è 2 ø
è 2 ø
è 2 ø
°
b)
c.
x2 + 2
2
x +1
x+8
x -1
³ 2 Û x 2 + 2 ³ 2 x 2 + 1 Û x 2 + 1+ 1 ³ 2 x 2 + 1
=
x -1
= x - 1+
( a2 + 1) + 4 ³ 2 4 ( a2 + 1) = 4
17. Chứng minh:
°
x - 1+ 9
9
x -1
³2
a2 + 1 Û
x -1
9
x -1
a2 + 5
a2 + 1
=6
³4
ab
bc
ca
a+b+ c
+
+
£
; a, b, c > 0
a+ b b+ c c+ a
2
Vì : a + b ³ 2 ab
Þ
ab
ab
£
=
a + b 2 ab
ab
bc
bc
,
£
=
2
b + c 2 bc
bc
ac
ac
,
£
=
2
a + c 2 ac
ac
2
°
a + b + c ³ ab + bc + ca , dựa vào: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca .
°
ab
bc
ca
+
+
£
a+ b b+ c c+ a
ab + bc + ac a + b + c
£
2
2
9
18. Chứng minh:
°
°
÷
x2
1+ 16x4
y2
1+ 16y
4
x2
1+ 16x
4
x2
1+ 16x4
=
=
+
x2
1+ ( 4x )
2
y2
1+ ( 4y )
2
y2
1+ 16y
y2
+
4
1+ 16y4
£
£
£
x2
2.4x2
y2
2.4y
2
£
1
, "x , y Î R
4
=
1
8
=
1
8
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a. a + b + c + d ³ 44 abcd
với a , b , c , d ³ 0
÷ a + b ³ 2 ab , c + d ³ 2 cd
(
÷ a + b + cd ³ 2 ( ab + cd ) ³ 2 2
a + b + c ³ 33 abc
b.
÷ a+b+ c+
1
4
Û
a
b
c
3
+
+
³ ;a,b,c>0
b+c a+c a+b 2
Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
1
° a + b + c = (X + Y + Z)
2
Y+Z-X
Z+X-Y
X+Y-Z
,b=
,c=
° a=
2
2
2
ù
a
b
c
1 éæ Y X ö æ Z X ö æ Z Y ö
°
+
+
=
ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ - 3ú
b + c a + c a + b 2 ëêè X Y ø è X Z ø è Y Z ø
û
1
3
³ [ 2 + 2 + 2 - 3] = .
2
2
Cách khác:
a
b
c
æ a
ö æ b
ö æ c
ö
°
+
+
=ç
+ 1÷ + ç
+ 1÷ + ç
+ 1÷ - 3
b+ c a+ c a+ b èb+ c ø èa+ c ø èa+b ø
1
1
1 ö
æ 1
= [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] ç
+
+
÷-3
2
è b+ c a + c a + bø
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
1
[( a + b) + ( b + c ) + ( c + a )] æç 1 + 1 + 1 ö÷ ³ 9 - 3 = 3
°
2
2
è b+ c a + c a + bø 2
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
1
1
1
1
+ 3
+ 3
£
3
3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
°
°
a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + a2 ) ³ ( a + b) ab
Þ a3 + b3 + abc ³ ( a + b) ab + abc = ab ( a + b + c ) , tương tự
b3 + c3 + abc ³ ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c )
c3 + a3 + abc ³ ( c + a ) ca + abc = ca ( a + b + c )
÷ VT £
1
1
1
1
æa+b+cö
+
+
=
ç
÷
ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c è abc ø
10
)
ab. cd ³ 44 abcd
với a , b , c ³ 0 ,
(Côsi 3 số )
a+b+ c
a+b+ c
³ 4.4 abc
3
3
a+ b+ c 4
a+b+ c
³ abc
Û
3
3
4
a+b+ c
æa+ b+ cö
ç
÷ ³ abc
3
3
è
ø
3
19. Chứng minh:
°
(Côsi 4 số)
æa+ b+ cö
3
Û ç
÷ ³ abc Û a + b + c ³ 3 abc .
3
è
ø
22. Chứng minh: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > 0
°
°
a3 + abc ³ 2a2 bc , b3 + abc ³ 2b2 ac , c3 + abc ³ 2c2 ab
a3 + b3 + c3 + 3abc ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c2 ab )
Þ 2 ( a3 + b3 + c3 ) ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c 2 ab ) ,
vì : a3 + b3 + c3 ³ 3abc
Vậy:
a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab
23. Chứng minh: 2 a + 33 b + 44 c ³ 99 abc
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm:
VT = a + a + 3 b + 3 b + 3 b + 4 c + 4 c + 4 c + 4 c ³ 99 abc
x 18
24. Cho y = +
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
2 x
°
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
y=
x 18
x 18
+
³2 .
=6
2 x
2 x
x 18
=
Û x2 = 36 Û x = ± 6 , chọn x = 6.
2
x
Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6
x
2
25. Cho y = +
,x > 1 . Định x để y đạt GTNN.
2 x -1
x -1
2
1
+
+
÷ y=
2
x -1 2
x -1 2
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
,
:
2
x-1
°
Dấu “ = ” xảy ra Û
y=
x -1
2
1
x -1 2
1 5
+
+ ³2
.
+ =
2
x -1 2
2 x -1 2 2
11
2
735
æ 4 9ö
2
2
5 b £ ç + ÷ ( 3a2 + 5b2 ) Û 3a + 5b ³
.
47
è3 5ø
3
5
2464
2
2
.
Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a + 11b ³
137
3
5
÷ 3a - 5b =
7a11b
7
11
3
5
, 7a , , 11b :
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
7
11
°
5.
7.
3
2464
æ 9 25 ö ( 2
2
2
2
.
11b £ ç +
÷ 7a + 11b ) Û 7a + 11b ³
è 7 11 ø
137
7
11
4
4
Cho a + b = 2.
Chứng minh: a + b ³ 2.
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
°
6.
3a-
3
7a-
5
°
2 = a + b £ (1+ 1) ( a2 + b2 )
Û
a +b ³2
°
2 £ ( a2 + b2 ) £ (1+ 1) ( a4 + b4 )
Û
a +b ³2
Cho a + b ³ 1
°
1£ a + b £
Chứng minh: a2 + b2 ³
2
2
4
4
1
2
(12 + 12 ) ( a2 + b2 ) Û a2 + b2 ³
f(x) =
x
5 (1- x ) + 5x
x
x -1
x
1- x
5
+
=
+5
+5³ 2
+5= 2 5+5
1- x
x
1- x
x
1- x
x
2
Dấu “ = ‘ xảy ra Û
°
Vậy: GTNN của y là 2 5 + 5 khi x =
29. Cho y =
°
°
°
x
1- x
5- 5
æ x ö
(0 < x < 1)
=5
Ûç
÷ =5Ûx=
1- x
x
4
è 1- x ø
x3 + 1
x2
x3 + 1
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
x x 1
xx 1
3
+ + 2 ³ 33
=3
2
2 2 x
22x
4
x
x
x x
1
Dấu “ = ‘ xảy ra Û = = 2 Û x = 3 2 .
2 2 x
3
Vậy: GTNN của y là 3 khi x = 3 2
4
2
= x+
1
2
=
30. Tìm GTNN của f(x) =
1
2
5- 5
4
x 2 + 4x + 4
, x > 0.
x
x2 + 4x + 4
4
4
= x + + 4 ³ 2 x. + 4 = 8
x
x
x
4
° Dấu “ = ‘ xảy ra Û x = Û x = 2 (x > 0).
x
° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
2
31. Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0.
x
°
°
x2 +
2
x
3
3
=
æ x2 ö æ 1 ö 2
x2 x2 x2
1
1
+
+
+ 3 + 3 ³ 55 ç ÷ ç 3 ÷ =
3
3
3 x
è 3 ø èx ø
x
5
5
x
1
= 3 Û x = 5 3 Û x = 2 (x > 0).
3
x
5
khi x = 5 3 .
° Vậy: GTNN của y là 5
27
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
°
°
°
Dấu “ = ‘ xảy ra Û
2
11x ö
11 ö
1
1
æ
æ
2
f(x) = –10x + 11x – 3 = -10 ç x2 £
÷ - 3 = -10 ç x ÷ +
10 ø
20 ø
40 40
è
è
11
Dấu “ = “ xảy ra Û x =
20
13
16
27
2
1
11
thì y đạt GTLN bằng
.
20
40
33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN.
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6):
°
Vậy: Khi x =
6 = x + ( 6 - x ) ³ 2 x ( 6 - x ) Þ x(6 – x) £ 9
Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3
Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
5
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £
. Định x để y đạt GTLN.
2
1
÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x)
2
°
°
°
5ö
æ
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , ç -3 £ x £ ÷ :
è
2ø
1
121
° 11 = ( 2x + 6) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 6)( 5 - 2x ) Þ
(2x + 6)(5 – 2x) £
2
8
1
° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û x = 4
121
1
.
° Vậy: Khi x = - thì y đạt GTLN bằng
4
8
5
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN.
2
1
÷ y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x)
2
æ 5
ö
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , ç - £ x £ 5 ÷ :
è 2
ø
1
625
° ( 2x + 5) + (10 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 5)(10 - 2x ) Þ (2x + 5)(10 – 2x) £
2
8
5
° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û x =
4
5
625
° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng
4
8
1
5
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £
. Định x để y đạt GTLN
2
2
÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
5ö
æ 1
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , ç - £ x £ ÷ :
è 2
2ø
°
°
( 2x + 1) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 1)( 5 - 2x ) Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9
°
Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.
x
. Định x để y đạt GTLN
37. Cho y = 2
x +2
1
x
1
° 2 + x 2 ³ 2 2x2 = 2x 2 Û
Þ y£
³
2
2 2 2+ x
2 2
°
Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 2 và x > 0 Þ x= 2
°
Vậy: Khi x = 2 thì y đạt GTLN bằng
38. Cho y =
x2
( x 2 + 2 )3
.
. Định x để y đạt GTLN
x2
3
°
x 2 + 2 = x2 + 1+ 1 ³ 3 x2 .1.1 Û ( x2 + 2) ³ 27x2 Þ
°
Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 1 Û x = ± 1
°
Vậy: Khi x = ± 1 thì y đạt GTLN bằng
3
( x 2 + 2)
3
£
1
27
1
.
27
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1.
2
2
2
2
2
Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) («) BĐT Bunhiacopxki
(«) Û a2b2 + 2abcd + c 2d2 £ a2b2 + a2d2 + c 2b2 + c2d2
2
Û a2d2 + c2b2 - 2abcd ³ 0 Û ( ad - cb) ³ 0 .
2.
Chứng minh: sinx + cos x £ 2
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
°
3.
2
(12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x ) =
2
2
Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b ³ 7.
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b :
2
2
3. 3a + 4. 4b £ ( 3 + 4) ( 3a2 + 4b2 ) Û 3a + 4b ³ 7.
725
2
2
Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b ³
.
47
2
3
÷ 2a - 3b =
3a5b
3
5
2
3
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
, 3a , , 5b:
3
5
°
4.
sinx + cos x = 1. sinx + 1. cos x £
3a + 4b =
Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1
14
1
2 2
15
a2 + b2 + c2
(a, b, c là các cạnh của DABC, R là
2R
bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
5
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm
4
4 1
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S= +
x 4y
37. (Đại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
x+ y+ z£
Chứng minh bất đẳng thức:
a c b2 + b + 50
+ ³
b d
50b
và tìm giá trị nhỏ nhất
a c
+ .
b d
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
1.
2.
3.
4.
của biểu thức: S =
3
. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các
2
cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ
các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:
1
1ö
æ 1 1 1öæ 1
ç a + b + c ÷ç h + h + h ÷ ³ 3
è
øè a
b
c ø
39. (Đại học khối A 2003)
Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng:
Cho tam giác ABC có diện tích bằng
x2 +
1
+ y2 +
1
+ z2 +
1
6.
7.
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2
(CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
3
3
3
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x + y + z ³ x + y + z.
(CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1 1 1
thức:
A=x+y+z+ + +
x y z
(CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
5
Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4
4 1
.
biểu thức: A = +
x 4y
(CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
a
b
c
d
+
+
+
<2
a+ b+ c b+ c+ d c+ d+ a d+ a+b
(CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
æ 1 2 ö
2
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1) çè x2 + x + 1÷ø ³ 16.
(CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:
³ 82
x2
y2
z2
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
5
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin x +
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
(1)
ì 4p(p - a) £ bc
ï
í
A
B
C 2 3-3
(2)
ïsin sin sin =
2
2
2
8
î
a+b+ c
trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =
.
2
42. (Đại học khối A 2005)
1 1 1
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + = 4 .
x y z
20
5.
(CĐGT II 2003 dự bị)
8.
3 cosx
a+ b+ c a+b+ c a+b+ c
+
+
³9
a
b
c
(CĐKTYTế1 2006)
2
Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x + x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1
1
1
1
b
c ö
æ a
thì:
+ b + c ³ 3ç a + b + c ÷
a
3
3
3
3
3 ø
è3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
2
2
2
Cho ba số dương a, b, c thoả a + b + c = 1. Chứng minh:
a
b
c
3 3
+ 2
+ 2
³
2
2
2
2
2
b +c
c +a
a +b
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
17
13.
14.
15.
16.
2
a3
3
+
b3
3
+
c3
3
³
26. (ĐH Y HN 2000)
Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện
2
Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: a 3 + b3 > c 3
20. (ĐHQG HN khối A 2000)
Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh
a
b
c
a
b
c
rằng:
8 +8 +8 ≥2 +2 +2
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng
b2 + 2a2
c2 + 2b2
a2 + 2c2
+
+
³ 3
ab
bc
ca
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
minh rằng:
Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:
18
a3 + b3 æ a + b ö
³ç
÷
2
è 2 ø
2
(
b
c
a
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b - 1 + b a - 1 £ ab (*)
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi
2
2
2
bằng 3 thì:
3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
2
2
(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ 3 abc
a b c
+ +
b c a
2
2
a) a + b + c ≥ ab + bc + ca
b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
bc
ca
ab
biểu thức: P = 2
+ 2
+ 2
2
2
a b + a c b c + b a c a + c 2b
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:
ïìa2 + b2 + c2 = 2
Cho các số a, b, c thoả: í
ïîab + bc + ca = 1
4
4 4
4 4
4
Chứng minh: - £ a £ ; - £ b £ ; - £ c £
3
3 3
3 3
3
(Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
1
1
1
æ 1 1 1ö
+
+
³ 2ç + + ÷
p-a p-b p-c
èa b cø
(ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
2 y
2 x
2 z
1
1
1
+ 3
+ 3
£ 2+ 2+ 2
3
2
2
2
x +y
y +z
z +x
x
y
z
(ĐH PCCC khối A 2001)
Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ c a + logc + a b + loga+ b c > 1
(ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax.
Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:
3
)
3
2 3
+ = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất
x y
của tổng x + y.
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
c+1
c+1
c–1
c–1
Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a
+b
≥ ab(a
+b )
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
18xyz
CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
2 + xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
n+1
n
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n
> (n + 1)
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: A = a + 1 + b + 1
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì
1
1
1
9
khác không: 2 + 2 + 2 ³ 2
x
y
z
x + y 2 + z2
BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng.
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:
a2
2
+
b2
b
c
33. (ĐH Hàng hải 1999)
Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
x
y
z
3
1
1
1
+
+
£ £
+
+
2
2
2
2 1+ x 1+ y 1+ z
1+ x
1+ y
1+ z
2
+
c2
a
2
³
a b c
+ +
b c a
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
3
3
3
2
2
2
2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3
(*)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc
nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
19
6.
7.
8.
9.
b
d
b
d
+
<
+
=1
b+ c+ d d+ a+b b+ d b+ d
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm.
(CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
2
æ 1 2 ö
æ1 ö
2ç
2
+
1
+
+
1
Ta có: (x + 1) è x2 x ÷ø ³ 16 (1) Û (x + 1) çè x ÷ø ³ 16
æ1 ö
2
2
Û (x + 1) ç + 1÷ ³ 4 (do x > 0) Û (x + 1) ³ 4x Û (x – 1) ³ 0 (2)
èx ø
(2) luôn đúng nên (1) được chứng minh.
(CĐKTKTCN1 khối A 2006)
b c a
c a b
Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = 1+ + + + 1+ + + + 1
a a b
b c c
æ b a ö æ c a ö æ c bö
= 3 + ç + ÷+ç + ÷+ç + ÷
èa bø èa cø èb cø
Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:
b a
b a
b c
b c
c a
c a
+ ³ 2 . = 2;
+ ³ 2 . = 2;
+ ³2 . =2
a b
a b
c b
c b
a c
a c
Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm).
(CĐKTYTế1 2006)
2
2
y £ 0, x + x = y + 12 Þ x + x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3
2
3
2
y = x + x – 12 Þ A = x + 3x – 9x – 7
3
2
Đặt f(x) = A = x + 3x – 9x – 7 với – 4 £ x £ 3
2
f¢(x) = 3x + 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3
f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20
Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).
(CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
2
Ta có: x + y + z ³ 3 3 xyz Û xyz ³ 3 3 xyz Û (xyz) ³ 27 Û xyz ³ 3 3
Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
3.
Vậy minA = 3 3 .
10. (Học viện BCVT 2001)
1
Ta có hàm số f(x) = x là hàm nghịch biến nên:
3
1ö
æ 1
(a – b) ç a - b ÷ ≤ 0, "a, b.
3 ø
è3
a
b
b
a
Þ
+ b £ a + b , "a, b.
(1)
a
3
3
3
3
b
c
b
c
Tương tự: b + c £ c + b
(2)
3
3
3
3
24
1
1
1
+
+
£1
2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z
43. (Đại học khối B 2005)
Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có:
Chứng minh rằng:
x
x
x
æ 12 ö
æ 15 ö æ 20 ö
x
x
x
ç ÷ +ç ÷ +ç
÷ ³3 +4 +5
5
4
3
è ø
è ø è
ø
Khi nào đẳng thức xảy ra?
44. (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
1+ x 3 + y 3
1 + y 3 + z3
1 + z3 + x 3
+
+
³3 3
xy
yz
zx
Khi nào đẳng thức xảy ra?
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR:
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ³ 6
2
y öæ
9 ö
æ
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: (1+ x ) ç 1+ ÷ ç 1+
÷ ³ 256
x ø çè
y ÷ø
è
Đẳng thức xảy ra khi nào?
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
3
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng:
4
3
a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a £ 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì x y - y x £
1
.
4
Đẳng thức xảy ra khi nào?
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:
x2
y2
z2
3
+
+
³
1 + y 1+ z 1 + x 2
50. (Đại học khối A 2006)
Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:
2
2
(x + y)xy = x + y – xy.
1
1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 + 3 .
x
y
51. (Đại học khối B 2006)
Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=
( x - 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y - 2
21
LỜI GIẢI
1.
f¢(t) = 3 –
2
Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 Û
æ 3
ö
æy zö
BC = ç - ÷ + ç
(y + z) ÷ = y2 + yz+z2
ç
÷
è 2 2ø
è 2
ø
Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC
2.
x+
Þ x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2
(CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
x + y + z ³ 3 3 x3 y3z3 Þ 2(x + y + z ) ³ 6
3
3
3
3
3
3
3
x + 1 + 1 ³ 3 x3 Þ x + 2 ³ 3x (1)
3
3
3
Tương tự: y + 1 + 1 ³ 3 y
3
4.
3
Þ y + 2 ³ 3y(2)
3 3
(3)
z + 1 + 1 ³ 3 z Þ z + 2 ³ 3z
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
(CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
· Cách 1:
Theo BĐT Côsi:
1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0
3
3.
3
1 1 1
+ + ³
x y z
A ³ 3 3 xyz +
Từ đó:
Đặt: t =
3
3
3
3
xyz
xyz
1
3
3
1
với 0 < t £
t
3
22
y+
1 2
³ ,
9y 3
z+
1
3
xyz
³3
1 2
³
9z 3
1ö æ
1ö æ
1 ö 8 æ 1 1 1ö
8 3
æ
³ 10
Từ đó: A= ç x +
÷ + ç y + 9y ÷ + ç z + 9z ÷ + 9 ç x + y + z ÷ ³ 2 + 3
9x
9 xyz
è
ø è
ø
ø è
è
ø
1
1
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = .Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =
3
3
(CĐSPHCM khối ABT 2006)
5
Ta có: x + y =
Û 4x + 4y – 5 = 0
4
4 1
4
1
4
1
A= +
= + 4x+
+ 4y - 5 Þ A ³ 2
.4x + 2
.4y – 5
4y
x 4y
x
4y
x
ÞA³5
3
xyz , điều kiện: 0 < t £
Xét hàm số f(t) = 3t +
3
1 2
³ ,
9x 3
5.
1
3
1
.
3
· Cách 2:
2
2
æ 1ù
< 0, "t Î ç 0; ú
è 3û
Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =
æ 3 ö
zö
æ
z ÷ = x 2 + xz + z2
ç x + ÷ + çç
÷
2ø
2
è
è
ø
AC =
t
2
Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =
2
2
3(t 2 - 1)
1
3
2
æ 3 ö
yö
æ
x
y ÷ = x2 + xy + y2
+
ç
÷ + çç
÷
2ø
2
è
è
ø
AB =
t
2
=
Bảng biến thiên:
(CĐGT II 2003 dự bị)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:
æ
æ
y 3 ö
3
3 ö
æy z ö
z ÷ , B ç 0;
y+
z ÷ , C ç - ;0 ÷
Açx + ;
ç
÷
ç
÷
2 2 ø
2 ø
è2 2 ø
è
è 2
Ta có:
3
ì4
ï x = 4x
ï
ìx = 1
ï 1 = 4y
ï
ï
Û í
Dấu "=" xảy ra Û í 4y
1.
ïî y = 4
ï
5
ïx + y =
4
ï
ïî x,y > 0
(CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có:
a
c
a
c
+
<
+
=1
a+ b+ c c+ d+ a a+ c a+ c
23
Vậy Amin = 5.
c
é
ù
1 êæ a ö 2 æ b ö 2 æ c ö 2 ú 3
+
+
ç ÷
ç ÷
ç ÷ ³
2 êè b ø
ècø
èaø ú 2
êë
úû
Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có:
3
3
3ù
é
3 êæ a ö 2 æ b ö 2 æ c ö 2 ú 3 3 é a b c ù 3
ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ú+ ³ ê + + ú+
2 êè b ø
2 2 ëb c aû 2
ècø
èaø
ëê
ûú
3
3
3
+
a
3a
b
£
+
a
3c
c
+
=
c
3a
a
(3)
a
b
c
a
+
b
b
+
c
b
c ö
1
1
1
æ a
3ç a + b + c ÷ £ a + b + c
3
3 ø 3
3
3
è3
1
Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = .
3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Hay
a b-1 b a -1
+
£1Û
ab
ab
Theo BĐT Côsi ta có:
+
(4)
3
3
3
3
3
3c
Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
b
c ö
1
1ö
æ a
æ 1
3 ç a + b + c ÷ £ (a + b + c) ç a + b + c ÷
3
3 ø
3
3 ø
è3
è3
Mặt khác:
æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c
Suy ra: ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ + +
b c a
èbø
ècø
èaø
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
BĐT (*) Û
3c
a
1æ
1ö
1æ
1ö
11+
£1
b èç b ø÷
a èç a ø÷
1 æ
1ö
+ ç 1- ÷
1æ
1ö b è b ø 1
1£
=
b çè b ÷ø
2
2
(1)
1 æ
1ö
+ ç 1- ÷
1æ
1ö a è a ø 1
1£
=
a çè a ÷ø
2
2
Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh.
1 1
ì1
ïï b = 1- b = 2
Dấu “=” xảy ra Û í
Û a = b = 2.
ï 1 = 1- 1 = 1
ïî a
a 2
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)
Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0.
Do đó theo BĐT Côsi ta có:
2
2
a b
a b
æ a ö3 æ b ö3 a b
+ = 1 Þ 0 < , < 1 Þ ç ÷ +ç ÷ > + = 1
Từ giả thiết ta có:
c c
c c
c c
ècø
ècø
28
b2 + c2
=
a
1- a 2
=
a2
a(1- a2 )
(1)
3
3
æ 2a2 + (1- a2 ) + (1- a2 ) ö
æ 2ö
Mà 2a .(1 – a ) ≤ ç
=ç ÷
÷
ç
÷
3
è3ø
è
ø
4
2
2
2 2
2
Þ a .(1 – a ) ≤
(2)
Þ a(1 – a ) ≤
27
3 3
2
2 2
a
a
2
b +c
2
³
3 3 2
a
2
b
c
3 3 2
3 3
+
³
(a + b2 + c2 ) =
2
2
c2 + a2 a2 + b2
2
2
ì 2a = 1- a
ïï
1
.
Dấu “=” xảy ra Û í 2b2 = 1- b2 Û a = b = c =
3
ï 2
2
ïî 2c = 1- c
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
ìï(a + b)2 - 2ab = 2 - c 2
ïìa2 + b2 + c2 = 2
Û í
Ta có: í
ïîc(a + b) + ab = 1
ïîab + bc + ca = 1
Do đó:
3
a
2
Từ (1), (2) suy ra:
æ 3 - 2a + 3 - 2b + 3 - 2c ö
(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ ç
÷ =1
3
è
ø
Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1
Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1
Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14
2
2
2
2
2
2
Û 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14
2
= 3(a + b +c) – 14 = 13
Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1.
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
2
2
Do a + b + c = 1 nên
(vì a + b + c = 1)
b2 + c 2
+
ìa + b = S 2
(S – 4P ≥ 0)
Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt í
îab = P
ìïS2 - 2P = 2 - c2 (1)
í
(2)
ïîcS+P =1
Từ (2) Þ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được:
Ta được hệ:
25
éS = -c - 2
2
2
2
2
S – 2(1 – cS) = 2 – c Û S + 2cS + c – 4 = 0 Û ê
ëS = -c + 2
2
· Với S = – c – 2 Þ P = 1 + c(c + 2) = c + 2c + 1
2
2
2
BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c – 2) – 4(c + 2c + 1) ≥ 0
4
2
Û –3c – 4c ≥ 0
Û - £ c £ 0 (3)
3
2
· Với S = –c + 2 Þ P = 1 – c(–c + 2) = c – 2c + 1
2
2
2
BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ 0
4
2
Û –3c + 4c ≥ 0
Û 0£c£
(4)
3
4
4
Từ (3), (4) ta được:
- £c£
3
3
4
4
Tương tự ta chứng minh được: - £ a,b,c £
3
3
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì:
1 1
4
+ ³
(1)
x y x+y
Dấu “=” xảy ra Û x = y.
1
1
4
4
Áp dụng (1) ta được:
+
³
=
p-a p-b p-a+p-b c
1
1
4
4
+
³
=
p-b p- c p-b+p-c a
1
1
4
4
+
³
=
p-c p-a p-c+p- a b
Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được:
æ 1
1
1 ö
æ 1 1 1ö
+
+
2ç
÷ ³ 4 ç + + ÷ Û đpcm
èa b cø
èp- a p-b p-cø
Dấu “=” xảy ra Û a = b = c.
14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
3
2
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x , y ta có:
2 x
2 x
1
3
2
£
=
x + y ≥ 2 x3 y2 = 2xy x Þ 3
2
2xy x xy
x +y
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương
1
x
,
2
26
1
y2
ta có:
1 1æ 1
1ö
2 x
1æ 1
1ö
£ ç 2 + 2÷ Þ 3
£ ç 2 + 2÷
2
ç
÷
ç
xy 2 è x
2è x
y ø
x +y
y ÷ø
Tương tự ta cũng có:
2 y
1æ 1
1ö
2 z
1æ 1
1ö
£ ç 2 + 2÷
£ ç 2 + 2 ÷; 3
3
2
2
ç
÷
2
2
y +z
z ø z +x
x ø
èz
èy
Suy ra:
2 x
3
x +y
2
+
2 y
3
y +z
2
+
2 z
3
z +x
2
£
1
x
2
+
1
y
2
+
1
z2
ìï x3 = y2
ìï y3 = z2
ìïz3 = x2
Dấu “=” xảy ra Û í
vaø í
vaø í
Û x=y=z=1
îï x = y
îï y = z
îïz = x
15. (ĐH PCCC khối A 2001)
Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = loga x là đồng biến
và dương.
1
Do đó hàm số y = logxa =
là nghịch biến.
loga x
Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta
được:
VT= logb+ c a + logc+ a b + loga +b c ³ loga +b a + loga +b b + loga+ b c = loga +b abc
Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b
Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1.
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
· Xét f(x) = xa – ax + a – 1 (x ≥ 0)
–1
f¢(x) = 0 Û x = 1
f¢(x) = a(xa – 1);
Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xa + a – 1 ≥ ax.
· BĐT cần chứng minh:
3
3
3
æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c
ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³ + +
b c a
èbø
ècø
èaø
3
Áp dụng BĐT đã chứng minh với a = , ta có:
2
3
3
æ a ö2 1 3 a
æ b ö2 1 3 b
ç ÷ + ³ . ;
ç ÷ + ³ . ;
b
2
2
b
2 2 c
è ø
ècø
Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có:
27
3
æ c ö2 1 3 c
ç ÷ + ³ .
2 2 a
èaø
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
æ
ö
y 2 z2 ö æ x 2
z2 ö æ x 2 y 2
BĐT cần chứng minh Û ç 1+ 2 + 2 ÷ + ç 2 + 1+ 2 ÷ + ç 2 + 2 + 1÷ ≥ 9
ç
÷
ç
÷
ç
÷
x
x ø èy
y ø èz
z
è
ø
æ y 2 z2 ö æ x 2 z2 ö æ x 2 y 2 ö
Û 3 + ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷ ≥ 9
çx
x ÷ø çè y
y ÷ø çè z
z ÷ø
è
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
*
*
a2
+
2
b
a
b2
c
2
+
c2
a
³ 33
2
2
2
a
+ 1³ 2 ;
b
b
b
b
+ 1³ 2 ;
c
c
2
a2
a2 b2 c2
. .
=3
b2 c2 a2
2
b2
(1)
c
2
a
2
+ 1³ 2
c
a
c2
a2
b2
c2
a b c
+ +
b c a
b
c
a
33. (ĐH Hàng hải 1999)
2
+
2
+
³
2
2
2
· Do (x – 1) ≥ 0 nên x + 1 ≥ 2x Û
2y
Tương tự ta cũng có:
2x
Do đó:
Hay:
1+ x
x
+
(2)
2
+
y
+
1+ y
2y
1+ y
2
z
+
£
2
2x
1+ x 2
≤ 1;
2z
1 + z2
≤1
2z
1 + z2
≤1
≤3
Þ
2
2
3
2
(1+ x) + (1+ y) + (1+ z)
3
≤2
£ 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) ≤
1
1
1
3
+
+
1+ x 1+ y 1+ z
32
2
b2 + 2a2
=
ab
b2 + 2a2
và đpcm Û x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ 3
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
2
2
2
2
2
2
3(x + 2y ) = 3(x + y + y ) ≥ (x + y + y)
1
Þ
x2 + 2y2 ³
(x + 2y)
3
Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:
1
x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³
(3x + 3y + 3z) = 3
3
1
Đẳng thức xảy ra Û x = y = z =
Ûa=b=c=3
3
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
3
a3 + b3 æ a + b ö
3
3
3
³ç
÷ Û 4(a + b ) ≥ (a + b)
2
è 2 ø
2
2
2
2
Û (a + b) [4(a + b – ab) – (a + b + 2ab)] ≥ 0
2
2
2
Û (a + b)(3a + 3b – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b) ≥ 0
BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng.
Đẳng thức xảy ra Û a = ± b.
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
2
2
2
2
2
2
a) a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca
2
2
2
Þ a + b + c ≥ ab + bc + ca.
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c
2
2
2
2
b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥
≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
29
Ta có:
(1)
1+ x
1+ y
1+ z
· Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:
1
1
1
+
+
1
1
1+ x 1+ y 1+ z
³3
=
3
(1+ x)(1+ y)(1+ z) 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z)
2
2
1
1
=
+ 2. 2
a2b2
a2
b
1
1
1
Đặt x = ; y = ; z =
thì
a
b
c
ìa,b,c > 0
ì x,y,z > 0
giả thiết í
Û í
îab + bc + ca = abc
îx + y + z = 1
Ta có:
æa b cö
Þ 2 + 2 + 2 ³ 2ç + + ÷ - 3
èb c aø
b
c
a
Kết hợp (1) và (2) ta được:
æ a2 b2 c2 ö
æa b cö
2ç 2 + 2 + 2 ÷ ³ 2ç + + ÷
çb
÷
èb c aø
c
a ø
è
Þ
2
Từ đó suy ra: a 3 + b3 > c 3
20. (ĐHQG HN khối A 2000)
a
b
c
Đặt x = 2 , y = 2 , z = 2 thì x, y, z > 0.
a+b+c
Đ.kiện a + b + c = 0 Û xyz = 2
= 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3
3
3
Mặt khác: x + 1 + 1 ≥ 3x Þ x ≥ 3x – 2
3
3
Tương tự: y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 2
3
3
3
Þ x + y + z ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z
a
b
c
a
b
c
Þ8 +8 +8 ≥2 +2 +2
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
1
2
1
a
Ta có: 2
=
=
=
a b + a2c a2 (b + c) a2 æ 1 + 1 ö 1 + 1
çb c÷ b c
è
ø
bc
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
c
c
c+1
c+1
c–1
c–1
Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ a (a – b) ≥ b (a – b) Þ a
+b
≥ ab(a
+b )
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:
2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz
(1)
bc
1
1
1
;y= ; z=
thì
a
b
c
ìa, b, c > 0
ì x,y,z > 0
x2
y2
z2
Û í
giả thiết í
và P =
+
+
y+z z+x x+y
îabc = 1
î xyz=1
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
Đặt x =
æ
x
y
z ö
+ z + x.
+ x + y.
(y + z + z + x + x + y).P ≥ ç y + z.
÷
ç
y+z
z+x
x + y ÷ø
è
1
1
1
2
Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) Þ P ≥ (x + y + z) ≥ .33 xyz = .3
2
2
2
3
ÞP≥
2
3
Nếu P =
thì x = y = z = 1 Þ a = b = c = 1
2
3
3
Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = . Vậy minP =
2
2
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
(a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥
≥
(
3
1 + 3 3 abc + 3 a2b2c2 + abc = 1+ 3 abc
)
2
3
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c > 0.
26. (ĐH Y HN 2000)
(
2+ 3
)
2
(
Þx+y≥
(
Giá trị
2
æ 2
ö
æ 2 3ö
3
=ç
. x+
. y ÷ £ ç + ÷ (x + y) = 6(x + y)
ç x
÷
y
èx yø
è
ø
2+ 3
)
2+ 3
)
6
Vậy min(x + y) =
(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx >
18xyz
(vì 2 +xyz > 0)
2 + xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
4
3
4
3
Ta có: 3 = 81, 4 = 64 Þ 3 > 4 Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3.
n
n
1ö
æ
æ n + 1ö
Với n > 3, đpcm Û n > ç
÷ Û ç 1+ ÷ < n
n
n
è
ø
è
ø
n
1ö
æ
ç 1+ ÷ =
è nø
Ta có:
n
1
å Ckn nk
(1)
=
k=0
n n(n - 1) 1
n(n - 1)...(n - n + 1) 1
. 2 + ... +
. n
+
n
2! n
n!
n
- ö
1æ
1 æ 1 öæ 2 ö æ
ö
=1+1+
ç 1- 1 ÷ + ... + ç 1- ÷ç 1- ÷ ...ç 1- n 1÷ <
2! è n ø
n! è n øè n ø è
n ø
1
1
1
1
+ ... +
< 1 + 1 + + ... + n-1 <
<1+1+
2!
n!
2
2
1
1
1
< 1 + 1 + + ... + n-1 + … = 1 +
=3
1
2
2
12
=1+
n
2
6
2
(2)
và xy + yz + zx ≥ 3 3 x2y2z2
Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:
2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz
(3)
Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0
(4)
Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:
ì 2
3
ì
: x=
: y
ï
ïx =
y
ï x
ï
Û
đạt được Û í
í
2
ï
ï
2+ 3
ïî y =
ïx + y =
6
î
(
5+ 2 6
6
)
2( 2 + 3)
6
3( 2 + 3)
6
1ö
æ
Þ ç 1+ ÷ < 3 < n Þ (1)
n
è
ø
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a + 1, b + 1 ), ta có:
A = 1. a + 1 + 1. b + 1 ≤
mà a + b = 1 nên A ≤
Dấu “=” xảy ra Û
Vậy maxA =
30
(1+ 1)(a + 1+ b + 1)
6
a+1= b+1 Û a = b Û a = b =
6 khi a = b =
1
2
31
1
( do a + b = 1)
2
Đặt Q(t) = 9t +
9
9
æ 1ù
æ 1ù
ÞQ¢(t) = 9 – 2 < 0, "tÎ ç 0; ú ÞQ(t) giảm trên ç 0; ú
t
è 9û
è 9û
t
æ 1ö
Þ Q(t) ³ Q ç ÷ = 82. Vậy P ³ Q(t) ³ 82
è 9ø
1
Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = .
3
· Cách 2: Ta có:
2
2
æ 1 1 1ö
æ 1 1 1ö
2
2
2
(x + y + z) + ç + + ÷ = 81(x + y + z) + ç + + ÷ – 80(x + y + z)
èx y zø
èx y zø
æ 1 1 1ö
2
³ 18(x + y + z). ç + + ÷ – 80(x + y + z) ³ 162 – 80 = 82
èx y zø
Vậy P ³
82
Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
1
.
3
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
5
· Tìm max:
y = sin x +
Ta chứng minh:
Û
3 cosx ≤ sin x +
3 cosx ≤
4
sin x +
3 (1 – cosx) – sin x ≥ 0 Û
4
3 cosx
4
(1)
3 , "x Î R
(2)
3 (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ 0
2
2
Û (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx) ] ≥ 0
(3)
Theo BĐT Côsi ta có:
1
(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤
2
2
3
≤
Vậy BĐT (3) đúng Þ (2) đúng Þ y ≤
Û x = k2p. Vậy maxy =
5
3 , "x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1
3 cosx ≥ – sin x +
4
Tương tự như trên, ta được miny = –
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
3 cosx.
3 , đạt được khi x = p + k2p.
(a + b + c)(b + c - a)
(b + c)2 - a2
2bc(1+ cos A)
£1 Û
£1Û
£1
bc
bc
bc
A
3
A 1
A 3
£
Û sin2 ³ Û sin ³
(do 0 <
2 4
2 4
2
2
Biến đổi vế trái của (2) như sau:
A
B
C 1
Aæ
B-C
B+C ö
sin sin sin = sin ç cos
- cos
÷ ≤
2
2
2 2
2è
2
2 ø
Û cos2
36
A p
< )
2 2
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
x+ y+ z=
≤
1
a
. ax +
1
b
. by +
æ 1 1 1ö
ç a + b + c ÷ .2S =
è
ø
1
c
(3)
1
Aæ
Aö
sin ç 1- sin ÷ =
2
2è
2ø
. cz ≤
æ 1 1 1ö
ç a + b + c ÷ (ax+by+cz)
è
ø
æ 1 1 1 ö abc
ç a + b + c ÷ 2R =
è
ø
ab + bc + ca
2R
a2 + b2 + c2
2R
ìDABC ñeàu
ìa = b = c
Dấu “=” xảy ra Û í
Û í
x
=
y
=
z
î
îM truøng vôùi troïng taâm G cuûa DABC
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
5.5
1 1 1 1 1
5
=5
· Cách 1: S = + + + +
≥
³
x + x + x + x + 4y
x x x x 4y 5 x.x.x.x.4y
≤
3.
· Tìm min: Ta có y = sin x +
(1) Û
1æ 4 ö
32
< 3
ç ÷ =
2è 3ø
27
3
1
1
1
£
+
+
(2)
2 1 + x 1+ y 1+ z
Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh.
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
2
3
2
3
2
3
Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x ≥ x ; y ≥ y ; z ≥ z .
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Suy ra: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x)
Do đó nếu ta chứng minh được:
2
2
2
2
2
2
2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3
(1)
thì (*) đúng.
2
2
2
2
Ta có:
(1 – y)(1 + y – x ) ≥ 0 Û x + y – x y – 1 ≤ 0 (2)
éy = 1
ê
Dấu “=” ở (2) xảy ra Û ê ì x = 1
í
ëê î y = 0
2
2
2
Tương tự ta cũng có:
x +z –zx–1≤0
(3)
2
2
2
y +z –yz–1≤0
(4)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
2
2
2
2
2
2
2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3
Vậy (1) đúng Þ (*) đúng
Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Î {(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)}
Û
1
ì1
ï x = 4y
ìx = 1
ïï
ï
Û í
minS = 5 Û í x = 4y
1
ïî y = 4
ï
5
ïx + y =
4
ïî
33
· Cách 2: S =
4
1
+
= f(x),
x 5 - 4x
0 b (c, b Î N) nên c ≥ b + 1 thành thử:
1 b + 1 b2 + b + 50
a c
=
+ ≥ +
b 50
50b
b d
Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh.
ìa = 1
ï
Dấu “=” xảy ra Û íd = 50
ïc = b + 1
î
S=
Để tìm minS, ta đặt
liên tục x:
f(x) =
b2 + b + 50
b 1 1
=
+ +
và xét hàm số có biến số
50b
50 b 50
x 1 1
+ +
(2 ≤ x ≤ 48)
50 x 50
1
1 x2 - 50
;
- 2 =
50 x
50x 2
Bảng biến thiên:
f¢(x) =
ìï x2 = 50
Û x=5 2
f¢(x) = 0 í
ïî 2 £ x £ 48
5 2
Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng
khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)].
49 + 57
53
64 + 58
61
53
=
=
>
Ta có f(7) =
;
f(8) =
350
175
400
200 175
ìa = 1
ïb = 7
53
ï
khi í
Vậy minS =
175
ïc = 8
ïîd = 50
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
1
1
1
Ta có diện tích tam giác: S = aha = bhb = chc
2
2
2
2S
2S
2S
; hb =
; hc =
Þ ha =
a
b
c
1
1
1
1
Þ
(a + b + c)
+
+
=
ha hb hc 2S
1
1ö
1
æ 1 1 1öæ 1
æ 1 1 1ö
Þ ç + + ÷ç
(a + b + c) ç + + ÷
+
+
÷=
è a b c ø è ha hb hc ø 2S
èa b cø
æ 1 1 1ö
Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) ç + + ÷ ≥ 9
èa b cø
1
1ö 9
3
æ 1 1 1öæ 1
+
+
, nên ta có: ç + + ÷ ç
÷³ =3
2
è a b c ø è ha hb hc ø 3
39. (Đại học khối A 2003)
r r
r r
r r
Với mọi u,v ta có: u + v £ u + v (*)
và vì S =
r æ 1 ö r æ 1ö r æ 1ö
a = ç x; ÷ ; b = ç y; ÷ ; c = ç z; ÷
è xø
è zø
è yø
r r r
r r r
r r r
Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a + b + c ³ a + b + c ³ a + b + c
Đặt
2
Vậy P = x +
1
x2
2
+ y +
1
y2
2
+ z +
b2 + b + 50
(2 ≤ b ≤ 48, b Î N)
50b
34
³
z2
æ 1 1 1ö
(x + y + z) + ç + + ÷
èx y zø
2
2
· Cách 1:
2
æ 1 1 1ö
Ta có: P³ (x + y + z) + ç + + ÷ ³
èx y zø
2
2
Chuyển về biểu thức f(b) =
1
(
33
1
æx+ y+zö
với t = (3 xyz)2 Þ 0 < t £ ç
÷ £
3
9
è
ø
35
xyz
)
2
2
æ
1 ö
9
+ ç 33
= 9t +
ç xyz ÷÷
t
è
ø
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
2
2
2
2
=–
x
1+ y
x 1+ y
.
+
³2
=x
1+ y
4
1+ y 4
Ta có:
2
A
B
C 1 1æ 3 1ö
1 1
Do (3) suy ra: sin sin sin £ - ç
- ÷ = - (4 - 2 3)
ç
÷
2
2
2 8 2è 2 2ø
8 8
y
1+ z
y 1+ z
.
+
³2
=y
1+ z
4
1+ z 4
z2
1+ x
z2 1 + x
.
+
³2
=z
1+ x
4
1+ x 4
Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:
æ x2
1+ y ö æ y 2
1+ z ö æ z 2
1+ x ö
+
+
+
çç
÷÷ + çç
÷÷ + çç
÷ ³ x+y+z
4 ø è 1+ z
4 ø è 1+ x
4 ÷ø
è 1+ y
=
x2
y2
z2
3 x+y+z
3(x + y + z) 3
+
+
³- +x+y+z ³
4
4
1 + y 1+ z 1 + x
4
4
3
3 9 3 3
³ .3 - = - = (vì x + y + z ³ 3 3 xyz = 3)
4
4 4 4 2
x2
y2
z2
3
+
+
³ .
Vậy:
1 + y 1+ z 1 + x 2
50. (Đại học khối A 2006)
· Cách 1:
1 1
1
1
1
Từ giả thiết suy ra: + = 2 + 2 .
x y x
xy
y
Û
1
1
2
2
= a, = b, ta có: a + b = a + b – ab
x
y
3
3
2
2
2
A = a + b = (a + b)(a – ab + b ) = (a + b)
2
Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) – 3ab.
Đặt
(1)
x
3
+
1
y
3
=
x3 + y3
3 3
x y
=
(x + y)(x2 + y2 - xy)
3 3
x y
40
=
(x + y)2 xy
3 3
x y
=
B-C
ì
ïïcos 2 = 1 ìïA = 1200
Dấu “=” xảy ra Û í
Ûí
0
ïsin A = 3
îïB = C = 30
ïî
2
2
42. (Đại học khối A 2005)
Với a, b > 0 ta có:
1
a+b
1
1æ 1 1ö
2
£
Û
£ ç + ÷
4ab £ (a + b) Û
a + b 4ab
a + b 4è a bø
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Áp dụng kết quả trên ta có:
1 é 1 1 æ 1 1 öù
1
1æ 1
1 ö
1æ 1 1
1ö
£ ç
+
+
÷ £ ê + ç + ÷ú = ç +
÷
2x+y+z 4 è 2x y + z ø
8 è x 2y 2z ø
4 ë 2x 4 è y z ø û
Tương tự:
1
1æ 1
1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù
1æ 1 1
£ ç
+
+
÷ £ ê + ç + ÷ú = ç +
x + 2y + z 4 è 2y x + z ø 4 ë 2y 4 è x z ø û
8 è y 2z
1
1æ 1
1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù
1æ 1 1
£ ç
+
+
÷ £ ê + ç + ÷ú = ç +
x + y + 2z 4 è 2z x + y ø 4 ë 2z 4 è x y ø û
8 è z 2x
(1)
1ö
÷ (2)
2x ø
1ö
÷ (3)
2y ø
Vậy:
x
S2
2
Ta có: SP = S – 3P Û P =
S+ 3
1
2 3 -3
8
ö
1
1
1
1æ 1 1
+
+
£ ç +
+ 1÷ = 1
2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 4 è x yz ø
Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ
khi
3
x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = .
4
43. (Đại học khối B 2005)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
2
3
æ a + bö
2
2
Vì ab ≤ ç
÷ nên a + b ≥ (a + b) – 4 (a + b)
è 2 ø
2
Þ (a + b) – 4(a + b) ≤ 0 Þ 0 ≤ a + b ≤ 4
2
Suy ra: A = (a + b) ≤ 16
1
Với x = y =
thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.
2
· Cách 2:
2
Đặt S = x + y, P = xy với S – 4P ³ 0. Từ giả thiết Þ S, P ¹ 0.
A=
2
2
1 éæ
A 1ö
1ù
1 1æ
A 1ö
1æ 2 A
Aö
sin
=
ê
ú
sin
sin
sin
=
–
ç
÷
ç
÷
2 êçè
2 2 ÷ø
4ú
8 2è
2 2ø
2è
2
2ø
ë
û
(x + y)2
2 2
x y
x
æ 12 ö
æ 15 ö
æ 12 ö
ç 5 ÷ +ç 4 ÷ ³ 2 ç 5 ÷
è ø
è ø
è ø
Tương tự ta có:
x
x
æ 15 ö
.ç ÷
è 4 ø
x
x
Þ
x
æ 12 ö
æ 20 ö
x
ç ÷ +ç
÷ ³ 2.4
è 5 ø
è 3 ø
x
æ 12 ö
æ 15 ö
x
ç ÷ + ç ÷ ³ 2.3
è 5 ø
è 4 ø
x
x
æ 15 ö
æ 20 ö
x
ç ÷ +ç
÷ ³ 2.5
è 4 ø
è 3 ø
(2)
37
(1)
(3)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận
được cho 2 ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3) là các đẳng thức Û x = 0.
44. (Đại học khối D 2005)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
1+ x 3 + y 3
³
xy
1 + x + y ³ 3 3 1.x3 .y3 = 3xy Û
3
3
1 + y 3 + z3
³
yz
Tương tự:
3
Mặt khác
3
Þ
xy
3
+
3
+
yz
3
+
3
3
+
zx
1+ z3 + x3
³
zx
(2);
yz
³ 33
³3 3
3
xy
3
3
3
xy
yz
zx
(1)
3
zx
(3)
· Cách 2:
(4)
xy
yz
zx
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức Û x = y = z = 1.
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Ta có:
Þ
Tương tự:
Vậy
4
x
3+4 =1+1+1+4 ³4 4
x
x
x
3+ 4 ³ 2
8
y
4
x
8
8
38
8
8
8
3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ³ 2 é 4x + 4y + 4z ù ³ 6 4x.4y.4z
úû
ëê
³6
24
4x + y + z = 6
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Ta có:
1+x=1+
1+
1+
9
y
x x x
x3
+ + ³ 44 3
3 3 3
3
y
y
y
y
y3
=1+
+
+
³ 44 3 3
3x 3x 3x
x
3 x
=1+
3
y
+
3
y
+
3
y
³ 44
2
33
y3
2
æ
9 ö
36
Þ ç 1+
³ 164 3
÷
ç
y ÷ø
y
è
y öæ
9 ö
x3 y3 36
æ
³ 256 4 3 . 3 3 . 3 = 256
Vậy: (1+ x ) ç 1+ ÷ ç 1+
÷
x ø çè
y ÷ø
è
3 3 x y
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
· Cách 1:
38
z=
3
3
a + 3b Þ x = a + 3b;
3
c + 3a Þ z = c + 3a
3
3
y=
3
b + 3c Þ y = b + 3c;
3
3
3
Þ x + y + z = 4(a + b + c) = 4.
3
= 3. BĐT cần ch. minh Û x + y + z £ 3
4
3
Ta có: x + 1 + 1 ³ 3 x3 .1.1 = 3x; y + 1 + 1 ³ 3 3 y3 .1.1 = 3y;
3
3
3 + 4z ³ 2 4z
3+ 4 ³ 2 4 ;
Đặt x =
3
3
z + 1 + 1 ³ 3 z3 .1.1 = 3z
3
3
3
Þ 9 ³ 3(x + y + z) (vì x + y + z = 3)
Vậy x + y + z £ 3
x
4 =2 4
y
a + 3b + 1+ 1 1
= (a + 3b + 2)
3
3
3 (b + 3c).1.1 £ b + 3c + 1+ 1 = 1 (b + 3c + 2)
3
3
3 (c + 3a).1.1 £ c + 3a + 1+ 1 = 1 (c + 3a + 2)
3
3
1
1é 3
ù
Suy ra: 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a £ [ 4(a + b + c) + 6] £ ê 4. + 6ú = 3
3
3ë 4
û
3
ì
1
ïa + b + c =
Dấu "=" xảy ra Û í
Ûa=b=c=
4
4
îïa + 3b = b + 3c = c + 3a=1
3 (a + 3b).1.1 £
Ta có:
ì x 3 = y 3 = z3 = 1
ìa + 3b = b + 3c = c + 3a=1
ï
ï
Û
Dấu "=" xảy ra Û í
í
3
3
ïa + b + c =
ïîa+b+c= 4
î
4
1
Ûa=b=c=
4
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
2
Ta có: 0 £ x £ 1 Þ x ³ x
1
1
x y -y x £ Û x y £ +y x
(1)
4
4
1
1
1
1
Theo BĐT Côsi ta có: y x + ³ yx2 + ³ 2 yx2 . = x y Þ x y - y x £
4
4
4
4
ì
ï0 £ y £ x £ 1
ï
Û
Dấu "=" xảy ra Û í x = x2
ï
1
ï yx2 =
î
4
ìx = 1
ï
í
1
ïîy = 4
39
- Xem thêm -
.PDF 
22 
605 
59 
