Lời mở đầu
Giáo trình Toán kỹ thuật được biên soạn nhằm cung cấp cho sinh viên những
kiến thức toán học được sử dụng trong các chuyên ngành Viễn thông và Tự động. Nội
dung giáo trình tập trung vào những kiến thức cơ bản về cách tính số phức cũng như
các phép biến đổi thường được sử dụng như: phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Z,
phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Wavelet.
Do được biên soạn lần đầu tiên nên giáo trình không thể tránh khỏi nhiều sai sót.
Rất mong nhận được sự góp ý từ các đồng nghiệp cũng như các đọc giả để cuốn sách
được hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau.
Địa chỉ liên hệ: Khoa Cơ điện – Điện tử, trường Đại học Lạc Hồng.
Tác giả
ThS. Nguyễn Hoàng Huy
MỤC LỤC
Lời mở đầu
CHƯƠNG 1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TÍNH ........................................................ 1
1.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC................................................................................. 2
1.2 CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC ................................................................................ 2
1.2.1
Phép cộng: ........................................................................................................... 2
1.2.2
Phép trừ: .............................................................................................................. 2
1.2.3
Phép nhân: ........................................................................................................... 2
1.2.4
Phép chia:............................................................................................................. 3
1.3 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC ............................................................................................. 4
1.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ DẠNG MŨ CỦA SỐ PHỨC ........................................... 5
1.5 PHÉP NÂNG LÊN LUỸ THỪA VÀ PHÉP KHAI CĂN............................................. 6
1.6 PHÉP KHAI CĂN....................................................................................................... 8
1.7 HÀM LƯỢNG GIÁC .................................................................................................. 8
1.7.1
Định nghĩa: .......................................................................................................... 8
1.7.2
Đạo hàm của các hàm lượng giác: ........................................................................ 9
1.7.3
Tính chất: ............................................................................................................. 9
1.7.4
Các phép tính: .................................................................................................... 10
1.8 HÀM HYPERBOL ................................................................................................... 11
1.8.1
Định nghĩa: ........................................................................................................ 11
1.8.2
Các phép tính: .................................................................................................... 11
1.8.3
Quan hệ với các hàm lượng giác:........................................................................ 11
1.8.4
Tách phần thực và phần ảo của hàm lượng giác và hàm hyperbol: ...................... 11
1.8.5
Đạo hàm của hàm hyperbol: ............................................................................... 11
1.9
HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC ................................................................................. 12
1.10 HÀM HYPERBOL NGƯỢC..................................................................................... 14
CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ............................................................. 17
2.1
PHƯƠNG PHÁP CỦA PHÉP TÍNH TOÁN TỬ ....................................................... 18
2.2 ĐỊNH NGHĨA HÀM GỐC ........................................................................................ 18
2.3 ĐỊNH NGHĨA TOÁN TỬ LAPLACE ...................................................................... 19
2.4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ............................................. 20
2.4.1
Tính chất tuyến tính của toán tử: ........................................................................ 20
2.4.2
Tính chất đồng dạng: .......................................................................................... 21
2.4.3
Tính chất chuyển dịch ảnh: ................................................................................. 21
2.4.4
Tính chất trễ: ...................................................................................................... 22
2.4.5
Ảnh của một hàm tuần hoàn: .............................................................................. 26
2.4.6
Đạo hàm gốc: ..................................................................................................... 28
2.4.6.1
Đạo hàm cấp 1: ........................................................................................... 28
2.4.6.2
Đạo hàm cấp cao: ........................................................................................ 28
2.4.6.3
Hệ quả: ....................................................................................................... 28
2.4.7
Tích phân gốc:.................................................................................................... 28
2.4.8
Đạo hàm ảnh: ..................................................................................................... 29
2.4.9
Tích phân ảnh:.................................................................................................... 29
2.4.10
Ảnh của tích chập: .............................................................................................. 31
2.4.10.1
Định nghĩa tích chập của hai hàm số: .......................................................... 31
2.4.10.2
Tính chất: .................................................................................................... 31
2.4.10.3
Ảnh của tích chập:....................................................................................... 31
2.4.10.4
Cặp công thức Duhamel: ............................................................................. 32
2.4.11
Ảnh của tích hai gốc: .......................................................................................... 33
2.4.12
Quan hệ giữa gốc và ảnh: ................................................................................... 33
2.5 PHƯƠNG PHÁP TÌM HÀM GỐC TỪ ẢNH (LAPLACE NGƯỢC) ........................ 33
2.5.1
Tìm hàm gốc của một phân thức thực sự: ........................................................... 33
2.5.2
Tìm hàm gốc dưới dạng chuỗi: ........................................................................... 36
2.5.3
Dùng công thức nhân ảnh: .................................................................................. 37
2.6 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG.................................................................................. 38
2.6.1
Phương pháp chung: ........................................................................................... 38
2.6.2
Dùng công thức Duhamel: .................................................................................. 42
CHƯƠNG 3 PHÉP BIẾN ĐỔI Z ............................................................................ 47
3.1 PHÉP BIẾN ĐỔI Z ................................................................................................... 48
3.1.1
Định nghĩa phép biến đổi Z: ............................................................................... 48
3.1.2
Miền xác định của phép biến đổi Z: .................................................................... 49
3.1.2.1
Dãy số x[n] lệch phải: ................................................................................. 49
3.1.2.2
Dãy số x[n] lệch trái .................................................................................... 50
3.1.2.3
Dãy số x[n] lệch hai phía ............................................................................. 50
3.1.2.4
Dãy số x[n] dài hữu hạn .............................................................................. 50
3.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z ............................................................ 50
3.2.1
Tuyến tính: ......................................................................................................... 50
3.2.2
Dịch chuyển thời gian: ....................................................................................... 52
3.2.3
Tổng chập: ......................................................................................................... 52
3.2.4
Định lý giá trị đầu và giá trị cuối: ....................................................................... 53
3.3
3.2.4.1
Định lý giá trị đầu (initial value theorem) .................................................... 54
3.2.4.2
Định lý giá trị cuối (final value theorem) ..................................................... 54
PHÉP BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC – IZT........................................................................... 54
3.3.1
Biểu thức tính IZT: ............................................................................................. 54
3.3.2
Phương pháp khai triển chuỗi lũy thừa (Power Series Expansion): ..................... 55
3.3.3
Phương pháp khai triển riêng phần (Partial Fraction Expansion): ........................ 55
CHƯƠNG 4 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER .............................................................. 60
4.1
4.2
4.3
CHUỖI FOURIER VÀ PHÂN TÍCH TÍN HIỆU....................................................... 62
PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER ..................................................................................... 70
ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ LỌC LÊN TÍN HIỆU ........................................................ 73
CHƯƠNG 5 PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET ............................................................ 76
5.1 QUAN HỆ GIỮA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ BIẾN ĐỔI WAVELET ............ 77
5.2 BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC CWT ................................................................. 80
5.2.1
Định nghĩa: ........................................................................................................ 80
5.2.2
Tính chất: ........................................................................................................... 81
5.3 BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC DWT ................................................................... 82
5.3.1
Định nghĩa: ........................................................................................................ 82
5.3.2
Chuỗi wavelet rời rạc, thuật toán Mallat và biến đổi wavelet rời rạc nhanh: FDWT
(Fast Discrete Wavelet Transform) .................................................................................. 85
5.3.3
Các tính chất của chuỗi wavelet rời rạc:.............................................................. 85
5.3.4
Wavelet song trực giao (Biorthogonal wavelet): ................................................. 86
5.3.5
Gói wavelet (Wavelet Package): ......................................................................... 86
5.4 CÁC HỌ WAVELET (WAVELET FAMILIES) THÔNG DỤNG ............................ 87
5.4.1
Haar: .................................................................................................................. 87
5.4.2
Daubechies:........................................................................................................ 88
5.4.3
Biorthogonal: ..................................................................................................... 89
5.4.4
Coiflets: ............................................................................................................. 90
5.4.5
Symlets: ............................................................................................................. 90
5.4.6
Morlet: ............................................................................................................... 91
5.4.7
Mexican Hat:...................................................................................................... 92
5.4.8
Meyer:................................................................................................................ 92
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 94
CHƯƠNG 1
SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TÍNH
Mục tiêu của chương
- Kiến thức
Hiểu khái niệm số phức và hàm phức. Cách biểu diễn hình học, mô-đun và argumen
của số phức. Cách biểu diễn lượng giác, hàm mũ, công thức Euler.
- Kỹ năng
Giải được các bài toán về số phức như: cộng, trừ, nhân, chia số phức, phép lũy thừa,
phép khai căn số phức.
1
1.1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Ta gọi dạng đại số của số phức z là một biểu thức dạng: x + jy. Trong đó x, y là
các số thực gọi là phần thực và phần ảo của số phức, j là đơn vị ảo có giá trị được định
nghĩa là
= −1. Ta thường kí hiệu:
=
=
+
( )=
( +
)
=
( )=
( + )
Tập hợp các số phức được kí hiệu là C. Vậy:
={ = + | ∈ , ∈ }
trong đó R là tập hợp các số thực.
- Nếu y = 0 ta có z = x, nghĩa là số thực là trường hợp riêng của số phức với phần ảo
bằng 0. Nếu x = 0 ta z = jy và đó là một số thuần ảo.
- Số phức ̅ =
−
- Số phức − = − −
- Hai số phức
=
được gọi là số phức liên hợp của
=
( ̅) =
( )
( ̅) = −
( )
là số phức đối của
+
và
=
+
=
+
+
. Vậy:
.
gọi là bằng nhau nếu
=
và
=
1.2 CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC
1.2.1 Phép cộng
Cho hai số phức
Ta gọi số phức = (
=
+
Tính chất của phép cộng:
-
Tính giao hoán:
-
Tính kết hợp:
+
và
)+ (
+
+ = +
+( + )=(
=
+
) là tổng của hai số phức
+
và
)+
1.2.2 Phép trừ
=
Cho 2 số phức
Ta gọi số phức
=(
−
+
và = +
) + ( − ) là hiệu của hai số phức
và
1.2.3 Phép nhân
=
Cho 2 số phức
+
=
và
+
Ta gọi số phức
=
.
=(
)+ (
−
+
)
(1.1)
là tích của hai số phức và
Các tính chất của phép nhân:
-
Tính giao hoán: . = .
Tính kết hợp: ( . ). = . ( .
)
2
-
Tính phân bố:
(
+
)=
.
+
và
+
.
1.2.4 Phép chia
Cho 2 số phức
=
+
=
sao cho .
=
=
=
+
. Số phức:
+
=
+
được gọi là thương của hai số phức
và
. Nếu
+
≠ 0 thì tồn tại một số phức
−
+
(1.2)
.
Ví dụ 1.1: Tính tổng của hai số phức = 2 + 7 và = 3 − 5
Giải:
+ = (2 + 3) + (7 − 5) = 5 + 2
Ví dụ 1.2: Tìm thương của hai số phức
= 2 + 5 và
=1−
Giải:
2 + 5 (2 + 5)(1 + ) −3 + 7
3
7
=
=
=− +
1−
1−
2
2
2
Ví dụ 1.3: Tìm
Giải:
=
. = −1. = −
Ví dụ 1.4: Tìm các số thực thoả mãn phương trình:
(3 − )(2 + ) + ( − )(1 + 2) = 5 + 6
Giải:
(3 − )(2 + ) + ( − )(1 + 2) = (7 + 2 + 1) + (5 −
Cân bằng phần thực và phần ảo ta có:
7 +2 +1=5
5 − −2=6
Giải hệ ta có:
20
36
=
; =−
17
17
− 2) = 5 + 6
Ví dụ 1.5: Giải hệ phương trình:
3 +
+
= 12 + 3
=3
Giải:
Nhân phương trình thứ hai cho j và trừ cho phương trình thứ nhất ta có:
3
−4 = −12 →
→
=3−
=3
=3− 3
Ví dụ 1.6: Chứng minh rằng nếu đa thức ( ) là một đa thức của biến số phức z với
các hệ số thực:
( )=
thì:
+
+ ⋯+
( ) = ( ̅)
Giải:
Thật vậy ta thấy là số phức liên hợp của tổng bằng tổng các số phức liên hợp của từng
số hạng, số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp của từng thừa
số. Do vậy:
.
=
=
.
.
Do đó:
( )=
.
=
.
= ( ̅)
Từ kết quả này suy ra nếu đa thức ( ) có các hệ số thực và nếu α là một nghiệm phức
của nó tức P(α) = 0 thì cũng là nghiệm của nó, tức là: ( ) = 0.
1.3 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC
Trong mặt phẳng toạ độ Đề các Oxy, mỗi điểm M trên mặt phẳng được xác định
bởi tọa độ (x, y). Người ta thường đồng nhất mỗi điểm có tọa độ (x, y) với số phức
= + trong đó phần thực tương ứng với hoành độ và phần ảo tương ứng với tung
độ. Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức. Điểm M được gọi là tọa vị
của số phức z.
y
M(x,y)
y
r
φ
O
x
x
Hình 1.1 Mặt phẳng phức
4
1.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ DẠNG MŨ CỦA SỐ PHỨC
= + có tọa vị là M. Ta gọi độ dài r của vectơ ⃗ là mô-đun
của z và kí hiệu là | |. Góc φ xác định sai khác 2kπ được gọi là argumen của z và kí
hiệu là Argz. Như vậy:
=| |=
(1.3)
⃗, ⃗ = + 2
=
Xét số phức
Đặc biệt, trị số của Argz nằm giữa -π và π gọi là giá trị chính của Argz và kí hiệu là
argz.
− <
Trường hợp z = 0 thì Argz không xác định.
Từ công thức (1.3) ta có:
= + = (
<
+
)
(1.4)
gọi là dạng lượng giác của số phức
Từ công thức Euler:
=
+
(1.5)
suy ra:
=
(1.6)
gọi là dạng mũ của số phức.
Giữa phần thực, phần ảo, mô-đun và argumen có liên hệ:
=
=
(1.7)
2
=
+
2
(1.8)
=
ℎ
>0
+
ℎ
⎨
⎪
−
ℎ
⎩
Với x = 0 từ định nghĩa ta có:
< 0,
≥0
< 0,
<0
⎧
⎪
=
2
=
−
2
ℎ
>0
ℎ
<0
(1.9)
(1.10)
Các tính chất của số phức:
Hai số phức bằng nhau có mô-đun và argumen bằng nhau.
| |=| |
= →
=
(1.11)
5
Mô-đun và argumen của tích hai số phức
| 1 . 2 | = | 1 |. | 2 |
arg( 1 . 2 ) =
1+
(1.12)
2
Mô-đun và argumen của thương hai số phức
| |
1
2
1
2
= | 1|
2
(1.13)
=
1
−
2
Liên hợp phức
1
+
1.
2
2
1
=
=
=
2
1
+
1.
2
2
(1.14)
1
2
. ̅=| |
(1.15)
=3+ 2
Ví dụ 1.7: Tính mô-đun của số phức
Giải:
|3 + 2| =
3 + 2 = √13
Ví dụ 1.8: Viết phương trình đường tròn A(x2 + y2) + 2Bx + 2Cy + D = 0 với các hệ số
A, B, C, D là các số thực trong mặt phẳng phức.
Giải:
Ta đặt z = x + jy nên ̅ =
Mặt khác:
−
=| | = . ̅
+
2 =
+ ̅
2 = − ( − ̅)
Thay vào phương trình ta có:
̅ + ( + ̅) −
( − ̅) = 0
Hay:
̅+
+
̅+
=0 ớ
=
+
1.5 PHÉP NÂNG LÊN LUỸ THỪA VÀ PHÉP KHAI CĂN
Ta gọi tích của n số phức z là luỹ thừa bậc n của z và kí hiệu:
= . …
Công thức Moivre:
=| | (
+
)
(1.16)
6
Ví dụ 1.9: Tính (√3 − )
Giải:
(√3 − )
= 2
−
6
6
2
+
3
=2
=2
2
3
=2
20
20
−
6
6
1
√3
− +
= −2
2
2
+ 2 √3
Ví dụ 1.10: Tính các tổng sau
=
+
2 + ⋯+
=
+
2 + ⋯+
=
+
Giải:
Nhân t cho j ta có:
Đặt
=
+
2 +⋯+
và theo công thức Moivre ta có:
+ = + +⋯+
Vế phải là một cấp số nhân gồm n số, số hạng đầu tiên là z và công bội là z. Do đó ta
có:
( + 1) −
−1
−
cos( + 1) +
−
+ =
=
=
−1
−1
+
−1
[cos( + 1) −
] + [ ( + 1) −
]
=
(
− 1) +
[cos( + 1) −
] + [ ( + 1) −
](
− 1) −
=
(
(
− 1) +
− 1) −
Như vậy:
=
=
=
( + )
cos( + 1)
cos( + 1)
− cos( + 1) +
+ sin( + 1)
(
− 1) +
+ sin( + 1)
− cos( + 1) +
−1
2−2
−
− cos( + 1) +
2(1 −
)
Tương tự ta tính được:
=
=
( +
−
−1
)
7
1.6 PHÉP KHAI CĂN
=
Số phức w được gọi là căn bậc n của z nếu
và được ký hiệu là:
= √
Viết các số phức dưới dạng lượng giác:
= (
= (
+
)
)
+
So sánh ta có:
=
→
= √
=
=
↔
+2
+2
=
(1.17)
Như vậy, căn bậc n của một số phức là một số phức có mô-đun bằng căn bậc n mô-đun
số phức ban đầu
= √ và argumen nhận các giá trị:
2
= +
, = 0, 1, 2, … , − 1
(1.18)
Ví dụ 1.11: Giải phương trình
+1=0
Giải:
+1=0↔
+2
4
Vậy phương trình có bốn nghiệm:
= √1
=
=
=
=
= −1 =
+2
4
+
+
+
=
4
3
+
4
5
+
4
7
+
4
4
3
4
5
4
7
4
+
⟹
,
= 0, 1, 2, 3
√2
(1 + )
2
√2
=
(−1 + )
2
√2
=
(−1 − )
2
√2
(1 − )
=
2
1.7 HÀM LƯỢNG GIÁC
1.7.1 Định nghĩa
Từ công thức Euler ta có:
2
=
=
+
2
8
−
2
Mở rộng ra ta cũng có các hàm lượng giác biến số phức như sau:
2
=
−
⟹
=
−
2
(1.19)
=
+
2
(1.20)
=
=
=
Vì
và
=
−
+
(
=
(
(
+
−
)
)
)
(1.21)
(1.22)
là những hàm đơn trị nên các hàm lượng giác biến phức cũng là các hàm
đơn trị.
1.7.2 Đạo hàm của các hàm lượng giác
Vì
và
là những hàm giải tích trong toàn C nên các hàm lượng giác biến
phức w = cosz và w = sinz cũng là các hàm giải tích trong toàn C. Ta có:
1
1
1
(
) = [( )′ − (
]= [
]=
)′] = [
+
+
(1.23)
2
2
2
Tương tự ta có:
(
) =−
(1.20)
Hàm
=
≠ 0. Xét phương trình
giải tích tại mọi điểm có
= 0. Ta có:
=0
⟹
=−
⟹
=
=
⟹2 =
+2
Phương trình này có nghiệm là:
=
Như vậy
giải tích tại mọi điểm
2
≠ +
(
) =
+
. Ta dễ dàng tính được:
1
(1.25)
Tương tự:
(
) =−
1
(1.26)
1.7.3 Tính chất
Hàm lương giác biến số phức có các tính chất sau:
9
cos(− ) =
cos( + 2 ) =
; sin(− ) = −
;
; sin( + 2 ) =
(− ) = −
; ( + )=
(1.27)
(1.28)
Thật vậy:
(
)
cos(− ) =
(
+
2
(
=
+
2
=
)
cos( + 2 ) =
vì
)
(
+
2
=
)
+
2
=
=
=1
Tương tự ta chứng minh được các tính chất còn lại.
1.7.4 Các phép tính
Ta có các công thức quen biết:
+
sin(
+
=1
) = sin cos
2 =
+
(1.29)
+ sin
−
+
2
=2
(1.30)
(1.31)
+
2
(1.32)
Chứng minh:
Chẳng hạn, công thức đầu tiên:
+
=
−
=(
+
Chứng minh tương tự cho các công thức còn lại.
)(
)=
−
.
=1
Ví dụ 1.12: Tính
Giải:
Theo định nghĩa:
+
1 1
=
+
≈ 1.543
2
2
Qua ví dụ này ta thấy có những số phức có | cosz | > 1. Điều này không thể xảy ra đối
=
với số thực.
Ví dụ 1.13: Giải phương trình
Giải:
= sin
Phương trình trên được viết thành:
− sin = 0, hay:
−
+
=2
2
2
−
với
là số phức cho trước.
=0
Cho
−
2
=0 ⟹
−
2
=
⟹
=
+ 2
Cho
10
+
+
=0 ⟹
= +
⟹
2
2
2
Tóm lại nghiệm của phương trình là: = + 2 và
=
−
+ 2
=
−
+ 2 .
1.8 HÀM HYPERBOL
1.8.1 Định nghĩa
Các hàm hyperbol biến phức được định nghĩa theo các công thức sau:
+
−
ℎ
ℎ
(1.33)
ℎ =
; ℎ =
; ℎ =
;
ℎ =
2
2
ℎ
ℎ
Những hàm này là thác triển của hàm hyperbol biến thực từ trục thực ra mặt
phẳng phức. Dễ dàng thấy rằng hàm chz là hàm chẵn còn các hàm shz, thz, cothz là các
hàm lẻ. Vì
tuần hoàn với chu kì 2jπ nên các hàm shz và chz cũng tuần hoàn với chu
kì 2jπ. Hàm thz tuần hoàn với chu kì jπ. Thật vậy:
ℎ =
ℎ
=
ℎ
−
+
=
−1
+1
(1.34)
Dễ dàng kiểm tra thấy:
ℎ( +
)= ℎ
(1.35)
1.8.2 Các phép tính
Ta có các công thức giống như trong giải tích thực:
= ℎ + ℎ
= ℎ − ℎ
ℎ(
+
ℎ − ℎ =1
)= ℎ ℎ + ℎ
ℎ2 = ℎ
…
(1.36)
ℎ
+ ℎ
1.8.3 Quan hệ với các hàm lượng giác
Từ định nghĩa ta suy ra:
= ℎ
= ℎ
(1.37)
1.8.4 Tách phần thực và phần ảo của hàm lượng giác và hàm hyperbol
Ta có:
= sin( +
)=
+
=
ℎ +
ℎ
Tương tự:
=
ℎ −
ℎ
ℎ = ℎ
+
ℎ
ℎ = ℎ
+
ℎ
(1.38)
1.8.5 Đạo hàm của hàm hyperbol
Các hàm
= ℎ và
= ℎ giải tích trong toàn bộ mặt phẳng và có đạo hàm:
11
( ℎ ) = ℎ
( ℎ ) = ℎ
1
(ℎ ) =
ℎ
= ℎ giải tích trong toàn mặt phẳng trừ tại điểm z mà
Hàm
(1.39)
+ 1 = 0 hay:
= −1 =
tức là:
=
Ví dụ 1.14: Tính
Giải:
+
(1 − 2)
Ta có:
(1 − 2) =
1.
Tra bảng số ta có:
1≈
2
2−
2.
1=
1. ℎ2 −
ℎ2.
1
57 19 ≈ 0.8415
1 ≈ 0.5463
ℎ2 ≈ 3.7622
ℎ2 ≈ 3.6269
Kết quả là:
(1 − 2) = 0.8415 × 3.7622 − 0.5463 × 3.6269 = 3.1659 − 1.9595
1.9 HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
Hàm ngược của
=
được kí hiệu là
=
hay:
− 2
−
2
=
=
=
. Ta có:
−1
2
−1=0
Ta xem đây là phương trình bậc hai đối với
=
. Giải ra ta có:
± 1−
Vậy
=
± 1−
hay:
=
1
± 1−
Như vậy:
=
=−
± 1−
(1.40)
12
Tính đa trị của hàm
=
được suy ra từ tính lưỡng trị của căn thức và tính đa
trị của hàm loga. Tương tự ta định nghĩa:
=
=
là hàm ngược của
=
=
là hàm ngược của
=
là hàm ngược của
Lập luận tương tự trên ta có:
=
=
=−
±
=
=−
=
=
2
2
−1
1+
1−
−
+
(1.41)
Ví dụ 1.15: Tính
Giải:
Theo (1.40) ta có:
=−
−1 ± √2
Nếu trước căn lấy dấu + ta có:
=−
−1 + √2 = − ln √2 − 1 + (0 + 2
) =2
−
(√2 − 1)
Nếu trước căn lấy dấu – ta có:
=−
−1 − √2 = − ln √2 + 1 + ( + 2
= (2 + 1) −
)
√2 + 1
Viết gộp lại ta có:
=
Ví dụ 1.16: Tính
Giải:
√2 − (−1)
−
ớ
ê
2
Theo (1.41) ta có:
1−2
=−
2 1+2
2
(2 + 1)
3
=
+
2
2
2=−
Ví dụ 1.17: Giải phương trình 4
−
1
=−
3
2
1
+ ( +2
3
)
+5 =0
Giải:
=−
5
4
13
→
=
−
5
=−
4
5
25
− ±
−1 =−
4
16
5 3
− ±
4 4
Nếu trước căn lấy dấu + ta có:
5 3
1
1
=−
− +
=−
− =−
+ ( + 2 ) = (2 + 1) + 2
4 4
2
2
Nếu trước căn lấy dấu – ta có:
5 3
=−
− −
= − (−2) = − [ 2 + ( + 2 )] = (2 + 1) − 2
4 4
Tóm lại:
= (2 + 1) ±
2
1.10 HÀM HYPERBOL NGƯỢC
Ta gọi:
=
ℎ là hàm ngược của
= ℎ
=
ℎ là hàm ngược của
= ℎ
=
ℎ là hàm ngược của = ℎ
Biểu diễn các hàm này qua logarit ta có:
ℎ =
( +
ℎ =
+
ℎ =
=
−1
(1.42)
1+
1−
ℎ
Ví dụ 1.18: Tính
Giải:
ℎ =
1
2
+ 1)
2
+2
14
CÂU HỎI HIỂU BÀI:
Câu 1.1: Định nghĩa số phức? cho ví dụ?
Câu 1.2: Số phức liên hợp? cho ví dụ?
Câu 1.3: Các phép toán của số phức?
Câu 1.4: Dạng lượng giác của số phức?
Câu 1.5: Biểu diễn module và argument của số phức?
Câu 1.6: Biểu diễn số phức dạng mũ? Tính chất?
Câu 1.7: Hàm hyperpol của số phức?
Câu 1.8: Công thức Euler?
BÀI TẬP:
Câu 1.9: Tính các số phức sau dưới dạng a+jb
= (2 + 3)
Câu 1.10: Tính các số phức sau dưới dạng a+jb
1+
=
(3 − )(1 − )
Câu 1.11: Tính các số phức sau dưới dạng a+jb
(1 + )
1+ 2
Câu 1.12: Tính các số phức sau dưới dạng a+jb
2+ 2
=
(2 − )(1 − 3)
Câu 1.13: Tính các số phức sau dưới dạng a+jb
=
(4 + )
3+ 2
Câu 1.14: Tính các số phức sau dưới dạng a+jb
10 + 10
=
(3 − )(1 − 2)
Câu 1.15: Tính số phức sau dưới dạng a+jb
=
Câu 1.16: Tìm giá trị của
= (1 + )
dưới dạng a+jb và | | biết rằng
=3+
Câu 1.17: Tìm giá trị của
dưới dạng a+jb và |
| biết rằng
Câu 1.18: Tìm giá trị của
=1+ 2
dưới dạng a+jb và | | biết rằng
Câu 1.19: Tìm giá trị của
= 0.8 − 5
dưới dạng a+jb và | | biết rằng
= (1 + )
15
Câu 1.20: Tìm giá trị của
dưới dạng a+jb và |
= √2 +
| biết rằng
2
Câu 1.22: Tìm giá trị của
dưới dạng a+jb và | | biết rằng
1
= √5 +
3
dưới dạng a+jb và | | biết rằng
Câu 1.23: Tìm giá trị của
= (4 − 3)
dưới dạng a+jb và | | biết rằng
Câu 1.21: Tìm giá trị của
= √8 +
4
|
| biết rằng
Câu 1.24: Tìm giá trị của
dưới dạng a+jb và
42 − 20
=
16 + 8
Câu 1.25: Tìm giá trị của
dưới dạng a+jb và | | biết rằng
1−
=
(1 + )
Câu 1.26: Tìm giá trị của
dưới dạng a+jb và | | biết rằng
24 − 12
=
(12 + 6)
Câu 1.27: Biểu diễn các số phức dưới dạng lượng giác
=1−
Câu 1.28: Biểu diễn các số phức dưới dạng lượng giác
=
Câu 1.29: Biểu diễn các số phức dưới dạng lượng giác
= −9 −
Câu 1.30: Biểu diễn các số phức dưới dạng lượng giác
= −16
16
- Xem thêm -
.PDF 
100 
69 
80 
