Tài liệu Toán tử đạo hàm trên không gian banach có trọng các hàm chỉnh hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN PHI MINH TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN PHI MINH TOÁN TỬ ĐẠO HÀM TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TRỌNG CÁC HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM TRỌNG TIẾN Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn và biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Phạm Trọng Tiến, người đã tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn này. Thầy không chỉ giúp em về mặt kiến thức mà còn giúp em cách trình bày vấn đề một cách rõ ràng và khoa học nhất có thể. Tiếp theo, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể thầy cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên đã dạy bảo em trong suốt hai năm học vừa qua. Cuối cùng em xin lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, và tập thể lớp cao học khóa 2015 -2017 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập vừa qua. Hà Nội, ngày 04 tháng 12 năm 2017 Học viên Nguyễn Phi Minh 1 Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 LỜI MỞ ĐẦU 3 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . 1.2 Các tính chất động lực học cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 9 2 Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm 12 2.1 Tính bị chặn của toán tử đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Tính compact của toán tử đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Tính chất động lực học của toán tử đạo hàm 32 3.1 Tính chất có tập điểm tuần hoàn trù mật . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Tính siêu lặp và tính trộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 KẾT LUẬN 40 Tài liệu tham khảo 41 2 LỜI MỞ ĐẦU Không gian có trọng các hàm chỉnh hình và các toán tử xác định trên đó đóng vai trò quan trọng lý thuyết xấp xỉ và lý thuyết phổ, trong giải tích phức và giải tích Fourier, trong phương trình tích chập và phương trình đạo hàm riêng, cũng như trong lý thuyết phân phối và siêu phân phối ([15]). Vì vậy chúng được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học và theo nhiều hướng khác nhau ([4], [5], [7], [8], [10], [11], [15] - [20], [23], [29], [31] - [34]). Tuy nhiên, đến năm 2008 mới có nghiên cứu và kết quả của Harutyunyan và Lusky trong [29] về tính bị chặn của toán tử đạo hàm D trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình trên hình cầu đơn vị và trên toàn bộ mặt phẳng phức. Dựa trên kết quả của Harutyunyan và Lusky, đã có nhiều bài báo nghiên cứu về các tính chất khác của toán tử đạo hàm trên các không gian có trọng này (xem [1] về tính bị chặn; [6], [7], [8], [16], [17] về tính hệ động lực và phổ). Dù tính compact của toán tử đạo hàm D có nhiều ứng dụng, nhưng lại không có nhiều nghiên cứu về tính compact của toán tử đạo hàm được thực hiện. Trên không gian có trọng các hàm nguyên, Bogachev trong [12] chỉ đưa ra điều kiện đủ để toán tử đạo hàm là compact. Động lực học tuyến tính được giới thiệu trong bài báo của Godefroy và Shapiro trong [24] và của Grosse-Erdmann trong [25], [26]. MacLane trong [35] đã chứng minh toán tử đạo hàm D là siêu lặp trên không gian các hàm chỉnh hình H(C). Dáng điệu của toán tử đạo hàm trên đại số cầu Hörmander các hàm nguyên được nghiên cứu bởi Bonet trong [13]. Luận văn sẽ trình bày các nghiên cứu và kết quả về tính bị chặn, tính compact và các tính chất động lực học của toán tử đạo hàm trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận thì luận văn được chia làm ba chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, các khái niệm và tính chất cơ bản của không gian có trọng các hàm chỉnh hình sẽ được trình bày chi tiết. Ngoài ra, khái niệm mở đầu về các tính chất động lực cơ bản cũng được đưa ra. Chương 2: Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm. Trong chương này, tác giả sẽ trình bày những nghiên cứu về tính bị chặn và tính compact của toán tử đạo hàm D trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình, đặc biệt là không gian trên hình cầu đơn vị D và trên toàn bộ mặt phẳng phức C. Các điều kiện cần và đủ cho hai tính chất này sẽ được đưa ra. Chương 3: Tính chất động lực của toán tử đạo hàm. Trong chương này, tác giả đưa ra điều kiện cần và đủ cho các tính chất động lực học của toán tử đạo hàm D trên không gian có trọng các hàm nguyên. Nội dung chính của luận văn được tham khảo trong tài liệu [1], [2], [14]. 3 MỤC LỤC Do thời gian làm luận văn có hạn và hiểu biết còn hạn hẹp nên mặc dù có nhiều cố gắng để hoàn thành luận văn này nhưng trong quá trình làm không thể trách khỏi mắc phải những sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp quý báu từ các thầy, cô và người đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình Trong phần này chúng ta sẽ đưa ra khái niệm và các tính chất cơ bản của không gian Banach có trọng các hàm chỉnh hình. Những kiến thức chuẩn bị ở đây sẽ được sử dụng trong toàn bộ luận văn. Cho G là một miền trong mặt phẳng phức C và H(G) là không gian gồm tất cả hàm chỉnh hình trên G với tôpô hội tụ đều trên các tập compact. Một hàm liên tục v : G → (0, ∞) được gọi là một hàm trọng trên G. Với một hàm trọng v , ta định nghĩa hai không gian có trọng các hàm chỉnh hình sau đây    |f (z)| <∞ , Hv (G) := f ∈ H(G) ||f ||v := sup z∈G Hv0 (G) v(z)  :=   f (z) f ∈ H(G) bị triệt tiêu khi z → ∂G , v(z) ở đây không gian Hv0 (G) cũng được trang bị bởi chuẩn k · kv và một hàm g được gọi là bị triệt tiêu khi z → ∂G, hay giới hạn lim g(z) = 0 có nghĩa là: với mọi z→∂G ε > 0, tồn tại một tập compact K trong G sao cho |g(z)| < ε với mọi z ∈ G \ K . Các tính chất cơ bản của hai không gian trên được trình bày trong mệnh đề sau đây. Mệnh đề 1.1.1. Các khẳng định sau là đúng. (1) Hv (G) là không gian Banach với chuẩn k · kv ; (2) Hv0 (G) là không gian con đóng của Hv (G). Chứng minh. (1). Dễ thấy, Hv (G) là không gian định chuẩn với chuẩn k · kv . Ta sẽ chỉ ra Hv (G) đầy đủ. Lấy (fn )n là một dãy Cauchy bất kỳ trong Hv (G), ta sẽ chỉ ra (fn )n hội tụ tới một hàm f trong Hv (G). Theo định nghĩa của dãy Cauchy, ta có với mọi ε dương, tồn tại n0 ∈ N sao cho ||fm − fn ||v < ε, ∀n, m ≥ n0 và ∀z ∈ G. 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Tức là, |fm (z) − fn (z)| < εv(z), ∀n, m ≥ n0 và ∀z ∈ G. (1.1) Khi đó, với mọi K compact trong G, ta có max |fm (z) − fn (z)| < ε max v(z), ∀n, m ≥ n0 . z∈K z∈K Do đó, (fn )n là dãy Cauchy trong H(G), nên (fn )n hội tụ tới một hàm f trong H(G). Trong (1.1), cho m → ∞, ta được |fn (z) − f (z)| ≤ εv(z), ∀n ≥ n0 và ∀z ∈ G. Tức là, kfn − f kv ≤ ε với mọi n ≥ n0 . Từ đây ta cũng thu được kf kv ≤ kfn0 − f kv + kfn0 kv < ∞. Vậy ta có (fn )n hội tụ tới f trong Hv (G). (2). Đầu tiên ta chỉ ra Hv0 (G) không gian con của Hv (G). Lấy f ∈ Hv0 (G), tức là |f (z)| = 0. z→∂G v(z) lim Khi đó, tồn tại K compact trong G sao cho |f (z)| < 1, ∀z ∈ G/K. v(z) Mặt khác, do K compact và |f (z)|/v(z) liên tục trên K nên tồn tại M > 1 sao cho |f (z)|/v(z) < M, với mọi z thuộc K . Do đó, ta có |f (z)| ≤ M, z∈G v(z) sup nên f ∈ Hv (G). Vậy Hv0 (G) ⊂ Hv (G). Bây giờ, ta sẽ chỉ ra Hv0 (G) đóng trong Hv (G). Thật vậy, lấy dãy (fn )n trong 0 Hv (G) và (fn )n hội tụ tới hàm f và ta phải chỉ ra f ∈ Hv0 (G). Vì (fn )n hội tụ tới f nên với ε dương bất kỳ, tồn tại n0 ∈ N sao cho ε ||fn − f ||v < , ∀n ≥ n0 . 2 tức là Mặt khác, fn0 ε |fn (z) − f (z)| < v(z), ∀z ∈ G và ∀n ≥ n0 . 2 0 ∈ Hv (G), nên tồn tại tập compact K trong G sao cho ε |fn0 (z)| < v(z), ∀z ∈ G \ K. 2 Suy ra, với mọi z ∈ G \ K ta có |f (z)| |fn0 (z)| |fn0 (z) − f (z)| < + < ε. v(z) v(z) v(z) Vậy f ∈ Hv0 (G). 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Khi nghiên cứu các vấn đề liên quan đến hai không gian Banach có trọng v của trọng v . Chúng Hv (G) và Hv0 (G) người ta thường sử dụng hàm trọng liên kết e ta sẽ nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của trọng liên kết. Bierstedt-BonetTaskinen trong [10] đưa ra định nghĩa về trọng liên kết như sau e v (z) := sup{|f (z)| : f ∈ Hv (G) : kf kv ≤ 1}, z ∈ C. Một số tính chất của trọng liên kết được đưa ra trong mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1.2. Các khẳng định sau đây đúng. (i) Hàm e v liên tục trên G và 0 ≤ e v ≤ v trên G. (ii) Không gian Hv (G) = Hve(G) và kf kv = kf kve với mọi f ∈ Hv (G). Chứng minh. Các chứng minh này có thể tham khảo trong [10]. Trong các không gian có trọng Hv (G) và Hv0 (G) người ta đặc biệt quan tâm tới trường hợp G là toàn bộ mặt phẳng phức C hoặc G là hình cầu đơn vị D và hàm trọng v là trọng cầu, tức là v(z) = v(|z|), z ∈ G, trong đó v : [0; a) → (0, ∞) là một hàm tăng và liên tục trên [0; a) sao cho log r = o(log v(r)) với r → ∞ nếu G = C và lim v(r) = ∞ nếu G = D, r→1− trong đó a = +∞ với G = C hoặc a = 1 với G = D. Với giả thiết của hàm trọng cầu v chúng ta thấy không gian Hv (C) và Hv0 (C) sẽ chứa tất cả các đa thức, do đó chúng là không gian vô hạn chiều. Còn không gian Hv (D) và Hv0 (D) sẽ chứa tất cả các hàm chình hình bị chặn trên D. Trong trường hợp đặc biệt này, chúng ta còn có tính chất quan trọng sau đây. Mệnh đề 1.1.3. Giả sử v là trọng cầu trên G = C hoặc G = D. Khi đó, tập tất cả các đa thức trù mật trong không gian Hv0 (G), do đó, Hv0 (G) là không gian khả ly. Chứng minh. Chúng ta chứng minh cho trường hợp G = C. Trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự. Lấy một hàm f ∈ Hv0 (C) bất kỳ. Đặt M (f, r) := max{|f (z)| : |z| = r}, r > 0. Với mỗi t ∈ (0, 1) đặt ft (z) := f (tz), z ∈ C. Theo nguyên lý cực đại, dễ thấy M (ft , r) = M (f, tr) ≤ M (f, r) với mọi t ∈ (0, 1) và r > 0. Ta sẽ chứng minh ft hội tụ tới f trong Hv0 (C) khi t → 1. Thật vậy, lấy ε > 0 tùy ý. Tồn tại R > 0 sao cho M (f, r) ε < , ∀r > R. v(r) 2 Do đó M (ft , r) ε < , ∀r > R và t ∈ (0, 1). v(r) 2 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Mặt khác, dễ thấy max |ft (z) − f (z)| = max |f (tz) − f (z)| → 0, khi t → 1. |z|≤R |z|≤R Do đó, tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho |ft (z) − f (z)| < ε, ∀t ≥ t0 . v(z) |z|≤R max Suy ra, với mọi t ≥ t0 ta có  |ft (z) − f (z)| |ft (z) − f (z)| kft − f kv = max max , max v(z) v(z) |z|≤R |z|>R  |f (z)| |ft (z)| + max < max ε, max |z|>R v(z) |z|>R v(z)   < ε. Vậy ft hội tụ tới f trong Hv0 (C) khi t → 1. Tiếp theo, với mỗi t ∈ (0, 1) ta sẽ xấp xỉ hàm ft bởi một dãy đa thức. Từ đó, ta kết luận được hàm f cũng được xấp xỉ bởi một dãy đa thức, tức là, tập tất cả các đa thức phức trù mật trong không gian Hv0 (C). Thật vậy, giả sử hàm f có biểu diễn ∞ X f (z) = an z n , a n ∈ C . n=0 Theo công thức tích phân Cauchy ta có   Z f (z)  M (f, r) v(r) |f (n) (0)|  1 = dz ≤ kf k , ∀r > 0. |an | = ≤ v n! 2iπ |z|=r z n+1  rn rn Suy ra, |an |.kz n kv ≤ kf kv với mọi n ∈ N. Sử dụng bất đẳng thức này ta có n X X X tn+1 k k k k k f (z) − a t z = a t z . ≤ kf k t = kf k t v v k k k=0 v v k>n Do đó, với mỗi t ∈ (0, 1) cố định, kft (z) − ta có điều phải chứng minh. Pn k>n k k k=0 ak t z kv 1−t → 0 khi n → ∞. Từ đây Ngoài ra, hàm trọng liên kết e v với trọng cầu v còn có thêm các tính chất sau đây. Mệnh đề 1.1.4. Giả sử v là trọng cầu trên G = C hoặc G = D. Khi đó (i) Hàm e v cũng là trọng cầu trên G, tức là, e v (z) = e v (|z|) với mọi z ∈ G. (ii) Hàm log(e v (z)) là hàm điều hòa dưới trên G, điều này tương đương với e v là hàm lồi logarit trên (−∞, log a), tức là, hàm ϕve(x) := log e v (ex ) lồi trên (−∞, log a). (d) Không gian Hve0 (G) = Hv0 (G). Chứng minh. Các chứng minh này cũng có thể được tham khảo trong [10]. 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.2 Các tính chất động lực học cơ bản Tiếp theo chúng ta đưa ra một số khái niệm động lực học như tính siêu lặp, tính trộn, tính hỗn loạn. Đặc biệt chúng ta sẽ chỉ ra toán tử đạo hàm trên không gian H(C) có đầy đủ tính chất động lực học này. Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian véctơ trên trường K (K = R hoặc K = C). Một hàm p : X → [0, ∞) được gọi là một nửa chuẩn nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau: 1. p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X; 2. p(λx) = |λ|p(x), ∀x ∈ X, λ ∈ K. Khái niệm không gian Fréchet tổng quát hơn không gian Banach với tôpô xác định thông qua dãy nửa chuẩn (pn )n , mà ta luôn có thể giả sử dãy (pn )n là tăng (nếu cần thiết ta có thể xét dãy (max pk )n . Hơn nữa, dãy nửa chuẩn (pn ) k≤n được giả sử là tách được, có nghĩa là, nếu pn (x) = 0 với mọi n ≥ 1 thì x = 0. Khi đó, ∞ X 1 d(x, y) := min(1, pn (x − y)), x, y ∈ X (1.2) n n=1 2 là một metric trên X . Định nghĩa 1.2.2. Không gian véctơ X với dãy nửa chuẩn (pn ) đầy đủ theo metric được cho bởi (1.2) được gọi là một không gian Fréchet.  Ví dụ 1.2.3. Xét không gian H(C) = f : C → C : f là hàm chỉnh hình trên C , với mỗi n ∈ N, nửa chuẩn pn được xác định trên H(C) như sau pn (f ) = sup |f (z)|. |z|≤n Khi đó không gian H(C) cùng với dãy tăng nửa chuẩn (pn )n tạo thành một không gian Fréchet. Hơn nữa, toán tử đạo hàm D : H(C) → H(C), D(f ) = f 0 là liên tục trên không gian H(C). Thật vậy, theo công thức tích phân Cauchy dễ dàng chứng minh được, với mọi f ∈ H(C), với mọi n ≥ 1, sup |f 0 (z)| ≤ sup |f (z)| |z|≤n |z|≤n+1 tức là pn (f 0 ) ≤ pn+1 (f ), ∀f ∈ H(C), ∀n ≥ 1. 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.2.4. Cho T : X → X là toán tử tuyến tính. Khi đó, với x ∈ X , tập hợp orb(x, T ) = {x, T x, T 2 x, · · · } được gọi là quỹ đạo của vectơ của x theo T . Định nghĩa 1.2.5. Cho toán tử tuyến tính liên tục T : X → X được gọi siêu lặp nếu tồn tại x ∈ X sao cho quỹ đạo orb(x, T ) của x trù mật trong X . Khi đó, x được gọi là vectơ siêu lặp của T . Dễ thấy, nếu trên không gian X có một toán tử siêu lặp thì X là không gian tách được. Vì vậy trong luận văn này, khi nghiên cứu tính chất động lực học chúng ta chỉ quan tâm đến các không gian tách được. Định nghĩa 1.2.6. Cho toán tử tuyến tính liên tục T : X → X được gọi là truyền ứng tôpô nếu với mọi tập mở khác rỗng U, V của X sao cho tồn tại n ≥ 0 ta có T n (U ) ∩ V 6= 0. Trong [27], Grosse-Erdmann đã chỉ ra rằng toán tử T trên X là siêu lặp khi và chỉ khi T là truyền ứng tôpô. Do đó, ta dùng kết quả này để chỉ ra toán tử đạo hàm D trên H(C). Thật vậy, lấy U, V là hai tập mở khác rỗng trong H(C). Vì tập các đa thức trù mật trong không gian H(C) nên ta có thể lấy f (z) = N X k ak z ∈ U, g(z) = k=0 N X bk z k ∈ V, N ∈ N. k=0 Do đó, ta có Dn (f (z)) = 0. Với mỗi n ≥ N + 1, ta xét đa thức sau r(z) = f (z) + N X k=0 k!bk k+n z . (k + n)! Từ đó ta có Dn (r(z)) = Dn (f (z)) + N X k=0 = N X k=0 k!bk k+n z (k + n)! !(n) N k!(k + 1)(k + 1) · · · (k + n)bk k X z = bk z k = g(z). (k + n)! k=0 hay là Dn (r) = g ∈ V . Mặt khác, với mọi R dương ta có sup |r(z) − f (z)| ≤ |z|≤R N X k!|bk | k=0 (k + n)! Rk+n → 0, n → ∞. do vậy r(z) ∈ U , với n đủ lớn. Khi đó ta được Dn (U ) ∩ V 6= ∅. Vậy nên D siêu lặp trên H(C). 10 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.2.7. Cho T : X → X là một toán tử. Một điểm x ∈ X được gọi điểm tuần hoàn của T nếu tồn tại n ≥ 1 sao cho T n x = x. Định nghĩa 1.2.8. Một toán tử tuyến tính liên tục T : X → X được gọi là hỗn loạn nếu nó thỏa mãn hai điều kiện dưới đây: (1) T có tính siêu lặp; (2) T có tập điểm tuần hoàn trù mật. Mệnh đề sau chỉ ra đặc trưng của tập các điểm tuần hoàn. Mệnh đề 1.2.9. Cho T là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ phức X . Khi đó, tập các điểm tuần hoàn của T là Per(T ) = span{x ∈ X|T x = eαπi x, α ∈ Q}. Bổ đề 1.2.10. Cho Λ là tập con của C và nó chứa ít nhất một điểm tụ trong C. Khi đó, span{eλz , λ ∈ Λ} trù mật trong H(C). Tiếp theo, ta sử dụng Mệnh đề 1.2.9 và Bổ đề 1.2.10 để chỉ ra toán tử đạo hàm D là hỗn loạn trên H(C). Thật vậy, từ D(eλz ) = λeλz nên theo Mệnh đề 1.2.9 ta được span{eλz |λ = eαπi , α ∈ Q} ⊂ Per(D). Mặt khác, Λ = {λ|λ = eλαi , α ∈ Q} có điểm tụ trong C, do đó theo Bổ đề 1.2.10 ta được span{eλz |λ = eαπi , α ∈ Q} trù mật trong H(C). Suy ra Per(D) = H(C). Hơn nữa, ta đã chứng minh được toán tử đạo hàm D siêu lặp trên H(C). Vậy nên D hỗn loạn trên H(C). Định nghĩa 1.2.11. Toán tử tuyến tính liên tục T : X → X được gọi là có tính trộn nếu mọi tập mở, khác rỗng U, V của X , tồn tại N ≥ 0 sao cho T n (U ) ∩ V 6= ∅, ∀n ≥ N. Dễ thấy, nếu T là trộn trên X thì T cũng là siêu lặp trên X . Trong chứng minh tính siêu lặp của toán tử đạo hàm D trên H(C), với n đủ lớn ta được Dn (U ) ∩ V 6= ∅. Vậy D là trộn trên H(C). Việc kiểm tra tính siêu lặp bằng định nghĩa là rất khó khăn, chúng ta thường dùng tiêu chuẩn sau đây để chứng mình một toán tử là siêu lặp. Định lý 1.2.12. (Tiêu chuẩn Siêu lặp). Cho T là một toán tử tuyến tính liên tục trên X . Nếu tồn tại X0 , Y0 là các tập trù mật của X , một dãy nguyên dương tăng (nk )k , và một ánh xạ Snk : Y0 → X, k ≥ 1, sao cho với mọi x ∈ X0 , y ∈ Y0 thoả mãn 1. T nk x → 0, 2. Snk y → 0, 3. T nk Snk y → y . thì T là siêu lặp. 11 Chương 2 Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày những nghiên cứu về tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm D trên không gian có trọng các hàm chỉnh hình. 2.1 Tính bị chặn của toán tử đạo hàm Trong [29], Harutyunyan và Lusky đã nghiên cứu tính bị chặn của toán tử đạo hàm trên không gian Hv (G) với G = C hoặc G = D và v là trọng cầu. Nhưng các kết quả chính trong [29] nhận được dưới giả thiết sau đây: (HL): với mọi r ∈ [0, a) tồn tại n ∈ (0, ∞) sao cho r là điểm cực đại toàn cục của hàm số γn (t) := tn . v(t) Hơn nữa, kỹ thuật trong [29] rất phức tạp. Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra cách tiếp cận mới cho vấn đề này bằng cách thay điều kiện (HL) bởi tính lồi logarit cho hàm trọng. Trên thực tế, hai điều kiện này tương đương với nhau. Bổ đề 2.1.1. Một trọng cầu v trên C hoặc D thỏa mãn điều kiện (HL) khi và chỉ khi nó là lồi logarit. Chứng minh. Giả sử v là một trong cầu trên C hoặc D. Ta đặt ϕv (x) = log v(ex ), x ∈ (−∞, b) trong đó b = +∞ khi trọng v xác định trên C hoặc b = 0 khi trọng v xác định trên D. Điều kiện cần. Giả sử v thỏa mãn điều kiện (HL). Với x < y < b, áp dụng (HL) cho r := exp((x+y)/2), ta có tồn tại số dương n sao cho, với mọi t ∈ (−∞, b), rn ent ≥ ⇐⇒ n log r − log v(r) ≥ nt − log v(et ), t v(r) v(e ) tức là n hay x+y x+y − log v(e 2 ) ≥ nt − log v(et ), 2 x+y x+y n − ϕv 2 2  12  ≥ nt − ϕv (t). Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm Lấy t = x, ta có x+y x+y n − ϕv 2 2   ≥ nx − ϕv (x), tức là, n ≥ ϕv ( x+y 2 ) − ϕv (x) x+y 2 −x . Lấy t = y , ta được n x+y x+y − ϕv 2 2   ≥ ny − ϕv (y), tức là, n ≤ ϕv (y) − ϕv ( x+y 2 ) y− x+y 2 . Suy ra, ϕv x + y  2 ≤ ϕv (x) + ϕv (y) . 2 Từ đó, ϕv lồi trên (−∞, b), hay là v là hàm lồi logarit trên (0, a). Điều kiện đủ. Giả sử v là hàm lồi logarit trên (0, a). Khi đó, ϕv (x) là hàm lồi trên (−∞, b). Nên các đạo hàm trái và đạo hàm phải của ϕv tồn tại trên toàn bộ (−∞, b), và (ϕv )0− (x) ≤ (ϕv )0+ (x) với mọi x ∈ (−∞, b). Với r ∈ (0, a), ta lấy n ∈ [(ϕv )0− (x), (ϕ( v))0+ (x)]. Áp dụng tính lồi của hàm ϕv , với 0 < τ1 < r < τ2 < a, ta có ϕv (log r) − ϕv (log τ1 ) ϕv (log τ2 ) − ϕv (log r) . ≤ (ϕv )0− (log r) ≤ n ≤ (ϕv )0+ (log r) ≤ log r − log τ1 log τ2 − log r Do đó, n log r − ϕv (log r) ≥ n log τ1 − ϕv (log τ1 ) và n log r − ϕv (log r) ≥ n log τ2 − ϕv (log τ2 ) Suy ra r là điểm cực đại của hàm γn (t) = tn /v(t) = exp(n log t − ϕv (log t)). Trước tiên, chúng ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ để D bị chặn trên không gian chỉnh hình có trọng tổng quát và trọng cầu. Chúng ta bắt đầu với điền kiện cần cho tính bị chặn của toán tử đạo hàm D trên không gian Banach có trọng tổng quát. Mệnh đề 2.1.2. Cho v và w là hai hàm trọng trên G. Nếu toán tử đạo hàm D : Hv (G) → Hw (G) là bị chặn, thì tồn tại một hằng số dương C sao cho    ṽ(z + ∆z) − ṽ(z)   ≤ Cw(z), ∀z ∈ G. lim sup   ∆z ∆z→0 13 Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm Chứng minh. Giả sử toán tử D : Hv (G) → Hw (G) liên tục. Khi đó, tồn tại hằng số dương C sao cho kf 0 kw ≤ C , với mọi hàm f ∈ Bv (G), ở đây Bv (G) hình cầu đơn vị trong Hv (G). Cố định z ∈ G bất kỳ và ∆z ∈ C sao cho đoạn [z, z + ∆z] nằm trong G. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ṽ(z + ∆z) ≥ ṽ(z). Theo Bierstedt-BonetTaskinen trong [10], tồn tại hàm f trong Bv (G) sao cho f (z + ∆z) = ṽ(z + ∆z). Do đó, ta có |ṽ(z + ∆z) − ṽ(z)| = ṽ(z + ∆z) − ṽ(z) ≤ f (z + ∆z) − |f (z)| ≤ |f (z + ∆z) − f (z)| ≤ |f 0 (ξ)||∆z|, với ξ ∈ [z, z + ∆z]. Do vậy, |ṽ(z + ∆z) − ṽ(z)| ≤ Cw(ξ)|∆z|. Từ đây ta có    ṽ(z + ∆z) − ṽ(z)   ≤ Cw(z), ∀z ∈ G. lim sup   ∆z ∆z→0 Ta xét hai trường hợp đặc biệt với G = D hoặc G = C và v là trọng cầu. Với trọng cầu v(z) thì trọng liên kết ṽ(z) tăng và lồi logarit. Vì vậy, hàm ṽ khả vi trên (0, a) ngoại trừ một tập không quá đếm được các điểm và đạo hàm phải của nó tồn tại trên toàn (0, a). Ta kí hiệu ṽ 0 là đạo hàm phải của hàm ṽ . Hệ quả sau đây được suy ra từ Mệnh đề 2.1.2. Hệ quả 2.1.3. Cho v và w là hai trọng cầu trên G = D (hoặc G = C). Nếu toán tử đạo hàm D : Hv (G) → Hw (G) liên tục, thì lim sup r→1− ṽ 0 (r) ṽ 0 (r) < ∞ ( tương ứng, lim sup < ∞). w(r) r→∞ w(r) Bây giờ chúng ta đưa ra điều kiện đủ cho tính bị chặn của toán tử đạo hàm D. Một hàm liên tục ρ : G → (0, ∞) được gọi hàm khoảng cách trên G nếu ρ(z) < dist(z, ∂G) với mỗi z trong G. Với hàm trọng v và hàm khoảng cách ρ trên G ta định nghĩa hàm trọng mới vρ (z) := 1 max v(z + ζ), z ∈ G. ρ(z) |ζ|≤ρ(z) Dễ thấy, v(z) ≤ vρ (z) với mọi z ∈ G. Mệnh đề 2.1.4. Với mỗi hàm trọng v và hàm khoảng cách ρ trên G thì toán tử đạo hàm D : Hv (G) → Hvρ (G) liên tục. Chứng minh. Theo công thức Cauchy, với mọi hàm chỉnh hình f trên G, ta có Z f 0 (z) = f (z + ζ) dζ, z ∈ G. ζ2 1 2πi |ζ|=ρ(z) 14 Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm Do vậy, với mọi hàm f ∈ Hv (G) và z ∈ G, ta có     Z   f (z + ζ)   1 0 |f (z)| =  dζ  ζ2  2πi   |ζ|=ρ(z)     Z    f (z + ζ) v(z + ζ)  1  = dζ   2π  v(z + ζ) ζ2  |ζ|=ρ(z)      Z  f (z + ζ)   v(z + ζ)  1    ≤  v(z + ζ)   ζ 2  |dζ| 2π |ζ|=ρ(z) 1 v(z + ζ) ||f ||v 2πρ(z) max 2π |ζ|≤ρ(z) ρ2 (z) 1 = ||f ||v max v(z + ζ) = ||f ||v vρ (z), ρ(z) |ζ|≤ρ(z) ≤ tức là, ||f 0 ||vρ ≤ ||f ||v . Hay, toán tử đạo hàm D : Hv (G) → Hvρ (G) liên tục. Hệ quả 2.1.5. Cho v và w là hai hàm trọng và ρ là hàm khoảng cách trên G. Nếu tồn tại hằng số dương C sao cho vρ (z) ≤ Cw(z) với mọi z ∈ G, thì toán tử đạo hàm D : Hv (G) → Hw (G) liên tục. Áp dụng Hệ quả 2.1.5 cho trọng cầu trên D (hoặc C) với hàm khoảng cách ρ(z) = (1 − |z|)/2 (tương ứng ρ(z) = 1), ta thu được hệ quả dưới đây. Hệ quả 2.1.6. Các khẳng định sau đây là đúng. (1) Cho v và w là hai trọng cầu trên D sao cho 1 + r 1 1−r v 2 ≤ Cw(r), ∀r ∈ [0, 1), với C là một hằng số dương nào đó. Khi đó, toán tử đạo hàm D : Hv (D) → Hw (D) liên tục. (2) Cho v và w là hai trọng cầu trên C sao cho v(1 + r) ≤ Cw(r), ∀r ∈ [0, ∞), với C là một hằng số dương nào đó. Khi đó, toán tử đạo hàm D : Hv (C) → Hw (C) liên tục. Chứng minh. (1) Với ρ(z) = vρ (z) = 1 − |z| 2 thì vρ (z) = max v(z + ζ). Khi đó 2 1 − |z| ζ≤ρ(z) 2 2 max v(z + ζ) = max v(|z + ζ|) 1 − |z| |ζ|≤ρ(z) 1 − |z| |ζ|≤ 1−|z| 2  2 1 − |z| = v |z| + 1 − |z| 2 15  2 = v 1 − |z|  1 + |z| 2  . Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm Do đó, theo giả thiết và Hệ quả 2.1.5 ta được điều phải chứng minh. (2). Với ρ(z) = 1, khi đó vρ (z) = max v(ζ + z). Ta có |ζ|≤1 vρ (z) = max v(ζ + z) = max v(|ζ + z|) = v(|z| + 1). |ζ|≤1 |ζ|≤1 Tương tự như phần trên, kết hợp với Hệ quả 2.1.5 ta được điều phải chứng minh. Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp đặc biệt khi w(r) = v(r)/(1 − r) trên D và w = v trên C. Để làm điều đó, chúng ta cần bổ đề sau đây. Bổ đề 2.1.7. Với mỗi trọng cầu v trên D, chúng ta xét các điều kiện sau đây: (1) lim sup r→1− (1 − r)v 0 (r) < ∞; v(r) (2) (1 − r)α v(r) giảm trên [r0 , 1) với số α dương và r0 ∈ [0, 1) nào đó; (3) (1 − r)α v(r) hầu giảm trên [0, 1) với số α dương nào đó. Tức là, tồn tại hằng số dương C sao cho với mọi r1 < r2 ta được (1 − r2 )α v(r2 ) ≤ C(1 − r1 )α v(r1 ); (4) sup n v(1 − 2−n−1 ) < ∞; v(1 − 2−n ) (5) Tồn tại δ0 ∈ (0, 1) sao cho  v r + δ0 1 + δ0 r  = O(v(r)) khi r → 1− ; (6) v(r) = O(v(r2 )) khi r → 1− . Khi đó, (1) ⇐⇒ (2) =⇒ (3) ⇐⇒ (4) ⇐⇒ (5) ⇐⇒ (6). Hơn nữa, nếu v là trọng lồi logarit thì tất cả các điều kiện trên tương đương. Chứng minh. (1) ⇐⇒ (2). Với một số dương α, đặt f (r) = log(v(r)(1 − r)α ), r ∈ [0, 1). Khi đó 1 f 0 (r) = 1−r  (1 − r)v 0 (r) −α . v(r)  Từ đây, ta có hàm (1 − r)α v(r) giảm trên [r0 , 1) khi và chỉ khi (1 − r)v 0 (r) (1 − r)v 0 (r) ≤ α, ∀r ∈ [r0 , 1), tức là, lim sup < ∞. v(r) v(r) r→1− (2) =⇒ (3). Hiển nhiên. 16 Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm (3) ⇐⇒ (4). Đầu tiên ta chỉ ra (3) =⇒ (4). Sử dụng tính hầu giảm của hàm (1 − r)α v(r) cho r1 = 1 − 2−n , r2 = 1 − 2−n−1 , ta có 2−(n+1)α v(1 − 2−n−1 ) ≤ C2−nα v(1 − 2−n ), từ đây suy ra (4) được thỏa mãn. Ngược lại, tức là tồn tại hằng số C > 1 sao cho v(1 − 2−n−1 ) < C. v(1 − 2−n ) Đặt α := log2 C > 0. Với mọi λ, t ∈ (0, 1], tồn tại m, n ∈ N sao cho 1 2m+1 ≤λ≤ 1 1 1 và n+1 ≤ t ≤ n . m 2 2 2 Khi đó, 1− 1 2m+n và 1− ≤ 1 − λt ≤ 1 − 1 2m+n+2 , 1 1 ≤ 1 − t ≤ 1 − n+1 . n 2 2 Sử dụng (4) ta có v(1 − 2−m−n−2 ) C m+2 v(1 − λt)λα ≤ ≤ = C 2. v(1 − t) v(1 − 2−n )2mα Cm Với 0 ≤ r < s < 1, sử dụng bất đẳng thức trên cho λ= 1−s và t = 1 − r, 1−r ta thu được (1 − s)α v(s) ≤ C 2 (1 − r)α v(r), tức là, (3) được thỏa mãn. (4) ⇐⇒ (5). Đã được chứng minh trong [23, Bổ đề 1]. (5) ⇐⇒ (6). Với δ0 ∈ (0, 1) cho trước, chọn γ ∈ (0, 1) sao cho 1−γ < δ0 . 1+γ Theo quy tắc L’Hospital ta có rγ 1 − r1−γ 1−γ → khi r → 1− . 1+γ 1+r 1+γ Do đó, tồn tại r0 ∈ (0, 1) sao cho, với mọi r ∈ (r0 , 1), ta được rγ 1 − r1−γ r + δ0 γ ≤ δ hay r ≤ . 0 1 − r1+γ 1 + δ0 r 17 Chương 2. Tính bị chặn và compact của toán tử đạo hàm Suy ra, nếu (5) đúng thì v(rγ ) = O(v(r)) khi r → 1− , từ đây kéo theo (6) đúng. Ngược lại, ta giả sử v(r) = O(v(r2 )) khi r → 1− . Lấy γ = 1/2 và δ0 = 1/4, ta thấy δ0 < 1−γ . 1+γ Mặt khác, ta có rγ hay là 1 − r1−γ 1−γ khi r → 1− , → 1+γ 1+r 1+γ √ √ 1− r 1−γ r → khi r → 1− . 1+γ 1 − r3/2 Do đó ta được √ √ 1− r r > δ0 khi r → 1− , 3/2 1−r hay là √ r≥ 4r + 1 khi r → 1− . 4+r Suy ra  4r + 1  √ v( r) ≥ v khi r → 1− . 4+r 1 Vậy nên (5) được thỏa mãn với δ0 = . 4 Bây giờ, ta giả sử v là lồi logarit. (6) =⇒ (1). Lấy r ∈ [1/2, 1), chọn n ∈ N sao cho 1 − 2−n ≤ r < 1 − 2−n−1 . Ta có, v là hàm lồi logarit nên ϕv (x) = log v(ex ) trên (−∞, 0) lồi và (ϕv (x))0 = (log v(ex ))0 = ex v 0 (ex ) , ∀x ∈ (−∞, 0). v(ex ) Do đó, ta có (ϕv (r))0 = (log v(r))0 = trong đó, A = sup Vì r ≥ n −n 1−2 rv 0 (r) ≤ (1 − 2−n−1 )(log v)0 (1 − 2−n−1 ) v(r) log(v(1 − 2−n−2 )/v(1 − 2−n−1 )) ≤ log((1 − 2−n−2 )/(1 − 2−n−1 )) log A ≤ log((1 − 2−n−2 )/(1 − 2−n−1 )) log A  , = 2−n−2 log 1 + 1 − 2−n−1 v(1 − 2−n−1 ) . v(1 − 2−n ) nên 2−n ≥ 1 − r và 1 + r ≥ 2 − 2−n , do đó 2−n−2 1−r ≥ . 1 − 2−n−1 2(1 + r) 18