Tài liệu Tứ giác điều hòa và ứng dụng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THU TRANG TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THU TRANG TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG Thái Nguyên, 10/2018 i Mục lục Danh sách ký hiệu ii Danh sách hình vẽ iv Mở đầu Chương 1. Một số vấn đề về tứ giác điều hòa 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . 1.1.1 Hàng điểm điều hòa . . . . . . . . . 1.1.2 Chùm điều hòa . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Đường đối trung . . . . . . . . . . . 1.1.4 Đường tròn Apollonius . . . . . . . . 1.1.5 Một số định lý cơ bản . . . . . . . . 1.2 Tứ giác điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa 2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . 2.2 Chứng minh đồng quy . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định . 2.4 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau . . . . . 2.5 Chứng minh hai góc bằng nhau . . . . . . . . . 2.6 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 6 11 12 14 14 15 . . . . . . 23 23 28 32 37 45 49 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 ii Danh sách ký hiệu ∠AOB Góc AOB CA −→ Độ dài đại số của vécto CA (A, B, C, D) = −1 A, B, C, D là hàng điểm điều hòa (OA, OB, OC, OD) = −1 OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa (O) Đường tròn tâm O 4ABC Tam giác ABC 4ABC ∼ 4BP M Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BP M AB ⊥ CD Đoạn AB vuông góc CD const Hằng số I(O, r2 ) Phép nghịch đảo tâm O tỉ số r2 iii Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 A, B, C, D là hàng điểm điều hòa. . . . . . . I là trung điểm đoạn AB. . . . . . . . . . . OD là phân giác ngoài của ∠AOB. . . . . . I là trung điểm của EF . . . . . . . . . . . . OA, OB, OC, OD là một chùm điều hòa. . . E, F, G, K là hàng điểm điều hòa. . . . . . . AQ là đường đối trung . . . . . . . . . . . . Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A Định lý Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . AP BQ là tứ giác điều hòa. . . . . . . . . . . E, G, D, C là hàng điểm điều hòa. . . . . . . BK là đường đối trung của tam giác ABC . ABCD là tứ giác điều hòa . . . . . . . . . . DP và BP giao nhau trên đường thẳng AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 4 5 5 9 11 13 13 14 15 17 19 20 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 K, M, N thẳng hàng . . . . . . . . . A, E, F, C thẳng thàng . . . . . . . . A, R, S, L thẳng hàng . . . . . . . . . A, H, S thẳng hàng. . . . . . . . . . . K, F, B, D thẳng hàng. . . . . . . . . EN, F M, AO đồng quy. . . . . . . . BY, CZ và AD đồng quy. . . . . . . M D, N E, P F đồng quy. . . . . . . . KN luôn đi qua một điểm I cố định M N đi qua J cố định . . . . . . . . . P Q luôn đi qua một điểm cố định I. T là điểm cố định khi A thay đổi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 25 26 27 28 29 30 32 33 34 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 I là trung điểm AH. . . . . . . . B là trung điểm GH. . . . . . . . T B = T C. . . . . . . . . . . . . . D1 E1 = D2 E2 . . . . . . . . . . . CF = F G. . . . . . . . . . . . . . Q là trung điểm KV . . . . . . . . DH = HK. . . . . . . . . . . . . P Q = QR. . . . . . . . . . . . . . P C đi qua trung điểm BD. . . . K là trung điểm của BD. . . . . T H là phân giác của góc M HN . ∠BP A = ∠CP M . . . . . . . . . ∠BAQ = ∠CAP . . . . . . . . . . IB là phân giác góc AIC. . . . . BM CN là tứ giác điều hòa . . . C1 P song song với AA1 . . . . . . F D·HK F H·DK = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 39 39 40 41 42 43 44 44 45 46 47 48 49 50 51 1 Mở đầu Từ xưa đến nay hình học luôn được xem là một môn học thú vị bởi những khám phá mới mẻ từ những định lý, tính chất và những ứng dụng đẹp của nó. Hình học là một phân môn quan trọng trong toán học, đã gắn bó với chúng ta trong quá trình học toán từ bậc tiểu học đến trung học phổ thông. Sự kì diệu của hình học nằm trong cả phát biểu của định lý, tính chất cũng như những chứng minh của chúng, tiềm ẩn những thử thách sâu sắc để thách thức trí tuệ của con người. Tứ giác điều hòa là một tứ giác đẹp và có nhiều ứng dụng trong hình học phẳng. Các bài toán liên quan đến tứ giác điều hòa là những bài toán hay và khó. Nó có ứng dụng khá lớn trong các bài toán như chứng minh thẳng hàng, đồng quy, song song, vuông góc, trung điểm, chứng minh đi qua điểm cố định và các bài toán về chứng minh hệ thức hình học... Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của tứ giác điều hòa, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu “Tứ giác điều hòa và ứng dụng” dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Việt Cường. Để giải quyết được vấn đề này, trước tiên chúng tôi tìm hiểu về định nghĩa cũng như những tính chất của tứ giác điều hòa. Tiếp đó, chúng tôi tìm hiểu việc vận dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào việc giải một số dạng toán cụ thể trong hình học phẳng. Nội dung của đề tài luận văn gồm hai chương. Chương 1. Một số vấn đề về tứ giác điều hòa. Trong chương này, ngoài trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tôi trình bày định nghĩa và tính chất về tứ giác điều hòa. Các nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1, 3, 11]. Chương 2. Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa. Trong chương này, chúng tôi áp dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào giải một số dạng toán trong 2 hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh vuông góc, chứng minh hệ thức trong hình học, chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định... Các nội dung của chương sẽ tham khảo từ các tài liệu [4, 9, 10]. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Việt Cường, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học K10Q Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Thu Trang 3 Chương 1 Một số vấn đề về tứ giác điều hòa Trong chương này, ngoài trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tôi trình bày định nghĩa và tính chất về tứ giác điều hòa. Các nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1, 3, 11]. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hàng điểm điều hòa Định nghĩa 1.1.1 ([3]). Trên một đường thẳng lấy bốn điểm A, B, C, D. Khi đó, A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa nếu chúng thỏa mãn hệ thức CA DA =− . CB DB (1.1) Ký hiệu là (A, B, C, D) = −1. Hình 1.1: A, B, C, D là hàng điểm điều hòa. Nhận xét 1.1.2. Từ hệ thức (1.1), ta suy ra ngay trong hai điểm C và D phải có một điểm nằm bên trong đoạn thẳng AB và điểm còn lại nằm ngoài đoạn thẳng AB. Tính chất 1.1.3 ([3]). Bốn điểm được gọi là hàng điểm điều hòa khi và chỉ khi một trong các hệ thức sau được thỏa mãn: 4 1. 1 1 2 = + (hệ thức Descarter). AB CA DA 2. IA2 = IB 2 = IC · ID (với I là trung điểm AB) (hệ thức Newton). Hình 1.2: I là trung điểm đoạn AB. 3. Gọi J là trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin). Hệ thức (1.1) và hệ thức Newton là hai dấu diện phổ biến nhất để chứng minh bốn điểm là một hàng điểm điều hòa. Định lý 1.1.4 ([3]). Cho (A, B, C, D) = −1 và điểm O sao cho OC là phân giác góc trong của ∠AOB thì OD là phân giác ngoài của ∠AOB. Hình 1.3: OD là phân giác ngoài của ∠AOB. Định lý 1.1.5 ([3]). Cho (A, B, C, D) = −1 và điểm O nằm ngoài hàng điểm điều hòa trên. Một đường thẳng d cắt ba tia OC, OB và OD lần lượt tại E, I và F . Khi đó, I là trung điểm của EF khi và chỉ khi d song song với OA. Hình 1.4: I là trung điểm của EF . 5 1.1.2 Chùm điều hòa Định nghĩa 1.1.6 ([3]). Cho hàng điểm điều hòa (A, B, C, D) = −1 và O nằm ngoài hàng điểm điều hòa trên. Khi đó, ta gọi bốn tia OA, OB, OC, OD là một chùm điều hòa và kí hiệu (OA, OB, OC, OD) = −1. Hình 1.5: OA, OB, OC, OD là một chùm điều hòa. Định lý 1.1.7 ([3]). Cho (OA, OB, OC, OD) = −1. Một đường thẳng d bất kì cắt các cạnh OA, OB, OC, OD lần lượt tại E, F, G, K. Khi đó, ta có (F, F, G, K) = −1. Hình 1.6: E, F, G, K là hàng điểm điều hòa. Nhận xét 1.1.8. Qua định lí trên chúng ta có thể thấy từ một hàng điểm điều hòa ban đầu sẽ “có” vô số chùm điều hòa xung quanh (cứ một điểm ngoài hàng điểm điều hòa nói trên sẽ cho ta một chùm điều hòa tương ứng). Và cứ mỗi chùm điều hòa như vậy lại cho ta vô số hàng điểm điều hòa. Hệ quả 1.1.9 ([3]). Cho chùm điều hòa (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1. Khi đó nếu góc zOt = 90◦ thì Oz là phân giác trong của góc xOy và Ot là phân giác ngoài xOy. 6 Nhận xét 1.1.10. Từ Hệ quả 1.1.9, ta có nếu Oz là phân giác trong hoặc Ot là phân giác ngoài thì góc zOt = 90◦ . Mặt khác nếu 4 tia Ox, Oy, Oz, Ot bất kì mà có góc zOt = 90◦ và Oz, Ot lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của xOy thì (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1. Đây là dấu hiệu quan trọng để chứng minh 4 tia xuất phát từ một đỉnh là một chùm điều hòa. Hệ quả 1.1.11 ([3]). Cho chùm điều hòa (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1 và một đường thẳng d bất kì cắt Oz, Ot, Oy lần lượt tại A, B, I. Khi đó d song song Ox khi và chỉ khi I là trung điểm của AB. Nhận xét 1.1.12. Từ Hệ quả 1.1.11 ta có nếu d song song Ox và I là trung điểm của AB thì đây cũng là một dấu hiệu quan trọng để chứng minh 4 tia xuất phát từ một đỉnh là một chùm điều hòa. 1.1.3 Đường đối trung Định nghĩa 1.1.13 ([1]). Cho góc ∠xOy. Ta nói hai đường thẳng d1 và d2 là các đường đẳng giác trong góc đã cho nếu chúng cùng đi qua đỉnh O và đối xứng với nhau qua phân giác của góc đó. Ví dụ 1.1.14. Một trường hợp tầm thường là đường phân giác là đường đẳng giác với chính nó. Định nghĩa 1.1.15 ([1]). Trong một tam giác, đường thẳng đẳng giác với trung tuyến xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của tam giác. Chú ý 1.1.16. Trong tam giác vuông, đường cao xuất phát từ đỉnh chính là đường đối trung. Ta có một cách đơn giản để tìm đường đối trung của tam giác thông qua tìm giao điểm của hai tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp như sau. Bổ đề 1.1.17 ([1]). Cho tam giác ABC và (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O. Cho D là giao điểm của hai đường tiếp tuyến của (O) tại điểm B và C. Khi đó AD trùng với đường đối trung của tam giác ABC. Chứng minh. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và ký hiệu ω là đường tròn có tâm tại D với bán kính BD. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của AB và AC với ω. Trong tam giác ABQ, do ∠P BQ là góc ngoài của ∠ABQ nên ta có ∠P BQ = ∠BQC + ∠BAC. 7 Mặt khác, ta có 1 1 ∠BQC = ∠BDC, và ∠BAC = ∠BOC. 2 2 Từ đó, ta có 1 ∠P BQ = ∠BQC + ∠BAC = (∠BDC + ∠BOC) = 90◦ . 2 Do P Q là đường kính của ω nên P Q đi qua D. Ta có P BCQ là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm D, có tổng các góc bằng 360◦ . Do P BD, DBC, CDQ là các tam giác cân tại D nên ta có ∠DP B = ∠P BD, ∠DBC = ∠BCD, ∠DCQ = ∠CQD. Từ đó, ta có 360◦ = ∠DP B + ∠P BC + ∠BCQ + ∠CQD = ∠DP B + ∠P BD + ∠DBC + ∠BCD + ∠DCQ + ∠CQD = 2∠P BD + 2∠DBC + 2∠CQD. Vậy, ta có ∠P BC + ∠AQP = ∠P BD + ∠DBC + ∠CQD = 180◦ . (1.2) Mặt khác, ∠P BC là góc ngoài của tam giác ABC tại B nên ta có ∠ABC + ∠P BC = 180◦ . (1.3) 8 Từ (1.2) và (1.3), suy ra ∠ABC = ∠AQP. Tương tự, ta có ∠ACB = ∠AP Q. Do đó, ta có hai tam giác ABC và AQP đồng dạng. Nếu M là trung điểm của BC, vì D là trung điểm của QP , tính đồng dạng kéo theo ∠BAM = ∠QAD, từ đó suy ra AM là phản xạ của AD qua đường phân giác. Nói cách khác, AM và AD đẳng giác. Định lý 1.1.18 ([1]). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và D là điểm thuộc cạnh BC. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: i) AD là đường đối trung kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. DB AB 2 ii) = . DC AC 2 AB sin ∠DAB = . iii) sin ∠DAC AC DH AB iv) = (H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC). DK AC v) A, D, P thẳng hàng, trong đó P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ các đỉnh B và C của đường tròn (O). Chứng minh. Tính chất ii) phát biểu rằng đường đối trung chia trong cạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề. Áp dụng định lý Steiner cho trường hợp E là trung điểm của BC ta suy ra sự tương đương của i) và ii). Áp dụng định lý sin, ta có sin ∠DAB sin ∠ABD sin ∠ABC = = , DB AD AD và sin ∠DAC sin ∠ACD sin ∠ACB = = . DC AD AD Chia hai hệ thức trên cho nhau ta được sin ∠DAB sin ∠ABC DB = sin ∠DAC sin ∠ACB DC AC DB AC AB 2 AB = = = . 2 AB DC AB AC AC 9 Ta suy ra sự tương đương của ii) và iii). Với H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC, ta có sin ∠DAB = DH , AD sin ∠DAC = DK . AD Suy ra DH sin ∠DAB AB = = . DK sin ∠DAC AC Vậy iii) và iv) là tương đương nhau. Do P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ các đỉnh B và C của đường tròn ngoại tiếp (O) nên theo Bổ đề 1.1.17, ta có AP trùng với đường đối trung của tam giác. AD cũng là đường đối trung của tam giác. Tức là hai đường thẳng này trùng nhau. Suy ra A, D, P thẳng hàng. Chú ý 1.1.19 ([1]). Cho tam giác ABC. Đường đối trung AE chia trong cạnh EB AB 2 BC theo tỉ số = . Tiếp tuyến AD của đường tròn ngoại tiếp ABC EC AC 2 chia ngoài cạnh BC cũng theo tỉ số đó, nên ta gọi AD là một đường đối trung ngoài của tam giác ABC. Nhận xét 1.1.20. Cho tam giác ABC, gọi AE, AD lần lượt là đường đối trung và đường đối trung ngoài của tam giác với E, D nằm trên cạnh BC. Khi đó suy ra (C, B, E, D) = −1. Mệnh đề 1.1.21 ([9]). Đường đối trung là quỹ tích các điểm mà khoảng cách đến hai cạnh của một tam giác tỉ lệ với các cạnh đó. Hình 1.7: AQ là đường đối trung 10 Chứng minh. Gọi P là một điểm của quỹ tích, tức là một điểm mà các khoảng cách P I, P H đến hai cạnh AB, AC thỏa mãn điều kiện PI c = . PH b Gọi Q là giao điểm của AP với BC. Từ Q kẻ những đường thẳng QM vuông góc với AB, QN vuông góc với AC. Ta có QM PI c = = QN PH b nên SABQ AB · QM c2 = = 2. SAQC AC · QN b Mặt khác, ta có SABQ BQ . = SAQC QC Vậy, ta có BQ c2 = 2. QC b Điều này chứng tỏ AQ là một đường đối trung. Đảo lại, lấy một điểm P 0 bất kì trên đường đối trung AQ. Kẻ P 0 I 0 ⊥ AB và P 0 H 0 ⊥ AC. Ta phải chứng minh c P 0I 0 = . 0 0 PH b Thật vậy, vì AQ là một đường đối trung, nên ta có BQ c2 = 2 QC b và SABQ BQ c2 = = 2. SAQC QC b Mặt khác, SABQ AB · QM = SAQC AC · QN nên AB · QM c · QM c2 = = 2. AC · QN b · QN b 11 Từ đó, suy ra QM c = . QN b Do đó, ta có 1.1.4 QM c P 0I 0 = = . P 0H 0 QN b Đường tròn Apollonius Định nghĩa 1.1.22 ([9]). Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC là đường tròn đường kính DE, trong đó D và E tương ứng là chân đường phân giác trong và chân đường phân giác ngoài của góc BAC. Hình 1.8: Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A Nhận xét 1.1.23. Nếu tam giác ABC là tam giác cân với AB = AC, thì đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A không xác định. Mệnh đề 1.1.24 ([9]). Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC có tâm là chân đường đối trung ngoài của đỉnh A. Chứng minh. Gọi Oa là giao điểm của đường đối trung ngoài của tam giác ABC 1 với cạnh BC. Giả sử ∠ABC > ∠ACB, ta được ∠EAB = (∠ABC + ∠ACB). 2 1 Vì AOa là tiếp tuyến nên ∠Oa AB = ∠ACB. Hơn nữa, ∠EAOa = (∠ABC − 2 1 ∠ACB) và ∠AEOa = (∠ABC − ∠ACB) . Suy ra 2 Oa E = Oa A, 12 cùng với EAD là tam giác vuông tại A, ta thu được Oa A = Oa D. Do đó Oa là tâm của đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A. Mệnh đề 1.1.25 ([9]). Đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác theo đường đối trung từ đỉnh A. Chứng minh. Gọi S là giao điểm thứ hai của đường tròn Apollonius với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do Oa A là tiếp tuyến của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC. Do tính đối xứng, Oa S cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Với tam giác ACS, Oa A và Oa S là đường đối trung ngoài của tam giác. Suy ra COa là đường đối trung trong của tam giác ACS. Ngoài ra, ta thu được tứ giác ABSC là tứ giác điều hòa. Do đó AS là đường đối trung trong của tam giác ABC và mệnh đề được chứng minh. Nhận xét 1.1.26. Từ đây, theo Hình 1.15 suy ra đường tròn tâm Q đi qua A và C là đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tam giác ABD. Đường tròn này (tâm Q, bán kính QC) cũng là đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh C của tam giác BCD. Tương tự, các đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh B và D của tam giác ABC và ADC trùng nhau. 1.1.5 Một số định lý cơ bản Định lý 1.1.27 (Định lý Ceva, [1]). Cho tam giác ABC và ba đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứa cạnh đối diện tại A0 , B 0 , C 0 sao cho: hoặc cả ba điểm A0 , B 0 , C 0 đều nằm trên ba cạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam giác còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều kiện cần và đủ để AA0 , BB 0 , CC 0 đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức AB 0 CA0 BC 0 · · = 1. B 0 C A0 B C 0 A (1.4) 13 Hình 1.9: Định lý Ceva Định lý 1.1.28 (Định lý Menelaus, [1]). Cho tam giác ABC và ba điểm A0 , B 0 , C 0 trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB sao cho hoặc cả ba điểm A0 , B 0 , C 0 đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc một trong ba điểm đó nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để A0 , B 0 , C 0 thẳng hàng là ta có hệ thức AB 0 CA0 BC 0 · · = 1. (1.5) B 0 C A0 B C 0 A Hình 1.10: Định lý Menelaus Định lý 1.1.29 (Định lý Pascal, [11]). Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F không kể đến, thứ tự cùng thuộc một đường tròn. Xét đường gấp khúc khép kín AB, BC, CD, DE, EF, F A. Gọi H, K, I lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và ED, BC và EF, AF và CD. Khi đó H, K, I thẳng hàng. Định lý 1.1.30 (Định lý Ptoleme, [11]). Nếu A, B, C và D là bốn đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì AC · BD = AB · CD + BC · AD. 14 Định lý 1.1.31 (Đường thẳng Simson, [11]). Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Giả sử S là một điểm nằm trên (O) sao cho S không trùng với ba đỉnh của tam giác. Khi đó hình chiều vuông góc A0 , B0 , C0 của S lần lượt trên BC, CA, AB cùng nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Simson của S đối với tam giác ABC. Định lý 1.1.32 (Định lý Desargues, [11]). Trong mặt phẳng, cho hai tam giác ABC và A0 B 0 C 0 . Đặt A1 = BC ∩ B 0 C 0 , B1 = CA ∩ C 0 A0 và C1 = AB ∩ A0 B 0 . Các đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 đồng qui khi và chỉ khi A1 , B1 , C1 thẳng hàng. Định lý 1.1.33 (Định lý Braichon, [11]). Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn. Khi đó các đường chéo AD, BE, CF đồng quy. 1.2 Tứ giác điều hòa 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 ([3]). Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa mãn CB AB = AD CD được gọi là tứ giác điều hòa. Định lý 1.2.2 ([4]). Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. M A và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O). Một cát tuyến qua M cắt (O) tại P và Q. Khi đó AP BQ là tứ giác điều hòa (Hình 1.11). Hình 1.11: AP BQ là tứ giác điều hòa. Chứng minh. Ta có 4QAM ∼ 4AP M vì ta có AM 2 = P M · M Q (theo định nghĩa phương tích của đường tròn). Do đó, ta có AQ AM = . AP MP (1.6)