Tài liệu Trục đẳng phương phương tích và một số ứng dụng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG VĂN PHÚ TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG, PHƯƠNG TÍCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG VĂN PHÚ TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG, PHƯƠNG TÍCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. TRẦN TRUNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 1 Kiến thức cơ sở 3 1.1 Phương tích của một điểm với một đường tròn . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Phương tích trong hệ tọa độ Descartes . . . . . . . . 8 Trục đẳng phương của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn . 10 1.2.4 Trục đẳng phương trong hệ tọa độ Descartes . . . . 11 Tâm đẳng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 1.3 2 Một số ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương 15 2.1 Chứng minh đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Chứng minh điểm cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ii 2.3 Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, điểm nằm trên đường thẳng cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Chứng minh thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 Chứng minh vuông góc, song song . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 iii Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Trần Trung. Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS. Trần Trung, người đã đưa ra đề tài và dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc của em trong suốt quá trình nghiên cứu. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giảng dạy và Phòng Đào tạo thuộc Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để em được theo học lớp học. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán 7D khóa 1/2014 - 1/2016 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THCS Quang Trung - Kinh Môn - Hải Dương đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tập. Tôi cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Đặng Văn Phú Học viên Cao học Toán 7D Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên 1 Mở đầu Trong hình học phẳng, phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương là một vấn đề khá quen thuộc và được ứng dụng nhiều trong việc giải toán. Nói đến chủ đề này, ta có thể hiểu một cách đơn giản đó là những định nghĩa, tính chất và ứng dụng liên quan đến việc xét vị trí tương đối của điểm cố định với đường tròn, tập hợp điểm với đường tròn, đường tròn với đường tròn. Phương tích, trục đẳng phương, tâm đẳng phương là một chuỗi sự phát triển các mối quan hệ trên. Những kiến thức này khá đơn giản và dễ hiểu nhưng ứng dụng của nó thì rất đa dạng, phong phú và nhiều khi đó là phương pháp tối ưu cho các bài toán hình học. Một khi chúng ta đã nắm vững cũng như hiểu rõ về vấn đề này, việc áp dụng vào giải toán trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Một số ứng dụng của phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương có thể kể đến như tập hợp các điểm, góc, khoảng cách, điểm cố định, đường cố định, chứng minh hệ thức, các bài toán về sự thẳng hàng, đồng quy, vuông góc, dựng hình, cực trị hình học,... Chúng ta sẽ có một lợi thế không nhỏ khi sử dụng vấn đề toán học này để giải những bài toán liên quan đến các vấn đề trên bởi một mặt giúp người học hạn chế nghiệm và các trường hợp của bài toán, làm cho bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn trong cách gọi ẩn và các tình huống có thể xảy ra, mặt khác nó giúp lời giải của bài toán trở nên hay, đẹp hơn và tạo nên sự tối ưu trong việc giải quyết các yêu cầu của đề bài. Với những lý do trên, cùng với sự quan tâm và muốn đi sâu hơn về vấn đề 2 này chúng tôi đã chọn đề tài Trục đẳng phương, phương tích và một số ứng dụng cho luận văn. Do nhiều yếu tố chủ quan và khách quan, nội dung của bài viết có thể còn nhiều khiếm khuyết, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. Cấu trúc luận văn Nội dung chính của luận văn được trình bày thành 2 chương: • Chương 1: Kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách sơ lược về phương tích của một điểm với một đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn và tâm đẳng phương mà sẽ được sử dụng trong các chương tiếp theo. • Chương 2: Một số ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương. Trong chương này chúng tôi trình bày ứng dụng của phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương vào chứng minh đồng quy, chứng minh điểm cố định, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường thẳng cố định, chứng minh thẳng hàng, chứng minh vuông góc và song song ... Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Đặng Văn Phú 3 Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Phương tích của một điểm với một đường tròn 1.1.1 Định nghĩa và ví dụ Định lí 1.1.1. [1] Cho đường tròn (O; R) và điểm P cố định, OP = d. Qua P kẻ đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm U và V . Khi đó giá trị P U .P V = P O2 − R2 = d2 − R2 không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng. Chứng minh. (Hình 1.1) Gọi M là điểm đối xứng của V qua O. Ta có M U vuông góc với P V hay U là hình chiếu của M trên P V . Suy ra −→ −→ −−→ −→ P U .P V = P U .P V = P M .P V −→ −−→ −→ −−→ = (P O + OM )(P O + OV ) −→ −−→ −→ −−→ = (P O − OV )(P O + OV ) −→ −−→ = P O2 − OV 2 = OP 2 − OV 2 = d2 − R2 . Hình 1.1 Định nghĩa 1.1.1. [1] Giá trị không đổi P U .P V = P O2 − R2 = d2 − R2 được gọi là phương tích của điểm P đối với đường tròn (O) và ký hiệu là PP/(O) . 4 Định lí 1.1.2. [1] Nếu 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P và P A.P B = P C.P D thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh. (Hình 1.2) Giả sử đường tròn ngoại tiếp ∆ABC cắt CD tại D0 khi đó P A.P B = P O.P D0 ⇒ P D = P D0 ⇒ D ≡ D0. Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Hình 1.2 Ví dụ 1.1.1. Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B cố định. Một đường thẳng quay quanh A cắt (O) tại M và N . Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N thuộc một đường thẳng. Giải. (Hình 1.3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N và C là giao điểm của AB với (I). Khi đó PA/(I) = AC.AB = AM .AN = PA/(O) không đổi vì A, O cố định. PA/(O) Suy ra AC = . Vì A, B cố định AB và C thuộc AB nên từ hệ thức trên suy ra điểm C cố định. Do đó I thuộc đường trung trực của BC cố định. Hình 1.3 5 1.1.2 Các tính chất Tính chất 1.1.1. Nếu điểm M nằm ngoài đường tròn (O) và M T là tiếp tuyến của (O) thì PM/(O) = M T 2 . Tính chất 1.1.2. Nếu hai điểm A, B cố định và AB.AM là hằng số thì M cố định. Tính chất 1.1.3. + Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) khi và chỉ khi PM/(O) > 0. + Điểm M nằm trên đường tròn (O) khi và chỉ khi PM/(O) = 0. + Điểm M nằm bên trong đường tròn (O) khi và chỉ khi PM/(O) < 0. Tính chất 1.1.4. (Hình 1.4) Cho hai đường thẳng AB, M T phân biệt cắt nhau tại M (M không trùng A, B, T ). Khi đó nếu M A.M B = M T 2 thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với M T tại T . Hình 1.4: Hình 1.5: Ví dụ 1.1.2. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O, R) và G là trọng tâm củaABC. 1 Chứng minh rằng PG/(O) = − (AB 2 + BC 2 + CA2 ). 9 −→ −→ −−→ −→ Giải. (Hình 1.5) Vì G là trọng tâm của ABC nên OG = OA + OB + OC, suy ra 9OG2 = OA2 + OB 2 + OC 2 + 2(OA.OB + OB.OC + OC.OA) = 3R2 + 2(OA.OB + OB.OC + OC.OA). (1) 6 2 2 Ta có 2OA.OB = OA + OB − (OA − OB)2 = OA2 + OB 2 − AB 2 = 2R2 − AB 2 . Tương tự ta có 2OA.OB = 2R2 − AB 2 , 2OB.OC = 2R2 − BC 2 , 2OC.OA = 2R2 − CA2 . Suy ra 2(OA.OB + OB.OC + OC.OA) = 6R2 − (AB 2 + BC 2 + CA2 ). (2) Thay (2) vào (1) ta được 9OG2 = 9R2 − (AB 2 + BC 2 + CA2 ). 1 Suy ra OG2 − R2 = − (AB 2 + BC 2 + CA2 ). 9 1 Do đó PG/(O) = − (AB 2 + BC 2 + CA2 ). 9 (Phương tích này được gọi là phương tích trọng tâm). Ví dụ 1.1.3. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O, R) và H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh rằng PH/(O) = −8R2 cos A cos B cos C. Giải. (Hình 1.6) Ta chứng minh trường hợp ∆ABC là tam giác nhọn. Các trường hợp tam giác vuông hoặc tù chứng minh tương tự. Gọi I, A0 lần lượt là giao điểm của AH với BC và (O). Áp dụng định lý sin trong ∆HAB ta có AB AH = \ sin AHB \ sin ABH AH AB ⇒ = b b sin(900 − A) sin(1800 − C) ⇒ AH AB = ⇒ HA = Hình 1.6 AB . cos A = 2R cos C. cos A sin C sin C \0 = Chứng minh tương tự ta có HB = 2R cos B, HC = 2R cos C. Vì BHA 0 A nên ∆BHA0 cân tại B. Suy ra I là trung điểm của A0 H. Khi đó b = BA \ C \0 = 4R cos B cos C. HA0 = 2IH = 2HB. cos BHA 7 Vì ∆ABC nhọn trực tâm nằm trong tam giác nên ta có PH/(O) = HA.HA0 = −HA.HA0 = −8R2 cos A. cos B. cos C. (Phương tích này được gọi là phương tích trực tâm). Ví dụ 1.1.4. Cho đường tròn (O, R) và 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Chứng minh rằng PA/(O) .BC + PB/(O) .CA + PC/(O) .AB + BC.CA.AB = 0. Giải. (Hình 1.7) Ta có PA/(O) .BC + PB/(O) .CA + PC/(O) .AB + BC.CA.AB =(OA2 − R2 ).BC + (OB 2 − R2 ).CA + (OC 2 − R2 ).AB + BC.CA.AB =OA2 .BC + OB 2 .CA + OC 2 .AB + BC.CA.AB − R2 (BC + CA + AB) =OA2 .BC + OB 2 .CA + OC 2 .AB + BC.CA.AB. Ta sẽ chứng minh hệ thức OA2 .BC + OB 2 .CA + OC 2 .AB + BC.CA.AB = 0. Hình 1.7: Hình 1.8: 8 Trường hợp 1: Điểm O nằm trên đường thẳng chứa ba điểm A, B, C 2 2 2 OA .BC + OB .CA + OC .AB + BC.CA.AB = OA2 .(OC − OB) + OB 2 .(OA − OC) + OC 2 .(OB − OA) + (OC − OB).(OA − OC).(OB − OA) = 0. Trường hợp 2: (Hình 1.8) Điểm O không nằm trên đường thẳng chứa ba điểm A, B, C Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng chứa ba điểm A, B, C. Ta có 2 2 2 OA .BC + OB .CA + OC .AB + BC.CA.AB 2 2 2 2 2 2 = (OH + HA ).BC + (OH + HB ).CA + (OH + HC ).AB+ + BC.CA.AB 2 2 2 2 = OH (BC + CA + AB) + AH .BC + BH .CA + CH .AB+ + BC.CA.AB =0 Vậy PA/(O) .BC + PB/(O) .CA + PC/(O) .AB + BC.CA.AB = 0. 1.1.3 Phương tích trong hệ tọa độ Descartes Cho điểm M (x0 ; y0 ) và đường tròn (C) : x2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0. Đặt F (x; y) = x2 + y 2 + 2ax + 2by + c. Khi đó, phương tích từ điểm M đến đường tròn (C) là PM/(C) = F (x0 ; y0 ) = x20 + y02 + 2ax0 + 2by0 + c. 9 1.2 Trục đẳng phương của hai đường tròn 1.2.1 Định nghĩa Định lí 1.2.1. [1] Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1 ; R1 ) và (O2 ; R2 ) . Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng. Chứng minh. (Hình 1.9) Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của M trên O1 O2 , I là trung điểm của O1 O2 . Khi đó, ta có PM/(O1 ) = PM/(O2 ) ⇔ M O12 − R12 = M O22 − R22 Hình 1.9 ⇔ M O12 − M O22 = R12 − R22 ⇔ (M H 2 + HO12 ) − (M H 2 + HO22 ) = R12 − R22 ⇔ HO12 − HO22 = R12 − R22 ⇔ (HO1 − HO2 )(HO1 + HO2 ) = R12 − R22 R12 − R22 2 2 ⇔ O2 O1 .2IH = R1 − R2 ⇔ HI = . 2O2 O1 Suy ra H cố định, M thuộc đường thẳng qua H và vuông góc với O1 O2 . Định nghĩa 1.2.1. [1] Đường thẳng M H như trên được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1 ) và (O2 ). 1.2.2 Các tính chất Tính chất 1.2.1. Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường nối tâm. 10 Tính chất 1.2.2. Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng. Tính chất 1.2.3. Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O1 ; R1 ) và (O2 ; R2 ) thì đường thẳng qua M vuông góc với O1 O2 là trục đẳng phương của hai đường tròn. Tính chất 1.2.4. Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng M N chính là trục đẳng phương của hai đường tròn đó. Tính chất 1.2.5. Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng. Tính chất 1.2.6. Nếu (O1 ; R1 ) và (O2 ; R2 ) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với O1 O2 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. 1.2.3 Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn Ta xác định trục đẳng phương của hai đường tròn (O1 ; R1 ) và (O2 ; R2 ) dựa trên Định lý 1.2.1 như sau: Trường hợp 1: (Hình 1.10) Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. Trường hợp 2: (Hình 1.11) Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại P. Khi đó tiếp tuyến chung tại P chính là trục đẳng phương của hai đường tròn. Trường hợp 3: (Hình 1.12) Hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) không có điểm chung Bước 1: Dựng đường tròn (O3 ) sao cho (O1 ) cắt (O3 ) tại A và B; (O2 ) cắt (O3 ) tại C và D. 11 Hình 1.10: Hình 1.11: Bước 2: Gọi M là giao điểm của AB và CD. Bước 3: Dựng đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng O1 O2 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1 ) và (O2 ). Hình 1.12 1.2.4 Trục đẳng phương trong hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn không đồng tâm: (C1 ) : x2 + y2 + 2a1 x + 2b1 y + c1 = 0, (C2 ) : x2 + y2 + 2a2 x + 2b2 y + c2 = 0. Khi đó, trục đẳng phương của (C1 ) và (C2 ) là đường thẳng có phương trình: (∆) : 2(a1 − a2 )x + 2(b1 − b2 )y + c1 − c2 = 0. 12 1.3 Tâm đẳng phương 1.3.1 Định nghĩa và ví dụ Định lí 1.3.1. [1] Cho 3 đường tròn (O1 ), (O2 ) và (O3 ). Khi đó 3 trục đẳng phương của các cặp đường tròn này hoặc trùng nhau hoặc song song với nhau hoặc cùng đi qua một điểm. Hình 1.13: Chứng minh. (Hình 1.13) Gọi dij là trục đẳng phương của hai đường tròn (Ci ) và (Cj ). Ta xét hai trường hợp sau: Giả sử có một cặp đường thẳng song song, không mất tính tổng quát, ta giả sử d12 k d23 . Ta có d12 ⊥ O1 O2 , d23 ⊥ O2 O3 , do đó O1 , O2 , O3 thẳng hàng. Ta lại có d13 ⊥ O1 O3 , vậy d13 k d23 k d12 . Giả sử d12 và d23 có điểm M chung. Khi đó ta có  P M/(O1 ) = PM/(O2 ) ⇒ PM/(O1 ) = PM/(O3 ) ⇒ M ∈ d13 . P =P M/(O2 ) M/(O3 ) Vậy nếu có hai đường thẳng trùng nhau thì đó cũng là trục đẳng phương của cặp đường tròn còn lại. 13 Nếu hai trục đẳng phương chỉ cắt nhau tại một điểm thì điểm đó sẽ thuộc trục đẳng phương còn lại. Định nghĩa 1.3.1. [1] Giao điểm của các trục đẳng phương của các cặp đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. 1.3.2 Các tính chất Tính chất 1.3.1. Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng. Tính chất 1.3.2. Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm. Tính chất 1.3.3. Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau. Ví dụ 1.3.1. Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M1 , M2 , M3 lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Gọi (M1 , M1 H) ∩ BC = {A1 , A2 }, (M2 , M2 H) ∩ AC = {B1 , B2 }, (M3 , M3 H) ∩ AB = {C1 , C2 }. Chứng minh rằng 6 điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 cùng thuộc một đường tròn. Giải. (Hình 1.14) Vì M1 M2 k AB và AB ⊥ HC nên M1 M2 ⊥ HC. Suy ra HC là trục đẳng phương của (M1 ) và (M2 ). Suy ra CA1 .CA2 = CB1 .CB2 hay A1 , A2 , B1 , B2 cùng thuộc đường tròn (W1 ). 14 Tương tự A1 , A2 , C1 , C2 thuộc đường tròn (W2 ) và C1 , C2 , B1 , B2 thuộc đường tròn (W3 ). Nếu 6 điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 không cùng thuộc một đường tròn thì các trục đẳng phương của 3 đường tròn (W1 ), (W2 ), (W3 ) phải đồng quy, nhưng chúng lại cắt nhau tại A, B, C nên vô lý. Vậy 6 điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 cùng thuộc một đường tròn. Hình 1.14 15 Chương 2 Một số ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương Với lượng kiến thức tưởng chừng như đơn giản và khá quen thuộc như đã trình bày trong chương I. Các kết quả của nó vô cùng đơn giản, tự nhiên nhưng lại ảnh hưởng sâu sắc đến các nội dung quan trọng như chứng minh đồng quy, chứng minh điểm cố định, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, quan hệ vuông góc, song song, đồng quy, thẳng hàng . . . . Tìm được mối liên hệ giữa phương tích và trục đẳng phương với các nội dung trên sẽ giúp người làm toán hướng đến những lời giải hay, đẹp, gọn gàng và ấn tượng. Trong khuôn khổ luận văn xin đưa ra một số ứng dụng điển hình của phương tích, trục đẳng phương để giải các bài toán chứng minh trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic quốc tế. 2.1 Chứng minh đồng quy Trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế chúng ta bắt gặp rất nhiều bài toán liên quan đến chứng minh đồng quy. Học sinh thường hay lúng túng và định hướng sai cách giải hoặc đưa ra lời giải dài dòng thiếu logic. Việc áp dụng tính chất của phương tích và trục đẳng phương để chứng minh cho ta lời giải hay điển hình đối với một số bài toán sau: