Tài liệu Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

  • Số trang: 40 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 2305 |
  • Lượt tải: 4
dangvantuan

Tham gia: 02/08/2015

Mô tả:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ DUYỀN TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ DUYỀN TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí Toán KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI, 2012 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong tổ Vật Lý lý thuyết , đặc biệt là thầy hướng dẫn ThS. Nguyễn Huy Thảo người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian thực hiện luận văn này. Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động viên em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Duyền Lời cam đoan Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của thầy giáo Th.S Nguyễn Huy Thảo. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận, em có tham khảo một số tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài: “ Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm” là trung thực và không trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Duyền MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan PHẦN 1: MỞ ĐẦU ......................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu............................................................................... 1 3. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................. 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 1 5. Phương pháp nghiên cứu......................................................................... 1 6. Cấu trúc khóa luận ................................................................................. 1 PHẦN 2: NỘI DUNG ..................................................................................... 3 Chương 1: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm............................... 3 Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm ............................................................. 9 2.1. Định nghĩa phép biểu diễn nhóm ........................................................... 9 2.2. Đặc biểu ................................................................................................. 11 2.3. Biểu diễn khả quy và bất khả quy ........................................................... 12 2.4. Biểu diễn Unita ...................................................................................... 16 2.5. Biểu diễn chính quy ............................................................................... 17 2.6. Biểu diễn tích trực tiếp ........................................................................... 18 2.7. Các định lý thường dùng trong Vật Lý ................................................... 19 2.8. Bổ đề Schur ............................................................................................ 22 Chương 3: Một số bài tập ................................................................................ 23 PHẦN 3: KẾT LUẬN ..................................................................................... 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết biểu diễn nhóm là một nội dung quan trong thường được sử dụng trong vật lý học nói chung, của vật lý hạt cơ bản nói riêng và việc giải bài tập biểu diễn nhóm nhằm củng cố lý thuyết và trau dồi kĩ năng thực hành. Đồng thời qua đó giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn nội dung kiến thức đã học. Trước thực tế đó, tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm” nhằm đưa ra phương pháp giải của một số bài tập về biểu diễn nhóm, giúp các bạn sinh viên rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo trong quá trình giải bài tập, nắm vững các công cụ toán cũng như cách tư duy nhạy bén, không còn lúng túng khi gặp các bài toán biểu diễn và hiểu rõ hơn về lý thuyết biểu diễn nhóm. Tôi hi vọng rằng luận văn này sẽ một tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên bước đầu làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm. Giải một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm. 3. Đối tượng nghiên cứu Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa ra cơ sở lý thuyết của biểu diễn nhóm. Giới thiệu một số bài tập về biểu diễn nhóm cùng cách giải các bài tập đó. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch tài liệu và tra cứu. Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán. 6. Cấu trúc khóa luận 1 Khóa luận gồm 3 chương: Chương 1: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm. Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm. Chương 3: Một số bài tập. 2 PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm  Định nghĩa về nhóm Một tập G : a, b, c,... được gọi là một nhóm nếu có một toán tử “  ” gọi là phép nhân nhóm thỏa mãn 4 tính chất sau: Tính kín: Nếu a, b  G thì a.b  G . Tính kết hợp: a.b.c   a.b.c với a, b, c  G . Phần tử đơn vị: Trong G luôn tồn tại một phần tử e được gọi là phần tử đơn vị thỏa mãn tính chất a.e  a với a  G . Phần tử nghịch đảo: Với mỗi phần tử a  G luôn tồn tại một phần tử a 1  G gọi là phần tử nghịch đảo thỏa mãn tính chất a.a-1 = e. Ví dụ: Tập hợp các số thực với phép cộng tạo thành một nhóm hoặc tập hợp các ma trận có det  0 cũng tạo thành một nhóm. Nhưng như vậy không phải bất kỳ phép nhân nào xác định trên một tập hợp cho trước đều tạo thành nhóm, vì nói chung tất cả bốn tính chất trên không đồng thời được thỏa mãn. Ví dụ: tập hợp các vector trong không gian ba chiều thông thường với phép nhân vô hướng,…  Nhóm con Mọi tập con H của nhóm G cũng làm thành một nhóm với phép nhân nhóm của G gọi là nhóm con của G. Mỗi nhóm G đều có phần tử trung hòa e và các phần tử của G đều là nhóm con của G. Các phần tử của một nhóm G có thể phân chia thành các lớp liên hợp. 3 Phần tử liên hợp: phần tử b  G được gọi là liên hợp với phần tử a  G nếu tồn tại một phần tử khác p  G sao cho b = pap-1. Chúng ta sẽ biểu thị mối liên hệ liên hợp bằng kí hiệu ~. Lớp liên hợp: phần tử của một nhóm là liên hợp với mỗi phần tử khác thì hình thành một lớp liên hợp. Mỗi phần tử của một nhóm thuộc về một và chỉ một lớp. Phần tử đơn vị hình thành riêng một lớp. Đối với các nhóm ma trận, tất cả các phần tử trong cùng một lớp có mối liên hệ với mỗi một phần tử khác bằng một vài biến đổi tương tự. Các lớp kề: Cho H là một nhóm con nào đó của G và a  G. Thế thì tập hợp aH gọi là lớp kề trái của nhóm G theo nhóm con H, xác định bởi phần tử a. Tương tự như vậy, tập hợp Ha gọi là lớp kề phải của nhóm G. Tất nhiên, vì e  H, nên a  aH. Mặt khác, nếu b  aH, tức là b = ah1, h1  H, thì bH = ah1H = aH do h1H = H. Như thế, mọi phần tử tùy ý của lớp kề trái đều có thể đại diện cho cả lớp kề đó, và hai lớp kề trái hoặc hoàn toàn trùng nhau hoặc không có phần tử chung. Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là bậc của nhóm con H. Mọi phần tử của G chỉ thuộc duy nhất một lớp kề.  Nhóm Abelian Nhóm Abelian là nhóm mà phép nhân nhóm đòi hỏi có tính chất giao hoán: a  b  b  a với a, b  G .  Bậc của nhóm Số phần tử của một nhóm gọi là bậc của nhóm (nếu là nhóm hữu hạn). 4 Nhóm mà số phần tử của nhóm là hữu hạn được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại là nhóm vô hạn.  Bảng nhân nhóm Bảng nhân nhóm là một bảng thể hiện luật nhân nhóm của các phần tử trong nhóm. Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm. e a b ……… e e a b ……… a a a.a a.b ……… b b b.a b.b ……… ….. ….. ….. ….. ……… Ví dụ: Bảng 1.2: Bảng nhân của nhóm D3. e (12) (23) (31) (123) (321) e e (12) (23) (31) (123) (321) (12) (12) e (23) (23) (321) (31) (31) (123) (321) (123) (321) e (23) (31) (123) (31) (12) e (12) (23) (123) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (321) (23) (31) (12) e (123) 5  Nhóm con bất biến Mỗi nhóm con H của một nhóm G gọi là bất biến, nếu aHa-1 = G với mọi a  G. Đẳng thức trên có thể viết dưới dạng sau: aH = Ha, tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bất biến là như nhau. Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bất biến khi đã chứa phần tử nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói cách khác, nếu đã chứa một phần tử của lớp [a] thì phải chứa cả toàn thể lớp [a]. Nhóm con bất biến tầm thường: e và bản thân G. Tất cả các nhóm con của nhóm giao hoán đều bất biến. Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính chất bắc cầu: nhóm con bất biến H1 của một nhóm bất biến H của G không nhất thiết là một nhóm con bất biến của G.  Đồng cấu và đẳng cấu Sự tồn tại của một nghịch đảo cho mọi phần tử là một tính chất quan trọng của một nhóm. Một hệ quả quan trọng của tính chất này là bổ đề sắp xếp, nó sẽ được sử dụng nhiều lần trong phép lấy đạo hàm của các kết quả quan trọng. Bổ đề sắp xếp: Nếu p, b, c  G và pb = pc thì b = c. Thật vậy, nếu ta nhân cả hai vế của phương trình pb = pc với p-1 thì ta sẽ thu được kết quả b = c. Kết quả này có nghĩa: nếu b và c là các phần tử khác nhau của G, thì pb và pc cũng khác nhau. Do đó, nếu tất cả các phần tử của G được sắp xếp trong một chuỗi và được nhân vào bên trái bởi một phần tử p thì chuỗi kết quả là một sự sắp xếp lại của chuỗi ban đầu. Tất nhiên là sẽ áp dụng được phép nhân vào vế phải. 6 Một phép ánh xạ từ nhóm G đến nhóm G’ trong đó phép nhân nhóm được bảo toàn gọi là phép đồng cấu từ G đến G’. Hay nói cách khác, nếu gi  G   g i'  G ' và g1 g 2  g 3 thì g1' g 2'  g 3' . Hai nhóm G và G’ được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một sự tương ứng 1- 1 giữa các phần tử của chúng và bảo toàn phép nhân nhóm. Hay nói cách  g i'  G ' và g1 g 2  g 3 trong G thì g1' g 2'  g 3' trong G ' khác, nếu g i  G  và ngược lại. Ký hiệu là G ~ G ' . Định lý Cayley: Mọi nhóm G có bậc n là đẳng cấu với một nhóm con của Sn. Bổ đề sắp xếp đã cung cấp cho ta một sự tương ứng từ G đến Sn: 1 a  G  p a    a1 2  n   Sn , a 2  a n  (1.3) trong đó chỉ số {ai} được thiết lập từ định nghĩa đơn vị. g ai  ag i , i  1,2,...,n (1.4) Cho ab = c trong G. Chúng ta có sự tương ứng: 2 ... n  1 2 ... n  1 pa pb   .    a1 a2 ... an   b1 b2 ... bn  2 ... n   b1 b2 ... bn  1   .   ab ab ... ab   b1 b2 ... bn  1 1   ab 1 2 n 2 ab 2 ... n  ... ab  n Nhưng theo phương trình (1.4) thì ta có: g abi  ag bi  abg i   (ab) g i  cg i  g ci , Ta kết luận rằng vế phải của phương trình trên chính là 7 (1.5) 1 pc    c1 2 ... n  . c2 ... cn  a  G hình thành một nhóm con của Sn mà đẳng cấu đến G.  Nhóm tích trực tiếp Cho H1 và H2 là hai nhóm con của nhóm G có các tính chất sau: * Mọi phần tử của H1 giao hoán với bất kỳ phần tử nào của H2. Ví dụ: h1h2  h2h1 với h1  H1, h2  H 2 . ** Mọi phần tử g  G có thể được viết như sau: g  h1h2 với h1  H1 , h2  H 2 . Trong trường hợp này G được gọi là tích trực tiếp của H1 và H2, tượng trưng bởi G  H1  H 2 . Ví dụ: nhóm C6 có các phần tử : C6  e  a6 , a, a2 , a3 , a4 , a5 và có hai nhóm con H1  e, a3  và H 2  e, a2 , a4 . Các nhóm con H1 và H2 đều là các nhóm Abelian nên tính chất thứ nhất được thỏa mãn. Tính chất thứ hai có thể xác minh bằng sự ghi nhận: e  e.e, a  a 3.a 4 , a 2  e.a 2 , a 3  a 3 .e, a 4  e.a 4 , a  a 3 .a 2 . Trong mỗi trường hợp trên, thừa số đầu tiên của tích thuộc H1, thừa số thứ hai của tích thuộc H2. Từ H1 ~ C2 và H 2 ~ C3 ta thu được C6 ~ C2  C3. 8 Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm 2.1. Định nghĩa phép biểu diễn nhóm Cho một không gian tuyến tính n chiều Vn và một nhóm D các phép biến đổi nào đó trong không gian đó. Lại cho một nhóm G nào đó. Phép đồng cấu: GD gọi là một phép biểu diễn của nhóm G trong không gian Vn. Ta gọi Vn là không gian biểu diễn, n là chiều biểu diễn; gọi là phép biểu diễn tuyến tính, nếu D là nhóm biến đổi tuyến tính (hay nhóm ma trận). Trái lại, biểu diễn gọi là phi tuyến. Theo định nghĩa, ta có: D(gh) = D(g) D(h), g , h  G, D(g), D(h)  D , D(e) = 1, D(g-1) = [D(g)]-1.  (2.1-1) (2.1-2) (2.1-3) Phép biểu diễn đơn vị Phép biểu diễn đơn vị là phép biểu diễn đặc biệt khi: D(g)  1, với mọi g  G . (2.1-4) -Ví dụ: Cho G là một nhóm của phép quay tiếp theo trong một mặt phẳng xung quanh điểm O ban đầu, G  R , 0    2 . Cho V2 cũng là một không gian hai chiều Euclide. 9 ê2 R ê2 R ê1  ê1 Hình 2.1 Từ hình 2.1 ta có: eˆ1 '  U   eˆ1  eˆ1.cos  eˆ2 .sin  eˆ2 '  U ( )eˆ2  eˆ1.( sin  )  eˆ2 .cos (2.1-5) Chúng ta thu được:  cos  sin   D( )     sin  cos  (2.1-6) i Chú ý rằng: nếu x là một vector tùy ý trong V2, x  eˆi x thì x '  U ( ) x  eˆ j x ' j x ' j  D( )ij xi (2.1-7) hoặc  x '1   cos  sin    x1   2  2  sin  cos  x '   x    (2.1-8) Áp dụng hai phép quay bằng các góc  và  trong phần tiếp theo, chúng ta có thể xác minh được rằng tích ma trận D( ) D( ) cũng như là của chỉ một phép quay bằng (   ), D(   ) . Do đó, {D( )} cung cấp một biểu 10 diễn hai chiều của nhóm quay R    R  2  . Tương ứng, {D( )} là ma trận hiện thực của {U( )} có liên quan đến tập hợp quy định cụ thể của cơ sở {eˆi }. 2.2. Đặc biểu  Biểu diễn tương đương Nếu thay đổi cơ sở trong không gian Vn thì các ma trận D(g) thực hiện biểu diễn D của nhóm G biến thành các ma trận đồng dạng: D’(g) = SD(g)S-1 (2.2-1) với S là ma trận thực hiện phép biến đổi (khả nghịch) của cơ sở. Dễ thấy rằng các ma trận D’(g) cũng làm thành một biểu diễn của nhóm G, gọi là biểu diễn tương đương. Vì quan hệ đồng dạng là một quan hệ tương đương nên các biểu diễn tương đương làm thành một lớp và tất cả các thành viên thuộc lớp đều xem như nhau. Vì vậy, về phương diện biểu diễn, tất cả các biểu diễn tương đương với nhau đều xem là như nhau.  Đặc biểu của biểu diễn Các biểu diễn thuộc cùng một lớp được xem như nhau, nên cần nêu lên các đặc trưng nội tại cho toàn lớp biểu diễn, nghĩa là tìm các đại lượng liên quan đến biểu diễn, nhưng bất biến đối với các biến đổi (khả nghịch) cơ sở của không gian biểu diễn. Một trong những đặc trưng nêu lên ở trên chính là vết: n TrD( g )   Dii ( g ) , (2.2-2) i 1 Thật vậy, vì giá trị của vết không thay đổi khi hoán vị vòng quanh các nhân tử có mặt trong biểu thức của vết, nên ta có: TrD '( g )  Tr[ SD( g ) S 1 ]  Tr[ S 1SD( g )]  TrD( g ) Đó là điều phải chứng minh. 11 Vết của biểu diễn gọi là đặc biểu của biểu diễn và ký hiệu là X ( g ) . X ( g )  TrD( g ) . (2.2-3) Bây giờ cho hai phần tử h và g của nhóm, liên hợp với nhau h = x-1gx; x, h, g  G. Theo (2.2-1) ta có: TrD(h) = TrD(x-1gx) = Tr{D(x-1)D(g)D(x)} = = Tr{D(x)-1D(g)D(x)} = Tr{D(x)D(x)-1D(g)} = TrD(g). Từ đó ta có: X ( x 1 gx)  X ( g ) , tức là các phần tử thuộc cùng một lớp của nhóm G cho cùng một giá trị của đặc biểu. Ta nói đặc biểu là một hàm của lớp. Vì vậy, nếu nhóm có s lớp K1 , K2 ,..., Ks , thì đặc biểu là một tập hợp của s lượng: X i  X  Ki  ,  i  1, 2, ..., s  . Như thế, đặc biểu của mỗi biểu diễn có thể xem như một vector trong một không gian s chiều nào đó. Tất nhiên với biểu diễn đơn vị ta luôn có: X i  1, (i  1, 2,..., s) Lưu ý rằng: vì D(e) = In, nên: X (e)  n . 2.3. Biểu diễn khả quy và bất khả quy Cho một không gian tuyến tính Vn và một ma trận (phép biến đổi tuyến tính) A. Hệ A gọi là khả quy trong không gian Vn nếu có một không gian con V < Vn, V  0 , sao cho: AV < V với mọi A  A , tức là Ax  V với mọi x  V , A  A. Không gian con V gọi là bất biến đối với hệ A. 12 Trái lại, nếu mọi không gian con bất biến của Vn hoặc bằng 0 hoặc trùng với Vn, thì hệ A gọi là bất khả quy và không gian Vn cũng gọi là bất khả quy đối với hệ A. Nếu không gian con bất biến V có r chiều và nếu ta chọn r vector cơ sở của V làm các vector cơ sở đầu tiên của không gian Vn, thì mọi vector x  V đều có biểu diễn: Các  ở ma trận cột chỉ những phần tử nói chung khác không. Từ đó, theo giả thiết V bất biến đối với hệ A, ta có: Như thế, theo các biểu diễn của x và x’, tất cả các ma trận A  A đều có dạng: 13  A1 K  A=   , A  A, 0 A  2 trong đó A1 là ma trận con vuông cấp r, A2 là ma trận vuông cấp n – r, K là ma trận con chữ nhật r  (n - r).  Hệ phân giải được Một trường hợp quan trọng là ngoài V, không gian Vn có một không gian con thứ hai bất biến  sao cho Vn  V   . Thế thì chọn (n – r) vector cơ sở của  làm các vector cơ sở còn lại của Vn, ta thấy rằng tất cả các A phải có dạng: 0 A A 1   A1  A 2 , A  A.  0 A2  Trong trường hợp này, hệ A gọi là phân giải thành hai hệ con khác: A1  A1 , A2  A 2  , và ta viết A  A1  A2 .  Hệ hoàn toàn khả quy Một hệ A gọi là hoàn toàn khả quy nếu hoặc A là bất khả quy, hoặc A có thể phân giải thành nhiều hệ con bất khả quy. Tương ứng, không gian Vn phân thành tổng trực tiếp nhiều không gian con bất khả quy.  Biểu diễn khả quy, bất khả quy và hoàn toàn khả quy Nếu biểu diễn D là một hệ khả quy, bất khả quy hay hoàn toàn khả quy thì biểu diễn đó tương ứng gọi là khả quy, bất khả quy hay hoàn toàn khả quy. Theo nghĩa trên, các biểu diễn bất khả quy là những biểu diễn đơn giản nhất.  Định lý về tiêu chuẩn bất khả quy Điều kiện cần và đủ để một biểu diễn có đặc biểu X là bất khả quy là 14 1 s g P X p X p  1  G p1 (2.3-1) trong đó: G là bậc của nhóm. gp là số phần tử của lớp thứ p của nhóm đó.  Không gian đồng nhất Cho một nhóm G các phép biến đổi tuyến tính trong một không gian V nào đó. Nếu với một cặp điểm x và y của không gian V, ta luôn tìm được một phần tử g của nhóm sao cho gx = y, thì nhóm G gọi là nhóm bắc cầu của không gian V và không gian V được gọi là không gian đồng nhất của nhóm G.  Biểu diễn Tg Cho một không gian đồng nhất nào đó V của nhóm G, và gọi L là tập hợp tất cả các hàm  (x) có đối số x  V . Thế thì không gian L gọi là bất biến đối với nhóm G nếu, khi đã chứa  (x), nó sẽ chứa mọi hàm  (gx), g  G . Bây giờ, giả sử không gian L là bất biến đối với nhóm G và đặt Tg (x)   (g-1x), g  G , x  V . (2.3-2) Theo định nghĩa này, ta có: 1 Tg Tg   x  =Tg   g 2 1x     g 2 1g11x     g1g 2  x  , 1 2 1 tức là, theo (2.3-2), Tg Tg =Tg g 1 1 2' 2 điều này chứng tỏ rằng các toán tử Tg làm thành một biểu diễn của nhóm G trong không gian L các hàm  , và ký hiệu là Tg. Theo định nghĩa chung của ma trận toán tử, nếu  là cơ sở của không i gian L, ta có: Tg = Dji(g) , i i trong đó Dji(g) là ma trận của toán tử Tg. 15 (2.3-3)
- Xem thêm -