Tài liệu Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với toán tử j đơn điệu trong không gian banach

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------ o0o------------ TRẦN XUÂN THIỆN TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – NĂM 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đại Học Thái Nguyên Trường Đại Học Khoa Học Trần Xuân Thiện TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH VỚI TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên Nghành: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Bường Thái Nguyên - 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Công trình được hoàn thành tại Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bường Phản biện 1: PGS. TS Đỗ Văn Lưu Phản biện 2: GS. TS Trần Vũ Thiệu Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày 12 tháng 10 năm 2013 Có thể tìm hiểu tại Thư Viện Đại Học Thái Nguyên Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Một số vấn đề cơ bản 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Sự hội tụ trong không gian Banach . . . . . . . 1.1.3. Không gian phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6. Không gian lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.7. Không gian E-S(Ephimov Stechkin) . . . . . . . 1.1.8. Ánh xạ J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . 1.2.2. Bài toán đặt không chỉnh với toán tử J-đơn điệu Chương 2. Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach 2.1. Giới thiệu sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu . . . . . . . . . . . . 3 5 5 5 5 6 7 7 8 8 8 9 9 10 trình với . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 18 24 25 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại Học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Giáo sư Nguyễn Bường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Học viên Trần Xuân Thiện Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 Mở đầu Rất nhiều bài toán nảy sinh trong thực tiễn, khoa học, công nghệ là các bài toán đặt không chỉnh (ill-posed), khi đó nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do tính không ổn định này của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số bài toán đó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kì trong lời giải bài toán. Vì thế nảy sinh vấn đề tìm các phương pháp giải ổn định cho các bài toán đặt không chỉnh sao cho khi sai số của dữ kiện ban đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Một trong các phương pháp hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Mục đích của đề tài này là: chỉ ra sự hội tụ mạnh của thuật toán của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trong không gian Banach lồi chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá tốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh. Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo nội dung của luận văn gồm hai chương. Trong chương 1 chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản của không gian Banach và lý thuyết của bài toán đặt không chỉnh với toán tử J-đơn điệu và một số định lí, bổ đề quan trọng có liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài. Trong chương 2 chúng tôi trình bày chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trong không gian Banach lồi chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá tốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Tác giả Trần Xuân Thiện Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Chương 1 Một số vấn đề cơ bản Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm có liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài. Các khái niệm này được tham khảo trong các tài liệu [1] và [2]. 1.1. 1.1.1. Không gian Banach Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X có một số ||x|| gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: 1. ||x|| > 0, ∀x 6= 0, ||x|| = 0 ⇔ x = 0; 2. ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X. (Bất đẳng thức tam giác) 3. ||αx|| = |α|.||x||, ∀x ∈ X, α ∈ R. Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach. Ví dụ 1.1.1. Không gian Lp [a, b] với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach với chuẩn ! p1 Z b p kϕk = |ϕ (x)| dx , ϕ ∈ Lp [a, b] . a 1.1.2. Sự hội tụ trong không gian Banach Dãy các phần tử xn trong không gian Banach X được gọi là hội tụ đến phần tử xo ∈ X khi n → ∞, nếu ||xn − x0 || → 0 khi n → ∞, kí hiệu là xn → x0 . Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh. Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ X, kí hiệu xn * x0 , nếu với ∀f ∈ X ∗ -không gian liên hợp của X, ta có f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 Tính chất 1.1.1. Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau 1. Từ sự hội tụ mạnh của một dãy xn suy ra sự hội tụ yếu của dãy đó. 2. Giới hạn yếu nếu có của một dãy là duy nhất. 3. Nếu xn * x thì sup kxn k < ∞ và kxk ≤ lim kxn k. 1≤n<∞ n→∞ Nhận xét 1.1. Một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ mạnh là: 1. X là không gian hữu hạn chiều. 2. {xn } ⊂ M với M là một tập compact trong X. 1.1.3. Không gian phản xạ Giả sử X là không gian định chuẩn trên R, X ∗ là không gian liên hợp của X, X ∗∗ = L(X ∗ , R) là không gian liên hợp thứ hai của X. Ta cho tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên X ∗∗ nhờ hệ thức hx∗∗ , f i = hf, xi , ∀f ∈ X ∗∗ , ở đây hx∗∗ , f i là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ta có ||x|| = ||x∗∗ ||. Đặt h(x) = x∗∗ , nếu h : X → X ∗∗ là toàn ánh thì không gian X được gọi là không gian phản xạ. Ví dụ 1.1.2. Không gian Lp [0, 1], p > 1 là không gian phản xạ. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ. Định lý 1.1.1. (xem[2]) Nếu X là không gian Banach thì các khẳng định sau là tương đương: 1. X phản xạ. 2. Mọi dãy giới nội là Compact yếu, tức là ∀ {xn } ⊂ X : kxn k ≤ K ⇒ ∃ {xnk } , xnk * x ∈ X 3. Hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu. 4. Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong X là compact yếu. 5. Mỗi tập lồi đóng bị chặn trong X là compact yếu. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 1.1.4. Đạo hàm Fréchet Giả sử f : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử f được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ X nếu tồn tại A ∈ L(X, Y ) sao cho kf (x + h) − f (x) − A (x) hkY = 0. h→0 khkX lim Toán tử A được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x và được ký hiệu là A = f 0 (x), f được gọi là khả vi Fréchet nếu nó khả vi Fréchet tại mọi điểm x ∈ X. 1.1.5. Không gian Hilbert Cho X là một không gian tuyến tính trên R. Một tích vô hướng trong X là một ánh xạ h., .i : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau: 1. hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0; 2. hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ X; 3. hαx, yi = α hx, yi , ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R 4. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ X. Không gian tuyên tính X cùng với tích vô hướng h., .i được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1.3. Các không gian Rn , L2 [a, b] là các không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định tương ứng là hx, yi = n X ξi ηi , x = (ξ1 , ξ1 , ..., ξn ) , y = (η1 , η1 , ..., ηn ) ∈ Rn i=1 Zb hϕ, ψi = ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] a Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 1.1.6. Không gian lồi chặt Không gian Banach X được gọi là không gian lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị S = S(x) = {x ∈ X : kxk = 1} của X là lồi chặt tức là từ x, y ∈ S kéo theo kx + yk < 2. Do đó mọi mặt cầu khác cũng lồi chặt. Ví dụ 1.1.4. Không gian Lp [a, b] là không gian lồi chặt. 1.1.7. Không gian E-S(Ephimov Stechkin) Không gian Banach X được gọi là Không gian Ephimov Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử (xn * x) và sự hội tụ chuẩn (kxn k → kxk) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh (kxn − xk → 0). Ví dụ 1.1.5. Không gian Hilbert có tính chất E − S. 1.1.8. Ánh xạ J-đơn điệu Cho E là không gian Banach thực và E ∗ là không gian đối ngẫu. Để cho đơn giản, chuẩn của E và E ∗ được ký hiệu là ||.||. Ký hiệu hx, x∗ i là giá trị của x∗ ∈ E ∗ với x ∈ E. Ánh xạ J : E 7−→ E ∗ đươc gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E nếu thỏa mãn điều kiện sau: hx, J(x)i = ||x||2 , ||J(x)|| = ||x||, ∀x ∈ E. ∗ Toán tử A : E 7−→ 2E gọi là m-J-đơn điệu nếu A là toán tử đơn điệu và <(A + λI) = E với mọi λ > 0. ∗ Cho A là ánh xạ đơn trị m-J-đơn điệu trên E. Khi đó ánh xạ A : E 7−→ E có các tính chất: (i) hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ 0, ∀x, y ∈ E ở đây j(x − y) ∈ J(x − y) và (ii)<(A + λI) = E với mọi λ > 0 trong đó <(A) là miền ảnh của A và I là toán tử đơn vị của E. Nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho: hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ α||x − y||2 ∀x, y ∈ E thì A gọi là J-đơn điệu mạnh với hằng số α. Khi α = 0 thì A gọi là J-đơn điệu. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9 1.2. 1.2.1. Bài toán đặt không chỉnh Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ sở xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử A(x) = f. (1.1) ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y . Sau đây là một định nghĩa của Hadamard ( Xem [1] ) Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y . Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu 1. Phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y . 2. Nghiệm này là duy nhất. 3. Và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đối với các bài toán phi tuyến thì điều kiện 2 hầu như không thỏa mãn. Do vậy hầu hết bài toán phi tuyến đều là bài toán đặt không chỉnh. Hơn nữa điều kiện cuối cùng cũng khó thực hiện. Chú ý 1.2.1. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác. Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác của f , ta chỉ biết xấp xỉ fδ của nó thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ. Chú ý 1.2.2. Giả sử xδ là nghiệm của (1.1) với f thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì fδ → f nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chung không hội tụ đến x. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 10 1.2.2. Bài toán đặt không chỉnh với toán tử J-đơn điệu 1. Toán tử đơn điệu Cho X là không gian Banach thực, A : D(A) → X ∗ là một toán tử với miền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm trong X ∗ . Định nghĩa 1.2.2. Toán tử A được gọi là 1. Đơn điệu nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); 2. Đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y; 3. Đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t) không giảm với t ≤ 0, δ(t) = 0 và hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ D(A); Nếu δ(t) = cA t2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh. Ví dụ 1.2.1. Toán tử tuyến tính A : RM → RM được xác định bởi A = B T B. với B là một ma trận vuông cấp M , là một toán tử đơn điệu. Định nghĩa 1.2.3. Toán tử A được gọi là 1. h-liên tục trên X nếu A(x + ty) * Ax khi t → 0 với mọi x, y ∈ X; 2. d-liên tục trên X nếu từ xn → x suy ra Axn * Ax khi n → ∞. Ví dụ 1.2.2. Hàm hai biến ϕ (x; y) = xy 2 (x2 + y 4 )−1 không liên tục, nhưng liên tục theo từng biến tại (0; 0) do đó nó h-liên tục tại (0; 0). Định nghĩa 1.2.4. Toán tử A được gọi là toán tử bức (coercive) nếu hAx, xi = +∞, ∀x ∈ X. kxk→+∞ kxk lim Định nghĩa 1.2.5. Ánh xạ U s : X → X ∗ (nói chung đa trị) xác định bởi n o s−1 s ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ U (x) = x ∈ X : hx , xi = kx k . kxk ; kx k = kxk , s ≥ 2. được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian X. Khi s = 2 thì U s thường được viết là U và gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 11 Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho bởi mệnh đề sau. Mệnh đề 1.2.1. Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó: 1. U (x) là tập lồi, U (λx) = λU (x) với mọi λ ∈ R; 2. Nếu X ∗ là không gian lồi chặt thì U là ánh xạ đơn trị. Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn tại trong mọi không gian Banach. Định lý 1.2.1. Nếu X ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục. Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt. Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được sử dụng trong phần sau. Bổ đề 1.2.1. Cho X là một không gian Banach thực, f ∈ X ∗ và A là toán tử h-liên tục từ X vào X ∗ . Khi đó nếu hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X thì A(x0 ) = f . Nếu A là toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X. Bổ đề trên có tên là bổ để Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert và sau này chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập trong không gian Banach. Định nghĩa 1.2.6. Hàm F : X → R được gọi là 1. lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X ta có F (tx + (1 − t)y) ≤ tF (x) + (1 − t)F (y), ∀t ∈ [0, 1] ; 2. lồi chặt trên X nếu bất đẳng thức trên không xảy ra dấu bằng với x 6= y; Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 12 3. nửa liên tục dưới trên X nếu lim inf F (y) ≥ F (x), ∀x ∈ X; y→x 4. nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy {xn } : xn * x thì lim inf F (xn ) ≥ F (x), ∀x ∈ X n→∞ Sự tồn tại nghiệm của phương trình (1.1) được cho bởi định lý sau Định lý 1.2.2. Cho A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức từ không gian Banach phản xạ X vào X ∗ . Khi đó phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ X ∗ . 2. Bài toán đặt không chỉnh với toán tử J-đơn điệu Cho X là không gian Banach phản xạ thực, X ∗ là không gian liên hợp của X. Với f ∈ X ∗ cho trước, phương trình (1.1) là phương trình toán tử. Nếu A : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu thì phương trình toán tử (1.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Ví dụ 1.2.3. Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp M = 5 được xác định bởi   1 1 1 1 1  1 1.0001  1 1 1    A= 1 1 1.0001 1 1    1  1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1.0001 và vế phải f = (5; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001)T ∈ R5 khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = (1; 1; 1; 1; 1)T ∈ R5 Nếu  A = Ah1   =   Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu 1 1 1 1 1 1.0001 1 1 1 1 1.0001 1 1 1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1 1 1 1       http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 13 và f = (5; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5)T ∈ R5 thì phương nghiệm. Nếu  1 1 1 1 1  1 1.0001 1 1 1  A = Ah2 =  1 1.0001 1 1  1  1 1 1 1.0001 1 1 1 1 1 1 trình có vô số       và f = (5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001; 5.0001)T ∈ R5 . thì phương trình vô nghiệm. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong phương trình ban đầu kéo theo những thay đổi đáng kể là nghiệm. 3. Phương pháp hiệu chỉnh Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta chỉ cho fδ thỏa mãn kfδ − f k ≤ δ. Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ ) và δ sai số, tìm một phần tử xấp xỉ nghiệm đúng x0 . Rõ ràng không thể xây dựng phần tử xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ vì A−1 có thể không xác định hoặc A−1 tồn tại nhưng không liên tục nên A−1 fδ không xấp xỉ nghiệm đúng x0 . Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số của vế phải của phương trình (1.1). Vì vậy một điều nảy sinh là liệu có thể xây dựng một phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm đúng x0 . Ta cũng có thể thấy rằng nếu được thì từ f0 ∈ Y ta có phần tử xấp xỉ tương ứng thuộc X. Tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ không gian Y vào không gian X. Định nghĩa 1.2.7. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử T (f, α) phụ thuộc vào tham số α tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 phương trình (1.1), nếu: - Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử T (fδ , α) xác định với mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi fδ ∈ Y thoả mãn kfδ − f k ≤ δ. - Tồn tại một hàm α = α(δ, fδ ) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi ε > 0 luôn tìm được δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thoả mãn kfδ − f k ≤ δ ≤ δε . thì xδα − x0 ≤ ε ở đây x0 là nghiệm có x∗ chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.1) và xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) . Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị. Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ , α (δ, fδ )) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (1.1), còn α = α (δ, fδ ) được gọi là tham số hiệu chỉnh. Tham số hiệu chỉnh α = α (δ, fδ ) phải được chọn sao cho lim α (δ, fδ ) = 0. δ→0 Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu. Như vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của phương trình (1.1) gồm các bước: 1) Xây dựng toán tử hiệu chỉnh T (f, α); 2) Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán về phần tử fδ và mức sai số δ. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 Chương 2 Tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach Trong chương này trình bày một số vấn đề về tốc độ hội tụ trong hiệu chỉnh phương trình với toán tử J-đơn điệu trong không gian Banach. Các khái niệm này được tham khảo trong các tài liệu [4]. 2.1. Giới thiệu sơ bộ Chúng tôi quan tâm giải phương trình toán tử sau: A(x) = f, f ∈ E (2.1) với A là J-đơn điệu đơn trị trên E. Trong toàn bộ luận văn này chúng tôi kí hiệu tập nghiệm của (2.1) là S (ta giả thiết S 6= ∅). Nếu A không có tính chất J-đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều, phương trình (2.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Để giải (2.1) ta phải dùng một số phương pháp ổn định, một trong các phương pháp hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Dạng toán tử của phương pháp này cho phương trình (xem [1]). A(x) + α(x − x+ ) = fδ , ||fδ − f || ≤ δ → 0 (2.2) Ở đây α > 0 gọi là tham số hiệu chỉnh, và x+ ∈ E là thành phần cho trước. Vì A là m-J-đơn điệu, phương trình (2.2) cho nghiệm duy nhất xδα với mỗi giá trị cố định α > 0 và δ > 0. Hơn thế nưa, từ (2.1), (2.2) và tính J-đơn điệu của A dễ dàng thu được kết quả sau : ||xδα − y|| ≤ ||y − x+ || + δ/α Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu ∀y ∈ S (2.3) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 16 Trong [1], người ta đã chứng minh được hàm số ρ(α) = α||xδα − x+ || là liên tục, đơn điệu không giảm. Nếu A liên tục tại x+ thì: lim ρ(α) = 0, lim ρ(α) = ||A(x+ ) − fδ || α→∞ α→∞ Hơn thế nữa, bằng lập luận tương tự dễ dàng kiểm tra nếu ||A(x+ ) − fδ || > Kδ p K > 2; 0 < p ≤ 1 thì tồn tại một giá trị bé nhất α = α(δ) sao cho: ||A(xδα(δ) ) − f (δ)|| = Kδ p và (K − 1)δ p /α(δ) ≤ 2||y0 − x+ ||. Do đó khi 0 < p < 1 ta có δ/α(δ) ≤ 2||y − x+ ||δ 1−p /(K − 1) → 0 khi δ → 0. Nên J liên tục yếu thì xδα(δ) → y∗ ∈ S ( xem [1], [2]). Rất tiếc lớp không gian Banach thực, vô hạn chiều có J với các tính chất trên là rất nhỏ ( duy nhất lp ). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là thuật toán (2.2) có thể áp dụng cho không gian Banach khác được không ?. Trong [1-3] chúng ta biết sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh xδα tới nghiệm của (2.1) trong không gian Banach, không có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu J. Khi A là liên tục yếu: ||A(x) − A(y∗ ) − QA0 (y∗ )∗ J(x − y∗ )|| ≤ τ ||A(x) − A(y∗ )|| ∀y ∈ E (2.4) Ở đây τ là hằng số dương, A0 (x) kí hiệu là đạo hàm Fréchet của A tại x ∈ E và Q là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E ∗ và tồn tại phần tử v ∈ E sao cho x+ − y∗ = A0 (y∗ )v (2.5) Trong luận văn này không yêu cầu tính liên tục yếu của J, chúng tôi chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán (2.2) trong không gian Banach lồi chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá tốc độ hội tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh, khi tham số hiệu chỉnh là lựa chọn cho trước. Một số kiến thức cần chuẩn bị cho việc chứng minh kết quả. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn thực. Cho S1 (0) := {x ∈ E : kxk = 1} . Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 17 Không gian E gọi có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc trơn) nếu giới hạn ||x + ty|| − ||x|| t→0 t lim tồn tại với x, y ∈ S1 (0). Không gian E gọi là chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đều với x ∈ S1 (0). Không gian E gọi lồi chặt nếu x, y ∈ S1 (0) với x 6= y ta có: ||(1 − λ)x + λy|| < 1 ∀λ ∈ (0, 1) Chúng ta biết rằng (xem [1-3]) nếu E là trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị. Nếu chuẩn của E là khả vi Gâteaux đều thì ánh xạ đối ngẫu là liên tục yếu đều trên tập hợp giới nội của không gian E. Trong phần tài liệu kí hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát đơn trị là j. Cho µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l∞ và cho (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ . Ta viết µk (ak ) thay cho µ((a1 , a2 , ...)). Gọi µ là giới hạn Banach khi µ thỏa mãn ||µ|| = µk (1) = 1 và µk (ak+1 ) = µk (ak ) với mỗi (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ . Đối với giới hạn Banach µ ta có: lim inf ak ≤ µk (ak ) ≤ lim sup ak k→∞ k→∞ với mọi (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ . Nếu a = (a1 , a2 , ...) ∈ l∞ , b = (b1 , b2 , ...) ∈ l∞ và ak → c (tương ứng ak − bk → 0), khi k → ∞, ta có µk (ak ) = µ(a) = c (tương ứng µk (ak ) = µk (bk )). Bổ đề 2.1.1. Cho C là tập lồi của không gian Banach E, có chuẩn là khả vi Gâteaux đều. Cho {xk } là giới nội của E, cho z là phần tử của C và µ là giới hạn Banach. Khi đó µk ||xk − z||2 = min µk ||xk − u||2 u∈C nếu và chỉ nếu µk hu − z, j(xk − z)i ≤ 0 với mọi u ∈ C. Với một ánh xạ m-J-đơn điệu A trong E và phần tử cố định bất kỳ f ∈ E, ta có thể xây dựng một ánh xạ u = Tf (x) bằng Af (u) + u = x, Af (.) = A(.) − f Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu (2.6) http://www.lrc.tnu.edu.vn/