Mô tả:
2n + 1 2 24. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1]. Chứng minh rằng 1 1 + ≥2 (1 − x)(1 − y)(1 − z) (1 + x)(1 + y)(1 + z) 25. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng √ √ √ x + y + z ≥ xy + yz + zx 26. Posted by keira-khtn Chứng minh rằng 2x2 2y 2 2z 2 + + ≤1 2x2 + (y + z)2 2y 2 + (z + x)2 2z 2 + (x + y)2 5 27. Posted by georg Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng m a m b m c ≥ ra rb rc 28. Posted by alekk Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có bất đẳng thức sau xy + y x > 1 29. Posted by billzhao Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C 30. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng √ √ √ 5(x + y + z) + 18 ≥ 8( xy + yz + zx) 31. Posted by Mitzah Chứng minh bất dẳng thức sau cho mọi số dương a, b, c b c a + + ≤1 a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 32. Posted by Lagrangia Cho x1 , x2 , x3 , x4 , x5 > 0. Chứng minh rằng (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 )2 ≥ 4(x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 + x5 x1 ) 33. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3(a + b + c) ≥ ab + bc + ca + 2 Chứng minh rằng √ √ √ abc( a + b + c) q 3 3 3 a + bc b + ca c + ab + + ≥ 2 3 5 6 3 34. Posted by hxtung Với các số thực không âm a, b, c, d ta đặt S =a+b+c+d T = ab + ac + ad + bc + bd + cd R = abc + abd + acd + bcd H = abcd Chứng minh rằng S ≥ 4 r T ≥ 6 r 3 R √ 4 ≥ H 4 35. Posted by Maverick Chứng minh trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức a(hb + hc ) + b(hc + ha ) + c(ha + hb ) ≥ 12S 36. Posted by Lagrangia Cho a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác lồi. Chứng minh rằng √ √ 4 3 S ≤ p + abcd 37. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng √ √ a3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a3 2 √ + + ≥ ( ab + bc + ca)2 c a b 3 38. Posted by hxtung Cho các số thực x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn và thỏa mãn (x1 )k + (x2 )k + · · · + (xn )k ≥ 0 với mọi số nguyên dương k. Đặt d = max |x1 |, . . . , |xn | Chứng minh rằng x1 = d và (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ) ≤ xn − dn với mọi số thực x ≥ d 7 39. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1. Chứng minh rằng abc + bcd + cda + dab ≤ 1 + 176abcd 27 40. Posted by keira-khtn Với x1 , x2 , . . . , xn và y1 , y2 , . . . , yn là các số thực dương. Chứng minh rằng X X min (xi xj , yi yj ) ≤ min (xi yj , xj yi ) 41. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≥ 6. Chứng minh rằng r r r √ 1 1 1 3 17 a2 + + b2 + + c2 + ≥ b+c c+a a+b 2 42. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức p p (a2 b + b2 c + c2 a)(ab2 + bc2 + ca2 ) ≥ abc + 3 (a3 + abc)(b3 + abc)(c3 + abc) 43. Posted by Myth Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng r q √ √ 3 x + y + 4 z ≥ 32 xyz 44. Posted by Maverick Cho a, b > 0.Đặt √ √ A = ( a + b)2 √ √ 3 3 a + a2 b + ab2 + b B= 4 √ a + ab + b C= 3 Chứng minh rằng A≤B≤C 8 45. Posted by hxtung Cho x, y, z là cá số thực dương. Chứng minh rằng 3(x2 − x + 1)(y 2 − y + 1)(z 2 − z + 1) ≥ (xyz)2 + xyz + 1 46. Posted by hxtung Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi số thực a, b, c (a + b − c)2 (b + c − a)2 (c + a − b)2 ≥ (a2 + b2 − c2 )(b2 + c2 − a2 )(c2 + a2 − b2 ) 47. Posted by Lagrangia b≤B b≤C b≤ Cho tam giác ABC thỏa mãn A π 2 b ≥ π . Chứng minh rằng và B 3 mb ≥ ha 48. Posted by alekk Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng a2 + b 2 + c 2 ≤ a2 b + b 2 c + c 2 a + 1 49. Posted by alekk Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng √ √ √ √ b+c √ b + c( a + b + a + c) ≥ + ab + ac 2 50. Posted by Arne Chứng minh bất đẳng thức cosec π π π π + cosec + · · · + cosec n−1 ≤ cosec n 2 4 2 2 luôn đúng với mọi số nguyên dương n. Trong đó cosec(x) = 1 sin x 51. Posted by Lagrangia Cho a, b, c > 0 và n là số tự nhiên lớn hơn 2. Chứng minh rằng n−3 n−1 n a+b n n (a + b ) + c ≥ nabc 2 2 9 với x 6= kπ 52. Posted by Maverick Cho các số thự dương x1 , x2 , . . . , xn . Chứng minh rằng x + x + · · · + x x1+x2+···+xn 1 2 n xn x2 x1 x1 x2 · · · xn ≥ n 53. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng a b c + + ≥a+b+c c a b 54. Posted by hxtung Cho dãy số x1 , x2 , . . . , xn thỏa mãn x1 + x2 + · · · + xk ≤ √ k với mọi số k nguyên dương nhỏ bằng n. Chứng minh rằng 1 1 1 2 2 2 x1 + x2 + · · · + xn ≥ 1 + + ··· + 4 2 n 55. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng √ a b c 3 +√ +√ ≤ 2 2 2 2 1+a 1+b 1+c 56. Posted by Maverick Cho các số dương a1 , a2 , . . . , an và b1 , b2 , . . . , bn . Chứng minh rằng a1 + a2 + · · · + an b1 + b2 + · · · + bn b1 +b2 +···+bn ≥ a1 b1 b1 a2 b2 b2 ··· 57. Posted by alekk Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng y3 z3 x+y+z x3 + + ≥ 2 2 2 2 2 2 x +y y +z z +x 2 10 an bn bn 58. Posted by Cho các số a1 , a2 , . . . , an−1 > 0 thỏa mãn a1 + a2 + · · · + an = 1 và b1 , b2 , . . . , bn là các số thực. Chứng minh bất đẳng thức b21 + b2 b22 + · · · + n ≥ 2b1 (b2 + · · · + bn ) a1 an−1 59. Posted by manlio Chứng minh rằng với các số thực dương a1 , a2 , . . . , an ta có bất đẳng thức a21 a22 an1 1+ 1+ ··· 1 + ≥ (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) a2 a3 a1 60. Posted by Moubinool Chứng minh rằng (a + b + c)3 a3 b 3 c 3 + + ≥ x y z 3(x + y + z) với mọi số thực dương a, b, c, x, y, z 61. Posted by cezar lupu Cho hàm số f : R → R thỏa mãn f (x) + f (y) ≤ 2 − |x − y| với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng f (x) ≤ 1 với mọi số thực x. 62. Posted by hxtung Cho x1 , x2 , . . . , xn là các số thực nằm trong khoảng 0, π2 sao cho tan x1 + tan x2 + · · · + tan xn ≤ n Chứng minh rằng 1 sin x1 sin x2 · · · sin xn ≤ √ 2n 63. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 + ab2 1 + bc2 1 + ca2 18 + + ≥ 3 3 3 3 c a b a + b3 + c 3 11 64. Posted by Maverick Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Chứng minh rằng a2 − b 2 b 2 − c 2 c 2 − a2 + + ≥ 3a − 4b + c c a b 65. Posted by Maverick Cho x, y, z ≥ 1. Chứng minh rằng xx 2 +2yz yy 2 +2zx zz 2 +2xy ≥ (xyz)xy+yz+zx 66. Posted by Maverick Cho các số thực a1 , a2 , · · · , an nằm trong khoảng 0, 21 và thỏa a1 + a2 + · · · + an = 1 Chứng minh rằng 1 1 1 −1 − 1 ··· − 1 ≥ (n2 − 1)n a1 a2 an 67. Posted by hxtung Chứng minh rằng với mọi số thực dương a1 , a2 , · · · , an ta có bất đẳng thức a1 a2 an n + + ··· + > a2 + a3 a3 + a4 a1 + a2 4 68. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng a3 b3 c3 d3 1 + + + ≥ b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c 3 69. Posted by hxtung Cho tam giác ABC. Đặt x= Chứng minh rằng y≥ r a+b+c ,y = R 2R √ √ √ x( 6 + 2 − x) 12 70. Posted by Maverick Cho x, y, z > 0 thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng y3 z3 3 x3 + + ≥ (1 + y)(1 + z) (1 + z)(1 + x) (1 + x)(1 + y) 4 71. Posted by Arne Cho a1 , a2 , a3 , a4 , a5 là các số thực có tổng bình phương bằng 1. Chứng minh rằng min (ai − aj ) ≤ 1 10 72. Posted by Lagrangia Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≥2 A B sin 2 sin 2 sin C2 1 cos A−B 4 + 1 cos B−C 4 + 1 ! cos C−A 4 73. Posted by Maverick Cho các số thực dương x1 , x2 , . . . , xn . Chứng minh rằng P X ( xi )4 2 2 xi xj (xi + xj ) ≤ 8 74. Posted by hxtung Chứng minh rằng 2 2 a1 + a2 a1 + a2 + · · · + an 2 a1 + + ··· + ≤ 4(a21 + a22 + · · · + a2n ) 2 n 75. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng b c 2 2 2 a + + ≥ + − bc ca ab a b c 76. Posted byorl Cho k, n là các số nguyên dương thỏa 1 < k ≤ n và x1 , x2 , . . . , xk là k số nguyên dương có tổng bằng tích 13 (a) Chứng minh rằng xn−1 + xn−1 + · · · + xnn−1 ≥ kn 1 2 (b) Điều kiện cần và đủ nào của các sốk, n và x1 , x2 , . . . , xn để xảy ra đẳng thức x1n−1 + x2n−1 + · · · + xnn−1 = kn 77. Posted by hxtung Cho các số a1 , a2 , . . . , an và b1 , b2 , . . . , bn là các số thực dương nằm trong khoảng [1001, 2002]. Giả sử rằng a21 + a22 + · · · + a2n = b21 + b22 + · · · + b2n Chứng minh rằng a3 17 a31 a32 + + · · · + n ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n ) b1 b2 bn 10 78. Posted by Maverick Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x x+ p (x + y)(x + z) + y y+ p y + x)(y + z) + z x+ p (z + x)(z + y) ≤1 79. Posted by Charlie Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + 2abcd ≥ 6 80. Posted by Charlie Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng 9(a2 + bc)(b2 + ca)(c2 + ab) ≤ 8(a3 + b3 + c3 )2 81. Posted by hxtung Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng (a) A B C 4 sin + sin + sin ≥ sin 2 2 2 3 (b) A B C 1 + sin sin sin 2 2 2 √ A B C 4 3 A B C cos + cos + cos ≥ cos 1 + sin sin sin 2 2 2 3 2 2 2 14 82. Posted by orl Dãy số an được định nghĩa như sau ? a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1 ? an+2 + an+1 = 2(an+1 + an ) (a) Chứng minh rằng tất cả các phần tử của dãy đều là số chính phương (b) Tìm công thức tường minh cho dãy 83. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 6(b + c) 3(c + a) 2(a + b) + + 3a + 6b + 9c 5a + 2b + 3c 2a + 8b + 6c 84. Posted by Maverick Cho a, b, c ≤ 1 và thỏa mãn 1 1 1 + + =2 a b c Chứng minh rằng √ a+b+c≥ √ a−1+ √ b−1+ √ c−1 85. Posted by Bottema Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 1. Chứng minh rằng a+b+c+ √ 1 3 ≤3+ 9 abc 86. Posted by manlio √ Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn 3 3(d + 1) ≥ a + b + c. Chứng minh rằng (b + cd)2 (c + ad)2 (a + bd)2 + + ≥ abc a b c 87. Posted by bugzpodder Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng yx2 + zy 2 + xz 2 ≤ 15 4 27 88. Posted by hxtung Chứng minh rằng 2 ≤ (1 − x2 )2 + (1 − y 2 )2 + (1 − z 2 )2 ≤ (1 + x)(1 + y)(1 + z) với các số không âm x, y, z có tổng bằng 1 89. Posted by Maverick Cho các số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng √ 4 3 x(1 − y )(1 − z ) + y(1 − z )(1 − x ) + z(1 − x )(1 − y ) ≤ 9 2 2 2 2 2 2 90. Posted by hxtung Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c 1 1 3 1 + + ≤ a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) 1 + abc) 91. Posted by Gil Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì x y+z z+x x+y y z + + ≥4 + + x y z y+z z+x x+y 92. Posted by hxtung Chứng minh rằng với các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + xyz = 4. Chứng minh rằng x + y + z ≥ xy + yz + zx 93. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 2ab 2bc 2ca a b c + + ≥ 2 + 2 + 2 b c a b + ca c + ab a + bc 94. Posted by Vialli Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + ≥a+b+c b+c c+a a+b 16 95. Posted by Maverick Xác định giá trị của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương x, y, z 2(x3 + y 3 + z 3 ) + 3(3k + 1)xyz ≥ (1 + k)(x + y + z)(xy + yz + zx) 96. Posted by Mitzah Chứng minh rằng với a, b, c ≤ 0 ta có 2 a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ (ab + bc + ca)2 3 97. Posted by manlio Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≥ b(a + b) c(b + c) a(c + a) 2(a + b + c)2 98. Posted by manlio Cho a, b, c ≥ −1. Chứng minh rằng 1 + a2 1 + b2 1 + c2 + + ≥2 1 + b + c2 1 + c + a2 1 + a + b2 99. Posted by manlio Nếu a, b, c là các số thực dương hãy chứng minh a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab + 2 + 2 ≥3 b2 + c 2 c + a2 a + b2 100. Posted by dreammath Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng √ √ √ 2 ab a + b a + b + c 3 3(a + ab + abc) ≤ 8 + a· · a+b 2 3 101. Posted by Maverick Cho các số thực x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn và y1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ yn . Giả sử rằng z1 , z2 , . . . , zn là một hoán vị của y1 , y2 , . . . , yn . Chứng minh rằng (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 ≤ (x1 − z1 )2 + (x2 − z2 )2 + · · · + (xn − zn )2 17 102. Posted by manlio Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng ab + bc + ca ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 8abc 103. Posted by manlio Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 và n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 1 1 1 ≥ (3n − 1)3 n n n a b c 104. Posted by bugzpodder Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương và abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≤ (1 + a)(1 + b) (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) 2 105. Posted by Myth Cho a, b, c, A, B, C > 0 và a + A = b + B = c + C = k. Chứng minh rằng aB + bC + cA ≤ k 2 106. Posted by manlio Chứng minh rằng 1 a 1 + 1 b + 1 c 1 + 1 d ≤ 1 a+c 1 + 1 b+d trong đó a, b, c, d > 0 107. Posted by manlio Cho ai (i = 1, 2, . . .) là các số thực dương. Gọi p, q, r, s là các số thực dương sao cho pr = qs. Chứng minh rằng 1 1 1 p + + ··· + (a1 + a2 + · · · + as )q ≥ np+q a1 a2 ar 108. Posted by manlio Cho các số thực a, b, c nằm trong khoảng 0, 21 và thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng p a(1 − 2a) + p p b(1 − 2b) > c(1 − 2c) 18 109. Posted by manlio Cho x, y, z là các số thực dương thỏa z = x + y. Chứng minh rằng (x2 + y 2 + z 2 )3 ≥ 54x2 y 2 z 2 110. Posted by manlio Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng xy + yz + zx ≤ 1 + 3xyz 4 111. Posted by Maverick Cho các số thực dương a1 , a2 , . . . , an có tổng nhỏ bằng 1. Chứng minh rằng nn+1 a1 a2 · · · an (1 − a1 − a2 − ... − an ) ≤ (1 − a1 )(1 − a2 ) · · · (1 − an )(a1 + a2 + · · · + an ) 112. Posted by manlio Cho 0 < A1 < 1 và ak+1 = a2k với k = 1, 2, . . .. Chứng minh rằng (a1 − a2 )a3 + (a2 − a3 )a4 + · · · + (an − an+1 )an+2 < 1 3 113. Posted by manlio Cho a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ a2n−1 ≥ 0 .Chứng minh rằng a21 − a22 + ... + a22n−1 ≥ (a1 − a2 + ... + a2n−1 )2 114. Posted by manlio √ Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 và thỏa abc = 2 2. Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8(a − 1)(b − 1)(c − 1) 115. Posted by manlio Cho ai , bi (i = 1, 2, . . .) là các số thực thỏa mãn a1 ≥ a1 + a2 a1 + a2 + · · · + an ≥ ··· ≥ 2 n b1 ≥ b1 + b2 b1 + b2 + · · · + bn ≥ ··· ≥ 2 n Chứng minh rằng n(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) ≥ (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) 19 116. Posted by manlio Chứng minh rằng với mọi số thực a1 , a2 , . . . , an ta có bất đẳng thức a1 + a2 + · · · + an n (1 − a1 )(1 − a2 ) · · · (1 − an ) + 1 + n a1 + a2 + · · · + an n ≥ (1 + a1 )(1 + a2 ) · · · (1 + an ) + 1 − n 117. Posted by darij grinberg Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức a b c a+b b+c c+a + + ≤ + + a+c b+a c+a b c a 118. Posted by pcalin Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng r r r 2a 2b 2c + + ≤3 a+b b+c c+a 119. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 + + ≤1 1+a+b 1+b+c 1+c+a 120. Posted by manlio Với ai , bi (i = 1, 2, . . . , n) là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b 2 an b n (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) a1 b 1 + + ··· + ≤ a1 + b 1 a2 + b 2 an + b n a1 + a2 + · · · + an + b1 + b2 + · · · + bn 121. Posted by Maverick Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng (a2 + ab + b2 )(b2 + bc + c2 )(c2 + ca + a2 ) ≥ (ab + bc + ca)3 122. Posted by Arne Cho a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an . Chứng minh rằng a1 a42 + a2 a43 + · · · + an a41 ≥ a2 a41 + a3 a42 + · · · + a1 a4n 20