Tài liệu Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không chỉnh

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ MỴ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ MỴ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy TS. Lâm Thùy Dƣơng THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu 1 Lời nói đầu 2 Chương 1. Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 4 1.1 1.2 1.3 Không gian Banach. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Một số tính chất của không gian Hilbert . . . . . . . . 7 Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Toán tử đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Toán tử đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 2. Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 25 2.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ii 2.3 2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Sự tồn tại toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh . . . . . . 28 2.2.3 Sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . 31 2.2.4 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iii Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy và TS. Lâm Thùy Dương. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, cùng các giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán của trường Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa 2014–2016) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu. Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Mỵ 1 Bảng ký hiệu R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu của X C tập con đóng lồi của H A toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu của toán tử A Fix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S PC (x) phép chiếu mêtric của điểm x trên tập C hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y δC (.) hàm chỉ trên C kxk chuẩn của vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn ⇀ x xn hội tụ yếu đến x I ánh xạ đơn vị của H 2 Lời nói đầu Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do tính không ổn định này của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kỳ trong lời giải. Đề tài luận văn nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử A(x) = f , (1) trong đó A : X −→ X ∗ là một toán tử đơn điệu đơn trị từ không gian Banach phản xạ X vào không gian liên hợp X ∗ của X. Để giải loại bài toán này, ta phải sử dụng những phương pháp ổn định, sao cho khi sai số của các dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Năm 1963, A.N. Tikhonov [5] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Nội dung chủ yếu của phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xαh,δ của phiếm hàm Tikhonov Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + α kx∗ − xk2 (2) 3 trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ , x∗ là phần tử cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah , fδ ) là xấp xỉ của (A, f ). Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov δ và chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh, α (h,δ ) dần tới nghiệm chính xác của bài toán (1) khi h và δ dần tới không. Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó khăn trong trường hợp bài toán phi tuyến. Đối với lớp bài toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X → X ∗ , F. Browder [3] đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tư tưởng chủ yếu của phương pháp do F. Browder đề xuất là sử dụng một toán tử B : X → X ∗ có tính chất đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày lại phương pháp giải ổn định (phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov) phương trình toán đơn điệu với việc sử dụng toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh trong bài báo "Regularization by linear operators" của Giáo sư Nguyễn Bường công bố trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica. Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản về bài toán đặt không chỉnh và phương trình toán tử đơn điệu. Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh. 4 Chương 1 Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Chương này trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của không gian Banach, không gian Hilbert thực; khái niệm và tính chất của toán tử tuyến tính; toán tử đơn điệu mạnh và một số ví dụ minh họa. Các kiến thức của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2]. 1.1 Không gian Banach. Không gian Hilbert Mục này giới thiệu khái niệm và một số tính chất của không gian Banach, không gian Hilbert và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các điều kiện sau: (1) kxk > 0 với mọi x 6= 0; kxk = 0 ⇔ x = 0; (2) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác); (3) kα xk = |α |kxk với mọi x ∈ X, α ∈ R. Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach. 5 Định nghĩa 1.1.2. Không gian L(X, R)-tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của X, ký hiệu là X ∗ . Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là không gian định chuẩn trên R, X ∗ là không gian liên hợp của X và gọi X ∗∗ = L(X ∗ , R) là không gian liên hợp thứ hai của X. Ta cho tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên X ∗∗ nhờ hệ thức hx∗∗ , f i = h f , xi, với mọi f ∈ X ∗∗ . Ở đây h f , xi là ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ta có kxk = kx∗∗ k. Đặt h(x) = x∗∗ , nếu h : X −→ X ∗∗ là toàn ánh thì không gian X được gọi là không gian phản xạ. Ví dụ 1.1.4. Các không gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian l p , L p [a, b], 1 < p < ∞ là các không gian Banach phản xạ. Định lý 1.1.5. Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: (i) X là không gian phản xạ; (ii) Mọi dãy bị chặn trong X đều có một dãy con hội tụ yếu. Ký hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach X. Định nghĩa 1.1.6. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm x, y ∈ SX , x 6= y, suy ra k(1 − λ )x + λ yk < 1 ∀λ ∈ (0, 1). Điều này có nghĩa là mặt cầu đơn vị SX không chứa đoạn thẳng nào. Điều x+y này cũng có nghĩa là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm x, y phân 2 biệt trên mặt cầu đơn vị thì không nằm trên mặt cầu đơn vị. Nói cách khác nếu x, y ∈ SX : kxk = kyk = k x+y 2 k, thì x = y. 6 Ví dụ 1.1.7. Không gian X = Rn với chuẩn kxk2 được xác định bởi kxk2 =  n ∑ x2i i=1 1/2 , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là không gian lồi chặt. Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn kxk1 xác định bởi kxk1 = |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn không phải là không gian lồi chặt. Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, . . . , 0), y = (0, 1, 0, . . . , 0). Ta thấy x 6= y và kxk1 = kyk1 = 1 nhưng kx + yk1 = 2. Định nghĩa 1.1.8. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε ∈ (0, 2] và các bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thỏa mãn thì tồn tại δ = δ (ε ) > 0 sao cho k(x + y)/2k ≤ 1 − δ . Điều này có nghĩa là nếu x, y là các điểm nằm trên mặt cầu SX hoặc nằm trong hình cầu đơn vị đóng BX := {x ∈ X : kxk ≤ 1} với kx − yk ≥ ε > 0 thì trung điểm của đoạn nối x, y nằm trong mặt cầu và khoảng cách từ điểm x+y 2 đến mặt cầu nhỏ nhất là δ . Chú ý 1.1.9. (i) Không gian lồi chặt chưa chắc đã lồi đều; (ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ nhưng chưa chắc lồi đều. Định nghĩa 1.1.10. (i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi Gâteaux nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn kx + tyk − kxk t→0 t lim (1.1) tồn tại với x ∈ SX ký hiệu giới hạn đó là hy, ▽kxki, thì ▽kxk được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn. 7 (ii) Chuẩn của X được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SX , giới hạn (1.1) đạt được đều với mọi x ∈ SX . (iii) Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SX , giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SX . (iv) Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi x, y ∈ SX . ∗ Định nghĩa 1.1.11. Ánh xạ Jq : X → 2X , q > 1 (nói chung là đa trị) xác định bởi Jq x = {uq ∈ X ∗ : huq , xi = kuq kkxk, kuq k = kxkq−1 }, được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian Banach X. Khi q = 2, ánh xạ J2 được ký hiệu là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Tức là Jx = {u ∈ X ∗ : hu, xi = kukkxk, kuk = kxk}, x ∈ X. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach. Khẳng định này được suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lý Hahn–Banach. Chú ý 1.1.12. Trong không gian L p [0, 1] (1 < p < ∞), ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được xác định bởi 1.1.2  |x| sng(x)/kxk, Jx = 0 nếu x 6= 0, nếu x = 0. Một số tính chất của không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.13. Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R. Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào trường R, ký hiệu là h., .i, thỏa mãn các điều kiện sau: (a) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H. 8 (b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H. (c) hα x, yi = α hx, yi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R. (d) hx, xi > 0 nếu x 6= 0 và hx, xi = 0 nếu x = 0. Nhận xét 1.1.14. Từ Định nghĩa 1.1.13 ta suy ra (1) hx, α yi = α hy, xi với mọi x, y ∈ H và mọi α ∈ R; (2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z ∈ H. Định nghĩa 1.1.15. Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là một không gian tiền Hilbert. Định lý 1.1.16. (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau, được gọi là bất đẳng thức Schwarz: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi. (1.2) Chứng minh. Với mọi số thực α và với mọi x, y ∈ H ta có 0 ≤ hx − α y, x − α yi = hx, xi − 2α hx, yi + α 2 hy, yi. Từ đây suy ra ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ 0 với mọi x, y ∈ H. Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với mọi x, y ∈ H.  Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.2) xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính. 9 Định lý 1.1.17. Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định bởi kxk = p hx, xi (1.3) với mọi x ∈ H. Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng. Hàm số ||x|| = là một chuẩn trên H. p hx, xi với mọi x ∈ H, Thật vậy, từ điều kiện (d) của Định nghĩa 1.1.13 ta có kxk > 0 nếu x 6= 0 và ||x|| = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (a) và (c) của Định nghĩa 1.1.13 ta suy ra ||α x|| = |α |.||x|| với mọi α ∈ R và mọi x ∈ H. Từ bất đẳng thức Schwarz (1.2) và cách định nghĩa chuẩn ta có |hx, yi| ≤ ||x||.||y|| với mọi x, y ∈ H. (1.4) Từ đó hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi ≤ ||x||2 + 2||x||.||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2 với mọi x, y ∈ H. Suy ra ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ H.  Định nghĩa 1.1.18. Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.3) thì H được gọi là không gian Hilbert thực. Ví dụ 1.1.19. Không gian n l = x = {xn }n ∈ R : 2 ∞ ∑ |xn| n=1 2 < +∞ o 10 là không gian Hilbert với tích vô hướng ∞ hx, yi = ∑ xn yn , x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l 2 n=1 và chuẩn p ||x|| = hx, xi = s ∞ ∑ |xn |2 = n=1  ∞ ∑ |xn| n=1 1 2 2 . Ví dụ 1.1.20. Không gian L2 [a, b] các hàm bình phương khả tích trên đoạn [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng hx, yi = Z b x(t)y(t)dt a và chuẩn kxk =  Zb 2 |x(t)| dt a 1/2 trong đó x = x(t), y = y(t) ∈ L2 [a, b]. Ví dụ 1.1.21. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b] xét tích vô hướng hx, yi = Z b x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b]. a Không gian C[a, b] với chuẩn ||x|| = Z a b 2 |x(t)| dt 1 2 là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert. 11 Thật vậy, cho [a, b] = [0, 1] và xét dãy xn (t) như sau:    1,    xn(t) = 0,     n + 1 − 2nt, 0≤t ≤ 1 2 1 2 1 + 2n ≤t ≤1 1 2 1 ≤ t ≤ 12 + 2n Ta có với mọi m > n: ρ (xn , xm ) = Z1 |xn (t) − xm (t)|dt = 0 1+ 1 2Z 2n |xn (t) − xm (t)|dt 1 2 Vì |xn (t) − xm (t)| ≤ 1 nên ρ (xn, xm ) ≤ 1/(2n) → 0, do đó {xn (t)} là một dãy cơ bản. Dễ thấy rằng dãy cơ bản này không hội tụ. R1 Thật vậy, giả sử xn (t) hội tụ tới một x(t) nào đó trong C[a, b], tức là |xn (t) − 0 xm (t)|dt → 0. Tích phân này có thể viết 1 Z2 |xn (t) − x(t)|dt + 0 Z1 |xn (t) − x(t)|dt, 1 2 cho nên ta phải có 1 Z2 |xn (t) − x(t)|dt → 0, 0 Z1 |xn(t) − x(t)|dt → 0. Z1 |xn (t) − 0|dt → 0 1 2 Nhưng rõ ràng 1 Z2 0 |xn (t) − 1|dt → 0, 1 2 12 Vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của xn (t) trong C[ 21 , 1]; x(t) và 0 cùng là giới hạn của xn (t) trong C[ 12 , 1]. Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra 1 1 x(t) = 1(0 ≤ t ≤ ), x(t) = 0( ≤ t ≤ 1). 2 2 Nhưng như thế thì x(t) không liên tục và không thuộc C[0, 1]. Do đó, dãy xn (t) không thể có giới hạn nào cả trong không gian C[0, 1] Định nghĩa 1.1.22. Dãy {xn}n∈N ∈ H được gọi là (i) hội tụ mạnh đến x0 ∈ H nếu nó hội tụ theo chuẩn, nghĩa là lim ||xn − x0 || = 0, n−→∞ ký hiệu xn −→ x0 hay lim xn = x0. n−→∞ (ii) hội tụ yếu đến x ∈ H nếu với mọi y ∈ H ta có lim hxn, yi = hx, yi, n→∞ w ký hiệu là xn −→ x hoặc xn ⇀ x, khi n −→ ∞. Chú ý 1.1.23. Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh về x thì nó cũng hội tụ yếu về x, nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ 1.1.24. Cho {en } là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert thực H. Khi đó, dãy {en } hội tụ yếu về 0 nhưng không hội tụ mạnh về 0. Định lý 1.1.25. Giả sử {xn}n∈N và {yn }n∈N là hai dãy của không gian tiền Hilbert thực H lần lượt hội tụ mạnh đến x0 , y0 ∈ H. Khi đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i. n→∞ Chứng minh. Giả sử lim xn = x0, lim yn = y0 trong không gian Hilbert H. Ta n→∞ n→∞ 13 sẽ chứng minh lim hxn , yn i = hx0 , y0 i trong n→∞ R. Thật vậy, |hxn , yn i − hx0 , y0 i| = |hxn , yn i + hxn , y0 i − hxn , y0 i − hx0 , y0 i| ≤ |hxn , yn − y0 i| + |hxn − x0 , y0 i| ≤ ||xn ||.||yn − y0 || + ||xn − x0 ||.||y0 ||. Vì dãy {xn }n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0 sao cho ||xn || ≤ M với mọi n ∈ N. Do đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i. n→∞  Nhận xét 1.1.26. Tích vô hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên H × H. Định lý 1.1.27. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta luôn có đẳng thức hình bình hành sau: ||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2 ). Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có ||x + y||2 = hx + y, x + yi = ||x||2 + ||y||2 + 2hx, yi và ||x − y||2 = hx − y, x − yi = ||x||2 + ||y||2 − 2hx, yi. Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh.  Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quả sau. 14 Hệ quả 1.1.28. Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius:   y + z 2 2 2 2 ||x − y|| + ||x − z|| = 4 x − + ||y − z||2 . 2 Nhận xét 1.1.29. (ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành) (1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo. (2) Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành. Ngược lại nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức hình bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ tồn tại một tích vô hướng h., .i sao cho chuẩn được xác định nhờ tích vô hướng. Điều này được thể hiện qua định lý sau. Định lý 1.1.30. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H. Nếu đặt  1 2 2 hx, yi = ||x + y|| − ||x − y|| , 4 (1.5) thì h., .i là một tích vô hướng trên H và ta có hx, xi = ||x||2 . Chứng minh. Ta chứng minh h., .i xác định như trên thỏa mãn các điều kiện trong định nghĩa về tích vô hướng. Thật vậy, các điều kiện (a) và (d) trong Định nghĩa 1.1.13 hiển nhiên được thỏa mãn. Đặt  1 2 2 p(x, y) = ||x + y|| − ||x − y|| . 4 Để ý rằng, h., .i : H × H −→ R là một hàm liên tục và p(x, 0) = 0, p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H. 15 Với mọi x, y, z ∈ H ta có
4 p(x, z) + p(y, z) = ||x + z||2 − ||x − z||2 + ||y + z||2 − ||y − z||2 x + y  ⇔ p(x, z) + p(y, z) = 2p ,z . 2 (1.6) Trong đẳng thức (1.6) lấy y = 0 được x  p(x, z) = 2p , z . 2 Như vậy ta có (1.7) x + y  , z = p(x + y, z). 2p 2 Nghĩa là p(x, z)+ p(y, z) = p(x+y, z). Vậy điều kiện (b) trong Định nghĩa 1.1.13 được chứng minh. Thay thế x bằng 2x trong (1.7) ta được 2p(x, z) = p(2x, z) ∀x, y, z ∈ H. Bằng quy nạp ta kiểm tra được p(nx, z) = np(x, z) ∀n ∈ N và bằng lập luận như trên ta có p(rx, z) = r p(x, z) ∀r ∈ Q và x, z ∈ H. Nhờ tính liên tục của chuẩn ||.|| suy ra hàm p(., z) liên tục, qua giới hạn ta có p(ax, z) = ap(x, z) ∀x, z ∈ H và Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên hx, xi = p(x, x) = ||x||2 . a ∈ R.