Tài liệu Tuyển chọn 50 bài toán giải bất phương trình

  • Số trang: 21 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 82 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 62262 tài liệu

Mô tả:

CẨM NANG CHO MÙA THI TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuu bienEmail: ng.huubien@gmail.com TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Bài 1: Giải bất phương trình x + 1 − x 2 ≥ 2 − 3x − 4 x 2 . Hướng dẫn x ≥ 0 0 ≤ x ≤ 1  −3 + 41  2 ⇔  −3 − 41 . - Điều kiện: 1 − x ≥ 0 −3 + 41 ⇔ 0 ≤ x ≤ 8 ≤x≤   2 8 8  2 − 3x − 4 x ≥ 0 - Bất phương trình đã cho tương đương với x + 1 − x 2 + 2 x(1 − x 2 ) ≥ 2 − 3 x − 4 x 2 ⇔ 3( x 2 + x) − (1 − x) + 2 ( x + x 2 )(1 − x) ≥ 0  −5 + 34 x≥  x +x x +x x +x 1 9 ⇔3 +2 −1 ≥ 0 ⇔ ≥ ⇔ 9 x 2 + 10 x − 1 ≥ 0 ⇔  1− x 1− x 1− x 3  −5 − 34 . x ≤ 9  −5 + 34 −3 + 41 - Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là ≤x≤ . 9 8 2 2 2 Bài 2: Giải bất phương trình x − 1 + 2 3x − 2 + 9 x 2 − 24 x 2 + 10 x − 1 ≥ 0, ( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1 - Bất phương trình đã cho tương đương với x − 1 − 1 + 2 3 x − 2 − 4 + 9 x 2 − 24 x 2 + 10 x + 4 ≥ 0 ⇔ ( x − 1 − 1) + 2( 3 x − 2 − 2)( x − 2)(9 x 2 − 6 x − 2) ≥ 0 x−2 2(3 x − 6) + + ( x − 2) (3 x − 1) 2 − 3 ≥ 0 x −1 + 1 3x − 2 + 2 [ ⇔ ]  1 6  ⇔ ( x − 2)  + + (3 x − 1) 2 − 3 ≥ 0(1) 3x − 2 + 2  x −1 + 1  1 6 2 - Dễ thấy + + (3 x − 1) − 3 > (3.1 − 1) 2 − 3 = 1 > 0, ∀x ≥ 1 x −1 + 1 3x − 2 + 2 - Hơn nữa (1) ⇔ x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2. Kết hợp điều kiện thu được x ≥ 2. Bài 3: Giải bất phương trình sau: 1 + log 2 x + log 2 ( x + 2 ) > log 2 (6 − x) Hướng dẫn: ĐK: 0 < x < 6 . 2 2 ⇔ log 2 2 x 2 + 4 x > log 2 ( 6 − x ) ⇔ 2 x 2 + 4 x > ( 6 − x ) ⇔ x 2 + 16 x − 36 > 0 ( ) Vậy: x < −18 hay 2 < x So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 < x < 6 . Bài 4: Giải bất phương trình 9 x 3 − 22 x 2 + 19 x + x − 1 − 7 > 1, ( x ∈ R ) x3 + 2x 2 + 2x − 4 x ≥ 1 Hướng dẫn: Điều kiện  3 2 x + 2x + 2x − 4 ≠ 0 - Nhận xét x 3 + 2 x 2 + 2 x − 4 ≥ 1 + 2 + 2 − 4 = 1 > 0, ∀x ≥ 1 . - Bất phương trình đã cho tương đương với 9 x 3 − 22 x 2 + 19 x − x − 1 − 7 > x 3 + 2 x 2 + 2 x − 4 ⇔ x − 1 − 1 + 8 x 3 − 24 x 2 + 17 x − 2 > 0 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 1 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇔ - Rõ ràng 1 x−2   + ( x − 2)(8 x 2 − 8 x + 1) > 0 ⇔ ( x − 2)  + 2(2 x − 1) 2 − 1 > 0(1) x −1 + 1  x −1 + 1  1 + 2(2 x − 1) 2 − 1 > 2(2 − 1) 2 − 1 = 1 > 0, ∀x ≥ 1 nên (1) ⇔ x − 2 > 0 ⇔ x > 2 x −1 + 1 Bài 5: Giải bất phương trình: log 5 ( 4 x + 1) − log 5 ( 7 − 2 x ) ≤ 1 + log 1 ( 3x + 2 ) 5 1 7 4 2 ⇔ log 5 ( 4 x + 1) + log 5 ( 3x + 2 ) ≤ 1 + log 5 ( 7 − 2 x ) Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x < ⇔ log 5 ( 4 x + 1)( 3 x + 2 ) ≤ log 5 5 ( 7 − 2 x ) ⇔ ( 4 x + 1)( 3 x + 2 ) ≤ 5 ( 7 − 2 x ) ⇔ 12 x 2 + 21x − 33 ≤ 0 ⇔− 33 ≤ x ≤1 12 1 4 1 4 Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ 1 . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là − < x ≤ 1 Bài 6: Giải bất phương trình ( x − 1) x 2 − 2 x + 5 ≥ 4 x x 2 + 1 + 2 x + 2( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: x ∈ R. Khi đó : ⇔ ( x + 1)(2 + x 2 − 2 x + 5 ) + 2 x(2 x 2 + 1 − x 2 − 2 x + 5 ) ≤ 0 2 x(4 x 2 + 4 − x 2 + 2 x − 5) ⇔ ( x + 1)(2 + x 2 − 2 x + 5 ) + ≤0 2 x2 +1 + x 2 − 2x + 5 2 x( x + 1)(3 x − 1) ⇔ ( x + 1)(2 + x 2 − 2 x + 5 ) + ≤0 2 x2 +1 + x2 − 2x + 5 2 x(3 x − 1) ⇔ ( x + 1)(2 + x 2 − 2 x + 5 + )≤0 2 2 x +1 + x2 − 2x + 5  4 x 2 + 1 + 2 x 2 − 2 x + 5 + 2 ( x 2 + 1)( x 2 − 2 x + 5) + 7 x 2 − 4 x + 5  ≤0 ⇔ ( x + 1) 2 2   2 x +1 + x − 2x + 5   2 2 2 - Do 7 x − 4 x + 5 = ( x − 2) + 6 x + 1 > 0 nên (2) ⇔ x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ −1 ⇔ x ∈ (−∞;−1) Bài 7: Giải bất phương trình : ( x − 1) x 2 + 5 + x > x 2 + 1 Hướng dẫn: + x ≤ 1 : loại x2 − x +1 1 1 + x > 1: x + 5 > ⇔ x2 + 5 > x + ⇔ x2 + 5 − x > x −1 x −1 x −1 5 1 ⇔ > ⇔ 5 ( x − 1) > x 2 + 5 + x ⇔ 4x − 5 > x 2 + 5 2 x + 5 + x x −1 2 5  x > ⇔ ⇔x>2 4 15x 2 − 40x + 20 > 0  NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 2 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ) ( Bài 8: Giải bất phương trình: x 2 + 5 x < 4 1 + x( x 2 + 2 x − 4) (x∈ R). ( ) Hướng dẫn: x 2 + 5 x < 4 1 + x( x 2 + 2 x − 4) (*)  −1 − 5 ≤ x ≤ 0 - ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔   x ≥ −1 + 5 - (*) ⇔ 4 x( x 2 + 2 x − 4) > x 2 + 5 x − 4 ⇔ 4 x( x 2 + 2 x − 4) > ( x 2 + 2 x − 4) + 3x (**) x2 + 2 x − 4 x2 + 2x − 4 TH 1: x ≥ −1 + 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ 4 > +3 x x x2 + 2 x − 4 Đặt t = , t ≥ 0 , ta có bpt: t 2 − 4t + 3 < 0 ⇔ 1 < t < 3 x  x 2 − 7 x − 4 < 0 −1 + 17 7 + 65 x2 + 2 x − 4 1< <3⇔ 2 ⇔ 0 TH 2: −1 − 5 ≤ x ≤ 0 , x 2 + 5 x − 4 < 0 , (**) luôn thỏa mãn  −1 + 17 7 + 65  Vậy tập nghiệm BPT (*) là S =  −1 − 5;0  ∪  ;  2 2   Bài 9: Giải bất phương trình sau : 2 x + 5 + 3x − 2 > 4 x + 1 + 5 x − 6 Hướng dẫn: BPT ⇔ 2 x + 5 − 4 x + 1 + 3 x − 2 − 5 x − 6 > 0 ⇔ (−2 x + 4)[ 1 1 + ]>0 2x + 5 + 4x + 1 3x − 2 + 5 x − 6 ⇔ x<2 Bài 10: Giải bất phương trình (x +2)(x −2 2x +5) −9 ≤(x +2)(3 x2 +5 −x2 −12) + 3 5x2 +7 Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x ≥ − 5 . Khi đó ta có 2 (1) ⇔ x 3 + 3x 2 + 14x + 15 − 2(x + 2) 2x + 5 − 3(x + 2) x 2 + 5 − 3 5x 2 + 7 ≤ 0 ⇔ x 3 + 3x 2 − x − 18 − 2(x + 2)( 2x + 5 − 3) − 3(x + 2)( x 2 + 5 − 3) + 3 − 3 5x 2 + 7 ≤ 0 ⇔ (x − 2)(x2 + 5x + 9) − 2(x + 2)(2x − 4) 3(x + 2)(x 2 − 4) 5(4 − x2 ) − + 2x + 5 + 3 x2 + 5 + 3 9 + 33 5x2 + 7 + 3 5x2 + 7 (   4(x + 2) 3(x + 2)2 5(x + 2) ⇔ (x − 2)  x 2 + 5x + 9 − − −  2x + 5 + 3 x 2 + 5 + 3 9 + 3 3 5x 2 + 7 + 3 5x 2 + 7   ( NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ) 2 ) ≤0   ≤ 0(*)  2    Trang 3 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA  4(x + 2) 4 3(x + 2)2 3 ≤ (x + 2); < (x + 2)2  2 x +5 +3 5  2x + 5 + 3 3 5 - Ta có với x ≥ − ⇒  5(x + 2) 5(x + 2) 2 <  2 9  9 + 3 3 5x 2 + 7 + 3 5x 2 + 7  4(x + 2) 3(x + 2)2 5(x + 2) ⇒ x 2 + 5x + 9 − − − > 2 2x + 5 + 3 x 2 + 5 + 3 9 + 3 3 5x 2 + 7 + 3 5x 2 + 7 ) ( ) ( 18x 2 + 57x + 127 5 > 0, ∀x ≥ − 45 2 - Do đó (*) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 , kết hợp với điều kiện x ≥ − trình đã cho có nghiệm là − 5 ta suy ra bất phương 2 5 ≤x ≤2 2 Bài 11: Giải bất phương trình Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − 2( x + 2) + 2( x + 1) 2 ≥ x + 6 + 7( x ∈ R ) 2x + 5 +1 5 2 Bất phương trình đã cho tương đương với ⇔ 2 x + 5 − 1 + 2 x 2 + 4 x + 2 ≥ x + 6 + 7 ⇔ 2 x + 5 − x + 6 + 2( x 2 + 2 x − 3) ≥ 0 x −1 1   + 2( x − 1)( x + 3) ≥ 0 ⇔ ( x − 1)  + 2( x + 3) ≥ 0(1) 2x + 5 + x + 6  2x + 5 + x + 6  1 5 Chú ý rằng + 2( x + 3) > 0, ∀x ≥ − nên (1) ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 2 2x + 5 + x + 5 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1 Bài 12: Giải bất phương trình 2 1− 2 8 + 2x − ≥ x x x  x ≥ 2  2  1 − ≥ 0  −2 ≤ x < 0  x  x < 0 Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình:  ⇔ ⇔ x ≥ 2 2 x − 8 ≥ 0  x ≥ 2   x   −2 ≤ x < 0 - Với −2 ≤ x < 0 ⇒ bất phương trình đã cho luôn đúng - Với x ≥ 2 ⇒ bất phương trình đã cho ⇔ 2 x − 2 + 2( x − 2)( x + 2) ≥ x x ⇔ 4( x − 2) + 2( x 2 − 4) + 4 ( x − 2) 2 ( x + 2) ≥ x 3 ⇔ x 3 − 2 x 2 − 4 x + 16 − 4 2( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) ≤ 0 ⇔ 2( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) − 8 2( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) + 16 ≤ 0 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 4 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ( 2( x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8) − 4 ) 2 ≤ 0 ⇔ 2( x3 − 2 x 2 − 4 x + 8) = 4 x = 0  ⇔ x 3 − 2 x 2 − 4 x = 0 ⇔  x = 1 + 5 ⇔ x = 1 + 5 (do x ≥ 2 )  x = 1− 5  { Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [ −2; 0 ) ∪ 1 + 5 } Bài 13: Giải bất phương trình sau : log 2 ( x 2 − 1) ≥ log 1 ( x − 1) . 2 Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT log 2 ( x 2 − 1) ≥ log 1 ( x − 1) ⇔ log 2 ( x 2 − 1) + log 2 ( x − 1) ≥ 0 2 2 ⇔ ( x − 1)( x − 1) ≥ 1 ⇔ x3 − x 2 − x + 1 ≥ 1 ⇔ x( x 2 − x − 1) ≥ 0 ⇔ x≥ 1+ 5 (do x >1). 2 1 + 5  ; +∞  .  2  Vậy tập nghiệm của BPT là S=  Bài 14: Giải bất phương trình 2log 3 ( x − 1) + log 3 (2 x − 1) ≤ 2 Hướng dẫn: ĐK: x > 1 . BPT ⇔ 2log3 ( x − 1) + log 1 (2 x − 1) ≤ 2 32 ⇔ log3 ( x − 1) + log 3 (2 x − 1) ≤ 1 ⇔ log3 ( x − 1)(2 x − 1) ≤ 1 ⇔ ( x − 1)(2 x − 1) ≤ 3 ⇔ 2 x 2 − 3x − 2 ≤ 0 1 ⇔ − ≤ x ≤ 2 . Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là S = (1;2] 2 Bài 15: Giải bất phương trình ( x − 3)( 2 x − 1 + x ) 2 ≥ ( x − 1) 2 , ( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1 2 - Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó - Bất phương trình đã cho tương đương với 2 x −1 ≠ x ( x − 1) 2 x−3≥ ⇔ x − 3 ≥ ( 2 x − 1 − x ) 2 ⇔ x − 3 ≥ 3x − 1 − 2 2 x 2 − x 2 ( 2x −1 + x ) ⇔ 2 x 2 − x ≥ x + 1 ⇔ 2 x 2 − x ≥ x 2 + 2 x + 1 ⇔ x 2 − 3x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 + 13 3 − 13 ,x ≤ 2 2 13 + 3 2 Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm x ≥ Bài 16: Giải bất phương trình 4 x 3 − (4 x 2 − 12 x + 5) x 2 − 2 x ≤ 12 x 2 − 9 x + 2 x ≥ 2 x ≤ 0 Hướng dẫn: +) Điều kiện: x 2 − 2 x ≥ 0 ⇔  NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 5 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA +) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với 4 x 3 − 12 x 2 + 9 x − 2 − (4 x 2 − 12 x + 5) x 2 − 2 x ≤ 0 ⇔ (2 x − 1)(2 x 3 − 5 x + 2) − (2 x − 1)(2 x − 5) x 2 − 2 x ≤ 0 [ ] ⇔ (2 x − 1) 2 x 2 − 5 x + 2 − (2 x − 5) x 2 − 2 x ≤ 0 ⇔ (2 x − 1) f ( x) ≤ 0(1) 2 2 +) Với f ( x) = 2 x − 5 x + 2 − (2 x − 5) x − 2 x .Đặt t = x 2 − 2 x ; (t ≥ 0) ⇒ t 2 = x 2 − 2 x - Khi đó 2 x 2 − 5 x + 2 − (2 x − 5) x 2 − 2 x = 2( x 2 − 2 x) − (2 x − 5)t − x + 2 = 2t 2 − (2 x − 5)t − x + 2 - Ta có ∆ = (2 x − 5) 2 − 8(2 − x) = 4 x 2 − 20 x + 25 + 8 x − 16 = 4 x 2 − 12 x + 9 = (2 x − 3) 2 t = x − 2 Do vậy phương trình f ( x) = 0 ⇔  t = − 1 2  Do vậy ta có phân tích f ( x) = 2 x 2 − 5 x + 2 − (2 x − 5) x 2 − 2 x = ( x 2 − 2 x − x + 2)(2 x 2 − 2 x + 1 Khi đó (1) ⇔ (2 x − 1)( x 2 − 2 x − x + 2)(2 x 2 − 2 x + 1) ≤ 0 ⇔ (2 x − 1)( x 2 − 2 x − x + 2) ≤ 0, (2) (Do 2 x 2 − 2 x + 1 > 0 với mọi x thuộc miền xác định) Ta xét một số trường hợp sau: 1 (không thỏa mãn) 2 x ≥ 2 +) TH2) x 2 − 2 x = x − 2 ⇔  2 ⇔ x = 2 (thỏa mãn) 2 x − 2x = x − 4x + 4 2 x − 1 > 0 x > 2 +) TH3  2 ⇔ 2 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm 2  x − 2 x < x − 2 x − 2x < x − 4x + 4 +) TH1: 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 x − 1 < 0 1 ⇔ x < 2  x 2 − 2 x > x − 2 +) TH4  Kết hợp với đk ta được x ≤ 0 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x ≤ 0 Bài 17: Giải bất phương trình: log 5 ( 4 x + 1) − log 5 ( 7 − 2 x ) ≤ 1 + log 1 ( 3x + 2 ) 5 1 7 4 2 + BPT ⇔ log 5 ( 4 x + 1) + log 5 ( 3x + 2 ) ≤ 1 + log 5 ( 7 − 2 x ) Hướng dẫn: + Điều kiện: − < x < ⇔ log 5 ( 4 x + 1)( 3 x + 2 ) ≤ log 5 5 ( 7 − 2 x ) ⇔ ( 4 x + 1)( 3 x + 2 ) ≤ 5 ( 7 − 2 x ) ⇔ 12 x 2 + 21x − 33 ≤ 0 ⇔− 33 ≤ x ≤1 12 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 6 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 4 1 4 Giao với điều kiện, ta được: − < x ≤ 1 . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là − < x ≤ 1 Bài 18: Giải bất phương trình: (4 x 2 − x − 7) x + 2 > 10 + 4 x − 8 x 2 Hướng dẫn: ĐK: x ≥ -2 (4 x 2 − x − 7) x + 2 > 10 + 4 x − 8 x 2 ⇔ (4 x 2 − x − 7) x + 2 + 2(4 x 2 − x − 7) > 2[( x + 2) − 4] ⇔ (4 x 2 − x − 7)( x + 2 + 2) > 2( x + 2 − 2)( x + 2 + 2) ⇔ 4 x2 − x − 7 > 2 x + 2 − 4 ⇔ 4 x2 > x + 2 + 2 x + 2 + 1 ⇔ (2 x) 2 − ( x + 2 + 1) 2 > 0 ⇔ (2 x + x + 2 + 1)(2 x − x + 2 − 1) > 0  x + 2 > 2 x − 1 ⇔ hoặc  x + 2 < −2 x − 1  x + 2 > −2 x − 1   x + 2 < 2 x − 1  5 + 41  ; +∞   8  Giải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T = [ −2; −1) ∪  Bài 19: Giải bất phương trình 8 x 3 − 2 x ≥ (4 + x − 1)( x + 14 + 8 x − 1) . Hướng dẫn: Điều kiện : x ≥ 1 (1) ⇔ 8 x3 − 2 x ≥ (4 + x − 1)( x − 1 + 8 x − 1 + 16 − 1) ⇔ 8 x3 − 2 x ≥ (4 + x − 1)3 − (4 + x − 1) (2) - Xét hàm số f (t ) = t 3 − t ; f '(t ) = 3t 2 − 1 > 0∀t ≥ 1 ⇒ f(t) đồng biến trên [1;+ ∞ ) mà (2) có f (2 x) ≥ f (4 + x − 1) và 2 x, 4 + x − 1 ∈ [1; +∞) nên (2) ⇔ 2 x ≥ 4 + x − 1 2 x − 4 ≥ 0  ⇔ 2 x − 4 ≥ x − 1 ⇔ (2 x − 4)2 ≥ x − 1 x −1 ≥ 0  x ≥ 2 x ≥ 2 17 + 17  ⇔ 2 ⇔ 17 − 17 17 + 17 ⇔ x ≥ 8 ;x ≥  4 x − 17 x + 17 ≥ 0 x ≤ 8 8  ( ) Bài 20: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + 3 − 2 x + 1 + 2x 2 + 5x + 3 ≥ 1 Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1 x + 2 = a 2 − b 2  2x + 3 = a    Đặt  x + 1 = b ⇒  2x 2 + 5x + 3 = ab .   a, b ≥ 0 1 = a 2 − 2b 2   Bất phương trình trở thành: (a 2 − b 2 )(a − 2b ) + ab ≥ a 2 − 2b 2 ⇔ (a 2 − b 2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a 2 − b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) ≥ 0 (do a + b > 0) ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ 0 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 7 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA  x ≥ −1 x ≥ −1   1 1  TH1:  2x + 3 − 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≥ − ⇔− ≤x ≤3   2 2  2x + 3 − x + 1 − 1 ≤ 0 −1 ≤ x ≤ 3   x ≥ −1  x ≥ −1  1  TH2:  2x + 3 − 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ − ⇔ x = −1   2  2x + 3 − x + 1 − 1 ≥ 0 x ≤ −1; x ≥ 3    1  Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3  2    Bài 21: Giải bất phương trình 10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 2 − 3 x − 5 10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 0  25 + 745 Hướng dẫn: Điều kiện 2 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 10 x ≥ 5  2 x 2 − 14 x + 47 - Nhận xét 2 x 2 − 5 x + 2 − 3 x − 5 = >0 2x 2 − 5x + 2 + 3 x − 5 - Bất phương trình đã cho tương đương với 10 x 2 − 50 x − 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 2 + 9 x − 45 − 6 (2 x − 1)( x − 2)( x − 5) ⇔ 4 x 2 − 27 x + 20 + 3 (2 x − 1)( x − 5) . x − 2 ≥ 0 ⇔ 2(2 x 2 − 11x + 5) − 5( x − 2) + 3 2 x 2 − 11x + 5. x − 2 ≥ 0 - Đặt 2 x 2 − 11x + 5 = a; x − 2 = b, (a > 0; b > 0) ta thu được 2a 2 − 5b 2 + 3ab ≥ 0 ⇔ (a − b)(2a + 5b) ≥ 0 ⇔ a ≥ b ⇔ 2 x 2 − 11x + 5 ≥ x − 2 ⇔ 2 x 2 − 12 x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥  Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S = 3 +  Bài 22: Giải bất phương trình 6 + 22 6 − 22 ;x ≤ 2 2  22 ;+∞  2  3x 2 − 12 x + 5 ≤ x 3 − 1 + x 2 − 2 x 3 x 2 − 12 x + 5 ≥ 0  Hướng dẫn: Điều kiện  x ≥ 1 ⇔ x≥2  x ( x − 2) ≥ 0  Bất phương trình đã cho tương đương với 3 x 2 − 12 x + 5 ≤ x 3 + x 2 − 2 x − 1 + 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1) x( x − 1) ⇔ x 3 − 2 x 2 + 10 x − 6 + 2 ( x − 1)( x − 2 . ( x 2 + x + 1) x ≥ 0 ⇔ ( x 3 + x 2 + x) − 3( x 2 − 3 x + 2) + 2 x 2 − 3 x + 2 . x 3 + x 2 + x ≥ 0 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 8 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 ⇔ 1 − 3. 3 +2 3 ≥ 0(1) x + x2 + x x + x2 + x x 2 − 3x + 2 Đặt = t (t ≥ 0) thì (1) x3 + x 2 + x 1 ⇔ 1 − 3t 2 + 2t ≥ 0 ⇔ − ≤ t ≤ 1 ⇒ x 2 − 3 x + 2 ≤ x 3 + x 2 + x ⇔ x 3 + 4 x + 2 ≥ 0(2) 3 Nhận thấy (2) nghiệm đúng với x ≥ 2 . Kết luận nghiệm S = [2;+∞ ) Bài 23: Giải bất phương trình: x + 3 x2 + x + 4 + ≥ 2 2 +3 x +1 x +1 Hướng dẫn: ĐK: x > -1 x2 + x + 4 ≥ 3, ∀x > −1 . x +1 x+3 2 - Lại có = x +1 + x +1 x +1 (1) - Theo câu a ta có: - Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số x + 1, 2 ta được: x +1 2 ≥ 2 2, ∀x > −1 (2) x +1 x + 3 x2 + x + 4 Từ (1) và (2), cộng vế với vế ta có: + ≥ 2 2 + 3 , ∀x > −1 x +1 x +1 x +1 + Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình. Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là Bài 24: Giải bất phương trình sau: S = ( −1; +∞ ) 1 + 2 x − 2 x 2 + 3x + 1 2 1− 2 x − x +1 >1 x ≥ 0  Hướng dẫn: Điều kiện:  x 2 + 3x + 1 ≥ 0 ⇔ x≥0  2 1 − 2 x − x + 1 ≠ 0 2 1 3  - Ta có 2 x − x + 1 = 2  x −  + ≥ 3 > 1 (∀x ≥ 0) ⇒ 1 − 2 x 2 − x + 1 < 0 2 4  - BPT 2 ⇔ x + x2 − x + 1 < x 2 + 3x + 1 1 1 ⇔ 1 + x + − 1 < x + + 3 (Vì x = 0 không thỏa mãn bất phương trình) x x 1 - Đặt x + = t ⇒ t ≥ 2 vì x > 0 . x 13 - Ta có 1 + t − 1 < t + 3 ⇔ 2 t − 1 < 3 ⇔ t < 4 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 9 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA - Suy ra 2 ≤ t < 13 1 13 ⇒2≤ x+ < 4 x 4 1  2  x + x ≥ 2 13 − 105 13 + 105 ( x − 1) ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔ 0  5 + 57 2 2 x >   > 2 2 2 0 a b x − x > x + x − x − >    2 ⇔ x > 5 + 57 (do x ≥ 1) - TH1:  ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2  5 − 57 a > 2b x − x > 4 x + 8 x − 5x − 8 > 0 x < 2  2 2 x − x < x + 2 x − 2x − 2 < 0 a < b - TH2:  ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 1 − 3 < x < 1 + 3 ⇔ 1 ≤ x < 1 + 3 (do x ≥ 1 ) a < 2b x − x < 4x + 8 x − 5x − 8 < 0  5 + 57  ;+∞  ∪ 1;1 + 3 2   [ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S =  ) Bài 26: Giải bất phương trình log 1 ( 4 x + 4 ) ≥ log 1 ( 2 x +1 − 3) − log 2 2 x . 2 2 Hướng dẫn: log 1 ( 4 x + 4 ) ≥ log 1 ( 2 x +1 − 3) − log 2 2 x 2 2 ⇔ log 1 ( 4 + 4 ) ≥ log 1 ( 2 x +1 − 3) + log 1 2 x x 2 2 ⇔ log 1 ( 4 + 4 ) ≥ log 1 ( 2 x 2 2 2 x +1 − 3.2 x ) 2 ⇔ 4 x + 4 ≤ 22 x +1 − 3.2 x ⇔ 4 x − 3.2 x − 4 ≥ 0  2 x ≤ −1( L ) ⇔ x ⇔x≥2 2 ≥ 4  Vậy BPT có tập nghiệm: S = [ 2; +∞ ) NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 10 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Bài 27: Giải bất phương trình 2.14 x + 3.49 x − 4 x ≥ 0 x 2x 7 7 Hướng dẫn: Chia cả hai vế của bpt cho 4 được bpt ⇔ 2   + 3   − 1 ≥ 0 2 2 t ≤ −1 x 1 7 2 Đặt t =   (với t > 0). BPT trở thành 3t + 2t – 1 ≥ 0 ⇔  1⇒t≥ t ≥ 2 3 3  x x   7 1 ⇔   ≥ ⇔ x ≥ − log 7 3 . KL: BPT có tập nghiệm S = − log 7 3 ; + ∞  2 3 2 2   Bài 28: Giải bất phương trình 4 x 2 x − 1 + 45 x 3 − 75 x 2 + 30 x < 4( x ∈ R ) 1 . Bất phương trình đã cho tương đương với 2 4 x 2 x − 1 − 4 x + 45 x 3 − 75 x 2 + 34 x − 4 < 0 Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ ⇔ 4 x( 2 x − 1 − 1) + ( x − 1)(45 x 2 − 30 x + 4) < 0 ⇔ 4 x ( 2 x − 2) + ( x − 1) 5(3 x − 1) 2 − 1 < 0 2x −1 + 1 [ ] 4x   ⇔ ( x − 1)  + 5(3 x − 1) 2 − 1 < 0(1)  2x −1 +1  4x 1 1 - Nhận xét + 5(3 x − 1) 2 − 1 > 5(3. − 1) 2 − 1 > 0, ∀x ≥ nên (1) ⇔ x − 1 < 0 ⇔ x < 1 2 2 2x −1 + 1 1  - Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S =  ;1 2  Bài 29: Giải bất phương trình: log 2 ( x − 2) + log 0,5 x < 1 . Hướng dẫn: Điều kiện: x > 2 . ⇔ log 2 ( x − 2 ) − log 2 x < 1 ⇔ log 2 x−2 x−2 <1⇔ <2 x x ⇔ x − 2 < 2 x ⇔ x > −2 . Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là x > −2 . Bài 30: Giải bất phương trình: x − x − 2 > x3 − 4 x 2 + 5 x − x3 − 3 x 2 + 4 . Hướng dẫn: Cách 1: BPT 2 ⇔ x − x − 2 > x ( x − 2 ) + 1 −   ⇔ ( x − 2)+ | x − 2 | x + 1 > x 1 +  ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( x + 1) + 1 .  ( x ≥ 0) . (1) * x = 2 : (1) ⇔ 0 > 2 2 (loại). * x = 0 : (1) ⇔ −2 > −2 (loại). NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 11 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA * x > 2 : (1) ⇔ ( x − 2) 1 + x + 1 > x 1 +  ( ) ( x − 2) x .( x − 2) > 0 ta được: (1) ⇔ - Chia 2 vế cho - Xét hàm f (t ) = t + 1 + t 2 , t > 0 ⇒ f '(t ) = 1 + 2 + 1  1 1 1 1 . + 1+ > + 1+ 2 x x−2 x ( x − 2) t 1+ t2 > 0 ∀t > 0 ⇒ f (t ) đồng biến 1 1 > ⇔ x − 2 > x ⇔ x 2 − 5 x + 4 > 0 ⇔ x > 4; x < 1 . x x−2 - Kết hợp x > 2 ⇒ x > 4 . * 0 < x < 2: 2 (1) ⇔ ( x − 2) 1 − x + 1 > x 1 + ( x − 2 ) + 1  .   1 1 1 1 . - Chia 2 vế cho x .( x − 2) < 0 ta được: (1) ⇔ − 1+ < − 1+ 2 x x−2 x x − 2 ( ) ∀t > 0 , (1) ⇔ ( ) 2 - Xét hàm f (t ) = t − 1 + t , t ∈ R ⇒ f '(t ) = 1 − biến ∀t . Từ đó (1) ⇔ t 1+ t2 = 1+ t2 − t 1+ t2 > 0 ∀t ⇒ f (t ) đồng 1 1 1 < . Trường hợp này vô nghiệm vì < 0. x−2 x x−2 Đáp số: x > 4 . Cách 2: ĐK x ≥ 0 + x = 0 không là nghiệm. Xét x > 0 : + (1) ⇔ ( x −2 )( ) x +1 > x2 − 5x + 4 x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3 x 2 + 4  x +1  x −1 ⇔ f ( x) = ( x − 4 )  + > 0.  x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4   x +2 x +1 x −1 + Xét g ( x) = + 3 2 x +2 x − 4 x + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 Nếu x ≥ 1 thì g ( x) > 0 . + Nếu 0 < x < 1: x + 1 > 1 ⇒ x + 1 > 1 . Ta có: x3 − 3x 2 + 4 = ( x + 1)( x − 2 ) 2 x +1 x +1 1 > = x +2 2 x +2 2 (1) = x − 2 x +1 > x − 2 = 2 − x ⇒ x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 > 2 − x 1− x 1− x 1− x 1− x 1 ⇒ < = < = x3 − 4 x 2 + 5 x + x3 − 3x 2 + 4 2 − x 2 − 2 x + x 2 − 2 x 2 x −1 1 ⇒ >− (2) . 2 x3 − 4 x2 + 5 x + x3 − 3x2 + 4 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 12 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Từ (1) và (2) suy ra g ( x) > 0 ∀x > 0 . + f ( x) > 0 ⇔ x − 4 > 0 ⇔ x > 4 . Kết hợp ĐK suy ra đáp số: x > 4 . Bài 31: Giải bất phương trình x 3 − 8 ≤ x 3 − 2 x 2 − 9 + x + 1( x ∈ R ) x3 − 8 ≥ 0  x ≥ 2 Hướng dẫn: Điều kiện:  x 3 − 2 x 2 − 9 ≥ 0 ⇔  ⇔ x≥3 2 ( x − 3)( x + x + 3) ≥ 0 x + 1 ≥ 0  Bất phương trình đã cho tương đương với x 3 − 8 ≤ x 3 − 2 x 2 − 9 + x − 1 + 2 ( x − 3)( x 2 + x + 3)( x + 1) ⇔ 2 x 2 − x ≤ 2 ( x − 3)( x + 1) . x 2 + x + 3 ⇔ x 2 − 2 x − 3 − 2 x 2 − 2 x − 3. x 2 + x + 3 + x 2 + x + 3 ≤ 0 ⇔ ( x 2 − 2x − 3 − x 2 + x + 3) 2 ≤ 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = x 2 + x + 3 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = x 2 + x + 3 ⇔ x = −2 Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 32: Giải bất phương trình : log 1 log 2 (2 − x 2 )  > 0 ( x ∈ R) . 2 Hướng dẫn: - Điều kiện: log 2 (2 − x 2 ) > 0 ⇔ 2 − x 2 > 1 ⇔ −1 < x < 1  −1 < x < 1 −1 < x < 1 −1 < x < 1 - Khi đó ⇔ log 2 (2 − x 2 ) < 1 ⇔  ⇔ ⇔  2 2  x≠0 2 − x < 2 x > 0 Vậy tập nghiệm bpt là S = (−1;0) ∪ (0;1) ( ) Bài 33: Giải bất phương trình: x 2 + 5 x < 4 1 + x( x 2 + 2 x − 4) (x∈ R).  −1 − 5 ≤ x ≤ 0 Hướng dẫn: ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔   x ≥ −1 + 5 ⇔ 4 x( x 2 + 2 x − 4) > x 2 + 5x − 4 ⇔ 4 x( x 2 + 2 x − 4) > ( x 2 + 2 x − 4) + 3x (**) + TH 1: x ≥ −1 + 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ 4 x2 + 2 x − 4 x2 + 2x − 4 > +3 x x x2 + 2 x − 4 , t ≥ 0 , ta có bpt: t 2 − 4t + 3 < 0 ⇔ 1 < t < 3 x  x 2 − 7 x − 4 < 0 x2 + 2 x − 4 −1 + 17 7 + 65 1< <3⇔ 2 ⇔ 0 + TH 2: −1 − 5 ≤ x ≤ 0 , x 2 + 5 x − 4 < 0 , (**) luôn thỏa - Đặt t = NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 13 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA  −1 + 17 7 + 65  Vậy tập nghiệm bpt (*) là S =  −1 − 5;0  ∪  ;  2 2   Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x ∈  0; 1 + 3  :   m ( x 2 − 2 x + 2 + 1) + x( 2 − x ) ≤ 0 Hướng dẫn: Đặt t = x2 − 2x + 2 do x ∈ [0;1 + 3] nên t ∈ [1;2] - Bất phương trình trở thành: m ≤ - Khảo sát hàm số g(t) = - Ta có: g'(t) = t 2 + 2t + 2 (t + 1)2 ⇒ Maxg (t ) = g (2) = - Từ đó: m ≤ t2 − 2 t +1 t2 − 2 với t ∈ [1;2] t +1 > 0 . Vậy g(t) = t2 − 2 đồng biến trên [1; 2] t +1 2 3 2 t2 − 2 2 có nghiệm t ∈ [1,2] ⇔ m ≤ max g(t ) = g(2) = . Kết luận: m ≤ t +1 3 3 t∈[1;2] Bài 35: Giải bất phương trình 2 x 2 + 5 x + 6 + 7 x + 11 < 4 x + 9( x ∈ R) Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ − 6 5 + Bất phương trình đã cho tương đương với 2 x 2 − 2 x − 4 + 5 x + 6 − ( x + 2) + 7 x + 11 − ( x + 3) < 0 − x2 + x + 2 − x2 + x + 2 + <0 5x + 6 + x + 2 7 x + 11 + x + 3 1 1 ⇔ ( x 2 − x − 2)( + − 2) > 0(1) 5x + 6 + x + 2 7 x + 11 + x + 3 1 1 1 1 6 + Nhận xét + < + < 2, ∀x ≥ − 5 5x + 6 + x + 2 7 x + 11 + x + 3 2 − 6 6 13 3− + 5 5 5 2 + Do đó (1) ⇔ x − x − 2 < 0 ⇔ ( x + 1)( x − 2) < 0 ⇔ −1 < x < 2 . Kết luận nghiệm -1-2 thì bất phương trình đã cho tương đương x 2 + x + 2 − 2 + x 3 + 2 x 2 + x + 2 − ( x 2 + 1) 3 x + 6 ≥ 0 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 14 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇔ x 2 + x + 2 − 2 + ( x 2 + 1)( x + 2 − 3 x + 6 ⇔ x2 + x − 2 ( x 2 + 1)( x 2 + x − 2) + ≥0 x + 2 + 3x + 6 x2 + x + 2 + 2   1 x2 +1 ⇔ ( x − 1)( x + 2)  +  ≥ 0(1) 2 x + 2 + 3 x + 6 2 2 x + x + +   2   1 x +1 Ta có ( x + 2)  2 +  > 0, ∀x > −2 ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 .  x + x + 2 + 2 x + 2 + 3x + 6  Kết luận x ≥ 1 Bài 37: Giải bất phương trình sau Hướng dẫn: 2 x + 5 + 3x − 2 > 4 x + 1 + 5 x − 6 ⇔ 2 x + 5 − 4 x + 1 + 3x − 2 − 5 x − 6 > 0 ⇔ (−2 x + 4)[ 1 1 + ]>0 2x + 5 + 4x + 1 3x − 2 + 5 x − 6 ⇔ x<2 3x Bài 38: Giải bất phương trình 1 − x2 −1 < 1 . 1 − x2 Hướng dẫn: Điều kiện x < 1 . Bất phương trình đã cho tương đương với: x2 1 − x2 + x2 3x 3x > − ⇔ − + 2 > 0 (1) 1 2 2 2 1− x 1− x 1− x 1 − x2 + Đặt t = x 1 − x2 + Với t < 1 thì t < 1 t > 2 , khi đó bất phương trình (1) trở thành: t 2 − 3t + 2 > 0 ⇔  x 1− x 2 < 1 ⇔ x < 1 − x 2 (2) * −1 < x ≤ 0 : bất phương trình (2) đúng * 0 < x < 1: bất phương trình (2) ⇔ x 2 < 1 − x 2 ⇔ 0 < x < 2 2  Tập nghiệm của bất phương trình (2) là S1 =  −1;  + Với t > 2 thì x 1− x 2 2  2  > 2 ⇔ x > 2 1 − x 2 (3) x > 0 * Bất phương trình (3) ⇔  2 2  x > 4(1 − x ) ⇔x> 2 5 5 2 5  Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S2 =  ;1  5  NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 15 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA  2 2 5  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = S1 ∪ S2 =  −1; ;1 ∪ 2   5   Bài 39: Giải bất phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ − (3 x + 1) 3 > 2 x 2 + 5 x + 1( x ∈ R ) 1 3 + Bất phương trình đã cho tương đương với (3 x + 1)( 3 x + 1 − 2 x) > 2 x 2 + 5 x + 1 − 2 x(3 x + 1) ⇔ (3 x + 1)( 3 x + 1 − 2 x) > −4 x 2 + 3 x + 1 ⇔ (3 x + 1)( 3 x + 1 − 2 x) > ( 3 x + 1 − 2 x)( 3 x + 1 + 2 x) + Ta có ⇔ ( 3 x + 1 − 2 x)( 3 x + 1 − x − 1) < 0(1) 1 3 x + 1 + x + 1 > 0, ∀x ≥ − nên 3 ( 3 x + 1 − 2 x) x( x − 1) > 0 ⇔ ( 3 x + 1 − 2 x) x( x − 1) > 0(2) (1) ⇔ 3x + 1 + x + 1 Xét hai trường hợp xảy ra x < 0 x > 1 x < 0  +) Với x( x − 1) > 0 ⇔  thì (2) ⇔ 3x + 1 > 2 x ⇔  x ≥ 0 ⇔ ⇔ x <1 0 ≤ x <1  x < 0  2  4 x − 3x − 1 < 0  0 < x < 1 +) Với x( x − 1) < 0 ⇔ 0 < x < 1 thì (2) ⇔ 3x + 1 < 2 x ⇔  2 ⇔ x ∈φ 4 x − 3 x − 1 > 0  1  Kết luận nghiệm S = − ;1  3  Bài 40: Giải bất phương trình 2 x( 3x − 5 + 4 x − 3 ) + 15 < 5 2 x + 9 , ( x ∈ R ) 2x + 9 + 3 5 3 2 x( 3 x − 5 + 4 x − 3 ) < 5( 2 x + 9 + 3)( 2 x + 9 − 3) Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ . Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với ⇔ 2 x ( 3 x − 5 + 4 x − 3 ) < 5 .2 x ⇔ 3 x − 5 + 4 x − 3 < 5 ⇔ 7 x − 8 + 2 12 x 2 − 29 x + 15 < 25 ⇔ 2 12 x 2 − 29 x + 15 < 33 − 7 x 33 33 33 5 5 5 ≤x< 5  ≤x≤  ≤x<  ⇔ 3 ⇔ 3 ⇔ 3 ⇔ ≤ x<3 7 7 7  3 4(12 x 2 − 29 x + 15) < (33 − 7 x) 2  x 2 − 346 x + 1029 > 0  x > 343 ∪ x < 3   5 Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm là ≤ x < 3 3 Bài 41: Giải bất phương trình : ( x − 1) x 2 + 5 + x > x 2 + 1 Hướng dẫn: + x ≤ 1 : lo ạ i NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 16 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x2 − x +1 1 1 ⇔ x2 + 5 > x + ⇔ x2 + 5 − x > x −1 x −1 x −1 5 1 ⇔ > ⇔ 5 ( x − 1) > x 2 + 5 + x ⇔ 4x − 5 > x 2 + 5 2 x − 1 x +5 + x 5  x > ⇔ ⇔x>2 4 2 15x − 40x + 20 > 0  + x > 1: x 2 + 5 > Vậ y : x > 2 Bài 42: Giải bất phương trình : ( x 2 − x ) . 2 x + 1 ≤ x3 − 2 x − 1 Hướng dẫn: ĐK: x ≥ − 1 2 BPT ⇔ ( )( ) 2 x + 1 − x x2 + 2x + 1 ≤ 0 ( 2; +∞ ) ⇔ 2 x + 1 − x ≤ 0 vi x 2 + 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ 1 + ) Bài 43: Giải bất phương trình: log 0,2 x + log0,2 (x + 1) < log0,2 (x + 2) . Hướng dẫn: Điều kiện: x > 0 (*). log 0,2 x + log0,2 (x + 1) < log0,2 (x + 2) ⇔ log0,2 (x 2 + x) < log 0,2 (x + 2) ⇔ x 2 + x > x + 2 ⇔ x > 2 (vì x > 0). Vậy bất phương trình có nghiệm x > 2. Bài 44: Giải bất phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện: x 0 (*) + x = 0 là nghiệm bpt (1) + x > 0 chia 2 vế BPT cho - Đặt t = x + x ta được: x+ x 2 + 20 x + 4 + x ≤ 2 x + 4 4 2   + 20 + 1 ≤ 2  x +  x x  2 4 ⇒ x + = t2 − 4 x x Bất phương trình thành: Với t ≥ 3 ta có: x+  1 t ≥ t + 16 ≤ 2t − 1 ⇔  2 ⇔ t≥3  t 2 + 16 ≤ 4t 2 − 4t + 1  2 2 ≥ 3 ⇔ x ≥ 4;0 < x ≤ 1 x Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S = [0;1] ∪[4; +∞] Bài 45: Giải bất phương trình: NGUYỄN HỮU BIỂN - 300 x 2 − 40 x − 2 − 10 x − 1 − 3 − 10 x ≤0 1+ x + 1− x − 2 https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 17 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 3 ≤x≤ 10 10 1 3 1 + x + 1 − x < 2, ∀x ∈  ;  (Theo BĐT Bunhia)  10 10  Hướng dẫn: Điều kiện: - Ta có: Bpt ⇔ 300 x 2 − 40 x − 2 − 10 x − 1 − 3 − 10 x ≥ 0 ⇔ ( 10 x − 1 − 1) + ( 3 − 10 x − 1) ≤ 300 x 2 − 40 x − 4 10 x − 2 2 − 10 x ⇔ + ≤ (10 x − 2)(30 x + 2) 10 x − 1 + 1 3 − 10 x + 1 1 1   ⇔ (10 x − 2)  − − 30 x − 2  ≤ 0 (*) 3 − 10 x + 1  10 x − 1 + 1  1 1 f ( x) = − − 30 x − 2 10 x − 1 + 1 3 − 10 x + 1 5 5 1 3 f '( x ) = − − − 30 < 0, ∀x ∈ ( ; ) 2 2 10 10 10 x − 1( 10 x − 1 + 1) 3 − 10 x ( 3 − 10 x + 1) 1 3 1 3 - Mặt khác f ( x ) liên tục trên [ ; ] nên f ( x ) nghịch biến trên [ ; ] 10 10 10 10 3 1 ⇒ f ( ) ≤ f ( x ) ≤ f ( ) < 0 ( Hs có thể đánh giá) 10 10 1 - Do đó bất phương trình (*) ⇔ 10 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 1 3 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: ≤ x ≤ 5 10 ( ) Bài 46: Giải bất phương trình: (x + 2) 2x + 3 − 2 x + 1 + 2x 2 + 5x + 3 ≥ 1 Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1 x + 2 = a 2 − b 2  2x + 3 = a    Đặt  x + 1 = b ⇒  2x 2 + 5x + 3 = ab .   a, b ≥ 0 1 = a 2 − 2b 2   Bất phương trình trở thành: (a 2 − b 2 )(a − 2b ) + ab ≥ a 2 − 2b 2 ⇔ (a 2 − b 2 )(a − 2b) + b(a + b) − (a 2 − b 2 ) ≥ 0 ⇔ (a − b)(a − 2b) − (a − 2b) ≥ 0 (do a + b > 0) ⇔ (a − 2b)(a − b − 1) ≥ 0 x ≥ −1 x ≥ −1    1 1  TH1:  2x + 3 − 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≥ − ⇔− ≤x ≤3   2 2  2x + 3 − x + 1 − 1 ≤ 0 −1 ≤ x ≤ 3   NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 18 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x ≥ −1  x ≥ −1  1  TH2:  2x + 3 − 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ − ⇔ x = −1   2  2x + 3 − x + 1 − 1 ≥ 0 x ≤ −1; x ≥ 3    1  Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ − ; 3  2    Bài 47: Giải bất phương trình x + 1 − x 2 ≥ 2 − 3x − 4 x 2 . Hướng dẫn: x ≥ 0 0 ≤ x ≤ 1 −3 + 41   2 Điều kiện: 1 − x ≥ 0 ⇔  −3 − 41 . −3 + 41 ⇔ 0 ≤ x ≤ 8 ≤x≤   2 8 8  2 − 3x − 4 x ≥ 0 (*) Bất phương trình đã cho tương đương với x + 1 − x 2 + 2 x(1 − x 2 ) ≥ 2 − 3 x − 4 x 2 ⇔ 3( x 2 + x) − (1 − x) + 2 ( x + x 2 )(1 − x) ≥ 0  −5 + 34 x ≥ x +x x +x x +x 1 9 ⇔3 +2 −1 ≥ 0 ⇔ ≥ ⇔ 9 x 2 + 10 x − 1 ≥ 0 ⇔  1− x 1− x 1− x 3  −5 − 34 . x ≤ 9  −5 + 34 −3 + 41 Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là ≤x≤ . 9 8 2 2 2 Bài 48: Giải bất phương trình ( 5 x 2 − 5 x + 10 ) x + 7 + ( 2 x + 6 ) x + 2 ≥ x 3 + 13x 2 − 6 x + 32 . Hướng dẫn: Điều kiện x ≥ −2 . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình (5 x 2 − 5 x + 10) ( ) x + 7 − 3 + (2 x + 6) ⇔ (5 x 2 − 5 x + 10) ( ) ( ) x + 2 − 2 + 3(5 x 2 − 5 x + 10) + 2(2 x + 6) ≥ x 3 + 13x 2 − 6 x + 32 x + 7 − 3 + (2 x + 6) ( ) x + 2 − 2 − x 3 + 2 x 2 − 5 x + 10 ≥ 0  5 x 2 − 5 x + 10 ⇔ ( x − 2)  +  x+7 +3  2x + 6 − x 2 − 5  ≥ 0 (*) x+2 +2  1 1 + Do x ≥ −2 ⇒ x + 2 + 2 ≥ 2 ⇒ ≤ và vì 2 x + 6 > 0 x+2 +2 2 2x + 6 2x + 6 ⇒ ≤ = x + 3 (1) 2 x+2+2 1 1 + Do x ≥ −2 ⇒ x + 7 + 3 ≥ 5 + 3 > 5 ⇒ < và vì 5 x 2 − 5 x + 10 > 0 ∀x ∈ ℝ x+7 +3 5 2 2 5 x − 5 x + 10 5 x − 5 x + 10 5 x 2 − 5 x + 10 2 2 ⇒ < = x −x+2⇒ − x − 5 < − x − 3 (2) 5 x+7 +3 x+7 +3 5 x 2 − 5 x + 10 2x + 6 Từ (1) và (2) ⇒ + − x 2 − 5 < 0 . Do đó (*) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 x+7 +3 x+2+2 Kết hợp điều kiện x ≥ −2 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2 . NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 19
- Xem thêm -