Tài liệu Tuyển tập các bài tập luyện tập bđt

  • Số trang: 22 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 455 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Tham gia: 02/08/2015

Mô tả:

III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. 2. 2 2 2 2 2 Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) Chứng minh: sinx + cos x £ 2 3. Cho 3a – 4b = 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. 5. Cho 3a – 5b = 8. 6. Cho a + b = 2. 7. Cho a + b ³ 1 2 PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN BĐT Bunhiacopxki I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 2 Chứng minh: 3a + 4b ³ 7. 725 2 2 Chứng minh: 3a + 5b ³ . 47 2464 2 2 . Chứng minh: 7a + 11b ³ 137 4 4 Chứng minh: a + b ³ 2. 1 Chứng minh: a2 + b2 ³ 2 a2 + b2 2 a + b 3 a3 + b3 ³ 2 2 a b Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ a+ b b a 1 1 2 Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ 2 2 1+ ab 1+ a 1+ b Cho a + b ³ 0 chứng minh: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 6. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R 7. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) 8. Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx 9. a. Chứng minh: a+ b+ c ³ 3 b. Chứng minh: a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö ³ç ÷ 3 3 è ø Cho a, b > 0 chứng minh: 3 a3 + b3 æ a + b ö ³ç ÷ (*) 2 è 2 ø 3 3 3 a +b æ a + bö 2 -ç ÷ ³ 0 Û ( a + b)( a - b) ³ 0 . ĐPCM. 8 2 è 2 ø a+b a2 + b2 («) £ 2 2 ÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng. Chứng minh: a+b £ 2 2 2 a +b . 2 a+b Cho a + b ³ 0 chứng minh: ³ 2 3 3 ( a + b)3 a3 + b3 3 a +b Û £ 2 8 2 Û 3 ( b - a ) ( a2 - b2 ) £ 0 Û -3 ( b - a ) ( a + b) £ 0 , ĐPCM. a b Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ³ a + b («) b a («) Û a a + b b ³ a b + b a Û ( a - b) a - ( a - b) b ³ 0 Û ( a - b) ( a - b ) ³ 0 Û 10. Chứng minh: ab + bc + ca ; a,b,c ³ 0 3 2 a2 + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc 4 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b 12. Chứng minh: x2 + y2 + z2 ³ 2xy - 2xz + 2yz 2 5. a+b £ 2 3 5. Vậy: 4. Chứng minh: 4. ( a - b)2 a2 + b2 + 2ab a2 + b2 ÷ a + b > 0 , («) Û £0 Û ³ 0 , đúng. 4 4 2 3. 2. a3 + b3 æ a + b ö ³ç ÷ 2 è 2 ø Lời giải: (*) Û 2. Cho a, b > 0 chứng minh: 3. 3 1. 1. ( 13. Chứng minh: x 4 + y4 + z2 + 1 ³ 2xy(xy 2 - x + z + 1) 1 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: 2 2 2 a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca). b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 c. 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a3 + b3 ³ 2 a - b ) ( a + b ) ³ 0 , ĐPCM. 1 1 2 Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ («) 2 2 1+ ab 1+ a 1+ b 4 HTTP://KINHHOA.VIOLET.VN 1 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a,b,c ³ 0 2. Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0 3. Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) với a , b , c ³ 0 3 m 4. 5. 6. 7. 8. 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 + 3 + 3 £ 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: với a , b , c , d ³ 0 a. a + b + c + d ³ 44 abcd b. m bö æ aö æ + Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ³ 2m + 1 , với m Î Z bø è è aø bc ca ab Chứng minh: + + ³ a + b + c ; a,b,c ³ 0 a b c Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc . a b c 1æ 1 1 1ö 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 + 2 + 2 £ ç + + ÷ 2 2 2 2è a b c ø a +b b +c a +c 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1. 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ³ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc 1 öæ 1 öæ 1ö æ c) ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 è a øè b øè c ø 1 x+ ³3 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( x - y) y 16. Chứng minh: x2 + 1 b) x+8 x -1 ³ 6 , "x > 1 y2 1 18. Chứng minh: + £ , "x , y Î R 4 4 4 1+ 16x 1+ 16y a b c 3 19. Chứng minh: + + ³ ;a,b,c>0 b+c a+c a+b 2 2 4 2 2 bc + b ac + c 29. Cho y = 32. 33. 34. a2 + 5 a2 + 1 ³4 (Côsi 3 số ) ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: 2 a + 3 b + 4 c ³ 9 abc x 18 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2 x x 2 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x -1 3x 1 26. Cho y = + , x > -1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x +1 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 3 2x - 1 2 x 5 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 1- x x 31. c) 2 (Côsi 4 số) 9 x3 + 1 x2 , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. x 2 + 4x + 4 , x > 0. x 2 Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0. x Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. 5 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ . Định x để y đạt GTLN 2 5 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN 2 5 1 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ . Định x để y đạt GTLN 2 2 x Cho y = 2 . Định x để y đạt GTLN x +2 30. Tìm GTNN của f(x) = ab bc ca a+b+ c + + £ ; a, b, c > 0 17. Chứng minh: a+ b b+ c c+ a 2 x2 với a , b , c ³ 0 , 3 3 9. ³ 2 ,"x Î R 3 22. Chứng minh: a + b + c ³ a x6 + y9 ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0 4 1 Chứng minh: 2a4 + ³ 3a2 - 1. 1+ a 2 Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) ,a>0 x2 + 2 a + b + c ³ 3 abc 3 Chứng minh: a) 3 35. 36. 37. 38. Cho y = x2 ( x 2 + 2 )3 . Định x để y đạt GTLN 3 7. Chứng minh: 2a4 + 1 1+ a («) Û a4 + a4 + a2 + 1+ 2 ³ 3a2 - 1 («) 1 1+ a 2 Û ³ 4a2 . 8. 1 1+ a 2 ³ 44 a4 a4 ( a2 + 1) Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) («) 1 1+ a 2 1 1+ a 2 Û = 4a2 ÷ 6. ,a>0 7. 1995 1995 + 1+ ... + 1 ³ 1995 a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 114243 a = 1995a Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc . a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c 2 + c2a2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: 11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ab ³ a b - 1 + b a - 1. ° a = ( a - 1) + 1 ³ 2 a - 1 , b = ( b - 1) + 1 ³ 2 b - 1 ° ab ³ 2b a - 1 , ab ³ 2a b - 1 Tương tự: y ³ 4 4( 2 x - 1) ( y - 1) ( z - 1) ; 2 ( y - 1) ( z - 1) z³4 4( 1+ b2 a (b - a) ° a = ( a - b) + ( b - c ) + c ³ 33 ( a - b)( b - c ) c 8 b ( a - b) + b-a æ a b ö ³0 1+ ab çè 1+ a2 1+ b2 ÷ø ³0 Û ( b - a ) 2 ( ab - 1) b - a æ a + ab2 - b - ba2 ö Û ³ 0 ³ 0 , ĐPCM. çç ÷ 1+ ab è (1+ a2 )(1+ b2 ) ÷ø (1+ ab) (1+ a2 )(1+ b2 ) Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) a2 a2 a2 a2 - ab + b2 + - ac + c2 + - ad + d2 + - ae + e2 ³ 0 4 4 4 4 2 2 8. 2 x - 1) ( y - 1) ( z - 1) 2 2 Chứng minh: x2 + y 2 + z2 ³ xy + yz + zx Û 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ³ 0 Û 9. ( x - y )2 + ( x - z )2 + ( y - z )2 ³ 0 a. Chứng minh: ÷ a+ b+ c ³ 3 ab + bc + ca ; a,b,c ³ 0 3 a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca 2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ab + bc + ca æa+ b+ cö ÷ ç ³ ÷ = 3 9 3 è ø a+ b+ c ³ 3 b. Chứng minh: ÷ ab + bc + ca 3 a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö ³ç ÷ 3 3 è ø 2 3 ( a2 + b2 + c 2 ) = a2 + b2 + c2 + 2 ( a2 + b2 + c2 ) ³ a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) Þ Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c . 1 1 ab - a2 ab - b2 + ³0 ³ 0Û 1+ ab 1+ ab (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) Û ° ab ³ a b - 1 + b a - 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° x = ( x - 1) + 1 = ( x - 1) + x + y + z - 3 = ( x - 1) + ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) ³ 44 ( x - 1) - æa ö æa ö æa ö æa ö Û ç - b ÷ + ç - c ÷ + ç - d ÷ + ç - e ÷ ³ 0 . ĐPCM è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø 6 a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ³ 6 a6b6 c6 = 6abc a b c 1æ 1 1 1ö 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 + 2 + 2 £ ç + + ÷ 2 2 2 2è a b c ø a +b b +c a +c a a 1 b b 1 c c 1 £ = £ = £ = ° , 2 , 2 2 2 2 2 2ab 2b 2bc 2c a + c 2ac 2a a +b b +c a b c 1æ 1 1 1ö + + £ ç + + ÷ ° Vậy: 2 a + b2 b2 + c2 a2 + c2 2 è a b c ø ° 1 Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2 ( a + b + c ) ; a , b , c Î R Û 1994 soá ° ÷ + 2 2 2 Û ( a - 1) + ( b - 1) + ( c - 1) ³ 0 . ĐPCM. («) Û a1995 > 1995a - 1995 Û a1995 + 1995 > 1995a 9. 1+ a 2 Û Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: a4 , a4 , a2 + 1, a 4 + a 4 + a 2 + 1+ 1 10. Chứng minh: a2 + b2 + c2 æ a + b + c ö ³ç ÷ 3 3 è ø 2 a2 + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc 4 5 2 2 Û a2 æa ö - a ( b - c ) + b2 + c2 - 2bc ³ 0 Û ç - ( b - c ) ÷ ³ 0 . 4 è2 ø 11. Chứng minh: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Û 2a2 + 2b2 + 2 - 2ab - 2a - 2b ³ 0 Û a2 - 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + 1 ³ 0 2 2 Þ ( a + b)( b + c ) ( a + c ) ³ 8 a 2b2c2 = 8abc . 2 Û ( a - b) + ( a - 1) + ( b - 1) ³ 0 . 2 2 2. 2 12. Chứng minh: x + y + z ³ 2xy - 2xz + 2yz Þ a + b + c ³ 33 abc , a2 + b2 + c2 ³ 3 a2b2c2 2 3 Þ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c 2 ) ³ 9 a3b3 c3 = 9abc . 13. Chứng minh: x4 + y4 + z2 + 1 ³ 2x(xy2 - x + z + 1) Û x4 + y4 + z2 + 1- 2x2 y2 + 2x2 - 2xz - 2x ³ 0 3. Û ( x2 - y2 ) + ( x - z ) + ( x - 1) ³ 0 . 2 2 3 3 2 1ö 1 1 æ 3 3 Þ a + b = 3ç a - ÷ + ³ . è 2ø 4 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: 2 2 2 a. ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca). 2 2 2 2 2 2 ÷ ab + bc + ca £ a + b + c Û (a – b) + (a – c) + (b – c) ÷ a > b-c , b > a-c , c > a-b b. Þ a2 > b2 - 2bc + c2 , b2 > a2 - 2ac + c2 , c2 > a2 - 2ab + b2 2 2 2 Þ a + b + c < 2(ab + bc + ca). abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 ÷ a2 > a2 - ( b - c ) Þ a2 > ( a + c - b)( a + b - c ) ÷ ÷ ° m 4. m 5. 2 2 6 m m bö æ aö æ ³ 2 ç 1+ ÷ . ç 1 + ÷ bø è aø è 2 6. ³ 2 4m = 2m + 1 bc ca ab Chứng minh: + + ³ a + b + c ; a, b, c > 0 a b c ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: Chứng minh: x6 + y9 ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ 0 («) 4 3 3 («) Û x6 + y9 + 64 ³ 12x2 y3 Û ( x2 ) + ( y3 ) + 43 ³ 12x2 y3 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ( x2 )3 + ( y3 )3 + 43 ³ 3x2y3 4 = 12x2y3 . 7 m b aö æ = 2 ç2+ + ÷ a bø è ca ab a2bc + ³2 = 2a b c bc bc ca ab Þ + + ³ a+b+c . a b c c > c - ( a - b) Þ c > ( b + c - a ) ( a + c - b) 2 m 3 ³ 2m + 1 , với m Î Z bc ca abc2 bc ba b2ac + ³2 = 2c , + ³2 = 2b , a b ab a c ac 2 Þ a2b2c2 > ( a + b - c ) ( a + c - b) ( b + c - a ) Û abc > ( a + b - c )( a + c - b)( b + c - a ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 0 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 Û 4a b + 2c (b + a ) – a – b – 2a b – c > 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 Û 4a b + 2c (b + a ) – (a + b ) – c > 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Û (2ab) – [(a + b ) – c ] > 0 Û [c – (a – b) ][(a + b) – c ] > 0 Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. m bö æ aö æ Cho a, b > 0. Chứng minh: ç 1+ ÷ + ç 1+ ÷ bø è è aø bö æ aö æ 1+ ÷ + ç 1+ ÷ ÷ çè bø è aø 2 2 c. 3 ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ 1+ 33 abc + 3 a2b2c2 + abc = (1+ 3 abc ) b2 > b2 - ( a - c ) Þ b2 > ( b + c - a ) ( a + b - c ) 2 3 Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ 3 abc ) , với a , b , c ³ 0. ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc. ÷ a + b + c ³ 33 abc , ab + ac + bc ³ 3 a2b2c 2 1 14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: a + b ³ 4 3 3 2 3 ° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b = (1 – a) = 1 – a + a – a 3 Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 0 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 3 Û x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz ³ 0 Û (x – y + z) ³ 0. 2 Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a, b, c ³ 0 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: Þ a + b ³ 2 ab , b + c ³ 2 bc , a + c ³ 2 ac + ° Dấu “ = ” xảy ra Û x -1 2 2 = Û ( x - 1) = 4 Û 2 x -1 éx = 3 ê x = -1(loaïi) ë 5 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 2 3x 1 26. Cho y = + , x > -1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x +1 3(x + 1) 1 3 + ÷ y= 2 x+1 2 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ³ 16abc. 2 b) ° 3 ( x + 1) 1 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : 2 x+1 3 ( x + 1) 1 3 3 ( x + 1) 1 3 3 + - ³2 . - = 62 x +1 2 2 x+1 2 2 Dấu “ = ” xảy ra Û é 6 -1 êx = 3 ( x + 1) 1 2 2 3 Û = Û ( x + 1) = Û ê ê 2 x +1 3 6 - 1(loaïi ) êx = 3 ë c) ° 6 3 - 1 thì y đạt GTNN bằng 6 2 3 x 5 1 27. Cho y = + ,x > . Định x để y đạt GTNN. 3 2x - 1 2 2x - 1 5 1 ÷ y= + + 6 2x - 1 3 Vậy: Khi x = 2x - 1 5 1 2x - 1 5 1 + + ³2 . + = 6 2x - 1 3 6 2x - 1 3 Dấu “ = ” xảy ra 2x - 1 5 , : 6 2x - 1 30 + 1 3 30 + 1 30 + 1 thì y đạt GTNN bằng 2 3 x 5 28. Cho y = + , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 1- x x 12 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: a) é 30 + 1 êx = 2x - 1 5 2 2 = Û ( 2x - 1) = 30 Û ê Û ê 6 2x - 1 - 30 + 1 (loaïi ) êx = ë 2 Vậy: Khi x = 4 1 4 ab2c ° ³ b b 1 öæ 1 öæ 1ö æ ÷ ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 è a øè b øè c ø 1+ 1 x+ 4 1 4 abc2 ³ c c ³3 ( x - y) y ( x - y) y 1 VT = ( x - y ) + y + ³ 33 =3 ( x - y) y ( x - y) y 16. Chứng minh: ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm y= 4 1 ö æ a + a + b + c ö 4 a2bc æ ç 1+ ÷ = ç ÷³ a a è aø è ø ° 1+ ÷ 2 2 2 ° 4a (1- a ) = (1- a ) ( 4a - 4a2 ) = (1- a ) éë1- (1- 2a ) ùû £ 1- a = b + c (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ³ 2 bc.2 ac.2 ab = 8abc 1 öæ 1 öæ 1ö æ ç 1+ ÷ç 1+ ÷ç 1+ ÷ ³ 64 è a øè b øè c ø ° y= 2 2 æb+ cö æb+ cö æ 1- a ö ç ÷ ³ bc Û 16abc £ 16a ç ÷ = 16a ç ÷ = 4a (1- a ) è 2 ø è 2 ø è 2 ø ° b) c. x2 + 2 2 x +1 x+8 x -1 ³ 2 Û x 2 + 2 ³ 2 x 2 + 1 Û x 2 + 1+ 1 ³ 2 x 2 + 1 = x -1 = x - 1+ ( a2 + 1) + 4 ³ 2 4 ( a2 + 1) = 4 17. Chứng minh: ° x - 1+ 9 9 x -1 ³2 a2 + 1 Û x -1 9 x -1 a2 + 5 a2 + 1 =6 ³4 ab bc ca a+b+ c + + £ ; a, b, c > 0 a+ b b+ c c+ a 2 Vì : a + b ³ 2 ab Þ ab ab £ = a + b 2 ab ab bc bc , £ = 2 b + c 2 bc bc ac ac , £ = 2 a + c 2 ac ac 2 ° a + b + c ³ ab + bc + ca , dựa vào: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca . ° ab bc ca + + £ a+ b b+ c c+ a ab + bc + ac a + b + c £ 2 2 9 18. Chứng minh: ° ° ÷ x2 1+ 16x4 y2 1+ 16y 4 x2 1+ 16x 4 x2 1+ 16x4 = = + x2 1+ ( 4x ) 2 y2 1+ ( 4y ) 2 y2 1+ 16y y2 + 4 1+ 16y4 £ £ £ x2 2.4x2 y2 2.4y 2 £ 1 , "x , y Î R 4 = 1 8 = 1 8 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. a + b + c + d ³ 44 abcd với a , b , c , d ³ 0 ÷ a + b ³ 2 ab , c + d ³ 2 cd ( ÷ a + b + cd ³ 2 ( ab + cd ) ³ 2 2 a + b + c ³ 33 abc b. ÷ a+b+ c+ 1 4 Û a b c 3 + + ³ ;a,b,c>0 b+c a+c a+b 2 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. 1 ° a + b + c = (X + Y + Z) 2 Y+Z-X Z+X-Y X+Y-Z ,b= ,c= ° a= 2 2 2 ù a b c 1 éæ Y X ö æ Z X ö æ Z Y ö ° + + = ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ - 3ú b + c a + c a + b 2 ëêè X Y ø è X Z ø è Y Z ø û 1 3 ³ [ 2 + 2 + 2 - 3] = . 2 2 Cách khác: a b c æ a ö æ b ö æ c ö ° + + =ç + 1÷ + ç + 1÷ + ç + 1÷ - 3 b+ c a+ c a+ b èb+ c ø èa+ c ø èa+b ø 1 1 1 ö æ 1 = [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] ç + + ÷-3 2 è b+ c a + c a + bø ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: 1 [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a )] æç 1 + 1 + 1 ö÷ ³ 9 - 3 = 3 ° 2 2 è b+ c a + c a + bø 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 1 1 1 1 + 3 + 3 £ 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc ° ° a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + a2 ) ³ ( a + b) ab Þ a3 + b3 + abc ³ ( a + b) ab + abc = ab ( a + b + c ) , tương tự b3 + c3 + abc ³ ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c ) c3 + a3 + abc ³ ( c + a ) ca + abc = ca ( a + b + c ) ÷ VT £ 1 1 1 1 æa+b+cö + + = ç ÷ ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c è abc ø 10 ) ab. cd ³ 44 abcd với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số ) a+b+ c a+b+ c ³ 4.4 abc 3 3 a+ b+ c 4 a+b+ c ³ abc Û 3 3 4 a+b+ c æa+ b+ cö ç ÷ ³ abc 3 3 è ø 3 19. Chứng minh: ° (Côsi 4 số) æa+ b+ cö 3 Û ç ÷ ³ abc Û a + b + c ³ 3 abc . 3 è ø 22. Chứng minh: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > 0 ° ° a3 + abc ³ 2a2 bc , b3 + abc ³ 2b2 ac , c3 + abc ³ 2c2 ab a3 + b3 + c3 + 3abc ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) Þ 2 ( a3 + b3 + c3 ) ³ 2 ( a2 bc + b2 ac + c 2 ab ) , vì : a3 + b3 + c3 ³ 3abc Vậy: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab 23. Chứng minh: 2 a + 33 b + 44 c ³ 99 abc ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số không âm: VT = a + a + 3 b + 3 b + 3 b + 4 c + 4 c + 4 c + 4 c ³ 99 abc x 18 24. Cho y = + , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 2 x ° ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y= x 18 x 18 + ³2 . =6 2 x 2 x x 18 = Û x2 = 36 Û x = ± 6 , chọn x = 6. 2 x Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 x 2 25. Cho y = + ,x > 1 . Định x để y đạt GTNN. 2 x -1 x -1 2 1 + + ÷ y= 2 x -1 2 x -1 2 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : 2 x-1 ° Dấu “ = ” xảy ra Û y= x -1 2 1 x -1 2 1 5 + + ³2 . + = 2 x -1 2 2 x -1 2 2 11 2 735 æ 4 9ö 2 2 5 b £ ç + ÷ ( 3a2 + 5b2 ) Û 3a + 5b ³ . 47 è3 5ø 3 5 2464 2 2 . Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a + 11b ³ 137 3 5 ÷ 3a - 5b = 7a11b 7 11 3 5 , 7a , , 11b : ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 7 11 ° 5. 7. 3 2464 æ 9 25 ö ( 2 2 2 2 . 11b £ ç + ÷ 7a + 11b ) Û 7a + 11b ³ è 7 11 ø 137 7 11 4 4 Cho a + b = 2. Chứng minh: a + b ³ 2. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: ° 6. 3a- 3 7a- 5 ° 2 = a + b £ (1+ 1) ( a2 + b2 ) Û a +b ³2 ° 2 £ ( a2 + b2 ) £ (1+ 1) ( a4 + b4 ) Û a +b ³2 Cho a + b ³ 1 ° 1£ a + b £ Chứng minh: a2 + b2 ³ 2 2 4 4 1 2 (12 + 12 ) ( a2 + b2 ) Û a2 + b2 ³ f(x) = x 5 (1- x ) + 5x x x -1 x 1- x 5 + = +5 +5³ 2 +5= 2 5+5 1- x x 1- x x 1- x x 2 Dấu “ = ‘ xảy ra Û ° Vậy: GTNN của y là 2 5 + 5 khi x = 29. Cho y = ° ° ° x 1- x 5- 5 æ x ö (0 < x < 1) =5 Ûç ÷ =5Ûx= 1- x x 4 è 1- x ø x3 + 1 x2 x3 + 1 , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. x x 1 xx 1 3 + + 2 ³ 33 =3 2 2 2 x 22x 4 x x x x 1 Dấu “ = ‘ xảy ra Û = = 2 Û x = 3 2 . 2 2 x 3 Vậy: GTNN của y là 3 khi x = 3 2 4 2 = x+ 1 2 = 30. Tìm GTNN của f(x) = 1 2 5- 5 4 x 2 + 4x + 4 , x > 0. x x2 + 4x + 4 4 4 = x + + 4 ³ 2 x. + 4 = 8 x x x 4 ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û x = Û x = 2 (x > 0). x ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 2 31. Tìm GTNN của f(x) = x2 + 3 , x > 0. x ° ° x2 + 2 x 3 3 = æ x2 ö æ 1 ö 2 x2 x2 x2 1 1 + + + 3 + 3 ³ 55 ç ÷ ç 3 ÷ = 3 3 3 x è 3 ø èx ø x 5 5 x 1 = 3 Û x = 5 3 Û x = 2 (x > 0). 3 x 5 khi x = 5 3 . ° Vậy: GTNN của y là 5 27 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) ° ° ° Dấu “ = ‘ xảy ra Û 2 11x ö 11 ö 1 1 æ æ 2 f(x) = –10x + 11x – 3 = -10 ç x2 £ ÷ - 3 = -10 ç x ÷ + 10 ø 20 ø 40 40 è è 11 Dấu “ = “ xảy ra Û x = 20 13 16 27 2 1 11 thì y đạt GTLN bằng . 20 40 33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN. ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6): ° Vậy: Khi x = 6 = x + ( 6 - x ) ³ 2 x ( 6 - x ) Þ x(6 – x) £ 9 Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 5 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ . Định x để y đạt GTLN. 2 1 ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 2 ° ° ° 5ö æ ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , ç -3 £ x £ ÷ : è 2ø 1 121 ° 11 = ( 2x + 6) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 6)( 5 - 2x ) Þ (2x + 6)(5 – 2x) £ 2 8 1 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û x = 4 121 1 . ° Vậy: Khi x = - thì y đạt GTLN bằng 4 8 5 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ 5 . Định x để y đạt GTLN. 2 1 ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) 2 æ 5 ö ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , ç - £ x £ 5 ÷ : è 2 ø 1 625 ° ( 2x + 5) + (10 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 5)(10 - 2x ) Þ (2x + 5)(10 – 2x) £ 2 8 5 ° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û x = 4 5 625 ° Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN bằng 4 8 1 5 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ . Định x để y đạt GTLN 2 2 ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 5ö æ 1 ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , ç - £ x £ ÷ : è 2 2ø ° ° ( 2x + 1) + ( 5 - 2x ) ³ 2 ( 2x + 1)( 5 - 2x ) Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9 ° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. x . Định x để y đạt GTLN 37. Cho y = 2 x +2 1 x 1 ° 2 + x 2 ³ 2 2x2 = 2x 2 Û Þ y£ ³ 2 2 2 2+ x 2 2 ° Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 2 và x > 0 Þ x= 2 ° Vậy: Khi x = 2 thì y đạt GTLN bằng 38. Cho y = x2 ( x 2 + 2 )3 . . Định x để y đạt GTLN x2 3 ° x 2 + 2 = x2 + 1+ 1 ³ 3 x2 .1.1 Û ( x2 + 2) ³ 27x2 Þ ° Dấu “ = “ xảy ra Û x 2 = 1 Û x = ± 1 ° Vậy: Khi x = ± 1 thì y đạt GTLN bằng 3 ( x 2 + 2) 3 £ 1 27 1 . 27 III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. 2 2 2 2 2 Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) («) BĐT Bunhiacopxki («) Û a2b2 + 2abcd + c 2d2 £ a2b2 + a2d2 + c 2b2 + c2d2 2 Û a2d2 + c2b2 - 2abcd ³ 0 Û ( ad - cb) ³ 0 . 2. Chứng minh: sinx + cos x £ 2 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : ° 3. 2 (12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x ) = 2 2 Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a + 4b ³ 7. ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4 b : 2 2 3. 3a + 4. 4b £ ( 3 + 4) ( 3a2 + 4b2 ) Û 3a + 4b ³ 7. 725 2 2 Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a + 5b ³ . 47 2 3 ÷ 2a - 3b = 3a5b 3 5 2 3 ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số , 3a , , 5b: 3 5 ° 4. sinx + cos x = 1. sinx + 1. cos x £ 3a + 4b = Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1 14 1 2 2 15 a2 + b2 + c2 (a, b, c là các cạnh của DABC, R là 2R bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) 5 Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = . Tìm 4 4 1 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S= + x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC x+ y+ z£ Chứng minh bất đẳng thức: a c b2 + b + 50 + ³ b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất a c + . b d 38. (Đại học 2002 dự bị 6) 1. 2. 3. 4. của biểu thức: S = 3 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các 2 cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: 1 1ö æ 1 1 1öæ 1 ç a + b + c ÷ç h + h + h ÷ ³ 3 è øè a b c ø 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC có diện tích bằng x2 + 1 + y2 + 1 + z2 + 1 6. 7. Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) 3 3 3 Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x + y + z ³ x + y + z. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 thức: A=x+y+z+ + + x y z (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) 5 Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất của 4 4 1 . biểu thức: A = + x 4y (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức: a b c d + + + <2 a+ b+ c b+ c+ d c+ d+ a d+ a+b (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) æ 1 2 ö 2 Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1) çè x2 + x + 1÷ø ³ 16. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: ³ 82 x2 y2 z2 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin x + 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: (1) ì 4p(p - a) £ bc ï í A B C 2 3-3 (2) ïsin sin sin = 2 2 2 8 î a+b+ c trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = . 2 42. (Đại học khối A 2005) 1 1 1 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : + + = 4 . x y z 20 5. (CĐGT II 2003 dự bị) 8. 3 cosx a+ b+ c a+b+ c a+b+ c + + ³9 a b c (CĐKTYTế1 2006) 2 Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 1 1 1 b c ö æ a thì: + b + c ³ 3ç a + b + c ÷ a 3 3 3 3 3 ø è3 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 2 2 2 Cho ba số dương a, b, c thoả a + b + c = 1. Chứng minh: a b c 3 3 + 2 + 2 ³ 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) 17 13. 14. 15. 16. 2 a3 3 + b3 3 + c3 3 ³ 26. (ĐH Y HN 2000) Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện 2 Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: a 3 + b3 > c 3 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh a b c a b c rằng: 8 +8 +8 ≥2 +2 +2 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + ³ 3 ab bc ca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) minh rằng: Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: 18 a3 + b3 æ a + b ö ³ç ÷ 2 è 2 ø 2 ( b c a 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b - 1 + b a - 1 £ ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi 2 2 2 bằng 3 thì: 3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 2 (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ 3 abc a b c + + b c a 2 2 a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bc ca ab biểu thức: P = 2 + 2 + 2 2 2 a b + a c b c + b a c a + c 2b 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: ïìa2 + b2 + c2 = 2 Cho các số a, b, c thoả: í ïîab + bc + ca = 1 4 4 4 4 4 4 Chứng minh: - £ a £ ; - £ b £ ; - £ c £ 3 3 3 3 3 3 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 æ 1 1 1ö + + ³ 2ç + + ÷ p-a p-b p-c èa b cø (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 2 y 2 x 2 z 1 1 1 + 3 + 3 £ 2+ 2+ 2 3 2 2 2 x +y y +z z +x x y z (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb+ c a + logc + a b + loga+ b c > 1 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: 3 ) 3 2 3 + = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất x y của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) c+1 c+1 c–1 c–1 Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a +b ≥ ab(a +b ) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 2 + xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) n+1 n Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n > (n + 1) 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = a + 1 + b + 1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì 1 1 1 9 khác không: 2 + 2 + 2 ³ 2 x y z x + y 2 + z2 BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: a2 2 + b2 b c 33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: x y z 3 1 1 1 + + £ £ + + 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z 2 + c2 a 2 ³ a b c + + b c a 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 (*) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 19 6. 7. 8. 9. b d b d + < + =1 b+ c+ d d+ a+b b+ d b+ d Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) 2 æ 1 2 ö æ1 ö 2ç 2 + 1 + + 1 Ta có: (x + 1) è x2 x ÷ø ³ 16 (1) Û (x + 1) çè x ÷ø ³ 16 æ1 ö 2 2 Û (x + 1) ç + 1÷ ³ 4 (do x > 0) Û (x + 1) ³ 4x Û (x – 1) ³ 0 (2) èx ø (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) b c a c a b Xét vế trái của BĐT đã cho: VT = 1+ + + + 1+ + + + 1 a a b b c c æ b a ö æ c a ö æ c bö = 3 + ç + ÷+ç + ÷+ç + ÷ èa bø èa cø èb cø Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có: b a b a b c b c c a c a + ³ 2 . = 2; + ³ 2 . = 2; + ³2 . =2 a b a b c b c b a c a c Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm). (CĐKTYTế1 2006) 2 2 y £ 0, x + x = y + 12 Þ x + x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3 2 3 2 y = x + x – 12 Þ A = x + 3x – 9x – 7 3 2 Đặt f(x) = A = x + 3x – 9x – 7 với – 4 £ x £ 3 2 f¢(x) = 3x + 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3 f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10). (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 2 Ta có: x + y + z ³ 3 3 xyz Û xyz ³ 3 3 xyz Û (xyz) ³ 27 Û xyz ³ 3 3 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 3. Vậy minA = 3 3 . 10. (Học viện BCVT 2001) 1 Ta có hàm số f(x) = x là hàm nghịch biến nên: 3 1ö æ 1 (a – b) ç a - b ÷ ≤ 0, "a, b. 3 ø è3 a b b a Þ + b £ a + b , "a, b. (1) a 3 3 3 3 b c b c Tương tự: b + c £ c + b (2) 3 3 3 3 24 1 1 1 + + £1 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 43. (Đại học khối B 2005) Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có: Chứng minh rằng: x x x æ 12 ö æ 15 ö æ 20 ö x x x ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³3 +4 +5 5 4 3 è ø è ø è ø Khi nào đẳng thức xảy ra? 44. (Đại học khối D 2005) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 1+ x 3 + y 3 1 + y 3 + z3 1 + z3 + x 3 + + ³3 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức xảy ra? 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ³ 6 2 y öæ 9 ö æ Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: (1+ x ) ç 1+ ÷ ç 1+ ÷ ³ 256 x ø çè y ÷ø è Đẳng thức xảy ra khi nào? 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) 3 Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: 4 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a £ 3 Khi nào đẳng thức xảy ra? 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì x y - y x £ 1 . 4 Đẳng thức xảy ra khi nào? 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR: x2 y2 z2 3 + + ³ 1 + y 1+ z 1 + x 2 50. (Đại học khối A 2006) Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: 2 2 (x + y)xy = x + y – xy. 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 + 3 . x y 51. (Đại học khối B 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= ( x - 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y - 2 21 LỜI GIẢI 1. f¢(t) = 3 – 2 Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 Û æ 3 ö æy zö BC = ç - ÷ + ç (y + z) ÷ = y2 + yz+z2 ç ÷ è 2 2ø è 2 ø Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC 2. x+ Þ x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) x + y + z ³ 3 3 x3 y3z3 Þ 2(x + y + z ) ³ 6 3 3 3 3 3 3 3 x + 1 + 1 ³ 3 x3 Þ x + 2 ³ 3x (1) 3 3 3 Tương tự: y + 1 + 1 ³ 3 y 3 4. 3 Þ y + 2 ³ 3y(2) 3 3 (3) z + 1 + 1 ³ 3 z Þ z + 2 ³ 3z Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) · Cách 1: Theo BĐT Côsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 3 xyz > 0 3 3. 3 1 1 1 + + ³ x y z A ³ 3 3 xyz + Từ đó: Đặt: t = 3 3 3 3 xyz xyz 1 3 3 1 với 0 < t £ t 3 22 y+ 1 2 ³ , 9y 3 z+ 1 3 xyz ³3 1 2 ³ 9z 3 1ö æ 1ö æ 1 ö 8 æ 1 1 1ö 8 3 æ ³ 10 Từ đó: A= ç x + ÷ + ç y + 9y ÷ + ç z + 9z ÷ + 9 ç x + y + z ÷ ³ 2 + 3 9x 9 xyz è ø è ø ø è è ø 1 1 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = .Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 3 3 (CĐSPHCM khối ABT 2006) 5 Ta có: x + y = Û 4x + 4y – 5 = 0 4 4 1 4 1 4 1 A= + = + 4x+ + 4y - 5 Þ A ³ 2 .4x + 2 .4y – 5 4y x 4y x 4y x ÞA³5 3 xyz , điều kiện: 0 < t £ Xét hàm số f(t) = 3t + 3 1 2 ³ , 9x 3 5. 1 3 1 . 3 · Cách 2: 2 2 æ 1ù < 0, "t Î ç 0; ú è 3û Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = æ 3 ö zö æ z ÷ = x 2 + xz + z2 ç x + ÷ + çç ÷ 2ø 2 è è ø AC = t 2 Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 2 2 3(t 2 - 1) 1 3 2 æ 3 ö yö æ x y ÷ = x2 + xy + y2 + ç ÷ + çç ÷ 2ø 2 è è ø AB = t 2 = Bảng biến thiên: (CĐGT II 2003 dự bị) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm: æ æ y 3 ö 3 3 ö æy z ö z ÷ , B ç 0; y+ z ÷ , C ç - ;0 ÷ Açx + ; ç ÷ ç ÷ 2 2 ø 2 ø è2 2 ø è è 2 Ta có: 3 ì4 ï x = 4x ï ìx = 1 ï 1 = 4y ï ï Û í Dấu "=" xảy ra Û í 4y 1. ïî y = 4 ï 5 ïx + y = 4 ï ïî x,y > 0 (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có: a c a c + < + =1 a+ b+ c c+ d+ a a+ c a+ c 23 Vậy Amin = 5. c é ù 1 êæ a ö 2 æ b ö 2 æ c ö 2 ú 3 + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ³ 2 êè b ø ècø èaø ú 2 êë úû Cộng 4 BĐT trên, vế theo vế, ta có: 3 3 3ù é 3 êæ a ö 2 æ b ö 2 æ c ö 2 ú 3 3 é a b c ù 3 ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ú+ ³ ê + + ú+ 2 êè b ø 2 2 ëb c aû 2 ècø èaø ëê ûú 3 3 3 + a 3a b £ + a 3c c + = c 3a a (3) a b c a + b b + c b c ö 1 1 1 æ a 3ç a + b + c ÷ £ a + b + c 3 3 ø 3 3 3 è3 1 Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = . 3 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Hay a b-1 b a -1 + £1Û ab ab Theo BĐT Côsi ta có: + (4) 3 3 3 3 3 3c Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: b c ö 1 1ö æ a æ 1 3 ç a + b + c ÷ £ (a + b + c) ç a + b + c ÷ 3 3 ø 3 3 ø è3 è3 Mặt khác: æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c Suy ra: ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ + + b c a èbø ècø èaø 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) BĐT (*) Û 3c a 1æ 1ö 1æ 1ö 11+ £1 b èç b ø÷ a èç a ø÷ 1 æ 1ö + ç 1- ÷ 1æ 1ö b è b ø 1 1£ = b çè b ÷ø 2 2 (1) 1 æ 1ö + ç 1- ÷ 1æ 1ö a è a ø 1 1£ = a çè a ÷ø 2 2 Cộng 2 BĐT lại ta được BĐT cần chứng minh. 1 1 ì1 ïï b = 1- b = 2 Dấu “=” xảy ra Û í Û a = b = 2. ï 1 = 1- 1 = 1 ïî a a 2 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0. Do đó theo BĐT Côsi ta có: 2 2 a b a b æ a ö3 æ b ö3 a b + = 1 Þ 0 < , < 1 Þ ç ÷ +ç ÷ > + = 1 Từ giả thiết ta có: c c c c c c ècø ècø 28 b2 + c2 = a 1- a 2 = a2 a(1- a2 ) (1) 3 3 æ 2a2 + (1- a2 ) + (1- a2 ) ö æ 2ö Mà 2a .(1 – a ) ≤ ç =ç ÷ ÷ ç ÷ 3 è3ø è ø 4 2 2 2 2 2 Þ a .(1 – a ) ≤ (2) Þ a(1 – a ) ≤ 27 3 3 2 2 2 a a 2 b +c 2 ³ 3 3 2 a 2 b c 3 3 2 3 3 + ³ (a + b2 + c2 ) = 2 2 c2 + a2 a2 + b2 2 2 ì 2a = 1- a ïï 1 . Dấu “=” xảy ra Û í 2b2 = 1- b2 Û a = b = c = 3 ï 2 2 ïî 2c = 1- c 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) ìï(a + b)2 - 2ab = 2 - c 2 ïìa2 + b2 + c2 = 2 Û í Ta có: í ïîc(a + b) + ab = 1 ïîab + bc + ca = 1 Do đó: 3 a 2 Từ (1), (2) suy ra: æ 3 - 2a + 3 - 2b + 3 - 2c ö (3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤ ç ÷ =1 3 è ø Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1 Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1 Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 2 2 2 2 2 2 Û 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14 2 = 3(a + b +c) – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1. 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 2 Do a + b + c = 1 nên (vì a + b + c = 1) b2 + c 2 + ìa + b = S 2 (S – 4P ≥ 0) Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt í îab = P ìïS2 - 2P = 2 - c2 (1) í (2) ïîcS+P =1 Từ (2) Þ P = 1 – cS, thay vào (1) ta được: Ta được hệ: 25 éS = -c - 2 2 2 2 2 S – 2(1 – cS) = 2 – c Û S + 2cS + c – 4 = 0 Û ê ëS = -c + 2 2 · Với S = – c – 2 Þ P = 1 + c(c + 2) = c + 2c + 1 2 2 2 BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c – 2) – 4(c + 2c + 1) ≥ 0 4 2 Û –3c – 4c ≥ 0 Û - £ c £ 0 (3) 3 2 · Với S = –c + 2 Þ P = 1 – c(–c + 2) = c – 2c + 1 2 2 2 BĐT: S – 4P ≥ 0 Û (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ 0 4 2 Û –3c + 4c ≥ 0 Û 0£c£ (4) 3 4 4 Từ (3), (4) ta được: - £c£ 3 3 4 4 Tương tự ta chứng minh được: - £ a,b,c £ 3 3 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Trước hết, ta dễ dàng chứng minh được nếu x, y > 0 thì: 1 1 4 + ³ (1) x y x+y Dấu “=” xảy ra Û x = y. 1 1 4 4 Áp dụng (1) ta được: + ³ = p-a p-b p-a+p-b c 1 1 4 4 + ³ = p-b p- c p-b+p-c a 1 1 4 4 + ³ = p-c p-a p-c+p- a b Cộng 3 BĐT trên vế theo vế, ta được: æ 1 1 1 ö æ 1 1 1ö + + 2ç ÷ ³ 4 ç + + ÷ Û đpcm èa b cø èp- a p-b p-cø Dấu “=” xảy ra Û a = b = c. 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) 3 2 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x , y ta có: 2 x 2 x 1 3 2 £ = x + y ≥ 2 x3 y2 = 2xy x Þ 3 2 2xy x xy x +y Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương 1 x , 2 26 1 y2 ta có: 1 1æ 1 1ö 2 x 1æ 1 1ö £ ç 2 + 2÷ Þ 3 £ ç 2 + 2÷ 2 ç ÷ ç xy 2 è x 2è x y ø x +y y ÷ø Tương tự ta cũng có: 2 y 1æ 1 1ö 2 z 1æ 1 1ö £ ç 2 + 2÷ £ ç 2 + 2 ÷; 3 3 2 2 ç ÷ 2 2 y +z z ø z +x x ø èz èy Suy ra: 2 x 3 x +y 2 + 2 y 3 y +z 2 + 2 z 3 z +x 2 £ 1 x 2 + 1 y 2 + 1 z2 ìï x3 = y2 ìï y3 = z2 ìïz3 = x2 Dấu “=” xảy ra Û í vaø í vaø í Û x=y=z=1 îï x = y îï y = z îïz = x 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y = loga x là đồng biến và dương. 1 Do đó hàm số y = logxa = là nghịch biến. loga x Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta được: VT= logb+ c a + logc+ a b + loga +b c ³ loga +b a + loga +b b + loga+ b c = loga +b abc Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1. 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) · Xét f(x) = xa – ax + a – 1 (x ≥ 0) –1 f¢(x) = 0 Û x = 1 f¢(x) = a(xa – 1); Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xa + a – 1 ≥ ax. · BĐT cần chứng minh: 3 3 3 æ a ö2 æ b ö2 æ c ö2 a b c ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³ + + b c a èbø ècø èaø 3 Áp dụng BĐT đã chứng minh với a = , ta có: 2 3 3 æ a ö2 1 3 a æ b ö2 1 3 b ç ÷ + ³ . ; ç ÷ + ³ . ; b 2 2 b 2 2 c è ø ècø Mặt khác, theo BĐT Côsi ta có: 27 3 æ c ö2 1 3 c ç ÷ + ³ . 2 2 a èaø 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) æ ö y 2 z2 ö æ x 2 z2 ö æ x 2 y 2 BĐT cần chứng minh Û ç 1+ 2 + 2 ÷ + ç 2 + 1+ 2 ÷ + ç 2 + 2 + 1÷ ≥ 9 ç ÷ ç ÷ ç ÷ x x ø èy y ø èz z è ø æ y 2 z2 ö æ x 2 z2 ö æ x 2 y 2 ö Û 3 + ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷+ç 2 + 2 ÷ ≥ 9 çx x ÷ø çè y y ÷ø çè z z ÷ø è 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Côsi ta có: * * a2 + 2 b a b2 c 2 + c2 a ³ 33 2 2 2 a + 1³ 2 ; b b b b + 1³ 2 ; c c 2 a2 a2 b2 c2 . . =3 b2 c2 a2 2 b2 (1) c 2 a 2 + 1³ 2 c a c2 a2 b2 c2 a b c + + b c a b c a 33. (ĐH Hàng hải 1999) 2 + 2 + ³ 2 2 2 · Do (x – 1) ≥ 0 nên x + 1 ≥ 2x Û 2y Tương tự ta cũng có: 2x Do đó: Hay: 1+ x x + (2) 2 + y + 1+ y 2y 1+ y 2 z + £ 2 2x 1+ x 2 ≤ 1; 2z 1 + z2 ≤1 2z 1 + z2 ≤1 ≤3 Þ 2 2 3 2 (1+ x) + (1+ y) + (1+ z) 3 ≤2 £ 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) ≤ 1 1 1 3 + + 1+ x 1+ y 1+ z 32 2 b2 + 2a2 = ab b2 + 2a2 và đpcm Û x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ 3 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 2 2 2 2 2 2 3(x + 2y ) = 3(x + y + y ) ≥ (x + y + y) 1 Þ x2 + 2y2 ³ (x + 2y) 3 Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có: 1 x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ (3x + 3y + 3z) = 3 3 1 Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = Ûa=b=c=3 3 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) 3 a3 + b3 æ a + b ö 3 3 3 ³ç ÷ Û 4(a + b ) ≥ (a + b) 2 è 2 ø 2 2 2 2 Û (a + b) [4(a + b – ab) – (a + b + 2ab)] ≥ 0 2 2 2 Û (a + b)(3a + 3b – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b) ≥ 0 BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng. Đẳng thức xảy ra Û a = ± b. 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 2 2 2 2 2 2 a) a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca 2 2 2 Þ a + b + c ≥ ab + bc + ca. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c 2 2 2 2 b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 29 Ta có: (1) 1+ x 1+ y 1+ z · Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có: 1 1 1 + + 1 1 1+ x 1+ y 1+ z ³3 = 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) 3 (1+ x)(1+ y)(1+ z) 2 2 1 1 = + 2. 2 a2b2 a2 b 1 1 1 Đặt x = ; y = ; z = thì a b c ìa,b,c > 0 ì x,y,z > 0 giả thiết í Û í îab + bc + ca = abc îx + y + z = 1 Ta có: æa b cö Þ 2 + 2 + 2 ³ 2ç + + ÷ - 3 èb c aø b c a Kết hợp (1) và (2) ta được: æ a2 b2 c2 ö æa b cö 2ç 2 + 2 + 2 ÷ ³ 2ç + + ÷ çb ÷ èb c aø c a ø è Þ 2 Từ đó suy ra: a 3 + b3 > c 3 20. (ĐHQG HN khối A 2000) a b c Đặt x = 2 , y = 2 , z = 2 thì x, y, z > 0. a+b+c Đ.kiện a + b + c = 0 Û xyz = 2 = 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 3 3 Mặt khác: x + 1 + 1 ≥ 3x Þ x ≥ 3x – 2 3 3 Tương tự: y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 2 3 3 3 Þ x + y + z ≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z a b c a b c Þ8 +8 +8 ≥2 +2 +2 21. (ĐHQG HN khối D 2000) 1 2 1 a Ta có: 2 = = = a b + a2c a2 (b + c) a2 æ 1 + 1 ö 1 + 1 çb c÷ b c è ø bc 27. (ĐH An Giang khối D 2000) c c c+1 c+1 c–1 c–1 Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ a (a – b) ≥ b (a – b) Þ a +b ≥ ab(a +b ) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có: 2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6 3 xyz (1) bc 1 1 1 ;y= ; z= thì a b c ìa, b, c > 0 ì x,y,z > 0 x2 y2 z2 Û í giả thiết í và P = + + y+z z+x x+y îabc = 1 î xyz=1 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: Đặt x = æ x y z ö + z + x. + x + y. (y + z + z + x + x + y).P ≥ ç y + z. ÷ ç y+z z+x x + y ÷ø è 1 1 1 2 Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) Þ P ≥ (x + y + z) ≥ .33 xyz = .3 2 2 2 3 ÞP≥ 2 3 Nếu P = thì x = y = z = 1 Þ a = b = c = 1 2 3 3 Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P = . Vậy minP = 2 2 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) (a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ ≥ ( 3 1 + 3 3 abc + 3 a2b2c2 + abc = 1+ 3 abc ) 2 3 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c > 0. 26. (ĐH Y HN 2000) ( 2+ 3 ) 2 ( Þx+y≥ ( Giá trị 2 æ 2 ö æ 2 3ö 3 =ç . x+ . y ÷ £ ç + ÷ (x + y) = 6(x + y) ç x ÷ y èx yø è ø 2+ 3 ) 2+ 3 ) 6 Vậy min(x + y) = (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx > 18xyz (vì 2 +xyz > 0) 2 + xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) 4 3 4 3 Ta có: 3 = 81, 4 = 64 Þ 3 > 4 Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3. n n 1ö æ æ n + 1ö Với n > 3, đpcm Û n > ç ÷ Û ç 1+ ÷ < n n n è ø è ø n 1ö æ ç 1+ ÷ = è nø Ta có: n 1 å Ckn nk (1) = k=0 n n(n - 1) 1 n(n - 1)...(n - n + 1) 1 . 2 + ... + . n + n 2! n n! n - ö 1æ 1 æ 1 öæ 2 ö æ ö =1+1+ ç 1- 1 ÷ + ... + ç 1- ÷ç 1- ÷ ...ç 1- n 1÷ < 2! è n ø n! è n øè n ø è n ø 1 1 1 1 + ... + < 1 + 1 + + ... + n-1 < <1+1+ 2! n! 2 2 1 1 1 < 1 + 1 + + ... + n-1 + … = 1 + =3 1 2 2 12 =1+ n 2 6 2 (2) và xy + yz + zx ≥ 3 3 x2y2z2 Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được: 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được: ì 2 3 ì : x= : y ï ïx = y ï x ï Û đạt được Û í í 2 ï ï 2+ 3 ïî y = ïx + y = 6 î ( 5+ 2 6 6 ) 2( 2 + 3) 6 3( 2 + 3) 6 1ö æ Þ ç 1+ ÷ < 3 < n Þ (1) n è ø 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a + 1, b + 1 ), ta có: A = 1. a + 1 + 1. b + 1 ≤ mà a + b = 1 nên A ≤ Dấu “=” xảy ra Û Vậy maxA = 30 (1+ 1)(a + 1+ b + 1) 6 a+1= b+1 Û a = b Û a = b = 6 khi a = b = 1 2 31 1 ( do a + b = 1) 2 Đặt Q(t) = 9t + 9 9 æ 1ù æ 1ù ÞQ¢(t) = 9 – 2 < 0, "tÎ ç 0; ú ÞQ(t) giảm trên ç 0; ú t è 9û è 9û t æ 1ö Þ Q(t) ³ Q ç ÷ = 82. Vậy P ³ Q(t) ³ 82 è 9ø 1 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 · Cách 2: Ta có: 2 2 æ 1 1 1ö æ 1 1 1ö 2 2 2 (x + y + z) + ç + + ÷ = 81(x + y + z) + ç + + ÷ – 80(x + y + z) èx y zø èx y zø æ 1 1 1ö 2 ³ 18(x + y + z). ç + + ÷ – 80(x + y + z) ³ 162 – 80 = 82 èx y zø Vậy P ³ 82 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 1 . 3 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) 5 · Tìm max: y = sin x + Ta chứng minh: Û 3 cosx ≤ sin x + 3 cosx ≤ 4 sin x + 3 (1 – cosx) – sin x ≥ 0 Û 4 3 cosx 4 (1) 3 , "x Î R (2) 3 (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ 0 2 2 Û (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx) ] ≥ 0 (3) Theo BĐT Côsi ta có: 1 (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ 2 2 3 ≤ Vậy BĐT (3) đúng Þ (2) đúng Þ y ≤ Û x = k2p. Vậy maxy = 5 3 , "x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1 3 cosx ≥ – sin x + 4 Tương tự như trên, ta được miny = – 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) 3 cosx. 3 , đạt được khi x = p + k2p. (a + b + c)(b + c - a) (b + c)2 - a2 2bc(1+ cos A) £1 Û £1Û £1 bc bc bc A 3 A 1 A 3 £ Û sin2 ³ Û sin ³ (do 0 < 2 4 2 4 2 2 Biến đổi vế trái của (2) như sau: A B C 1 Aæ B-C B+C ö sin sin sin = sin ç cos - cos ÷ ≤ 2 2 2 2 2è 2 2 ø Û cos2 36 A p < ) 2 2 35. (Đại học 2002 dự bị 1) x+ y+ z= ≤ 1 a . ax + 1 b . by + æ 1 1 1ö ç a + b + c ÷ .2S = è ø 1 c (3) 1 Aæ Aö sin ç 1- sin ÷ = 2 2è 2ø . cz ≤ æ 1 1 1ö ç a + b + c ÷ (ax+by+cz) è ø æ 1 1 1 ö abc ç a + b + c ÷ 2R = è ø ab + bc + ca 2R a2 + b2 + c2 2R ìDABC ñeàu ìa = b = c Dấu “=” xảy ra Û í Û í x = y = z î îM truøng vôùi troïng taâm G cuûa DABC 36. (Đại học 2002 dự bị 3) 5.5 1 1 1 1 1 5 =5 · Cách 1: S = + + + + ≥ ³ x + x + x + x + 4y x x x x 4y 5 x.x.x.x.4y ≤ 3. · Tìm min: Ta có y = sin x + (1) Û 1æ 4 ö 32 < 3 ç ÷ = 2è 3ø 27 3 1 1 1 £ + + (2) 2 1 + x 1+ y 1+ z Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) 2 3 2 3 2 3 Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x ≥ x ; y ≥ y ; z ≥ z . 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) Do đó nếu ta chứng minh được: 2 2 2 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 (1) thì (*) đúng. 2 2 2 2 Ta có: (1 – y)(1 + y – x ) ≥ 0 Û x + y – x y – 1 ≤ 0 (2) éy = 1 ê Dấu “=” ở (2) xảy ra Û ê ì x = 1 í ëê î y = 0 2 2 2 Tương tự ta cũng có: x +z –zx–1≤0 (3) 2 2 2 y +z –yz–1≤0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2 2 2 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 3 Vậy (1) đúng Þ (*) đúng Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Î {(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)} Û 1 ì1 ï x = 4y ìx = 1 ïï ï Û í minS = 5 Û í x = 4y 1 ïî y = 4 ï 5 ïx + y = 4 ïî 33 · Cách 2: S = 4 1 + = f(x), x 5 - 4x 0 b (c, b Î N) nên c ≥ b + 1 thành thử: 1 b + 1 b2 + b + 50 a c = + ≥ + b 50 50b b d Vậy BĐT của đề ra đã được chứng minh. ìa = 1 ï Dấu “=” xảy ra Û íd = 50 ïc = b + 1 î S= Để tìm minS, ta đặt liên tục x: f(x) = b2 + b + 50 b 1 1 = + + và xét hàm số có biến số 50b 50 b 50 x 1 1 + + (2 ≤ x ≤ 48) 50 x 50 1 1 x2 - 50 ; - 2 = 50 x 50x 2 Bảng biến thiên: f¢(x) = ìï x2 = 50 Û x=5 2 f¢(x) = 0 í ïî 2 £ x £ 48 5 2 Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)]. 49 + 57 53 64 + 58 61 53 = = > Ta có f(7) = ; f(8) = 350 175 400 200 175 ìa = 1 ïb = 7 53 ï khi í Vậy minS = 175 ïc = 8 ïîd = 50 38. (Đại học 2002 dự bị 6) 1 1 1 Ta có diện tích tam giác: S = aha = bhb = chc 2 2 2 2S 2S 2S ; hb = ; hc = Þ ha = a b c 1 1 1 1 Þ (a + b + c) + + = ha hb hc 2S 1 1ö 1 æ 1 1 1öæ 1 æ 1 1 1ö Þ ç + + ÷ç (a + b + c) ç + + ÷ + + ÷= è a b c ø è ha hb hc ø 2S èa b cø æ 1 1 1ö Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c) ç + + ÷ ≥ 9 èa b cø 1 1ö 9 3 æ 1 1 1öæ 1 + + , nên ta có: ç + + ÷ ç ÷³ =3 2 è a b c ø è ha hb hc ø 3 39. (Đại học khối A 2003) r r r r r r Với mọi u,v ta có: u + v £ u + v (*) và vì S = r æ 1 ö r æ 1ö r æ 1ö a = ç x; ÷ ; b = ç y; ÷ ; c = ç z; ÷ è xø è zø è yø r r r r r r r r r Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a + b + c ³ a + b + c ³ a + b + c Đặt 2 Vậy P = x + 1 x2 2 + y + 1 y2 2 + z + b2 + b + 50 (2 ≤ b ≤ 48, b Î N) 50b 34 ³ z2 æ 1 1 1ö (x + y + z) + ç + + ÷ èx y zø 2 2 · Cách 1: 2 æ 1 1 1ö Ta có: P³ (x + y + z) + ç + + ÷ ³ èx y zø 2 2 Chuyển về biểu thức f(b) = 1 ( 33 1 æx+ y+zö với t = (3 xyz)2 Þ 0 < t £ ç ÷ £ 3 9 è ø 35 xyz ) 2 2 æ 1 ö 9 + ç 33 = 9t + ç xyz ÷÷ t è ø 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) 2 2 2 2 =– x 1+ y x 1+ y . + ³2 =x 1+ y 4 1+ y 4 Ta có: 2 A B C 1 1æ 3 1ö 1 1 Do (3) suy ra: sin sin sin £ - ç - ÷ = - (4 - 2 3) ç ÷ 2 2 2 8 2è 2 2ø 8 8 y 1+ z y 1+ z . + ³2 =y 1+ z 4 1+ z 4 z2 1+ x z2 1 + x . + ³2 =z 1+ x 4 1+ x 4 Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có: æ x2 1+ y ö æ y 2 1+ z ö æ z 2 1+ x ö + + + çç ÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷ ³ x+y+z 4 ø è 1+ z 4 ø è 1+ x 4 ÷ø è 1+ y = x2 y2 z2 3 x+y+z 3(x + y + z) 3 + + ³- +x+y+z ³ 4 4 1 + y 1+ z 1 + x 4 4 3 3 9 3 3 ³ .3 - = - = (vì x + y + z ³ 3 3 xyz = 3) 4 4 4 4 2 x2 y2 z2 3 + + ³ . Vậy: 1 + y 1+ z 1 + x 2 50. (Đại học khối A 2006) · Cách 1: 1 1 1 1 1 Từ giả thiết suy ra: + = 2 + 2 . x y x xy y Û 1 1 2 2 = a, = b, ta có: a + b = a + b – ab x y 3 3 2 2 2 A = a + b = (a + b)(a – ab + b ) = (a + b) 2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) – 3ab. Đặt (1) x 3 + 1 y 3 = x3 + y3 3 3 x y = (x + y)(x2 + y2 - xy) 3 3 x y 40 = (x + y)2 xy 3 3 x y = B-C ì ïïcos 2 = 1 ìïA = 1200 Dấu “=” xảy ra Û í Ûí 0 ïsin A = 3 îïB = C = 30 ïî 2 2 42. (Đại học khối A 2005) Với a, b > 0 ta có: 1 a+b 1 1æ 1 1ö 2 £ Û £ ç + ÷ 4ab £ (a + b) Û a + b 4ab a + b 4è a bø Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Áp dụng kết quả trên ta có: 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1 1æ 1 1 ö 1æ 1 1 1ö £ ç + + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + ÷ 2x+y+z 4 è 2x y + z ø 8 è x 2y 2z ø 4 ë 2x 4 è y z ø û Tương tự: 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 £ ç + + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + x + 2y + z 4 è 2y x + z ø 4 ë 2y 4 è x z ø û 8 è y 2z 1 1æ 1 1 ö 1 é 1 1 æ 1 1 öù 1æ 1 1 £ ç + + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ç + x + y + 2z 4 è 2z x + y ø 4 ë 2z 4 è x y ø û 8 è z 2x (1) 1ö ÷ (2) 2x ø 1ö ÷ (3) 2y ø Vậy: x S2 2 Ta có: SP = S – 3P Û P = S+ 3 1 2 3 -3 8 ö 1 1 1 1æ 1 1 + + £ ç + + 1÷ = 1 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 4 è x yz ø Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3 x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . 4 43. (Đại học khối B 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có: 2 3 æ a + bö 2 2 Vì ab ≤ ç ÷ nên a + b ≥ (a + b) – 4 (a + b) è 2 ø 2 Þ (a + b) – 4(a + b) ≤ 0 Þ 0 ≤ a + b ≤ 4 2 Suy ra: A = (a + b) ≤ 16 1 Với x = y = thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 2 · Cách 2: 2 Đặt S = x + y, P = xy với S – 4P ³ 0. Từ giả thiết Þ S, P ¹ 0. A= 2 2 1 éæ A 1ö 1ù 1 1æ A 1ö 1æ 2 A Aö sin = ê ú sin sin sin = – ç ÷ ç ÷ 2 êçè 2 2 ÷ø 4ú 8 2è 2 2ø 2è 2 2ø ë û (x + y)2 2 2 x y x æ 12 ö æ 15 ö æ 12 ö ç 5 ÷ +ç 4 ÷ ³ 2 ç 5 ÷ è ø è ø è ø Tương tự ta có: x x æ 15 ö .ç ÷ è 4 ø x x Þ x æ 12 ö æ 20 ö x ç ÷ +ç ÷ ³ 2.4 è 5 ø è 3 ø x æ 12 ö æ 15 ö x ç ÷ + ç ÷ ³ 2.3 è 5 ø è 4 ø x x æ 15 ö æ 20 ö x ç ÷ +ç ÷ ³ 2.5 è 4 ø è 3 ø (2) 37 (1) (3) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3) là các đẳng thức Û x = 0. 44. (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 1+ x 3 + y 3 ³ xy 1 + x + y ³ 3 3 1.x3 .y3 = 3xy Û 3 3 1 + y 3 + z3 ³ yz Tương tự: 3 Mặt khác 3 Þ xy 3 + 3 + yz 3 + 3 3 + zx 1+ z3 + x3 ³ zx (2); yz ³ 33 ³3 3 3 xy 3 3 3 xy yz zx (1) 3 zx (3) · Cách 2: (4) xy yz zx Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra Û (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức Û x = y = z = 1. 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Ta có: Þ Tương tự: Vậy 4 x 3+4 =1+1+1+4 ³4 4 x x x 3+ 4 ³ 2 8 y 4 x 8 8 38 8 8 8 3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ³ 2 é 4x + 4y + 4z ù ³ 6 4x.4y.4z úû ëê ³6 24 4x + y + z = 6 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1+x=1+ 1+ 1+ 9 y x x x x3 + + ³ 44 3 3 3 3 3 y y y y y3 =1+ + + ³ 44 3 3 3x 3x 3x x 3 x =1+ 3 y + 3 y + 3 y ³ 44 2 33 y3 2 æ 9 ö 36 Þ ç 1+ ³ 164 3 ÷ ç y ÷ø y è y öæ 9 ö x3 y3 36 æ ³ 256 4 3 . 3 3 . 3 = 256 Vậy: (1+ x ) ç 1+ ÷ ç 1+ ÷ x ø çè y ÷ø è 3 3 x y 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1) · Cách 1: 38 z= 3 3 a + 3b Þ x = a + 3b; 3 c + 3a Þ z = c + 3a 3 3 y= 3 b + 3c Þ y = b + 3c; 3 3 3 Þ x + y + z = 4(a + b + c) = 4. 3 = 3. BĐT cần ch. minh Û x + y + z £ 3 4 3 Ta có: x + 1 + 1 ³ 3 x3 .1.1 = 3x; y + 1 + 1 ³ 3 3 y3 .1.1 = 3y; 3 3 3 + 4z ³ 2 4z 3+ 4 ³ 2 4 ; Đặt x = 3 3 z + 1 + 1 ³ 3 z3 .1.1 = 3z 3 3 3 Þ 9 ³ 3(x + y + z) (vì x + y + z = 3) Vậy x + y + z £ 3 x 4 =2 4 y a + 3b + 1+ 1 1 = (a + 3b + 2) 3 3 3 (b + 3c).1.1 £ b + 3c + 1+ 1 = 1 (b + 3c + 2) 3 3 3 (c + 3a).1.1 £ c + 3a + 1+ 1 = 1 (c + 3a + 2) 3 3 1 1é 3 ù Suy ra: 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a £ [ 4(a + b + c) + 6] £ ê 4. + 6ú = 3 3 3ë 4 û 3 ì 1 ïa + b + c = Dấu "=" xảy ra Û í Ûa=b=c= 4 4 îïa + 3b = b + 3c = c + 3a=1 3 (a + 3b).1.1 £ Ta có: ì x 3 = y 3 = z3 = 1 ìa + 3b = b + 3c = c + 3a=1 ï ï Û Dấu "=" xảy ra Û í í 3 3 ïa + b + c = ïîa+b+c= 4 î 4 1 Ûa=b=c= 4 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) 2 Ta có: 0 £ x £ 1 Þ x ³ x 1 1 x y -y x £ Û x y £ +y x (1) 4 4 1 1 1 1 Theo BĐT Côsi ta có: y x + ³ yx2 + ³ 2 yx2 . = x y Þ x y - y x £ 4 4 4 4 ì ï0 £ y £ x £ 1 ï Û Dấu "=" xảy ra Û í x = x2 ï 1 ï yx2 = î 4 ìx = 1 ï í 1 ïîy = 4 39
- Xem thêm -