..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
BÙI ĐỨC HUY
TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP
VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
BÙI ĐỨC HUY
TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP
VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Việt Hải
THÁI NGUYÊN - 2019
i
Danh möc h¼nh
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
3.1
3.2
ành lþ Pithot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mët b§t ¯ng thùc h¼nh håc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chùng minh ành lþ 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chùng minh i·u ki»n c¦n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chùng minh i·u ki»n õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C¡c gâc trong °c tr÷ng Iosifescu . . . . . . . . . . . . . . . .
i·u ki»n tù gi¡c ngo¤i ti¸p cõa Wu . . . . . . . . . . . . . .
Hai ÷íng trán ti¸p xóc 2 c¤nh, 1 ÷íng ch²o . . . . . . . .
C¡c ÷íng trán ti¸p xóc ð c¡c ph½a hai ÷íng ch²o . . . . . .
C¡c ti¸p iºm cõa 4 ÷íng trán . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gi£ thuy¸t cõa Christopher Bradley . . . . . . . . . . . . . .
°c tr÷ng Vainshtein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
+
=
+
........................
R1 R3
R2 R4
C¡c ÷íng trán ngo¤i ti¸p cõa Christopher Bradley . . . . .
i·u ki»n c¦n v õ thù 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i·u ki»n c¦n v õ thù 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i·u ki»n c¦n v õ thù 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C¡c ÷íng cao h1, h2, h3, h4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tù gi¡c ngo¤i ti¸p n y l mët tù gi¡c c¡nh di·u . . . . . . .
÷íng trán nëi ti¸p trong tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . .
Bèn ÷íng trán nëi ti¸p trong c¡c tam gi¡c nhä . . . . . . .
÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c èi di»n ¿nh C . . . . . . . .
Bèn ÷íng trán b ng ti¸p bèn tam gi¡c nhä èi di»n ¿nh P
Tù gi¡c song t¥m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
China Western Mathematical Olympiad 2003 . . . . . . . . .
ABCD nëi ti¸p ÷ñc khi v ch¿ khi ∆IJK l tam gi¡c vuæng
÷íng th¯ng Newton cõa ABCD v W XY Z . . . . . . . . .
H¼nh thang c¥n ngo¤i ti¸p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gâc α giúa c°p c¤nh èi di»n cõa tù gi¡c KLM N . . . . . .
ë d i c¡c d¥y cung ti¸p xóc W X v Y Z . . . . . . . . . . .
D¥y cung ti¸p xóc W X, Y Z i qua giao iºm 2 ÷íng ch²o .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
5
6
7
9
11
12
15
16
17
18
19
22
23
26
27
29
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
48
50
ii
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Gâc ϕ giúa 2 d¥y cung W X v Y Z
Tù gi¡c ti¸p xóc W XY Z . . . . . .
Chùng minh ành lþ Fuss . . . . .
T½nh sin cõa mët nûa gâc A . . . .
V½ dö 3.3.1 . . . . . . . . . . . . . .
V½ dö 3.3.3 . . . . . . . . . . . . . .
V½ dö 3.3.5 . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
52
53
55
56
57
58
iii
Möc löc
Líi c£m ìn
iv
Mð ¦u
1
1 ành lþ Pithot v c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng
1.1
1.2
1.3
1.4
Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p
C¡c i·u ki»n v· c¤nh v ÷íng ch²o . .
C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n 4 tam gi¡c .
°c tr÷ng v· gâc v ÷íng trán . . . . .
2 Tù gi¡c c¡nh di·u v tù gi¡c song t¥m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.1 Tù gi¡c c¡nh di·u v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . .
2.1.1 Mët sè h» thùc li¶n quan . . . . . . . . . .
2.1.2 C¡c i·u ki»n c¦n v õ . . . . . . . . . . .
2.1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n bèn tam gi¡c .
2.2 Tù gi¡c song t¥m v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . .
2.2.1 Mët sè °c tr÷ng cõa tù gi¡c song t¥m . .
2.2.2 Hai °c tr÷ng mîi cõa tù gi¡c song t¥m . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
. 3
. 12
. 13
. 20
.
.
.
.
.
.
.
31
31
31
32
36
41
41
42
3 C¡c v§n · li¶n quan
47
T i li»u tham kh£o
61
3.1 o¤n th¯ng ti¸p tuy¸n v d¥y cung ti¸p xóc . . . . . . . . . . . 47
3.2 Tù gi¡c ti¸p xóc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Tù gi¡c ngo¤i ti¸p v ph²p nghàch £o . . . . . . . . . . . . . . 55
iv
Líi c£m ìn
º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn
÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i,
Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y
tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi
vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng o t¤o, Khoa To¡n Tin, quþ th¦y
cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K11B (2017 - 2019) Tr÷íng ¤i håc khoa håc
- ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u
công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc.
Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng
ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt
qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n.
Xin tr¥n trång c£m ìn!
H£i Pháng, th¡ng 5 n«m 2019
Ng÷íi vi¸t Luªn v«n
Bòi ùc Huy
1
Mð ¦u
1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n
Möc ½ch cõa · t i n y l :
−
Nghi¶n cùu s¥u th¶m v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p: C¡c i·u ki»n v t½nh ch§t
cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p th÷íng ½t ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c s¡ch h¼nh
håc ð Vi»t nam, n¸u câ công ch¿ nâi ¸n ành lþ Pithot, trong khi
t½nh ch§t cõa tù gi¡c nëi ti¸p ÷ñc giîi thi»u th÷íng xuy¶n. Ngo i
ra, cán câ lîp c¡c tù gi¡c °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p câ nhi·u
ùng döng trong gi£i to¡n. Giîi thi»u v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p còng c¡c
tr÷íng hñp °c bi»t cõa nâ l lþ do chån · t i cõa tæi.
−
Sau khi tr¼nh b y g¦n 20 i·u ki»n c¦n v õ còng c¡c t½nh ch§t (công
l c¡c i·u ki»n c¦n v õ) cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p, c¡c °c tr÷ng cõa
tù gi¡c c¡nh di·u v cõa tù gi¡c song t¥m chóng tæi muèn kh¯ng ành
sü phong phó v s¥u sc cõa h¼nh håc sì c§p khi chóng ta bi¸t têng
hñp, khai th¡c c¡c kh½a c¤nh cõa kh¡i ni»m b¬ng c¡c cæng cö s®n câ.
−
Bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y c¡c chuy¶n · khâ ð tr÷íng THCS v THPT
gâp ph¦n o t¤o håc sinh håc giäi mæn H¼nh håc.
2. Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t
Tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v õ º mët tù gi¡c lçi l tù gi¡c ngo¤i
ti¸p. Sau â x²t 2 tr÷íng hñp °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p: Tù gi¡c
c¡nh di·u, tù gi¡c song t¥m v c¡c t½nh ch§t cõa chóng. Ph¡t biºu v
chùng minh mët sè h» thùc li¶n quan. Nëi dung luªn v«n chia l m 3
ch֓ng:
Ch÷ìng 1. ành lþ Pithot v c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng
Sau khi ph¡t biºu v chùng minh ch°t ch³ ba ành lþ cì b£n cõa tù
gi¡c ngo¤i ti¸p (tham kh£o v bê sung chi ti¸t trong [1], [6]) luªn v«n
2
tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v õ núa v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p chia l m c¡c
d§u hi»u li¶n quan ¸n c¤nh, ÷íng ch²o, li¶n quan ¸n di»n t½ch, li¶n
quan ¸n c¡c ÷íng trán nëi ti¸p v b ng ti¸p,... Ch÷ìng n y bao gçm:
1.1. Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p
1.2. C¡c i·u ki»n v· c¤nh v ÷íng ch²o
1.3. C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n bèn tam gi¡c
1.4. °c tr÷ng v· gâc v ÷íng trán.
Ch÷ìng 2. Tù gi¡c c¡nh di·u v tù gi¡c song t¥m
¥y l hai tr÷íng hñp °c bi»t cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p. Vîi nhúng gi£
thi¸t °c bi»t ta thu ÷ñc c¡c d§u hi»u °c tr÷ng cõa tù gi¡c c¡nh di·u
v tù gi¡c song t¥m còng c¡c t½nh ch§t kh¡c. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c
möc sau:
2.1. Tù gi¡c c¡nh di·u v c¡c t½nh ch§t
2.2. Tù gi¡c song t¥m v c¡c t½nh ch§t.
Ch÷ìng 3. C¡c v§n · li¶n quan
B¶n c¤nh kh¡i ni»m tù gi¡c ngo¤i ti¸p vîi c¡c tr÷íng hñp °c bi»t
cõa nâ câ r§t nhi·u c¡c v§n · li¶n quan. Trong ch÷ìng n y ta · cªp
¸n c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t hay ÷ñc sû döng trong gi£i to¡n, â l :
3.1. o¤n th¯ng ti¸p tuy¸n v d¥y cung ti¸p xóc
3.2. Tù gi¡c ti¸p xóc
3.3. Tù gi¡c ngo¤i ti¸p v ph²p nghàch £o
3
Ch֓ng 1
ành lþ Pithot v c¡c i·u ki»n
t֓ng ֓ng
1.1 Ba ành lþ cì b£n v· tù gi¡c ngo¤i ti¸p
Ta nhc l¤i tù gi¡c ngo¤i ti¸p ÷íng trán l tù gi¡c lçi m t§t c£ c¡c
c¤nh ·u ti¸p xóc vîi mët ÷íng trán hay tù gi¡c ngo¤i ti¸p l tçn t¤i
tçn t¤i mët ÷íng trán nëi ti¸p trong tù gi¡c. L÷u þ r¬ng ÷íng trán nëi
ti¸p â l duy nh§t. Trong to n bë luªn v«n chóng tæi s³ sû döng tù
gi¡c ngo¤i ti¸p ' thay cho c¡ch nâi tù gi¡c ngo¤i ti¸p mët ÷íng trán.
D¹ th§y khæng ph£i måi tù gi¡c lçi ·u l tù gi¡c ngo¤i ti¸p. Do â,
muèn mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p c¦n ph£i câ th¶m mët (ho°c mët sè) i·u
ki»n n o â, m ta gåi l i·u ki»n c¦n v õ º mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p.
D§u hi»u nhªn bi¸t mët tù gi¡c ngo¤i ti¸p xu§t hi»n sîm v âng vai
trá quan trång l ành lþ Pithot. Henri Pithot (1695-1771) l mët kÿ
s÷ ng÷íi Ph¡p ¢ cæng bè i·u ki»n c¦n v công l i·u ki»n õ º mët
tù gi¡c ngo¤i ti¸p ngay tø n«m 1725, ph²p chùng minh ¦u ti¶n ÷ñc
thüc hi»n bði nh to¡n håc Thöy s¾ Jakob Steiner (1796-1863) v o n«m
1846.
ành lþ 1.1
. Tù gi¡c ABCD vîi c¡c c¤nh a, b, c, d ngo¤i ti¸p
(Pithot)
÷íng trán khi v ch¿ khi
AB + CD = BC + DA,
a + c = b + d.
(1.1)
ABCD ngo¤i ti¸p ÷íng trán (I), c¡c ti¸p
c¤nh AB, BC, CD, DA l M, N, P, Q. Suy ra:
Chùng minh. ([1]), Gi£ sû
iºm thù tü tr¶n c¡c
tùc l
4
AM = AQ, BM = BN , CN = CP, DP = DQ.
AB + CD = BC + DA.
Cëng v¸ vîi v¸ ta câ
: ành lþ Pithot
H¼nh 1.1
AB + CD = BC + DA.
Khæng m§t t½nh ch§t têng qu¡t ta coi AB ≤ AD .
Do AB + CD = BC + DA n¶n BC ≤ DC . Khi â tçn t¤i Q ∈ AD,
P ∈ DC sao cho AB = AQ v CB = CP , suy ra DP = DQ. Tø â,
c¡c tam gi¡c ABQ, CBP, DP Q l nhúng tam gi¡c c¥n v c¡c ÷íng
cao tø ba ¿nh A, C, D l 3 trung trüc cõa tam gi¡c BPQ, çng quy t¤i
mët iºm I . Ta câ I c¡ch ·u c¡c c¤nh AD, DC, CB, AB cõa tù gi¡c.
Vªy tçn t¤i ÷íng trán t¥m I ti¸p xóc vîi c¡c c¤nh tù gi¡c.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû tù gi¡c
ABCD
thäa m¢n
Chó þ. Ta cán câ k¸t qu£ m¤nh hìn ành lþ Pithot v công l c¡ch
ABCD l mët
ti¸p xóc vîi AB, AD, BC çng thíi ct
AB + DC ≥ AD + BC . D§u b¬ng x£y
chùng minh kh¡c cõa ph¦n £o ành lþ Pithot: Gi£ sû
tù gi¡c tòy þ v câ ÷íng trán
DC t¤i hai iºm. Khi â
khi ABCD l tù gi¡c ngo¤i ti¸p.
c¤nh
ra
Thªt vªy, kþ hi»u nh÷ H¼nh 1.2 th¼ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh
trð th nh
x + y + z ≥ c + d.
Ta nhc l¤i ành lþ ph÷ìng t½ch : Cho ÷íng trán
M ct ֒ng
M A.M B = M O − R = d2 − R2 .
cè ành. Mët ÷íng th¯ng thay êi qua
A
v
B.
Khi â
(O; R) v iºm M
2
2
trán t¤i hai iºm
5
: Mët b§t ¯ng thùc h¼nh håc
H¼nh 1.2
Theo ành lþ ph÷ìng t½ch ta câ
c2 = z(y + z), d2 = x(x + y).
Do â, ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc
q
z(y + z) +
q
x(x + y) ≤ x + y + z.
Nh÷ng â ch½nh l h» qu£ trüc ti¸p cõa b§t ¯ng thùc AM-GM v¼
z+y+z
2z + y
=
,
2
2
q
x+x+y
2x + y
z(x + y) ≤
=
.
2
2
q
z(y + z) ≤
D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi
y = 0.
Þ ngh¾a cõa b§t ¯ng thùc n y l ð ché: k¸t qu£ têng qu¡t hìn ành
lþ Pithot v ta câ b§t ¯ng thùc nghi¶m ng°t khi ÷íng trán ct mët
c¤nh tù gi¡c.
ành lþ 1.2
.
([6]) Tù gi¡c lçi ABCD vîi
P = AC ∩ BD
ngo¤i ti¸p mët
÷íng trán khi v ch¿ khi:
1
1
1
1
+
=
+
.
d(P, AB) d(P, CD) d(P, BC) d(P, DA)
6
hay vi¸t d÷îi d¤ng
1
1
1
1
+
=
+ .
h1 h3
h2 h4
d(P, AB), d(P, BC), d(P, CD), d(P, DA)
P ¸n c¡c o¤n th¯ng AB, BC, CD, DA.
Trong â:
c¡ch tø
(1.2)
l¦n l÷ñt l kho£ng
: Chùng minh ành lþ 1.1
H¼nh 1.3
Chùng minh. Tr÷îc h¸t ta biºu di¹n (1.2) d÷îi d¤ng l÷ñng gi¡c. X²t c¡c
M, N, E, F cõa P l¦n l÷ñt tr¶n c¡c c¤nh AB , BC ,
AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, theo ành lþ Thales
h¼nh chi¸u vuæng gâc
CD, DA.
Vîi
PM
AP
PF
=
=
d(C, AB) AC
d(C, AD)
PM
BP
PN
=
=
d(D, AB) BD
d(D, BC)
PC
PE
PN
=
=
d(A, BC)
AC
d(A, DC)
Ngh¾a l ,
PM
PF
PM
PN
PN
PE
=
;
=
;
=
.
b sin B
c sin D d sin A c sin C a sin B
d sin D
H» thùc (1.2) trð th nh
1
1
1
1
+
=
+
.
PM PE
PN PF
Nh¥n c£ 2 v¸ vîi
1+
PM
ta ֖c
PM
PM PM
a sin A sin B
d sin A b sin B
=
+
⇐⇒ 1 +
=
+
PE
PN
PF
c sin C sin D
c sin C c sin D
7
: Chùng minh i·u ki»n c¦n
H¼nh 1.4
Do â, (1.2) t÷ìng ÷ìng vîi
a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A
ABCD ngo¤i ti¸p ÷ñc n¸u v ch¿ n¸u câ (1.3).
ABCD l tù gi¡c ngo¤i ti¸p th¼ câ mët ÷íng trán
B¥y gií ta chùng minh
i·u ki»n c¦n. N¸u
(1.3)
r. Khi â
A
B
B
C
a = r cot + cot
, b = r cot + cot
2
2
2
2
C
D
D
A
c = r cot + cot
, d = r cot + cot
.
2
2
2
2
nëi ti¸p b¡n k½nh
Do â,
A
B
A
A
B
B
a sin A sin B = r cot + cot
.4 sin cos sin cos
2
2
2
2
2
2
A
B
B
A
A
B
cos cos
= 4r cos sin + cos sin
2
2
2
2
2
2
A+B
A
B
= 4r sin
cos cos
2
2
2
C +D
A
B
= 4r sin
cos cos
2
2
2
8
D
C
C
D
B
A
= 4r cos sin + cos sin
cos cos
2
2
2
2
2
2
D
A
B
C
D
C
cos cos cos cos
= 4r tan + tan
2
2
2
2
2
2
T÷ìng tü,
D
A
A
B
C
D
cos cos cos cos
b sin B sin C = 4r tan + tan
2
2
2
2
2
2
A
B
A
B
C
D
c sin C sin D = 4r tan + tan
cos cos cos cos
2
2
2
2
2
2
B
C
A
B
C
D
d sin D sin A = 4r tan + tan
cos cos cos cos
2
2
2
2
2
2
Tø â suy ra h» thùc (1.3).
i·u ki»n õ. Gi£ sû câ (1.3) v
ABCD
khæng l tù gi¡c ngo¤i ti¸p.
Tr÷íng hñp 1. H¼nh 1.5 a).
C¡c c¤nh èi cõa tù gi¡c khæng song song, ch¯ng h¤n
X²t ÷íng trán nëi ti¸p
∆ABT ,
AD ∩ BC = T.
ta düng mët ÷íng th¯ng song song
DC , ti¸p xóc vîi ÷íng trán, nâ ct BC ð C 0 , ct DA ð D0 . Gi£
0
0
0 0
0
0
0
0
00 0
0
sû BC = b , C D = c , D A = d , C C = x, D D = y, D D = z , trong
00
00 0
00
00
â, D l iºm tr¶n C D sao cho C CDD l h¼nh b¼nh h nh. Chó þ
b = b0 + x, c = c0 − y, d = d0 + z . V¼ ABC 0 D0 l tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¶n
vîi
a sin A sin B + c0 sin C sin D = c0 sin C sin D
= b0 sin B sin C + d0 sin D sin A
(1.4)
So s¡nh (1.3) v (1.4) cho
a sin A sin B + c sin C sin D = b sin B sin C + d sin D sin A.
−y sin C sin D = x sin B sin C + z sin D sin A hay
y sin C sin D + x sin B sin C + z sin D sin A = 0. i·u n y m¥u thu¨n v¼
c£ 3 sè x, y, z ·u còng d§u v c¡c gi¡ trà l÷ñng gi¡c ·u d÷ìng.
K¸t qu£ thu ÷ñc
Tr÷íng hñp 2. H¼nh 1.5 b).
ch¯ng h¤n
AD k BC
ABCD
câ mët c°p c¤nh èi song song,
. X²t ÷íng trán ti¸p xóc vîi c¡c c¤nh
AB, BC
DA. Düng ÷íng th¯ng song song vîi DC , ti¸p xóc ÷íng trán, nâ
0
0
0
0
0
0
ct BC, DA t÷ìng ùng ð C , D . Gi£ sû C C = D D = x, BC = b v
v
9
: Chùng minh i·u ki»n õ
H¼nh 1.5
D0 A = d0 . Rã r ng b0 = b − x, d = d0 + x, C 0 D0 = CD = c. V¼ABC 0 D0 l
tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¶n
a sin A sin B + c sin C sin D = b0 sin B sin C
= b0 sin B sin C + d0 sin D sin A
(1.5)
So s¡nh (1.5) vîi (1.3):
b sin B sin C + d sin D sin A = b0 sin B sin C + d0 sin D sin A
⇔x(sin B sin C + sin D sin A) = 0.
x 6= 0, sin A = sin B ; sin C sin D (hai gâc bò nhau) n¶n
2 sin A sin C = 0. Væ lþ. ành lþ ÷ñc chùng minh ho n to n.
V¼
suy ra:
Trong [6] Nicusor Minculete tr½ch d¨n mët °c tr÷ng l÷ñng gi¡c cõa
tù gi¡c ngo¤i ti¸p do Marius Iosifescu cæng bè trong mët t¤p ch½ cô
cõa Romanian (Iosifescu, Problem 1421, The Mathematical Gazette (in
Romanian),
N0
11, 1954). B£n th¥n Nicusor Minculete ch÷a åc ÷ñc
ph²p chùng minh °c tr÷ng n y cõa Iosifescu v¼ khæng câ b£n ti¸ng
Anh, æng công khæng x¡c ành ÷ñc ph²p chùng minh sau ¥y cõa æng
câ gièng ph²p chùng minh cõa Iosifescu khæng. Câ thº coi °c tr÷ng
Iosifescu sau ¥y l °c tr÷ng l÷ñng gi¡c cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p.
ành lþ 1.3
. Tù gi¡c lçi ABCD ngo¤i ti¸p
( °c tr÷ng Iosifescu, [6])
khi v ch¿ khi
z
y
w
x
tan . tan = tan . tan ,
2
2
2
2
(1.6)
10
trong â,
\ y = ADB,
\ z = BDC,
\ w = DBC
\.
x = ABD,
Chùng minh. Sû döng cæng thùc l÷ñng gi¡c
tan2
u 1 − cos u
=
2
1 + cos u
ta th§y
(1.6) t÷ìng ÷ìng vîi
1 − cos x 1 − cos z 1 − cos y 1 − cos w
.
−
.
.
1 + cos x 1 + cos z 1 + cos y 1 + cos w
i·u â l¤i t÷ìng ÷ìng vîi
(1 − cos x)(1 − cos z)(1 + cos y)(1 + cos w) =
= (1 − cos y)(1 − cos w)(1 + cos x)(1 + cos z).
a = AB, b = BC, c = CD, d = DA
a2 + q 2 − d 2
, cho n¶n
cho cosx =
2aq
Nhc l¤i
cæ sin
v °t
q = BD,
(1.7)
ành lþ
d2 − (a − q)2
(d + a − q)(d − a + q)
1 − cos x =
=
2aq
(2aq)
(a − q + d)(a − q − d)
(a − q)2 − d2
=
1 + cos x =
2aq
(2aq)
Công b¬ng c¡ch nh÷ th¸:
(a + d − q)(a − d + q)
(d + q + a)(d + q − a)
, 1 + cos y =
(2dq)
(2dq)
(b + c − q)(b − c + q)
(c + q + b)(c + q − b)
1 − cos z =
, 1 + cos z =
(2cq)
(2cq)
(b + c − q)(c − b + q)
(b + q + c)(b + q − c)
1 − cos w =
, 1 + cos w =
(2bq)
(2bq)
1 − cos y =
Nh÷ vªy (1.7) t÷ìng ÷ìng vîi
(d + a − q)(d − a + q)2 (b + c − q)(b − c + q)2
·
·
2aq
2cq
(d + q + a) (b + q + c)
·
·
2dq
2bq
(a + d − q)(a − d + q)2 (c + b − q)(c − b + q)2
=
·
·
2dq
2bq
(a + q + d) (c + q + b)
·
·
.
2aq
2cq
11
: C¡c gâc trong °c tr÷ng Iosifescu
H¼nh 1.6
i·u â l¤i t÷ìng ÷ìng vîi
P.[(d − a + q)2 (b − c + q)2 − (a − d + q)2 (c − b + q)2 ] = 0
trong â,
P =
(d + a + q)(b + c − q)(d + q + a)(b + q + c)
16abcdq 4
(1.8)
l biºu thùc
d÷ìng do c¡c b§t ¯ng thùc tam gi¡c trong c¡c tam gi¡c ABD, BCD.
Khai triºn (1.8) nhªn ÷ñc
P.[(d − a + q)(b − c + q) + (a − d + q)(c − b + q)]×
×[(d − a + q)(b − c + q) − (a − d + q)(c − b + q)] = 0
¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi
4qP.(b + d − a − c)[q 2 − (a − d)(b − c)] = 0
Sû döng b§t ¯ng thùc tam gi¡c ta câ
2
q − (a − d)(b − c) > 0.
tan
(1.9)
q > a − d; q > b − c,
Tø ¥y ta k¸t luªn ÷ñc
z
y
w
x
· tan = tan · tan
⇐⇒ b + d = a + c
2
2
2
2
°c tr÷ng Iosifescu ÷ñc chùng minh theo ành lþ Pithot.
vªy
12
1.2 C¡c i·u ki»n v· c¤nh v ÷íng ch²o
Mët trong nhúng con ÷íng t¼m ra c¡c i·u ki»n c¦n v õ º tù gi¡c
lçi ngo¤i ti¸p l chùng minh c¡c i·u ki»n mîi n y t÷ìng ÷ìng vîi mët
trong ba ành lþ cì b£n ð tr¶n. Sau ¥y l hai °c tr÷ng t÷ìng tü vîi
ành lþ Pithot:
M»nh · 1.1. N¸u ABCD l mët tù gi¡c lçi m c¡c c¤nh èi di»n AB
v
CD
ct nhau ð
P, AD
v
BC
ct nhau ð
Q
th¼
ABCD
ngo¤i ti¸p
khi v ch¿ khi x£y ra 1 trong 2 i·u ki»n
BP + BQ = DP + DQ; AP − AQ = CP − CQ.
Chùng minh. i·u ki»n n y ÷ñc chùng minh b¬ng ph£n chùng.
K, L, M, N l c¡c
ti¸p iºm cõa ÷íng trán nëi ti¸p vîi l¦n l÷ñt c¡c c¤nh AB, BC, CD, DA.
i·u ki»n c¦n. Gi£ sû tù gi¡c
ABCD
ngo¤i ti¸p. Gåi
Khi â,
BP + BQ = AP − AB + BC + CQ = (AP + CQ) + (BC − AB)
= AQ + CP + CD − AD = DP + DQ;
AP + CQ = AK + P K + QL − CL = AN + P M + QN − CM
= AQ + CP.
: i·u ki»n tù gi¡c ngo¤i ti¸p cõa Wu
H¼nh 1.7
13
i·u ki»n õ. Ta chùng minh ch¯ng h¤n câ
ABCD
th¼
BC
BP + BQ = DP + DQ
l tù gi¡c ngo¤i ti¸p. X²t ÷íng trán ti¸p xóc vîi c¤nh
AD khæng ti¸p xóc
0
0
vîi ÷íng trán. Gåi S l iºm tr¶n AQ sao cho Q S song song DD .
0
0
0 0
V¼ BP + BQ = DP + DQ v BP + BQ = D P + D Q , k²o theo
QS + SQ0 = QQ0 . M¥u thu¨n.
v c¡c tia
SXY Z
BA
v
ch¿ di»n t½ch
CD.
Gi£ sû ÷íng th¯ng
∆XY Z . Ta câ 3 i·u ki»n li¶n quan ¸n di»n t½ch.
M»nh · 1.2. Tù gi¡c lçi ABCD vîi P = AC ∩ BD. C¦n v õ º
ABCD
•
ngo¤i ti¸p l câ mët trong c¡c i·u ki»n t÷ìng ÷ìng sau:
a
+
c
=
b
+
d
(1.10)
•
SAP B SCP D
SBP C SDP A
a.SCP D + c.SAP B = b.SDP A + d.SBP C
•
a.P C.P D + c.P A.P B = b.P A.P D + d.P B.P C.
Chùng minh. Tø c¡c h» thùc
(1.11)
(1.12)
a
a
1
=
=
,...
d(P, AB) a.d(P, AB) 2S(∆AP B)
suy ra (1.10) t÷ìng ÷ìng vîi (1.2).
Sü t÷ìng ÷ìng cõa (1.10), (1.11) v (1.12) rót ra tø c¡c ¯ng thùc
1
SAP B = P A.P B. sin ϕ, v.v..., ϕ l gâc giúa hai ÷íng ch²o
2
1
2
r¬ng SAP B .SCP D = SBP C .SDP A = .P A.P B.P C.P D. sin ϕ.
4
vîi l÷u þ
1.3 C¡c i·u ki»n li¶n quan ¸n 4 tam gi¡c
Trong mët b i b¡o n«m 2000, (Problem 10698, Amer. Math. Monthly,
105(1998) 995; solution, 107 (2000), 657-658 ), Wu Wei Chao ÷a ra
mët °c tr÷ng kh¡c cõa tù gi¡c ngo¤i ti¸p: Gåi
P
l giao hai ÷íng ch²o
ABCD v r1 , r2 , r3 , r4 l b¡n k½nh c¡c ÷íng trán nëi ti¸p
∆AP B, ∆BP C, ∆CP D, ∆DP A, t÷ìng ùng. Khi â câ k¸t qu£ sau
cõa tù gi¡c lçi
M»nh · 1.3. Tù gi¡c lçi ABCD ngo¤i ti¸p ÷ñc khi v ch¿ khi
1
1
1
1
+ = +
r1 r2
r3 r4
Chùng minh. X²t tam gi¡c
ùng l
ha , hb , hc
ABC
(1.13)
tòy þ vîi c¤nh a, b, c ÷íng cao t÷ìng
v b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p
r.
Tø c¡c cæng thùc
14
1
1
1
1
SABC = (a + b + c) · r = aha = bhb = chc
2
2
2
2
ta suy ra:
1 a+b+c
1
b
c
1
b
c
=
=
+
+
=
+
+
.
r
aha
ha aha aha
ha bhb chc
Ngh¾a l b¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c quan h» vîi c¡c ÷íng
cao bði h» thùc
1
1
1
1
=
+
+
r
ha hb hc
p döng ¯ng thùc â v o 4 tam gi¡c
1
r1
1
r2
1
r3
1
r4
(1.14)
AP B, BP C, CP D, DP A
ta câ:
1
1
1
+
+
,
d(P, AB) d(A, BD) d(B, AC)
1
1
1
=
+
+
,
d(P, BC) d(C, BD) d(B, AC)
1
1
1
=
+
+
,
d(P, CD) d(C, BD) d(D, AC)
1
1
1
=
+
+
,
d(P, AD) d(A, BD) d(D, AC)
=
Tø â suy ra sü t÷ìng ÷ìng cõa (1.13) v (1.2).
M»nh · 1.4. Tù gi¡c lçi l tù gi¡c ngo¤i ti¸p n¸u v ch¿ n¸u hai
÷íng trán nëi ti¸p trong hai tam gi¡c t¤o bði mët ÷íng ch²o ti¸p xóc
vîi nhau.
ABCD, gi£ sû c¡c ÷íng trán nëi ti¸p
c¡c tam gi¡c ABC, CDA, BCD, DAB l¦n l÷ñt ti¸p xóc vîi AC v BD
ð X, Y, Z, W (H¼nh 1.8 ). Tr÷îc h¸t ta chùng minh:
Chùng minh. Trong tù gi¡c lçi
1
ZW = |a − b + c − d| = XY.
2
Thªt vªy, sû döng t½nh ch§t ti¸p tuy¸n ngo i ta câ
BZ = b − z
BW = a − w,
n¶n
ZW = BW − BZ = a − w − b + z.
Công b¬ng c¡ch nh÷ vªy,
DW = d − w
v
DZ = c − z
ZW = DZ − DW = c − z − d + w.
n¶n
- Xem thêm -
.PDF 
67 
2 
58 
