Tài liệu Tổng hợp kiến thức toán thpt full

GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC NHÔÙ 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT A.x = B B x = • A ≠ 0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát A • A = 0 vaø B ≠ 0 : phöông trình voâ nghieäm • A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieäm Ax > B B x > • A>0: A Nhận luyện thi THPTQG B tại BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI • A<0: x< A Đt : 0914449230 (zalo) • A = 0 vaø B ≥ 0 : voâ nghieäm • A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm NHÔÙ 2 : PHÖÔNG TRÌNH BAÄT HAI MOÄT AÅN ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) ∗ ∆ = b2 – 4ac ∆>0 −b− ∆ −b+ ∆ = x x1 = , 2 2a 2a b ∆=0 Nghieäm keùp x1 = x 2 = − 2a ∆<0 ∗ ∆/ = b/ 2 – ac ∆/ > 0 ∆/ = 0 ∆/ < 0 Chuù yù: Voâ nghieäm − b / + ∆/ − b / − ∆/ x1 = , x2 = a a b/ Nghieäm keùp x1 = x 2 = − a Voâ nghieäm c a + b + c = 0 : nghieäm x1 = 1, x2 = a c − a – b + c = 0 : nghieäm x1 = –1, x2 = a Đt : 0914449230 1 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT NHÔÙ 3 : DAÁU NHÒ THÖÙC f(x) = ax + b ( a ≠ 0) x − –∞ f(x) Traùi daáu a b a +∞ 0 cuøng daáu a 2 NHÔÙ 4 : DAÁU TAM THÖÙC f(x) = ax + bx + c ( a ≠ 0) (Nhôù : TRONG TRAÙI NGOAØI CUØNG) Neáu Thì ∆ < 0 f(x) > 0, ∀x  a > 0 ∆ < 0  f(x) < 0, ∀x a < 0 ∆ = 0  a > 0 ∆ = 0  a < 0 x ∆>0 f(x) f(x) > 0, b − ∀x ≠ 2a f(x) < 0, ∀x ≠ − –∞ x1 Cùng dấu a 0 trái dấu a b 2a x2 +∞ 0 Cùng dấu a NHÔÙ 5 : SO SAÙNH NGHIEÄM CUÛA TAM THÖÙC BAÄC HAI Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) vaø α, β laø hai soá thöïc 1/. Muoán coù x1 < α < x2 ta phaûi coù a.f(x) < 0  ∆ > 0  af (α ) > 0 ta phaûi coù  2/. Muoán coù x2 > x 1 > α S  −α > 0 Nhận luyện thi THPTQG 2 tại BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI Đt : 0914449230 (zalo) Đt : 0914449230 2 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) 3/. Muoán coù  ∆ > 0  af (α ) > 0 ta phaûi coù  S  −α < 0 2 x1 < x 2 < α af (α ) < 0 ta phaûi coù af ( β ) < 0  af (α ) < 0 ta phaûi coù af ( β ) > 0  4/. Muoán coù x1< α < β < x2 5/. Muoán coù x1< α < x2 <β 6/. Muoán coù  x1 < α < x 2 < β α < x < β < x 1 2  7/. Muoán coù α < x1 < x2 <β  Chuù yù: 1/. Muoán coù x1 < 0 < x 2 2/. Muoán coù x2 > x 1 > 0 3/. Muoán coù Tài liệu Toán THPT ta phaûi coù f (α ) f ( β ) < 0 ∆ > 0 af (α ) > 0  af ( β ) > 0 ta phaûi coù  α < S < β  2 ta phaûi coù P<0 ∆ > 0  P>0 ta phaûi coù  S > 0  ∆ > 0  P>0 ta phaûi coù  S < 0  x1 < x 2 < α NHÔÙ 6 : PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN B ≥ 0 A = B A=B⇔ A = B ⇔  và 2 A B =  A ≥ 0 (hayB ≥ 0)  Đt : 0914449230 3 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT NHÔÙ 8 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN A ≥ 0  A < B ⇔ B > 0 A < B   B < 0  A ≥ 0  A>B⇔ B ≥ 0   A > B và NHÔÙ 8 : PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI  A = B  B ≥ 0 A = B A =B⇔ A = B ⇔  A = − B  A = −B và    B ≥ 0 Chuù yù:  f ( x) = g ( x)  x ≥ 0 f ( x ) = g ( x) ⇔   f (− x) = g ( x)   x ≤ 0 NHÔÙ 9 : BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI − B < A < B A 0 ; A > B ⇔ A2 > B 2 NHÔÙ 10 : BAÁT ÑAÚNG THÖÙC Daïng : A > B, A ≥ B , A < B, A ≤ B 1/. Ñònh nghóa 2/. Tính chaát : a > b a) a > b ⇔ b < a b) b > c ⇒ a > c  c) a > b ⇔ a + c > b + c a > b e) c > d ⇒ a + c > b + d  ac > bc, c > 0 a > b ⇔ ac < bc, c < 0 d)  a > b > 0 f) c > d > 0 ⇒ ac > bd  3/. BÑT Coâ Si : Cho n soá töï nhieân khoâng aâm a1, a2, a3,......, an Đt : 0914449230 4 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT a1 + a 2 + a 3 + ....... + a n ≥ n a1 a 2 a 3 .......a n n n  a1 + a 2 + a3 + ....... + a n  a a a .......a n ≤   hay 1 2 3 n   Daáu ñaúng thöùc xaûy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ......... = an NHÔÙ 11 : COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC A. HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN ( 6 coâng thöùc ) Sinx Tanx = Sin 2 x + Cos 2 x = 1 Cosx Cosx Cotx = Tanx.Cotx = 1 Sinx 1 1 2 + 1 = Cot x 1 + Tan 2 x = Sin 2 x Cos 2 x Ñieàu kieän toàn taïi : • Tanx laø x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z • Cotx laø x ≠ kπ ,k∈Z • Sinx laø – 1 ≤ Sinx ≤ 1 • Cosx laø – 1 ≤ Cosx ≤ 1 Chuù yù : • a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab • a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) B. COÂNG THÖÙC COÄNG sin(= a ± b) sin a.cos b ± cos a.sin b cos(a ± b) = cos a.cos b  sin a.sin b tan a ± tan b tan(a ± b) = 1  tan a.tan b C. COÂNG THÖÙC NHAÂN ÑOÂI : Đt : 0914449230 5 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT sin 2u = 2sin u.cos u cos 2u = cos 2 u − sin 2 u = 2 cos 2 u − 1 = 1 − 2sin 2 u tan 2u = 2 tan u 1 − tan 2 u D. HẠ BAÄC : ( 4 coâng thöùc) 1 − Cos 2a 2 Sin 2 a = ⇒ 1 − Cos 2a = 2 Sin a 2 1 + Cos 2a 2 Cos 2 a = ⇒ 1 + Cos 2a = 2Cos a 2 E. TOÅNG THAØNH TÍCH : a+b a −b .cos 2 2 a+b a −b −2sin cos a − cos b = .sin 2 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin .cos 2 2 a+b a −b sin a − sin b = 2 cos .sin 2 2 cos a + cos b = 2 cos F. TÍCH THAØNH TOÅNG : 1 [cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sin α .sin β = − [cos(α + β ) − cos(α − β )] 2 1 = β sin α .cos [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 1 = cos α .sin β [sin(α + β ) − sin(α − β )] 2 = cos α .cos β Nhận luyện thi THPTQG tại BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI Đt : 0914449230 (zalo) Đt : 0914449230 6 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT G. CUNG LIEÂN KEÁT : Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – Sinα Cos ñoái Sin buø Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – Cosα Phuï cheùo Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα Khaùc π Tan Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα Sai keùm π/ 2 Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα NHÔÙ 13 : PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC A. CÔ BAÛN : Sinu = Sinv u = v + k 2π ⇔ k∈Z u = π − v + k 2π Sinu = 1 ⇔ u = ±v + k 2π ⇔ u = v + kπ ⇔ u = v + kπ ⇔ u = kπ ⇔ u = π / 2 + k 2π Sinu = –1 ⇔ u = −π / 2 + k 2π Cosu = Cosv Tanu = Tanv Cotu = Cotv Sinu = 0 Cosu = 0 Cosu = 1 Cosu = – 1 ⇔ u = π / 2 + kπ ⇔ u = k 2π ⇔ u = π + k 2π B. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT ÑOÁI VÔÙI Sin vaø Cos Daïng a.sinx + b.cosx = c ( a2 + b2 ≠ 0 ) Phöông phaùp : a2 + b2 Chia hai veá cho Ñaët : Đt : 0914449230 a a +b 2 2 = Cosα 7 ; b a +b 2 2 = Sinα GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT c α Sin ( x + ) = Ta coù (*) a2 + b2 (*) Coù nghieäm khi c a +b 2 2 ≤ 1 ⇔ a2 + b2 ≥ c2 ⇔ a2 + b2 < c2 (*) Voâ nghieäm khi C. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI: 1/. Ñoái vôùi moät haøm soá löôïng giaùc: Giaû söû a ≠ 0 ( ñaët t = Sinx , t ≤ 1 ) aSin 2 x + bSinx + c = 0 (ñaët t = Cosx , t ≤ 1 ) π aTan 2 x + bTanx + c = 0 ( ñaët t = Tanx , x ≠ + kπ ) 2 aCot 2 x + bCotx + c = 0 ( ñaët t = Cotx , x ≠ kπ ) 2/. Phöông trình ñaúng caáp ñoái vôùi Sinx, Cosx aSin 2 x + bSinxCosx + cCos 2 x = 0 (1) Daïng: aCos 2 x + bCosx + c = 0 aSin 3 x + bSin 2 xCosx + cSinxCos 2 x + dCos 3 x = 0 (2) Phöông phaùp : ∗ Kieåm x = π/ 2 + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình ? ∗ Chia hai veá cho Cos2x ( daïng 1), chia Cos3x ( daïng 2) ñeå ñöa phöông trình ñaõ cho veà daïng phöông trình baäc hai, baäc ba ñoái vôùi Tanx. 3/. Phöông trình ñoái xöùng cuûa Sinx, Cosx: Daïng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) π Phöông phaùp: Ñaët : t = Sinx + Cosx = 2 Sin( x + ), 4 t 2 −1 (*) ⇔ at + b +c =0 2 t ≤ 2 ⇒t Chuù yù: Daïng töông töï : ( neáu coù) ⇒ x a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giaûi π Ñaët : t = Sinx − Cosx = 2 Sin( x − ), 4 Đt : 0914449230 8 t ≤ 2 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT 1− t2 (*) ⇔ at + b + c = 0 ⇒ t ? ( neáu coù) ⇒ x ? 2 D. PHÖÔNG TRÌNH ÑAËC BIEÄT : 1/. Toång bình phöông : • A2 + B2 + ........+ Z2 = 0 ⇔ A = B = ......= Z = 0 • A ≥ 0, B ≥ 0,......, Z ≥ 0 Ta coù : A + B + .... + Z = 0 ⇔ A = B = .....= Z = 0 2/. Ñoái laäp : Giaû söû giaûi phöông trình A = B (*) A ≤ K  B ≥ K Neáu ta chöùng minh A = K (*) ⇔  B = K NHÔÙ 14: HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù) • a = b + c − 2bcCosA 2 Haøm soá Cosin Haøm soá Sin 2 2 b2 + c2 − a2 • CosA = 2bc a b c = = = 2R • SinA SinB SinC • a = 2 RSinA, Trung tuyeán • ma • S= Dieän tích 2 a 2R 2(b 2 + c 2 ) − a 2 = 4 1 1 1 aha = bhb = chc 2 2 2 1 1 1 S = bcSinA = acSinB = abSinC • 2 2 2 • S = pr abc S = • 4R Đt : 0914449230 SinA = 9 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) • S= Tài liệu Toán THPT p ( p − a)( p − b)( p − c) Chuù yù: S A B C r = = ( p − a ) Tan = ( p − b ) Tan = ( p − c ) Tan • p 2 2 2 abc a b c R = = = = • 4S 2 SinA 2 SinB 2 SinC • • • • • a, b, c : A, B, C: ha: ma: R, r : caïnh tam giaùc goùc tam giaùc Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc. a+b+c Nöõa chu vi tam giaùc. 2 NHÔÙ 15: HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC VUÔNG AH 2 = BH .CH • p= • AH .BC = AB. AC 1 1 1 = + AH 2 AB 2 AC 2 A B AB = BH .BC • AC = CH .CB ; • BC 2 = AB 2 + AC 2 2 2 NHÔÙ 16 : HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC Ñònh nghóa 1: Haøm soá y = f (x) goïi laø lieân tuïc taïi ñieåm x = a neáu : 1/. f (x) xaùc ñònh taïi ñieåm x = a f ( x) = f (a) 2/. lim x→a Đt : 0914449230 10 H C GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT Ñònh nghóa 2: f (x) lieân tuïc taïi ñieåm x = a ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (a ) x→a x→a Ñònh lyù : Neáu f (x) lieân tuïc treân [a, b] vaø f (a ). f (b) < 0 thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm c∈ (a, b) sao cho f (c) = 0 NHÔÙ 17 : HAØM SOÁ MUÕ 1/. Ñònh nghóa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( coá ñònh). Haøm soá muõ laø haøm soá xaùc ( x ∈ R) ñònh bôûi coâng thöùc : y = ax 2/. Tính chaát : a) Haøm soá muõ lieân tuïc treân R moïi x ∈ R b) y = ax > 0 c) a > 1 : Haøm soá ñoàng bieán a x1 < a x2 ⇔ x1 < x 2 d) 0 < a < 1 : Haøm soá nghòch bieán a x1 < a x2 ⇔ x1 > x 2 x2 x1 Chuù yù : a < a ⇔ x1 = x 2 (0 < a ≠ 1) 3/. Ñoà thò : 01 NHÔÙ 18 : HAØM SOÁ LOGARIT 1/. Ñònh nghóa : a) Cho a > 0, a ≠ 1, N > 0 Logarit cô soá a cuûa N laø soá muõ M sao cho : aM = N Đt : 0914449230 11 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT Kyù hieäu : logaN = M b) Haøm soá logarit theo cô soá a ( a > 0, a ≠ 1 ) cuûa ñoái soá x laø haøm soá ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: y = logax ( vôùi x > 0, a > 0, a ≠ 1) 2/. Tính chaát vaø ñònh lyù cô baûn veà logarit : Giaû söû logarit coù ñieàu kieän ñaõ thoûa maõn TC1 : logaN = M ⇔ aM = N TC2 : loga aM = M , a log M = M TC3 : loga 1 = 0, loga a = 1 TC4 : loga (MN) = loga M + loga N M log a = log a M − log a N TC5 : N log c N 1 log N = ; log b = a a TC6 : Ñoåi cô soá log c a log b a a 3/. Ñoà thò : (a> 1) y 0 y ( 0 < a < 1) 1 x 0 1 x 4/. Phöông trình Logarit : log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ( f(x) hoaëc g(x) > 0 , 0 < a ≠ 1 ) 5/. Baát phöông trình Logarit : log a f ( x) < log a g ( x) (*)  f ( x) > 0 (*) ←→    f ( x) < g ( x)  g ( x) > 0 0< a <1 → (*) ←  f ( x) > g ( x) a >1 NHÔÙ 19 : ÑAÏO HAØM I/. Ñònh nghóa ñaïo haøm : Cho haøm soá y = f(x) , xaùc ñònh treân ( a, b) , x0 ∈ ( a, b). Ta noùi f(x) ∆y khi ∆x → 0 toàn taïi. coù ñaïo haøm taïi x0 neáu giôùi haïn ∆x Đt : 0914449230 12 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x f ' ( x0 ) = lim ∆y ∗ Ñaïo haøm beân traùi : ( toàn taïi ) ∆x →0 ∆x ∆y + ' x f = ( ) lim ( toàn taïi ) ∗ Ñaïo haøm beân phaûi : 0 ∆x→0+ ∆x  Cho y = f(x) xaùc ñònh treân (a, b) y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘(x0+) = f ’(x0–) II/. Qui taéc tính ñaïo haøm : − f ' ( x0 ) = lim− (u ± v) ' =u '± v ' (u ± v ± w) ' = u '± v '± w ' (k .U ) = k .U ' v) ' u '.v + v '.u (u.=  u  u '.v − v '.u  ' = v2 v v' 1 = − '   v2 v Nhận luyện thi THPTQG tại BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI Đt : 0914449230 (zalo) ( với k là hằng số ) III/. Baûng ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp cô baûn : Công thức hàm cơ bản Công thức hàm mở rộng ( u) (C ) ' = 0 ( x) ' = 1 ( x2 ) ' = 2x ( x n ) ' = n.x n −1 1 1 ( )' = − 2 x x 1 ( x)' = 2 x Đt : 0914449230 (u 2 ) ' = 2u.u ' (u n ) ' = n.u n −1.u ' 1 u' ( )' = − 2 u u 1 ( u)' = .u ' 2 u 13 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT (sin u ) ' = u '.cos u (sin x) ' = cos x (cos u ) ' = −u '.sin u (cos x) ' = − sin x 1 (tan x) ' = 1 + tan 2 x =2 cos x (cot x) ' =−(1 + cot 2 x) =− 1 sin 2 x 1 (tan u ) ' = u '.(1 + tan 2 u ) = 2 .u ' cos u 1 (cot u ) ' = −u '.(1 + cot u ) = − 2 .u ' sin u (e x ) ' = e x (eu ) ' = u '.eu ( a x ) ' = a x .ln a ( a u ) ' = u ' a u .ln a 1 (ln u ) ' = .u ' u 1 (log a u ) ' = .u ' u ln a (ln x ) ' = 1 x (log a x ) ' = 1 x ln a NHÔÙ 20 : ÑÒNH LYÙ LAGRAÊNG Neáu f(x) lieân tuïc treân [a, b] vaø coù ñaïo haøm treân khoaûng (a, b) thì toàn taïi ít nhaát moät ñieåm x = c , c ∈ (a, b) f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a) NHÔÙ 21 : BAÛNG TÍCH PHAÂN 1/. Coâng thöùc NewTon _ Leibnitz : b ∫ f ( x)dx = [F ( x)]a = F (b) − F (a ) b a vôùi F(x) laø nguyeân haøm cuûa f(x) treân [a, b} 2/. Tích phaân töøng phaàn : b b a a b = udv [ u . v ] a − ∫ vdu ∫ vôùi u, v lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [a, b] 3/. Ñoåi cô soá : Đt : 0914449230 14 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT β b ∫ f ( x)dx = α∫ f [ϕ (t )].ϕ (t )dt ' a vôùi x = ϕ(t) laø haøm soá lieân tuïc vaø coù ñaïo haøm ϕ’(t) lieân tuïc treân [a, b] , α ≤ t ≤ β a = ϕ(α), b = ϕ(β), f[ϕ(t)] laø haøm soá lieân tuïc treân [α,β ] 4/. Tính chaát : a) b a a b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx a b) ∫ f ( x)dx = 0 a c) b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx b b b a a a d) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx b e) b ∫ Kf ( x)dx = K ∫ f ( x)dx a ,K ∈R a f) Neáu m ≤ f(x) ≤ M thì b m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a 5/. Baûng tích phaân : TT 1 2 3 4 Coâng thöùc x α +1 ∫ x dx = α + 1 + c (α ≠ −1) 1 (ax + b) α +1 α ∫ (ax + b) dx = a . α + 1 + c 1 1 = − + c (α ≠ 1) dx ∫ xα (α − 1) x α −1 dx 1 = − ∫ (ax + b)α a(α − 1)(ax + b)α −1 + c α Đt : 0914449230 15 (α ≠ 1) GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) dx 5 ∫ x = Ln x + c dx 1 = 6 ∫ ax + b a Ln ax + b + c 7 ∫ Kdx = Kx + c , K ∈ R 8 x x e dx = e +c ∫ 9 ∫e 10 11 1 ax +b e +c a ax x ∫ a dx = Lna + c ∫ Sinxdx = −Cosx + c ax + b dx = 12 1 Sin ( ax b ) dx + = − Cos (ax + b) + c ∫ a 13 ∫ Cosxdx = Sinx + c 14 ∫ Cos(ax + b)dx = 15 dx ∫ Cos 2 x = Tanx + c dx ∫ Sin 2 x = −Cotx + c dx ∫ x 2 + 1 = arcTanx + c dx 1 x arcTan = +c ∫ x2 + a2 a a dx 1 x−a = Ln ∫ x 2 − a 2 2a x + a + c dx 1 a+x = Ln ∫ a 2 − x 2 2a a − x + c dx x = +c ( a > 0) arcSin ∫ a2 − x2 a 16 17 18 19 20 21 22 ∫ Đt : 0914449230 dx x2 + h 1 Sin(ax + b) + c a = Ln x + x 2 + h + c 16 Tài liệu Toán THPT GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) 23 ∫ 24 ∫ Tài liệu Toán THPT x x a2 2 2 a − x dx = a −x + arcSin + c 2 2 a x h x 2 + h dx = x 2 + h + Ln x + x 2 + h + c 2 2 2 2 (a > 0) NHÔÙ 22 : HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP 1/. Hoaùn vò : Pn = n! 2/. Toå hôïp : C nK = n! K !(n − K )! n− K  Cn = Cn K 0 n  Cn = Cn = 1 K K −1 K  C n −1 + C n −1 = C n 0 1 n n  C n + C n + ...... + C n = 2 n! K = A 3/. Chænh hôïp : n (n − K )! NHÔÙ 23 : SOÁ PHÖÙC 1/. Pheùp tính : ∗ Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i z ± z’ = ( a ± a’) + ( b ± b’)i z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i ∗ z = r.(Cosα + i.Sinα) z, z’ ≠ 0 z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ) z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)] z r = [Cos (α − β ) + iSin(α − β )] z' r ' 2/. MoaVrô : [r (Cosα + iSinα )]n = r n (Cosnα + iSinnα ) 3/. Caên baäc n cuûa soá phöùc z = r.( Cosα + i.Sinα) : α + K 2π α + K 2π + i.Sin Z K = n r (Cos ) n n vôùi K = 0, 1, 2,......, n – 1 Đt : 0914449230 17 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT NHÔÙ 24 : PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG A. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ : → → → • M ( x, y ) ⇔ OM = xe1 + ye2 • Cho A( xA, yA ) B( xB, yB ) → 1). AB = ( x B − x A , y B − y A ) 2 2). AB = ( x B − x A , y B − y A ) x A + xB  x =  2  3). Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB :  y A + yB y =  2 4). Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k ≠ 1 : → → • Pheùp toaùn : Cho a = (a1 , a 2 ) ; b = (b1 , b2 ) → → a1 = b1 a b = ⇔  1). a 2 = b2 → → 2). a ± b = (a1 ± b1 , a 2 ± b2 ) → 3). m. a = (ma1 , ma 2 ) →→ 4). a b = a1b1 + a 2 b2 → 5). a = a1 + a 2 → 2 2 → 6). a ⊥ b ⇔ a1b1 + a 2 b2 = 0 a1b1 + a 2 b2 → → , Cos a b =   7). 2 2 2 2   a1 + a 2 . b1 + b2 B. ÑÖÔØNG THAÚNG Vectô chæ phöông Đt : 0914449230 → a = (a1 , a 2 ) 18 x A − k .x B  = x  1− k   y = y A − k. y B 1− k  GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) Tài liệu Toán THPT  x = x0 + a1t 1/. Phöông trình tham soá :  y = y + a t 0 2  2/. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 ≠ 0) • Phaùp vectô → n = ( A, B) → → • Vectô chæ phöông a = (− B, A) ( hay a = ( B,− A) ) A K =− ( B ≠ 0) • Heä soá goùc B 3/. Phöông trình phaùp daïng : A A +B 2 2 x+ B A +B 2 2 y+ C A +B 2 2 =0 4/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc K : y − y 0 = K ( x − x0 ) 5/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) : (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) x − xA y − yA = hay x − x yB − y A B A 6/. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén) x y + =1 a b x − x0 y − y 0 = 7/. Phöông trình chính taéc : a b →    M ( x0 , y 0 ), a = (a, b)    • Quy öôùc : x − x0 y − y 0 = ⇔ x − x0 = 0 0 b x − x0 y − y 0 = ⇔ y − y0 = 0 a 0 8/. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán Ax + By + C = 0 : Đt : 0914449230 19 GV : Nguyễn Vũ Minh (Biên Hòa – Đồng Nai) d(A;d) = Tài liệu Toán THPT Ax0 + By 0 + C A2 + B 2 9/. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : d1: A1x + B1y + C1 = 0 d2: A2x + B2y + C2 = 0 D= A1 A2 − C1 B1 A1 − C1 D = = D x ; − C 2 B2 ; y A2 − C 2 B2 B1 * d1 caét d2 ⇔ D ≠ 0 D = 0 D = 0 * d1 // d 2 ⇔  D ≠ 0 hay  D ≠ 0  x  y * d1 ≡ d 2 ⇔ D = D x = D y = 0 Chuù yù : A2, B2, C2 ≠ 0 A1 B1 ⇔ ≠ d1 caét d2 A2 B2 A B C d1 // d 2 ⇔ 1 = 1 ≠ 1 A2 B2 C 2 A B C d1 ≡ d 2 ⇔ 1 = 1 = 1 A2 B2 C 2 11/. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 : Xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : Cosϕ = A1 A2 + B1 B2 A12 + B12 A22 + B22 12/. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d1 vaø d2 : A1 x + B1 y + C1 A12 + B12 =± A2 x + B2 y + C 2 A22 + B22 * Chuù yù : → → Phöông trình ñöôøng Phöông trình ñöôøng phaân Daáu cuûa n1 n2 phaân giaùc goùc nhoïn giaùc goùc tuø taïo bôûi d1, d2 taïo bôûi d1, d2 – t1 = t2 t1 = – t2 + t1 = – t2 t1 = t2 C. ÑÖÔØNG TROØN : 1/. Ñònh nghóa : M ∈ (c) ⇔ OM = R Đt : 0914449230 20