Tài liệu Toán tử sai phân và ứng dụng vào giải toán sơ cấp

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ TRANG TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ TRANG TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS. Trịnh Thanh Hải (ĐHKH - ĐHTN), thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K11, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệm đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Trang i Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số tính chất của toán tử sai phân . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Phương trình sai phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán dành cho học sinh khá, giỏi 2.1 20 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tìm số hạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tính tổng . . . 23 2.3 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán về bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán chia hết, phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài tổ hợp . . . . . . 34 2.6 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán về giới hạn 2.7 Một số bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 36 54 Tài liệu tham khảo 55 ii Mở đầu Toán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị khi ta dựa vào định nghĩa, tính chất của toán tử sai phân để giải quyết một số bài toán sơ cấp, đơn cử: • Bài toán chia hết, phần nguyên; • Bài toán đếm của giải tích tổ hợp; • Bài toán về giới hạn hàm số; • Bài toán về bất đẳng thức; • Tính tổng của một dãy số; • Xác định số hạng tổng quát của một dãy số. Ngoài việc vận dụng phương pháp sai phân vào các dạng bài toán kể trên, ta còn có thể tìm thấy rất nhiều ví dụ minh họa việc vận dụng phương pháp sai phân vào giải các bài toán thực tiễn. Với mong muốn tìm hiểu, sưu tầm việc vận dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi THPT để vận dụng vào quá trình dạy học của bản thân, Em đã lựa chọn đề tài về ứng dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán sơ cấp. Luận văn có các nhiệm vụ chính sau: • Tìm hiểu về định nghĩa và các tính chất của toán tử sai phân; • Đọc hiểu ý tưởng vận dụng toán tử sai phân vào giải môt số bài toán sơ cấp được trình bày trong bài báo [5], [6]. • Sưu tầm một số bài toán, đề thi tổ hợp dành cho học sinh giỏi mà những bài tập đó có thể giải bằng cách vận dụng khái niệm, tính chất của toán tử sai phân; 1 • Trình bày tường minh lời giải một số bài toán trên cơ sở vận dụng khái niệm, tính chất của toán tử sai phân. Ngoài ra, luận văn cũng trình bày các cách giải khác nhau của cùng một bài toán và so sánh những phương pháp giải với lời giải khi ứng dụng tính chất của toán tử sai phân đó người đọc có thể đưa ra nhận xét, so sánh giữa các lời giải với nhau. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương 1 được chúng tôi sử dụng để nhắc lại các kiến thức thường được trình bày trong các giáo trình giảng dạy ở bậc đại học. Nội dung chương 1 được chúng tôi tham khảo từ các tài liệu [4] - [7]. 1.1 Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1. [5]. Cho h là một số thực khác 0 và hàm f (x). Khi f (x + h) và f (x) là các số thực, ta gọi ∆h f (x) = f (x + h) − f (x) là sai phân bậc nhất của f tại x với bước nhảy h. Cho các hàm f, g và số thực c, ta có ∆h (f + g) = ∆h f (x) + ∆h g(x) và ∆h (cf (x)) = c∆h f (x). Ký hiệu ∆0h f (x) hoặc If (x) thay cho f (x). Với bất kỳ số nguyên n > 1, chúng ta định nghĩa sai phân bậc n bởi ∆nh f (x) = ∆n (∆n−1 h f )(x). Ví dụ ∆2h f (x) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x), ∆3h f (x) = f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x). 3 Bằng quy nạp, chúng ta có thể chứng minh được ∆nh f (x) = n X (−1)n−k Cnk f (x + kh), (1.1) k=0 trong đó Cn0 = 1. Với k > 0, ta có  n  n(n − 1)...(n − k) k Cn = = . k k! Chú ý rằng với nhiều công thức, chúng ta có thể cho n là các số thực. Nếu h = 1 ta viết ∆ và bỏ qua chỉ số dưới h. Ví dụ, trong trường hợp một dãy {xn }, chúng ta có ∆xn = xn+1 − xn . Nhận xét. (i) Cho hàm f (x), n = 0, 1, 2, ..., f (x + n) = n X Cnk ∆k f (x); k=0 trong trường hợp đặc biệt, nếu ∆m f (n) là hằng số khác 0 với mỗi số nguyên dương n thì f (n) = n X Cnk ∆k f (0). k=0 (ii) Nếu P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn , với an 6= 0 thì với mọi x, ta có: ∆nh P (x) = an n!hn và ∆m h P (x) = 0, với m > n. Với k là một số nguyên dương cho trước. Như một hàm của x, Cxk có các tính chất: k (a) Cxk−1 + Cxk = Cx+1 (vì ∆Cxk = Cxk−1 ). (b) Ta có ∆r Cxk = Cxk−r , với 0 6 r 6 k và ∆r Cxk = 0, với r > k . k+1 (c) C1k + C2k + ... + Cnk = Cn+1 . Tương tự (i), nếu f (x) là đa thức có bậc m thì f (x) = m X Cxk ∆k f (0). k=0 4 (1.2) 1.2 Một số tính chất của toán tử sai phân Tính chất 1.2.1. [4]. Nếu c = const thì ∆c = 0. Chứng minh. Nếu c = const thì ∆c = c − c = 0.  Tính chất 1.2.2. [4]. Ta có ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0(m > n). Chứng minh. Ta có ∆(xn ) = (x + h)n − xn = n.hxn−1 + ... ∆2 (xn ) = ∆(nxn−1 h) + ... = n.h∆(xn−1 ) + ...n(n − 1).h2 (xn−2 ) + ... ... ∆n (xn ) = n!hn . Từ Tính chất 1.4.2, suy ra ∆m (xn ) = 0, ∀m > n. Tính chất 1.2.3. [4]. Nếu P (x) là đa thức bậc n ta có: ∆P (x) = P (x + h) − P (x) n X hi (i) .p (x). = i! i=1 Tính chất 1.2.4. [4]. f (x + nh) = n X Cni ∆i f (x). i=0 Chứng minh. Ta có f (x + h) = (1 + ∆)f (x) = f (x) + ∆f (x). Sử dụng liên tiếp công thức trên, ta được: f (x + nh) = (1 + ∆)f (x + (n − 1)h) = (1 + ∆)2 f (x + (n − 2)h) = ... = (1 + ∆)n f (x) n X = Cni ∆i f (x). i=0  5 Tính chất 1.2.5. [4]. n ∆ f (x) = n X Cni (−1)i Cin f (x + (n − i)h). i=0 Chứng minh. Ta có ∆n f (x) = [(1 + ∆) − 1]n f (x) n X = (−1)i Cin (1 + ∆)n−i f (x) = i=0 n X (−1)i Cin f (x + (n − i)h). i=0  Tính chất 1.2.6. [4]. Giả sử f ∈ C n [a; b] và (x; x + nh) ⊂ θ(0; 1), khi đó: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh); θ ∈ (0; 1). n h Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Với n = 1, ta có công thức số gia hữu hạn: f (x + h) − f (x) = f 0 (x + θh). h Giả sử công thức đúng với k = n, nghĩa là: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh). n h Ta chứng minh công thức trên đúng với k = n + 1. Thật vậy, ta có: ∆n+1 f (x) = ∆[∆n f (x)] = ∆[hn f (n) (x + θ0 nh)], trong đó θ0 ∈ (0; 1). Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f (n) (x + θ0 nh) ta có ∆n+1 f (x) = hn ∆(n) (x + θ0 nh) = hn [f (n) (x + θ0 nh + h) − f (n) (x + θ0 nh)] = h(n+1) f (n+1) (x + θ0 nh + θ”h); với (θ0 , θ” ∈ (0; 1)). Đặt θ = θ0 n+θ” n+1 ∈ (0; 1), ta có ∆(n+1) f (x) = f (n+1) (x + θ(n + 1)h).  6 Tính chất 1.2.7. [4]. Nếu f (x) xác định trên tập số nguyên và h = 1; kí hiệu xk = f (k); k = 0, 1, ... thì n X ∆xi = xn+1 − x1 . i=1 Chứng minh. Ta có: n X ∆xi = (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ) + ... + (xn+1 − xn ) = xn+1 − x1 , i=1 với ∆xi = xi+1 − xi . Vậy n X ∆xi = xn+1 − x1 . i=1  Giả sử ∆ là toán tử sai phân D trên hàm giá trị thực. Với hàm giá trị thực f tồn tại giới hạn: df f (x + h) − f (x) = lim . dx h→0 h Cho h = 1 và thay biến x bằng n ta có toán tử sai phân ∆. Như vậy ∆ có các tính chất của toán tử sai phân D.Ta xét một số tính chất thông qua các định lý sau với D(xn ) = nxn−1 . D(f (x)) = n Định lý 1.2.1. [7]. Nếu f (x) = x − = x(x − 1)...(x − n + 1) thì ∆f (x) = nx n−1 − . n Trong đó x − là kí hiệu của giai thừa dưới. Chứng minh. Ta có ∆f (x) = f (x + 1) − f (x) n n ∆f (x) = (x + 1) − − (x) − ∆f (x) = (x + 1)x...(x + 1 − n + 1) − x(x − 1)...(x − n + 1) ∆f (x) = (x + 1)x...(x − n + 2) − x(x − 1)...(x − n + 1) ∆f (x) = ([x + 1] − [x − n + 1])(x(x − 1)...(x − n + 2)) ∆f (x) = nx n−1 − Nếu f (x) = ex thì . df dx = ex . Khi đó ta có thể tìm hàm f sao cho ∆f = f . Từ đó ta có định lý sau. 7 Định lý 1.2.2. [7]. Nếu f (x) = 2x thì ∆f (x) = ∆2x = 2x . Chứng minh. ∆f (x) = ∆2x ∆f (x) = 2x+1 − 2x ∆f (x) = 2x (2 − 1) ∆f (x) = 2x .     x x Định lý 1.2.3. [7]. Nếu f (x) = k thì ∆f (x) = k−1 Chứng minh. Dựa vào tính chất dương và tương tự Định lý 1.2.1 ta có x ∆f (x) = ∆ k k x− ∆f (x) = ∆ k! k 1 ∆f (x) = .∆x − k! k−1 1 ∆f (x) = .kx − . k! k−1 x− ∆f (x) = (k − 1)!  x  ∆f (x) = . k−1 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính Định nghĩa 1.3.1. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính của sai phân các cấp dạng: F (un , ∆un , ∆2 un , ..., ∆k un ) = 0, trong đó ∆k un là sai phân cấp k của un , k là bậc của phương trình sai phân. Định nghĩa 1.3.2. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm un là một hệ thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm un tại các điểm khác nhau. Phương trình sai phân tuyến tính tổng quát có dạng: a0 un+k + a1 un+k−1 + ... + ak un = fn , 8 (1.3) trong đó a0 , a1 , ..., ak (với a0 6= 0, ak 6= 0) là các hệ số biểu thị bởi hằng số cho trước hay các hàm số của n, fn là một hàm số của biến n, un là ẩn số cần tìm. Định nghĩa 1.3.3. [4]. + Nếu fn ≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất; + Nếu fn 6≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất; + Nếu fn ≡ 0 và a0 , a1 , ..., ak là các hằng số, a0 6= 0, ak 6= 0 thì (1.3) trở thành a0 un+k + a1 un+k−1 + ... + ak un = 0. (1.4) Đây là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng. + Nếu a0 , a1 , ..., ak là các hàm số của n thì (1.3) là phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên. Định nghĩa 1.3.4. [4]. + Hàm số un thỏa mãn (1.3) là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.3). + Hàm số un thỏa mãn (1.4) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.4). Nếu với mọi tập giá trị ban đầu u0 , u1 , ..., uk−1 ta đều xác định được duy nhất các tham số C1 , C2 , ..., Ck để nghiệm un trở thành nghiệm riêng của (1.4), nghĩa là đồng thời thỏa mãn (1.4) và un = ui , i = 0, k − 1. Cấu trúc nghiệm: Định lý 1.3.1. [4]. Nghiệm tổng quát của (1.3) là un = un + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của (1.4), u∗n là nghiệm riêng của (1.3). Định lý 1.3.2. [4]. Nghiệm tổng quát của (1.4) có dạng: un = C1 un1 + C2 un2 + ... + Ck unk , trong đó un1 , un2 , ..., unk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.4) và C1 , C2 , ..., Ck là các hằng số tùy ý. 9 Định lý 1.3.3. [4]. Xét phương trình đặc trưng: a0 λk + a1 λk−1 + ... + ak = 0. (1.5) + Trường hợp 1. Nếu (1.5) có k nghiệm thực khác nhau là λ1 , λ2 , ..., λk thì hệ {λn1 , λ,2 ..., λnk } là hệ k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.5). Khi đó nghiệm tổng quát của (1.5) là un = C1 λn1 + C2 λ2 + ... + Ck λnk , trong đó Ci , i = 1, 2, ..., k là các hằng số tùy ý. + Trường hợp 2. Nếu (1.5) có nghiệm thực λj bội s thì ngoài nghiệm λnj ta bổ sung thêm s − 1 nghiệm nλnj , n2 λnj , ..., ns−1 λnj cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.5). Khi đó un = k X Ci λni + s−1 X Cji ni λnj , i=1 j6=i=1 trong đó Cji và Ci là các hằng số tùy ý. + Trường hợp 3. Nếu (1.5) có nghiệm phức λj = r(cos ϕ + i sin ϕ), tanϕ = b/a, r = |λj | = √ a2 + b2 thì ta lấy thêm các nghiệm rn cos nϕ, rn sin nϕ. Khi đó un = k X Ci λni + rn (Cj1 cos nϕ + Cj2 sin nϕ), j6=i=1 trong đó Ci , Cj1 , Cj2 (i = 1, 2, ..., k) là các hằng số tùy ý. Phương pháp tìm nghiệm riêng Phương pháp 1. Phương pháp chọn (hệ số bất định) Trong một số trường hợp đặc biệt hàm của fn , ta có thể tìm u∗n một cách đơn giản. Để xác định các tham số trong các dạng nghiệm ta dùng phương pháp hệ số bất định. * Trường hợp 1. Nếu fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N + và (1.5) không có nghiệm λ = 1 thì ta chọn u∗n = Qm (n). + và (1.5) có nghiệm λ = 1 bội s thì ta chọn u∗n = ns Qm (n). * Trường hợp 2. Nếu fn = αn Pm (n), α 6= 0, m ∈ N, Pm (n) là đa thức bậc m của n 10 + và (1.5) có nghiệm thực khác α thì ta chọn u∗n = αn Qm (n). + và (1.5) có nghiệm λ = α bội s thì ta chọn u∗n = ns αn Qm (n). * Trường hợp 3. Nếu fn = α cos nu + β sin nu, với α, β là các hằng số thì ta chọn u∗n = a cos nu + b sin nu. * Trường hợp 4. Nếu fn = fn1 + fn2 + ... + fns thì ta chọn u∗n = u∗n1 + u∗n2 + ... + u∗ns , trong đó u∗ni ứng với các hàm fni , i = 1, s. Phương pháp 2. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrenge Nghiệm tổng quát là un = C1 (n)un1 + C2 (n)un2 + ... + Ck (n)unk . Phương pháp 3. Phương pháp đưa về dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k, k > 3: un+k = a1 un+k−1 + a2 un+k−2 + ... + ak un + fn . Trong đó a1 , a2 , ..., ak là các hệ số; un , un+1 , ..., un+k là các ẩn; u0 , u1 , ..., uk−1 là các gia trị ban đầu. Phương trình đã cho luôn đưa được về dạng chính tắc → − → − − y n+1 = A→ y n + f n. Trong đó      uk−1 un+k f0  − 0 u  u   →  k−2   n+k−1  → − =  , f n =  , y 0 =  ...  ...   ...  un+1 0 u0  → − y n+1 và  a1  1  A= 0  ...  0 a2 0 1 ... 0 ... ak−1 ... 0 ... 0 ... ... ... 0 11  ak  0  0  ...   1 Với mọi ma trận A đều tìm được ma trận Q không suy biến sao cho QAQ−1 = Λ. Trong đó Λ là ma trận đường chéo Gioocđan. Thực hiện phép đổi biến → − → − → − − x n = Q→ y n, F n = Q f n, ta có n X → − − − → − − Λn−k F k−1 , → y n = Q−1 → x n. x n = Λn → x0+ k=1 Từ đó xác định được un . Định nghĩa 1.3.5. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng: aun+1 + bun = fn , với a, b 6= 0 hoặc un+1 = qun + fn , q 6= 0. + Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. + Nếu fn 6≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. + Nếu a, b hay q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng. + Nếu a, b hay q là các hàm của n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên. Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất có dạng: un = un + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất có dạng un = Cλn , với λ = −b/a hay λ = q . Để tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất, ta xét các trường hợp sau: * Trường hợp 1. Nếu fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N + và λ 6= 1 thì u∗n = Qm (n). + và λ = 1 thì u∗n = nQm (n). * Trường hợp 2. Nếu fn = αn Pm (n), α 6= 0, m ∈ N, Pm (n) là đa thức bậc m của n + và λ 6= α thì u∗n = αn Qm (n). 12 + và λ = α thì u∗n = nαn Qm (n). * Trường hợp 3. Nếu fn = α cos nu+β sin nu, α2 +β 2 6= 0, u 6= kπ, k ∈ Z thì ta có u∗n = a cos nx + b sin nx. Ví dụ 1.3.1. Giải phương trình un+1 = 2un + n + 1, ∀n ∈ N∗ , với u1 = 1. Giải. Xét phương trình đặc trưng λ − 2 = 0 ⇔ λ = 2. Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho có dạng: un = un + u∗n , trong đó un = C2n , u∗n = an + b. Thay u∗n = an + b vào phương trình ban đầu ta có a(n + 1) + b − 2(an + b) = n + 1 ⇔ −an − b + a = n + 1, ∀n ∈ N∗ . Suy ra a = −1, b = −2. Do đó u∗n = −n − 2. Vậy un = C2n − n − 2. Vì u1 = 1 nên 1 = 2C − 3 ⇔ C = 2. Vậy un = 2n+1 − n − 2. Định nghĩa 1.3.6. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 có dạng: aun+2 + bun+1 + cun = fn , a, b, c 6= 0 hoặc un+2 = pun+1 + qun + fn , q 6= 0. + Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất. + Nếu fn 6≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. + Nếu a, b, c hay p, q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng. + Nếu a, b, c hay p, q là các hàm của n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên. Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất có dạng: un = un + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. 13 Để tìm nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, ta giải phương trình đặc trưng aλ2 + bλ + c = 0. + Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 , λ2 thì số hạng tổng quát có dạng: un = c1 λn1 + c2 λn2 . + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ2 = λ thì số hạng tổng quát có dạng: un = (c1 + nc2 )λn . + Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì số hạng tổng quát có dạng: un = rn (c1 cos nϕ + c1 sin nϕ), trong đó r= √ B −b A2 + B 2 , ϕ = arctan , A = ,B = A 2a p |∆| . 2a Để tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất, ta xét các trường hợp sau: * Trường hợp 1. Nếu fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N + và λ 6= 1 thì u∗n = Qm (n), Qm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N. + và λ = 1 là nghiệm đơn thì u∗n = nQm (n). + và λ = 1 là nghiệm kép thì u∗n = n2 Qm (n). * Trường hợp 2. Nếu fn = αn Pm (n), α 6= 0, m ∈ N, Pm (n) là đa thức bậc m của n + và λ 6= α thì u∗n = αn Qm (n), Qm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N. + và λ = α là nghiệm đơn thì u∗n = nαn Qm (n). + và λ = α là nghiệm kép thì u∗n = n2 αn Qm (n). * Trường hợp 3. Nếu fn = Pm (n) cos αn+Q` (n) sin αn, với Pm (n), Q` (n) tướng ứng là các đa thức bậc m, ` của n. Ký hiệu k = max{m, `}. Ta thấy + Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì u∗n = Tk (n) cos αn + nRk (n) sin αn. 14 + Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 là nghiệm của phương trình đặc trưng thì u∗n = nTk (n) cos αn + Rk (n) sin αn. Ví dụ 1.3.2. Giải phương trình sai phân  u = 2, u = 5. 0 1 un+2 = 5un+1 − 6un , ∀n ∈ N. Giải. Xét phương trình đặc trưng λ2 − 5λ + 6 = 0 ⇔ λ = 2 hoặc λ = 3. Khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng un = c1 2n + c2 3n . Theo giả thiết  u = 2, 0 u1 = 5.  c + c = 2, 1 2 ⇔ 2c1 + 3c2 = 5.  c = 1, 1 ⇔ c2 = 1. Vậy un = 2n + 3n . Ví dụ 1.3.3. Giải phương trình un+2 = un+1 − un , ∀n ∈ N,∗ u1 = u2 = 1. Giải. Xét phương trình đặt trưng λ2 − λ + 1 = 0 có hai nghiệm phức liên hợp λ1,2 √ 1 ± 3i π π = = cos ± i sin . 2 3 3 Suy ra un = C1 cos nπ nπ + C2 sin . 3 3 Theo giả thiết u1 = u2 = 1 ta có  √
3 C 1
+ C =1 1 2 2 2 √

C2 − 1 + C2 3 = 1 2 Vậy 2  C = 0 1 √ ⇔ C2 = 2 3 3 √ nπ 2 3 un = sin . 3 3 15 Định nghĩa 1.3.7. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 có dạng: aun+3 + bun+2 + cun+1 + duu = fn , a, d 6= 0 hoặc un+3 = pun+2 + qun+1 + kuu + fn , k 6= 0. + Nếu fn = 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất. + Nếu fn 6= 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không thuần nhất. + Nếu a, b, c, d hay p, q, k là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 với hệ số hằng. + Nếu a, b, c, d hay p, q, k là các hàm của n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 với hệ số biến thiên. Định nghĩa 1.3.8. [4]. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không thuần nhất có dạng: un = un + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không thuần nhất. Cách tìm nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất: Giải phương trình đặc trưng: aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0. + Nếu phương trình đặc trưng có ba nghiệm phân biệt λ1 , λ2 , λ3 thì số hạng tổng quát của dãy có dạng: un = c1 λn1 + c2 λn2 + c3 λn3 . + Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm bội λ1 = λ2 = λ3 = λ thì số hạng tổng quát của dãy có dạng: un = (c1 n2 + c2 n + c3 )λn . + Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 và λ2 = λ3 = λ thì số hạng tổng quát của dãy có dạng: un = c1 λn1 + (c2 n + c3 )λn . 16