Tài liệu Tư duy dồn biến trong bất đẳng thức đoàn trí dũng vs hà hữu hải

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI WWW.TOANMATH.COM Tư duy Dồn Biến trong Bất Đẳng Thức Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 6: AM – GM Dồn biến I. Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):  a  b  2 ab , a, b  0  2 Bất đẳng thức Cauchy cho hai số:  . Đẳng thức xảy ra khi a  b . ab  ,  , ab a b     2    a  b  c  3 3 abc , a ,b ,c  0  3 Bất đẳng thức Cauchy cho ba số:  . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  abc    , a , b , c 0 abc    3     Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho n số không âm: a  a  ...  a  nn a a ...a , a , a ,...a  0 n 1 2 n 1 2 n  1 2 n . Đẳng thức xảy ra khi a1  a2  ...  an   a  a  ...  an  ,  a , a ,... a  0 a1a2 ...an   1 2  1 2 n n    II. Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):  a2  b2  2ab, a,b   a  b  2ab, a,b  . Đẳng thức xảy ra khi a  b .  ab ab    , a,b   2   a3  b3  c 3  3abc, a,b,c  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .  abc abc    , a,b,c  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c . 3    3  ab  bc  ca    a  b  c   3 a2  b2  c 2 , a , b, c  . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c .  a3  b3  ab  a  b  , a, b  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b .  a2 b2   a  b, a , b  0 . Đẳng thức xảy ra khi a  b . b a 2 . Đẳng thức xảy ra khi a  b . 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi a  b . 3 2   IV. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa về biến cần tìm:   Bài 1: Cho các số thực x , y thỏa mãn x  y  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  2 x3  y 3  3 x  y . Bài 2: Cho các số thực x , y dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  Bài 3: Cho các số thực dương x , y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P   1 8 xy x2  y 2  8 x y . 1  9x y x  y 3 3 3 3   1 xy Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 4: Cho a, b, c thỏa mãn c  0, a  c , b  c . Tìm giá trị lớn nhất của: P  c  a  c   c  b  c   2a2b2 Bài 5: Cho các số thực a, b, c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ab bc ca   2 abc c a b Bài 6: Cho a, b, c độ dài 3 cạnh một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1  a2 b2 c 2  abc  1 . a  b  c b  c  a c  a  b     Bài 7: Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x4 y  y 4 z  z4 x  3 3 xy  yz  zx Bài 8: Cho các số thực a, b, c dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  a2  bc b2  ca c 2  ab    44 a  b  c bc ca ab Bài 9: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a 1 b 2  b 1 c 2  c 1 a  a  b  c . 3 2 Bài 10: Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  a3 a 2  b2  b3 b2  c 2  c3 c 2  a2  abc Bài 11: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a1 b2  1  b1 c2  1  c 1 a2  1 a  b  c  3 54 Bài 12: Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  a b  ab 3  b c  bc 3  c a  ca 3  3 3 3 3   2 a b c Bài 13: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1  a 1  b 1  c a  b  c P    1 b 1 c 1 a 6 2 ĐÁP ÁN   Bài 1: Cho các số thực x , y thỏa mãn x  y  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2 x3  y 3  3 x  y . Phân tích  Biến cần đưa về: x  y .  Chiều đánh giá cần có: P  .  Chiều cần đánh giá cần tìm: x3  y 3  f  x  y  . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Biến đổi biểu thức: x3  y 3   x  y   3xy  x  y  , do đó nếu muốn sử dụng đánh giá 3    x3  y 3   x  y , ta sẽ cần xy  x  y .  x  y Đánh giá cần tìm: xy   2 . 4 Bài giải Ta có: x  y   x  y   3xy  x  y  3 3 3  x  y . Ta có đánh giá: xy  4 x  y   x  y   3xy  x  y    x  y   3 3 3 3 3 x  y 4 3 x y 3  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x  y . Vậy: P  2 x  y  Xét hàm số f t  3 3 3 2 . Do đó: x  y  3 4 3 x  y xy  3 3 xy . 2 1 3 3t 2 3 t  3 t , t  0 . Ta có: P  f  x  y  . Vì: f '  t     0  t2 t  1  t  1 . 2 2 2 t Do đó ta có bảng biến thiên: t 0  1 f t   0   Từ bảng biến thiên, ta thấy f t   khi x  y  5 2 5 5 , t   0;   . Vậy P  f  x  y    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ 2 2 1 . 2 Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là  1 5 tại x  y  . 2 2 Bài 2: Cho các số thực x , y dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  Phân tích  Biến cần đưa về: x  y .  Chiều đánh giá cần có: P  .    Chiều cần đánh giá cần tìm: xy x2  y 2  f  x  y  .  1 8 xy x2  y 2  8 x y . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com   x  y    2xy    x 2  từ x 2  y 2 Biến đổi biểu thức: Nếu muốn tạo ra x  y 2 và xy , ta chỉ có biến đổi:   y2 .  Đánh giá cần tìm: 2 xy x y 2 2  2  2 xy  x2  y 2    . 2   Bài giải  1 Ta có:  2 xy  x2  y 2 2  1  2 xy  x  2 2  y2  2   xy x  y 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x  y . Vậy: P  2 2  x  y  1 8x  y 4 8 4 . 8 xy  P  1 x  y 4 8 xy . 8  Xét hàm số f t   Vì: f ' t   1  8 t , t  0 . Ta có: P  f  x  y  . t4 4 4   0  t  1 . Lập bảng biến thiên của hàm số ta được: t5 t t 0  1 f t   0 9      Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  9 , t  0;  . Vậy P  f x  y  9 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy 1 1 . Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 9 tại x  y  . 2 2 Bài 3: Cho các số thực dương x , y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  1  9x y x  y 3 3 3 3   1 xy Phân tích  Biến cần đưa về: x  y .  Chiều đánh giá cần có: P  .    Chiều cần đánh giá cần tìm: x3 y 3 x3  y 3  f  x  y  .  Biến đổi biểu thức: Ta có: x3  y 3   x  y  x2  xy  y 2 . Như vậy muốn đưa về biến x  y .ta xét     tích: x3 y 3 x2  xy  y 2 . Cũng như các bài toán ở trên, ta thấy để tạo ra x  y ta cần có hằng đẳng   thức như sau:  x  y   x2  xy  y 2  xy  xy  xy . 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com    xy  xy  xy  x 2  xy  y 2 2 2 Đánh giá cần tìm:  xy  xy  xy  x  xy  y   4   Bài giải       4      Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho bốn số ta có: x3 y 3 x3  y 3   xy  xy  xy  x2  xy  y2  x  y  x y 3 3 x 3 y 3   xy  xy  xy  x 2  xy  y 2   4  chỉ khi: x  y . Vậy: P   256 9 x  y   Ta có: P  f x  y Vì: f ' t   t 0 f t   9      4 x  y  x 3 3 y x 3 y 3  x  y  256 9 . Đẳng thức xảy ra khi và 256 1 1 . Xét hàm số f  t   9  , t  0 . xy t 9t 256 1   0  t  2 . Lập bảng biến thiên của hàm số ta được: t10 t 2  2 0   Từ bảng biến thiên, ta thấy f t   4 9 4 4 , t   0;   . Vậy P  f  x  y    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ 9 9 khi x  y  1 . Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là  4 tại x  y  1 . 9 Bài 4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn c  0, a  c , b  c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  c  a  c   c  b  c   2a 2 b 2 Phân tích    Biến cần đưa về: ab . Chiều đánh giá cần có: P  .  Chiều cần đánh giá cần tìm: c  a  c   c  b  c   f  ab  . Biến đổi biểu thức: Nhìn thoáng qua, chúng ta có thể đánh giá bài toán dưới dạng bất đẳng thức AM – cac cbc ab   GM như sau: c a  c  c b  c  2 2 2 ab  f  ab  là vô cùng khó khăn. Chính vì vậy để có đánh giá Tuy nhiên đánh giá 2 c  a  c   c  b  c   f  ab  , ta có thể tư duy theo một hướng khác là: c  a  c   c b  c  f  ab   1 . Như Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com vậy ta cần tạo ra một đánh giá mà sau khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta sẽ triệt tiêu toàn bộ các biến a, b, c . Do đó ta biến đổi:  c c c c c  a  c   c  b  c   ab  1   1      b a a b   Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta có: c c c c 1c  c  1  c  c  1    1      1      1    1 b a a b 2b  a  2  a  b  Vậy đây chính là những đánh giá cần tìm. Do đó ta có: c  a  c   c  b  c   ab Bài giải Ta có:  c c c c c  a  c   c  b  c   ab  1   1    .  b  a a b   Theo bất đẳng thức AM – GM cho hai số ta có: Vậy: c c c c 1c  c  1  c  c  1    1      1      1    1 b a a b 2b  a  2  a  b  c  a  c   c  b  c   ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:  c  c c  c 1 1 1  1   ,  1      b  a a  b a b c   2 Vậy: P  ab  2a2 b2 . Xét hàm số f t  t  2t , t  0 . Ta có: P  f ab .  Vì: f ' t  1 2 t  4t  0  t  t 1 . Lập bảng biến thiên của hàm số ta được: 4 1 4 0 f t   3 8 0   Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  ab  3 3 , t   0;   . Vậy P  f  ab   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 8 8 1 1 1 1 ab 1 1 1 t ,   do đó:  c , t   a  t,b  ,c  2 4 t ab c 4 a  b 4 a b c 4t  1   Kết luận: Giá trị lớn nhất của P là  . 3 1 t tại a  t , b  , c  2 trong đó t là một số thực dương bất kỳ. 4t 8 4t  1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 5: Cho các số thực a, b, c  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  ab bc ca   2 abc c a b Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c . Chiều đánh giá cần có: P  .  Chiều cần đánh giá cần tìm:  Chú ý rằng:  Đánh giá cần tìm: ab bc ca    f a  b  c . c a b ab ca và có một đặc điểm là có cùng giá trị a ở tử số và biểu thức còn lại là hai phân c b b c ab ca số đảo ngược: , . Do vậy nếu xét trung bình nhân của hai biểu thức trên ta có:  a giống c b c b với một biến trong biểu thức a  b  c cần đưa về. ca ab ca ab  2  2a . b c b c Bài giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ab bc ab bc bc ca bc ca ca ab ca ab  2  2b ,   2  2c ,   2  2a c a c a a b a b b c b c Cộng hai vế của các đánh giá trên ta được:  ab bc   bc ca   ca ab              2a  b  c a   a b  b c   c Do đó: ab bc ca    a  b  c . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . c a b   Vậy: P  a  b  c  2 a  b  c    2 a  b  c  1  1 . Vì Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c    2 a  b  c  1  1  1 do đó: P  1 . 1 1 . Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 1 tại a  b  c  . 3 3 Bài 6: Cho a, b, c độ dài 3 cạnh một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1  a2 b2 c 2  abc  1 .  a  b  c  b  c  a  c  a  b  Phân tích    Biến cần đưa về: abc . Chiều đánh giá cần có: P  . Chiều cần đánh giá cần tìm:  a  b  c  b  c  a  c  a  b   f  abc  .  Chú ý rằng:  a  b  c  và  b  c  a  có trung bình cộng:  a  b  c   b  c  a  b 2 Như vậy muốn tạo ra được đánh giá cần tìm, ta cần tạo ra các trung bình cộng của các cặp số với nhau. Nhắc đến các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta nhớ đến đánh giá: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com xy xy     2  2   a  b  c   b  c  a    b2 . Đánh giá cần tìm:  a  b  c  b  c  a      2   Bài giải 2  2     a  b  c b  c  a    a  b  c    b  c  a    b2      2    2   b  c  a  c  a  b     c2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số ta có:  b  c  a  c  a  b      2     2  c  a  b   a  b  c      a2  c  a  b  a  b  c      2     Nhân vế với vế ta có:  a  b  c   b  c  a   c  a  b    abc  . 2 2 2 2 Vì a, b, c độ dài 3 cạnh một tam giác, Do đó ta có: a  b  c  0, b  c  a  0, c  a  b  0   a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc. Vậy: P 1  a2 b2 c 2  abc  1 . Xét hàm số abc 1 1 f  t    t 3  t 2 , t  0 . Ta có: P  f  abc  Vì: f '  t   3t 2  2t  2 t t  f ' t    t  1  3t 3 t   0  t  1 . Lập bảng biến thiên của hàm số ta được:  t2  t  1 2 t 0 f t    1  1      Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  1 , t  0;  . Vậy P  f abc  1 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 . Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 1 tại a  b  c  1 . Bài 7: Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x4 y  y 4 z  z4 x  3 3 xy  yz  zx Phân tích Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  Biến cần đưa về: xy  yz  zx .  Chiều đánh giá cần có: P  .  Chiều cần đánh giá cần tìm: x4 y  y 4 z  z4 x  f  xy  yz  zx  . Ta tận dụng điều kiện xyz  1 bằng cách chứng minh: x4 y  y 4 z  z4 x  xyz  xy  yz  zx   x4 y  y4 z  z4 x  x2 y 2 z  xy 2 z 2  x2 yz 2 Ta tìm các đại lượng m, n, p sao cho: m.x4 y  n.y 4 z  p.z 4 x  x4 y  ...  x4 y  y 4 z  ...  y 4 z  z 4 x  ...  z 4 x m p n Đồng thời áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho  m  n  p  số ta được:   y z  z x x4 y  ...  x4 y  y 4 z  ...  y 4 z  z 4 x  ...  z 4 x  mn p x 4 y m    y z z x Hay: m.x4 y  n.y 4 z  p.z 4 x   m  n  p  mn p x4 y mn p  m.x y  n.y z  p.z x   m  n  p  x 4 4 4 4 n 4 p p n  m.x4 y  n.y 4 z  p.z4 x   m  n  p  m m 4 n 4 p x4m p y 4nm z 4 pn 4 m p mn p y 4 p n 4n m mn p mn p z Và tìm các hệ số m, n, p sao cho:  m.x4 y  n.y 4 z  p.z4 x   m  n  p  x2 y 2 z1  4m  p 2  m  n  p  2 m  2n  p  0  4n  m  m  3 p  2   2n  2 p  m  0   Hay:  . Do đó chọn m  6, n  5, p  2 . 5 p  2n m  n  p 3 p  m   4p  n 1   m  n  p 4 4 4 2 2  6 y z  5z x  2 x y  13 y z x Khi đó: 6x y  5y z  2z x  13x y z . Đồng thời tương tự ta sẽ có:  4 4 4 2 2  6 z x  5x y  2 y z  13z x y 4 4 4 2 2 Bài giải 6 x 4 y  5 y 4 z  2 z 4 x  13x 2 y 2 z  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 13 số ta được: 6 y 4 z  5z 4 x  2 x 4 y  13 y 2 z 2 x  4 4 4 2 2 6 z x  5x y  2 y z  13z x y   Cộng vế với vế ta được: 13 x4 y  y 4 z  z4 x  13xyz  xy  yz  zx  . Vì xyz  1 do đó ta có đánh giá: x4 y  y4 z  z4 x  xy  yz  zx . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z  1 . Do đó: P  xy  yz  zx  3 3 xy  yz  zx . Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Đặt f  t   t  3 3 t . Ta có: P  f  xy  yz  zx  . Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: xy  yz  zx  3 3 x2 y 2 z 2  xy  yz  zx  3 Vậy xét hàm số f  t   t  3 3 t với t  3 ta có: f '  t   1  1 3 2 t  3 2 t 1 3 2 . t Vì t  3  t 2  1  3 9  1  0 vậy f '  t   0, t  3 . Vậy f  t  là hàm số đồng biến và liên tục khi t  3 . Vậy 3 f t   f  3  3  3 3 3 . Do đó: P  f  xy  yz  zx   f  3  3  3 3 3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z  1 . Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 3  3 3 3 tại x  y  z  1 . Bài 8: Cho các số thực a, b, c dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a2  bc b2  ca c 2  ab    44 a  b  c bc ca ab Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c . Chiều đánh giá cần có: P  .  Chiều cần đánh giá cần tìm: a2  bc b2  ca c 2  ab    f a  b  c . bc ca ab  a  b  a  c  , do đó ta có thể biến đổi tương tự: a2  bc Chú ý rằng: a bc bc 2  b  c  b  a  , c2  ab  c   c  a  c  b  . b  ca b ca ca ab ab Tới đây ta chú ý rằng trong bài toán số 5, ta đã chứng minh: ab bc ca   abc c a b   Do đó nếu áp dụng đánh giá này, ta sẽ có:  a  b  a  c    b  c  b  a    c  a c  b   2 bc ca ab a  b  c Do vậy, ta hoàn toàn có thể tạo ra được đánh giá cần tìm. Bài giải Ta có:  a  b  a  c  , b2  ca  b   b  c  b  a  a2  bc a bc bc ca ca Và tương tự như vậy ta cũng có Vậy:  c  a  c  b  . c 2  ab c  ab ab a2  bc b2  ca c 2  ab  a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b       abc bc ca ab bc ca ab Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vì ta có đánh giá: xy yz zx    x  y  z , x, y , z  0 . Do đó: z x y  a  b a  c    b  c  b  a    c  a  c  b   bc Hay: ca ab  a  b  a  c    b  c  b  a    c  a c  b   2 bc ca ab  a  b  b  c   c  a  a  b  c  . Vậy: a2  bc b2  ca c 2  ab   abc . bc ca ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . Do đó: P  a  b  c  4 4 a  b  c . Đặt f  t   t  4 4 t  P  f  a  b  c  . Xét hàm số f  t   t  4 4 t với t   0;   ta có: f '  t   1  1 4 3  0  t  1. t Lập bảng biến thiên của hàm số ta được: t 0  1 f t   0 3      Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  3 , t  0;  . Vậy P  f a  b  c  3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 1 . Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 3 tại a  b  c  . 3 3 Bài 9: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a 1 b 2 b  1 c 2  c  a  b  c . 3 1 a 2 Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c . Chiều đánh giá cần có: P  .  Chiều cần đánh giá cần tìm: Chú ý rằng để có đánh giá a 1 b 2 a 1 b 2  b 1 c 2  c 1  a2  f a  b  c .  , ta cần 1  b2  , tuy nhiên điều này rất khó để có thể thực hiện. Vì vậy nếu ta cần thiết phải đi theo hướng 1  b2 , ta cần làm đảo chiều của đánh giá nghĩa là  1 1 b 2 Khi đó: . Ta có: a 1 b 2 a 1 b a 2  a  ab2  ab2 1 b 2 a ab2 1 b 2 . Vì 1  b2  2b  ab2 1 b ab b bc c ca b , c . , tương tự ta có: 2 2 2 2 1 a 2 1 c 2  ab . 2 1 1  b2 phải thành Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Người ta gọi cách đánh giá trên là Kỹ thuật Cauchy ngược dấu. Khi đó cộng vế với vế ta có: a 1  b2 b  1  c2 Cuối cùng ta cần đánh giá theo chiều:   c 1  a2 abc bc  ca  ab . 2 bc  ca  ab     a  b  c  bc  ca  ab  a  b  c 2 Và ta được bất đẳng thức Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM): 3  ab  bc  ca    a  b  c  2 Bài giải Ta có: a 1 b Khi đó: 2  a 1 b 2 a  ab2  ab2 1 b a 2 a ab2 1 b 2 . Vì 1  b2  2b  ab2 1 b  2 ab . 2 ab b bc c ca b , c . , tương tự ta có: 2 2 2 2 1 a 2 1 c Khi đó cộng vế với vế ta có: a 1  b2  b 1  c2  c 1  a2 abc bc  ca  ab . 2 Từ Hệ quả của bất đẳng thức AM – GM (Đã chứng minh ở phần II), ta có: 3  ab  bc  ca    a  b  c  2 a  b  c . bc  ca  ab   abc  abc Do đó: 2 2 2 2 6 1 b 1 c 1 a a b 2 c a  b  c Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . Vậy P  a  b  c  6 Xét hàm số f  t   t 3  Ta có: f '  t   3t 2  f t   f  3  2  a  b  c . 3 t2  t với t  3 , ta có P  f  a  b  c  . 6 t  9t  1 t 1  1  0, t  3 . Vậy f  t  là hàm số đồng biến và liên tục khi t  3 . Do đó 3 3 57 . 2 Do đó: P  f  a  b  c   f  3   57 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  1 . 2 Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 57 tại a  b  c  1 . 2 Bài 10: Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a3 a 2  b2  b3 b2  c 2  c3 c 2  a2  abc Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c . Chiều đánh giá cần có: P  .  Chiều cần đánh giá cần tìm:  a3 b3 c3  f a  b  c . a 2  b2 b2  c 2 c 2  a 2 Biến đổi cần tìm (Sử dụng Kỹ thuật Cauchy ngược dấu): a3   a 2  b2  a3  ab2  ab2 a 2  b2 a ab2 a a 2  b2 ab2 b a 2ab 2 Bài giải Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu: Vì a2  b2  2ab do đó: a3 a 2  b2 Tương tự như vậy ta có: Do đó: a3 a b b3 c3 abc 1  abc  2 2  2 2 a2  b2 a3  ab2  ab2 a3  ab2  ab2 a2  b2 a a 2  b2 ab2 a 2  b2 a a ab2 . a2  b2 ab2 b a . 2ab 2 c c3 a b , c . 2 2 2 2 2 2 b c c a c a 2 b c   b3 2 2 Vậy P    a3 2  abc . Đẳng thức xảy ra khi: a  b  c . 2  a bc 1 Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là  2  1 1 1   . Đẳng thức xảy ra khi: a  b  c  . 2 2 3 1 1 tại a  b  c  . 2 3 Bài 11: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a1 b2  1  b1 c2  1  c 1 a2  1 a  b  c  3 54 Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c . Chiều đánh giá cần có: P  .  Chiều cần đánh giá cần tìm:  a1 b1 c 1  f a  b  c . b2  1 c 2  1 a 2  1 Biến đổi cần tìm (Sử dụng Kỹ thuật Cauchy ngược dấu): a1 b 1 2   a 1  b2  a  1 b 1 2  a 1 b2  a  1 2b  a  1 ab  b 2 Bài giải Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có: a1 b2  1  a  ab   1  b   ab  2 2 b2  1 2  b2  a 1 b2  a  1 b2  1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chú ý rằng: b2  1  2b , do đó: Tương tự ta có: Khi đó: a1 b 1 2  b1 c 1 2 b1 c 1 2  b 1  c 1 a 1 2 a1 b2  1  a 1 b2  a  1 b2  1 b2  a  1  a 1 2b  a  1 ab  b 2 bc  c c  1 ca  a . ,  c 1 2 2 2 a 1  abc ab  bc  ca 3 . 2 2 Từ Hệ quả của bất đẳng thức AM – GM (Đã chứng minh ở phần I), ta có: 3  ab  bc  ca    a  b  c  2  a  b  c  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 . abc    3 Do đó: 2 6 b2  1 c 2  1 a2  1 a1 b1 2 c 1  a  b  c    a  b  c  . Xét hàm số f t  t 3  t 2  t  3 . Ta có: P  f a  b  c . abc Vậy: P  3     54 6 2 2 6 54 2 3 Vì a  b  c  3 3 abc  3 do đó ta xét f  t   t3 t2 t    3 với t  3 . 54 6 2 2 t2 t 1 1     t  3   0 . Do đó f  t  là hàm số đồng biến và liên tục khi t  3 . Vì vậy 18 3 2 18 7 7 f  t   f  3  . Vậy: P  f  a  b  c   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 . 2 2 Ta có: f '  t   Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 7 tại a  b  c  1 . 2 Bài 12: Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b3  ab  b c 3  bc  c a3  ca  3 3 3 3   2 a b c Phân tích    1 1 1   . a b c Chiều đánh giá cần có: P  . Chiều cần đánh giá cần tìm: Biến cần đưa về: a b  ab 3   b c  bc 3   1 1 1  f    a  ca a b c c 3 Biến đổi cần tìm (Sử dụng Kỹ thuật Cauchy ngược dấu): a 1 b 1 b 1 1       3 2 b 2b a b 2 a b  ab b a  b Bài giải Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có: a b  ab 3  a  b2  b2 b  ab 3  1 b  b a  b2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chú ý rằng: a  b2  2b a do đó: a Tương tự ta có: b  ab 3  b c  bc 3  a b3  ab c a  ca 3  1 b 1 b 1 1      . b a  b 2 b 2b a b 2 a  1 1 1 1 1 1 1       a b c 2 a b c  .  Sử dụng bất đẳng thức Hệ quả của bất đẳng thức AM – GM:  x  y  z Ta có: 1 a  1 b  2     3 x2  y 2  z 2  x  y  z  3 x2  y 2  z 2   1 1 1 1  1 1 1  1 1 1 a b c       3     3     cho nên: 3 3 3 c b  ab c  bc a  ca  a b c  2  a b c  a b c 1  1 1 1  1 1 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c  1 . Do đó: P       2 3     a b c a b c  1 1 1 Xét hàm số: f  t   t  2 3t với t  0 . Ta có: P  f     . a b c Vì f '  t   1  3 t  0  t  3 . Do đó ta có bảng biến thiên: t 0  3 f t   0 3    1 a Từ bảng biến thiên, ta thấy f t  3 , t  0;  . Vậy P  f   1 1   3 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ b c  khi a  b  c  1 . Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 3 tại a  b  c  1 . Bài 13: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1  a 1  b 1  c a  b  c P    1 b 1 c 1 a 6 Phân tích   Biến cần đưa về: a  b  c . Chiều đánh giá cần có: P  .  Chiều cần đánh giá cần tìm: 1 a 1 b 1 c    f a  b  c 1 b 1 c 1 a Bài giải 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có: Do đó: b 1  a  1  b c 1  b  1  c a 1  c  1 a  1 a  ,  1 b  ,  1 c  1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a  b 1  a  c 1  b  a 1  c   1 a 1 b 1 c     3abc    1 b  c a 1 b 1 c 1 a 1  1    Theo bất đẳng thức AM – GM cho 3 số ta có:   b 1  a  1 b  c 1  b  1 c  a 1  c  1 a b 1  a   3 3 abc  3 Vậy: 1 b  c 1  b  1 c  a 1  c  1 a  33 b 1  a  c 1  b  a 1  c  1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c   3abc3 1 b 1 c 1 a 1 a 1 b 1 c    a  b  c . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 . 1 b 1 c 1 a a  b  c Vậy P  a  b  c  6 2  2 1 3 3 a  b  c  3    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .  6 2 2 Kết luận: Giá trị lớn nhất của P là 3 tại a  b  c  1 . 2